Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике -2, 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике -2, 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В."

Транскрипт

1 Лекция: Схемы из функциональных элементов с задержками (СФЭЗ), автоматность осуществляемых ими отображений. Представление КАВ СФЭЗ. Упрощения КАВ. Отличимость и неотличимость состояний КАВ. Теорема Мура о длине слова, отличающего два отличимых состояния КАВ. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Дискретной математике -2, 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции на сайте

2 СФЭ с задержками Схемой из функциональных элементов с задержками (СФЭЗ) S(x 1 (t),, x n (t); y 1 (t),, y m (t)) в базисе {&,, } называется 1) ориентированный граф G = (V, E) с возможными ориентированными циклами, все вершины которого имеют полустепень захода не больше двух; 2) вершины с нулевой полустепенью захода называются входными и им приписываются входные переменные x 1 (t),, x n (t); 3) некоторым вершинам с полустепенью захода, равной единице, приписывается элемент единичной задержки z, причем в любом ориентированном цикле графа G должна быть хотя бы одна вершина с приписанным элементом единичной задержки;

3 СФЭ с задержками 4) остальным вершинам с полустепью захода, равной единице, приписываются элементы отрицания ; 5) каждой вершине с полустепью захода, равной двум, приписывается или элемент конъюнкции &, или элемент дизъюнкции ; 6) некоторые (в том числе и входные) вершины называются выходными и им приписываются (различные) выходные переменные y 1 (t),, y m (t).

4 Теорема о функционировании СФЭЗ Теорема 1. Каждая СФЭЗ S(x 1 (t),, x n (t); y 1 (t),, y m (t)) осуществляет автоматное отображение входов x 1 (t),, x n (t) в выходы y 1 (t),, y m (t). Доказательство. Рассмотрим граф G = (V, E) СФЭЗ S. Пусть v 1,, v k V все вершины, которым приписан элемент единичной задержки z. Рассмотрим вершину v i, в нее входит одна дуга из вершины, которую обозначим v i. Удалим эту дугу из графа. Вершине v i припишем новую выходную переменную i (t). Вершина v i станет входной, ей припишем новую входную переменную p i (t). Заметим, что т.к. в любом ориентированном цикле графа G хотя бы одной вершине был приписан элемент z, выполнив такое преобразование для вершин v 1,, v k, мы разорвем все ориентированные циклы.

5 Теорема о функционировании СФЭЗ Доказательство (продолжение). В результате получили СФЭЗ (без задержек) S. Запишем функции алгебры логики, которые реализуются в ее выходах: y j (t) = F j (x 1 (t),, x n (t), p 1 (t),, p k (t)), 1 j m; i (t) = G i (x 1 (t),, x n (t), p 1 (t),, p k (t)), 1 i k. Из описания функции единичной задержки верно, что p i (t) = i (t 1), i (0) = 0. Поэтому y j (t) = F j (x 1 (t),, x n (t), 1 (t 1),, k (t 1)), 1 j m; i (t) = G i (x 1 (t),, x n (t), 1 (t 1),, k (t 1)), i (0) = 0, 1 i k. Т.е. построили канонические уравнения. А значит, преобразование автоматное.

6 Теорема о представлении КАВ СФЭЗ Теорема 2. Каждый КАВ A = (A, B, Q, ϕ, ψ, ) может быть реализован схемой с задержками в базисе {&,, } при некотором кодировании элементов из множеств A, B, Q векторами из нулей и единиц. Доказательство. Пусть A = r, B = s, Q = t. Закодируем элементы множества A векторами (x 1, x 2,, x n ) {0, 1} n, где n = log 2 r ; элементы множества B векторами (y 1, y 2,, y m ) {0, 1} m, где m = log 2 s ; элементы множества Q векторами ( 1, 2,, k ) {0, 1} k, где k = log 2 t, причем начальное состояние закодируем нулевым вектором (0,, 0).

7 Теорема о представлении КАВ СФЭЗ Доказательство (продолжение). КАВ A можно задать каноническими уравнениями: y(t) = ϕ(x(t), (t 1)); (t) = ψ(x(t), (t 1)); (0) =. Перепишем эти уравнения для кодов элементов множеств A, B, Q. При этом функции ϕ и ψ преобразуются в векторы функций алгебры логики (F 1,, F m ) и (G 1,, G k ): y j (t) = F j (x 1 (t),, x n (t), 1 (t 1),, k (t 1)), 1 j m; i (t) = G i (x 1 (t),, x n (t), 1 (t 1),, k (t 1)), i (0) = 0, 1 i k. (1)

8 Теорема о представлении КАВ СФЭЗ Доказательство (продолжение). Теперь построим СФЭ (без задержек) S в базисе {&,, }, реализующую на выходах y 1 (t),, y m (t), 1 (t),, k (t) функции алгебры логики: y j (t) = F j (x 1 (t),, x n (t), 1 (t 1),, k (t 1)), 1 j m; i (t) = G i (x 1 (t),, x n (t), 1 (t 1),, k (t 1)), 1 i k. После чего соединим в схеме S выход i (t) со входом i (t 1) через элемент единичной задержки z для всех i = 1,, k. Получим СФЭЗ S, осуществляющую автоматное отображение в соответствии с каноническими уравнениями (1).

9 Функции ϕ и ψ Пусть A = (A, B, Q, ϕ, ψ, 1 ) КАВ. Определим по функциям ϕ и ψ однозначные функции ϕ : A Q B и ψ : A Q Q. Для всех a A, α = a i1 a i2 a ik A и Q положим: ϕ(a, ) = ϕ(a, ); ϕ(a i1 a i2 a ik, ) = ϕ(a i1, ) ϕ(a i2 a ik, ψ(a i1, )); ψ(a, ) = ψ(a, ); ψ(a i1 a i2 a ik, ) = ψ(a i2 a ik, ψ(a i1, )).

10 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ.

11 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik

12 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A

13 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A

14 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A

15 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A

16 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, )

17 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) b i1

18 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i1

19 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i1 i2

20 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i1 i2

21 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i2 = ϕ(a i2, i2 ) b i1 i2

22 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i2 = ϕ(a i2, i2 ) b i1 b i2 i2

23 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i2 = ϕ(a i2, i2 ) i3 = ψ(a i2, i2 ) b i1 b i2 i2

24 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i2 = ϕ(a i2, i2 ) i3 = ψ(a i2, i2 ) b i1 b i2 i2 i3

25 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i2 = ϕ(a i2, i2 ) i3 = ψ(a i2, i2 ) b i1 b i2 i2 i3

26 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i2 = ϕ(a i2, i2 ) i3 = ψ(a i2, i2 ) b i1 b i2 i2 i3 ik

27 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i2 = ϕ(a i2, i2 ) i3 = ψ(a i2, i2 ) b ik = ϕ(a ik, ik ) b i1 b i2 i2 i3 ik

28 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i2 = ϕ(a i2, i2 ) i3 = ψ(a i2, i2 ) b ik = ϕ(a ik, ik ) b i1 b i2 b ik i2 i3 ik

29 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i2 = ϕ(a i2, i2 ) i3 = ψ(a i2, i2 ) b ik = ϕ(a ik, ik ) ik+1 = ψ(a ik, ik ) b i1 b i2 b ik i2 i3 ik

30 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i2 = ϕ(a i2, i2 ) i3 = ψ(a i2, i2 ) b ik = ϕ(a ik, ik ) ik+1 = ψ(a ik, ik ) b i1 b i2 b ik i2 i3 ik ik+1 = ψ(α, )

31 Содержательный смысл функций ϕ и ψ Содержательный смысл функций ϕ и ψ. t 0 t 0 + k 1 a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 = ϕ(a i1, ) i2 = ψ(a i1, ) b i2 = ϕ(a i2, i2 ) i3 = ψ(a i2, i2 ) b ik = ϕ(a ik, ik ) ik+1 = ψ(a ik, ik ) b i1 b i2 b ik β = b i1 b i2 b ik = ϕ(α, ) B i2 i3 ik ik+1 = ψ(α, )

32 Эксперименты для КАВ Экспериментом для КАВ A = (A, B, Q, ϕ, ψ, 1 ) называется произвольное слово α A. Длиной эксперимента α A называется число символов в нем α. Эксперимент α A отличает состояния Q и Q, если ϕ(α, ) ϕ(α, ). Иначе, эксперимент α A не отличает состояния Q и Q.

33 Отличимые и неотличимые состояния КАВ Пусть A = (A, B, Q, ϕ, ψ, 1 ) КАВ. Состояния Q и Q называются отличимыми, если найдется эксперимент α A, который их отличает, т.е. ϕ(α, ) ϕ(α, ). Иначе, состояния Q и Q называются неотличимыми, или эквивалентными.

34 Пример Пример 1. Пусть A = B = {0, 1}. Рассмотрим автоматную функцию f : A B, задаваемую следующей диаграммой Мура. 0(0) 0(0) 2 1 0(1) 1(1) 3 3 1(1) 1(1) Состояния 1 и 2 неотличимы.

35 Лемма об отличимых состояниях Лемма 3. Пусть A = (A, B, Q, ϕ, ψ) КАВ. Пусть состояния Q и Q отличимы экспериментом α = a i1 a ik A длины k и не отличимы никаким экспериментом меньшей длины. Тогда для каждого l, 1 l k, найдутся состояния l Q и l Q, которые отличимы экспериментом длины l и не отличимы никаким экспериментом меньшей длины.

36 Лемма об отличимых состояниях Доказательство.

37 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik

38 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A

39 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A

40 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A

41 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 b i1

42 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 k 1 b i1 k 1

43 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 k 1 k 1 k 1 b i1 k 1

44 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 b i2 k 1 k 1 k 1 b i1 b i2 k 1

45 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 b i2 k 1 k 1 k 1 k 2 b i1 b i2 k 1 k 2

46 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 b i2 k 1 k 1 k 2 k 2 k 1 k 2 b i1 b i2 k 1 k 2

47 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 b i2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 2 k 2 b i1 b i2 k 1 k 2

48 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 b i2 k 1 k 2 1 k 1 k 1 k 2 k 2 b i1 b i2 k 1 k 2 1

49 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 b i2 k 1 k 2 1 k 1 k 1 k 2 k b i1 b i2 k 1 k 2 1

50 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 b i2 k 1 k 2 b 1 k 1 k 1 k 2 k b i1 b i2 k 1 k 2 c 1

51 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 b i2 k 1 k 2 b 1 k 1 k 1 k 2 k 2 b i1 b i2 k 1 k 2 c b c

52 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Входная лента a i1 a i2 a ik α = a i1 a i2 a ik A b i1 b i2 k 1 k 2 b 1 k 1 k 1 k 2 k 2 b i1 b i2 k 1 k 2 c b c l и l искомые

53 Лемма об отличимых состояниях Доказательство. Пусть A = (A, B, Q, ϕ, ψ, 1 ) КАВ. Пусть состояния Q и Q отличимы экспериментом α = a i1 a ik A длины k и не отличимы никаким экспериментом меньшей длины. Положим для каждого l, 1 l k, l = ψ(a i1 a ik l, ) Q; l = ψ(a i1 a ik l, ) Q; Тогда 1. Состояния l и l отличимы экспериментом α l = a ik l+1 a ik длины l.

54 Лемма об отличимых состояниях Доказательство (продолжение). 2. Докажем от противного, что состояния l и l не отличимы никаким экспериментом меньшей длины. Пусть найдется эксперимент α 0 A длины m < l, отличающий состояния l и l. Но тогда состояния и отличаются экспериментом α 1 = a i1 a ik l α 0 длины (k l) + m < k. Получаем противоречие с условием. Следовательно, состояния l и l не отличимы никаким экспериментом длины, меньшей l.

55 Теорема Мура Теорема 4 (Мура). Пусть A = (A, B, Q, ϕ, ψ, 1 ) КАВ с r состояниями ( Q = r). Если состояния Q и Q отличимы, то они отличимы экспериментом длины, не большей r 1. Доказательство. Для каждого l, l = 0, 1,, рассмотрим бинарное отношение R l Q Q на множестве Q: если i, j Q, то i R l j, если они не отличимы никаким экспериментом длины, меньшей или равной l. Будем полагать, что i R 0 j для всех i, j Q.

56 Теорема Мура Доказательство (продолжение). Докажем, что для каждого l, l = 0, 1,, отношение R l Q Q является отношением эквивалентности на множестве Q. 1. Рефлексивность: R l для кажого состояния Q. 2. Симметричность: если i R l j, то j R l i. 3. Транзитивность: пусть i R l j и j R l s, то есть для каждого такого эксперимента α A, что α l, верно ϕ(α, i ) = ϕ(α, j ); ϕ(α, j ) = ϕ(α, s ). Отсюда верно ϕ(α, i ) = ϕ(α, s ), или i R l s. Следовательно, R l отношение эквивалентности на Q.

57 Теорема Мура Доказательство. Пусть r l = Q/R l число классов эквивалентности по отношению R l на множестве Q. Заметим, что r 0 = 1. По условию состояния Q и Q отличимы. Пусть α A эксперимент минимальной длины, отличающий состояния Q и Q. Пусть α = k. То есть состояния Q и Q отличимы экспериментом длины k и не отличимы никаким экспериментом меньшей длины. Тогда по доказанной лемме для каждого l, 1 l k, найдутся состояния l Q и l Q, которые отличимы экспериментом длины l и не отличимы никаким экспериментом меньшей длины.

58 Теорема Мура Доказательство (продолжение). Посмотрим, как устроены фактор-множества Q/R l и Q/R l+1, и как соотносятся между собой числа r l и r l+1. Заметим, что если i R l j, то i R l+1 j. То есть если состояния i и j отличимы экспериментом длины, не большей l, то состояния i и j отличимы и экспериментом длины, не большей (l + 1). Поэтому r l r l+1.

59 Теорема Мура Доказательство (продолжение). Рассмотрим состояния l+1 Q и l+1 Q. Они не отличимы никаким экспериментом длины, меньшей (l + 1). Значит, по отношению R l они находятся в одном классе эквивалентности. Но они отличимы экспериментом длины (l + 1). Значит, по отношению R l+1 они находятся в разных классах эквивалентности. Следовательно, при переходе от фактор-множества Q/R l к фактор-множеству Q/R l+1 хотя бы один класс эквивалентности по отношению Q/R l разбивается хотя бы на два класса эквивалентности по отношению R l+1. Отсюда r l < r l+1.

60 Теорема Мура Доказательство (продолжение). Заметим, что так как Q = r, для всех l верно r l r (в каждом классе эквивалентности не менее одного состояния). Получаем возрастающую последовательности чисел 1 = r 0 < r 1 < r 2 < < r k r. Отсюда k r 1.

61 Примеры Пример 2. Рассмотрим диаграмму Мура автоматной функции f : 0(0) 0(0) (0) 1(1) 1(0) 3 3 1(0) Состояния 1 и 2 отличаются экспериментом α = 1. Состояния 2 и 3 также отличаются экспериментом α = 1. Состояния 1 и 3 не отличаются никаким экспериментом длины, не большей 2. По теореме Мура они неотличимы.

62 Примеры Диаграмму Мура функции f можно упростить, отождествив неотличимые состояния 1 и 3 : 0(0) 1(0) 1, 3 1(1) 0(0) 2

63 Примеры Диаграмму Мура функции f можно упростить, отождествив неотличимые состояния 1 и 3 : 0(0) 1(0) 0(0) 1, (1)

64 Примеры Диаграмму Мура функции f можно упростить, отождествив неотличимые состояния 1 и 3 : 0(0) 1(0) 0(0) 1, (1) (t 1) x(t) y(t) (t)

65 Примеры Диаграмму Мура функции f можно упростить, отождествив неотличимые состояния 1 и 3 : 0(0) 1(0) 0(0) 1, (1) (t 1) x(t) y(t) (t) y(t) = x(t) (t 1); (t) = x(t); (0) = 0.

66 Задачи для самостоятельного решения 1. Пусть A = B = {0, 1}. Построить СФЭЗ для автоматного отображения y(1)y(2) = f (x(1)x(2) ), если 1) y(t) = x(t) y(t 1) при t 2, y(1) = 0; 2) y(t) (t + 1)-я цифра после запятой в двоичной записи числа 2 3 x(t). 2. Построить диаграмму Мура, в которой нет неотличимых состояний, для автоматной функции, заданной каноническими уравнениями: y(t) = x(t) 1 (t 1) 2 (t 1); 1 (t) = x(t); 2 (t) = x(t) 1 (t 1); 1 (0) = 2 (0) = 0.

67 Литература к лекции 1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике. М.: МАКС Пресс, Стр Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. М.: Физматлит, 2004.

68 Конец лекции

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Конечные автоматы с выходом (КАВ). Автоматные функции, способы их задания. Теорема о преобразовании периодических последовательностей автоматными функциями. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Подробнее

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Алгоритм распознавания полноты в P k. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множества и сохраняющих разбиения, их замкнутость. Теорема Кузнецова о функциональной полноте. Предполные классы.

Подробнее

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте Факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  Факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Графы и сети. Оценка числа псевдографов с q ребрами. Оценка числа деревьев с q ребрами. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Наибольшее число ребер в планарных графах. Непланарность

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Недетерминированные конечные автоматы (НКА) без выхода. Теорема о совпадении классов множеств слов, допускаемых конечными детерминированными и конечными недетерминированными автоматами. Процедура

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Покрытие множества и покрытие матрицы. Градиентное покрытие. Лемма о градиентном покрытии. Оценки мощности затеняющего множества n-мерного куба. Оценки длины полиномиальных нормальных форм функций

Подробнее

Лекция 3. Отношения на множествах. Свойства. Формула включений-исключений. Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.

Лекция 3. Отношения на множествах. Свойства. Формула включений-исключений. Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка. Лекция 3. Отношения на множествах. Свойства. Формула включений-исключений. Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Дискретным моделям.

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 2. Свойства биномиальных коэффициентов. Метод производящих функций, подсчет сумм и доказательство тождеств. Полиномиальные коэффициенты. Принцип включений-исключений. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Лекция: Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел.

Лекция: Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел. Лекция: Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции на сайте http://mk.cs.msu.su

Подробнее

Лекция 1. Выборки. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями, их число. Примеры.

Лекция 1. Выборки. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями, их число. Примеры. Лекция 1. Выборки. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями, их число. Примеры. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по курсу Дискретная

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Операции над конечно-автоматными множествами. Дополнение, объединение, пересечение, произведение и итерация автоматных множеств, их автоматность. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 2. Свойства биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм и метод производящих функций (конечный случай). Полиномиальные коэффициенты. Оценки биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Оценки сумм

Подробнее

Лекция 5. Графы. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа.

Лекция 5. Графы. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа. Лекция 5. Графы. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа. Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su Лекции

Подробнее

Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве.

Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура,

Подробнее

Лекция: Хроматическое число графа. Критерий двухцветности графа. Теоремы о верхних и нижних оценках хроматического числа графа.

Лекция: Хроматическое число графа. Критерий двухцветности графа. Теоремы о верхних и нижних оценках хроматического числа графа. Лекция: Хроматическое число графа. Критерий двухцветности графа. Теоремы о верхних и нижних оценках хроматического числа графа. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Дискретным моделям.

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратурва, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратурва, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 2. Производящие функции: подсчет комбинаторных сумм и доказательство тождеств, перечисление комбинаторных объектов. Принцип включений-исключений. Подсчет числа перестановок-беспорядков. Лектор -

Подробнее

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по курсу «Дискретные модели», 1-й курс, магистратура факультета ВМК МГУ имени М.В.

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по курсу «Дискретные модели», 1-й курс, магистратура факультета ВМК МГУ имени М.В. Лекция 2. Алгоритм распознавания полноты в P k. Теорема Кузнецова. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество. Классы функций, сохраняющих разбиение. Предполные классы. Лектор д.ф.-м.н. Селезнева

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 4. Раскраски вершин графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа. Существование графа без треугольников с произвольно большим хроматическим

Подробнее

1 Графы. Простейшие свойства графов.

1 Графы. Простейшие свойства графов. Магистратура факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции по курсу «Дискретные модели». Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна 1 Графы. Простейшие свойства графов. Графом G называется пара множеств

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Деревья. Остовные деревья. Число остовных деревьев помеченного полного графа. Достижимость промежуточного числа висячих вершин в остовном дереве. Оценка числа висячих вершин в остовном дереве.

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 2. Точки сочленения и мосты. Связность, k-связность. Двусвязные графы. Компоненты двусвязности (блоки) графа. Дерево блоков и точек сочленения графа. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 7 Языки первого порядка: семантика (продолжение) На прошлой лекции было дано определение значений замкнутых термов в модели (определение

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 5. Раскраски ребер графов. Хроматический индекс графа. Хроматический индекс двудольных графов. Верхняя и нижняя оценки хроматического индекса графа. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 9. Кольца. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Наследование свойств кольца в кольце многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Лектор Селезнева

Подробнее

Булевы функции или функции алгебры логики. E множество двоичных наборов n n n ~α. Число единиц в наборе

Булевы функции или функции алгебры логики. E множество двоичных наборов n n n ~α. Число единиц в наборе http://vmk.ucoz.et/ - -. Булевы функции или функции алгебры логики. Пусть E = { 0, }, E множество двоичных наборов длины. Набор (, α,..., α E α набором и обозначать через будем называть булевым ~α. Число

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 1. Графы. Основные определения. Простейшие свойства графов. Пути и цепи в графах. Связность, k-связность. Деревья, корневые деревья. Остовные деревья. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее

РЕГУЛЯРНАЯ ФОРМА СПЕЦИФИКАЦИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АВТОМАТОВ В ЯЗЫКЕ L А. Н. Чеботарев

РЕГУЛЯРНАЯ ФОРМА СПЕЦИФИКАЦИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АВТОМАТОВ В ЯЗЫКЕ L А. Н. Чеботарев ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2010 Логическое проектирование дискретных автоматов 4(10) УДК 519.713.1 РЕГУЛЯРНАЯ ФОРМА СПЕЦИФИКАЦИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АВТОМАТОВ В ЯЗЫКЕ L А. Н. Чеботарев Институт кибернетики

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 6. Графы. Наследственные свойства графов. Оценка числа ребер в графах с наследственным свойством. Экстремальные графы. Наибольшее число ребер в планарных графах и графах без треугольников с заданным

Подробнее

Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины «Дискретная математика» ПК-1,6,8,10,12,13,14,16

Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины «Дискретная математика» ПК-1,6,8,10,12,13,14,16 Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины «Дискретная математика» ПК-1,6,8,10,12,13,14,16 п/п Исходный уровень компетенций, знаний и умений, которыми должен обладать студент, приступая

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 10. Идеалы, главные идеалы колец. Кольцо главных идеалов. Теорема о главном идеале кольца главных идеалов. Кольцо многочленов как кольцо главных идеалов. Построение конечных полей из p n элементов,

Подробнее

Аннотация к контрольно-оценочному средству по учебной дисциплине «Дискретная математика»

Аннотация к контрольно-оценочному средству по учебной дисциплине «Дискретная математика» 1 2 Аннотация к контрольно-оценочному средству по учебной дисциплине «Дискретная математика» 1. Общие положения Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений

Подробнее

Дискретная математика, математическая логика. и их приложения в компьютерных науках. часть II

Дискретная математика, математическая логика. и их приложения в компьютерных науках. часть II 1 Петрова Л.П. Конспект лекций с упражнениями по дисциплине Дискретная математика, математическая логика и их приложения в компьютерных науках часть II для студентов 2 курса математического факультета

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2013 Теоретические основы прикладной дискретной математики 220) УДК 510.52 НИЖНЯЯ И ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКИ ПОРЯДКА АФФИННОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОСТРАНСТВ БУЛЕВЫХ ВЕКТОРОВ С. П.

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра теории функций и функционального анализа

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра теории функций и функционального анализа Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра теории функций и функционального анализа Курсовая работа Выполнил: студент 331 группы Борис Агафонцев

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 1 Высказывания это предложения естественного языка. Естественные языки предмет изучения других наук: лингвистики и филологии. В математической

Подробнее

ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ УСТРОЙСТВ

ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ УСТРОЙСТВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное Государственное Бюджетное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Подробнее

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р. Е. АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ) Институт радиоэлектроники и информационных технологий

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р. Е. АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ) Институт радиоэлектроники и информационных технологий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 7. Задача выбора маршрутов и ее частный случай задача распределения рейсов по дням. Графовая модель для задачи распределения рейсов. Хроматическое число графа. Критерий двураскрашиваемости графа.

Подробнее

ЕДИНИЧНЫЕ ПРОВЕРЯЮЩИЕ ТЕСТЫ ДЛЯ СХЕМ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В БАЗИСАХ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ, ИМЕЮЩИХ НЕ БОЛЕЕ ДВУХ ВХОДОВ. С. С.

ЕДИНИЧНЫЕ ПРОВЕРЯЮЩИЕ ТЕСТЫ ДЛЯ СХЕМ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В БАЗИСАХ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ, ИМЕЮЩИХ НЕ БОЛЕЕ ДВУХ ВХОДОВ. С. С. ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Март апрель 2013. Том 20, 2. C. 58 74 УДК 519.95 ЕДИНИЧНЫЕ ПРОВЕРЯЮЩИЕ ТЕСТЫ ДЛЯ СХЕМ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В БАЗИСАХ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ, ИМЕЮЩИХ НЕ БОЛЕЕ ДВУХ

Подробнее

Прикладная алгебра. Часть II: Отношения и соответствия (II) 1 / 35. Тема II. Отношения и соответствия (II)

Прикладная алгебра. Часть II: Отношения и соответствия (II) 1 / 35. Тема II. Отношения и соответствия (II) Прикладная алгебра. Часть II: Отношения и соответствия (II) 1 / 35 Тема II Отношения и соответствия (II) Прикладная алгебра. Часть II: Отношения и соответствия (II) 2 / 35 Декартово произведение множеств

Подробнее

,

, Занятие 5 Ориентированный граф (или, орграф) G = (V, A) состоит из некоторого непустого множества V вершин и множества A соединяющих эти вершины ориентированных ребер (или, дуг или, стрелок). Мы пишем

Подробнее

ЗАДАЧИ ОБРАЩЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

ЗАДАЧИ ОБРАЩЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1252 УДК 517.926 ЗАДАЧИ ОБРАЩЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Е.И. Атамась Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова, кафедра Нелинейных динамических

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 СХЕМЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

ЛЕКЦИЯ 4 СХЕМЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЛЕКЦИЯ 4 СХЕМЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 1. Основные определения Прежде всего необходимо рассмотреть композицию. Функцию можно представить в виде «черного ящика», у которого есть вход и выход. Пусть

Подробнее

Занятие 8. Напомним, что для произвольных множеств A и B существуют множества

Занятие 8. Напомним, что для произвольных множеств A и B существуют множества Занятие 8 Напомним, что для произвольных множеств A и B существуют множества A B = {x x A и x B}; (пересечение A и B) A B = {x x A или x B}; (объединение A и B) A \ B = {x x A и x / B} (разность A и B).

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 2 ВЕ Алексеев 2016 Глава 6 Логические функции Алгебра логики 61 Булевы функции Существенные и фиктивные переменные Функция, у которой каждая переменная принимает значения из

Подробнее

Битовые операции в задачах КИМ ЕГЭ по информатике. Часть II

Битовые операции в задачах КИМ ЕГЭ по информатике. Часть II 051216 Битовые операции в задачах КИМ ЕГЭ по информатике Часть II КЮ Поляков, дтн, учитель информатики ГБОУ СОШ 163, г Санкт-Петербург В данной статье рассматриваются задачи следующего типа впервые эти

Подробнее

Лекция 4. Характеристики дискретного источника и дискретного канала без шумов

Лекция 4. Характеристики дискретного источника и дискретного канала без шумов Лекция 4 Характеристики дискретного источника и дискретного канала без шумов Энтропия и производительность дискретного источника При построении каналов передачи сообщений основное значение имеет не количество

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Д. С. Романов, Метод синтеза легкотестируемых схем, допускающих единичные проверяющие тесты константной длины, Дискрет. матем., 2014, том 26, выпуск 2,

Подробнее

E k (n) = E k E k... E

E k (n) = E k E k... E Решение автоматных уравнений в множестве детерминированных функций И. В. Лялин В данной работе рассматривается задача существования детерминированных функций, являющихся решением заданного автоматного

Подробнее

Деревья. Теорема 1 (без доказательства) Теорема Кэли

Деревья. Теорема 1 (без доказательства) Теорема Кэли Графы На прошлой лекции была начата тема асимптотического анализа в дискретной математике. В данной лекции будут продемонстрированы примеры применения полученных знаний при решении конкретных задач. Прежде

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 5 В.Е. Алексеев 2014 Глава 9. Кодирование Кодирование преобразование информации, выполняемое с разнообразными целями: экономное представление (сжатие данных), защита от помех

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Отношения и предикаты Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 2-е, испр. и доп.

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 38.03.01 (080100.62 Экономика. Профиль

Подробнее

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 3

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 3 Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 3 Л.Д. Беклемишев 1.9 Нормальные формы 1.9.1 Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Определение 1.55. Литералами

Подробнее

Вопросы к экзамену по дискретной математике Раздел 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Вопросы к экзамену по дискретной математике Раздел 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Вопросы к экзамену по дискретной математике Раздел 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Понятие множества Конечные и бесконечные множества, пустое множество. Подмножество, количество подмножеств конечного множества

Подробнее

Глава IV. КОНЕЧНЫЕ АБСТРАКТНЫЕ АВТОМАТЫ

Глава IV. КОНЕЧНЫЕ АБСТРАКТНЫЕ АВТОМАТЫ Глава IV. КОНЕЧНЫЕ АБСТРАКТНЫЕ АВТОМАТЫ Абстрактным конечным автоматом называется система α = {A, B, Q, F, G, q }, где А множество входных сигналов (входной алфавит), В множество выходных сигналов (выходной

Подробнее

СИНТЕЗ И АНАЛИЗ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ КИБЕРНЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

СИНТЕЗ И АНАЛИЗ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ КИБЕРНЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Министерство образования и науки Российской Федерации Саратовский государственный технический университет СИНТЕЗ И АНАЛИЗ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ КИБЕРНЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Методические указания и контрольные задания

Подробнее

1. Общая информация (учебная нагрузка, формы контроля и др.) 2. Аннотация

1. Общая информация (учебная нагрузка, формы контроля и др.) 2. Аннотация Курс «Основы кибернетики» для бакалавров (интегрированных магистров) направления 01400 «Прикладная математика и информатика» профиля «Математические методы обработки информации и принятия решений» кафедры

Подробнее

Вопросы по дискретной математике.

Вопросы по дискретной математике. Вопросы по дискретной математике Понятие множества Операции над множествами Диаграммы Эйлера-Венна Мощность множества Счетные множества 3 Прямое произведение множеств Понятие -местного отношения 4 Соответствия

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление 1. Алгебра высказываний и логика. 1.1 Высказывания и логические операции...

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2014 Прикладная теория графов 1(23) ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ УДК 519.6 УТОЧНЁННЫЕ ОЦЕНКИ ЭКСПОНЕНТОВ ПЕРЕМЕШИВАЮЩИХ ГРАФОВ БИЕКТИВНЫХ РЕГИСТРОВ СДВИГА НАД МНОЖЕСТВОМ ДВОИЧНЫХ

Подробнее

Диаграмма Хассе частичного порядка быть фрагментом

Диаграмма Хассе частичного порядка быть фрагментом На правах рукописи Мухина Светлана Анатольевна Диаграмма Хассе частичного порядка быть фрагментом Специальность 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика АВТОРЕФЕРАТ Диссертация на

Подробнее

Теория вычислительных процессов и структур. Лекция 4. Неразрешимые свойства стандартных схема

Теория вычислительных процессов и структур. Лекция 4. Неразрешимые свойства стандартных схема Теория вычислительных процессов и структур Лекция 4. Неразрешимые свойства стандартных схема Содержание лекции Предварительные сведения Функция и вычислимая функция Некоторые сведения о машине Тьюринга

Подробнее

ОБ ОДНОМ ТИПЕ ЛОКАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА

ОБ ОДНОМ ТИПЕ ЛОКАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА Секция 8. Математическое и программное обеспечение интеллектуальных систем 479 УДК 519.71 Е. И. Бурлаева, О. М.Копытова Донецкий национальный технический университет кафедра программного обеспечения интеллектуальных

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий. Направление подготовки 0.03.01

Подробнее

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ План лекции Лекция Системы линейных уравнений Матричная запись Основная и расширенная матрицы системы; 2 Совместные и не совместные системы 2 Однородные системы

Подробнее

Полиномиальные сводимости и N P-полнота

Полиномиальные сводимости и N P-полнота 1/25 Полиномиальные сводимости и N P-полнота Н Н Кузюрин С А Фомин 13 декабря 2011 г 2/25 Труднорешаемые задачи Определение Алгоритмическая задача называется труднорешаемой, если для нее не существует

Подробнее

Лекция 3 Булевы алгебры и булевы функции

Лекция 3 Булевы алгебры и булевы функции Лекция 3 Булевы алгебры и булевы функции Булевы алгебры Понятие об алгебраических системах Алгебраическая система или алгебраическая структура множество символов некоторого алфавита (носитель) с заданным

Подробнее

Задачи по дискретной математике

Задачи по дискретной математике Задачи по дискретной математике Ф.Г. Кораблев 1 Комбинаторика 1.1. Найти число подмножеств X множества {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}, обладающие следующими свойствами: 1. X = 3 2. X = 5, A X 3. X = 6,

Подробнее

Лекции по основам кибернетики

Лекции по основам кибернетики Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики С. А. Ложкин Лекции по основам кибернетики Вариант 2015 г. (гр. 318), глава 4 Москва 2015

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 4 ВЕ Алексеев 2014 Глава 6 Логические функции Алгебра логики 61 Булевы функции Существенные и фиктивнык переменные Функция, у которой каждая переменная принимает значения из

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА "ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ И ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ И ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА "ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ И ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ" ЛОГИЧЕСКИЕ (БУЛЕВЫ) ФУНКЦИИ Основные понятия В курсе математического анализа изучаются функции, определѐнные на числовой прямой

Подробнее

Основные понятия формальной логики

Основные понятия формальной логики Основные понятия формальной логики Элементы логики Умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности. Логика, как наука о том какие формы рассуждений правильны возникла немногим

Подробнее

Верхняя оценка сложности параллельного мультиплексора в классе схем из функциональных элементов

Верхняя оценка сложности параллельного мультиплексора в классе схем из функциональных элементов Верхняя оценка сложности параллельного мультиплексора в классе схем из функциональных элементов Основные определения и обозначения Рассматриваются схемы из функциональных элементов в некотором полном базисе.

Подробнее

С.С. Коробков. Элементы математической логики и теории множеств: Учебное пособие/ Урал. гос. пед. ун-т. Екатеринбург, 1999, 63 с. В предлагаемом учебн

С.С. Коробков. Элементы математической логики и теории множеств: Учебное пособие/ Урал. гос. пед. ун-т. Екатеринбург, 1999, 63 с. В предлагаемом учебн Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет С.С. Коробков ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Учебное пособие

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Занятие если A B, то C A C B ; 4. A B B A; 5. (A B) C A (B C);

Занятие если A B, то C A C B ; 4. A B B A; 5. (A B) C A (B C); Занятие 18 Задача 18.1. Пусть множества A и B равномощны. Докажите, что множества A A и B B также равномощны. Решение. Пусть имеется биекция f : A B. Рассмотрим отображение g : A A B B, т. ч. g(a 1, a

Подробнее

18 (повышенный уровень, время 3 мин)

18 (повышенный уровень, время 3 мин) 18 (повышенный уровень, время 3 мин) К. Поляков, 2009-2016 Тема: Основные понятия математической логики. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной»

Подробнее

Системы документальной электросвязи

Системы документальной электросвязи Системы документальной электросвязи Литература:. «Передача дискретных сообщений» - Шувалов В. П. 2. «Основы передачи дискретных сообщений» - Пушкин В. М. 3. «Основы кодирования» - Вернер М. Учебная программа

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 014 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. Алгебра множеств..1 Понятие множества... 1. Операции над множествами...

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Решение логических уравнений и систем логических уравнений

Решение логических уравнений и систем логических уравнений Решение логических уравнений и систем логических уравнений Пусть F(x, x2, xn) логическая функция от n переменных. Логическое уравнение имеет вид: F(x, x2, xn) = С, где константа С имеет значение или. Логическое

Подробнее

Лекция 11. Синтез автоматов на D и JK триггерах

Лекция 11. Синтез автоматов на D и JK триггерах Лекция 11 Синтез автоматов на D и JK триггерах Общие понятия и определения Конечный детерминированный автомат (КДА) устройство, автоматически выполняющее определенную функцию, зависящую не только от значений

Подробнее

Алгебра. Содержание. Дмитрий Абрамов. 18 февраля 2017 г. 1. Лекция Линейная алгебра... 1

Алгебра. Содержание. Дмитрий Абрамов. 18 февраля 2017 г. 1. Лекция Линейная алгебра... 1 Алгебра Дмитрий Абрамов 18 февраля 2017 г Содержание 1 Лекция 1 1 11 Линейная алгебра 1 1 Лекция 1 11 Линейная алгебра Замечание K - поле Определение 11 Линейное уравнение: a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Функции алгебры логики в примерах и задачах

Функции алгебры логики в примерах и задачах ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского Л.Г. Киселева, Т.Г. Смирнова Функции алгебры логики в примерах и задачах Учебно-методическое пособие

Подробнее

ОБЪЕКТОВ. М.А.Иорданский, О.В.Смышляева

ОБЪЕКТОВ. М.А.Иорданский, О.В.Смышляева Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный педагогический университет имени Козьмы Минина» (Мининский университет) М.А.Иорданский, О.В.Смышляева КОДИРОВАНИЕ

Подробнее

Математическая логика

Математическая логика Математическая логика Лектор: Подымов Владислав Васильевич e-mail: valdus@yandex.ru 2017, весенний семестр Лекция 11 Формальная арифметика Явные логические определения Теорема Гёделя о неполноте Аксиомы

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Н. П. Редькин, О схемах, допускающих короткие единичные диагностические тесты, Дискрет. матем., 1989, том 1, выпуск 3, 71 76 Использование Общероссийского

Подробнее

Неформальное определение конечного автомата

Неформальное определение конечного автомата КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ Неформальное определение конечного автомата Конечные автоматы являются математической моделью устройств, на которые в последовательные дискретные моменты времени поступают дискретные

Подробнее

Глава 10 Таблицы решений и графы переходов

Глава 10 Таблицы решений и графы переходов Глава Таблицы решений и графы переходов Одним из языков спецификации задач являются таблицы решений (ТР) [5, ]. Достоинства таблиц решений состоят в компактности первичного описания задачи, а самое главное,

Подробнее

Тема: Основные понятия математической логики.

Тема: Основные понятия математической логики. Тема: Основные понятия математической логики. Примерные вопросы Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,, ), неудобны, интуитивно

Подробнее

Глава 6. ПАРОСОЧЕТАНИЯ И ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ

Глава 6. ПАРОСОЧЕТАНИЯ И ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ Глава 6. ПАРОСОЧЕТАНИЯ И ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ В данной главе рассмотрим алгоритмы решения задачи о максимальном паросочетании, а также задачи о назначениях []. Обе эти задачи имеют широкое применение и

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 12 12.1. Теорема Банаха об открытом отображении Напомним (см. следствие 2.4), что любой открытый линейный оператор T : X Y между нормированными пространствами

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕНЕРАТОРА СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ НА ОСНОВЕ ТРЁХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ Е. Л. Столов

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕНЕРАТОРА СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ НА ОСНОВЕ ТРЁХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ Е. Л. Столов ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2012 Математические методы криптографии 2(16) УДК 681.326; 531.19 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕНЕРАТОРА СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ НА ОСНОВЕ ТРЁХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ Е. Л. Столов Казанский федеральный

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал И. А. Панкратова, Реализация функций на полурешëтках переключательными схемами, ПДМ, 2009, номер 2(4), 50 55 Использование Общероссийского математического

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия I семестр: 3 часа лекций, 2 часа практических занятий, 18 недель 3-4 лекции лектор Агапова Елена Григорьевна кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

Подробнее