Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка
|
|
- Тимофей Готовцев
- 4 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Методическое пособие по курсу «Уравнения с частными производными» Москва 00 г PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom
2 ВВЕДЕНИЕ Это пособие относится к серии методических пособий посвященных изложению различных специальных разделов математики и предназначено для преподавателей и студентов МАТИ Пособие отличается от имеющихся учебников и других пособий большей доступностью изложения и учетом специфики технического ВУЗа оно может быть использовано преподавателями при подготовке к лекциям проведению занятий а студентами при самостоятельной работе и подготовке к экзаменам Данное методическое пособие посвящено изложению вопросов относящихся к курсу уравнений с частными производными (уравнений математической физики Рассматриваются основные понятия и определения связанные с уравнениями с частными производными и вопросы приведения к каноническому виду линейных уравнений второго порядка В последующих выпусках предполагается изложить вопросы относящиеся к аналитическим методам решения основных уравнений математической физики (гиперболических параболических и эллиптических и численным методам их решений Изложение ведется на уровне математической строгости достаточном для решения прикладных задач в удобном для усвоения материала будущими инженерами-технологами Иногда оказывается удобным не оговаривать подробно условия дифференцируемости накладываемые на используемые функции Обычно считается что функции имеют столько производных сколько это необходимо в рассматриваемом случае (в наиболее важных вопросах условия дифференцируемости все же явно указываются Кроме того все функции предполагаются заданными в их естественной области определения которая явно не всегда оговаривается Глава УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Общие понятия Пусть имеется функция независимых переменных производными называется соотношение связывающее переменные ее частные производные до некоторого порядка F 0 ( n ( n n Уравнением с частными n функцию и все Порядком уравнения называется порядок старшей производной входящей в это уравнение Функция называется решением уравнения ( если при подстановке ее в ( n это уравнение оно обращается в тождество при допустимых значениях аргументов Совокупность всех решений уравнения называется общим решением Рассмотрим некоторые примеры уравнений с частными производными для функции зависящей от двух переменных ( Пример Пусть дано уравнение 0 Это уравнение фактически означает что функция ( не зависит от Следовательно решениями являются например функции ( ( e sin Общее решение: ( C( где C произвольная функция одной переменной Пример Рассмотрим уравнение f ( Для нахождения решения этого уравнения проинтегрируем его по переменной d f ( d C ( При интегрировании по мы считаем постоянным и поэтому произвольная постоянная C в ( может зависеть от Тем самым общее решение имеет вид: PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom
3 ( f ( d C( Пример 3 Пусть дано уравнение 0 Из примера следует что C( Решая это уравнение аналогично тому как решалось уравнение в примере будем иметь ( C( d C( Обозначим C ( C( d Тогда общее решения примет вид ( C ( C ( Заметим что в отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения зависящего от произвольных постоянных общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольных функций Задача Коши Будем рассматривать случай когда искомая функция зависит от двух переменных Тогда уравнение первого порядка будет иметь вид F 0 ( ( Всякое решение уравнения ( ( будем называть интегральной поверхностью (график решения поверхность в пространстве с координатами Для того чтобы из совокупности всех решений уравнений ( выделить некоторое частное решение формулируется задача Коши: найти решение уравнения ( удовлетворяющее условию ( j ( 0 где j ( - некоторая заданная функция Обозначим через l кривую в пространстве задаваемую уравнениями 0 j( ( Тогда задача Коши имеет следующий геометрический смысл: среди всех интегральных поверхностей найти ту которая проходит через заданную кривую l Можно поставить более общую задачу Коши не ограничивая кривую l видом ( а беря произвольную пространственную кривую Если обозначить через l проекцию кривой на плоскость ( то эта задача Коши может быть сформулирована следующим образом: найти решение уравнения ( удовлетворяющее условию j( ( ( l 3 Линейные однородные уравнений первого порядка Уравнение с частными производными называются линейными если искомая функция ( и ее частные производные входят в уравнение линейно Таким образом линейное уравнение первого порядка имеет вид A( B( C( f ( (3 где A B C и f - заданные функции Если f ( 0 то уравнение называется однородным Отметим что основные свойства линейных уравнений с частными производными во многом аналогичны свойствам обыкновенных линейных дифференциальных уравнений Так например линейная комбинация решений однородного уравнения тоже является решением этого уравнения Общее решение неоднородного уравнения может быть представлено в виде некоторого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения Будем рассматривать сначала однородное линейное уравнение вида 3 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom
4 A ( B( 0 (3 Этому уравнению поставим в соответствие систему обыкновенных дифференциальных уравнений d A( (33 d B( которую будем называть характеристической системой для уравнения (3 а всякое решение ( t ( t этой системы назовем характеристикой Функция j ( не сводящаяся тождественно к постоянной или равенство j ( C называется первым интегралом системы (33 если при подстановке в нее любого решения системы получается постоянная величина зависящая лишь от выбора решения Теорема 3 Пусть j ( C есть первый интеграл системы (33 Тогда функция j( удовлетворяет уравнению (3 Доказательство Подставим в первый интеграл системы (33 какое-либо решение ( t ( t этой системы Получим j ( ( t ( t C Возьмем производную по t от обеих частей этого равенства dj ( ( t ( t d d j j 0 Поскольку ( t ( t - решения характеристической системы (33 имеем j A( j B( 0 В силу того что последнее равенство выполнено для любого решения системы (33 оно справедливо для любых входящих в область определения Тем самым функция j удовлетворяет уравнению (3 Теорема доказана Можно доказать и обратное утверждение Теорема 3 Пусть функция j( удовлетворяет уравнению (3 Тогда j ( C есть первый интеграл системы (33 Доказательство Подставим в функцию j ( какое-нибудь решение системы (33 ( t ( t и возьмем полную производную по t dj( ( t ( t d d j j j A( j B( Поскольку j - решение уравнения (3 имеем d j( ( t ( t 0 Следовательно j ( ( t ( t C а это и означает что j ( C есть первый интеграл системы (33 Теорема доказана Доказанные две теоремы устанавливают эквивалентность понятий первого интеграла системы (33 и решения уравнения (3 Если j ( C - первый интеграл системы (33 то произвольная функция F (j является также первым интегралом этой системы Следовательно по теореме 3 F (j удовлетворяет уравнению (3 при произвольной достаточно гладкой функции F PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 4
5 Можно показать что при выполнении некоторых условий всякое решение уравнения (3 может быть представлено в виде F(j Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти общее решение уравнения (3 надо составить характеристическую систему (33 и найти первый интеграл этой системы Общее решение уравнения (3 будет F(j где F - произвольная функция Пример 3 Рассмотрим уравнение 0 (34 Характеристическая система для этого уравнения: d (35 d Решение этой системы (характеристики имеет вид t C e C e Первым интегралом системы (35 является функция уравнения (34 будет ( F Ł ł те произвольная однородная функция переменных t j ( Следовательно общее решение Для нахождения первого интеграла характеристической системы (33 можно исключить переменную t и получить обыкновенное дифференциальное уравнение d B( (36 d A( Если ( C - общее решение этого уравнения то выразим произвольную постоянную C через и получим первый интеграл системы (33 j ( C Аналогично поступим если будет найден общий интеграл уравнения (36 F ( C 0 Пример 3 Рассмотрим уравнение 0 (37 - Характеристическая система будет иметь вид d d - Исключим переменную t из этой системы d - d Разделяя переменные получим (38 d -d Проинтегрировав это уравнение находим его общий интеграл C PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 5
6 Это соотношение одновременно является первым интегралом для системы (38 Заметим что характеристиками в данном случае будут являться окружности с центром в начале координат Итак общее решение уравнения (37 имеет вид ( F( (39 4 Квазилинейные уравнения первого порядка Квазилинейным уравнением первого порядка называется уравнение вида A( B( C( (4 Заметим что линейное уравнение (3 является частным случаем квазилинейного уравнения в которое функция может входить и нелинейно Будем искать решение уравнения (4 в виде неявной функции j ( C где C произвольная постоянная Согласно правилу дифференцирования неявной функции имеем j j - - j j Подставляя эти выражения в (4 получим для j уравнение A( j B( j C( j 0 (4 Это уравнение отличается от уравнения (3 лишь тем что коэффициенты и искомая функция j входящие в него зависят от трёх переменных Поэтому уравнение (4 решается аналогично уравнению (3 Для этого рассматривается характеристическая система состоящая уже из трёх уравнений d A( d B( (43 d C( Если j ( C; j ( C (44 - два независимых (под независимостью понимается разрешимость относительно каких-либо двух из переменных равенства (44 интеграла системы (43 то общее решение уравнения (4 а значит и решение исходного уравнения (4 в виде неявной функции будет иметь вид j F ( j j (45 где F - произвольная функция своих аргументов 5 Геометрическая интерпретация задача Коши Пусть в пространстве с координатами ( задано поле направлений ( A ( B( C( те в каждой точке пространства мы имеем направление у которого направляющие косинусы пропорциональны A B C Это поле направлений определяет семейство линий таких что любая линия семейства имеет в каждой своей точке касательную совпадающую с направлением поля в этой точке Это семейство линий получается в результате интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 6
7 d d d A( B( C( которая если обозначить через общую величину написанных трех отношений переходит в систему (43 Если имеется некоторая поверхность ( то величины и - пропорциональны направляющим косинусам нормали к этой поверхности Таким образом уравнение (4 выражает условие перпендикулярности нормали и поверхности ( с направлением поля те уравнение (4 сводится к требованию чтобы в каждой точке искомой поверхности ( направление определяемое полем ( A B C находилось в касательной плоскости к поверхности Пусть некоторая поверхность ( состоит из характеристик системы (43 Тогда в каждой точке этой поверхности касательная к характеристике проходящей через эту точку лежит в касательной плоскости к поверхности и следовательно эта поверхность удовлетворяет уравнению (4 те является интегральной поверхностью этого уравнения Можно показать что верно и обратное: если некоторая гладкая поверхность (предполагается существование и непрерывность производных удовлетворяет уравнению (4 то ее можно полностью заполнить характеристиками Из (45 следует что общее уравнение интегральных поверхностей для уравнения (4 будет иметь вид: F ( j j 0 (5 (постоянную C можно не писать в силу произвольности F Если выбрать некоторую функцию F а поверхность (5 будет геометрическим местом тех характеристик системы (43 у которых значения постоянных в равенствах (44 связаны соотношением: F ( C C 0 (5 Решение уравнения (4 становится вообще говоря однозначно определенным если потребовать чтобы искомая поверхность проходила через заданную в пространстве кривую l те если решать задачу Коши Искомая поверхность будет образованна теми характеристиками которые выходят из точек кривой l Исключительным является тот случай когда сама кривая l является характеристикой В этом случае через линию l проходит вообще говоря бесчисленное множество поверхностей Пример 5 Рассмотрим уравнение -( (53 Соответствующая характеристическая система будет такова: d d d -( Из первых двух уравнений имеем d d Отсюда ln ln C что равносильно соотношению C (55 Чтобы найти второй интеграл системы (54 разделим последнее ее уравнение на второе: d - d 7 (54 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom
8 Пользуясь равенством (55 получаем d - d C C Отсюда d -( C d Интегрируя это равенство имеем ( C C Подставив C из (55 получим второй интеграл C (56 Уравнения (55 определяют плоскости проходящие через ось O а уравнения (56 сферы с центром в начале координат Тем самым характеристики системы (54 это семейство окружностей лежащих в указанных плоскостях и имеющих центр в начале координат Общее решение уравнения (53 будет F 0 (57 Ł ł где F производная функция двух аргументов Пример 5 Решим задачу Коши для уравнения (53 Среди интегральных поверхностей этого уравнения найдем ту которая проходит через прямую (58 Исключим и из уравнений (55 (56 и (58 Уравнения (55 и (58 дают C C Подставляя в уравнение (56 получаем C - C 0 Таким образом F( C C C - C Отсюда искомая интегральная поверхность имеет вид - ( Ł ł 0 Пример 53 Будем искать интегральную поверхность для уравнения (37 проходящую через окружность в плоскости ( Из общего решения (39 видно что таковой будет любая поверхность F( - F( Например параболоид - или конус - наконец просто плоскость Неоднозначность решения связана здесь с тем что заданная кривая через которую должна проходить интегральная поверхность является характеристикой Глава ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 6 Классификация линейных уравнений второго порядка Будем рассматривать уравнения с частными производными второго порядка линейные относительно старших производных те имеющие вид 8 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom
9 F( 0 (6 где являются функциями и С помощью преобразования переменных j( ( допускающего обратное преобразование (для этого достаточно потребовать чтобы функциональный определитель j D j был отличен от нуля можно получить уравнение эквивалентное исходному Нас будет интересовать вопрос: как выбрать новые переменные и чтобы относительно них уравнение имело наиболее простой (канонический вид Перейдя к новым переменным будем иметь ( ( Аналогично получаем ( ( [( ( ] [( ( ] ( ( ( После подстановки полученных производных в (6 получим уравнение F ( 0 (64 где ( Заметим что если исходное уравнение линейно те F b ( b c f то F имеет вид F ( b b g d Таким образом уравнение в этом случае снова получается линейным Попытаемся выбрать переменную j( так чтобы коэффициент в уравнении (64 был равен нулю Для этого необходимо чтобы j( было решением уравнения 0 (66 Уравнение (66 можно записать в виде произведения ( - (- - ( - (- - - Таким образом решение уравнения (66 свелось к решению двух линейных однородных уравнений первого порядка ( (67 Из 3 следует что для решения уравнений (67 надо найти общий интеграл каждого из уравнений (65 (63 (6 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 9
10 d - (68 d На вид решений уравнений (68 существенно влияет знак подкоренного выражения - По знаку этого выражения определяется тип уравнения (6 Будем называть уравнение (6 в точке M гиперболического типа если - 0 > - < - эллиптического типа если 0 параболического типа если 0 Можно убедиться в справедливости равенства - ( - D из которого следует что тип уравнения не меняется при преобразовании переменных Следует отметить также что тип уравнения зависит от точки M и в разных точках может быть разным Пример 6 Рассмотрим уравнение 0 (69 здесь 0 и следовательно - - Тем самым при < 0 уравнение (69 гиперболического типа при 0 параболического типа а при > 0 эллиптического типа 7 Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме Уравнение d - dd d 0 (7 будем называть характеристическим для уравнения (6 а его интегралы характеристиками Уравнение (7 распадается на два уравнения (68 и играет основную роль в задаче приведения к каноническому виду уравнения (6 Затем что для уравнения гиперболического типа характеристики действительные и различные для уравнений эллиптического типа комплексные и различные а для уравнений параболического типа обе характеристики действительные и совпадают Разберем каждый из этих случаев в отдельности Для уравнений гиперболического типа - > 0 и правые части уравнений (68 действительные и различные Общие интегралы их j ( C и ( C определяют семейства характеристик Положим j( ( тогда коэффициенты и (65 обратятся в нуль и уравнение (64 после деления на коэффициент при приведется к виду Ф( F где Ф - Часто пользуется другой канонической формой Положим - b где и b - новые переменные Тогда Это так называемая каноническая форма уравнений гиперболического типа PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 0
11 ( b ( - b ( - bb и уравнение (7 примет вид Ф - bb где Ф 4Ф Для уравнений параболического типа - 0 и уравнение (68 дает один общий интеграл j ( C Положим в этом случае j( ( где ( - любая функция допускающая вместе с j ( обратное преобразование переменных Тогда 0 Ł ł 0 Ł łł ł тк После деления уравнения 64 на коэффициент при получим каноническую форму для уравнения параболического типа Ф F где Ф - ( 3 Для уравнения эллиптического типа - < 0 и правые части уравнения (68 комплексно сопряженные поэтому общие интегралы этих уравнений будут также комплексно сопряженными j ( C j ( C Чтобы не иметь дела с комплексными переменными и функциями введем новые уже вещественные переменные и b j j j - j b i те j ib j - ib Таким образом 0 j ( ib j j ( - ( i( b ( b b b Отсюда следует (см (65 что и 0 Уравнение (64 после деления на коэффициент при принимает вид Ф b F где Ф - j bb ( ib ( b Итак в зависимости от знака выражения - (те от типа уравнения получаем следующие канонические формы уравнения (6: ( b ib Гиперболический тип: Ф или - bb Ф Параболический тип: Ф 3 Эллиптический тип: Ф bb ( b b ib b PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom
12 8 Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид b b c f ( 0 (8 Решая уравнение (68 получаем характеристики которые будут прямыми линиями l C l C где l и l корни уравнения (его удобно в данном случае тоже называть характеристическим l - l 0 (8 Теперь с помощью соответствующего преобразования переменных а именно: Если l и l вещественные и различные (гиперболический тип l l l - l - l - l или - ; Если l l l (параболический тип - l ; 3 Если l ib ( b 0 (эллиптический тип - b; уравнение (8 приводится к одному из следующих видов: Ф 0 или - Ф 0; Ф 0; 3 - Ф 0; здесь Ф b b c f Пример 8 Привести к каноническому виду уравнение 3 0 (83 Напишем характеристическое уравнение (8 l - 3l 0 Следовательно l l Уравнение - гиперболического типа поэтому делаем замену или - После замены переменных уравнение имеет вид 0 или 0 Заметим что решение уравнения 0 рассматривалось в примере 3 Тем самым мы можем - выписать общее решение уравнения (83 j ( ( j( - ( - Пример 8 Привести к каноническому виду уравнение 0 (84 Решая характеристическое уравнение l - l 0 получаем l l Следовательно уравнение (84 параболического типа Делаем замену - Имеем PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom
13 ( ( ( - - ( ( ( ( ( - - Подставляя полученные выражения в уравнение (84 и приводя подобные члены будем иметь 0 Заметим что мы получили уравнение которое можно рассматривать и как обыкновенное дифференциальное уравнение зависящее от параметра ξ Решая его получаем - - C C ( e C ( - C ( - e ( Пример 83 Привести к каноническому виду уравнение 0 (85 - Для корней характеристического уравнения l l 0 имеем - i Уравнение эллиптического типа поэтому делаем замену l Подставляя выражения в уравнение (85 получаем 0 (86 Для линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами возможны дальнейшие упрощения канонической формы уравнений Введем для этого вместо новую функцию J : l m e J где l и m - некоторые постоянные Тогда e e e e e l m l m l m l m l m ( J ( J ( J ( J ( J lj mj lj lj mj l J mj m J lmj Подставляем эти выражения например в уравнение b b c f и сокращая затем на e J l m 0 (87 получим m b J ( l b J ( lm b l b m C J f ( Выберем параметры l и m так чтобы коэффициенты при первых производных обратились в нуль ( l -b m -b В результате получим gj f 0 J -( l m где g lm b l b m c c - b b f fe PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 0
14 Аналогично упрощения проводятся и для других канонических форм Окончательно приходим к следующим каноническим формам для уравнений с постоянными коэффициентами: Гиперболический тип J gj f 0 или J -J - gj f 0 Параболический тип J b f 0 3 Эллиптический тип J J J gj f 0 Пример 84 Упростим уравнение (86 полученное в примере 83 Подставляя выражения для производных (87 и сокращая на e будем иметь l m J J ( l J (m J ( l m - l m J 0 Выберем l - m - Тогда уравнение будет иметь вид 5 J J - J 0 4 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 4
15 СОДЕРЖАНИЕ Введение Глава УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Общие понятия Задача Коши 3 Линейные однородные уравнения 4 Квазилинейные уравнения первого порядка 5 Геометрическая интерпретация Задачи Коши Глава ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 6 Классификация линейных уравнений второго порядка 7 Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме 8 Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 5
2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )
Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений
Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например
Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (
Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности
Первые интегралы систем ОДУ
Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1
22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка
Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых
Системы дифференциальных уравнений
Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В
, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)
II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются
Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0
. Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом
1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.
ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.
Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.
Федеральное агентство по образованию
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского
Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка
Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения
3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами
ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения
В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина
Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики экономики и информатики Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений ЕАГоловко ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ
Уравнения в частных производных первого порядка
Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных
Уравнения в частных производных
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный
В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина
Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов
Гл. 11. Дифференциальные уравнения.
Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17
кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные
10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую
удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.
Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия
. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим
z удовлетворяют уравнению F ( x,
Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики
Дифференциальные уравнения
Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие
Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести
Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2
Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или
Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то
2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого
4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.
4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов
ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения
ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22
кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения
Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих
ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
Решение типовых задач к разделу «Матрицы»
Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить
Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»
типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.
1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных
Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной
Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:
Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî
Основы теории специальных функций
Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического
ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая
Уравнения математической физики. Ю. Л. Калиновский
Уравнения математической физики Ю. Л. Калиновский Классификация дифференциальных уравнений 1 Лекция 1.1 Классификация дифференциальных уравнений Большое число различных физических задач приводит к дифференциальным
Лекция Дифференцирование сложной функции
Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема
Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8
Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Министерство образования и науки Российской Федерации Псковский государственный университет А. А. Хватцев, И. А. Строчков ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Учебное пособие Псков Псковский
Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)
Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» М С БЕЛОКУРСКИЙ, А В ГЕРМАН УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Приведение
Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)
1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.
Дифференциальные уравнения Т С
Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,
I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных
V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы
V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений
Пусть на проективной плоскости дана кривая второго порядка уравнением. невырожденного линейного преобразования над : (2)
Лекция 7 Тема: Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости Теоремы Штейнера План лекции 1 Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости 2 Прямая теорема Штейнера Следствие
1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»
Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение
, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x
Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S
Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)
44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f
называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е
Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать
x - заданные непрерывные функции от х (или
ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:
Теоретические вопросы
V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и
Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.
Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )
14. Задача Штурма-Лиувилля.
Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического
7. Теорема Гильберта-Шмидта.
Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16
кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая
0, 2. Уравнения 1-порядка (повторение) Заметим, что x y. Преобразуем заданное уравнение следующим
[Ф] Филиппов А.В. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». URL: htt://elibrar.bsu.az/kitablar/846.df [М] Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений
. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)
Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным
Глава 4. Системы линейных уравнений
Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица
Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ
5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода
5 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к
21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы
Электронная библиотека
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям
Теория поверхностей в дифференциальной геометрии
Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,
ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных
А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,
Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета
Дифференциальные уравнения
~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое
DIRECTION FIELDS AND THEIR CORRESPONDING TRAJECTORIES. å. à. Çàòàä M. I. VISHIK. This paper is an introduction
ÇË ËÍ å.à., 1996 DIRECTION FIELDS AND THEIR CORRESONDING TRAJECTORIES M. I. VISHIK This paper is an introduction to the theory of the first order ordinary differential equations on a plane. The following
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 1.1. Основные определения Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию y (
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных
Уравнения в полных дифференциалах
[Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по