1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции"

Транскрипт

1 1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции ( x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции ( x в произвольной точке x Для решения этой задачи строится x такой чтобы многочлен ( L ( xi i L = (1 Многочлен удовлетворяющий условию (1 называется интерполяционным многочленом; x i называются узлами интерполяции Интерполяцией называется приближенное восстановление функции ( x по формуле x L x ( если x [ a b] ; если же x [ a b] ( ( то восстановление функции по формуле ( называется экстраполяцией Теорема Существует единственный интерполяционный многочлен Доказательство Доказательство теоремы разобьем на две части В первой части докажем существование интерполяционного многочлена а во второй часть докажем единственность интерполяционного многочлена 1 Существование Пусть Тогда по известной теореме алгебры правильная несократимая рациональная дробь L A1 ( x ( x может быть представлена в виде суммы простейших дробей

2 Из (3 можно получить что ( x = ( Rm x ( x x L A 1 m= 0 m (3 Rm где образом в силу (1 ( и ( L A 1 ( xm ( x = ( m Таким Pi ( x = j= 0 Лагранжа ( x x j ( x x i j j i L ( x = Pi( x i i= 0 (5 Многочлен (5 называют многочленом Единственность Доказательство проведем по методу от противного Для этого предположим что существует еще один интерполяционный многочлен L ( x Построим многочлен Lm ( x = L ( x L ( x где m По основной теореме алгебры уравнение L m ( x = 0 имеет m корней Но так как L ( xi = i L ( xi = i то уравнение L m ( x = 0 имеет ( 1 корней x 0 x1 x что противоречит основной теореме алгебры Тем самым теорема доказана полностью Пример Построим интерполяционный многочлен Лагранжа для функции заданной таблицей

3 В данном примере и в силу (5 многочлен Лагранжа имеет вид В том случае когда интерполяционный многочлен строится для известной функции естественно поставить вопрос об оценке погрешности в интерполяционной формуле Лагранжа Рассмотрим разность Величину называют остаточным членом интерполяции Если функция дифференцируема достаточное число раз то для остаточного члена имеет место оценка (6 Здесь где наименьшее и наибольшее из узлов интерполяции и Пример Построим интерполяционный многочлен Лагранжа для функции с узлами и оценим погрешность интерполяционного полинома при Значения функции в узлах интерполяции представлены в таблице В данном примере и в силу (5 многочлен Лагранжа имеет вид Для оценки погрешности воспользуемся неравенством (6 где так что окончательно

4 Замечание1 Для минимизации оценки погрешности интерполяции используют многочлены Чебышева При этом в качестве узлов интерполяции используют корни многочлена Чебышева те точки Из свойств многочленной Чебышева следует что при таких узлах оценка погрешности интерполяции приобретает вид При любом другом выборе узлов соответствующая оценка максимальной погрешности интерполяции будет хуже Замечание При построении многочлена Лагранжа не делалось никаких ограничений на распределение узлов интерполяции Однако если потребуется для улучшения приближения повысить на единицу число узлов прибавлением нового узла полином Лагранжа придется перевычислить заново Поэтому на практике часто используется равномерное расположение узлов интерполяции задаваемое выражением x = x i i = 01 x = a x b i 0 0 = При равномерном распределении узлов интерполяции используются многочлены Ньютона Многочлены Ньютона Для интерполирования на левой половине отрезка [ a b] используется первый многочлен Ньютона Полином Ньютона ищется в виде ( x a a ( x x a ( x x ( x x ( x x N1 = (7

5 при условии что ( x i i N 1 = (8 Из (7 с учетом (8 получим систему линейных уравнений для коэффициентов a i N 1( x0 = a0 = 0 N 1( x1 = a0 a1( x1 x0 = 1 (9 N 1( x = a0 a1( x x0 a( x x0 ( x x1 = решая систему уравнений (9 относительно a i получим a0 a a = = = 1 a a1 = = x1 x ( x x0 ( x x1 = ( 0! 0 ( ( ( ! В результате получим первый интерполяционный многочлен Ньютона ( 0 0 N1( x = 0 ( x x0 ( x x0 ( x x1 1!! ( ( x x0 ( x x1 ( x x 1! где ( k ( k 1 ( k 1 i = i 1 i - конечные разности порядка k k = 1 i = 01 1 Конечные разности представляют в виде расчетной таблицы Расчетная таблица Таблица 1 x i i x 0 0 ( ( 3 ( ( ( 0 3 ( 0 0

6 x x x 3 3 x 3 ( 1 ( 3 1 ( На практике вместо переменной x удобно использовать переменную x x 0 x x 1 x x t = = t 1 1 = t ( 1 Тогда первый многочлен Ньютона примет вид ( t ( 0 = t t( t 1 t t 1 t ( 1!!! ( ( ( 1 N (10 С помощью многочлена (10 можно находить значение функции для любого x [ a b] Но с точки зрения точности и экономичности удобнее ограничиваться случаем t < 1 те x 0 < x < x1 Для других значений аргумента вместо x 0 берется тот узел x i который находится слева от x и тд Для правой половины отрезка используется второй многочлен Ньютона Он ищется в виде ( x a a ( x x a ( x x ( x x ( x N = x1 Поступая так же как в случае первого многочлена Ньютона можно ( найти коэффициенты a a 1 a 0 0 = 1 = = При этом для! переменной x x t = второй многочлен Ньютона примет вид N ( x ( t! ( t 1 (! ( t 1 ( t ( 1 = t t

7 Пример Пусть из эксперимента получены значения x i i Для этого найдем конечные разности и представим их в виде таблицы Требуется вычислить ( 1 15 =? и ( 1 5 =? Расчетная таблица Таблица x i i ( ( Найдем значение переменной t : t = = 0 5 Тогда N1 05 = = Аналогично t = = ( 15 N( 05 = ( 05 ( 05 ( ( 05( 05( 15 = ( ( ( Метод наименьших квадратов При обработке результатов измерений часто возникает необходимость построить эмпирическую формулу задающую аналитическое выражение функциональной зависимости заданной

8 таблицей Использование для этой цели интерполяционных полиномов не всегда целесообразно так как зачастую результаты измерений помимо основной зависимости отражают различного рода малые случайные ошибки и точное совпадение в узлах интерполяции построенной функции с табличными значениями может исказить основную зависимость общий характер которой часто известен Постановка задачи Пусть результаты измерений представлены таблицей и пусть где вид функции предполагается известным а параметры неизвестны Требуется так подобрать параметры чтобы отклонения оказались наименьшими Для этого строят функцию ( = F ϑ k δ k k = 0 где функция часто выбирается в виде многочлена (11 Величина по построению является неотрицательной функцией параметров и следовательно всегда имеет минимум Если то существует бесконечное множество функций (11 обеспечивающих Для равенство обеспечивается единственным полиномом (11 В дальнейшем будем предполагать что В этом случае при любых значениях параметров функция Задача состоит так подобрать параметров чтобы функция оказалась минимальной Параметры находятся из необходимого условия экстремума

9 Пример По методу наименьших квадратов построим полином второй степени для приближенного представления функции заданной таблицей В соответствии с постановкой задачи эмпирическую функцию будем искать в виде Необходимые условия экстремуму дают Из необходимых условий экстремума находим систему линейных уравнений Данные представим в расчетной таблице Расчетная таблица Таблица

10 С учетом данных расчетной таблицы система линейных уравнений имеет вид Решение системы дает Таким образом искомый полином имеет вид Для проверки качества найденного полинома вычислим соответствующие отклонения Вычисление отклонений для найденного полинома дает: что демонстрирует хорошее качество найденного полинома Среднеквадратичные приближения Определение Обобщенный многочлен для которого расстояние называемое также среднеквадратичным уклонением многочлена от функции минимально называется многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции Коэффициенты

11 находятся из необходимого условия экстремума расстояния те из системы линейных уравнений Здесь скалярное произведение Если система функций ортогональна те при и то решение линейной системы имеет простой вид Пример Найдем среднеквадратичные приближения тригонометрическими многочленами на дискретном множестве точек Пусть По постановке задачи (1

12 Тригонометрическая система функций (1 ортогональна на множестве D в смысле скалярного произведения те Тогда коэффициенты тригонометрического многочлена наилучшего среднеквадратичного приближения функции на дискретном множестве D находятся по формулам При этом дисперсия ошибки аппроксимирующего тригонометрического многочлена порождаемая случайными ошибками в значениях функции (ошибками результатов наблюдений равна где среднеквадратичное значение ошибок наблюдений Оценка погрешности вызванной отличием коэффициентов от коэффициентов Фурье определяется следующими неравенствами

13 где Погрешность вызванная отбрасыванием остатка ряда Фурье определяется выражением Таким образом увеличение влечет уменьшение дисперсии случайной ошибки и способствует уменьшению искажений коэффициентов Фурье так что метод наименьших квадратов обладает сглаживающим эффектом 5 Сглаживание Часто экспериментальные данные представляют собой зависимость величины от некоторой другой величины x Измеренные с некоторой погрешностью или зашумленные экспериментальные данные перед их анализом обычно сглаживают Если количество экспериментальных точек велико то подбор эмпирической формулы может оказаться весьма затруднительным: формулы с малым числом параметров могут давать большие искажения а большое число параметров неудобно для анализа С другой стороны многие задачи анализа (например связанные с дифференцированием или интегрированием не требуют единой аналитической формулы для всех данных Для анализа важно лишь устранить «шум» эксперимента сохранив информацию об истинной функции Для этой цели применяется сглаживание эмпирических данных те замена данной таблицы опытных точек другой таблицей близких к ним точек лежащих на достаточно гладкой кривой Сглаживание производится с помощью многочленов (желательно оптимальной степени приближающих по методу наименьших квадратов выбранные группы опытных точек Так как наилучшее сглаживание получается для средних точек (когда учитывается информация о поведении функции по обе стороны от сглаживаемой точки то количество точек для сглаживания выбирают нечетным а группы точек скользящими вдоль всей таблицы: берут например первые пять точек и сглаживают с их помощью среднюю точку 3 затем берут следующую группу точек

14 3 5 6 и сглаживают точку и тд до конца таблицы При этом остаются несколько крайних точек которые сглаживаются с меньшей точностью Ниже приводятся наиболее употребляемые из простых формул сглаживания для таблиц с постоянным шагом Сглаженные значения обозначаются волнистой чертой сверху Основной формулой служит формула сглаживания средней точки те формула для i остальные формулы применяются только на краях таблицы Наиболее простым методом является метод линейного сглаживания по трем точкам: Линейным сглаживанием называется сглаживание многочленом первой степени i = 0 = i i = [ i1 i i 1] / 3 i = 1 1 [ 5 0 ] / 6 0 [ 5 ]/ 6 i = 1 = где -номер последней точки в которой измерена величина i Метод линейного сглаживания по пяти точкам основан на использовании формул 0 = i i = 1 = i i = i = [ 3 0 ] / 5 0 [ 0 3 3] /10 1 [ i i1 i i 1 i ] / 5 i = 3 = [ 3 1 3] /10 i = 1 [ 3 ]/ 5 i 1 = 1 = Метод нелинейного сглаживания по семи точкам обеспечивает усреднение на основе применения полинома третьей степени и реализуется следующими формулами: 0 = 1 = = [ ( 3 5 6] / [ ] / [ ] / [ 7 6( 3( ( ]/ 1 i = i i 1 i1 i i i 3 i3

15 [ ] / = [ ] / = ( [ ] / = Формулы сглаживания многочленами более высоких степеней не применяются а формулы сглаживания по большему числу точек применяются крайне редко так как они оставляют плохо сглаженными большое количество точек по краям таблицы

( x i, y i ). Предположим, что X и Y связаны линейной корреляционной. ϕ называют линией Линейная корреляционная зависимость

( x i, y i ). Предположим, что X и Y связаны линейной корреляционной. ϕ называют линией Линейная корреляционная зависимость .. Линейная корреляционная зависимость Часто на практике требуется установить вид и оценить силу зависимости изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других величин (случайных или неслучайных).

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Подробнее

Краткие теоретические сведения Пусть значения некоторой функции f (x) заданы в виде таблицы: x y

Краткие теоретические сведения Пусть значения некоторой функции f (x) заданы в виде таблицы: x y 3 Интерполирование функций полиномом Лагранжа Цель: формирование навыков интерполирования таблично заданных функций полиномом Лагранжа; оценка погрешности полинома Лагранжа Краткие теоретические сведения

Подробнее

6 Общая схема исследования функции

6 Общая схема исследования функции 5 6 Общая схема исследования функции Исследование дважды дифференцируемой функции будем проводить по следующей схеме. Находим область определения функции D( f.. Определяем точки разрыва функции.. Находим

Подробнее

Аппроксимация таблично заданных функций

Аппроксимация таблично заданных функций Аппроксимация таблично заданных функций Таблично заданные функции. Зависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от расстояния между электродами Расстояние между шарами, см Диаметр

Подробнее

Кафедра Электроэнергетика, электроснабжение и силовая электроника. Составители: Флаксман Е.А., Гребенщиков В.И. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА

Кафедра Электроэнергетика, электроснабжение и силовая электроника. Составители: Флаксман Е.А., Гребенщиков В.И. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.

Подробнее

Таким образом, точка А является точкой глобального максимума, а точка М- точкой глобального минимума данной функции в замкнутой области D.

Таким образом, точка А является точкой глобального максимума, а точка М- точкой глобального минимума данной функции в замкнутой области D. 66 Таким образом точка А является точкой глобального максимума а точка М- точкой глобального минимума данной функции в замкнутой области D 5 Эмпирические формулы Определение параметров эмпирических формул

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных ЛЕКЦИЯ 3 Методы обработки экспериментальных данных Интерполирование В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f(x) для всех значений х отрезка [a,b], если известны ее значения в некотором

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ Математические модели и численные методы Математические модели содержат соотношения, составленные на основе теоретического анализа изучаемых процессов или полученные

Подробнее

Постановка задачи аппроксимации Линейная, нелинейная (второго порядка) аппроксимация. Лекция 5

Постановка задачи аппроксимации Линейная, нелинейная (второго порядка) аппроксимация. Лекция 5 Постановка задачи аппроксимации Линейная, нелинейная (второго порядка) аппроксимация Лекция 5 Постановка задачи аппроксимации Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость y=f(x), был произведен

Подробнее

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение.

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. 6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать

Подробнее

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x,

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x, ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество + ) a b ; ; y y y y y Найти функцию : F F : y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург 2013 ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ

Подробнее

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ Е. С. Тверская МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва Методы аппроксимации функции. Постановка задачи приближения функции. Задачи, приводящие к задаче приближения функций. Функция

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 5: Интерполирование функций факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Алгебраическое интерполирование. Полином Лагранжа............. 2 1.1. Погрешность метода.

Подробнее

ПРИБЛИЖЕНИЕ ТАБЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

ПРИБЛИЖЕНИЕ ТАБЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПРИБЛИЖЕНИЕ ТАБЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Постановка задачи аппроксимации По результатам экспериментов получена таблица с произвольным расположением аргументов: x, y,,. Аналитическое

Подробнее

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Постановка задачи. Основу математических моделей многих процессов и явлений в физике, химии, биологии, экономике и других областях составляют уравнения

Подробнее

3 1 на отрезке 3;3. на отрезке 4. Проверить найденное решение с помощью надстройки MS Excel Поиск решения (1 балл). y x x

3 1 на отрезке 3;3. на отрезке 4. Проверить найденное решение с помощью надстройки MS Excel Поиск решения (1 балл). y x x ОБРАЗЕЦ БИЛЕТА К ЗАЧЁТУ ПО ИНФОРМАТИКЕ С РЕШЕНИЕМ (ДЛЯ ЗАЧЁТА MIN БАЛЛОВ!) СамГТУ ИТФ 5/6 Задание Построить график функции y на отрезке ; с шагом h, (,5 балла) С точностью, найти корень нелинейного уравнения

Подробнее

Квадратурные формулы прямоугольников. Пусть требуется найти значение интеграла I Римана. I f ( x )dx для некоторой заданной на отрезке [ a,b ] функции

Квадратурные формулы прямоугольников. Пусть требуется найти значение интеграла I Римана. I f ( x )dx для некоторой заданной на отрезке [ a,b ] функции Численное интегрирование Квадратурные формулы прямоугольников Пусть требуется найти значение интеграла I Римана I d для некоторой заданной на отрезке, функции а Хорошо известно, что для функций, допускающих

Подробнее

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

О ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИИ ВОЛНОВОЙ АБЕРРАЦИИ ПО ЕЕ ЗНАЧЕНИЯМ ИЛИ ЗНАЧЕНИЯМ ПОПЕРЕЧНЫХ АБЕРРАЦИЙ

О ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИИ ВОЛНОВОЙ АБЕРРАЦИИ ПО ЕЕ ЗНАЧЕНИЯМ ИЛИ ЗНАЧЕНИЯМ ПОПЕРЕЧНЫХ АБЕРРАЦИЙ Левит БИ Рамм АГ Родионов СА О восстановлении функции волновой аберрации по ее значениям или значениям поперечных аберраций О ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИИ ВОЛНОВОЙ АБЕРРАЦИИ ПО ЕЕ ЗНАЧЕНИЯМ ИЛИ ЗНАЧЕНИЯМ ПОПЕРЕЧНЫХ

Подробнее

, где a - истинная величина x )

, где a - истинная величина x ) ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА курс 5 семестр a Переопределенная СЛАУ b SVD-метод c Теор задача Измерения трех углов плоского треугольника привели к трем значениям 54 5 5 и 76 6 Сумма углов 8 дает невязку в

Подробнее

Квадратурные и кубатурные формулы

Квадратурные и кубатурные формулы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» Квадратурные и кубатурные формулы Методические

Подробнее

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил.

Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил. Печатается по решению Ученого совета Московского университета Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 636 с. : ил.

Подробнее

А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург 2013 1. Линейная задача метода

Подробнее

Тема 3. Численные методы решения задачи аппроксимации

Тема 3. Численные методы решения задачи аппроксимации Тема. Численные методы решения задачи аппроксимации Будем считать, что является функцией аргумента. Это означает, что любому значению из области определения поставлено в соответствие значение. На практике

Подробнее

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций 345 4 Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пусть ( ( x - ортогональная система функций в L [ ; ] Выражение c ( x + c1 ( x + 1 c ( x + + ( c ( x = c ( x (41 = называется обобщенным рядом Фурье по

Подробнее

5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций.

5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций. 5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций. 5.1 Постановка задачи приближения функций. Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x некоторой функцией

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ижевский государственный технический университет" УТВЕРЖДАЮ Ректор И.В. Абрамов

Подробнее

Вопросы вступительного экзамена в магистратуру по специальности «6М Математическое и компьютерное моделирование»

Вопросы вступительного экзамена в магистратуру по специальности «6М Математическое и компьютерное моделирование» Вопросы вступительного экзамена в магистратуру по специальности «6М070500-Математическое и компьютерное моделирование» Математический анализ I, II, III 1. Полнота: существование предела монотонной последовательности.

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных. Краткие теоретические сведения Задачей приближения или аппроксимации функций (от лат. approimo приближаюсь) называется задача замены одних математических

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Е.М.

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Е.М. Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» ЕМ БЕРЕЗОВСКАЯ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ для студентов

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1,

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1, Интерполяция функций интерполяционными полиномами В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения

Подробнее

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра информационной безопасности ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА Методические указания к выполнению

Подробнее

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании.

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра информатики и методики

Подробнее

П. В. Воронина, А. С. Лебедев

П. В. Воронина, А. С. Лебедев МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Кафедра математического моделирования П. В. Воронина, А. С.

Подробнее

О ПОСТРОЕНИИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННО- АППРОКСИМАЦИОННОГО МНОГОЧЛЕНА

О ПОСТРОЕНИИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННО- АППРОКСИМАЦИОННОГО МНОГОЧЛЕНА УДК 5965 НАНОСИСТЕМЫ: ФИЗИКА, ХИМИЯ, МАТЕМАТИКА, 202, 3 (6), С 5 5 О ПОСТРОЕНИИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННО- АППРОКСИМАЦИОННОГО МНОГОЧЛЕНА В Д Лукьянов ОАО «Авангард», Санкт-Петербур, Россия lukyanovvd@ramblerru Построен

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

3. Квадратурные формулы интерполяционного типа для сингулярных интегралов с ядром котангенс и интегралов с логарифмическим ядром.

3. Квадратурные формулы интерполяционного типа для сингулярных интегралов с ядром котангенс и интегралов с логарифмическим ядром. 3. Квадратурные формулы интерполяционного типа для сингулярных интегралов с ядром котангенс и интегралов с логарифмическим ядром. Речь пойдет об интегралах H 3. l s L 3. В первом разделе выведены квадратурные

Подробнее

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Содержание 1 Введение 1 2 Уравнения третьей степени 3 3 Уравнения четвертой степени 7 1 Введение В данном манускрипте приводятся формулы для

Подробнее

7 АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

7 АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 0 7 АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Первоначально данные исследований представляют в виде таблиц. Однако табличные данные не имеют наглядности и не могут быть использованы

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

БИЛЕТ КОЛЛОКВИУМА (образец ) 1 ПО КУРСУ «Численные методы», Обязательная часть

БИЛЕТ КОЛЛОКВИУМА (образец ) 1 ПО КУРСУ «Численные методы», Обязательная часть БИЛЕТ КОЛЛОКВИУМА (образец 10.04.2016 ) 1 1. (2 балла) Абсолютная и относительная погрешности. Чему равна абсолютная и относительная погрешности записанного в память компьютера числа π (ответ обосновать).

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями

Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями Митюков В.В. Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации институт, программист ОВТИ, v.tukov@gal.co Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями КЛЮЧЕВЫЕ

Подробнее

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD Алешин А. О., Растеряев Н.В. Донской государственный технический университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

Подробнее

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация)

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Аппроксимация по МНК Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Одна из главных задач математической статистики нахождение закона распределения случайной

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

АППРОКСИМАЦИЯ. y i y 0 y 1 y 2 y n. i x 0 x 1 x 2 x n

АППРОКСИМАЦИЯ. y i y 0 y 1 y 2 y n. i x 0 x 1 x 2 x n АППРОКСИМАЦИЯ На практике часто приходится сталкиваться с задачей сглаживания экспериментальных данных задача аппроксимации. Основная задача аппроксимации построение приближенной (аппроксимирующей) функции

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Нижегородский Государственный Технический университет имени Р.Е. Алексеева Кафедра ФТОС Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Попов Е.А., Успенская Г.И. Нижний Новгород

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Приближенные числа и вычисления

Приближенные числа и вычисления ) Основные понятия ) Влияние погрешностей аргументов на точность функции 3) Понятие обратной задачи в теории погрешностей ) Основные понятия I Приближенные числа, их абсолютная и относительная погрешности

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

8 Методы численного интегрирования.

8 Методы численного интегрирования. интеграла. 8 Методы численного интегрирования. В данной главе будут рассмотрены методы вычисления определенного Методы численного интегрирования находят широкое применение при автоматизации решения научных

Подробнее

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.»

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Министерство образования Республики Беларусь Министерство образования Республики Беларусь Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Кафедра теоретичской и прикладной математики.

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 1

Иррациональные уравнения и неравенства 1 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Свойства корней й степени Свойства корней Свойства степеней с рациональным показателем Примеры 5 Свойства корней -й степени Арифметическим корнем й степени

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОБРАБОТКЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ: МЕТОДЫ ВЫРАВНИВАНИЯ И НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОБРАБОТКЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ: МЕТОДЫ ВЫРАВНИВАНИЯ И НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ Л. А. Александрова, В. О. Александрова, Т. А. Матвеева

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

Методы вычислений. Интерполирование и интегрирование. Курс лекций

Методы вычислений. Интерполирование и интегрирование. Курс лекций БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра численных методов и программирования Марина Викторовна Игнатенко Методы вычислений Интерполирование и интегрирование Курс

Подробнее

Дискретный аналог формулы суммирования Эйлера

Дискретный аналог формулы суммирования Эйлера Дискретный аналог формулы суммирования Эйлера Устинов А В УДК 51117 В работе доказывается дискретный аналог формулы суммирования Эйлера Отличие от классического варианта формулы Эйлера заключается в том,

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0 Глава Вычисление определенных интегралов! " #%$&' %(" # )* +,- "#' dx. В общем виде задача решается путем аппроксимации функции другой функцией, для которой интеграл вычисляется аналитически. При этом

Подробнее

Численное интегрирование

Численное интегрирование Численное интегрирование - - Численное интегрирование. Постановка задачи Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. Требуется вычислить определенный интеграл I d.

Подробнее

3. Интерполирование по равностоящим узлам. Конечные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

3. Интерполирование по равностоящим узлам. Конечные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона Варианты задания 3. Интерполирование по равностоящим узлам. Конечные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона 3.1. Постановка задачи интерполирования Пусть на промежутке [a, b] задана таблица

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГН Решетникова ЕФ Сидорова ПА Савченко ЮЕ Табольжина ДА Тумашкина ЕА Бударина ТЕ Малахова ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

5. Определение коррекно поставленной задачи. Является ли решение уравнения x 2 3x+

5. Определение коррекно поставленной задачи. Является ли решение уравнения x 2 3x+ 0.1 Погрешность, устойчивость, числа с плавающей запятой 1. Абсолютная и относительная погрешности. Дано уравнение 0,134x+2,824 = 0. С какой погрешностью можно вычислить его корень? 2. Абсолютная и относительная

Подробнее

А. П. ИВАНОВ, Л. Т. ПОЗНЯК ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ, Л. Т. ПОЗНЯК ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ, Л. Т. ПОЗНЯК ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург

Подробнее

Односторонние приближения в L линейной комбинации ядра Пуассона и сопряженного ядра Пуассона тригонометрическими полиномами

Односторонние приближения в L линейной комбинации ядра Пуассона и сопряженного ядра Пуассона тригонометрическими полиномами Труды Международной летней математической Школы-Конференции С Б Стечкина по теории функций Таджикистан, Душанбе, 5 5 августа, 06 С 44 49 Односторонние приближения в L линейной комбинации ядра Пуассона

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 9 по курсу: «Высшая математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 9 по курсу: «Высшая математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ

Подробнее

Исследование областей сходимости численных методов второго порядка

Исследование областей сходимости численных методов второго порядка Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» Выпуск 6 www.oms.edu А.Т. Когут, Н.Ю. Безбородова Омский государственный университет путей сообщения Исследование

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ На прошлой лекции были рассмотрены методы решения нелинейных уравнений Были рассмотрены двухточечные методы, которые используют локализацию корня,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет Рубцовский институт (филиал) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.

Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет Рубцовский институт (филиал) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет Рубцовский институт (филиал) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Учебное пособие Барнаул Рубцовск Барнаул Издательство Алтайского государственного

Подробнее