ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» ГМ КУЛИКОВ, ИВ ЖИГУЛИНА, АД НАХМАН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Рекомендовано Учебно-методическим объединением по классическому университетскому и техническому образованию Российской Академии естествознания в качестве учебного пособия Тамбов Издательство ФГБОУ ВПО «ТГТУ» 0

2 УДК 579(0758) ББК В66я7 К90 Рецензенты: Заслуженный деятель науки Российской Федерации, доктор технических наук, профессор кафедры «Высшая математика» ФБГОУ ВПО «ТГТУ» АВ Богословский Заслуженный деятель науки Российской Федерации, доктор технических наук, профессор Военного авиационного инженерного университета (г Воронеж) АВ Коренной К90 Куликов, ГМ Дифференциальные уравнения Тестовые задания : учебное пособие / ГМ Куликов, ИВ Жигулина, АД Нахман Тамбов : Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 0 80 с 00 экз ISBN Изложены основные положения теории и методы решения задач по темам «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Системы дифференциальных уравнений» Предложены образцы решения задач и варианты тестов по каждому разделу, в том числе итоговые типовые задания Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям: , 000, 4000, 4000, 50400, 50900, 5000, 90600, 0000, 00500, 0000, 000, 0600, 000, 0400, 0600, 0700, 400, 000, 000, 4000, 4000, 6000, 6700, 70800, 8000, УДК 579(0758) ББК В66я7 ISBN Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» (ФГБОУ ВПО «ТГТУ»), 0

3 ВВЕДЕНИЕ При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии, других наук не всегда удаётся непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный процесс Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно других (независимых) переменных величин, те найти уравнения, в которых неизвестные функции содержатся под знаком производной Такие уравнения называются дифференциальными они служат важным средством моделирования различных процессов Цель настоящей книги помочь студентам в формировании их математического мышления, в выработке практических навыков решения и исследования дифференциальных уравнений, описывающих эволюционные процессы в различных областях естествознания В пособии предпринимается попытка разработки современного технологичного средства обучения решению обыкновенных дифференциальных уравнений, а также контроля процесса обучения Большая часть контрольных заданий имеет тестовую форму, что позволяет расширить поле контроля и сократить время его проведения При этом авторы не отказываются от традиционной формы заданий, которая в тестологии именуется заданиями с развёрнутым ответом Структура материала такова: в каждой главе излагаются основные теоретические сведения и алгоритмы решения типовых задач, далее следуют задачи для активного обучения В контрольном блоке предлагаются теоретические упражнения, задачи для самостоятельного решения, и, наконец, задания в форме тестов

4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЙ 4 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Общие понятия и определения Обыкновенным дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящей в него производной (или дифференциала) Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение вида F,, =, () ( ) 0 где независимая переменная = ( ) искомая функция ( ) её производная Если уравнение () можно записать в виде ( ) d = d = f,, () то говорят, что оно разрешимо относительно производной Часто встречается дифференциальная форма записи уравнения первого порядка P, d + Q, d =, ( ) ( ) 0 которая удобна тем, что в качестве искомой функции может быть как = ( ), так и = ( ) Решением (интегралом) дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция = ( ), превращающая это уравнение в тождество График функции = ( ) называется интегральной кривой Процесс решения дифференциального уравнения называется его интегрированием На самом деле в процессе интегрирования определится целый класс решений: =, C, () где C произвольная постоянная ( )

5 Класс () называется общим решением дифференциального уравнения ниже мы уточним, что будем понимать под общим решением дифференциального уравнения первого порядка В некоторых случаях общее решение дифференциального уравнения определяется в неявном виде: Φ(,, C) = 0 Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости O При каждом конкретном значении С = С0 получают частное решение ( ) =,C 0 Задача о нахождении решения дифференциального уравнения (), удовлетворяющего начальному условию ( 0 ) = 0, называется задачей Коши Геометрически, такая задача предполагает поиск интегральной кри- вой, которая проходит через заданную точку с координатами ( ) 0, 0 Решение дифференциального уравнения, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной (включая «предельные» случаи C = ± ), называется его особым решением При интегрировании дифференциального уравнения надо стремиться к тому, чтобы наряду с общим решением были найдены также и особые решения Среди всех дифференциальных уравнений особый интерес представляют некоторые классы уравнений, для которых существуют стандартные способы аналитического решения Ниже будут рассмотрены важнейшие из них Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение вида ( ) g( ) = f (4) называется уравнением с разделяющимися переменными d Разделим переменные, учитывая, что ( ) = d При этом уравнение (4) преобразуется к виду ( ) d = f ( )d g ( ) d Интегрируя, получим общее решение: f ( ) d = C g 5

6 Замечания Характерный признак дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными это наличие произведений (или частных) «блоков», зависящих только от «х» или только от «у» Если обе части уравнения делим на переменную величину, то необходимо отдельно рассмотреть также случай, когда она обращается в ноль Так, постоянные у = у0, для которых g ( 0 ) = 0, являются, очевидно, решениями уравнения (4) Произвольная постоянная, возникающая при интегрировании, может быть записана в виде kc или klnc, где k любой постоянный (ненулевой) множитель В некоторых случаях такая запись удобна для упрощения ответа Однородные уравнения Если уравнения = f (, ) или (, ) d + Q(, ) d = 0 P не изменяются при одновременной замене на «k» и на «k», то они называются однородными Однородное уравнение может быть приведено к виду = f (5) Однородное дифференциальное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными с помощью подстановки где t( ) t = (откуда = t + t ), t = новая неизвестная функция После того как новое уравнение будет проинтегрировано, следует сделать обратную замену переменных вместо t подставить 6 4 Линейные уравнения первого порядка Уравнение Бернулли Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида где ( ) q( ) ( ) q( ) + p =, (6) p, непрерывные (на данном интервале) функции

7 Характерный признак таких уравнений функция и её производная содержатся в уравнении в первой степени Уравнение Бернулли имеет вид n ( ) q( ) + p =, n 0, n (7) Существует несколько методов решения уравнений данных видов: метод вариации произвольных постоянных, метод интегрирующего множителя, метод Бернулли Рассмотрим метод Бернулли При этом решение каждого из уравнений (6), (7) будем искать в виде = uv, =, неизвестные функции По правилу дифференцирования произведения получим = u v + uv (аргумент в дальнейшем опускаем) В этом случае линейное уравнение (6), например, записывается следующим образом u v + u v + pv = где u u( ) v = v( ) Множитель v( ) ( ) q v = можно выбрать как некоторое решение уравнения v + pv = 0 Тогда исходное уравнение оказывается эквивалентным уравнению с разделяющимися переменными u v = q, общее решение которого есть некоторая u u(, C) = Окончательно общий интеграл линейного дифференциального уравнения примет вид = v u, C ( ) ( ) Таким образом, в процессе решения приходится дважды решать уравнения с разделяющимися переменными По той же схеме решается и уравнение Бернулли 5 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка Уравнение вида ( ) = f,,, (8) связывающее между собой независимую переменную, неизвестную функцию ( ) и её производные ( ), ( ), называется дифференциальным уравнением второго порядка (разрешённым относительно второй производной) 7

8 Общим решением уравнения (8) называется функция = (, C, C ), зависящая от двух произвольных постоянных C и C, которая при любых значениях C, C является решением (8) Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка состоит в следующем: найти решение уравнения (8), удовлетворяющее заданным начальным условиям ( 0 ) = 0, ( 0 ) = 0 Геометрически, имеем задачу нахождения интегральной кривой = ( ), проходящей через заданную точку ( 0, 0) и имеющей данный угловой коэффициент 0 = tg α касательной в этой точке Краевая задача Задача интегрирования уравнения (8) называется краевой, если значения искомой функции ( ) и, возможно, её производных задаются не при одном и том же значении независимой переменной, а на концах некоторого фиксированного интервала В некоторых случаях значения искомой функции или её производных могут задаваться более чем в двух точках Задача Коши иногда называется одноточечной, краевые задачи двухточечными (иногда, многоточечными) Краевая задача не всегда имеет решение, а если она его и имеет, то во многих случаях оно не является единственным Ниже мы подробнее познакомимся с указанным понятием на примерах В некоторых случаях путём надлежащей замены переменных удаётся понизить порядок дифференциального уравнения, те уравнение второго порядка решается последовательным рассмотрением двух уравнений первого порядка Рассмотрим три типа таких уравнений 8 Уравнения вида = f ( ), содержащие только производную и независимую переменную, решаются путём последовательного интегрирования: ( ) d C ( f ( ) d + C ) d C = f +, = +, не содержащие искомой функ- Уравнения вида F (,, ) = 0 ции, допускают понижение порядка с помощью подстановки = z( ) = z ( ), При этом получаем два последовательно решаемых дифференциальных уравнения первого порядка: = z, F (,, ) = 0 F(, z, z ) = 0

9 Уравнения вида (,, ) = 0 допускают понижение порядка путём подстановки = p( ) F, явно не содержащие переменную,, dp = p = pp d При этом получаем два следующих последовательно решаемых уравнения первого порядка: ( ) ( ) = p, F (,, ) = 0 F p p = 0 Формальное отсутствие аргумента позволяет рассматривать функцию p как функцию аргумента ЗАДАЧИ ДЛЯ АКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ Составить дифференциальное уравнение по заданному семейству интегральных кривых = C Решение Продифференцируем по равенство = C, получим = C Кроме того, очевидно, C = Поэтому искомое дифференциальное уравнение принимает вид: = Зная, что = C ln является общим решение уравнения ln, найти интегральную кривую, проходящую через точку ( ) = M e, Решение В данном случае необходимо найти решение задачи Коши e = : ( e) = C ln e =, откуда C = Искомая с начальным условием ( ) интегральная кривая задаётся теперь уравнением = ln Найти общее решение уравнения = ( 4 + ) ln Решение Имеем уравнение с разделяющимися переменными: d d ( 4 + ) ln = Умножим обе части уравнения на d: d = ( 4 + ) ln d Далее обе части уравнения поделим на выражение ( 4 ) +, которое, очевидно, в данном уравнении не может обратиться в ноль: d 4 + = ln d 9

10 Таким образом, мы разделили переменные Интегрируем теперь обе части уравнения: d ln d = + d, ( ) 4 = + ln d ln, 0 ln arctg = + C Итак, получено общее решение уравнения в неявном виде: arctg = ln + C 4 Решить задачу Коши: ( + ) d ( + ) d = 0, ( 0) = Решение Перепишем уравнение в виде ( + ) d = ( + )d и разделим переменные Поделив обе части уравнения на произведение ( + )( ) d +, получим: d = + + Интегрируем: откуда d + d = + d( + ) d( + ) = + + ( ) = ln( + ) lnc ln + + Упростим теперь решение, используя свойства логарифмов: ( + ) = lnc( ) ln + Итак, общее решение уравнения принимает вид + = C( + ) Теперь найдём значение постоянной C, при котором будет выполнено указанное начальное условие Подставляя = 0, = в общее решение, получим: 0 + = С +, С = Таким образом, имеем решение задачи Коши: + = + или, в явном виде, = + Замечание Для определённости считаем, что выражения, стоящие под знаком логарифма, положительны, поэтому не записываем соответствующий знак модуля,

11 Замечание Здесь и в дальнейшем используются следующие свойства логарифмов: a k ln a + lnb = lnab ln a lnb = ln k ln a = lna b m ln z = m z = e ln = 0 ln e = 5 Найти общее решение уравнения cos + = 0 Решение Непосредственное разделение переменных в данном случае невозможно, но выражение cos наводит на мысль об однородном уравнении вида (5) Действительно, поделив обе части на, получим: + cos = 0 Далее сделаем подстановку t =, = t + t : t + t t + cos t = 0 или t + cos t = 0 Теперь решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными dt dt d = cos t = d cos t Интегрируем: tg t = ln + ln C или ln C + tg t = 0 В результате обратной подстановки приходим к общему решению в неявном виде: ln C + tg = 0 6 Решить уравнение = e Решение Данное уравнение является линейным (см соответствующие характерные признаки) Сделав подстановку Бернулли = uv, = u v + uv, получим: uv v u v + uv = e u v + u v = e v Полагаем v = 0, тогда u v = e

12 Решение исходного уравнения сводится к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными v Функцию v = v( ) найдём из первого уравнения v = 0 : dv d v = 0, dv v d =, dv = d v v = e (выбрана одна из первообразных v( ) v = ), Подставим v = e во второе уравнение u v = e u = u, С : Решив его, найдём общее решение ( ) du d Поскольку e = e, du d =, ln v =, du = d, u = + C = uv, то общее решение линейного уравнения = + C e запишется в виде ( ) 7 Найти решение задачи Коши =, ( ) = Решение Данное уравнение является уравнением Бернулли с n = : v = Полагаем = uv, тогда u v + u v = u v Решаем последовательно два уравнения v Из уравнения = 0 dv v dv d = 0, = d v v, находим функцию ( ) v : dv d, = v, ln v = ln, v = Подставляем v = во второе уравнение u v = u v : du u =, u du = d, = + C, u = d u C Так как = uv, то общее решение уравнения Бернулли: = C Используем начальные условия =, =, для нахождения соот- ветствующего значения константы C : =, C = C Итак, решение задачи Коши имеет вид: =

13 8 Решить уравнение d ( + sin ) d = 0 Решение Данное уравнение линейно относительно функции ( ) где аргумент Действительно: d d sin = 0, = sin, = sin d d Делаем подстановку Бернулли: = uv, = u v + uv =, v Тогда получим уравнение: u v + u v = sin Далее получаем два уравнения с разделяющимися переменными v v = 0, u v = sin Выбрав v =, получим dv v dv d =, =, ln v = ln, v = d v du = sin, du = sin d, u = cos + C d Общее решение уравнения: = C cos 9 Найти общее решение уравнения sin = 6 Решение Имеем уравнение второго порядка, которое содержит только вторую производную искомой функции и её аргумент Выразим явно вторую производную: = sin + 6 Интегрируем: = sin + 6 d = cos C, проинтегрируем ещё раз: Для того чтобы найти функцию ( ) = cos C d = 9sin + + C + C 0 Найти общее решение уравнения второго порядка = ln

14 4 Решение Данное уравнение не содержит явно функции, поэтому сде- = z, = z Получим однородное уравнение лаем подстановку ( ) ( ) первого порядка: ( ) t + t = t lnt ( ln ) ln C t z z z z = ln, которое решается с помощью замены = t : dt d dt d t = t ln t = t lnt = t t ln ( ) ln = ln = C ln t = C +, откуда t ( ) t = e C + z Теперь = e C + C z = e + Итак, получено ещё одно уравнение первого порядка (в данном случае с разделяющимися переменными) Ясно, что e C+ C e = + = e d Интегрируем «по частям»: = u, d = d = du, e C + d = dv C + C + C + C + = e e + e = v C ( C ) C const C C Общее решение уравнения принимает вид: e + = + C C 9 Решить задачу Коши: + = 0 ( 0) =, ( 0) = 9 Решение Имеем уравнение, которое явно не содержит переменную dp = p, = p Следовательно, уравнение запишется в d Полагаем ( ) dp 9 виде: p + 0 d = Разделяем переменные, затем интегрируем: 9 p dp = d = p 9 C p dp 9 d, = + Далее получаем дифференциальное уравнение первого порядка ( ) = + C 9 Постоянную C можно найти уже на этом этапе, если использовать начальные условия: ( 0 ), ( 0) = 9 = 9 = 8+ C 0 C =

15 9 или Остаётся решить уравнение ( ) = = (при извлечении корня взят знак «плюс», так как в точке = 0, а значит и в некоторой её окрестности, значения и имеют одинаковый знак) Разделяя переменные, имеем: d = d, = 6 + C Значение C находим из условия ( 0 ) = : = 0 + C, 9 C = 9 Следовательно, = 6 + или = Найти решение уравнения + = 0, удовлетворяющее усло- π виям: ( 0 ) = 0, = Решение В данном случае имеем так называемую краевую задачу Прежде всего найдём общее решение дифференциального уравнения Так как в уравнении отсутствует аргумент, то сделаем подстановку, третьего типа: = p( ) dp = p d Далее решим уравнение с разделяющимися переменными: dp p + = 0, pdp = d, d p C = +, p = C Возвращаемся к, получаем уравнение: Решаем его: d C d = d, = + C C = C Интеграл в левой части равенства найдём с помощью замены переменной = C sin z : d = arcsin + const C C Итак, общее решение заданного уравнения: arcsin C = + C или = Csin ( + C ) π Используем теперь краевые условия: = 0, = 0 и =, = 5

16 Подставляя их в общее решение, получим и решим следующую систему уравнений: 6 tg C Csin C = 0, = 0, C cosc = C = cosc Таким образом, функция данной краевой задачи C =, C = 0 = sin является единственным решением БЛОК КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Теоретические упражнения Доказать, что функция ( ) = f (, ), ( ) =, 0 0 = является решением задачи Коши тогда и только тогда, когда она удовлетворяет интегральному уравнению = ( ) + f (, ) окрестности точки ( ) 0 d (предполагается, что в некоторой 0 0, 0 выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши) f, g функции, непрерывные в окрестностях Пусть ( ) ( ) соответственно, f ( 0 ) = 0, g ( ) 0 = 0 точек 0 и 0 каждая из функций 0 f d + g d = ( ) ( ) 0 Доказать, что = и = 0 является решением уравнения + a С помощью замены переменных t = найти общее решение + b + a уравнения вида = ( + b) f ( ) (здесь a, b любые постоянные + b величины, f произвольная дифференцируемая на всей числовой оси функция) 4 С помощью замены переменных u = + b найти общее решение a( + b) + p уравнения вида = + b + q ненулевые величины) (здесь k 5 Найти общее решение уравнения k e f ( ) a, b, p, q любые постоянные ( + ) = ( k 0 любая постоянная величина, f произвольная дифференцируемая на всей числовой оси функция)

17 6 Могут ли интегральные кривые дифференциального уравнения = f пересекаться? ( ) 7 Пусть и два различных решения уравнения + p( ) = g( ) При каком соотношении между постоянными C и C функция = C + C будет решением данного уравнения? ϕ ϕ 8 Найти общее решение уравнения + ( ) ϕ( ) ( ) = 0 ϕ ( ) заданная функция 9 Может ли решение уравнения = ( 0) иметь точки минимума? 0 Решить уравнение ( ) = ( t) dt Задачи для самостоятельного решения, где Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: ( + ) d ( ) d = 0 (Ответ: = C( ) ( + ) = ( e ) e + + ) (Ответ: = ln C + C ) + = (Ответ: = C ) ( 0) = d + d = 0, (Ответ: = ± arcsin ) π sin = cos, = (Ответ: = sin ) ( ) + = 0, ( 0) = (Ответ: ( ) = 0, ( 0) = + + (Ответ: = ) + ln + = ) Решить однородные дифференциальные уравнения первого порядка: e = e (Ответ: + ln = С ) + = (Ответ: arctg C = ln ) + 7

18 = + (Ответ: tg ( ln C ) + = ) + = (Ответ: = ln C ) 4 + = 0, ( ) = 0 (Ответ: = ln C ) = ln ln, = (Ответ: = е ) ( ) ( ) e π ctg =, ( ) = (Ответ: sin = ) Решить линейные уравнения или уравнения Бернулли: 8 + = e (Ответ: = e + Ce ) 5 + tg = sin (Ответ: = cos + C cos ) ( ) ( ) C = ( + ) (Ответ: = ) = 0, ( ) = (Ответ: = ) =, ( ) = (Ответ: = e + ) = e, ( 0) = (Ответ: = e ) d + d = (Ответ: = ln C ) ( ) 0 Указание: рассмотреть данное уравнение как линейное относительно () Решить следующие дифференциальные уравнения, понижая их порядок: = + cos sin = + ln + sin + C + C ) (Ответ: ( ) С = + (Ответ: = + C ) = = C ln + C ) ln (Ответ: ( ) ( e + sin), ( 0) =, ( 0) = = (Ответ: = e sin + ( )

19 ( + ) = 0, ( 0) = 0, ( 0) = (Ответ: = + ) π tg = ( ), ( ) =, ( ) = (Ответ: ctg = 5 4 ) 4 = +, ( 0) =, ( 0) =, ( 0) 5 4 = (Ответ: = ) Тесты ТЕСТ Задание Определите тип каждого из данных уравнений: ) = + sin = ) + 0 ) ( 4) d + d = 0 4) + arcsin = Задание Сопоставьте уравнения второго порядка и способы их решения ) ( ) = 0 ) = sin cos sin ) 7 = 0 Задание Укажите функцию, являющуюся решением уравнения d d = + ( ) уравнение с разделяющимися переменными однородное уравнение первого порядка линейное уравнение первого порядка уравнение Бернулли последовательное интегрирование обеих частей уравнения = z, = z подстановка ( ) ( ) подстановка = p( ) = e = = + = ln ( +) dp, = p d 9

20 Задание 4 Решениями уравнения = + + e ( ) являются функции Задание 5 Среди перечисленных задач «задачей Коши» является Задание 6 Функция = C( +) является решением уравнения + = 0, если C принимает значение Задание 7 Решите задачу Коши 6 =, ( ) =, 6 и в ответе укажите значение ( 0) Задание 8 Решите дифференциальное уравнение = + Задание 9 Решите дифференциальное уравнение + = 4 Задание 0 Решите дифференциальное уравнение + = + (укажите два ответа) ( ) + = + e + C + C = + + e + C + C ( ) + + e + C + C = + + e + C + C = = π d + ctg d = 0, = = ( ) + ( ) =, ( 0) =, ( ) = Укажите ответ Укажите ответ Запишите полное решение Запишите полное решение Запишите полное решение 0

21 ТЕСТ Задание Определите тип каждого из данных уравнений: ) cos = ln ) + = ) ( 4) d + d = 0 4) + = Задание Сопоставьте уравнения второго порядка и способы их решения ) = e + = ) ( ) ( ) + + = ) ( ) 0 Задание Укажите функции, являющиеся решениями уравнения = Задание 4 Общим решением уравнения второго порядка = + является функция уравнение с разделяющимися переменными однородное уравнение первого порядка линейное уравнение первого порядка уравнение Бернулли последовательное интегрирование обеих частей уравнения = z, = z подстановка ( ) ( ) подстановка = p( ) dp, = p d (укажите два ответа) = 4 = = = 4 = + + C C + C = = 6 4 = + + C + C C + C

22 Задание 5 Среди перечисленных задач «задачей Коши» является Задание 6 Укажите, при каком значении C функция = является решением уравнения = C Задание 7 Решите задачу Коши = e, = 0, 4 e и в ответе укажите значение 4 Задание 8 Решите дифференциальное уравнение = tg Задание 9 Решите дифференциальное уравнение cos + sin = Задание 0 Решите дифференциальное уравнение + = = 0 4 = e, ( 0) =, ( ) = e = ( ), ( 0) =, ( 0) = e d + ( e ) d = 0 Укажите ответ Укажите ответ Запишите полное решение Запишите полное решение Запишите полное решение ТЕСТ Задание Определите тип каждого из данных уравнений: ) ln + = 0 + ) = ) = cos 4) = tg tg уравнение с разделяющимися переменными однородное уравнение первого порядка линейное уравнение первого порядка уравнение Бернулли

23 Задание Сопоставьте уравнения второго порядка и способы их решения ) = cos ) ( ) 7 = ) sin 4 = sin Задание Укажите функцию, являющуюся решением уравнения = tg Задание 4 Решениями уравнения = являются функции Задание 5 Среди перечисленных задач «задачей Коши» является Задание 6 Укажите, при каком значении C функция = е являет- + ся решением уравнения + C = последовательное интегрирование обеих частей уравнения подстановка = z( ), = z ( ) подстановка = cos = ln (cos ) sin = cos = ln (sin ) (укажите два ответа) 4 = ( ) + C 4 = C + C ( ) 4 = + + C + C 4 = + + C + C ( ) e = ( + ) d + ( ) d = 0 + ( + 5) =, ( 0) = = 4 + ( ) Укажите ответ

24 Задание 7 Решите задачу Коши =, ( ) =, и в ответе укажите значение ( ) Задание 8 Решите дифференциаль- = ное уравнение ( ) Задание 9 Решите дифференциальное уравнение = + Задание 0 Решите дифференциальное уравнение ( ) + = 0 Укажите ответ Запишите полное решение Запишите полное решение Запишите полное решение ТЕСТ 4 Задание Определите тип каждого из данных уравнений: ) + = e ) + + ( ) e = 0 ) ( + ) d + d = 0 4) sin + = sin Задание Сопоставьте уравнения второго порядка и способы их решения ) ctg + = 0 ) = cos + e + 8 ) ( ) = ( + ) Задание Укажите функции, являющиеся решениями уравнения d d = 0 уравнение с разделяющимися переменными однородное уравнение первого порядка линейное уравнение первого порядка уравнение Бернулли последовательное интегрирование обеих частей уравнения = z, = z подстановка ( ) ( ) подстановка = p( ) dp, = p d (укажите два ответа) = e e + = = e = e 4

25 Задание 4 Общим решением уравнения второго порядка = cos + e является функция Задание 5 Среди перечисленных задач «задачей Коши» является Задание 6 Укажите, при каком значении C функция = С sin является решением уравнения + = cos sin Задание 7 Решите задачу Коши ( + 5) ( 4) =, 4 = 4, и в ответе укажите значение ( ) Задание 8 Решите дифференциальное уравнение = Задание 9 Решите дифференциальное уравнение = cos Задание 0 Решите дифференциальное уравнение ( + ) ( ) = 0 = cos + e + C + C 9 4 = sin + e + C cos + e + C + C = = 9 4 cos + e + C + C sin = ( + ) d + ( + ) d = 0, ( 0 ) = d d + ln d = 0 + = 0, ( ) =, ( ) = Укажите ответ Укажите ответ Запишите полное решение Запишите полное решение Запишите полное решение 5

26 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 6 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Основные понятия, структура общего решения Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) второго порядка называется уравнение вида ( ) + q( ) f ( ) + p =, () где функции p ( ), q( ), f ( ) непрерывны на некотором интервале ( b) Если f ( ) 0 a, то уравнение () называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ): ( ) + q( ) = 0 + p, () а в противном случае линейным неоднородным (ЛНДУ) Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид где ( ) ( ) o ( ) C ( ) o = C +, (), линейно независимые решения этого уравнения (фундаментальная система решений), C, C произвольные постоянные называются линейно независимыми При этом функции ( ) и ( ) в промежутке ( a b), если их отношение ( ) ( ) (в этом промежутке) не является постоянной величиной В противном случае функции называются линейно зависимыми бы- Для того, чтобы частные решения уравнения () ( ) и ( ) ли линейно независимы в промежутке ( a b), необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского W ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) был отличен от нуля хотя бы в одной точке ( a b) 0

27 Общее решение н линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму = +, (4) н где o общее решение соответствующего однородного уравнения () ч некоторое частное решение неоднородного уравнения () Остановимся подробнее на линейных уравнениях с постоянными коэффициентами, для которых существуют стандартные алгоритмы решения Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Если в уравнении () все коэффициенты постоянны, то оно называется линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами где p, q действительные числа Решение этого уравнения будем искать в виде o ч + p + q = 0, (5) = e Значения параметра λ определяются как решения квадратного уравнения λ λ + p λ + q = 0, (6) которое называется характеристическим уравнением Чтобы получить общее решение уравнения (5), следует воспользоваться следующим алгоритмом: найти корни соответствующего характеристического уравнения где D = p 4q p ± D λ, =, записать фундаментальную систему решений (ФСР) использовать формулу () для записи o При нахождении корней характеристического уравнения (6) и построении ФСР возникают следующие случаи, приведённые в табл Таким образом, решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к вышеуказанной простой последовательности действий 7

28 дискриминант D > 0 D = 0 D < 0 Характеристическое уравнение корни действительные различные λ λ действительные равные = λ = λ λ комплексносопряжённые λ = α ± iβ,, где i = Фундаментальная система решений ЛОДУ λ e =, λ e = λ = e, = e λ = e α cosβ, = e α sinβ Вид общего решения ЛОДУ λ C e λ C e o = + = λ ( C C ) o e + o Таблица ( C β + C β) = e α cos sin Линейные однородные дифференциальные уравнения произвольного порядка с постоянными коэффициентами Это уравнения вида ( n) ( n ) ( n + p p ) pn + pn = 0 p j = const j =, n (7) Фундаментальную систему решений уравнения (7) можно найти следующим образом Составить характеристическое уравнение (алгебраическое уравнение n-й степени с теми же коэффициентами, что и (7)): n n n λ + p λ + pλ + + pn λ + pn = 0 (8) Это уравнение имеет n корней, среди которых могут быть действительные простые или кратные корни, а также пары комплексносопряжённых корней (простых или кратных) Если все корни λ j уравнения (8) простые и действительные, то получаем следующую фундаментальную систему решений уравнения: λ e =, λ e =,, n λn = e Каждому действительному корню λ кратности k соответствует ровно k линейно независимых решений уравнения: 8 λ = e, λ = e,, k = k λ e

29 4 Каждой паре комплексно-сопряжённых корней λ = α + iβ и λ = α iβ кратности m соответствует ровно m линейно-независимых решений уравнения (7) вида = e α cosβ, = e α sin β, = e α cos β, 4 = e α sin β, m α m α m = e cos β, m = e sin β Получив ФСР, общее решение уравнения (7) записываем в виде = C + C + + C n n 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Речь идёт об уравнениях вида ( ) + p + q = f, (9) где p, q действительные числа, f ( ) непрерывная на некотором интервале ( a b) функция Общее решение ЛНДУ находится по формуле (4) Так как общее решение o соответствующего линейного однородного уравнения легко находится по указанному выше алгоритму, то основная трудность состоит в нахождении какого-нибудь частного решения ч неоднородного уравнения (9) Для отыскания частного решения используют метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) Метод заключается в следующем Пусть ( ) и ( ) фундаментальная система решений однородного уравнения (5) Тогда частное решение уравнения (9) можно представить в виде где C ( ) C( ) Функции C ( ) и ( ) ч ( ) C ( ) = C +, (0), некоторые неизвестные функции C находятся с помощью системы уравнений: C + C = 0, C + C = f ( ) () Можно доказать, что эта система имеет единственное решение ( ) C ( ) { } C 9

30 0 Далее функции C ( ) и ( ) C восстанавливают как первообразные: ( ) = C ( ) d и C ( ) C ( ) C = d Когда правая часть f ( ) линейного неоднородного уравнения имеет специальный вид (ниже указаны возможные случаи), его частное решение можно найти методом неопределённых коэффициентов (методом ч подбора частного решения) Суть метода в том, что заранее можно определить структуру частного решения Данный метод сводится к случаям, приведённым в табл Изложим алгоритм нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, правая часть которого имеет «специальный вид» Определим структуру частного решения ч (см табл ) Найдём производные ч и ч Подставим ч, ч и ч в исходное неоднородное уравнение (9) 4 Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях (или при синусах и косинусах, соответственно) в левой и правой части полученного тождества Получим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов 5 Найдём коэффициенты, решив систему 6 Запишем частное решение ч с уже найденными коэффициентами Замечание Метод неопределённых коэффициентов может применяться и в случае, когда правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций рассмотренных выше видов Так, если ч, и ч, частные решения соответственно уравнений + p + q = f ( ) и + p + q = f ( ), то функция ч = ч, + ч, является частным решением уравнения ( ) f ( ) + p + q = f + Замечание При нахождении структуры частного решения важно правильно записать общий вид многочлена с неизвестными коэффициентами (см табл ) ч

31 Вид правой части f() ЛНДУ α ( ) e P ( ) f n =, где P n ( ) многочлен n-й степени с известными коэффициентами f ( ) = e α [ P n ( n ) β + Q m ( ) sin β ] где P n ( ), Q m ( ) многочлены cos, с известными коэффициентами Корни характеристического уравнения α не является корнем характеристического уравнения α является корнем характеристического уравнения кратности k α ± i β не являются корнями характеристического уравнения α ± i β являются корнями характеристического уравнения кратности k Таблица Структура частного решения ч ЛНДУ = e Q n ( ) α ч, где Q n ( ) многочлен n-й степени с неизвестными коэффициентами k α ч = e Q n ( ) ~ ~ [ P ( ) cos β + Q ( ) β ] = e α N N sin ч, ~ P N где ( ) ~ Q N, ( ) многочлены одинаковой степени с неизвестными коэффициентами N = ma { n m } k α ~ ~ [ P ( ) cos β + Q ( ) sin β ] = e N N ч

32 Многочлен нулевой степени Q ( ) = A 0, где A = const Многочлен первой степени Q ( ) = A + B Многочлен второй степени Q ( ) = A + B + C Многочлен n-й степени n n Q ( ) = a + a + + a a0 n n n +, a, an, a, a Таблица где n 0 коэффициенты многочлена 5 Системы дифференциальных уравнений В данном параграфе мы ограничимся рассмотрением систем двух дифференциальных уравнений С подобными системами приходится встречаться часто в теоретической механике, сопротивлении материалов и в других приложениях математики Система дифференциальных уравнений первого порядка вида d = ϕ dt d = ψ dt ( t,, ), ( t,, ), где t независимая переменная ( t) ( t) (), неизвестные функции, называется нормальной Пара функций = ( t), = ( t) является решением системы (), если каждое из уравнений системы они обращают в тождество Класс функций вида = ( t, C, C ), = ( t, C, C ), называется общим решением системы (), если при всех значениях произвольных постоянных C, C, соответствующая пара функций {, } является решением системы Для системы дифференциальных уравнений () можно сформулировать задачу Коши: найти решение х = у = удовлетворяющее начальным условиям ( t0 ) ( ) 0 ( t), ( t), =, 0 = 0

33 С точки зрения механики, решить систему значит восстановить закон движения точки по известному вектору скорости r d r d r v = i + j dt dt Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удаётся свести к одному уравнению второго порядка, содержащему одну неизвестную функцию Это может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одной (метод исключения) Если правые части уравнений системы () являются линейными функциями, то система называется линейной Ограничимся рассмотрением линейной однородной системы с постоянными коэффициентами где a, b, p, q некоторые числа d = a + b, dt d = p + q, dt d d Переобозначим производные: =, = dt dt Тогда система () примет вид = a + b, = p + q Пусть для определённости p 0 Выразим х из второго уравнения системы (4): () (4) ( q) = (5) p Дифференцируем второе уравнение системы (4) по переменной t : = p + q Затем подставляем в него из первого уравнения системы: ( a + b) + q = p

34 или В полученное равенство вместо подставим выражение (5): = a aq + pb + q, ( a + q) + ( aq + pb) = 0 (6) Соотношение (6) это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, его характеристическое уравнение можно записать с помощью определителя a λ p b = 0 q λ В соответствии с корнями λ, λ найдём фундаментальную систему решений и, а затем и общее решение уравнения (6): ( t) C ( t) = C + Затем из равенства (5) находим функцию ( t, C C ) будет получено общее решение системы (4) ЗАДАЧИ ДЛЯ АКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ, В результате Найти общее решение = 0 Решение Имеем линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами Составляем и решаем характеристическое уравнение: λ + λ + 5 = 0, ( ) = 6 D = 4 40 = 6 = 6 i, ± 6i ± 6i λ, = = = ± i 4 4 Получены комплексно-сопряжённые корни, причём α = β = Следовательно, фундаментальная система решений имеет вид e = cos, e = sin Записываем теперь общее решение = C + C : 4 = e C + C sin cos

35 Решить задачу Коши: = 0, ( 0) =, ( 0) = 4 Решение Найдём общее решение линейного однородного уравнения Характеристическое уравнение λ 8λ + 6 = 0 имеет корни λ = λ 4, в соответствии с которыми получаем фундаментальную = 4 4 систему решений: = e, = e Теперь общее решение принимает вид: = C e C e (7) Подберём теперь постоянные С и С, используя начальные усло-, ( 0 ) = 4 вия ( 0 ) = Найдя производную от функции (см (7)) 4 ( 4C + C + 4C ) = e, (8) подставим в равенства (7) и (8) значения = 0, =, = 4 из начальных условий: 0 e ( C + 0) =, ( ) C =, 0 e 4C = 4 C = 0 C Таким образом, с учётом (7), искомое частное решение имеет вид: 4 = e Решение Находим корни характеристического уравнения: Найти решение задачи Коши: + 4 = 0, ( 0) = 7, ( 0) = 8 λ + 4λ = 0, λ ( λ + 4 ) = 0, λ 0, λ = 4 = Записываем общее решение однородного уравнения и находим его производную: 4 4 = C + C e, = C e o o 4 Используя начальные условия, получаем систему: С + С 4С = 7, = 8 C = 9, C = Тогда частное решение однородного уравнения (решение задачи Коши) принимает вид: 4 = 9 e 5

36 4 Найти общее решение уравнения = 0 Решение Данное уравнение линейное однородное уравнение третьего порядка Запишем соответствующее характеристическое уравнение 6 6 = λ + λ + λ или ( λ + ) = 0 Отсюда получаем, что λ = действительный корень кратности,, k = Построим теперь фундаментальную систему решений = e, = e, = e, и общее решение = C + C + C окончательно запишем в виде в виде e ( C + C + C ) = 5 5 Найти общее решение уравнения = e + 4 Решение Согласно структуре н = o + ч общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, рассмотрение начинаем с соответствующего линейного однородного уравнения = 0 Корнями характеристического уравнения λ + 0λ + 5 = 0 являются числа λ = λ = 5 Следовательно, фундаментальная система решений имеет вид: 5 5 = e, = e ( ) ( ) Запишем общее решение однородного уравнения: о 5 5 = C e + C e Для нахождения частного решения неоднородного уравнения применим метод вариации произвольных постоянных Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: 5 5 ч = C ( ) e + C( ) e Теперь нахождению подлежат функции C ( ) и C ( ) Составляем систему уравнений для определения C ( ) и ( ) 5 5 C ( ) e + C ( ) e = 0, C 5 5 ( )( e ) + C ( )( e ) = e C :

37 7 Находя производные функций, содержащихся во втором уравнении, имеем: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) + = + = , e e e C e C e C e C Разделим оба уравнения системы на e 5 : ( ) ( ) ( ) ( )( ) + = + = 4 5 5, C C C C ( ) ( ) ( ) + = = 4, С С С Система будет иметь следующее решение: + = + = 4 ) (, 4 ) ( С С Для нахождения соответствующих первообразных удобно записать эту систему в виде: ( ) ( ) + = + = 4, 4 4 С С Интегрируем каждое уравнение системы: ( ) ( ) ( ) + + = + = 4 4, 4 4 d C d С ( ) ( ) ( ) + = = 4 ln, arctg C С Поскольку ( ) ( ) e C e C 5 5 ч + =, то частное решение неоднородного уравнения принимает вид ( ) e 5 ч 4 ln arctg + + = Наконец, складывая o и ч, получаем общее решение неоднородного уравнения: ( ) e C C 5 н 4 ln arctg =

38 6 Найти общее решение уравнения = e Решение Начнём с соответствующего однородного уравнения = 0 Характеристическое уравнение λ λ = 0 имеет корни λ, λ =, поэтому общее решение однородного уравнения о = Ce + Ce Перейдём к нахождению частного решения ч Правая часть неоднородного уравнения представляет собой произведение многочлена и экспоненты, те имеет специальный вид: f ( ) e = P ( ) e =, где α = (при этом α не является корнем характеристического уравнения), n = 0 (степень многочлена) Поэтому частное решение неоднородного уравнения имеет следующую структуру: = Q e = Ae 0 ( ) ч 0, где A неизвестная константа Осталось определить коэффициент A Для этого находим производные: ч = Ae, ч = Ae Подставляем, в исходное неоднородное уравнение: ч, ч = Ae Ae Ae = e или 4Ae = e, откуда 4A =, A = 4 Итак, частное решение неоднородного уравнения ч = e 4 Общее решение неоднородного уравнения находим как сумму + : 8 н = C e + C e e 4 7 Найти общее решение уравнения 6 = 8 8 Решение Однородное уравнение имеет вид 6 = 0 Корнями характеристического уравнения λ 6λ = 0 являются числа λ =, λ 6 0 = o ч

39 Запишем общее решение однородного уравнения: 0 о + 6 = C e C e, те 6 = C C e о + Найдём теперь частное решение неоднородного уравнения ч Правая часть исходного уравнения представляет собой многочлен второй степени: 0 ( ) e f ( ) = = P, где α = 0 ( α является корнем характеристического уравнения кратности k = ) n = (степень многочлена) Следовательно, частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде то 0 ( ) e = ( A + B + C) = A + B + C ч = Q Осталось, подставив Поскольку ч, ч, в уравнение, найти коэффициенты А, В, С ч = A + B + C, = 6A B, ч + ( 6 + B) 6 ( A + B + C) = A, ( 6A B) + B 6C = A + Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменой х, имеем: 8A = 8, A =, 6A B = 8, B =, B 6C = C = 0 Следовательно, =, и общее решение неоднородного уравнения принимает вид: н ч о ч 6 e = + = C + C + 8 Найти общее решение уравнения + 4 = 4 sin Решение Найдём общее решение однородного уравнения: следовательно, + 4 = 0 λ + 4 = 0 λ = i о = C cos + C sin ± 9

40 40 Далее, правая часть уравнения имеет специальный вид: [ P ( ) cos + Q ( ) sin ] f ( ) = 4sin = 0cos + 4sin = e 0 0 где α = 0, β = (числа α ± iβ = ± i являются корнями характеристического уравнения кратности k = ) n = 0, m = 0 (степени многочленов, причём = ma { n, m} = 0 N ) Поэтому частное решение неоднородного уравнения будет иметь следующую структуру: 0 0 ~ ~ [ P ( ) cos + Q ( ) sin] = ( Acos Bsin) ч = e Далее дифференцируем ( Asin B cos ) ( Acos B sin ) = Acos + Bsin, ч = 4Asin + 4B cos 4 ч + Подставляя ч и ч в исходное неоднородное уравнение, имеем (убедитесь в этом самостоятельно): 4 Asin + 4Bcos = 4sin Приравнивая коэффициенты при частях полученного равенства, мы получаем систему: 4A = 4, A =, 4B = 0 B = 0 sin и cos в левой и правой Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид = cos ч Окончательно получаем решение уравнения: н = о + ч = C cos + C sin cos 9 Найти общее решение уравнения = Решение Общее решение соответствующего однородного уравнения = 0 имеет вид: 0 ( C + C ) e =, так как корни характеристического уравнения λ = λ =,

41 Правую часть неоднородного уравнения можно записать следующим образом: 0 0 f ( ) = = e = P e, 0 ( ) где α = 0 ( α не совпадает с корнями λ, λ ), n = 0 (степень многочлена) Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в 0 виде ч = Q0 ( ) e = A Дифференцируем: ч = ч = 0 Подставляя результаты в исходное уравнение, получим A = Итак, частное решение неоднородного уравнения ч =, а его общее решение: н = + ( C + C ) e 0 Решить задачу Коши + + = 6cos + sin, ( 0 ) = 0, ( 0 ) = 0 Решение Имеем линейное неоднородное уравнение с правой частью специального вида Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения: + + = 0 λ + λ + = 0, λ =, λ = o + Ce = C e Рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения: f 0 ( ) cos + sin = e [ P ( ) cos + Q ( ) sin] =, где α = 0, β = (числа α ± iβ = ± i не являются корнями характеристического уравнения) n = 0, m = 0 (степени многочленов, причём { n, } 0 N = ma m = ) Поэтому частное решение неоднородного уравнения будет иметь следующую структуру: 0 ~ ~ ч = e [ P0 ( ) cos + Q0 ( ) sin] = Acos + Bsin Далее, ч = Asin + B cos, = 9 A cos 9B sin ч Подставляя ч, ч и ч в исходное неоднородное уравнение, имеем (убедитесь в этом самостоятельно): ( 7 A + 9B) cos + ( 9 A 7B) sin = 6 cos + sin 4

42 Приравнивая коэффициенты при частях равенства, получаем систему 4 7A + 9B = 6, 9A 7B = cos и sin в левой и правой A = 6, B = 4 Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид 6 4 ч = cos + sin Теперь общим решением неоднородного уравнения является н = о + ч = Ce Ce cos + sin Найдём его производную н = C e C e 8 + sin + cos и используем начальные условия = 0, = = 0 для вычисления значений С и С Получим систему для нахождения значений констант: C + C C C 6 = 0, C = 0, + = 0 C = 6 Следовательно, решение задачи Коши примет вид = 6 e 6 4 cos + sin Решить дифференциальное уравнение + = + + cos Решение Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид o = Ce + Ce (проверьте самостоятельно) Для нахождения частного решения исходного неоднородного уравнение рассмотрим совокупность двух уравнений + = +, + = cos

43 Частное решение первого уравнения находим в виде ч,, = A + B + C так как α = 0 не является корнем характеристического уравнения После соответствующих вычислений (предлагаем выполнить их самостоятельно) получим: ч, + = + 7 Частное решение второго уравнения будем искать в виде ( A + B) cos + ( C D) sin =, ч, + поскольку числа α ± i β = ± i не являются корнями характеристического уравнения Находя неизвестные коэффициенты A, B, C, D (проделайте действия самостоятельно), получим: ч, = cos ( + ) sin Общее решение исходного уравнения имеет вид так что теперь н = C e C = + +, н o ч, ч, + e cos ( + ) sin = 6 + 4, Найти общее решение системы = 9 6 Решение Имеем линейную однородную систему с постоянными коэффициентами Составим характеристическое уравнение (коэффициенты системы a = 6, b = 4, p = 9, q = 6 ): 6 λ λ = 0, откуда ( 6 λ) 6 = 0 λ + 6 = ± 6 λ = 0 и λ = Следовательно, получаем фундаментальную систему решений 0 = t = e Находим одну из искомых функций: t = e t = C + C e 4

44 функция: 44 Далее, из второго уравнения системы: = ( + 6) 9 t = C + Ce = Ce, то вторая неизвестная Поскольку ( ) t t t = ( C e + 6C + C e ) t, ( C C e ) 9 6 = ( ) t = C Ce, Итак, общее решение системы имеет вид t = C + Ce Как отмечалось ранее, это решение можно понимать как совокупность возможных траекторий (законов движения) материальной точки в плоскости, найденную по известной зависимости координат, вектора r скорости v = i + j от плоских координат этой точки БЛОК КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Теоретические упражнения Составить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, решениями которого k являются функции e k и e ( k 0 любая постоянная величина) Класс функций вида = Asin ( + γ) представляет собой общее решение некоторого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (А и γ произвольные постоянные) Каков вид этого дифференциального уравнения? k Известно, что функция = e является решением некоторого линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ( k 0 любая постоянная величина) Каков вид соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения? 4 Найти решения краевой задачи + λ = 0, ( 0) = ( π) = 0, (λ произвольное отличное от нуля действительное число) 5 Пусть решение дифференциального уравнения + a ( ) + + a + a Показать, что введение новой искомой функции ( ) ( ) 0 = u = приводит к дифференциальному уравнению, допускающему понижение порядка

45 6 Доказать, что при замене независимой переменной = ϕ( t ), где ϕ ( t) произвольная достаточное число раз дифференцируемая функция, линейное уравнение второго порядка остается линейным ϕ однородного 7 Показать, что если известно частное решение ( ) линейного уравнения + a ( ) + a ( ) = 0 = ϕ( ) u( ), где ( ), то подстановка u новая функция, приводит исходное уравнение к уравнению, допускающему понижение порядка 8 Пусть,, три независимых частных решения линейного неоднородного дифференциального уравнения третьего порядка Составить из них общее решение этого уравнения 9 Составить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее частные решения = и = Показать, что функции и линейно независимы Почему равенство нулю определителя Вронского от этих функций в точке = 0 не приводит к противоречию независимости решений? 0) Найти общее решение системы линейных дифференциальных = b + a, уравнений с постоянными коэффициентами a и b : = a + b Задачи для самостоятельного решения Решить линейные однородные дифференциальные уравнения = 0 (Ответ: = e ( C + C ) ) = 0 (Ответ: e ( C C sin ) = cos + ) + 4 = 0 (Ответ: = C cos + C sin ) = 0, ( 0) =, ( 0) = 6 (Ответ: = e ( + ) π π 9 + = 0, =, = 0 (Ответ: + = 0 (Ответ: = C + ( C C ) e ) IV + 6 = 0 (Ответ: + = sin ) = C e + C e + C e + C e ) ) 4 Решить дифференциальные уравнения методом вариации произвольных постоянных e + = + (Ответ: e ( C + C ) ln( + ) arctg = + ) 45

46 + 4 = sin (Ответ: cos( C ln sin ) + sin ( C ) 4 + = ctg (Ответ: e = (Ответ: e = ) cos cos = С + C sin sin ln tg ) 4 + Сe + e + = С e arcsin e ) + = (Ответ: = С cos + C sin cos + sin ln sin ) sin = + e (Ответ: = С + С e + ( e + ) [ ln ( e + ) ] e + + = (Ответ: = e ( C + C + ln )) Решить неоднородные уравнения, находя их частные решения методом неопределённых коэффициентов = (Ответ: = C e + C e ) = + + (Ответ: 4 8 = C e + C e ) = ( ) e (Ответ: = e ( С cos + C sin ) e ) = cos5 (Ответ: = C cos5 + Csin5 + cos5 ) 0 + = e + e (Ответ: = C + C e + e e ) cos + sin = + sin (Ответ: = C e + C e ) 5 6 Найти решения следующих однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ) = 7 +, = =, = + = Ce Ответ: = C e 0t 0t = Ce Ответ: = C e t, t + C e, C e t + C te t t 46

47 = 4, = + 4 = 5, = +, = +, = +, = z, = + + z, z = + ( 0) =, ( 0) ( 0) =, ( 0) = = = e Ответ: = e 4t 4t Ответ: = = e ( C cost + C sint ), ( C sint C cost ) 4t 5t = e, Ответ: 5t = e t = C + Ce, t t Ответ: = Ce Ce, t z = C + Ce Ce t Тесты ТЕСТ Задание Укажите уравнения, решения которых можно найти с помощью метода вариации произвольных постоянных Задание Фундаментальная система решений уравнения = 0 имеет вид Задание Дано дифференциальное уравнение третьего порядка + = 0 Корнями его характеристического уравнения являются (укажите не менее двух ответов) = e = cos + = 0 + = 0 = cos 4, = sin 4 = e, = e = e cos4, = e sin4, = = e Укажите ответы: λ = λ = λ = 47

48 Задание 4 Укажите вид частного решения неоднородного дифференциального уравнения + 6 = 5 Задание 5 Сопоставьте типы уравнений и их возможные решения: ) линейное уравнение первого порядка ) линейное однородное уравнение второго порядка ) линейное неоднородное уравнение второго порядка 4) линейное неоднородное уравнение третьего порядка Задание 6 Функция = e является решением дифференциального уравнения C + = 0, если С принимает значение Задание 7 По методу вариации произвольных постоянных частное решение неоднородного уравнения 6 = e следует искать в виде Задание 8 Решите дифференциальное уравнение = 0, 0 =, 0 = ( ) ( ) Задание 9 Решите дифференциальное уравнение = e Задание 0 Решите систему дифференциальных уравнений =, = = ( A + B) e = = A + B = A ( A + B) = C e + C e + e ( C C ) e + = = + C e = C + C + Ce + Укажите ответ C ( ) e + C ( ) e = = C ( ) e + C( ) e = e [ C( ) + C( ) ] e [ C ( ) + C ( ) sin ] = cos Запишите полное решение Запишите полное решение Запишите полное решение 48

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее