Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )"

Транскрипт

1 Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение: 1.2. ограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел 1.3. ограниченного множества вещественных чисел 1.4. неограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел 1.5. неограниченного множества вещественных чисел 1.6. верхней (нижней) грани множества вещественных чисел 1.7. точной верхней (нижней) грани множества вещественных чисел 1.8. суммы вещественных чисел 1.9. произведения вещественных чисел разности вещественных чисел частного вещественных чисел окрестности данной точки ε-окрестности данной точки проколотой ε-окрестности данной точки. 2. Основные теоремы 2.1. Сформулируйте теорему о существовании верхней (нижней) грани множества вещественных чисел. 3. Теоретические задания 3.1. Сформулируйте и докажите теорему о существовании верхней (нижней) грани множества вещественных чисел Докажите, что операция сложения определена для любой пары вещественных чисел Пусть A и B непустые множества вещественных чисел, у которых каждое число из множества A меньше любого числа из множества B и пусть для любого ε > 0 существуют x A и y B такие, что y x < ε. Докажите, что sup A = inf B. 1

2 Тема II. Предел функции 1. Определения Сформулируйте определение: 1.1. функции, ограниченной сверху (снизу) на множестве X 1.2. функции, ограниченной на множестве X 1.3. функции, неограниченной сверху (снизу) на множестве X 1.4. функции, неограниченной на множестве X 1.5. верхней (нижней) грани функции на множестве X 1.6. точной верхней (нижней) грани функции на множестве X 1.7. предельной точки числового множества 1.8. предела (по Коши) функции f(x): 1.9. того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен b: числовой последовательности ограниченной числовой последовательности неограниченной числовой последовательности предела числовой последовательности того, что предел числовой последовательности x n не равен a сходящейся числовой последовательности расходящейся числовой последовательности функции f(x), бесконечно малой: бесконечно малой числовой последовательности функции f(x), не являющейся бесконечно малой: числовой последовательности, не являющейся бесконечно малой (по Коши) функции f(x), бесконечно большой: числовой последовательности, не являющейся бесконечно большой 2

3 1.23. (по Коши) функции f(x), не являющейся бесконечно большой: того, что предел (по Коши) функции f(x) равен + : того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + : того, что предел (по Коши) функции f(x) равен : того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен : г) при x + (при x ). Для функций f(x) и g(x) сформулируйте определение того, что: f(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем g(x): f(x) и g(x) являются бесконечно малыми одного порядка: f(x) и g(x) являются эквивалентными бесконечно малыми: f(x) имеет более высокий порядок роста, чем g(x): f(x) и g(x) имеют одинаковый порядок роста: г) при x + (при x ) Сформулируйте определение функции f(x): а) возрастающей на множестве X г) невозрастающей на множестве X б) убывающей на множестве X д) неубывающей на множестве X в) строго монотонной на множестве X е) монотонной на множестве X Сформулируйте определение монотонной числовой последовательности. 3

4 2. Основные теоремы Сформулируйте теорему: 2.1. о связи предела функции в данной точке с односторонними пределами в этой точке 2.2. о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций (двух последовательностей) 2.3. о предельном переходе в неравенствах: а) для функций б) для последовательностей 2.4. о двух милиционерах (полицейских): а) для функций б) для последовательностей о пределе монотонной ограниченной функции f(x): а) при x + б) при x в) при x a + 0 г) при x a о пределе монотонной ограниченной последовательности. 3. Теоретические задания 3.1. Приведите примеры ограниченного и неограниченного множеств вещественных чисел Используя определение точной верхней грани, докажите, что sup sin x = 1. Имеет (0,π/2] ли функция sin x максимальное значение на промежутке (0, π/2] Используя определение точной нижней грани, докажите, что inf sin x = 0. Имеет (0,π/2] ли функция sin x минимальное значение на промежутке (0, π/2] Пусть X = {x R a < x b}. Укажите множество всех предельных точек промежутка X Приведите пример неограниченного множества, не имеющего (конечных) предельных точек. Сформулируйте и докажите утверждение: 3.6. о единственности предела функции 3.7. об ограниченности функции, имеющей предел в данной точке Используя определение предела функции по Коши, докажите, что lim f(x) = b, где: x a а) f(x) = b = const x R в) { { b, если x a, b, если x a, б) f(x) = в) f(x) = c b, если x = a, если x = a Используя определение предела функции по Коши, докажите, что: а) lim x a x = a б) lim x a x 2 = a Пусть f(x) = sin 1, x 0. Докажите что функция f(x) не имеет предела (по Коши) x при x Используя неравенство sin x x, докажите, что lim sin x = 0. 4

5 3.12. Пусть f(x) = [x], где [x] целая часть числа x. Используя определения односторонних пределов функции по Коши, докажите, что: а) f(n 0) = n 1 б) f(n + 0) = n Сформулируйте и докажите теорему о связи предела функции в данной точке с односторонними пределами в этой точке Существует ли lim x 1 x sign(x 1)? Обоснуйте ответ Используя определение (по Коши) соответствующего предела, докажите, что: а) lim (1/x) = 0 б) lim (1/x) = 0. x + x Сформулируйте и докажите утверждение: о единственности предела последовательности об ограниченности сходящейся последовательности Используя определение предела числовой последовательности, докажите, что: n + 1 а) lim = 1 в) lim (0,8) n = 0 n ( 1) n б) lim n Пусть lim x n докажите, что: 3 n2 sin n 2 = 0 г) lim = 0. n + 1 = a. Используя определение предела числовой последовательности, а) lim x n = a б) lim x 2 n = a 2 в) lim x n+p = a, где p любое натуральное в) число г) lim (x n+1 x n ) n = 0. г) Является ли бесконечно малой в точке x = 0 функция: а) sin x б) f(x) = { sin x, если x 0, 1, если x = 0 в) sign x Приведите пример функции f(x), бесконечно малой при x Приведите пример бесконечно малой числовой последовательности Используя определение (по Коши) бесконечно большой функции, докажите, что lim 1/x = Используя определение (по Коши) соответствующего предела, докажите, что: а) lim (1/x) = + б) lim (1/x) =. x +0 x Докажите, что последовательность {a n } является бесконечно большой: а) a n = n б) a n = ( 1) n n. Докажите, что: если f(x) бесконечно большая в точке a функция, то в некоторой проколотой окрестности точки a определена функция g(x) = 1/f(x) и она является бесконечно малой в точке a 5

6 3.27. если f(x) бесконечно малая в точке a функция и f(x) 0 в некоторой проколотой окрестности точки a, то g(x) = 1/f(x) бесконечно большая функция в точке a если бесконечно малая в некоторой точке функция f(x) = c = const, то c = если {x n } бесконечно большая последовательность, то последовательность {y n } = = 1/{x n } определена, начиная с некоторого номера n, и является бесконечно малой если {x n } бесконечно малая последовательность и x n 0 n N, то последовательность {y n } = 1/{x n } бесконечно большая любая бесконечно большая последовательность является неограниченной последовательность { ( 1 + ( 1) n) n } неограничена, однако не является бесконечно большой сумма (разность) двух бесконечно малых в точке a функций является бесконечно малой в точке a функцией сумма бесконечно малой в точке a функции и ограниченной в окрестности точки a функции является ограниченной в некоторой окрестности точки a функцией произведение бесконечно малой в точке a функции на ограниченную в окрестности точки a функцию есть бесконечно малая в точке a функция. Используя метод математической индукции, докажите, что: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых в точке a функций является бесконечно малой в точке a функцией произведение конечного числа ограниченных функций, из которых хотя бы одна бесконечно малая в точке a, есть бесконечно малая в точке a функция Докажите, что x 2 = o(x) при x 0. Верно ли, что o(x) = x 2 при x 0? Докажите, что: а) 2 x 2 + x 3 = O(x 2 ) при x 0 б) 2 x 2 + x 3 2 x 2 при x Пусть функция α(x) определена на множестве X и пусть a предельная точка X. Докажите, что при x a: а) o(α) ± o(α) = o(α) б) o(c α) = o(α), c = const в) c o(α) = o(α), c = const г) o(o(α)) = o(α) д) o(α + o(α)) = o(α) е) (o(α)) k = o(α k ), k > 0 ж) α k o(α) = o(α k+1 ), k R Пусть α(x) и β(x) бесконечно малые в точке a функции. Докажите, что: а) α β = o(α), α β = o(β) при x a б) если α β при x a, то α β = o(α) и α β = o(β) при x a Используя свойства символа «o-малое», запишите для функции α(x) равенство вида α(x) = o(1) или α(x) = o ( (x a) n) при x a (n натуральное число): а) α(x) = o( 5x + x 2 x 3 + o( 5x + x 2 x 3 )), x 0 б) α(x) = (x 1) o((x 1) 2 + o(x 1)), x 1 в) α(x) = 1 3x o(5x + x2 ), x 0 6

7 г) α(x) = 1 x 2 o(2x4 + o(x 4 + 2x 2 )), x 0 д) α(x) = o ( 2 (x + 2) 3) (x + 2) 2 + o ( 4 (x + 2) 5 ) (x + 2) 4, x Используя свойства символа ( «o-малое», ) запишите для функции α(x) равенство вида 1 α(x) = o(1) или α(x) = o при x (n натуральное число): x ( n 1 а) α(x) = o 2x 1 ( ) ) ( ( ) ( ) ) x + o г) α(x) = x o o x x 2 x 2 ( 1 д) α(x) = 5 x o x + o 2 б) α(x) = 2 x 1 3 x ( 2 ( ) ) 1 1 в) α(x) = x 2 o x + o 3 x Укажите и обоснуйте, какая из двух функций f(x) и g(x) имеет более высокий порядок роста при x 0: а) f(x) = 1 x 2, g(x) = 1 x б) f(x) = 1 x + 1, g(x) = 1 x. Докажите, что: если предел функции f(x) в точке a (при x ) равен b, то f(x) = b + α(x), где α(x) бесконечно малая функция в точке a (при x ) если f(x) = b + α(x), где b число, а α(x) бесконечно малая функция в точке a (при x ), то предел функции f(x) в точке a (при x ) равен b Сформулируйте и докажите теорему о пределе: а) суммы б) разности двух функций (двух последовательностей). в) произведения г) частного Пусть функции f(x) и g(x) определены в проколотой окрестности точки a и пусть f(x) имеет предел в точке a, а g(x) не имеет предела в этой точке. Что можно сказать о существовании пределов в точке a: а) суммы f(x) + g(x) б) разности f(x) g(x) в) произведения f(x) g(x) Ответ обоснуйте. ( 1 x ) ). г) частного f(x)/g(x) (g(x) 0) д) частного g(x)/f(x) (f(x) 0)? Пусть функции f(x) и g(x) определены в проколотой окрестности точки a. Докажите, что из существования предела в точке a: а) суммы f(x) + g(x) б) разности f(x) g(x) в) произведения f(x) g(x) г) частного f(x)/g(x) (g(x) 0) не следует существование пределов функций f(x) и g(x) в точке a Пусть функция f(x) имеет предел в точке a. Докажите, что lim c f(x) = c lim f(x), x a x a где c = const. 7

