Элементы высшей математики

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Элементы высшей математики"

Транскрипт

1 Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости Составитель: доцент Кулагина НА Новосибирск 013

2 Содержание модуля 5 1 Аналитическая геометрия на плоскости 11 Понятия вектора 1 Линейные операции над векторами 13 Разложение вектора по координатным осям 14 Действия с векторами, заданными координатами 15 Скалярное произведение векторов 16 Вопросы для самопроверки 17 Упражнения для самопроверки Уравнение прямой на плоскости 1 Уравнение прямой Условие параллельности и перпендикулярности прямых 3 Вопросы для самопроверки 4 Упражнения для самопроверки 1 Аналитическая геометрия на плоскости 11 Понятие вектора Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, работа и др Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением Такие величины называются векторными Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В Обозначается вектор AB или a (Рис 1) B A a Рис1 Вектор AB a

3 Вектор BA (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору AB Вектор, противоположный вектору a, обозначается a Длиной или модулем вектора обозначается AB a AB называется длина отрезка и Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0 Нулевой вектор не имеет направления Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается e Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых Обозначается a b (Рис ) a b Рис Коллинеарные векторы Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору Два вектора a и b называются равными (a = b ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины (Рис 3) a b Рис 3 Равные векторы 1 Линейные операции над векторами Под линейными операциями над векторами понимаются операции сложения и вычитания векторов, а также умножения вектора на число

4 Суммой векторов a и b называется вектор c a b, определенный по правилу треугольника или параллелограмма Правило треугольника: Пусть заданы вектора a и b Возьмем произвольную точку О и построим вектор OA a От точки А отложим вектор AB b Тогда вектор OB, соединяющий начало первого вектора с концом второго, будет суммой векторов a и b (Рис 4) a A b a b O B Рис 4 Правило треугольника a + b Правило параллелограмма: Векторы a и b отложим от одной точки О и достроим фигуру до параллелограмма Тогда его диагональ ОС будет суммой векторов (Рис 5) a A a b O a + b С b B Рис 5 Правило параллелограмма Разностью векторов a и b называется такой вектор c a b, что b c a (Рис 6): a O a с = a b b b Рис 6 Разность векторов

5 Произведением вектора a на число k называется вектор b =ka, имеющий длину b k a, направление которого совпадает с направлением вектораa, если k>0, и противоположно ему, если k<0 Например, если задан вектор a, то вектор OB b =3a будет иметь вид (Рис 7): a O B Рис 7 Произведение вектора на число Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами: 1 a b b a ; 4 ( k1 k) a k1a ka ; ( a b) c a ( b c) ; 5 k( a b) ka kb k ( k a) k k a Разложение вектора по координатным осям Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат O Выделим на координатных осях O и O единичные векторы (орты), обозначаемые соответственно i и j Вектор a =OM отложим от начала координат О Опустим из точки М перпендикуляры ММ 1 и ММ на оси координат O и O соответственно Тогда по правилу параллелограмма a OM OM1 OM (Рис 8) OM Но 1 1 OM i, OM OM j Обозначим длины отрезков ОМ 1 и ОМ символами a и a соответственно: a OM1, a OM Тогда получим разложение вектора a по ортам координатных осей: a OM OM1 OM ai aj

6 Глядя на рисунок, видим, что a OM OM cos, a OM OM cos 1 Y М М β a j О i α М 1 X Рис8 Разложение вектора по координатным осям Числа a и a называются координатами вектора a, те координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси Вектор a OM OM1 OM ai aj можно записать в другом виде: a ( a ; a ) Зная проекции вектора a, a, можно найти его модуль(длину): a a a Пример1 их модули Изобразить векторы a (3;4) и b ( 4;3) на плоскости O и найти Решение: На плоскости O в прямоугольной системе координат по оси O от начала координат откладываем отрезок, равный 3 (те вправо) - точка М 1, по оси O откладываем отрезок, равный 4 (те вверх) -точка М Из точек М 1 и М

7 восстанавливаем перпендикуляры до пересечения в точке М Соединяем точки О и М Получим вектор a (3;4) По оси O от начала координат откладываем отрезок, равный -4 (те влево) - точка N 1, по оси O откладываем отрезок, равный 3 (те вверх) -точка N Из точек N 1 и N восстанавливаем перпендикуляры до пересечения в точке N Соединяем точки О и N Получим вектор b ( 4;3) Рис 9 Векторы a (3;4) и b ( 4;3) Найдем модули векторов a и b по формуле: a a a : a , b ( 4) Действия с векторами, заданными координатами Пусть векторы a ( a ; a ) и b ( b ; b ) заданы своими координатами в пространстве O или, что то же самое a a i a j, b b i b j

8 В соответствии с определениями, приведенными выше, тк операции над векторами сводятся к соответствующим операциям над проекциями этих векторов, то можно записать: 1 Сумма векторов: a b ( a b ) i ( a b ) j или короче a b ( a b ; a b ) ; Разность векторов: a b ( a b ) i ( a b ) j или короче a b ( a b ; a b ) ; a a i a j или короче 3 Умножение вектора на число λ: a ( a ; a ) Пример Найти длину вектора d a 3b, если a (1;) и b (0; 3) Решение Найдем векторы a (1;) (1; ) (;4) и 3b 3 (0; 3) (3 0;3 ( 3)) (0; 9) Тогда a3b (;4) (0; 9) ( 0;4 ( 9)) (;13) Таким образом, вектор d (;13) Его модуль равен: d Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними Обозначается скалярное произведение a b Итак,

9 a b a b cos Свойства скалярного произведения: 1Скалярое произведение обладает переместительным свойством: a b b a Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно числового множителя: ( a) b ( a b) 3Скалярное произведение обладает распределительным свойством: a ( b c) a b a c 4Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: a a a a 5Длина вектора может быть найдена как квадратный корень из скалярного квадрата: a a a 6Скалярное произведение двух векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда они ортогональны (взаимно перпендикулярны): a b 0 a b 7Если векторы a и b заданы в координатной форме: a ( a ; a ) и b ( b ; b ), то скалярное произведение равно сумме произведений их одноименных координат: a b a b a b 8 Угол между двумя векторами может быть вычислен по формуле: cos ab a b a b a b a a b b Пример 3 Найти: 1) скалярное произведение векторов a и b,

10 ) угол между векторами a и b, если a (1;) и b (4; 3) Решение: 1)Скалярное произведение векторов найдем, применив свойство 7: a b a b a b 1 4 ( 3) 4 6 )Угол между векторами найдем, применив свойство 8: a b a b 1 4 ( 3) cos a a b b 1 4 ( 3) 0, Тогда arccos( 0,18) 180 arccos(0,18) Пример 4 При каком значении k векторы a (;1) и b (1; k) будут ортогональными? Решение Из свойства 6 скалярного произведения векторы a и b ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: ab 0 Имеем a b 11k 0 Следовательно, k 16 Вопросы для самопроверки 1 Что называется вектором? Что называется длиной вектора? 3 Сформулировать правило треугольника и правило параллелограмма построения суммы двух векторов 4 Какой вектор называется суммой двух векторов?

11 5 Какой вектор называется разностью двух векторов? 6 Какой вектор называется произведением вектора на число? 7 Привести свойства линейных операций над векторами 8 Какое представление называется разложением вектора по координатам на плоскости? 9 Как найти модуль (длину) вектора? 10 Как найти сумму, разность векторов, произведение вектора на число, если заданы их координаты? 11 Что называется скалярным произведением векторов? 1 Перечислите свойства скалярного произведения 17 Упражнения для самопроверки 1 Даны векторы a (1; 4) и b (0;) Найти векторы a, a 3b Даны векторы a (; 1) и b (8; 4) Найти: а) векторы с a и d b a ; б) длины векторов c и d ; в) скалярный квадрат вектора d ; г) скалярное произведение векторов c и d ; д) угол между векторами c и d 3 Даны векторы a (; 3) и b (3;1) Найти: а) векторы с a b и d 3a b ; б) длины векторов a и b ; в) длину вектора f a b ; г) скалярное произведение a b 4Определить значение косинуса угла между векторами a и b, если а) a (1;) и b (3;4) ; б) a (1;1) и b (1;3) ; в) a (0;1) и b (5;1) ; г) a ( 1; 1) b (;3) и 5Какие из приведенных ниже пар векторов ортогональными? a и b являются

12 а) a (1;) и b ( ;1) ; б) a (1;) и b (1; ) ; в) a (3; 7) и b (7;3) ; г) a ( 1; 3) и b (3;1) 6 При каком значении k векторы a ( 1;) и b (4; k) ортогональными? будут 7 При каком значении k векторы a (1;1) и ортогональными? b k k ( ; ) будут Ответы: 1 a (; 8), a 3 b (1; 10) а) c (4; ) ; d (6; 3) ; б) c 5, d 3 5 ; в) dd 45 ; г) cd 30 ; д) arccos1 0 3 а) c (8; 1) ; d (0; 11) ; б) 13, 10 ; в) 9 ; г) а) 5 5 ; б) 5 ; в) 13 ; г) 6 5 а) ортогональны; б) не ортогональны; в) ортогональны; г) не ортогональны 6 k 7 k 0, k 1

13 Уравнение прямой на плоскости 1Уравнение прямой Чтобы выписать уравнение прямой, нужно ее задать Как известно из школьного курса геометрии, через любые две точки можно провести прямую, причем только одну Существуют разные способы задания прямой, что приводит к различным по форме уравнениям, которые равносильны между собой 1Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть прямая пересекает ось O в точке B(0;b) и образует с осью O угол (0 ) (Рис 10) Возьмем на прямой произвольную точку M(;) Тогда тангенс угла наклона прямой найдем из прямоугольного треугольника MBN: MN b tg NB M(;) B(0;b) α α 0 N(;b) A(;0) Рис10 Уравнение прямой с угловым коэффициентом Введем угловой коэффициент прямой k tg, получим b k Тогда получим: k b (1) Это уравнение (1) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом Рассмотрим частные случаи уравнения (1)

14 b, то получим k - уравнение прямой, проходящей через k tg острый угол с осью O, tg - тупой угол (Рис 11) 1Если 0 начало координат и образующей при 0 а при k 0 Y=k, k<0 α α Y=k, k>0 Рис11 Прямая k В частности, уравнение биссектрисы I и III координатных углов имеет вид: (тк k tg 1), а уравнение биссектрисы II и IV 4 3 координатных углов: (тк k tg 1 4 Если 0 O, имеет вид:, то k tg0 0, и уравнение прямой, параллельной оси b, а самой оси O вид: 0 ( Рис 1) B(0;b) Y=b 0 Рис 1 Прямая b Y=0

15 3Если, то прямая перпендикулярна оси O и k tg не существует, те вертикальная прямая не имеет углового коэффициента Уравнение такой прямой: a, а уравнение оси O: 0 (Рис 13) =0 =a 0 A(a;0) Рис13 Прямая a Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении Пусть прямая проходит через точкуm ( 1; 1) и образует с осью O угол (Рис 14) M(1; 1) 0 α Рис 14 Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении

16 Так как точка M ( 1; 1) лежит на прямой k b, то ее k b Вычитая координаты удовлетворяют уравнению (1), те 1 1 почленно левые и правые части последних равенств, получим уравнение искомой прямой: Пример 5 k( ) () 1 1 Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (;1) образующей с осью О угол 4 и Решение Находим угловой коэффициент: k tg tg 1 Подставляя 4 координаты точки 1, 1 1 и k 1 в уравнение (), получим: 11 ( ) или 1 1 3Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Пусть заданы две точки M1( 1; 1) и M ( ; ) ( 1, 1 ) (Рис 15) M1( 1; 1) M ( ; ) 0 α Рис 15 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

17 Так как точка M1( 1; 1 ) лежит на прямой k b, то ее координаты удовлетворяют уравнению (): 1 k( 1) Так как точка M ( ; ) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют последнему уравнению: 1 k( 1 ) Отсюда выразим угловой коэффициент: k 1 1 Подставим найденное значение k в уравнение () Теперь уравнение искомой прямой примет вид: Разделим обе части равенства на 1, получим: k( ) ( ) (3) M (5;4) Пример 6 Составить уравнение прямой, проходящей через две точки M (3;1) и 1 Решение Подставим координаты точек 1 3, 1 1, 5, 4 в уравнение (3): или умножения получим: 3( 3) ( 1) Выразив, искомое уравнение: 3 7 После перекрестного

18 4Уравнение прямой в отрезках на осях Найдем уравнение прямой по отрезкам a 0 и b 0, отсекаемым на осях координат (Рис 16) B(0;b) b a A(a;0) Рис 16 Уравнение прямой в отрезках на осях Используя формулу (3), уравнение прямой, проходящей через точки ( 0, a, b, 0) примет вид: Aa ( ;0) и B(0; b ) a b0 0a или a a b a a a a 1 Окончательно получим: a 1 (4) b Уравнение (4) называется уравнением в отрезках на осях координат Пример 7 Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки a 3 и b 4 Решение Подставим значения a 3 и b 4 в уравнение (4): Преобразуем это уравнение: или 4 (Рис 17) 3 a=3 =

19 0 3 b=-4-4 Рис 17 Уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки a 3 и b 4 5 Общее уравнение прямой Рассмотрим уравнение первой степени с двумя переменными в общем виде: A B C 0, (5) в котором коэффициенты А и В не равны нулю одновременно, те A B 0 A C 1) Пусть В 0 Тогда уравнение (5) можно записать в виде: B B A C (выразили в уравнении (5) через ) Обозначим k, b B B Если А 0, С 0, то получим уравнение k b - уравнение прямой с угловым коэффициентом Если А 0, уравнение k С=0, то получим - уравнение прямой, проходящей через начало координат Если А=0, С 0, то получим b - уравнение прямой, параллельной оси О Если А=С=0, то получим: 0 - уравнение оси О

20 ) Пусть В=0, А 0 Тогда уравнение (5) примет вид: A C 0, C следовательно, - уравнение прямой, параллельной оси О Если A С=0, то =0 уравнение оси О Таким образом, при любых значениях коэффициентов А,В,С уравнение (5) есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости О Пример 8 Дано общее уравнение прямой ) Привести его к виду с угловым коэффициентом; ) Найти отрезки, отсекающие прямой на осях координат Решение 1) Чтобы привести уравнение прямой к виду (1), нужно выразить через : , 1 Таким образом, уравнение прямой в форме с угловым коэффициентом: 1 5 ) Приведем уравнение заданной прямой к виду (4): 1 Для a b этого перенесем 60 в правую часть: Разделим каждое слагаемое в уравнении на 60: Или 1 или Следовательно, отрезки на осях О и О: a 5 и 5 1 b 1 соответственно Условие параллельности и перпендикулярности прямых

21 1Угол между двумя прямыми Пусть даны две прямые L 1 и L, заданные уравнениями: 1 1 ними (Рис 18) k b и k b Требуется найти угол φ между L φ L1 α α1 0 Рис 18 Угол между двумя прямыми Из рисунка видно, что 1, причем, k1 tg1, k tg, ( 1, tg tg1 k k1 ) Тогда tg tg( 1) 1 tg tg 1 k k Итак, угол между прямыми вычисляется по формуле: tg k 1 k k k 1 1 1, (6) 1 причем, угол φ получается поворотом прямой L 1 к прямой L против хода часовой стрелки

22 Условие параллельности и перпендикулярности прямых Если прямые L 1 и L параллельны, то α 1 =α, следовательно, k1 tg1 tg k Таким образом, k k 1 - условие параллельности прямых Если прямые L 1 и L перпендикулярны, то угол между ними при этом ctg ctg 0, 1 k k 0, откуда 1 ctg 1 1k k tg k k 1 1 0, Значит, k 1 k - условие перпендикулярности прямых 1 Пример 9 Прямая L 1 отсекает на осях координат отрезки a и b 3, а прямая L проходит через точки M ( 1;) и 1 M (1; 3) Найти угол между прямыми L 1 и L Решение Для нахождения угла между прямыми следует найти угловые коэффициенты прямых Прямая L 1 Составим уравнение прямой в отрезках на осях координат (4): 1 Следовательно, 1 Выразим : a b 3 (3): , 3 Отсюда k1 Прямая L : Составим уравнение прямой, проходящей через две точки 1 1 Выразим : 1 1 Следовательно, ( 1) 1, 3 1 ( 1) ( ) 5( 1), 5 1,

23 5 Отсюда k Угол между двумя прямыми найдем по формуле (6): Следовательно, tg ( ) 1 11, 4 4 tg k k 1 1 k1 k 16 arctg( ) Пример 10 Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (;1) и параллельно прямой L 1 : 3 0 Решение Найдем угловой коэффициент прямой L 1 Для этого выразим : 3 3 3, 1 Следовательно, k1 3 Условие параллельности прямых: k1 k Следовательно, k Уравнение прямой L будем искать в форме уравнения прямой с угловым k( ) коэффициентом и проходящей через данную точку (): Имеем k k,, 1 1 1, получим: 3 1 ( ) или

24 Пример 11 Составить уравнение прямой, проходящей через точку M ( ;3) и перпендикулярно прямой L 1 : 0 Решение Найдем угловой коэффициент прямой L 1 Для этого выразим : 1 1, 1 Следовательно, k1 Условие перпендикулярности прямых: k 1 k 1 Следовательно, k Уравнение прямой L будем искать в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом и проходящей через данную точку (): 1 k( 1) Имеем k k, 1, 1 3, получим: 3 ( ( )) или 1 3 Точка пересечения прямых Пусть даны две прямые L 1 и L : A B C и A B C 0 Очевидно, координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т е они могут быть найдены из системы уравнений: A1 B1 C1 0, A B C 0 Если прямые L 1 и L не параллельны, то решение системы дает единственную точку пересечения прямых Пример 1 Найти точку пересечения прямых 31 0 и 4 0 Решение 31 0, Составим систему: 4 0

25 Решим эту систему Из второго уравнения выразим и подставим в первое уравнение: 4, ( 4) 3 1 0, 7 7, 1 Откуда 1 4 Таким образом, координаты точки пересечения, 1 3 Вопросы для самопроверки 1 Приведите запись уравнения прямой с угловым коэффициентом Приведите запись уравнения прямой, проходящей через две точки 3 Приведите запись уравнения прямой в отрезках на осях 4 Приведите общее уравнение прямой 5 Приведите условие параллельности прямых, перпендикулярности прямых 6 Как найти угол между двумя прямыми? 7 Как найти точку пересечения двух прямых? 4 Упражнения для самопроверки 1 Найти уравнение прямой, образующей с осью Ох угол π/3 и пересекающей ось О в точке (0;-6) Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M M (3; 5) и (1;4) 1 3 Задана прямая L: 1 0 и точка M ( 1;) Требуется: а) написать общее уравнение прямой L 1, проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой L; б) написать общее уравнение прямой L, проходящей через точку М параллельно заданной прямой L;

26 4 Написать уравнение прямой, проходящей через точку M (; 1) и параллельной биссектрисе второго координатного угла 5 Найти угол между прямой и прямой, проходящей через точки M ( 3;1) 1 и M (3;3) 6 Найти отрезки, отсекающие прямой на осях координат 7 Найти отрезки, отсекающие прямой на осях координат Ответы: 1 3 6; ; 3 а) 3 0; б) 4 0; 4 1 0; ; 6 a 5, b 3; 7 a 1, b 13


Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая параллельна вектору {, } и проходит через точку (, ) тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде,. () Уравнение ()

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов 05 ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов В механике различают величины скалярные и векторные. К скалярным величинам относятся: масса, энергия, механическая работа,

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Л.А. Золкина В.М. Мухина. Методические указания для студентов заочного отделения. Часть I ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Л.А. Золкина В.М. Мухина. Методические указания для студентов заочного отделения. Часть I ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЛА Золкина ВМ Мухина ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для студентов заочного

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

) вычисляется по формуле

) вычисляется по формуле 5-6 уч. год. 4, кл. Математика. Стереометрия.. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 6.1. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ 6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой. Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии. Определение. Уравнение вида F(x,y)=0 (1) называется уравнением линии L

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Вопросы образовательного минимума по математике за I четверть 9 класса Теоретическая часть: 1. В каком случае числа считается больше, чем число?

Вопросы образовательного минимума по математике за I четверть 9 класса Теоретическая часть: 1. В каком случае числа считается больше, чем число? Вопросы образовательного минимума по математике за I четверть 9 класса Теоретическая часть: 1. В каком случае числа считается больше, чем число? В каком случае числа считается меньше, чем число? 2. В каком

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1.1. Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой B к плоскости, плоскость через три точки

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В. Уравнение Пусть даны точки A( x; y ), B( x2; y 2 2 Середина отрезка: x x ; y y 2 2. Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они делятся пополам). Длина отрезка:

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее