Предварительные сведения теории разностных схем

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Предварительные сведения теории разностных схем"

Транскрипт

1 Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании свойств разностных схем в различных сеточных гильбертовых пространствах. 1.1 Формулы суммирования по частям как разностный аналог формул интегрирования по частям Прежде всего рассмотрим так называемые формулы суммирования по частям. Формулы суммирования по частям для сеточных функций это аналог формул интегрирования по частям для непрерывно дифференцируемых функций непрерывно изменяющегося аргумента. Напомним, что для любых двух вещественных функций ux) и vx), таких что u, v C[a, b] C 1) a, b), справедливо следующее равенство: b ux)v x)dx ux)vx) b a b u x)vx)dx, или, что то же самое, равенство a a u, v ) L a,b) ub)vb) ua)va) u, v) L a,b), 1.1) где u, v) L a,b) скалярное произведение в пространстве L a, b): b u, v) L a,b) ux)vx)dx. 1.) a 1

2 Введем на отрезке [a, b] сетку ω h в общем случае неравномерную): ω h {x, x 0 a, x 0 < x 1 <... < x <... < x K, x K b}. Рассмотрим две произвольные вещественные ограниченные сеточные функции u h и v h, заданные на сетке ω h. Для них можно ввести сеточные аналоги скалярного произведения 1.), заменяя интеграл одной из следующих интегральных сумм: u h, v h ) 1 u h x )v h x )h или u h, v h ) u h, v h ] [u h, v h ) 1 K u h x )v h x )h, 1 0 u h x )v h x )h +1, u h x )v h x )h +1, где h x x 1, h +1 x +1 x. Далее для краткости будем использовать обозначения u u h x ) и т.д. Для того чтобы получить формулы суммирования по частям, сначала рассмотрим формулы разностного дифференцирования произведения двух сеточных функций. Будем использовать обозначение u x, для левой односторонней производной функции u h в узле с номером : u x, u u 1 h, и обозначение u x, для правой односторонней производной в узле с номером : u x, u +1 u h +1. Для любых двух сеточных функций u h и v h, заданных на сетке ω h, имеют место следующие равенства: uv) x, 1 h u v u 1 v 1 ) 1 h u v u 1 v 1 + u 1 v u 1 v ) u x, v + u 1 v x, u x, v 1 + u v x, u x, v + u v x, h u x, v x,, 1.3) uv) x, u x, v + u +1 v x, u x, v +1 + u v x, u x, v + u v x, + h +1 u x, v x,. 1.4) Получим первую формулу суммирования по частям, пользуясь равенством 1.4), которое перепишем в виде: u v x, uv) x, u x, v +1 uv) x, u x,+1 v +1,

3 учитывая, что u x, u x,+1. Умножим полученное равенство на h +1 и просуммируем по в пределах от 1 до K 1. В результате получим: где u, v x ) 1 u v x, h +1 uv) x, h u x,+1 v +1 h +1, uv) x, h +1 u v u 1 v 1 ) + u 3 v 3 u v ) u v u K v K ) + u K v K u v ) u K v K u 1 v 1, 1 u x,+1 v +1 h +1 { + 1} K u x, v h u x, v] u 1 v 1 + u 0 v 1. K u x, v h u x,1 v 1 h 1 Итак, первая формула суммирования по частям, являющаяся разностным аналогом формулы 1.1), имеет вид: 1 u, v x ) u K v K u 0 v 1 u x, v]. 1.5) Аналогично можно получить вторую формулу суммирования по частям, пользуясь равенством 1.3): u, v x ) u K v u 0 v 0 [u x, v), 1.6) где u, v x ) 1 u v x, h. 1. Разностные формулы Грина Пусть a произвольная вещественная ограниченная сеточная функция, заданная на ω h. Воспользуемся равенством 1.5), в котором заменим функцию v на произведение av x : u, av x ) x ) a K u K v x,k a 1 u 0 v x,1 au x, v x ]. 1.7) Равенство 1.7) называется первой разностной формулой Грина. Вторую разностную формулу Грина получим из первой, меняя в ней u и v ролями и вычитая из 1.7) получающееся при этом равенство: u, av x ) x ) au x ) x, v) a K u K v x,k v K u x,k ) a 1 u 0 v x,1 v 0 u x,1 ). 1.8) 3

4 Линейные разностные уравнения порядка m Рассмотрим разностный аналог линейного обыкновенного дифференциального уравнения порядка m: r m x)u m) x) + r m 1 x)u m 1) x) r 1 x)u x) + r 0 x)ux) fx). Введем равномерную сетку ω h {x, x h, 0, ±1, ±,...} с шагом h и будем рассматривать заданные на ней сеточные функции y h как функции целочисленного аргумента : y y h ). Введем обозначения: y y +1 y, y y y 1. Справедливы следующие равенства: y 1 y, y y ) y +1 y ) y + y +1 ) y +1 y ) y + y +1 +y, y y 1 y +1 y + y 1, m y m 1 y ). Определение.1 Уравнение α m) m y + α m 1) m 1 y α 1) y + α 0) y ϕ,.1) где α p), p 0, 1,..., m и ϕ заданные функции целочисленного аргумента, называется линейным разностным уравнением m-го порядка относительно неизвестной функции y целочисленного аргумента..1 Линейное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: A y 1 + B y 1 + Cy 1 0,.) 4

5 где A, B, C вещественные константы, являющееся разностным аналогом линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: Уравнение.) можно переписать в виде: где a A B + C, b A, c A B. αu + βu + γu 0..3) ay 1 cy + by +1 0,.4) Как известно, решение дифференциального уравнения.3) ищется в виде u e λx, где параметр λ удовлетворяет квадратному уравнению αλ + βλ + γ 0..5) Если уравнение.5) имеет два различных корня λ 1 и λ, то функции u 1 e λ 1x и u e λ x образуют ФСР уравнения.3). Если же уравнение.5) имеет кратный корень λ 0, то ФСР уравнения.3) образуют функции u 1 e λ 0x и u xe λ 0x. По аналогии, решение разностного уравнения.4) будем искать в виде: y q, где q 0 некоторое число. Подставляя y уравнение для параметра q: из которого находим в уравнение.4), получаем квадратное bq cq + a 0,.6) q 1, c ± D, D c 4ab. b Рассмотрим три возможные ситуации: когда дискриминант D уравнения.6) положителен, когда он равен нулю и когда отрицателен. Первый случай: D > 0. При этом корни q 1 и q уравнения.6) вещественны и различны. Пусть y 1) q 1 и y ) q. Известно, что две непрерывно-дифференцируемые функции u 1 x) и u x) непрерывно изменяющегося аргумента x линейно независимы тогда и только тогда, когда их определитель Вронского u W [u 1, u ] 1 u u 1 u 5

6 отличен от нуля. По аналогии можно доказать, что две функции v 1) и v ) целочисленного аргумента линейно независимы тогда и только тогда, когда отличен от нуля разностный аналог определителя Вронского:,+1 [v 1), v) ] v 1) v ) v 1) v ) v 1) v ) v 1) +1 v ) +1 v 1) v ) v 1) v ) v 1) v ) v 1) +1 v ) +1 Заметим, что для найденных частных решений y 1) и y ) уравнения.4) имеет место соотношение,+1 [y 1), y) ] q 1 q q1 +1 q +1 q q 1 )q1q 0. Следовательно, функции y 1) и y ) линейно независимы, и общее решение уравнения.4) может быть записано в виде: где C 1 и C произвольные константы. y C 1 q 1 + C q, Второй случай: D 0. При этом q 1 q c b q 0. Пусть y 1). q 0. Покажем, что в этом случае, по аналогии с обыкновенным дифференциальным уравнением.3), функция y ) q 0 удовлетворяет уравнению.4): ay ) 1 cy) Так как +by) +1 a 1)q 1 0 cq 0+b+1)q +1 q 1 0 b q 0 }{{} c /4b a) q aq0 1 cq0 + bq0 +1 ) }{{} 0 4b c 4ab) q 1 0 4b D 0.,+1 [y 1), y) ] q 0 q0 q )q0 +1 q+1 0 0, aq 1 0 +bq +1 0 то функции y 1) и y ) линейно независимы, то есть они образуют ФСР уравнения.4). Общее решение уравнения.4) в данном случае имеет вид: где C 1 и C произвольные константы. y C 1 + C ) q 0, Третий случай: D < 0. При этом корни q 1 и q уравнения.6) различны и комплексно сопряжены друг другу, так как по предположению коэффициенты уравнения.6) вещественны. Следовательно, числа q 1 и q можно записать в виде: q 1, c ± i D b ρ e ±iϕ, 6

7 где Так как D c + D c + 4ab c ϕ arctg, ρ c b b q1 ρ e iϕ ρ cos ϕ + i sin ϕ), q ρ e iϕ ρ cos ϕ i sin ϕ), a b. то частными решениями уравнения.4) являются функции y 1) ρ cos ϕ и y ) ρ sin ϕ. Покажем, что эти функции линейно независимы:,+1 [y 1), y) ] ρ cos ϕ ρ sin ϕ ρ +1 cos[ + 1)ϕ] ρ +1 sin[ + 1)ϕ] ρ +1 sin[ + 1)ϕ] cos ϕ sin ϕ cos[ + 1)ϕ]) ρ +1 sin ϕ ρ +1 D ab 0. Следовательно, функции y 1) и y ) образуют ФСР уравнения.4), а его общее решение может быть записано в виде где C 1 и C произвольные константы. y ρ C 1 cos ϕ + C sin ϕ), 3 Разностная задача Штурма-Лиувилля на отрезке В дальнейшем для исследования свойств разностных операторов нам понадобится сеточный аналог полной ортогональной системы функций непрерывно изменяющегося аргумента на отрезке. Как известно, для функций непрерывно изменяющегося аргумента такой системой является система собственных функций задачи Штурма-Лиувилля. Рассмотрим разностный аналог этой задачи. 3.1 Разностная задача Штурма-Лиувилля с условиями Дирихле Прежде всего, рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля на отрезке [0, ] с граничными условиями Дирихле: u x) + λux) 0, x 0, ), 3.1) u0) u) 0. 7

8 Задача 3.1) имеет бесконечно много собственных значений λ n πn ), n 1,,..., каждому из которых соответствует нормированная собственная функция вида u n) πnx x) sin. Введем на отрезке [0, ] равномерную сетку с шагом h: ω h {x h; 0, 1,,..., K; K h }. Разностная аппроксимация задачи 3.1) на этой сетке имеет вид: y xx + λy 0, 1,,..., K 1, y 0 y K 0. Задачу Штурма-Лиувилля 3.) можно переписать в виде: y +1 y 0 y K 0. 1 h λ ) y + y 1 0, 1,,..., K 1, 3.) 3.3) Будем искать решение однородного разностного уравнения 3.3) в виде y q, где q 0. Подставляя это выражение в уравнение 3.3), получаем: ) ) q +1 1 h λ q + q 1 0, 1,,..., K 1 q 1 h λ q ) Корни полученного квадратного уравнения имеют вид где q 1, 1 h λ ± D/4, ) D 4 1 h λ 1. Рассмотрим три возможных случая: D > 0, D 0, D < 0. 1) Неравенство D > 0 выполняется тогда и только тогда, когда 1 h λ > 1 1 h λ > 1, λ < 0, 1 h λ < 1 λ > 4 h. В этом случае y C 1 q 1 + C q, 8

9 где q 1 и q вещественны и различны. Подставим функцию y в граничные условия задачи 3.3): y 0 C 1 + C 0, y K C 1 q K 1 + C q K 0. В результате для неизвестных C 1 и C получаем систему линейных однородных алгебраических уравнений, определитель которой отличен от нуля: C 1 + C 0, 1 1 C 1 q1 K + C q K 0 q1 K q K qk q1 K 0. Следовательно, C 1 C 0 и y 0, то есть не является собственной функцией по определению. ) Равенство D 0 выполняется, если λ 0, λ 4 h. В этом случае y C 1 + C )q0, где q 0 1 h λ. Подставляя эту функцию в граничные условия, получаем: C 1 0, C 1 0, C 1 + KC )q0 K 0 C 0. Следовательно, y функцией. 0, то есть, как и в предыдущем случае, не является собственной 3) Неравенство D < 0 выполняется при условии 0 < λ < 4. В этом случае можно h ввести обозначение cosαh) 1 h λ, 3.5) где α некоторое число, и записать корни характеристического уравнения 3.4) следующим образом: q 1, cosαh) ± cos αh) 1 cosαh) ± i sinαh) e ±iαh. Соответствующие частные решения разностного уравнения 3.3) имеют вид: y 1) q 1 e iαh e iαx cosαx ) + i sinαx ), y ) q e iαh e iαx cosαx ) i sinαx ). Следовательно, общее решение уравнения 3.3) можно записать как линейную комбинацию функций cosαx ) и sinαx ): y C 1 sinαx ) + C cosαx ), 9

10 где C 1 и C произвольные числа. Из условия y 0 0 получаем, что C 0, то есть y C 1 sinαx ). Воспользуемся вторым граничным условием: y K C 1 sinαx K ) C 1 sinα) 0 α πn α n πn, n 1,,... Так как найденные параметры α n и собственные значения λ n задачи Штурма-Лиувилля 3.3) связаны соотношением 3.5), то имеют место равенства: cos πnh 1 h λ n λ n 1 cos πnh ) 4 πnh h sin, n 1,, ) h Соответствующие собственные функции имеют вид: y n) C 1 sin πnx. Заметим, что в отличие от дифференциальной задачи Штурма-Лиувилля 3.1), разностная задача 3.3) имеет конечное число различных собственных значений. В самом деле, при n K соответствующая λ K функция y K) будет тождественно равна нулю: y K) C 1 sin πkx C 1 sin πkh C 1 sin π C 1 sinπ) 0. Кроме того, при n K + 1 и при n K 1 собственные значения 3.6) совпадают: так как Kh. λ K+1 4 ) πk + 1)h h sin 4 π h sin + πh ) ) ) λ 4 h sin πk 1)h 4 h sin π πh 4 πh cos h, 4 πh cos h, Аналогично можно показать, что λ K+n λ K n для любого n, то есть λ n принимает различные значения, которым соответствуют нетривиальные собственные функции, только при n 1,,..., K 1. Перечислим основные свойства собственных значений и собственных функций разностной задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с граничными условиями Дирихле. 1) Для собственных значений задачи Штурма-Лиувилля 3.3) справедливы неравенства: В самом деле, 8 λ 1 < λ <... < λ < 4 h. λ 1 4 πh sin h π 10 [ ] sinπh/). πh/

11 Так как h πh, то π 4. Поскольку min z [0,π/4] ) sin z z ) sin z 8 z π, zπ/4 то для первого собственного значения получаем оценку снизу: λ 1 8. Так как λ 4 πh cos h, получаем очевидную оценку сверху: λ < 4 h. ) Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля 3.3), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны между собой: y n), y m)) 0 при n m. 3.7) В самом деле, воспользуемся второй разностной формулой Грина u, av x ) x ) v, au x ) x ) a K uv x u x v) K a 1 uv x u x v) 0, в которой положим a 1, u y n), v y m). Учитывая граничные условия для собственных функций y n) и y m), получаем: ) 0 y n), y m) xx y n) xx, y m) ) λ n λ m ) y n), y m)). Так как при несовпадающих n и m собственные значения различны λ m λ n ), то полученное равенство означает, что при m n выполняются соотношения 3.7). 3) Для того чтобы получить ортонормированную систему собственных функций задачи Штурма-Лиувилля 3.3), нужно взять нормировочный множитель равным C 1. В самом деле, если C 1, то квадрат нормы собственных функций, определяемый как y n) y n), y n) ), будет иметь вид: y n) 1 y n) h K 1) h ) h h 1 1 Ree iπnh/ sin πnx }{{} z n 11 h cos πnx ) ) hk h h RezK n z n z n 1.

12 Учитывая, что hk и z K n e iπnhk/ e iπn 1, окончательно получаем: y n) 1 h h 1 z n z n ) Для любой сеточной функции fx ), x ω h, ограниченной по норме и обращающейся в 0 при 0 и K, справедливо равенство: fx ) где µ n) x ) нормированные собственные функции задачи 3.3): µ n) x ) sin πnx, а коэффициенты f n определяются как коэффициенты Фурье: При этом f n f, µ n)). f f n µ n) x ), 3.8) f n. 3.9) Для доказательства сформулированного утверждения рассмотрим равенство 3.8) как СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов f 1,..., f. Умножая его скалярно на µ n) x ) для n 1,,..., K 1 и пользуясь тем, что µ n), µ m)) δ n,m, получаем, что f n f, µ n)). Рассмотрим теперь квадрат нормы f. Так как по условию f 0 f K 0, то ) f f, f) f n µ n) x ), f m µ m) x ) n,m1 f n f m µ n), µ m)) n,m1 m1 f n f m δ n,m 3. Разностная задача Штурма-Лиувилля с условиями Неймана f n. Собственные значения дифференциальной задачи Штурма-Лиувилля u + λu 0, x 0, ), u 0) u ) ) 1

13 имеют вид λ n πn ), n 0, 1,,... Им отвечают нормированные собственные функции πnx u n cos. 1 + δ n,0 ) Построим разностную аппроксимацию задачи 3.10) на равномерной сетке со вторым порядком погрешности аппроксимации. Для этого, например, используем сетку с фиктивными узлами: x 0.5)h, 0, 1,..., K, x K + 0.5h, h K 1. Разностная аппроксимация задачи 3.10) на этой сетке имеет вид: y xx + λy 0, x ω h, y x,0 y x,k 0, или же в явном виде y +1 ) 1 h λ y + y 1 0, 1,,..., K 1, y 0 y 1, y K y. 3.11) 3.1) Как и в случае задачи Дирихле, решение ищем в виде y q, где ) q 1, 1 h λ ± 1 h λ 1. Если λ < 0 или λ > 4 h, то существуют вещественные отличные от 1 числа q 1 q. Общее решение разностного уравнения 3.1) при этом имеет вид y C 1 q 1 + C q. Подставляя его в граничные условия задачи 3.1), получаем C 1 q 1 1) + C q 1) 0, C 1 q1 q 1 1) + C q q 1) 0. Так как определитель этой системы q 1 1) q 1) q1 q 1 1) q q 1) q 1 1)q 1)q q 1 ) отличен от нуля, то C 1 C 0, то есть y 0 и собственной функцией не является. 13

14 Если λ 0, то q 1 q 1, откуда получаем y C 1 +C. Эта функция удовлетворяет граничным условиям при C 0 и любом C 1. Это означает, что, как и в случае дифференциальной задачи Штурма-Лиувилля с условиями Неймана, λ 0 0 является собственным значением, которому отвечает собственная функция, равная константе. Если λ 4 h, то q 1 q 1, откуда получаем y C 1 + C ) 1). Подставляя эту функцию в граничные условия, получаем C 1 C 1 C, C 1 + KC ) 1) K C 1 + K 1)C ) 1) C 1 + C 0, C 1 + K 1)C 0. Определитель этой системы равен 4K 1). Он отличен от нуля при любом K > 1, откуда следует, что C 1 C 0, то есть y 0. Следовательно, λ 4 не является собственным h значением задачи 3.1). Если 0 < λ < 4, то как и в случае задачи Дирихле, можно ввести обозначение h cosαh) 1 h λ, позволяющее записать общее решение разностного уравнения 3.1) в виде y C 1 cosαh) + C sinαh) C 1 cos αx + αh ) + C sin αx + αh Подставляя это выражение в первое граничное условие задачи 3.1), получаем Так как cosαh) < 1, то откуда следует, что y C 1 cosαh) C 1 C 1 cosαh) + C sinαh). sinαh) C 1 C 1 cosαh), sinαh) cos αx + αh ) + 1 cosαh)) sin αx + αh )) C sin αx + αh ) sin αx αh )) C sin αh 1 cosαh) 1 cosαh) cosαx ). Итак, решение уравнения, удовлетворяющее первому граничному условию, имеет вид y C cosαx ). Подставим его во второе граничное условие: cos α + αh ) cos α αh ) ) αh sinα) sin 0. ). Так как sin αh 1 cosαh) 0, 14

15 то sinα) 0, откуда получаем α πn, n 1,,... Пользуясь связью величин α и λ, находим выражения для собственных значений λ n, таких что 0 < λ n < 4 h : λ n 4 πnh sin, n 1,,... h Различные значения λ n отвечают n 1,,..., K 1. Соответствующие нормированные собственные функции имеют вид y n) cos πnx. Объединяя собственные функции, отвечающие ненулевым собственным значениям, и равную константе собственную функцию, отвечающую λ 0 0, получаем решение разностной задачи Штурма-Лиувилля с условиями Неймана: y n) 1 + δ n,0 ) cos πnx, λ n 4 πnh sin, h n 0, 1,,..., K ) Для собственных функций 3.13) имеют место условия ортогональности: y n), y m) ) δ n,m. 4 Разностные теоремы вложения Теорема 4.1 Для всякой сеточной функции yx), заданной на произвольной неравномерной сетке ˆω h {x ; 0, 1,..., K; x 0 0, x K }, h x x 1, такой что y 0 y K 0, справедливо неравенство y C y x ], 4.1) где y C max yx ), y x ] K y x, y x ], y, v] y v h. x ωˆ h 1 Доказательство. Для рассматриваемой сеточной функции в произвольном узле x справедливо равенство: Так как y0) 0, то y x ) x )y x ) + x y x ). y x x p )h p yx 1 ) yx 0 )) + yx ) yx 1 )) yx ) yx 1 )) yx ) y0) yx ). p1 15

16 Поскольку y) 0, то аналогично получаем: K y x x p )h p yx +1 ) yx )) + yx + ) yx +1 )) yx K ) yx )) p+1 y) yx ) yx ). Следовательно, Заметим, что ) K ) y x ) y x x p )h p y x x p )h p. p1 p+1 и h p h h x 1 x 0 ) + x x 1 ) x x 1 ) x p1 K p+1 h p h h K x +1 x ) + x + x +1 ) x K x ) x. Таким образом, получаем: x ) y x ) x ) p1 h p }{{} x p1 y xx p )h p + x p1 y x x p )h p ) + x K p+1 h p } {{ } x K p+1 x x ) y x ]. K p+1 y x x p )h p ) y xx p )h p x x ) K y xx p )h p p1 Так как то окончательно получаем: max x x) 0 x 4, y C y x ]. Замечание 4. Если y произвольная функция, не обязательно обращающаяся в 0 на границах отрезка [0, ], то для нее можно получить оценку: y C y 0 + y K + 4 ) y x ]. 16

17 Теорема 4.3 Для всякой сеточной функции yx ), заданной на произвольной неравномерной сетке ˆω h {x ; 0, 1,..., K; x 0 0, x K }, h x x 1, такой что y 0 y K 0, справедливо неравенство y 4 y x ], 4.) где y y, y). Доказательство. Пользуясь неравенством 4.1), получаем: y 1 y h max y 1 h 4 y x ]. Теорема 4.4 Для всякой сеточной функции yx ), заданной на равномерной сетке ω h {x h; 0, 1,..., K; Kh }, такой что y 0 y K 0, справедливы неравенства: то есть нормы y x ] и y эквивалентны. Доказательство. функций h 4 y x ] < y 8 y x ]. 4.3) Разложим функцию y по ортонормированной системе собственных µ n) x ) sin πnx разностной задачи Штурма-Лиувилля с условиями Дирихле на отрезке [0, ]: При этом yx ) C n µ n) x ), C n y, µ n) ). y Пользуясь первой разностной формулой Грина 1.7) и учитывая граничные условия для функции yx ), получаем: C n. Λy, y) y x, y x ] y x ], где Λy y xx. В свою очередь Λy C n Λµ n) x) }{{} λ n µ n) x) C n λ n µ n) x). 17

18 Так как µ n), µ m)) δ n,m, то откуда получаем: λ 1 C n }{{} y y x ] y x ] λ C n }{{} y C nλ n, Так как λ 1 8 и λ < 4, то окончательно получаем: h 8 y y x ] < 4 h y, или, что то же самое: h 4 y x ] < y 8 y x ]. λ 1 y y x ] λ y. 5 Контрольные вопросы 1) Сформулируйте формулы суммирования по частям для сеточных функций. ) Сформулируйте первую и вторую разностные формулы Грина. 3) Сформулируйте разностную задачу Штурма-Лиувилля с условиями Дирихле на отрезке [0, ]. Получите ее собственные значения и собственные функции. 4) Сформулируйте основные свойства собственных значений и собственных функций разностной задачи Штурма-Лиувилля с условиями Дирихле. 5) Сформулируйте разностную задачу Штурма-Лиувилля с условиями Неймана на отрезке [0, ]. Докажите, что ее собственные функции y n) 1 + δ n,0 ) cos πnx, n 0, 1,.., K 1 образуют ортонормированную систему. 6) Постройте разностную аппроксимацию задачи Штурма-Лиувилля u + λu 0, x 0, ), u0) 0, u ) 0 на равномерной сетке со вторым порядком погрешности аппроксимации. Найдите для полученной разностной задачи собственные функции и собственные значения. 7) Сформулируйте и докажите теорему о связи сеточных норм y C и y x ]. 8) Сформулируйте и докажите теорему об эквивалентности норм y и y x ]. 18


Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3)

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3) Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов Основные свойства классических ортогональных полиномов 9 Лекция 9.1 Классические ортогональные полиномы 9.1.1 Определение

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

Простейшие способы исследования разностных схем на устойчивость

Простейшие способы исследования разностных схем на устойчивость Простейшие способы исследования разностных схем на устойчивость Напомним, что разностная схема L h y h = ϕ h (x), x ω h, l h y h = χ h (x), x γ h, аппроксимирующая краевую или начально-краевую задачу Lu

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид Задача 1.1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля) Решение: Рассмотрим

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Для многомерных уравнений колебаний можно составить аналог схемы «крест» и неявной схемы. При этом явная схема «крест» так же, как и в одномерном

Подробнее

Спектральный анализ разностных схем

Спектральный анализ разностных схем Спектральный анализ разностных схем 1 Исследование схем на устойчивость по начальным данным методом гармоник Одним из достаточно простых и эффективных способов исследования линейных разностных схем на

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

4.1 Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Фурье

4.1 Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Фурье Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Фурье Метод Фурье Стоячие волны 4 Лекция 4.1 Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя.

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Линейные и нелинейные уравнения физики Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

ТЕМА 6. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода. Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма.

ТЕМА 6. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода. Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма. ТЕМА 6 Неоднородное уравнение Фредгольма -го рода Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами Теоремы Фредгольма Основные определения и теоремы Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма yx ( ) = λ Kxs

Подробнее

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ Е. С. Тверская МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва Методы аппроксимации функции. Постановка задачи приближения функции. Задачи, приводящие к задаче приближения функций. Функция

Подробнее

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость.

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов x, y определен элемент

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 Простейший случай теоремы Пикара. S 5. Простейший случай теоремы Пикара: автономное уравнение с глобально липшицевой правой частью

ЛЕКЦИЯ 2 Простейший случай теоремы Пикара. S 5. Простейший случай теоремы Пикара: автономное уравнение с глобально липшицевой правой частью ЛЕКЦИЯ 2 Простейший случай теоремы Пикара S 5. Простейший случай теоремы Пикара: автономное уравнение с глобально липшицевой правой частью Теорема 1. Пусть B банахово пространство с нормой.. Пусть функция

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

1 Метод Фурье для однородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями.

1 Метод Фурье для однородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями. 1 Метод Фурье для однородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями. 688. Найти решение u(x, t уравнения u t = a u xx, u(, t = u x (, t =, u(x, = ϕ(x (1.1 Шаг 1. Будем искать решение

Подробнее

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики. Схема переменных направлений для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в прямоугольнике. Как уже было показано

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек.

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. СЕМИНАР 4 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

Уравнение Лапласа в полярной системе координат.

Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 518 Глава 5. Уравнения эллиптического типа 25.2. Разделение

Подробнее

Методы построения разностных схем

Методы построения разностных схем Методы построения разностных схем Однородные схемы для уравнения второго порядка с переменными коэффициентами Под однородными разностными схемами понимаются разностные схемы, вид которых не зависит ни

Подробнее

4. Функция Грина краевой задачи

4. Функция Грина краевой задачи Функция Грина краевой задачи 4. Функция Грина краевой задачи I.4.1. Существование функции Грина Опр. 1. 1. Функцией Грина краевой задачи Ly = k)y ) ) q)y = f), 1) Γ y y ) sin α + y) cos α = 0, α 0, π 2,

Подробнее

Численные методы. 1. Разностный метод Эйлера решения задачи Коши для дифференциальных уравнений.

Численные методы. 1. Разностный метод Эйлера решения задачи Коши для дифференциальных уравнений. Глава 9. Численные методы. Лекция 4. Разностный метод Эйлера решения задачи Коши для дифференциальных уравнений.. Дифференциальная и разностная задачи Эйлера. Определение. Дифференциальной задачей Эйлера

Подробнее

Однородные разностные схемы. Консервативность.

Однородные разностные схемы. Консервативность. Однородные разностные схемы. Консервативность. Достаточно часто на практике встречаются задачи, которые содержат дифференциальные операторы с переменными коэффициентами. При построении разностных схем

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. А. Многочлены Чебышева - Эрмита

СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. А. Многочлены Чебышева - Эрмита . СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ А. Многочлены Чебышева - Эрмита Вводные замечания При решении многих важных задач математической физики, квантовой механики, теоретической физики приходится

Подробнее

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения . Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения ( ) f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Подробнее

Лекция Дифференцирование сложной функции

Лекция Дифференцирование сложной функции Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Подробнее

1. Задача для неоднородного уравнения теплопроводности в шаре.

1. Задача для неоднородного уравнения теплопроводности в шаре. УМФ семинар К 6 3 1. Задача для неоднородного уравнения теплопроводности в шаре. 1.1. 711. Найти ограниченную функцию ur, t из условий u t a u + fr, t, в Ω T ; ur,, в B ; u, t, ur, t

Подробнее

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром.

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Лекция 4 6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Подытожим результаты полученные в предыдущем параграфе в следующей теореме.

Подробнее

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А.

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А. Лекция Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Однородная система линейных алгебраических уравнений Пусть дана однородная система линейных уравнений: или в матричной форме: m m n n A

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н.

Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н. Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н. www.linis.ru Основные понятия и определения. Нормальные системы Определение. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные ураннения

Обыкновенные дифференциальные ураннения Обыкновенные дифференциальные ураннения Преподаватель: Колотий Александр Дмитриевич Литература: 1 Понтрягин Лев Семенович Обыкновенные дифференциальные уравнения Петровский И Г Лекции по теории обыкновенных

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 3 Обыкновенные дифференциальные уравнения Численное решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей Рассмотрим

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ

МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ Лекция продолжение лекции МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ А ТОЧЕЧНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Пусть на множестве [ ] точкой ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ задана сетка а на сетке задана сеточная

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

1 Метод Фурье для эллиптического уравнения. 717 a).случай однородных краевых условий по x. Найти решение u(x, t) краевой задачи

1 Метод Фурье для эллиптического уравнения. 717 a).случай однородных краевых условий по x. Найти решение u(x, t) краевой задачи 1 Метод Фурье для эллиптического уравнения. 717 a).случай однородных краевых условий по x. u(, y) = u x (, y) =, y (, s), u(x, ) =, u(x, s) = f(x), x (, ). (1.1) Шаг 1. Будем искать решение уравнения u

Подробнее

1. Интерполяционные тригонометрические полиномы и квадратурные формулы с равноотстоящими узлами.

1. Интерполяционные тригонометрические полиномы и квадратурные формулы с равноотстоящими узлами. Интерполяционные тригонометрические полиномы и квадратурные формулы с равноотстоящими узлами Тригонометрический полином конечная тригонометрическая сумма функция которую можно представить в виде с коэффициентами

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов, y определен элемент

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

2 Решение ищем МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ в виде:

2 Решение ищем МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ в виде: функции Бесселя 5 6/7 73 7 Найти решение смешанной задачи: Δ y s < π > s < π π где - минимальный положительный корень Бесселя ( Уроев стр 5 7 (пример стр 69 7 пример стр 7-7 Фарлоу У с ЧП для научных работников

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Задача Коши Задача Коши для ОДУ Дано обыкновенное дифференциальное уравнение 1го порядка и начальное условие

Подробнее

= 0 u. функции, μ - j-й по порядку положительный нуль функции Бесселя,

= 0 u. функции, μ - j-й по порядку положительный нуль функции Бесселя, функции Бесселя 8 7/8 8 7в Решить смешанную задачу u Δu < > u u ; u u g( s u u < где g - гладкие на [ ] функции - j-й по порядку положительный нуль функции Бесселя j K j K ; Δu u u yy y s Уроев стр 5 7

Подробнее

Метод разделения переменных (метод Фурье)

Метод разделения переменных (метод Фурье) Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных. Рассмотрим решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:

7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных. Рассмотрим решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке: Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных Однородная краевая задача Функция источника Неоднородное уравнение теплопроводности 7 Лекция 7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса.

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Подробнее