Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 2. Уравнения прямой на плоскости"

Транскрипт

1 Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный вектор прямой (т.е. любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой). A и B любые действительные числа, за исключением случая A= B= y q M x Рис.. Если прямая проходит через точку M = ( x; y) и имеет нормальный вектор = ( A, B), то её уравнение может быть записано в виде Ax ( x) + By ( y) = () Уравнение () равносильно векторному уравнению MM =, где M = ( x; y). каноническим: x x y y =. (3) q q Здесь q = ( q; q) направляющий вектор прямой, т.е. любой ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой. q и q любые действительные числа, за исключением случая q = q = Отметим, что в уравнении (3) формально допускается в знаменателе. Это не означает, конечно, что допустимо деление на : формулу (3) следует считать эквивалентом равенства ( x x) q = ( y y) q, в котором никакого деления на нет. Приведём примеры: уравнение = x+ 3 y 5 7 определяет прямую x = 3, параллельную оси Oy; уравнение оси Ox x y имеет вид =.

2 параметрическим: x = x + qt, y = y + qt (t ). (4) Число t называется параметром. Система уравнений (4) равносильна векторному уравнению M M = tq (см. рис. ). t = - t = t =-/ q M t = t = Рис.. Параметр t имеет прозрачный геометрический смысл: модуль числа t означает, сколько векторов q укладывается на векторе M M, а знак обозначает расположение точки M на прямой : при t > точка M находится с той стороны, куда направлен вектор q, а при t < в противоположной стороне. с угловым коэффициентом (см. рис. 3): y = kx+ b. (5) y a x Рис.3. Здесь k угловой коэффициент, т.е. k = tg α, где α угол наклона прямой к оси Ox. Уравнением (5) может быть задана любая прямая, не коллинеарная оси Oy. в отрезках (см. рис. 4): x y + =. (6) a b

3 y b a x Рис.4. Здесь ab, отрезки, отсекаемые прямой от осей координат. При этом допускается, что a < или b < Уравнением (6) может быть задана любая прямая, за исключением прямых, коллинеарных какой-либо из осей координат, а также прямых, проходящих через начало координат. Замечание. Уравнения ()-(6) задают прямые не только в прямоугольной, но и в произвольной косоугольной системе координат. При этом вектор q = ( q; q) будет по-прежнему направляю- щим вектором прямой (т.е. вектором, коллинеарным этой прямой). Однако, вектор = ( A; B) в уравнениях (), () может уже не быть перпендикулярным данной прямой. Угловой коэффициент k в уравнении (5) может не равняться тангенсу угла между прямой и осью абсцисс. Наконец, числа a и b в уравнении (6) в косоугольной системе координат будут не истинными длинами отсекаемых на осях отрезков, а относительными длинами (если e и e базисные векторы, то на оси Ox отрезки следует измерять в векторах e, а на оси Oy в векторах e ). Задача. Написать каноническое, параметрическое и общее уравнение прямой, проходящей через точки A = ( ;3) и B = (4;). Решение. Направляющим вектором прямой AB можно считать вектор q = AB= (5; ). В качестве точки M можно взять A или B. Пусть, например, M = A= ( ;3). Тогда по формуле (3) получим: Это каноническое уравнение прямой x+ y 3 числу t, получим: = = t, 5 Из равенства (7) име- Это параметрическое уравнение прямой ем: ( x+ ) = 5( y 3), т.е. x + 5y 3 = Это общее уравнение прямой AB. x+ y 3 =. (7) 5 AB. Приравняем эти дроби к x= + 5 t, t. y = 3 t откуда ( ) AB.

4 Задача. Дана прямая :3x 4y+ = Составить уравнение прямой, проходящей через точку P = (4; ) и параллельной прямой, а также прямой, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой. Решение. (см. рис. 5) P Рис.5. Из уравнения прямой находим ее нормальный вектор: = (3; 4). Взяв M = P, запишем равенство (): 3( x 4) 4( y+ ) =, т.е. 3x 4y 6= Это уравнение прямой. Заметим, что вектор является направляющим вектором прямой, а значит, можно записать уравнение этой прямой согласно равенству (3). Мы получим: =, откуда x 4 y ( x 4) = 3( y+ ), или 4x + 3y 3 = Это уравнение прямой. Задача 3. Найти угол между прямыми :x 5y+ = и :4 x+ y+ 3 = Решение. Найдём нормальные векторы этих прямых: = (; 3), = (4;). Угол ϕ между прямыми равен углу между их нормальными векторами. Следовательно, 4 5 cosϕ = cos (, ) = = = Отсюда ϕ = arccos. обычно под углом между прямыми берут острый угол, образованный этими прямыми. Поэтому мы можем считать, что угол равен arccos. Задача 4. Составить уравнение прямой, симметричной прямой :3x+ y 5= относительно: а) начала координат; б) оси абсцисс; в) точки A = ( ;4).

5 Решение. а) Симметрия относительно начала координат переводит точку (; x y ) в точку ( x; y). Поэтому уравнение симметричной прямой мы получим, заменяя x на x и y на y. Таким образом, искомое уравнение будет таково: 3x y 5=, или 3x + y + 5= б) Симметрия относительно оси абсцисс задается формулами x = x, y = y. Отсюда получаем: 3x y 5= в) (см. рис. 6) M A M Рис.6. Возьмём какую-нибудь точку прямой, например, M = (;5) (для этого достаточно подобрать числа x, y, удовлетворяющие уравнению 3x + y 5= ). Пусть M точка, симметричная точке M относительно точки A. Тогда AM = M A = ( ; ) и OM = OA + AM = ( ;3) + ( ; ) = ( ;). Следовательно, M = ( ;). Отсюда получаем уравнение прямой :3( x+ ) + ( y ) =, т.е. 3x + y + 4= Замечание. Решение задачи 4(в) может быть упрощено, если использовать формулу симметрии плоскости относительно точки (см. раздел «Геометрические преобразования»). Задача 5. Спроектировать току P = (3; 5) на прямую y = x+. Решение. (см. рис. 7) P K Рис.7. Обозначим через прямую y = x +. Уравнение этой прямой можно переписать в виде x y + = Найдём нормальный вектор прямой : = (; ). Этот вектор может быть принят в качестве на-

6 правляющего вектора прямой : q = (; ). Запишем параметрические уравнения прямой : x = 3+ t, y = 5 t. (8) Теперь найдем координаты точки K пересечения прямых и, подставив формулы (8) в уравнение прямой, получим: 5 t = (3+ t) +. Отсюда t =. Подставим теперь это значение t 5 в (8), получим: x = 3+ (,4) =,, y = 5 (,4) = 5,4. Таким образом, K = (,; 5,4). Точка K это и есть проекция точки P на прямую. Задача 6. Составить уравнение высоты AH, медианы AM и биссектрисы AL треугольника ABC, если A = ( 8;3), B = (; ), C = ( ;9). Решение. (см. рис. 8). H B L M C A Рис.8. Имеем: BC = ( ;). Вектор BC является нормальным вектором прямой AH, т.е. = ( ;). В качестве точки M прямой AH возьмём точку A. Запишем теперь уравнение высоты AH : ( x+ 8) + ( y 3) =, т.е. x y + 8 = Далее, направляющим вектором прямой AM может служить вектор AM = ( AB+ AC). Если направляющий вектор умножить на, то он по-прежнему останется направляющим вектором. Поэтому возьмём q = AB+ AC = (8; 4) + (7;6) = (5;). Отсюда получаем уравнение прямой AM : =, или x 5y + 9= x+ 8 y 3 5 Составим теперь уравнение биссектрисы AL. Найдём длины векторов AB и AC : AB = = 9 + = 85, AC = = 85. Векторы AB и AC имеют одинаковую длину, поэтому вектор u = AB+ AC направлен по биссектрисе угла A, а значит, является направляющим вектором прямой AL. Вычисляем:

7 u = (8; 4) + (7;6) = (3;8) = 8 (4;). Запишем каноническое уравнение x+ 8 y 3 прямой AL : = ; отсюда получаем: x 4y + = 4 Замечание. Если a и b a b векторы, то вектор u = + век- a b тор, направленный по биссектрисе угла, образованного векторами a и b a b, а вектор v = по биссектрисе смежного угла (см. рис. a b 9). v a u b Если a = b, то u = a+ b, а Рис.9. v = a b. Задача 7. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: 3x y + =, 4x + y 5= и координаты его центра: ( 5;6). Составить уравнения двух других сторон и уравнения диагоналей. Решение (см. рис. ). B C F D A 3x - y + = 4x + y - 5 = Рис. Обозначим вершины параллелограмма буквами A, BCD,,, а его центр буквой F. Можно считать, что даны уравнения сторон AB и BC. Найдём вершину B, решив систему 3x y+ =, 4x+ y 5=

8 Прибавим к первому уравнению удвоенное второе, получим: x 9 =, откуда x =. Далее, y = 5 4 =. Следовательно, 9 9 B = ;. Затем вычисляем: BF = ;, OD = OF + FD = OF + BF = ( 5;6) + ; = ;. 9 3 Отсюда D = ;. Через точку D проводим прямую, парал- 9 3 лельную AB, получаем CD : 3 x+ y =, 3x y + 53 = 9 3 Аналогично получаем уравнение AD : 4 x+ + y =, т.е. 4x + y + 33= Теперь найдём точку A : 3x y+ =, 3x+ y+ 33= Отсюда x =, y =, т.е. ;. A = Осталось получить уравнения диагоналей AC и BD. Имеем: 6 AF = ;. Взяв q = AF, M = F, получим уравнение AC : x+ 5 y 6 =, а значит, 6x y = Аналогично получим уравнение BD : q = BF = ;, M = F = ( 5;6), откуда получаем: x+ 5 y 6 =, т.е. 47x + 64y 39 = Задача 8. Даны координаты одной из вершин треугольника: (3; ) и уравнения двух его медиан: 3x y + 4=, x = Найти координаты двух других вершин треугольника. Решение.. Так как точка (3; ) не удовлетворяет уравнениям данных прямых, то можно считать, что (3; ) это вершина B, а данные прямые медианы, выходящие из вершин A и C соответственно (см. рис. ).

9 B 3x - y + 4 = A Рис.. C x - = Обозначим данные прямые через m и. Возьмём какую-нибудь точку на прямой m : K = ( ;). Пусть T точка, симметричная точке B относительно K. Тогда OT = OB + BT = OB + BK = (3; ) + ( 4;) = ( 5; 3). Следовательно, T = ( 5;3). Через точку T проводим прямую m m: 3( x+ 5) ( y 3) =, т.е. 3x y + 8= Точку C найдём, пересекая прямые и m : x =, 3x y+ 8= 6 Получаем: = ;. 3 Аналогично находим точку A. А именно, возьмём точку на прямой : L = (; ). Пусть U точка, симметричная точке B относительно L. Тогда OU = OB + BL = (3; ) + ( ;) = (; ). Уравнение прямой, параллельной и проходящей через U : x = Точку A находим из системы 3x y+ 4=, x = Отсюда A = (; 7). Задача 9. Через точку (; ) провести прямую, пересекающую положительные части осей координат и образующую с осями координат треугольник наименьшей площади. Решение (см. рис. ).

10 y B b a A x Рис.. Пусть искомая прямая и ab, отрезки, отсекаемые прямой от осей координат. Тогда a >. Запишем уравнение прямой в отрезках (см. формулу (6)): + =. Так как (; ), то + =. Отсюда x y a b a b a b = =. Найдём площадь треугольника OAB : a a Sa a a ( ) =. ab = a = Найдём наименьшее значение функции a a Sa ( ) на множестве (; + ). Для этого вычислим производную: a ( a ) a a a S ( a) = =. ( a ) ( a ) Очевидно, S ( a) = при a =. Составим таблицу: (; ) (; + ) S + S 4 Из таблицы видно, что функция Sa ( ) имеет в точке a = минимум, равный S () = 4. При a = получаем: b = = 4, а значит, уравнение x y прямой таково: + =, или x + y 4= 4. Расстояние и отклонение точки от прямой на плоскости Пусть прямая, заданная уравнением Ax+ By+ C =, и P = ( xp; yp ) произвольная точка плоскости. Тогда расстояние ρ ( P, ) от точки P до прямой выражается формулой AxP + ByP + C ρ( P, ) =. (9) A + B Заметим, что в знаменателе этой дроби стоит длина вектора = ( A; B) нормального вектора прямой. Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, надо подставить коорди-

11 наты точки в уравнение прямой и разделить полученное число на длину нормального вектора; при этом мы получим число, которое может быть отрицательным в этом случае берём его по абсолютной величине. Решим несколько задач. Задача Найти расстояние от точки ( 3;) до прямой y =. x Решение. Обозначим данную точку буквой P, а прямую буквой. Преобразуем уравнение прямой к виду Ax+ By+ Cz =, получим: x y = Теперь применим формулу (9): ( 3) 7 ρ( P, ) = =. + ( ) 5 Задача. Найти расстояние между параллельными прямыми 3x 5y + = и 3x 5y = : : Решение. Очевидно, расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от какой-нибудь точки первой прямой до второй прямой. Найдём точку первой прямой. Возьмём, например, x = и подставим это число в уравнение прямой. Мы получим: y =,. Таким образом, точка P = (;,) принадлежит прямой. Теперь мы можем вычислить расстояние ρ (, ) между прямыми: 3 5, 3 ρ(, ) = ρ( P, ) = = Задача. На оси абсцисс найти точку, равноудалённую от прямых x y + 3= и x + 7y = Решение. Общий вид точек, лежащих на оси абсцисс, токов: P = ( a;). Обозначим данные прямые через и. По условию ρ( P, ) = ρ( P, ), поэтому по формуле (9) будем иметь: a + 3 a + 7 = Отсюда получаем: a+ 3 a = ; 5 a+ 3 = a ; 5a+ 5 =± ( a ). Если 5 5a+ 5= a, то a = 4; если 5a+ 5= a, то a = 7/3. Таким образом, условию задачи удовлетворяют две точки: P = ( 4;) и P = (7 /3; ). Убрав в формуле (9) знак абсолютной величины, мы получим величину AxP + ByP + C δ ( P, ) =, () A + B называемую отклонением точки P от прямой. Как видно из формул (9) и (), отклонение лишь знаком может отличаться от расстояния. Очевидно, δ = ± ρ и ρ = δ.

12 3): Геометрический смысл отклонения следующий (см. рис. d > d < Рис.3. отклонение по абсолютной величине равно расстоянию, причём δ >, если точка P находится от прямой по ту сторону, в которую направлен нормальный вектор, и δ <, если она находится по другую сторону. Замечание. В ряде учебников отклонение определяется чуть по-другому, а именно, δ = ρ, если C >, и δ = ρ, если C < Тогда знак δ будет положительный, если точка P находится по ту сторону от прямой, в которой лежит начало координат, и отрицательный, если по другую сторону. Мы не будем пользоваться этим определением отклонения, а будем использовать формулу (). Покажем, как с помощью отклонения просто решаются задачи, которые с помощью расстояния решаются гораздо сложнее. Задача 3. Определить, пересекает ли отрезок PQ прямую, если P = (3;), Q = ( ;4), а прямая задана уравнением x + 3y 5= Решение. Спросить, пересекает ли отрезок PQ прямую, это всё равно, что спросить, точки P и Q лежат по одну иди по разные стороны от прямой. Вычислим отклонения: () δ ( P, ) = >, δ ( Q, ) = > (знаменатели дробей мы не вычисляем, так как нам нужны не сами отклонения, а только их знаки). Так как отклонения имеют одинаковые знаки, то точки P и Q лежат по одну сторону от прямой, а значит, отрезок PQ не пересекает прямую. Задача 4. Выяснить, лежит ли точка M = (; 5) внутри треугольника ABC, если A = ( ;3), B = (; 4), C = (7; ). q q q AB BC AC Решение. Составим уравнения прямых AB, BC и AC. x+ y 9 = AB = (; ), уравнение: =, т.е. x y + = ; x y 4 = BC = (7; ), уравнение: =, т.е. x + 7y 8= ; 7 x+ y 9 = AC = (8; 7), уравнение: =, т.е. 7x + 8y 65= 8 7

13 Для того, чтобы точка лежала внутри треугольника ABC, необходимо и достаточно, чтобы она лежала: ) по ту же сторону от прямой AB, где лежит точка C, ) по ту же сторону от прямой BC, где лежит точка A, и 3) по ту же сторону от прямой AC, где лежит 5+ точка B. Вычисляем отклонения: δ ( M, AB) = >, 7 + δ ( CAB, ) = > одного знака. Далее, () δ ( M, BC) = >, δ ( ABC, ) = > одного знака. Наконец, δ ( M, AC) = <, δ ( BAC, ) = < одного знака. Следовательно, точка M лежит внутри Δ ABC. Задача 5. Определить, лежит ли точка (; ) между параллельными прямыми 3x y = и y 6x+ 3= Решение. Обозначим данную точку через P, а прямые и. Проверим, что эти прямые действительно параллельны. Для этого вычислим их нормальные векторы: = (3; ), = ( 6;). Мы видим, что, следовательно, (Заметим, что на самом деле тот. факт, что векторы и коллинеарны означает, что прямые параллельны или совпадают; но мы не будем различать эти два случая, здесь удобно считать, что любая прямая параллельна самой себе). Преобразуем одно из уравнений так, чтобы нормальные векторы были одинаковы. Тогда получим: : 3 x y =, : 3x y,5= Тогда они имеют один и тот же нормальный вектор = (3; ) (см. рис. 4). Из рисунка видно, что точка будет лежать между прямыми в точности тогда, когда отклонения разных знаков. d,d > d <, d > Рис.4. d,d < 3 3,5 Вычисляем отклонения: δ ( P, ) = <, δ ( P, ) = < Так как отклонения одного знака, то точка P не лежит между прямыми и.

14 Задача 6. Определить, точка M = ( ;4) лежит внутри тупого или внутри острого угла, образованного прямыми 4x 3y + = и x + y 6= Решение. Сначала обсудим принципиальный вопрос о том, как различить ситуации острого и тупого угла между прямыми. Пусть, прямые,, их нормальные векторы, δ, δ отклонения точки M от этих прямых. Если прямые не параллельны и не перпендикулярны, то возможны два случая: (а) (, ) острый и (б) (, ) тупой (см. рис. 5). > d > d < d,d < d,d > d < d > d,d > < d > d < d < d > d,d < а) Рис.5. В перовом случае, как видно из рисунка, для нахождения точки M внутри острого угла необходимо и достаточно выполнение неравенства δ δ <, а во втором случае нахождение внутри острого угла равносильно неравенству δ δ > Применим эти соображения к нашей ситуации. Имеем: = (4; 3), = (; ). Так как = 4 3 <, то имеет место случай 4() 34 + (б). Вычислим отклонения: δ = δ ( M, ) = <, ( ) δ = δ( M, ) = > Так как δ и δ разных знаков и имеет место случай (б), то точка M лежит внутри тупого угла. Задачи для самостоятельного решения. Даны точки P = (3;) и Q = ( ;6). Составить уравнения прямых, проходящих через концы отрезка PQ перпендикулярно этому отрезку. Ответ: 4x 5y 7 =, 4x 5y + 34=. При каком a прямые 3x y + = и ax + 5y 7 = перпендикулярны? Ответ: a =. 3 б)

15 3. Даны точки A = (3; ) и B = (; 5). Найти точку пересечения прямой AB с осью ординат. Ответ: (; 8,5). 4. Составить общее уравнение прямой, заданной параметрическими уравнениями x = 3 t, y = + 5 t. Ответ: 5x + y 9 = 5. Составить уравнение средней линии MN AB треугольника ABC, если A = (; 3), B = ( ;4), C = (8;). Ответ: x + 3y = 6. Даны точка M = ( ;5) и прямая : 3x + 4y 6= Составить уравнение геометрического места точек B, являющихся серединами отрезков MA, где A. Ответ: 3x + 4y = 7. Составить уравнение геометрического места точек, равноудалённых от точек A = (3; 7) и B = (; 5). Ответ: x + 4y 9= 8. Известно уравнение стороны AB параллелограмма ABCD : 3x y + 4=, его диагонали AC : x y = и вершина D = ( 5;4). Найти координаты вершин A, B и C. Ответ: A = ( 4; 4), B = ( ; 3), C = ( 3; 3). 9. Найти точку, симметричную точке (;) относительно прямой 6x 4y + 5= Ответ: ( ;3). Через точку ( ;3) провести прямую, отсекающую от осей координат треугольник площадью. Ответ: x + y =, 9x + y + 6=. Через точку ( ;3) провести прямую, пересекающую положительные части координатных осей так, чтобы отрезок этой прямой, заключённый между осями координат, имел наименьшую длину. Ответ: x + y =. Через точку (3;) провести прямую, касающуюся окружности ( x+ ) + ( y ) = 7. Ответ: 4x y = 3. Найти расстояние от начала координат до прямой 3x 4y + = Ответ:,4. 4. Найти расстояние между прямыми, заданными параметрически: x = 5 t, y = + t и x = + t, y = 3 4 t. Ответ: 8/ На прямой y = x найти все точки, равноудалённые от прямых y = x+ и y 7x. /3; /3. = Ответ: (; ) и ( ) 6. Написать уравнение геометрического места точек, для которых расстояние до прямой 3x 5y + = в 3 раза больше расстояния до прямой x + 6y 3 = Ответ: две прямые: 8x 36y + 9= и 8x 4y + 3 =, по-другому: x+ 6y 3 =± 6(3x 5y+ ). 7. Определить, по одну или по разные стороны от прямой 3x + 5y 7 = расположены точки (; ) и ( 3;3). Ответ: по разные. 8. Определить, лежит ли точка M внутри угла ABC, если A = (; 7), B = ( 4; 9), C = ( 8;), M = ( 9;). Ответ: лежит.

16 9. Определить, точки ( ;3) и (5;3) лежат в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных прямыми 3x 7y + 46= и 4x + y = Ответ: в вертикальных. Изобразить на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих системе неравенств x + y 3, 3x y + 4, x 3y +. Поставить вместо звёздочек знаки < или > так, чтобы область плоскости, определяемая неравенствами 3x + 5y, x y 4, 4x + y + 3, была ограниченной. Ответ: <, <, >.

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В. Уравнение Пусть даны точки A( x; y ), B( x2; y 2 2 Середина отрезка: x x ; y y 2 2. Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они делятся пополам). Длина отрезка:

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

3. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование

3. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( 0 ; 0 ; 0 ), перпендикулярно вектору N { A, B, C} Вектор, перпендикулярный

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов

Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов СК Соболев, ВЯ Томашпольский Прямые и плоскости Методические указания к решению задач по аналитической геометрии Для всех факультетов МГТУ им НЭ Баумана Москва 0 УДК: 5+54 Рецензент: Покровский Илья Леонидович

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат

Подробнее

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0.

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0. Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ( 4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки ( ) 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Координатная плоскость

Координатная плоскость Координатная плоскость 1. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке. 2. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9). 3. Найдите площадь

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости;

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости; Практикум по теме 5 Методические указания по выполнению практикума. Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 5, а также развитие следующих навыков: задание прямых на плоскости

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

Глава 3. Геометрические преобразования

Глава 3. Геометрические преобразования Глава 3. Геометрические преобразования Пусть дана прямоугольная система координат O на плоскости или Oz в пространстве. В теории геометрических преобразований рассматриваются две основные задачи, которые

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с Тест 299. Преобразование плоской фигуры. Соответствие является преобразованием фигуры M в фигуру N, если: 1. каждая точка фигуры N является образом хотя бы одной точки фигуры M. 2. каждой точке фигуры

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции

Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции Глава 6 Векторная алгебра 61 Линейные операции 1 Доказать, что векторы (1,2) и (2, 3) образуют базис на плоскости Найти в этом базисе координаты векторов (5,3) и ( 4,6) 2 Доказать, что векторы (1, 2, 3),

Подробнее

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB=

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB= Глава 1 ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ n R. 1.1. Точечные пространства Ранее было рассмотрено арифметическое пространство строк В математике конечный упорядоченный набор координат может интерпретироваться не только

Подробнее

Задачи о касательных к параболам

Задачи о касательных к параболам potential_print09qxp 09007 :49 Page Потенциал 09 () 09007 Мирошин Владимир Васильевич Учитель гимназии 5 г Москва, старший преподаватель кафедры математического анализа Московского городского педагогического

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 МОДУЛЬ МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Практическое занятие 6-7 Тема: Преобразование координат Полярные координаты Расстояние между точками Деление отрезка в данном отношении Метод координат План Преобразование

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Разбор задач по теме: «Плоская система координат».

Разбор задач по теме: «Плоская система координат». Разбор задач по теме: «Плоская система координат». Задача 1 Даны две вершины треугольника М 1 (-10;2) и М2 (6;4); его высоты пересекаются в точке Н (5;2). Определить координаты третьей вершины М3. Разметим

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее