Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка"

Транскрипт

1 Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Методическое пособие по курсу «Уравнения с частными производными» Москва 00 г PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

2 ВВЕДЕНИЕ Это пособие относится к серии методических пособий посвященных изложению различных специальных разделов математики и предназначено для преподавателей и студентов МАТИ Пособие отличается от имеющихся учебников и других пособий большей доступностью изложения и учетом специфики технического ВУЗа оно может быть использовано преподавателями при подготовке к лекциям проведению занятий а студентами при самостоятельной работе и подготовке к экзаменам Данное методическое пособие посвящено изложению вопросов относящихся к курсу уравнений с частными производными (уравнений математической физики Рассматриваются основные понятия и определения связанные с уравнениями с частными производными и вопросы приведения к каноническому виду линейных уравнений второго порядка В последующих выпусках предполагается изложить вопросы относящиеся к аналитическим методам решения основных уравнений математической физики (гиперболических параболических и эллиптических и численным методам их решений Изложение ведется на уровне математической строгости достаточном для решения прикладных задач в удобном для усвоения материала будущими инженерами-технологами Иногда оказывается удобным не оговаривать подробно условия дифференцируемости накладываемые на используемые функции Обычно считается что функции имеют столько производных сколько это необходимо в рассматриваемом случае (в наиболее важных вопросах условия дифференцируемости все же явно указываются Кроме того все функции предполагаются заданными в их естественной области определения которая явно не всегда оговаривается Глава УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Общие понятия Пусть имеется функция независимых переменных производными называется соотношение связывающее переменные ее частные производные до некоторого порядка F 0 ( n ( n n Уравнением с частными n функцию и все Порядком уравнения называется порядок старшей производной входящей в это уравнение Функция называется решением уравнения ( если при подстановке ее в ( n это уравнение оно обращается в тождество при допустимых значениях аргументов Совокупность всех решений уравнения называется общим решением Рассмотрим некоторые примеры уравнений с частными производными для функции зависящей от двух переменных ( Пример Пусть дано уравнение 0 Это уравнение фактически означает что функция ( не зависит от Следовательно решениями являются например функции ( ( e sin Общее решение: ( C( где C произвольная функция одной переменной Пример Рассмотрим уравнение f ( Для нахождения решения этого уравнения проинтегрируем его по переменной d f ( d C ( При интегрировании по мы считаем постоянным и поэтому произвольная постоянная C в ( может зависеть от Тем самым общее решение имеет вид: PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

3 ( f ( d C( Пример 3 Пусть дано уравнение 0 Из примера следует что C( Решая это уравнение аналогично тому как решалось уравнение в примере будем иметь ( C( d C( Обозначим C ( C( d Тогда общее решения примет вид ( C ( C ( Заметим что в отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения зависящего от произвольных постоянных общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольных функций Задача Коши Будем рассматривать случай когда искомая функция зависит от двух переменных Тогда уравнение первого порядка будет иметь вид F 0 ( ( Всякое решение уравнения ( ( будем называть интегральной поверхностью (график решения поверхность в пространстве с координатами Для того чтобы из совокупности всех решений уравнений ( выделить некоторое частное решение формулируется задача Коши: найти решение уравнения ( удовлетворяющее условию ( j ( 0 где j ( - некоторая заданная функция Обозначим через l кривую в пространстве задаваемую уравнениями 0 j( ( Тогда задача Коши имеет следующий геометрический смысл: среди всех интегральных поверхностей найти ту которая проходит через заданную кривую l Можно поставить более общую задачу Коши не ограничивая кривую l видом ( а беря произвольную пространственную кривую Если обозначить через l проекцию кривой на плоскость ( то эта задача Коши может быть сформулирована следующим образом: найти решение уравнения ( удовлетворяющее условию j( ( ( l 3 Линейные однородные уравнений первого порядка Уравнение с частными производными называются линейными если искомая функция ( и ее частные производные входят в уравнение линейно Таким образом линейное уравнение первого порядка имеет вид A( B( C( f ( (3 где A B C и f - заданные функции Если f ( 0 то уравнение называется однородным Отметим что основные свойства линейных уравнений с частными производными во многом аналогичны свойствам обыкновенных линейных дифференциальных уравнений Так например линейная комбинация решений однородного уравнения тоже является решением этого уравнения Общее решение неоднородного уравнения может быть представлено в виде некоторого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения Будем рассматривать сначала однородное линейное уравнение вида 3 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 A ( B( 0 (3 Этому уравнению поставим в соответствие систему обыкновенных дифференциальных уравнений d A( (33 d B( которую будем называть характеристической системой для уравнения (3 а всякое решение ( t ( t этой системы назовем характеристикой Функция j ( не сводящаяся тождественно к постоянной или равенство j ( C называется первым интегралом системы (33 если при подстановке в нее любого решения системы получается постоянная величина зависящая лишь от выбора решения Теорема 3 Пусть j ( C есть первый интеграл системы (33 Тогда функция j( удовлетворяет уравнению (3 Доказательство Подставим в первый интеграл системы (33 какое-либо решение ( t ( t этой системы Получим j ( ( t ( t C Возьмем производную по t от обеих частей этого равенства dj ( ( t ( t d d j j 0 Поскольку ( t ( t - решения характеристической системы (33 имеем j A( j B( 0 В силу того что последнее равенство выполнено для любого решения системы (33 оно справедливо для любых входящих в область определения Тем самым функция j удовлетворяет уравнению (3 Теорема доказана Можно доказать и обратное утверждение Теорема 3 Пусть функция j( удовлетворяет уравнению (3 Тогда j ( C есть первый интеграл системы (33 Доказательство Подставим в функцию j ( какое-нибудь решение системы (33 ( t ( t и возьмем полную производную по t dj( ( t ( t d d j j j A( j B( Поскольку j - решение уравнения (3 имеем d j( ( t ( t 0 Следовательно j ( ( t ( t C а это и означает что j ( C есть первый интеграл системы (33 Теорема доказана Доказанные две теоремы устанавливают эквивалентность понятий первого интеграла системы (33 и решения уравнения (3 Если j ( C - первый интеграл системы (33 то произвольная функция F (j является также первым интегралом этой системы Следовательно по теореме 3 F (j удовлетворяет уравнению (3 при произвольной достаточно гладкой функции F PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 4

5 Можно показать что при выполнении некоторых условий всякое решение уравнения (3 может быть представлено в виде F(j Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти общее решение уравнения (3 надо составить характеристическую систему (33 и найти первый интеграл этой системы Общее решение уравнения (3 будет F(j где F - произвольная функция Пример 3 Рассмотрим уравнение 0 (34 Характеристическая система для этого уравнения: d (35 d Решение этой системы (характеристики имеет вид t C e C e Первым интегралом системы (35 является функция уравнения (34 будет ( F Ł ł те произвольная однородная функция переменных t j ( Следовательно общее решение Для нахождения первого интеграла характеристической системы (33 можно исключить переменную t и получить обыкновенное дифференциальное уравнение d B( (36 d A( Если ( C - общее решение этого уравнения то выразим произвольную постоянную C через и получим первый интеграл системы (33 j ( C Аналогично поступим если будет найден общий интеграл уравнения (36 F ( C 0 Пример 3 Рассмотрим уравнение 0 (37 - Характеристическая система будет иметь вид d d - Исключим переменную t из этой системы d - d Разделяя переменные получим (38 d -d Проинтегрировав это уравнение находим его общий интеграл C PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 5

6 Это соотношение одновременно является первым интегралом для системы (38 Заметим что характеристиками в данном случае будут являться окружности с центром в начале координат Итак общее решение уравнения (37 имеет вид ( F( (39 4 Квазилинейные уравнения первого порядка Квазилинейным уравнением первого порядка называется уравнение вида A( B( C( (4 Заметим что линейное уравнение (3 является частным случаем квазилинейного уравнения в которое функция может входить и нелинейно Будем искать решение уравнения (4 в виде неявной функции j ( C где C произвольная постоянная Согласно правилу дифференцирования неявной функции имеем j j - - j j Подставляя эти выражения в (4 получим для j уравнение A( j B( j C( j 0 (4 Это уравнение отличается от уравнения (3 лишь тем что коэффициенты и искомая функция j входящие в него зависят от трёх переменных Поэтому уравнение (4 решается аналогично уравнению (3 Для этого рассматривается характеристическая система состоящая уже из трёх уравнений d A( d B( (43 d C( Если j ( C; j ( C (44 - два независимых (под независимостью понимается разрешимость относительно каких-либо двух из переменных равенства (44 интеграла системы (43 то общее решение уравнения (4 а значит и решение исходного уравнения (4 в виде неявной функции будет иметь вид j F ( j j (45 где F - произвольная функция своих аргументов 5 Геометрическая интерпретация задача Коши Пусть в пространстве с координатами ( задано поле направлений ( A ( B( C( те в каждой точке пространства мы имеем направление у которого направляющие косинусы пропорциональны A B C Это поле направлений определяет семейство линий таких что любая линия семейства имеет в каждой своей точке касательную совпадающую с направлением поля в этой точке Это семейство линий получается в результате интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 6

7 d d d A( B( C( которая если обозначить через общую величину написанных трех отношений переходит в систему (43 Если имеется некоторая поверхность ( то величины и - пропорциональны направляющим косинусам нормали к этой поверхности Таким образом уравнение (4 выражает условие перпендикулярности нормали и поверхности ( с направлением поля те уравнение (4 сводится к требованию чтобы в каждой точке искомой поверхности ( направление определяемое полем ( A B C находилось в касательной плоскости к поверхности Пусть некоторая поверхность ( состоит из характеристик системы (43 Тогда в каждой точке этой поверхности касательная к характеристике проходящей через эту точку лежит в касательной плоскости к поверхности и следовательно эта поверхность удовлетворяет уравнению (4 те является интегральной поверхностью этого уравнения Можно показать что верно и обратное: если некоторая гладкая поверхность (предполагается существование и непрерывность производных удовлетворяет уравнению (4 то ее можно полностью заполнить характеристиками Из (45 следует что общее уравнение интегральных поверхностей для уравнения (4 будет иметь вид: F ( j j 0 (5 (постоянную C можно не писать в силу произвольности F Если выбрать некоторую функцию F а поверхность (5 будет геометрическим местом тех характеристик системы (43 у которых значения постоянных в равенствах (44 связаны соотношением: F ( C C 0 (5 Решение уравнения (4 становится вообще говоря однозначно определенным если потребовать чтобы искомая поверхность проходила через заданную в пространстве кривую l те если решать задачу Коши Искомая поверхность будет образованна теми характеристиками которые выходят из точек кривой l Исключительным является тот случай когда сама кривая l является характеристикой В этом случае через линию l проходит вообще говоря бесчисленное множество поверхностей Пример 5 Рассмотрим уравнение -( (53 Соответствующая характеристическая система будет такова: d d d -( Из первых двух уравнений имеем d d Отсюда ln ln C что равносильно соотношению C (55 Чтобы найти второй интеграл системы (54 разделим последнее ее уравнение на второе: d - d 7 (54 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

8 Пользуясь равенством (55 получаем d - d C C Отсюда d -( C d Интегрируя это равенство имеем ( C C Подставив C из (55 получим второй интеграл C (56 Уравнения (55 определяют плоскости проходящие через ось O а уравнения (56 сферы с центром в начале координат Тем самым характеристики системы (54 это семейство окружностей лежащих в указанных плоскостях и имеющих центр в начале координат Общее решение уравнения (53 будет F 0 (57 Ł ł где F производная функция двух аргументов Пример 5 Решим задачу Коши для уравнения (53 Среди интегральных поверхностей этого уравнения найдем ту которая проходит через прямую (58 Исключим и из уравнений (55 (56 и (58 Уравнения (55 и (58 дают C C Подставляя в уравнение (56 получаем C - C 0 Таким образом F( C C C - C Отсюда искомая интегральная поверхность имеет вид - ( Ł ł 0 Пример 53 Будем искать интегральную поверхность для уравнения (37 проходящую через окружность в плоскости ( Из общего решения (39 видно что таковой будет любая поверхность F( - F( Например параболоид - или конус - наконец просто плоскость Неоднозначность решения связана здесь с тем что заданная кривая через которую должна проходить интегральная поверхность является характеристикой Глава ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 6 Классификация линейных уравнений второго порядка Будем рассматривать уравнения с частными производными второго порядка линейные относительно старших производных те имеющие вид 8 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

9 F( 0 (6 где являются функциями и С помощью преобразования переменных j( ( допускающего обратное преобразование (для этого достаточно потребовать чтобы функциональный определитель j D j был отличен от нуля можно получить уравнение эквивалентное исходному Нас будет интересовать вопрос: как выбрать новые переменные и чтобы относительно них уравнение имело наиболее простой (канонический вид Перейдя к новым переменным будем иметь ( ( Аналогично получаем ( ( [( ( ] [( ( ] ( ( ( После подстановки полученных производных в (6 получим уравнение F ( 0 (64 где ( Заметим что если исходное уравнение линейно те F b ( b c f то F имеет вид F ( b b g d Таким образом уравнение в этом случае снова получается линейным Попытаемся выбрать переменную j( так чтобы коэффициент в уравнении (64 был равен нулю Для этого необходимо чтобы j( было решением уравнения 0 (66 Уравнение (66 можно записать в виде произведения ( - (- - ( - (- - - Таким образом решение уравнения (66 свелось к решению двух линейных однородных уравнений первого порядка ( (67 Из 3 следует что для решения уравнений (67 надо найти общий интеграл каждого из уравнений (65 (63 (6 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 9

10 d - (68 d На вид решений уравнений (68 существенно влияет знак подкоренного выражения - По знаку этого выражения определяется тип уравнения (6 Будем называть уравнение (6 в точке M гиперболического типа если - 0 > - < - эллиптического типа если 0 параболического типа если 0 Можно убедиться в справедливости равенства - ( - D из которого следует что тип уравнения не меняется при преобразовании переменных Следует отметить также что тип уравнения зависит от точки M и в разных точках может быть разным Пример 6 Рассмотрим уравнение 0 (69 здесь 0 и следовательно - - Тем самым при < 0 уравнение (69 гиперболического типа при 0 параболического типа а при > 0 эллиптического типа 7 Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме Уравнение d - dd d 0 (7 будем называть характеристическим для уравнения (6 а его интегралы характеристиками Уравнение (7 распадается на два уравнения (68 и играет основную роль в задаче приведения к каноническому виду уравнения (6 Затем что для уравнения гиперболического типа характеристики действительные и различные для уравнений эллиптического типа комплексные и различные а для уравнений параболического типа обе характеристики действительные и совпадают Разберем каждый из этих случаев в отдельности Для уравнений гиперболического типа - > 0 и правые части уравнений (68 действительные и различные Общие интегралы их j ( C и ( C определяют семейства характеристик Положим j( ( тогда коэффициенты и (65 обратятся в нуль и уравнение (64 после деления на коэффициент при приведется к виду Ф( F где Ф - Часто пользуется другой канонической формой Положим - b где и b - новые переменные Тогда Это так называемая каноническая форма уравнений гиперболического типа PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 0

11 ( b ( - b ( - bb и уравнение (7 примет вид Ф - bb где Ф 4Ф Для уравнений параболического типа - 0 и уравнение (68 дает один общий интеграл j ( C Положим в этом случае j( ( где ( - любая функция допускающая вместе с j ( обратное преобразование переменных Тогда 0 Ł ł 0 Ł łł ł тк После деления уравнения 64 на коэффициент при получим каноническую форму для уравнения параболического типа Ф F где Ф - ( 3 Для уравнения эллиптического типа - < 0 и правые части уравнения (68 комплексно сопряженные поэтому общие интегралы этих уравнений будут также комплексно сопряженными j ( C j ( C Чтобы не иметь дела с комплексными переменными и функциями введем новые уже вещественные переменные и b j j j - j b i те j ib j - ib Таким образом 0 j ( ib j j ( - ( i( b ( b b b Отсюда следует (см (65 что и 0 Уравнение (64 после деления на коэффициент при принимает вид Ф b F где Ф - j bb ( ib ( b Итак в зависимости от знака выражения - (те от типа уравнения получаем следующие канонические формы уравнения (6: ( b ib Гиперболический тип: Ф или - bb Ф Параболический тип: Ф 3 Эллиптический тип: Ф bb ( b b ib b PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

12 8 Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид b b c f ( 0 (8 Решая уравнение (68 получаем характеристики которые будут прямыми линиями l C l C где l и l корни уравнения (его удобно в данном случае тоже называть характеристическим l - l 0 (8 Теперь с помощью соответствующего преобразования переменных а именно: Если l и l вещественные и различные (гиперболический тип l l l - l - l - l или - ; Если l l l (параболический тип - l ; 3 Если l ib ( b 0 (эллиптический тип - b; уравнение (8 приводится к одному из следующих видов: Ф 0 или - Ф 0; Ф 0; 3 - Ф 0; здесь Ф b b c f Пример 8 Привести к каноническому виду уравнение 3 0 (83 Напишем характеристическое уравнение (8 l - 3l 0 Следовательно l l Уравнение - гиперболического типа поэтому делаем замену или - После замены переменных уравнение имеет вид 0 или 0 Заметим что решение уравнения 0 рассматривалось в примере 3 Тем самым мы можем - выписать общее решение уравнения (83 j ( ( j( - ( - Пример 8 Привести к каноническому виду уравнение 0 (84 Решая характеристическое уравнение l - l 0 получаем l l Следовательно уравнение (84 параболического типа Делаем замену - Имеем PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

13 ( ( ( - - ( ( ( ( ( - - Подставляя полученные выражения в уравнение (84 и приводя подобные члены будем иметь 0 Заметим что мы получили уравнение которое можно рассматривать и как обыкновенное дифференциальное уравнение зависящее от параметра ξ Решая его получаем - - C C ( e C ( - C ( - e ( Пример 83 Привести к каноническому виду уравнение 0 (85 - Для корней характеристического уравнения l l 0 имеем - i Уравнение эллиптического типа поэтому делаем замену l Подставляя выражения в уравнение (85 получаем 0 (86 Для линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами возможны дальнейшие упрощения канонической формы уравнений Введем для этого вместо новую функцию J : l m e J где l и m - некоторые постоянные Тогда e e e e e l m l m l m l m l m ( J ( J ( J ( J ( J lj mj lj lj mj l J mj m J lmj Подставляем эти выражения например в уравнение b b c f и сокращая затем на e J l m 0 (87 получим m b J ( l b J ( lm b l b m C J f ( Выберем параметры l и m так чтобы коэффициенты при первых производных обратились в нуль ( l -b m -b В результате получим gj f 0 J -( l m где g lm b l b m c c - b b f fe PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 0

14 Аналогично упрощения проводятся и для других канонических форм Окончательно приходим к следующим каноническим формам для уравнений с постоянными коэффициентами: Гиперболический тип J gj f 0 или J -J - gj f 0 Параболический тип J b f 0 3 Эллиптический тип J J J gj f 0 Пример 84 Упростим уравнение (86 полученное в примере 83 Подставляя выражения для производных (87 и сокращая на e будем иметь l m J J ( l J (m J ( l m - l m J 0 Выберем l - m - Тогда уравнение будет иметь вид 5 J J - J 0 4 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 4

15 СОДЕРЖАНИЕ Введение Глава УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Общие понятия Задача Коши 3 Линейные однородные уравнения 4 Квазилинейные уравнения первого порядка 5 Геометрическая интерпретация Задачи Коши Глава ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 6 Классификация линейных уравнений второго порядка 7 Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме 8 Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 5

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики экономики и информатики Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений ЕАГоловко ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Псковский государственный университет А. А. Хватцев, И. А. Строчков ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Учебное пособие Псков Псковский

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Уравнение с частными производными это уравнение, содержащее частные производные. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ АНГАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Иванова СВ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие АНГАРСК АГТА 4 Иванова СВ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УЧЕБНОЕ

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка 1 УДК 517 96 1. Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка Чочиев Тимофей Захарович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Южный Математический

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Метод разделения переменных (метод Фурье)

Метод разделения переменных (метод Фурье) Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава. 8 1.Понятие дифференциального уравнения.математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями.11 3.Решение

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Министерство образования и науки молодежи и спорта Донбасская государственная машиностроительная академия Составитель Костиков А.А. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Методические указания к выполнению практических

Подробнее

Пусть на проективной плоскости дана кривая второго порядка уравнением. невырожденного линейного преобразования над : (2)

Пусть на проективной плоскости дана кривая второго порядка уравнением. невырожденного линейного преобразования над : (2) Лекция 7 Тема: Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости Теоремы Штейнера План лекции 1 Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости 2 Прямая теорема Штейнера Следствие

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее