Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей."

Транскрипт

1 Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f (: ) определена в интервале ( a b) 2) достигает в некоторой точке С этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения 3) существует производная C) тогда следует что C) Доказательство Допустим что в точке С функция y f ( достигает наибольшего значения Придадим значению С достаточно малое приращение Тогда f ( C) > f ( C + Отсюда при < y f ( C + f ( C) > и следовательно f ( c + f ( c) lim C) () y При > < и следовательно f ( c + f ( c) lim C) (2) + Из неравенств () и (2) следует что C) Геометрический смысл теоремы состоит в том что касательная к графику функции y f ( в точке с абсциссой С параллельна оси абсцисс у а с d b х 34

2 Примечание Все условия теоремы Ферма существенны Например функция π y si в промежутке достигает в точке наименьшего 2 значения но ее производная в этой точке равна единице Производная будет равна y cos Согласно теоремы Ферма точка в которой функция принимает свое наименьшее значение должна принадлежать открытому интервалу Тк в данном случае точка х в которой функция принимает наименьшее значение является граничной то y cos при х равна ( y ( ) cos ) что противоречит утверждению теоремы согласно которой y () должно быть равно Теорема Ролля (Мишель Ролль (652-79) французский математик) Если функция y f ( : ) непрерывна на сегменте [a;b] 2) дифференцируема в интервале (а;b) 3) принимает на концах этого интервала равные значения f ( a) f ( b) то в интервале (a; b) существует точка с такая что выполняется равенство c) Доказательство Так как функция y f ( непрерывна на сегменте [а;b] то как известно она принимает на этом сегменте как свое наибольшее значение М так и свое наименьшее значение m Возможны два случая: ) Mm тогда f ( постоянна на [а;b] : в самом деле неравенство m f ( M в этом случае дает f ( M для всех х из [а;b]поэтому в любой точке интервала (a;b) 2) M > m Так как f ( a) f ( b) то хоть одно из значений М или m достигается в некоторой точке с ( a < c < b) Следовательно согласно теореме Ферма c) Теорема доказана Геометрически теорема Ролля означает следующее: если крайние ординаты кривой y f ( равны то на кривой найдется точка где касательная параллельна абсцисс у а ξ ξ b х 35

3 Примечание 2 Условия теоремы Ролля являются существенными Так например для функции f ( выполнены все условия теоремы Ролля кроме существования производной в точке Одновременно с этим замечаем что в интервале ( ) нет такой точки где производная равна нулю: если < < если < < а при производная как уже отмечалось не существует Теорема Лагранжа (Жозеф-Луи Лагранж (736-83)- французский математик и механик) Если функция y f (: ) непрерывна на сегменте [a; b] 2) дифференцируема в интервале (а; b) то в интервале (а; b) найдется такая точка с что f ( b) f ( a) c) (3) b a Доказательство f ( b) f ( a) Положим λ (4) b a и рассмотрим вспомогательную функцию ϕ ( f ( f ( a) λ( a) Эта функция удовлетворяет первым двум условиям теоремы Ролля как алгебрическая сумма трех непрерывных и дифференцируемых функций При этом ϕ ( a) ϕ( b) Следовательно к функции ϕ ( применима теорема Ролля те существует точка с a < c < b такая что ϕ ( c) Но ϕ ( ) λ Поэтому c) λ или λ c) Отсюда с учетом формулы (4) получаем искомое равенство (3) Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл: на графике функции y f ( между точками А и В есть внутренняя точка С такая что касательная к нему в точке С параллельна хорде АВ В самом деле левая часть равенства (3) угловой коэффициент хорды АВ а правая угловой коэффициент касательной к графику в точке С у С В А а с b х 36

4 Примечание 3 Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля так как если f ( a) f ( b) то из равенства (3) следует c) Формула (3) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений Из нее получаем f ( b) f ( a) c)( b a) Наконец взяв вместо a и b соответственно и х и обозначив y f ( f ( формулу Лагранжа запишем так: y c) Из теоремы Лагранжа вытекает Следствие Если в интервале ( a b) то в этом интервале функция f ( постоянна Доказательство Для любых значений и 2 ( < 2 ) из рассматриваемого интервала выполняется теорема Лагранжа те f ( 2) f ( ) c)( 2 ) где < c < 2 Но c) а потому и f ( 2 ) f ( ) те f ( 2) f ( ) а это значит что f ( Cos в интервале ( a b) Теорема Коши Если функции y f ( и y : ) Непрерывны на отрезке [a;b]; 2) Дифференцируемы по х в интервале (а;b) 3) g ( в этом интервале то в интервале (а;b) существует точка с такая что имеет место равенство f ( b) f ( a) c) (5) b) a) ( c) Доказательство Отметим что g ( b) a) тк в противном случае имели бы что g ( b) a) и тогда по теореме Ролля g ( c ) где c - некоторая точка из интервала (а; b) что противоречит условию 3 Рассмотрим вспомогательную функцию Φ( f ( f ( a) λ ( a)) f ( b) f ( a) где λ b) a) Имеем Φ( b ) Φ( a) Функция Ф(х) удовлетворяет и остальным условиям теоремы Ролля В самом деле Ф(х) непрерывна на [a;b] тк непрерывны на [a;b] f ( и g (; производная Φ ( существует в (а;b) она равна: 37

5 Φ ( ) λ ( Следовательно в интервале (а;b) существует такая точка с что c) Φ ( c ) или λ ( откуда λ ( c) Подставляя в последнее равенство значение λ получаем искомое равенство (5) Примечание Заметим что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши соответствующим 2 Раскрытие неопределенностей f ( Отношение представляет собой неопределенность вида при a если lim f ( и lim Раскрыть эту неопределенность - это значит a a f ( найти lim если он существует a g ( ) Теорема Пусть f ( и g ( определены и дифференцируемы в окрестности точки a за исключением быть может самой точки а lim f lim g g ( и g ( в этой окрестности Тогда если a ( ) ( ) a f ( существует lim то существует lim и имеет место равенство a g ( ) a g ( ) f ( lim lim () a a ( Доказательство Будем считать что а конечное число (В случае a см ниже замечание 3) Доопределим функции f ( и g ( в точке a полагая f ( a) a) Тогда эти функции будут непрерывны в точке а Рассмотрим отрезок [ a ] где > a или < a На [ a ] функции f ( и g ( непрерывны а на ( a дифференцируемы поэтому по теореме Коши существует точка ( a ) ξ такая что f ( f ( a) a) ξ ) ( ξ ) или f ( ξ ) ( ξ ) так как ξ ( a ) Когда a то и ξ a поэтому в силу условия теоремы имеем f ( ξ ) lim lim lim a ξ a ( ξ ) a ( при условии что предел в правой части равенства существует (2) 38

6 Этим теорема доказана Замечание Если предел справа в () не существует то предел слева может существовать Пример 2 si lim lim si si 2 si 2si cos Однако lim lim не существует ( si cos Замечание 2 Если выражение lim представляет неопределенность вида a g ( ) и функции ( удовлетворяют условию теоремы то f ( f ( lim lim lim a a ( a ( При этом эти равенства надо понимать в том смысле что если существует третий предел то существует и второй и первый Теорема 2 Пусть ) f ( и g ( определены 2) дифференцируемы в окрестности точки a 3) lim f ( lim g ( и g ( в этой окрестности a a Тогда если f ( lim то lim a g ( ) a g ( ) и f ( lim lim a a ( Доказательство этой теоремы мы не приводим в силу его сложности Замечание 3 Если a то замена сводит дело к a : f ( f lim lim g ( ) ( ) lim ( f ( ) ( ) f lim ( ) 2 lim ( ) ( ) 2 39

7 Неопределенности вида сводятся к неопределенностям вида или (( f ( ) f ( g ( при a ) следующим образом: g f ( f или f f ( g Пример 2 α lim l α > ; α l lim l lim lim α α Неопределенности вида ; неопределенности ( f > ) g Если lim g l f то lim f e a α ; lim α α для выражения Согласно определению этой функции Неопределенность вида сводится к неопределенности Легко видеть что g f f g f g f g g f сводятся к f g e g l f ( f ( f ( g ( при a ) 3 Формула Тейлора для многочлена Рассмотрим произвольный многочлен степени : + b + + b b P ( b где таким образом b - постоянные числа- коэффициенты многочлена Пусть - любое фиксированное число Полагая ) + получим ( P ( b [( ) + ] () откуда возводя в степени квадратные скобки и приводя подобные по степеням получим выражение для P ( в следующей форме: 4

8 + a( + + a ( a ( P ( a (2) называемое разложением многочлена P ( по степеням ( Здесь a a a -числа зависящие от b i и являющиеся коэффициентами разложения P по степеням Например a b + b + + b Из () очевидно что P ( на самом деле от не зависит Найдём последовательные производные P ( : P( a+ 2 a2( + + a( " 2 P( 2a a3( + + ( ) a( ( ) (3) P ( 2 a + + ( ) ( + ) a( ) ( ) P ( 2 a Производные порядка выше равны нулю Полагая в формулах (2) и (3) получаем P ) a P ( ) ( a " ( ) ( ) ( 2a2 P (! a P ( P )! a или ( ) P ( ) a ( ) (4)! () где учитываем что! P ( P ( Формулы (4) показывают что один и тот же многочлен P ( степени можно разложить по степеням единственным образом те если для всех значений β ( ) ( β P ( β где β и β вычисляются по одной и той же формуле (4) P ( ) (! β -постоянные то ( ) В силу (4) формулу (2) можно переписать так: ( ) P ( P ( P ( P ( + ( + + (!! ) ( ) β Ведь как числа β так и ( 2) 4

9 Формула ( 2 ) называется формулой Тейлора для многочлена P ( по степеням ( Отметим что правая часть ( 2 ) фактически не зависит от Пример Пусть P ( ( a + и Тогда в силу ( 2 ) ( ) p () P (! где в данном случае P ( ( ) ( + )( a + ( ) P () ( ) ( + ) a и мы получили известную формулу бинома Ньютона ( ) ( + ) ( a + a (5)! 4 Формула Тейлора для функции с остаточным членом в форме Лагранжа Рассмотрим теперь любую функцию f ( которая имеет непрерывные производные всех порядков до ( + ) -го в некоторой окрестности точки Мы можем формально составить многочлен ( ) ( ) ( ) f Q (! (6) который называется многочленом Тейлора -й степени или -м многочленом Тейлора функции f по степеням Многочлен Q ( совпадает с функцией f ( в точке но для всех он не равен f ( ( если f ( не является многочленом степени ) Кроме того ( ) ( ) Q( f ( Q ( f ( (7) Положим f ( Q ( + r ( (8) Формула (8) носит название формулы Тейлора для функции f (; r ( называется остаточным членом формулы Тейлора- подробнее -м остаточным членом формулы Тейлора функции f по степеням Функция r ( показывает какую погрешность мы допускаем при замене f ( на многочлен Тейлора (6) ( ) Найдем выражение для r ( через производную f + ( 42

10 В силу (7) и (8) r ( ) r ( r ( Положим + ( ) ϕ ( ( Ясно что ϕ ( ) ϕ ( ϕ ( Применяя теорему Коши к функциям r ( и ϕ ( будем иметь " r ( r ( r ( ) r ( ) r ( ) r ( r ( 2) " ϕ( ϕ( ϕ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( + ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ϕ ( + ) ( и ( ) 2 ) ( + ( + ) ( + ) ( + ) ϕ ( + )! r ( f ( Но ) Следовательно + ( ) ( + ) r ( f ( c) (9) ( + )! где c + -некоторая точка лежащая между и Таким образом формулу (8) можно записать в виде ( 8 ) ( ) ( + ) + f ( f ( c) f ( ( ) + ( ( 8 )! ( + )! Формула ( 8 ) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа Таким образом доказана следующая теорема Теорема Если функция f имеет в окрестности точки ( ) непрерывную производную f + ( то для любого из этой окрестности найдется точка c ( такая что f ( можно записать по формуле ( 8 ) Если точка то формулу (8) называют формулой Маклорена Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора Так большое значение имеет форма Коши + ( ) ( ) ( ) ( ) θ + r f ( + θ ( ))! () где θ ( <θ < ) зависит от и Уменьшая окрестность точки получим что производная ( есть непрерывная функция от на замкнутом отрезке [ δ + δ ] Но тогда она ограничена на этом отрезке: ( + ) f ( M ( δ + δ ) () Здесь M -положительное число не зависящее от указанных но вообще говоря зависящее от Тогда 2 ( ) ( ) f + 43

11 ( + ) + f ( c) + M r ( (2) ( + )! ( + )! < δ Неравенство (2) можно использовать в двух целях: для того чтобы исследовать поведение r ( при фиксированном в окрестности точки и для того чтобы исследовать поведение r ( при Из (2) например следует что при фиксированном имеет место свойство r ( o(( ) (3) показывающее что если r ( разделить на ( то полученное частное будет продолжать стремится к нулю при В силу (3) из ( 8 ) следует: ( ) ( ) ( ) f f ( + o(( ) (4)! Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано (Д Пеано(85-932) итальянский математик) Она приспособлена для изучения функции f в окрестности точки Теорема 2 (единственности) Пусть одна и та же функция f из различных соображений оказалась представленной в окрестности точки в виде f ( a f ( b + a ( + b ( ) + + a ) + + b ( ) ( ) + o(( ) + o(( ) ) ) Тогда a b ( ) (6) Доказательство Если приравнять правые части (5) и перейти к пределу при то получим a b Теперь в этом равенстве можно сократить на ( ) и опять перейти к пределу при Тогда получим a b ( И так продолжаем до тех пор пока получим a b Пример 2 Мы знаем что + ( ) Поэтому (5) 44

12 + ψ ( + + o( ) (7) С другой стороны функция ψ имеет в окрестности точки производные любого порядка поэтому для нее имеет место формула Тейлора с остатком в форме Пеано ( ) ψ () ψ ( + o( ) (8)! Сопоставляя формулы (7) и (8) на основании теоремы единственности получим () ψ ( ) (9)! 5 Разложение элементарных функций в ряд Тейлора и Маклорена Пусть f ( e Эта функция бесконечно дифференцируема (имеет При этом производные любого порядка) на ( ) + c f ( e f () ( ) f ( c) e Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид c + e e + r ( r ( c ( ()! ( + )! где может быть положительным и отрицательным На отрезке [ A A] A > A + e A r ( (2) ( + )! Это показывает что функция e разлагается на [ A A] в сходящийся к ней ряд Тейлора по степеням (ряд Маклорена): e (3)! Но A > - произвольное число поэтому это равенство имеет место на всей действительной оси ( ( )) В данном случае f ( ) где ( A e e ( 2 ) на отрезке [ A A] Вычислим число e с точностью до Имеем e + r ()! (4) 45

13 c e r ( ) ( < c < ) (5) ( + )! Надо подобрать настолько большим чтобы c e r ( ) ( < c < ) ( + )! c Так как e < 3 то для этого достаточно решить неравенство 3 ( + )! Оно выполняется при 6 Следовательно e ! 3! 6! с точностью до Примечание Так как < e c < 3 при < c < то при > 2 e c ( + ) θ где <θ < Поэтому равенство (4) можно записать в следующем виде: θ e +!! 2Пусть y si Данная функция имеет производную любого порядка и ( ) π (si ) si + 2 Поэтому в силу теоремы функция si разлагается в сходящийся к ней на ( ) ряд Тейлора по степеням : ( ) si + 3! 5! (2 + )! Надо учесть что ( ) π при 2 (si si 2 ( ) при 2 + Формула Тейлора функции si по степеням имеет вид 3 2ν ν + si + + ( ) + r2ν ( (6) 3! (2ν )! где 2ν + π r 2 ν ( si θ + (2ν + ) ( < θ < ) (2ν + )! 2 Отсюда следует что 2ν r ( o( 2 ν ) 46

14 и si 3 3! + + ( ) ν + 2ν + o( (2ν )! 2ν ) 3Пусть y cos Совершенно аналогично можно получить что cos + ( ) 2! 4! (2)! si Пример Найти lim 3 Имеем 3 3 si + o( ) (7) 3! поэтому 3 si o( ) + + o() 3 3 3! 3! 3! те si lim На самом деле в (7) остаток имеет вид o ( ) Но для наших целей достаточно 3 o ( ) Надо иметь в виду что если некоторая функция от есть есть также 3 ) o ( (но вообще не наоборот!) o ( 4 ) то она 4 Пусть функция f ( l( + определена и сколько угодно раз дифференцируема для > Поэтому для нее формулу Тейлора можно написать для любого 2 при > Так как + ( ) ( ) ( )! ( ) + f ( f () ( ) ( )! ( + то формула Тейлора имеет вид 2 + l( ( ) + r ( 2 Используя формы Лагранжа и Коши остаточного члена можно показать что lim ( при < r В самом деле используя форму Лагранжа остаточного члена имеем для : 47

15 + r ( ( < θ < ); + + ( + θ + используя форму Коши остаточного члена имеем для < < : + + ( θ ) θ r ( ( ) + ( < θ < ) ( + θ + θ Поэтому функция l( + разлагается в указанном промежутке в ряд Тейлора по степеням : + l( + ) ( ) ( < ) Функция f ( ( + m Для этой функции f ( ) ( ) ( m( m ) ( m + )( + m + f () m( m ) ( m + ) Формула Тейлора по степеням имеет вид m m( m ) 2 m( m ) ( m + `) ( + + m !! Можно доказать что при любом m lim ( ( < < ) r + r ( Поэтому для любого действительного m имеет место разложение функции m ( + в ряд Тейлора по степеням ( + m + m( m ) ( m + )! ( < < ) Если m натуральное то функция ( + есть многочлен В этом случае r ( для > m и ряд справа в (8) представляет собой конечную суммумногочлен Тейлора m 48

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем -

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - { теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - теорема Коши - формула конечных приращений - правило Лопиталя

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Понятие производных и дифференциалов высших порядков

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Понятие производных и дифференциалов высших порядков ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Понятие производных и дифференциалов высших порядков Производная f ( называется производной первого порядка (или

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x)

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x) Практикум: «Формула Тейлора» Если функция f () имеет производные до (п +)-го порядка включительно в интервале ( 0, 0 ), 0, то для всех х из этого интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) ( ) f

Подробнее

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x Лекция: Основы дифференциального исчисления Конспект лекции. Производная Рассмотрим график непрерывной функции на отрезке b M M секущая графика. Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Правило Бернулли-Лопиталя. Формула Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N6. Правило Бернулли-Лопиталя. Формула Тейлора. ЛЕКЦИЯ N6 Правило Бернулли-Лопиталя Формула Тейлора Правило Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей Формула Тейлора Правило Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей Раскрытием неопределенностей

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

«Математический анализ»

«Математический анализ» Конспект лекций по дисциплине «Математический анализ» для студентов I курса семестр специальности «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика» Лекций 4 часа Составлен доцентом, ктн Зиновьевой

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа # январь Кандаурова И Е УДК: 57 Россия МГТУ им НЭ Баумана hadaur@gyrplaru Введение Классический курс математического анализа

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

9 Дифференцирование неявных функций

9 Дифференцирование неявных функций 80 9 Дифференцирование неявных функций Пусть функция = f задана уравнением F (, )= 0 В этом случае говорят, что функция задана неявно Для нахождения производной считаем, что в уравнении зависит от,иначе

Подробнее

16. Формула Тейлора (продолжение)

16. Формула Тейлора (продолжение) 6. Формула Тейлора (продолжение Докажем единственность представления из теоремы 5.7. Предложение 6.. Пусть f : (p; q R функция класса C n, и пусть a (p; q. Предположим, что f(x = c 0 + c (x a + : : : +

Подробнее

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Лектор Рожкова С.В. 1 г. 18. Формула Тейлора для ФНП Если y = раз дифференцируема в окрестности

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

8. Свойства дифференцируемых функций

8. Свойства дифференцируемых функций 8. Свойства дифференцируемых функций 8.. Производная функции в данной точке отражает локальные свойства функции, т. е. свойства, присущие функции в некоторой окрестности данной точки. Вместе с тем есть

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Конспект лекций по математике-2

Конспект лекций по математике-2 КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского А.С.Шкуро Конспект лекций по математике-2 для студентов Химического института Учебное пособие Казань

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Приложение производных к исследованию функций

Приложение производных к исследованию функций Приложение производных к исследованию функций Лекции 1 6 Л.И. Терехина, И.И. Фикс Курс: Высшая математика Семестр 1, 2009 год portal.tpu.ru Теорема 1 (Ферма) Если функция y = f (x): 1) непрерывна в замкнутом

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы 1 СА Лавренченко Лекция 9 Экстремумы 1 Определения и примеры Определение 11 Говорят, что функция имеет (или достигает) абсолютный максимум в точке, если для всех из области определения Значение называется

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Детали курса учебного года можно найти здесь:

Детали курса учебного года можно найти здесь: "Математический анализ-1" Составитель: А. Б. Шаповал Аннотация В последнее время математика активно расширяет сферу своих приложений, вторгаясь в смежные науки. Математики стали успешно решать не только

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

k называется рядом Лорана. Здесь k, z

k называется рядом Лорана. Здесь k, z Практическое занятие 6 Ряды Тейлора и Лорана 6 Ряд Тейлора 6 Ряд Лорана 6 Ряд Тейлора Т е о р е м а ( Т е й л о р а ) Функция однозначная и аналитическая в круге R единственным образом разлагается в этом

Подробнее

Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее