Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка"

Транскрипт

1 Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Методическое пособие по курсу «Уравнения с частными производными» Москва 00 г PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

2 ВВЕДЕНИЕ Это пособие относится к серии методических пособий посвященных изложению различных специальных разделов математики и предназначено для преподавателей и студентов МАТИ Пособие отличается от имеющихся учебников и других пособий большей доступностью изложения и учетом специфики технического ВУЗа оно может быть использовано преподавателями при подготовке к лекциям проведению занятий а студентами при самостоятельной работе и подготовке к экзаменам Данное методическое пособие посвящено изложению вопросов относящихся к курсу уравнений с частными производными (уравнений математической физики Рассматриваются основные понятия и определения связанные с уравнениями с частными производными и вопросы приведения к каноническому виду линейных уравнений второго порядка В последующих выпусках предполагается изложить вопросы относящиеся к аналитическим методам решения основных уравнений математической физики (гиперболических параболических и эллиптических и численным методам их решений Изложение ведется на уровне математической строгости достаточном для решения прикладных задач в удобном для усвоения материала будущими инженерами-технологами Иногда оказывается удобным не оговаривать подробно условия дифференцируемости накладываемые на используемые функции Обычно считается что функции имеют столько производных сколько это необходимо в рассматриваемом случае (в наиболее важных вопросах условия дифференцируемости все же явно указываются Кроме того все функции предполагаются заданными в их естественной области определения которая явно не всегда оговаривается Глава УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Общие понятия Пусть имеется функция независимых переменных производными называется соотношение связывающее переменные ее частные производные до некоторого порядка F 0 ( n ( n n Уравнением с частными n функцию и все Порядком уравнения называется порядок старшей производной входящей в это уравнение Функция называется решением уравнения ( если при подстановке ее в ( n это уравнение оно обращается в тождество при допустимых значениях аргументов Совокупность всех решений уравнения называется общим решением Рассмотрим некоторые примеры уравнений с частными производными для функции зависящей от двух переменных ( Пример Пусть дано уравнение 0 Это уравнение фактически означает что функция ( не зависит от Следовательно решениями являются например функции ( ( e sin Общее решение: ( C( где C произвольная функция одной переменной Пример Рассмотрим уравнение f ( Для нахождения решения этого уравнения проинтегрируем его по переменной d f ( d C ( При интегрировании по мы считаем постоянным и поэтому произвольная постоянная C в ( может зависеть от Тем самым общее решение имеет вид: PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

3 ( f ( d C( Пример 3 Пусть дано уравнение 0 Из примера следует что C( Решая это уравнение аналогично тому как решалось уравнение в примере будем иметь ( C( d C( Обозначим C ( C( d Тогда общее решения примет вид ( C ( C ( Заметим что в отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения зависящего от произвольных постоянных общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольных функций Задача Коши Будем рассматривать случай когда искомая функция зависит от двух переменных Тогда уравнение первого порядка будет иметь вид F 0 ( ( Всякое решение уравнения ( ( будем называть интегральной поверхностью (график решения поверхность в пространстве с координатами Для того чтобы из совокупности всех решений уравнений ( выделить некоторое частное решение формулируется задача Коши: найти решение уравнения ( удовлетворяющее условию ( j ( 0 где j ( - некоторая заданная функция Обозначим через l кривую в пространстве задаваемую уравнениями 0 j( ( Тогда задача Коши имеет следующий геометрический смысл: среди всех интегральных поверхностей найти ту которая проходит через заданную кривую l Можно поставить более общую задачу Коши не ограничивая кривую l видом ( а беря произвольную пространственную кривую Если обозначить через l проекцию кривой на плоскость ( то эта задача Коши может быть сформулирована следующим образом: найти решение уравнения ( удовлетворяющее условию j( ( ( l 3 Линейные однородные уравнений первого порядка Уравнение с частными производными называются линейными если искомая функция ( и ее частные производные входят в уравнение линейно Таким образом линейное уравнение первого порядка имеет вид A( B( C( f ( (3 где A B C и f - заданные функции Если f ( 0 то уравнение называется однородным Отметим что основные свойства линейных уравнений с частными производными во многом аналогичны свойствам обыкновенных линейных дифференциальных уравнений Так например линейная комбинация решений однородного уравнения тоже является решением этого уравнения Общее решение неоднородного уравнения может быть представлено в виде некоторого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения Будем рассматривать сначала однородное линейное уравнение вида 3 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

4 A ( B( 0 (3 Этому уравнению поставим в соответствие систему обыкновенных дифференциальных уравнений d A( (33 d B( которую будем называть характеристической системой для уравнения (3 а всякое решение ( t ( t этой системы назовем характеристикой Функция j ( не сводящаяся тождественно к постоянной или равенство j ( C называется первым интегралом системы (33 если при подстановке в нее любого решения системы получается постоянная величина зависящая лишь от выбора решения Теорема 3 Пусть j ( C есть первый интеграл системы (33 Тогда функция j( удовлетворяет уравнению (3 Доказательство Подставим в первый интеграл системы (33 какое-либо решение ( t ( t этой системы Получим j ( ( t ( t C Возьмем производную по t от обеих частей этого равенства dj ( ( t ( t d d j j 0 Поскольку ( t ( t - решения характеристической системы (33 имеем j A( j B( 0 В силу того что последнее равенство выполнено для любого решения системы (33 оно справедливо для любых входящих в область определения Тем самым функция j удовлетворяет уравнению (3 Теорема доказана Можно доказать и обратное утверждение Теорема 3 Пусть функция j( удовлетворяет уравнению (3 Тогда j ( C есть первый интеграл системы (33 Доказательство Подставим в функцию j ( какое-нибудь решение системы (33 ( t ( t и возьмем полную производную по t dj( ( t ( t d d j j j A( j B( Поскольку j - решение уравнения (3 имеем d j( ( t ( t 0 Следовательно j ( ( t ( t C а это и означает что j ( C есть первый интеграл системы (33 Теорема доказана Доказанные две теоремы устанавливают эквивалентность понятий первого интеграла системы (33 и решения уравнения (3 Если j ( C - первый интеграл системы (33 то произвольная функция F (j является также первым интегралом этой системы Следовательно по теореме 3 F (j удовлетворяет уравнению (3 при произвольной достаточно гладкой функции F PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 4

5 Можно показать что при выполнении некоторых условий всякое решение уравнения (3 может быть представлено в виде F(j Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти общее решение уравнения (3 надо составить характеристическую систему (33 и найти первый интеграл этой системы Общее решение уравнения (3 будет F(j где F - произвольная функция Пример 3 Рассмотрим уравнение 0 (34 Характеристическая система для этого уравнения: d (35 d Решение этой системы (характеристики имеет вид t C e C e Первым интегралом системы (35 является функция уравнения (34 будет ( F Ł ł те произвольная однородная функция переменных t j ( Следовательно общее решение Для нахождения первого интеграла характеристической системы (33 можно исключить переменную t и получить обыкновенное дифференциальное уравнение d B( (36 d A( Если ( C - общее решение этого уравнения то выразим произвольную постоянную C через и получим первый интеграл системы (33 j ( C Аналогично поступим если будет найден общий интеграл уравнения (36 F ( C 0 Пример 3 Рассмотрим уравнение 0 (37 - Характеристическая система будет иметь вид d d - Исключим переменную t из этой системы d - d Разделяя переменные получим (38 d -d Проинтегрировав это уравнение находим его общий интеграл C PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 5

6 Это соотношение одновременно является первым интегралом для системы (38 Заметим что характеристиками в данном случае будут являться окружности с центром в начале координат Итак общее решение уравнения (37 имеет вид ( F( (39 4 Квазилинейные уравнения первого порядка Квазилинейным уравнением первого порядка называется уравнение вида A( B( C( (4 Заметим что линейное уравнение (3 является частным случаем квазилинейного уравнения в которое функция может входить и нелинейно Будем искать решение уравнения (4 в виде неявной функции j ( C где C произвольная постоянная Согласно правилу дифференцирования неявной функции имеем j j - - j j Подставляя эти выражения в (4 получим для j уравнение A( j B( j C( j 0 (4 Это уравнение отличается от уравнения (3 лишь тем что коэффициенты и искомая функция j входящие в него зависят от трёх переменных Поэтому уравнение (4 решается аналогично уравнению (3 Для этого рассматривается характеристическая система состоящая уже из трёх уравнений d A( d B( (43 d C( Если j ( C; j ( C (44 - два независимых (под независимостью понимается разрешимость относительно каких-либо двух из переменных равенства (44 интеграла системы (43 то общее решение уравнения (4 а значит и решение исходного уравнения (4 в виде неявной функции будет иметь вид j F ( j j (45 где F - произвольная функция своих аргументов 5 Геометрическая интерпретация задача Коши Пусть в пространстве с координатами ( задано поле направлений ( A ( B( C( те в каждой точке пространства мы имеем направление у которого направляющие косинусы пропорциональны A B C Это поле направлений определяет семейство линий таких что любая линия семейства имеет в каждой своей точке касательную совпадающую с направлением поля в этой точке Это семейство линий получается в результате интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 6

7 d d d A( B( C( которая если обозначить через общую величину написанных трех отношений переходит в систему (43 Если имеется некоторая поверхность ( то величины и - пропорциональны направляющим косинусам нормали к этой поверхности Таким образом уравнение (4 выражает условие перпендикулярности нормали и поверхности ( с направлением поля те уравнение (4 сводится к требованию чтобы в каждой точке искомой поверхности ( направление определяемое полем ( A B C находилось в касательной плоскости к поверхности Пусть некоторая поверхность ( состоит из характеристик системы (43 Тогда в каждой точке этой поверхности касательная к характеристике проходящей через эту точку лежит в касательной плоскости к поверхности и следовательно эта поверхность удовлетворяет уравнению (4 те является интегральной поверхностью этого уравнения Можно показать что верно и обратное: если некоторая гладкая поверхность (предполагается существование и непрерывность производных удовлетворяет уравнению (4 то ее можно полностью заполнить характеристиками Из (45 следует что общее уравнение интегральных поверхностей для уравнения (4 будет иметь вид: F ( j j 0 (5 (постоянную C можно не писать в силу произвольности F Если выбрать некоторую функцию F а поверхность (5 будет геометрическим местом тех характеристик системы (43 у которых значения постоянных в равенствах (44 связаны соотношением: F ( C C 0 (5 Решение уравнения (4 становится вообще говоря однозначно определенным если потребовать чтобы искомая поверхность проходила через заданную в пространстве кривую l те если решать задачу Коши Искомая поверхность будет образованна теми характеристиками которые выходят из точек кривой l Исключительным является тот случай когда сама кривая l является характеристикой В этом случае через линию l проходит вообще говоря бесчисленное множество поверхностей Пример 5 Рассмотрим уравнение -( (53 Соответствующая характеристическая система будет такова: d d d -( Из первых двух уравнений имеем d d Отсюда ln ln C что равносильно соотношению C (55 Чтобы найти второй интеграл системы (54 разделим последнее ее уравнение на второе: d - d 7 (54 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

8 Пользуясь равенством (55 получаем d - d C C Отсюда d -( C d Интегрируя это равенство имеем ( C C Подставив C из (55 получим второй интеграл C (56 Уравнения (55 определяют плоскости проходящие через ось O а уравнения (56 сферы с центром в начале координат Тем самым характеристики системы (54 это семейство окружностей лежащих в указанных плоскостях и имеющих центр в начале координат Общее решение уравнения (53 будет F 0 (57 Ł ł где F производная функция двух аргументов Пример 5 Решим задачу Коши для уравнения (53 Среди интегральных поверхностей этого уравнения найдем ту которая проходит через прямую (58 Исключим и из уравнений (55 (56 и (58 Уравнения (55 и (58 дают C C Подставляя в уравнение (56 получаем C - C 0 Таким образом F( C C C - C Отсюда искомая интегральная поверхность имеет вид - ( Ł ł 0 Пример 53 Будем искать интегральную поверхность для уравнения (37 проходящую через окружность в плоскости ( Из общего решения (39 видно что таковой будет любая поверхность F( - F( Например параболоид - или конус - наконец просто плоскость Неоднозначность решения связана здесь с тем что заданная кривая через которую должна проходить интегральная поверхность является характеристикой Глава ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 6 Классификация линейных уравнений второго порядка Будем рассматривать уравнения с частными производными второго порядка линейные относительно старших производных те имеющие вид 8 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

9 F( 0 (6 где являются функциями и С помощью преобразования переменных j( ( допускающего обратное преобразование (для этого достаточно потребовать чтобы функциональный определитель j D j был отличен от нуля можно получить уравнение эквивалентное исходному Нас будет интересовать вопрос: как выбрать новые переменные и чтобы относительно них уравнение имело наиболее простой (канонический вид Перейдя к новым переменным будем иметь ( ( Аналогично получаем ( ( [( ( ] [( ( ] ( ( ( После подстановки полученных производных в (6 получим уравнение F ( 0 (64 где ( Заметим что если исходное уравнение линейно те F b ( b c f то F имеет вид F ( b b g d Таким образом уравнение в этом случае снова получается линейным Попытаемся выбрать переменную j( так чтобы коэффициент в уравнении (64 был равен нулю Для этого необходимо чтобы j( было решением уравнения 0 (66 Уравнение (66 можно записать в виде произведения ( - (- - ( - (- - - Таким образом решение уравнения (66 свелось к решению двух линейных однородных уравнений первого порядка ( (67 Из 3 следует что для решения уравнений (67 надо найти общий интеграл каждого из уравнений (65 (63 (6 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 9

10 d - (68 d На вид решений уравнений (68 существенно влияет знак подкоренного выражения - По знаку этого выражения определяется тип уравнения (6 Будем называть уравнение (6 в точке M гиперболического типа если - 0 > - < - эллиптического типа если 0 параболического типа если 0 Можно убедиться в справедливости равенства - ( - D из которого следует что тип уравнения не меняется при преобразовании переменных Следует отметить также что тип уравнения зависит от точки M и в разных точках может быть разным Пример 6 Рассмотрим уравнение 0 (69 здесь 0 и следовательно - - Тем самым при < 0 уравнение (69 гиперболического типа при 0 параболического типа а при > 0 эллиптического типа 7 Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме Уравнение d - dd d 0 (7 будем называть характеристическим для уравнения (6 а его интегралы характеристиками Уравнение (7 распадается на два уравнения (68 и играет основную роль в задаче приведения к каноническому виду уравнения (6 Затем что для уравнения гиперболического типа характеристики действительные и различные для уравнений эллиптического типа комплексные и различные а для уравнений параболического типа обе характеристики действительные и совпадают Разберем каждый из этих случаев в отдельности Для уравнений гиперболического типа - > 0 и правые части уравнений (68 действительные и различные Общие интегралы их j ( C и ( C определяют семейства характеристик Положим j( ( тогда коэффициенты и (65 обратятся в нуль и уравнение (64 после деления на коэффициент при приведется к виду Ф( F где Ф - Часто пользуется другой канонической формой Положим - b где и b - новые переменные Тогда Это так называемая каноническая форма уравнений гиперболического типа PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 0

11 ( b ( - b ( - bb и уравнение (7 примет вид Ф - bb где Ф 4Ф Для уравнений параболического типа - 0 и уравнение (68 дает один общий интеграл j ( C Положим в этом случае j( ( где ( - любая функция допускающая вместе с j ( обратное преобразование переменных Тогда 0 Ł ł 0 Ł łł ł тк После деления уравнения 64 на коэффициент при получим каноническую форму для уравнения параболического типа Ф F где Ф - ( 3 Для уравнения эллиптического типа - < 0 и правые части уравнения (68 комплексно сопряженные поэтому общие интегралы этих уравнений будут также комплексно сопряженными j ( C j ( C Чтобы не иметь дела с комплексными переменными и функциями введем новые уже вещественные переменные и b j j j - j b i те j ib j - ib Таким образом 0 j ( ib j j ( - ( i( b ( b b b Отсюда следует (см (65 что и 0 Уравнение (64 после деления на коэффициент при принимает вид Ф b F где Ф - j bb ( ib ( b Итак в зависимости от знака выражения - (те от типа уравнения получаем следующие канонические формы уравнения (6: ( b ib Гиперболический тип: Ф или - bb Ф Параболический тип: Ф 3 Эллиптический тип: Ф bb ( b b ib b PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

12 8 Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид b b c f ( 0 (8 Решая уравнение (68 получаем характеристики которые будут прямыми линиями l C l C где l и l корни уравнения (его удобно в данном случае тоже называть характеристическим l - l 0 (8 Теперь с помощью соответствующего преобразования переменных а именно: Если l и l вещественные и различные (гиперболический тип l l l - l - l - l или - ; Если l l l (параболический тип - l ; 3 Если l ib ( b 0 (эллиптический тип - b; уравнение (8 приводится к одному из следующих видов: Ф 0 или - Ф 0; Ф 0; 3 - Ф 0; здесь Ф b b c f Пример 8 Привести к каноническому виду уравнение 3 0 (83 Напишем характеристическое уравнение (8 l - 3l 0 Следовательно l l Уравнение - гиперболического типа поэтому делаем замену или - После замены переменных уравнение имеет вид 0 или 0 Заметим что решение уравнения 0 рассматривалось в примере 3 Тем самым мы можем - выписать общее решение уравнения (83 j ( ( j( - ( - Пример 8 Привести к каноническому виду уравнение 0 (84 Решая характеристическое уравнение l - l 0 получаем l l Следовательно уравнение (84 параболического типа Делаем замену - Имеем PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom

13 ( ( ( - - ( ( ( ( ( - - Подставляя полученные выражения в уравнение (84 и приводя подобные члены будем иметь 0 Заметим что мы получили уравнение которое можно рассматривать и как обыкновенное дифференциальное уравнение зависящее от параметра ξ Решая его получаем - - C C ( e C ( - C ( - e ( Пример 83 Привести к каноническому виду уравнение 0 (85 - Для корней характеристического уравнения l l 0 имеем - i Уравнение эллиптического типа поэтому делаем замену l Подставляя выражения в уравнение (85 получаем 0 (86 Для линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами возможны дальнейшие упрощения канонической формы уравнений Введем для этого вместо новую функцию J : l m e J где l и m - некоторые постоянные Тогда e e e e e l m l m l m l m l m ( J ( J ( J ( J ( J lj mj lj lj mj l J mj m J lmj Подставляем эти выражения например в уравнение b b c f и сокращая затем на e J l m 0 (87 получим m b J ( l b J ( lm b l b m C J f ( Выберем параметры l и m так чтобы коэффициенты при первых производных обратились в нуль ( l -b m -b В результате получим gj f 0 J -( l m где g lm b l b m c c - b b f fe PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 0

14 Аналогично упрощения проводятся и для других канонических форм Окончательно приходим к следующим каноническим формам для уравнений с постоянными коэффициентами: Гиперболический тип J gj f 0 или J -J - gj f 0 Параболический тип J b f 0 3 Эллиптический тип J J J gj f 0 Пример 84 Упростим уравнение (86 полученное в примере 83 Подставляя выражения для производных (87 и сокращая на e будем иметь l m J J ( l J (m J ( l m - l m J 0 Выберем l - m - Тогда уравнение будет иметь вид 5 J J - J 0 4 PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 4

15 СОДЕРЖАНИЕ Введение Глава УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Общие понятия Задача Коши 3 Линейные однородные уравнения 4 Квазилинейные уравнения первого порядка 5 Геометрическая интерпретация Задачи Коши Глава ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 6 Классификация линейных уравнений второго порядка 7 Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме 8 Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами PDF creted wit FinePrint pdffctor tril version ttp://wwwfineprintcom 5

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики экономики и информатики Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений ЕАГоловко ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский Государственный Университет Факультет математического моделирования и процессов управления Специальность Программное обеспечение вычислительной техники

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г.

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г. Листок 1 8 сентября 2014 г. Параметризация τ γ(τ) кривой в евклидовом пространстве называется натуральной, если γ = γ 1. Для натуральной параметризации dτ элемент τ длины на кривой и выполняется ( γ, γ)

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Тесты по курсу Уравнения в частных производных. 1. Какое из названий правильно характеризует уравнение

Тесты по курсу Уравнения в частных производных. 1. Какое из названий правильно характеризует уравнение Тесты по курсу Уравнения в частных производных. Какое из названий правильно характеризует уравнение 3 ( + u) + = u : а) квазилинейное уравнение с частными производными второго порядка; б) линейное уравнение

Подробнее

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования.

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования. Производная функции Ее геометрический и физический смысл Техника дифференцирования Основные определения Пусть f ( ) определена на (, ) a, b некоторая фиксированная точка, приращение аргумента в точке,

Подробнее

Рабочая программа Заочной математической школы. 10 класс (набор 2009 года) Базовый уровень. Занятие 1.

Рабочая программа Заочной математической школы. 10 класс (набор 2009 года) Базовый уровень. Занятие 1. Рабочая программа Заочной математической школы 10 класс (набор 2009 года) Базовый уровень Занятие 1. Алгебраические преобразования. Рациональные дроби 1. Формулы сокращенного умножения. 2. Разложение многочленов

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример Математика [Электронный ресурс] : электронный учебно-методический комплекс. Ч. 1 / Е.А. Левина, В.И. Зимин, И.В. Касымова [и др.] ; Сиб. гос. индустр. ун-т. - Новокузнецк : СибГИУ, 2010. - 1 электрон.опт.диск

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Часть 2

КРАТКИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Часть 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» НВ ПОНОМАРЕВА, ТА ТАРАСОВА КРАТКИЙ

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

, vy,0. Условие несжимаемости divv. 0 потенциального течения rotv. Для двумерного течения условие несжимаемости имеет вид 0, что приводит

, vy,0. Условие несжимаемости divv. 0 потенциального течения rotv. Для двумерного течения условие несжимаемости имеет вид 0, что приводит Методы расчета плоских течений Функция тока В плоском течении уменьшается количество переменных, что позволяет в случае потенциального течения существенно упростить решение задач об определении течения

Подробнее

Лекции по теории уравнений с частными производными

Лекции по теории уравнений с частными производными Лекции по теории уравнений с частными производными А. И. Кожанов 13 февраля 2007 г. Стр. 2 MFH Corporation Оглавление 1 Уравнения первого порядка 11 1.1 Уравнения первого порядка......................

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНФЛЮЕНТНОГО АНАЛИЗА

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНФЛЮЕНТНОГО АНАЛИЗА Свердлов С З ктн, Усов Л В кэн, доцент Вологодский Политехнический Институт ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНФЛЮЕНТНОГО АНАЛИЗА Рукопись депонирована в ВИНИТИ 6885 г 585-85 ДЕП Содержание Формулировка задачи детерминированного

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика»

Подробнее

Аналитическая формула ударной волны. Об одном классе уравнений состояния

Аналитическая формула ударной волны. Об одном классе уравнений состояния ИПМ им.м.в.келдыша РАН Электронная библиотека Препринты ИПМ Препринт 5 за 1969 г. Гаджиев М.Г., Молчанов А.М. Аналитическая формула ударной волны. Об одном классе уравнений состояния Рекомендуемая форма

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МАТИ Российский государственный технологический университет имени К. Э. Циолковского

Подробнее

Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t)

Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t) 1 Кинематика точки Задачи (,, положительные постоянные, e, e, ez - орты осей X, Y и Z) 1 Материальная точка движется вдоль оси по закону: ( ) cos ω Найдите проекцию скорости V () Материальная точка движется

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

uv ( ψ ψ ) - точка на кривой С. Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения

uv ( ψ ψ ) - точка на кривой С. Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения План лекции Вторая квадратичная форма поверхности Нормальная кривизна поверхности Теорема Менье 3 Главные кривизны поверхности Формула

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТЕМА 5 Линейное уравнение Вольтерра -го рода Основные определения и теоремы Уравнение y = λ K(, ) y( ) d+ f( ),, [,, или в операторной форме y = λ By+ f, называется уравнением Вольтерра -го рода Пусть

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Вопросы к зачёту по математике (11-й класс, 3-й семестр).

Вопросы к зачёту по математике (11-й класс, 3-й семестр). 1 Утверждаю Заведующий кафедрой СУНЦ-1 Профессор /Граськин С.С./ Вопросы к зачёту по математике (11-й класс, 3-й семестр). Часть 1. Вопросы по материалам лекций 11-го класса. Все теоремы части 1 нужно

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 4 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 4 Новосибирск, 2016 г. 1 / 18 Материальная

Подробнее

Уравнения первого порядка

Уравнения первого порядка Глава 1. Введение Лекция 1 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. 2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл. 3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Последовательности. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения. Общие решения линейных рекуррентных однородных и неоднородных уравнений. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Мариуполь 2009 УДК 517.2

Подробнее

Элементы гармонического анализа

Элементы гармонического анализа Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» Н. П. Чуев Элементы гармонического анализа Методические

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

ОБ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО РОДА СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ Д. М. Ахманова, М. Т. Дженалиев, М. И.

ОБ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО РОДА СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ Д. М. Ахманова, М. Т. Дженалиев, М. И. Сибирский математический журнал Январь февраль, 2. Том 52, УДК 57.956+57.968.2 ОБ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО РОДА СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ Д. М. Ахманова, М. Т. Дженалиев, М. И.

Подробнее

Уравнение типа турбулентной фильтрации, записанное для плоской симметрии, имеет вид u t = q. u, (1) x + f (u), q = u

Уравнение типа турбулентной фильтрации, записанное для плоской симметрии, имеет вид u t = q. u, (1) x + f (u), q = u УДК 51.7+532.517 А. С. Р о м а н о в, А. В. С е м и к о л е н о в, А. П. Ш а х о р и н О РОЛИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА ПРИ ФОРМУЛИРОВКЕ ОБОБЩЕННОГО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ТУРБУЛЕНТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Подробнее

Вычисление и приложения тройного интеграла

Вычисление и приложения тройного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Функции Бесселя в задачах математической физики

Функции Бесселя в задачах математической физики Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» В.С. Гаврилов Н.А. Денисова А.В. Калинин Функции Бесселя в задачах математической физики Учебно методическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика» Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии Факультет дистанционных форм обучения МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Программа и контрольные работы

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Сибирский математический журнал Май июнь, 2001. Том 42, 3 УДК 514.17 НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАДИУСАМИ СФЕР, СВЯЗАННЫХ С ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Аннотация: Пусть выпуклой

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 I НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ... 4 УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ III ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ...

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 I НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ... 4 УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ III ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ... СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 I НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ... 4 II УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ... 10 2.1 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ЛАМЕ... 10 2.2 ГРУППОВОЕ РАССЛОЕНИЕ. РЕШЕНИЕ АВТОМОРФНОЙ

Подробнее

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2000. Том 4, 6 УДК 57.5 О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕННО АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА КУСКЕ ЕЕ ГРАНИЦЫ Т. Ишанкулов Аннотация: Рассматривается

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода.

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. d A(P) T B.Интеграл по длине линии.... τ(p).свойства, вычисление криволинейного интеграла I рода.... P 3.Криволинейный интеграл по координатам....

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан

Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан Нукусский филиал ташкентского университета информационных технологий САМОМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО

Подробнее

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения.

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения. Лекция 6 1 СА Лавренченко Производные 1 Определения производной Производная функции фундаментальное понятие дифференциального исчисления определяется как предел разностного отношения Определение 11 (производной

Подробнее

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики

Комплект. контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики ГБОУ СПО Прокопьевский политехнический техникум Комплект контрольно-оценочных средств учебной дисциплины ЕН Элементы высшей математики основной образовательной программы (ОПОП) по направлению подготовки

Подробнее

Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Определение векторного поля Векторные линии Поток векторного поля 4 Дивергенция векторного поля Лекция ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Определение векторного поля Определение Стационарным векторным полем называется пространство

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов Сибирский математический журнал Май июнь, 2009. Том 50, 3 УДК 517.944+519.46 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

Подробнее

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у fх.

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год) Федеральное агентство по образованию Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Тригонометрические уравнения, системы,

Подробнее