Элементы высшей математики

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Элементы высшей математики"

Транскрипт

1 Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости Составитель: доцент Кулагина НА Новосибирск 013

2 Содержание модуля 5 1 Аналитическая геометрия на плоскости 11 Понятия вектора 1 Линейные операции над векторами 13 Разложение вектора по координатным осям 14 Действия с векторами, заданными координатами 15 Скалярное произведение векторов 16 Вопросы для самопроверки 17 Упражнения для самопроверки Уравнение прямой на плоскости 1 Уравнение прямой Условие параллельности и перпендикулярности прямых 3 Вопросы для самопроверки 4 Упражнения для самопроверки 1 Аналитическая геометрия на плоскости 11 Понятие вектора Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, работа и др Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением Такие величины называются векторными Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В Обозначается вектор AB или a (Рис 1) B A a Рис1 Вектор AB a

3 Вектор BA (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору AB Вектор, противоположный вектору a, обозначается a Длиной или модулем вектора обозначается AB a AB называется длина отрезка и Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0 Нулевой вектор не имеет направления Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается e Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых Обозначается a b (Рис ) a b Рис Коллинеарные векторы Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору Два вектора a и b называются равными (a = b ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины (Рис 3) a b Рис 3 Равные векторы 1 Линейные операции над векторами Под линейными операциями над векторами понимаются операции сложения и вычитания векторов, а также умножения вектора на число

4 Суммой векторов a и b называется вектор c a b, определенный по правилу треугольника или параллелограмма Правило треугольника: Пусть заданы вектора a и b Возьмем произвольную точку О и построим вектор OA a От точки А отложим вектор AB b Тогда вектор OB, соединяющий начало первого вектора с концом второго, будет суммой векторов a и b (Рис 4) a A b a b O B Рис 4 Правило треугольника a + b Правило параллелограмма: Векторы a и b отложим от одной точки О и достроим фигуру до параллелограмма Тогда его диагональ ОС будет суммой векторов (Рис 5) a A a b O a + b С b B Рис 5 Правило параллелограмма Разностью векторов a и b называется такой вектор c a b, что b c a (Рис 6): a O a с = a b b b Рис 6 Разность векторов

5 Произведением вектора a на число k называется вектор b =ka, имеющий длину b k a, направление которого совпадает с направлением вектораa, если k>0, и противоположно ему, если k<0 Например, если задан вектор a, то вектор OB b =3a будет иметь вид (Рис 7): a O B Рис 7 Произведение вектора на число Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами: 1 a b b a ; 4 ( k1 k) a k1a ka ; ( a b) c a ( b c) ; 5 k( a b) ka kb k ( k a) k k a Разложение вектора по координатным осям Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат O Выделим на координатных осях O и O единичные векторы (орты), обозначаемые соответственно i и j Вектор a =OM отложим от начала координат О Опустим из точки М перпендикуляры ММ 1 и ММ на оси координат O и O соответственно Тогда по правилу параллелограмма a OM OM1 OM (Рис 8) OM Но 1 1 OM i, OM OM j Обозначим длины отрезков ОМ 1 и ОМ символами a и a соответственно: a OM1, a OM Тогда получим разложение вектора a по ортам координатных осей: a OM OM1 OM ai aj

6 Глядя на рисунок, видим, что a OM OM cos, a OM OM cos 1 Y М М β a j О i α М 1 X Рис8 Разложение вектора по координатным осям Числа a и a называются координатами вектора a, те координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси Вектор a OM OM1 OM ai aj можно записать в другом виде: a ( a ; a ) Зная проекции вектора a, a, можно найти его модуль(длину): a a a Пример1 их модули Изобразить векторы a (3;4) и b ( 4;3) на плоскости O и найти Решение: На плоскости O в прямоугольной системе координат по оси O от начала координат откладываем отрезок, равный 3 (те вправо) - точка М 1, по оси O откладываем отрезок, равный 4 (те вверх) -точка М Из точек М 1 и М

7 восстанавливаем перпендикуляры до пересечения в точке М Соединяем точки О и М Получим вектор a (3;4) По оси O от начала координат откладываем отрезок, равный -4 (те влево) - точка N 1, по оси O откладываем отрезок, равный 3 (те вверх) -точка N Из точек N 1 и N восстанавливаем перпендикуляры до пересечения в точке N Соединяем точки О и N Получим вектор b ( 4;3) Рис 9 Векторы a (3;4) и b ( 4;3) Найдем модули векторов a и b по формуле: a a a : a , b ( 4) Действия с векторами, заданными координатами Пусть векторы a ( a ; a ) и b ( b ; b ) заданы своими координатами в пространстве O или, что то же самое a a i a j, b b i b j

8 В соответствии с определениями, приведенными выше, тк операции над векторами сводятся к соответствующим операциям над проекциями этих векторов, то можно записать: 1 Сумма векторов: a b ( a b ) i ( a b ) j или короче a b ( a b ; a b ) ; Разность векторов: a b ( a b ) i ( a b ) j или короче a b ( a b ; a b ) ; a a i a j или короче 3 Умножение вектора на число λ: a ( a ; a ) Пример Найти длину вектора d a 3b, если a (1;) и b (0; 3) Решение Найдем векторы a (1;) (1; ) (;4) и 3b 3 (0; 3) (3 0;3 ( 3)) (0; 9) Тогда a3b (;4) (0; 9) ( 0;4 ( 9)) (;13) Таким образом, вектор d (;13) Его модуль равен: d Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними Обозначается скалярное произведение a b Итак,

9 a b a b cos Свойства скалярного произведения: 1Скалярое произведение обладает переместительным свойством: a b b a Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно числового множителя: ( a) b ( a b) 3Скалярное произведение обладает распределительным свойством: a ( b c) a b a c 4Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: a a a a 5Длина вектора может быть найдена как квадратный корень из скалярного квадрата: a a a 6Скалярное произведение двух векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда они ортогональны (взаимно перпендикулярны): a b 0 a b 7Если векторы a и b заданы в координатной форме: a ( a ; a ) и b ( b ; b ), то скалярное произведение равно сумме произведений их одноименных координат: a b a b a b 8 Угол между двумя векторами может быть вычислен по формуле: cos ab a b a b a b a a b b Пример 3 Найти: 1) скалярное произведение векторов a и b,

10 ) угол между векторами a и b, если a (1;) и b (4; 3) Решение: 1)Скалярное произведение векторов найдем, применив свойство 7: a b a b a b 1 4 ( 3) 4 6 )Угол между векторами найдем, применив свойство 8: a b a b 1 4 ( 3) cos a a b b 1 4 ( 3) 0, Тогда arccos( 0,18) 180 arccos(0,18) Пример 4 При каком значении k векторы a (;1) и b (1; k) будут ортогональными? Решение Из свойства 6 скалярного произведения векторы a и b ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: ab 0 Имеем a b 11k 0 Следовательно, k 16 Вопросы для самопроверки 1 Что называется вектором? Что называется длиной вектора? 3 Сформулировать правило треугольника и правило параллелограмма построения суммы двух векторов 4 Какой вектор называется суммой двух векторов?

11 5 Какой вектор называется разностью двух векторов? 6 Какой вектор называется произведением вектора на число? 7 Привести свойства линейных операций над векторами 8 Какое представление называется разложением вектора по координатам на плоскости? 9 Как найти модуль (длину) вектора? 10 Как найти сумму, разность векторов, произведение вектора на число, если заданы их координаты? 11 Что называется скалярным произведением векторов? 1 Перечислите свойства скалярного произведения 17 Упражнения для самопроверки 1 Даны векторы a (1; 4) и b (0;) Найти векторы a, a 3b Даны векторы a (; 1) и b (8; 4) Найти: а) векторы с a и d b a ; б) длины векторов c и d ; в) скалярный квадрат вектора d ; г) скалярное произведение векторов c и d ; д) угол между векторами c и d 3 Даны векторы a (; 3) и b (3;1) Найти: а) векторы с a b и d 3a b ; б) длины векторов a и b ; в) длину вектора f a b ; г) скалярное произведение a b 4Определить значение косинуса угла между векторами a и b, если а) a (1;) и b (3;4) ; б) a (1;1) и b (1;3) ; в) a (0;1) и b (5;1) ; г) a ( 1; 1) b (;3) и 5Какие из приведенных ниже пар векторов ортогональными? a и b являются

12 а) a (1;) и b ( ;1) ; б) a (1;) и b (1; ) ; в) a (3; 7) и b (7;3) ; г) a ( 1; 3) и b (3;1) 6 При каком значении k векторы a ( 1;) и b (4; k) ортогональными? будут 7 При каком значении k векторы a (1;1) и ортогональными? b k k ( ; ) будут Ответы: 1 a (; 8), a 3 b (1; 10) а) c (4; ) ; d (6; 3) ; б) c 5, d 3 5 ; в) dd 45 ; г) cd 30 ; д) arccos1 0 3 а) c (8; 1) ; d (0; 11) ; б) 13, 10 ; в) 9 ; г) а) 5 5 ; б) 5 ; в) 13 ; г) 6 5 а) ортогональны; б) не ортогональны; в) ортогональны; г) не ортогональны 6 k 7 k 0, k 1

13 Уравнение прямой на плоскости 1Уравнение прямой Чтобы выписать уравнение прямой, нужно ее задать Как известно из школьного курса геометрии, через любые две точки можно провести прямую, причем только одну Существуют разные способы задания прямой, что приводит к различным по форме уравнениям, которые равносильны между собой 1Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть прямая пересекает ось O в точке B(0;b) и образует с осью O угол (0 ) (Рис 10) Возьмем на прямой произвольную точку M(;) Тогда тангенс угла наклона прямой найдем из прямоугольного треугольника MBN: MN b tg NB M(;) B(0;b) α α 0 N(;b) A(;0) Рис10 Уравнение прямой с угловым коэффициентом Введем угловой коэффициент прямой k tg, получим b k Тогда получим: k b (1) Это уравнение (1) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом Рассмотрим частные случаи уравнения (1)

14 b, то получим k - уравнение прямой, проходящей через k tg острый угол с осью O, tg - тупой угол (Рис 11) 1Если 0 начало координат и образующей при 0 а при k 0 Y=k, k<0 α α Y=k, k>0 Рис11 Прямая k В частности, уравнение биссектрисы I и III координатных углов имеет вид: (тк k tg 1), а уравнение биссектрисы II и IV 4 3 координатных углов: (тк k tg 1 4 Если 0 O, имеет вид:, то k tg0 0, и уравнение прямой, параллельной оси b, а самой оси O вид: 0 ( Рис 1) B(0;b) Y=b 0 Рис 1 Прямая b Y=0

15 3Если, то прямая перпендикулярна оси O и k tg не существует, те вертикальная прямая не имеет углового коэффициента Уравнение такой прямой: a, а уравнение оси O: 0 (Рис 13) =0 =a 0 A(a;0) Рис13 Прямая a Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении Пусть прямая проходит через точкуm ( 1; 1) и образует с осью O угол (Рис 14) M(1; 1) 0 α Рис 14 Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении

16 Так как точка M ( 1; 1) лежит на прямой k b, то ее k b Вычитая координаты удовлетворяют уравнению (1), те 1 1 почленно левые и правые части последних равенств, получим уравнение искомой прямой: Пример 5 k( ) () 1 1 Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (;1) образующей с осью О угол 4 и Решение Находим угловой коэффициент: k tg tg 1 Подставляя 4 координаты точки 1, 1 1 и k 1 в уравнение (), получим: 11 ( ) или 1 1 3Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Пусть заданы две точки M1( 1; 1) и M ( ; ) ( 1, 1 ) (Рис 15) M1( 1; 1) M ( ; ) 0 α Рис 15 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

17 Так как точка M1( 1; 1 ) лежит на прямой k b, то ее координаты удовлетворяют уравнению (): 1 k( 1) Так как точка M ( ; ) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют последнему уравнению: 1 k( 1 ) Отсюда выразим угловой коэффициент: k 1 1 Подставим найденное значение k в уравнение () Теперь уравнение искомой прямой примет вид: Разделим обе части равенства на 1, получим: k( ) ( ) (3) M (5;4) Пример 6 Составить уравнение прямой, проходящей через две точки M (3;1) и 1 Решение Подставим координаты точек 1 3, 1 1, 5, 4 в уравнение (3): или умножения получим: 3( 3) ( 1) Выразив, искомое уравнение: 3 7 После перекрестного

18 4Уравнение прямой в отрезках на осях Найдем уравнение прямой по отрезкам a 0 и b 0, отсекаемым на осях координат (Рис 16) B(0;b) b a A(a;0) Рис 16 Уравнение прямой в отрезках на осях Используя формулу (3), уравнение прямой, проходящей через точки ( 0, a, b, 0) примет вид: Aa ( ;0) и B(0; b ) a b0 0a или a a b a a a a 1 Окончательно получим: a 1 (4) b Уравнение (4) называется уравнением в отрезках на осях координат Пример 7 Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки a 3 и b 4 Решение Подставим значения a 3 и b 4 в уравнение (4): Преобразуем это уравнение: или 4 (Рис 17) 3 a=3 =

19 0 3 b=-4-4 Рис 17 Уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки a 3 и b 4 5 Общее уравнение прямой Рассмотрим уравнение первой степени с двумя переменными в общем виде: A B C 0, (5) в котором коэффициенты А и В не равны нулю одновременно, те A B 0 A C 1) Пусть В 0 Тогда уравнение (5) можно записать в виде: B B A C (выразили в уравнении (5) через ) Обозначим k, b B B Если А 0, С 0, то получим уравнение k b - уравнение прямой с угловым коэффициентом Если А 0, уравнение k С=0, то получим - уравнение прямой, проходящей через начало координат Если А=0, С 0, то получим b - уравнение прямой, параллельной оси О Если А=С=0, то получим: 0 - уравнение оси О

20 ) Пусть В=0, А 0 Тогда уравнение (5) примет вид: A C 0, C следовательно, - уравнение прямой, параллельной оси О Если A С=0, то =0 уравнение оси О Таким образом, при любых значениях коэффициентов А,В,С уравнение (5) есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости О Пример 8 Дано общее уравнение прямой ) Привести его к виду с угловым коэффициентом; ) Найти отрезки, отсекающие прямой на осях координат Решение 1) Чтобы привести уравнение прямой к виду (1), нужно выразить через : , 1 Таким образом, уравнение прямой в форме с угловым коэффициентом: 1 5 ) Приведем уравнение заданной прямой к виду (4): 1 Для a b этого перенесем 60 в правую часть: Разделим каждое слагаемое в уравнении на 60: Или 1 или Следовательно, отрезки на осях О и О: a 5 и 5 1 b 1 соответственно Условие параллельности и перпендикулярности прямых

21 1Угол между двумя прямыми Пусть даны две прямые L 1 и L, заданные уравнениями: 1 1 ними (Рис 18) k b и k b Требуется найти угол φ между L φ L1 α α1 0 Рис 18 Угол между двумя прямыми Из рисунка видно, что 1, причем, k1 tg1, k tg, ( 1, tg tg1 k k1 ) Тогда tg tg( 1) 1 tg tg 1 k k Итак, угол между прямыми вычисляется по формуле: tg k 1 k k k 1 1 1, (6) 1 причем, угол φ получается поворотом прямой L 1 к прямой L против хода часовой стрелки

22 Условие параллельности и перпендикулярности прямых Если прямые L 1 и L параллельны, то α 1 =α, следовательно, k1 tg1 tg k Таким образом, k k 1 - условие параллельности прямых Если прямые L 1 и L перпендикулярны, то угол между ними при этом ctg ctg 0, 1 k k 0, откуда 1 ctg 1 1k k tg k k 1 1 0, Значит, k 1 k - условие перпендикулярности прямых 1 Пример 9 Прямая L 1 отсекает на осях координат отрезки a и b 3, а прямая L проходит через точки M ( 1;) и 1 M (1; 3) Найти угол между прямыми L 1 и L Решение Для нахождения угла между прямыми следует найти угловые коэффициенты прямых Прямая L 1 Составим уравнение прямой в отрезках на осях координат (4): 1 Следовательно, 1 Выразим : a b 3 (3): , 3 Отсюда k1 Прямая L : Составим уравнение прямой, проходящей через две точки 1 1 Выразим : 1 1 Следовательно, ( 1) 1, 3 1 ( 1) ( ) 5( 1), 5 1,

23 5 Отсюда k Угол между двумя прямыми найдем по формуле (6): Следовательно, tg ( ) 1 11, 4 4 tg k k 1 1 k1 k 16 arctg( ) Пример 10 Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (;1) и параллельно прямой L 1 : 3 0 Решение Найдем угловой коэффициент прямой L 1 Для этого выразим : 3 3 3, 1 Следовательно, k1 3 Условие параллельности прямых: k1 k Следовательно, k Уравнение прямой L будем искать в форме уравнения прямой с угловым k( ) коэффициентом и проходящей через данную точку (): Имеем k k,, 1 1 1, получим: 3 1 ( ) или

24 Пример 11 Составить уравнение прямой, проходящей через точку M ( ;3) и перпендикулярно прямой L 1 : 0 Решение Найдем угловой коэффициент прямой L 1 Для этого выразим : 1 1, 1 Следовательно, k1 Условие перпендикулярности прямых: k 1 k 1 Следовательно, k Уравнение прямой L будем искать в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом и проходящей через данную точку (): 1 k( 1) Имеем k k, 1, 1 3, получим: 3 ( ( )) или 1 3 Точка пересечения прямых Пусть даны две прямые L 1 и L : A B C и A B C 0 Очевидно, координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т е они могут быть найдены из системы уравнений: A1 B1 C1 0, A B C 0 Если прямые L 1 и L не параллельны, то решение системы дает единственную точку пересечения прямых Пример 1 Найти точку пересечения прямых 31 0 и 4 0 Решение 31 0, Составим систему: 4 0

25 Решим эту систему Из второго уравнения выразим и подставим в первое уравнение: 4, ( 4) 3 1 0, 7 7, 1 Откуда 1 4 Таким образом, координаты точки пересечения, 1 3 Вопросы для самопроверки 1 Приведите запись уравнения прямой с угловым коэффициентом Приведите запись уравнения прямой, проходящей через две точки 3 Приведите запись уравнения прямой в отрезках на осях 4 Приведите общее уравнение прямой 5 Приведите условие параллельности прямых, перпендикулярности прямых 6 Как найти угол между двумя прямыми? 7 Как найти точку пересечения двух прямых? 4 Упражнения для самопроверки 1 Найти уравнение прямой, образующей с осью Ох угол π/3 и пересекающей ось О в точке (0;-6) Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M M (3; 5) и (1;4) 1 3 Задана прямая L: 1 0 и точка M ( 1;) Требуется: а) написать общее уравнение прямой L 1, проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой L; б) написать общее уравнение прямой L, проходящей через точку М параллельно заданной прямой L;

26 4 Написать уравнение прямой, проходящей через точку M (; 1) и параллельной биссектрисе второго координатного угла 5 Найти угол между прямой и прямой, проходящей через точки M ( 3;1) 1 и M (3;3) 6 Найти отрезки, отсекающие прямой на осях координат 7 Найти отрезки, отсекающие прямой на осях координат Ответы: 1 3 6; ; 3 а) 3 0; б) 4 0; 4 1 0; ; 6 a 5, b 3; 7 a 1, b 13

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой. Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии. Определение. Уравнение вида F(x,y)=0 (1) называется уравнением линии L

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 6.1. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ 6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1.1. Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой B к плоскости, плоскость через три точки

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы векторной алгебры Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В. Уравнение Пусть даны точки A( x; y ), B( x2; y 2 2 Середина отрезка: x x ; y y 2 2. Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они делятся пополам). Длина отрезка:

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N13. 1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости xoy задана произвольная прямая, не параллельная оси Oy.

ЛЕКЦИЯ N13. 1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости xoy задана произвольная прямая, не параллельная оси Oy. ЛЕКЦИЯ N3. Поверхности и линии в пространстве и на плоскости. Прямая на плоскости..уравнение прямой с угловым коэффициентом.....общее уравнение прямой.... 3.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Программа по геометрии для 9 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка

Программа по геометрии для 9 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Программа по геометрии для 9 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты освоения геометрии в 9 классе 2.Содержание

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению задач по теме «Аналитическая

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой)

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее