Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Транскрипт

1 Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Методическое пособие по курсу «Уравнения с частными производными» Москва 00 г PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

2 ВВЕДЕНИЕ Это пособие относится к серии методических пособий посвященных изложению различных специальных разделов математики и предназначено для преподавателей и студентов МАТИ Пособие отличается от имеющихся учебников и других пособий большей доступностью изложения и учетом специфики технического ВУЗа оно может быть использовано преподавателями при подготовке к лекциям проведению занятий а студентами при самостоятельной работе и подготовке к экзаменам Данное методическое пособие посвящено изложению вопросов относящихся к курсу уравнений с частными производными (уравнений математической физики Рассматриваются основные понятия и определения связанные с уравнениями с частными производными и вопросы приведения к каноническому виду линейных уравнений второго порядка В последующих выпусках предполагается изложить вопросы относящиеся к аналитическим методам решения основных уравнений математической физики (гиперболических параболических и эллиптических и численным методам их решений Изложение ведется на уровне математической строгости достаточном для решения прикладных задач в удобном для усвоения материала будущими инженерами-технологами Иногда оказывается удобным не оговаривать подробно условия дифференцируемости накладываемые на используемые функции Обычно считается что функции имеют столько производных сколько это необходимо в рассматриваемом случае (в наиболее важных вопросах условия дифференцируемости все же явно указываются Кроме того все функции предполагаются заданными в их естественной области определения которая явно не всегда оговаривается Глава УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Общие понятия Пусть имеется функция независимых переменных производными называется соотношение связывающее переменные ее частные производные до некоторого порядка F 0 ( n ( n n Уравнением с частными n функцию и все Порядком уравнения называется порядок старшей производной входящей в это уравнение Функция называется решением уравнения ( если при подстановке ее в ( n это уравнение оно обращается в тождество при допустимых значениях аргументов Совокупность всех решений уравнения называется общим решением Рассмотрим некоторые примеры уравнений с частными производными для функции зависящей от двух переменных ( Пример Пусть дано уравнение 0 Это уравнение фактически означает что функция ( не зависит от Следовательно решениями являются например функции ( ( e sin Общее решение: ( C( где C произвольная функция одной переменной Пример Рассмотрим уравнение f ( Для нахождения решения этого уравнения проинтегрируем его по переменной d f ( d C ( При интегрировании по мы считаем постоянным и поэтому произвольная постоянная C в ( может зависеть от Тем самым общее решение имеет вид: PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

3 ( f ( d C( Пример 3 Пусть дано уравнение 0 Из примера следует что C( Решая это уравнение аналогично тому как решалось уравнение в примере будем иметь ( C( d C( Обозначим C ( C( d Тогда общее решения примет вид ( C ( C ( Заметим что в отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения зависящего от произвольных постоянных общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольных функций Задача Коши Будем рассматривать случай когда искомая функция зависит от двух переменных Тогда уравнение первого порядка будет иметь вид F 0 ( ( Всякое решение уравнения ( ( будем называть интегральной поверхностью (график решения поверхность в пространстве с координатами Для того чтобы из совокупности всех решений уравнений ( выделить некоторое частное решение формулируется задача Коши: найти решение уравнения ( удовлетворяющее условию ( j ( 0 где j ( - некоторая заданная функция Обозначим через l кривую в пространстве задаваемую уравнениями 0 j( ( Тогда задача Коши имеет следующий геометрический смысл: среди всех интегральных поверхностей найти ту которая проходит через заданную кривую l Можно поставить более общую задачу Коши не ограничивая кривую l видом ( а беря произвольную пространственную кривую Если обозначить через l проекцию кривой на плоскость ( то эта задача Коши может быть сформулирована следующим образом: найти решение уравнения ( удовлетворяющее условию j( ( ( l 3 Линейные однородные уравнений первого порядка Уравнение с частными производными называются линейными если искомая функция ( и ее частные производные входят в уравнение линейно Таким образом линейное уравнение первого порядка имеет вид A( B( C( f ( (3 где A B C и f - заданные функции Если f ( 0 то уравнение называется однородным Отметим что основные свойства линейных уравнений с частными производными во многом аналогичны свойствам обыкновенных линейных дифференциальных уравнений Так например линейная комбинация решений однородного уравнения тоже является решением этого уравнения Общее решение неоднородного уравнения может быть представлено в виде некоторого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения Будем рассматривать сначала однородное линейное уравнение вида 3 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

4 A ( B( 0 (3 Этому уравнению поставим в соответствие систему обыкновенных дифференциальных уравнений d A( (33 d B( которую будем называть характеристической системой для уравнения (3 а всякое решение ( t ( t этой системы назовем характеристикой Функция j ( не сводящаяся тождественно к постоянной или равенство j ( C называется первым интегралом системы (33 если при подстановке в нее любого решения системы получается постоянная величина зависящая лишь от выбора решения Теорема 3 Пусть j ( C есть первый интеграл системы (33 Тогда функция j( удовлетворяет уравнению (3 Доказательство Подставим в первый интеграл системы (33 какое-либо решение ( t ( t этой системы Получим j ( ( t ( t C Возьмем производную по t от обеих частей этого равенства dj ( ( t ( t d d j j 0 Поскольку ( t ( t - решения характеристической системы (33 имеем j A( j B( 0 В силу того что последнее равенство выполнено для любого решения системы (33 оно справедливо для любых входящих в область определения Тем самым функция j удовлетворяет уравнению (3 Теорема доказана Можно доказать и обратное утверждение Теорема 3 Пусть функция j( удовлетворяет уравнению (3 Тогда j ( C есть первый интеграл системы (33 Доказательство Подставим в функцию j ( какое-нибудь решение системы (33 ( t ( t и возьмем полную производную по t dj( ( t ( t d d j j j A( j B( Поскольку j - решение уравнения (3 имеем d j( ( t ( t 0 Следовательно j ( ( t ( t C а это и означает что j ( C есть первый интеграл системы (33 Теорема доказана Доказанные две теоремы устанавливают эквивалентность понятий первого интеграла системы (33 и решения уравнения (3 Если j ( C - первый интеграл системы (33 то произвольная функция F (j является также первым интегралом этой системы Следовательно по теореме 3 F (j удовлетворяет уравнению (3 при произвольной достаточно гладкой функции F PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 4

5 Можно показать что при выполнении некоторых условий всякое решение уравнения (3 может быть представлено в виде F(j Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти общее решение уравнения (3 надо составить характеристическую систему (33 и найти первый интеграл этой системы Общее решение уравнения (3 будет F(j где F - произвольная функция Пример 3 Рассмотрим уравнение 0 (34 Характеристическая система для этого уравнения: d (35 d Решение этой системы (характеристики имеет вид t C e C e Первым интегралом системы (35 является функция уравнения (34 будет ( F Ł ł те произвольная однородная функция переменных t j ( Следовательно общее решение Для нахождения первого интеграла характеристической системы (33 можно исключить переменную t и получить обыкновенное дифференциальное уравнение d B( (36 d A( Если ( C - общее решение этого уравнения то выразим произвольную постоянную C через и получим первый интеграл системы (33 j ( C Аналогично поступим если будет найден общий интеграл уравнения (36 F ( C 0 Пример 3 Рассмотрим уравнение 0 (37 - Характеристическая система будет иметь вид d d - Исключим переменную t из этой системы d - d Разделяя переменные получим (38 d -d Проинтегрировав это уравнение находим его общий интеграл C PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 5

6 Это соотношение одновременно является первым интегралом для системы (38 Заметим что характеристиками в данном случае будут являться окружности с центром в начале координат Итак общее решение уравнения (37 имеет вид ( F( (39 4 Квазилинейные уравнения первого порядка Квазилинейным уравнением первого порядка называется уравнение вида A( B( C( (4 Заметим что линейное уравнение (3 является частным случаем квазилинейного уравнения в которое функция может входить и нелинейно Будем искать решение уравнения (4 в виде неявной функции j ( C где C произвольная постоянная Согласно правилу дифференцирования неявной функции имеем j j - - j j Подставляя эти выражения в (4 получим для j уравнение A( j B( j C( j 0 (4 Это уравнение отличается от уравнения (3 лишь тем что коэффициенты и искомая функция j входящие в него зависят от трёх переменных Поэтому уравнение (4 решается аналогично уравнению (3 Для этого рассматривается характеристическая система состоящая уже из трёх уравнений d A( d B( (43 d C( Если j ( C; j ( C (44 - два независимых (под независимостью понимается разрешимость относительно каких-либо двух из переменных равенства (44 интеграла системы (43 то общее решение уравнения (4 а значит и решение исходного уравнения (4 в виде неявной функции будет иметь вид j F ( j j (45 где F - произвольная функция своих аргументов 5 Геометрическая интерпретация задача Коши Пусть в пространстве с координатами ( задано поле направлений ( A ( B( C( те в каждой точке пространства мы имеем направление у которого направляющие косинусы пропорциональны A B C Это поле направлений определяет семейство линий таких что любая линия семейства имеет в каждой своей точке касательную совпадающую с направлением поля в этой точке Это семейство линий получается в результате интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 6

7 d d d A( B( C( которая если обозначить через общую величину написанных трех отношений переходит в систему (43 Если имеется некоторая поверхность ( то величины и - пропорциональны направляющим косинусам нормали к этой поверхности Таким образом уравнение (4 выражает условие перпендикулярности нормали и поверхности ( с направлением поля те уравнение (4 сводится к требованию чтобы в каждой точке искомой поверхности ( направление определяемое полем ( A B C находилось в касательной плоскости к поверхности Пусть некоторая поверхность ( состоит из характеристик системы (43 Тогда в каждой точке этой поверхности касательная к характеристике проходящей через эту точку лежит в касательной плоскости к поверхности и следовательно эта поверхность удовлетворяет уравнению (4 те является интегральной поверхностью этого уравнения Можно показать что верно и обратное: если некоторая гладкая поверхность (предполагается существование и непрерывность производных удовлетворяет уравнению (4 то ее можно полностью заполнить характеристиками Из (45 следует что общее уравнение интегральных поверхностей для уравнения (4 будет иметь вид: F ( j j 0 (5 (постоянную C можно не писать в силу произвольности F Если выбрать некоторую функцию F а поверхность (5 будет геометрическим местом тех характеристик системы (43 у которых значения постоянных в равенствах (44 связаны соотношением: F ( C C 0 (5 Решение уравнения (4 становится вообще говоря однозначно определенным если потребовать чтобы искомая поверхность проходила через заданную в пространстве кривую l те если решать задачу Коши Искомая поверхность будет образованна теми характеристиками которые выходят из точек кривой l Исключительным является тот случай когда сама кривая l является характеристикой В этом случае через линию l проходит вообще говоря бесчисленное множество поверхностей Пример 5 Рассмотрим уравнение -( (53 Соответствующая характеристическая система будет такова: d d d -( Из первых двух уравнений имеем d d Отсюда ln ln C что равносильно соотношению C (55 Чтобы найти второй интеграл системы (54 разделим последнее ее уравнение на второе: d - d 7 (54 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

8 Пользуясь равенством (55 получаем d - d C C Отсюда d -( C d Интегрируя это равенство имеем ( C C Подставив C из (55 получим второй интеграл C (56 Уравнения (55 определяют плоскости проходящие через ось O а уравнения (56 сферы с центром в начале координат Тем самым характеристики системы (54 это семейство окружностей лежащих в указанных плоскостях и имеющих центр в начале координат Общее решение уравнения (53 будет F 0 (57 Ł ł где F производная функция двух аргументов Пример 5 Решим задачу Коши для уравнения (53 Среди интегральных поверхностей этого уравнения найдем ту которая проходит через прямую (58 Исключим и из уравнений (55 (56 и (58 Уравнения (55 и (58 дают C C Подставляя в уравнение (56 получаем C - C 0 Таким образом F( C C C - C Отсюда искомая интегральная поверхность имеет вид - ( Ł ł 0 Пример 53 Будем искать интегральную поверхность для уравнения (37 проходящую через окружность в плоскости ( Из общего решения (39 видно что таковой будет любая поверхность F( - F( Например параболоид - или конус - наконец просто плоскость Неоднозначность решения связана здесь с тем что заданная кривая через которую должна проходить интегральная поверхность является характеристикой Глава ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 6 Классификация линейных уравнений второго порядка Будем рассматривать уравнения с частными производными второго порядка линейные относительно старших производных те имеющие вид 8 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

9 F( 0 (6 где являются функциями и С помощью преобразования переменных j( ( допускающего обратное преобразование (для этого достаточно потребовать чтобы функциональный определитель j D j был отличен от нуля можно получить уравнение эквивалентное исходному Нас будет интересовать вопрос: как выбрать новые переменные и чтобы относительно них уравнение имело наиболее простой (канонический вид Перейдя к новым переменным будем иметь ( ( Аналогично получаем ( ( [( ( ] [( ( ] ( ( ( После подстановки полученных производных в (6 получим уравнение F ( 0 (64 где ( Заметим что если исходное уравнение линейно те F b ( b c f то F имеет вид F ( b b g d Таким образом уравнение в этом случае снова получается линейным Попытаемся выбрать переменную j( так чтобы коэффициент в уравнении (64 был равен нулю Для этого необходимо чтобы j( было решением уравнения 0 (66 Уравнение (66 можно записать в виде произведения ( - (- - ( - (- - - Таким образом решение уравнения (66 свелось к решению двух линейных однородных уравнений первого порядка ( (67 Из 3 следует что для решения уравнений (67 надо найти общий интеграл каждого из уравнений (65 (63 (6 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 9

10 d - (68 d На вид решений уравнений (68 существенно влияет знак подкоренного выражения - По знаку этого выражения определяется тип уравнения (6 Будем называть уравнение (6 в точке M гиперболического типа если - 0 > - < - эллиптического типа если 0 параболического типа если 0 Можно убедиться в справедливости равенства - ( - D из которого следует что тип уравнения не меняется при преобразовании переменных Следует отметить также что тип уравнения зависит от точки M и в разных точках может быть разным Пример 6 Рассмотрим уравнение 0 (69 здесь 0 и следовательно - - Тем самым при < 0 уравнение (69 гиперболического типа при 0 параболического типа а при > 0 эллиптического типа 7 Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме Уравнение d - dd d 0 (7 будем называть характеристическим для уравнения (6 а его интегралы характеристиками Уравнение (7 распадается на два уравнения (68 и играет основную роль в задаче приведения к каноническому виду уравнения (6 Затем что для уравнения гиперболического типа характеристики действительные и различные для уравнений эллиптического типа комплексные и различные а для уравнений параболического типа обе характеристики действительные и совпадают Разберем каждый из этих случаев в отдельности Для уравнений гиперболического типа - > 0 и правые части уравнений (68 действительные и различные Общие интегралы их j ( C и ( C определяют семейства характеристик Положим j( ( тогда коэффициенты и (65 обратятся в нуль и уравнение (64 после деления на коэффициент при приведется к виду Ф( F где Ф - Часто пользуется другой канонической формой Положим - b где и b - новые переменные Тогда Это так называемая каноническая форма уравнений гиперболического типа PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 0

11 ( b ( - b ( - bb и уравнение (7 примет вид Ф - bb где Ф 4Ф Для уравнений параболического типа - 0 и уравнение (68 дает один общий интеграл j ( C Положим в этом случае j( ( где ( - любая функция допускающая вместе с j ( обратное преобразование переменных Тогда 0 Ł ł 0 Ł łł ł тк После деления уравнения 64 на коэффициент при получим каноническую форму для уравнения параболического типа Ф F где Ф - ( 3 Для уравнения эллиптического типа - < 0 и правые части уравнения (68 комплексно сопряженные поэтому общие интегралы этих уравнений будут также комплексно сопряженными j ( C j ( C Чтобы не иметь дела с комплексными переменными и функциями введем новые уже вещественные переменные и b j j j - j b i те j ib j - ib Таким образом 0 j ( ib j j ( - ( i( b ( b b b Отсюда следует (см (65 что и 0 Уравнение (64 после деления на коэффициент при принимает вид Ф b F где Ф - j bb ( ib ( b Итак в зависимости от знака выражения - (те от типа уравнения получаем следующие канонические формы уравнения (6: ( b ib Гиперболический тип: Ф или - bb Ф Параболический тип: Ф 3 Эллиптический тип: Ф bb ( b b ib b PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

12 8 Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид b b c f ( 0 (8 Решая уравнение (68 получаем характеристики которые будут прямыми линиями l C l C где l и l корни уравнения (его удобно в данном случае тоже называть характеристическим l - l 0 (8 Теперь с помощью соответствующего преобразования переменных а именно: Если l и l вещественные и различные (гиперболический тип l l l - l - l - l или - ; Если l l l (параболический тип - l ; 3 Если l ib ( b 0 (эллиптический тип - b; уравнение (8 приводится к одному из следующих видов: Ф 0 или - Ф 0; Ф 0; 3 - Ф 0; здесь Ф b b c f Пример 8 Привести к каноническому виду уравнение 3 0 (83 Напишем характеристическое уравнение (8 l - 3l 0 Следовательно l l Уравнение - гиперболического типа поэтому делаем замену или - После замены переменных уравнение имеет вид 0 или 0 Заметим что решение уравнения 0 рассматривалось в примере 3 Тем самым мы можем - выписать общее решение уравнения (83 j ( ( j( - ( - Пример 8 Привести к каноническому виду уравнение 0 (84 Решая характеристическое уравнение l - l 0 получаем l l Следовательно уравнение (84 параболического типа Делаем замену - Имеем PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

13 ( ( ( - - ( ( ( ( ( - - Подставляя полученные выражения в уравнение (84 и приводя подобные члены будем иметь 0 Заметим что мы получили уравнение которое можно рассматривать и как обыкновенное дифференциальное уравнение зависящее от параметра ξ Решая его получаем - - C C ( e C ( - C ( - e ( Пример 83 Привести к каноническому виду уравнение 0 (85 - Для корней характеристического уравнения l l 0 имеем - i Уравнение эллиптического типа поэтому делаем замену l Подставляя выражения в уравнение (85 получаем 0 (86 Для линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами возможны дальнейшие упрощения канонической формы уравнений Введем для этого вместо новую функцию J : l m e J где l и m - некоторые постоянные Тогда e e e e e l m l m l m l m l m ( J ( J ( J ( J ( J lj mj lj lj mj l J mj m J lmj Подставляем эти выражения например в уравнение b b c f и сокращая затем на e J l m 0 (87 получим m b J ( l b J ( lm b l b m C J f ( Выберем параметры l и m так чтобы коэффициенты при первых производных обратились в нуль ( l -b m -b В результате получим gj f 0 J -( l m где g lm b l b m c c - b b f fe PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 0

14 Аналогично упрощения проводятся и для других канонических форм Окончательно приходим к следующим каноническим формам для уравнений с постоянными коэффициентами: Гиперболический тип J gj f 0 или J -J - gj f 0 Параболический тип J b f 0 3 Эллиптический тип J J J gj f 0 Пример 84 Упростим уравнение (86 полученное в примере 83 Подставляя выражения для производных (87 и сокращая на e будем иметь l m J J ( l J (m J ( l m - l m J 0 Выберем l - m - Тогда уравнение будет иметь вид 5 J J - J 0 4 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 4

15 СОДЕРЖАНИЕ Введение Глава УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Общие понятия Задача Коши 3 Линейные однородные уравнения 4 Квазилинейные уравнения первого порядка 5 Геометрическая интерпретация Задачи Коши Глава ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 6 Классификация линейных уравнений второго порядка 7 Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме 8 Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 5