8 3.51. Пусть P n (x) и Q m (x) многочлены степени n и m и пусть Q m (a) 0. Докажите, что P n (x) lim x a Q m (x) = P n(a) Q m (a) Пусть R(x) = a 0x n + a 1 x n a n b 0 x m + b 1 x m b m, a 0 0, b 0 0. Докажите, что lim R(x) = x, если n > m, a 0 /b 0, если n = m, 0, если n < m Пусть lim f(x) = b, lim g(x) = +. Используя определения соответствующих пределов (по Коши), докажите, x a x a что: ( ) а) lim f(x) g(x) = б) lim f(x) g(x) = (при b 0). x a x a Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенствах: а) для функций б) для последовательностей Пусть функция f(x) c областью определения X удовлетворяет условию: x X f(x) > c, где c = const, и пусть существует: а) lim f(x) б) lim f(x). x a x Докажите, что из данных условий не следует, что: а) lim f(x) > c б) lim f(x) > c. x a x Сформулируйте и докажите теорему о двух милиционерах (полицейских): а) для функций б) для последовательностей Пусть, начиная с некоторого номера, x n y n и пусть lim y n = +. Доказать, что lim x n = Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность {x n } является бесконечно малой: а) x n = na n, a R, b > 1 b б) x ln n n =, α > 0. nα Докажите, что: b n а) lim = 0 b R n! n! б) lim n n = Пусть lim a n = a и пусть: в) lim n n = 1 1 г) lim n = 0. n! а) b n = a 1 + a a n б) b n = n n a 1 a 2... a n. Докажите, что lim b n = a. 8

9 3.61. Пусть f(x) = [x], где [x] целая часть числа x. Является ли функция f(x): а) монотонной на R б) строго монотонной на R. Сформулируйте и докажите теорему: о пределе монотонной ограниченной функции f(x): а) при x + б) при x в) при x a + 0 г) при x a о пределе монотонной ограниченной последовательности Докажите сходимость последовательности {x n } и вычислите её предел, если: а) x 1 произвольное положительное число, x n+1 = 1 ) ( x n + axn n 1, a > 0 2 б) x 1 = 3 2, x n+1 = 3x n 2 n Используя метод математической индукции, докажите неравенство Бернулли: n N и x [ 1, + ) (1 + x) n 1 + n x. ( Докажите существование предела последовательности x n = 1 + n) 1 n Докажите, что lim n n n! = e (воспользуйтесь 3.60(б) и определением числа e). 4. Вычислительные задачи 4.1. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: а) lim x 2 x 2 4 x 2 x 2 б) lim x x 2 4 x 2 x 2 x 4 3x + 2 в) lim x 1 x 5 4x x 3 г) lim x 4 x 2 д) lim x 8 1 x x (x 3) 40 (5x + 1) 10 е) lim x (3x 2 2) 25 ж) lim x + з) lim x n α 1 2n α + n + 1 в зависимо Исследуйте вопрос о сходимости последовательности x n = сти от параметра α Найдите предел последовательности: n2 + n n а) lim 2 n n ( 2) n + 3 n б) lim ( 2) n n+1 x + x + x x + 1 ( x2 + x x ). ( ) 2πn в) lim sin n. 3n + 1 9

10 Тема III. Непрерывность функции 1. Определения Сформулируйте определение: 1.1. функции, непрерывной в точке 1.2. функции, непрерывной справа (слева) в точке 1.3. точки разрыва функции f(x) 1.4. точки устранимого разрыва функции f(x) 1.5. точки разрыва первого рода функции f(x) 1.6. точки разрыва второго рода функции f(x) 1.7. функции, непрерывной на промежутке X. 2. Основные теоремы и формулы Сформулируйте теорему: 2.1. о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух функций 2.2. о непрерывности сложной функции 2.3. о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение 2.4. о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции 2.5. о первом замечательном пределе 2.6. о втором замечательном пределе Напишите асимптотическую формулу (при x 0) для функции: а) sin x в) cos x д) a x ж) sh x и) ch x. б) tg x г) ln(1 + x) е) (1 + x) α з) th x 3. Теоретические задания 3.1. Сформулируйте и докажите утверждение об устойчивости знака непрерывной функции Используя утверждение об устойчивости знака непрерывной функции, докажите, что: а) если функция f(x) непрерывна в точке x = a, и в любой окрестности точки a найдутся точки x 1 и x 2 такие, что f(x 1 ) f(x 2 ) < 0, то f(a) = 0 б) если f(a) > 0 и δ > 0 x D f : 0 < x a < δ и f(x) < 0, то функция f(x) разрывна в точке x = a Пусть функция f(x) непрерывна в точке a. Что можно сказать о непрерывности функции f(x) в точке a? Ответ обоснуйте Пусть функция f(x) непрерывна в точке a. Что можно сказать о непрерывности функции f(x) в точке a? Ответ обоснуйте Можно ли утверждать, что квадрат разрывной в некоторой точке функции есть функция, разрывная в этой точке? Ответ обоснуйте. 10

11 3.6. Пусть f(x) = [x], где [x] целая часть числа x. Исследуйте на одностороннюю непрерывность функцию f(x): а) в точках x = n, где n Z б) в точках x = a, где a / Z Докажите, что если функция f(x) непрерывна в точке a слева и справа, то она непрерывна в точке a Пусть функция y = f(x) определена и возрастает на некотором промежутке и пусть для любой точки c из этого промежутка существуют f(c 0) и f(c+0), причём f(c 0) = f(c + 0). Докажите, что функция f(x) непрерывна на указанном промежутке Приведите пример функции, которая имеет в точке a: а) устранимый разрыв б) разрыв первого рода в) разрыв второго рода Найдите и классифицируйте точки разрыва функции: а) f(x) = x sin 1 x б) f(x) = [x], где [x] целая часть числа x { 1, если x Q, в) D(x) = 0, если x / Q г) f(x) = д) f(x) = sin 1 x е) f(x) = e 1 x. { x, если x Q, 0, если x / Q Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух функций Пусть функции f(x) и g(x) определены в окрестности точки a и пусть f(x) непрерывна в точке a, а g(x) разрывна в этой точке. Что можно сказать о непрерывности в точке a: а) суммы f(x) + g(x) б) разности f(x) g(x) в) произведения f(x) g(x) Ответ обоснуйте. г) частного f(x)/g(x) (g(a) 0) д) частного g(x)/f(x) (f(a) 0)? Пусть функции f(x) и g(x) определены в окрестности точки a. Докажите, что из непрерывности в точке a: а) суммы f(x) + g(x) б) разности f(x) g(x) не следует непрерывность функций f(x) и g(x) в точке a. Сформулируйте и докажите теорему: о непрерывности сложной функции в) произведения f(x) g(x) г) частного f(x)/g(x) (g(x) 0) о прохождении непрерывной функции через нулевое промежуточное значение о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение Пусть функция f(x) определена на [a b], f(a) f(b) < 0 и уравнение f(x) = 0 не имеет корней на (a, b). Используя теорему о прохождении непрерывной функции через нулевое промежуточное значение, докажите, что функция f(x) не является непрерывной на [a b]. 11

12 3.18. Пусть функция f(x) определена на [a b], и c (f(a), f(b)) такое, что уравнение f(x) = c не имеет корней на (a, b). Используя теорему о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение, докажите, что функция f(x) не является непрерывной на [a b] Существует ли обратная функция к функции f(x): а) f(x) = x 2, D f = [0, + ) б) f(x) = x 2, D f = (, + ) Сформулируйте и докажите теорему о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции Докажите непрерывность функции: а) y = sin x б) y = cos x в) y = tg x г) y = ctg x д) y = x n, n N Пусть f(x) = sin x, D f = [ π/2, +π/2]. Докажите существование, монотонность и непрерывность функции f 1 (y) := arcsin y, обратной к функции y = f(x) Пусть f(x) = cos x, D f = [0, π]. Докажите существование, монотонность и непрерывность функции f 1 (y) := arccos y, обратной к функции y = f(x) Пусть f(x) = tg x, D f = ( π/2, +π/2). Докажите существование, монотонность и непрерывность функции f 1 (y) := arctg y, обратной к функции y = f(x) Пусть f(x) = ctg x, D f = (0, π). Докажите существование, монотонность и непрерывность функции f 1 (y) := arcctg y, обратной к функции y = f(x) Пусть f(x) = x n, n N, D f = [0, + ). Докажите существование, монотонность и непрерывность функции f 1 (y) =: n y, обратной к функции y = f(x) Пусть a > 1. Докажите, что: а) для любого вещественного числа x существует sup{a r r Q, r < x} =: a x б) sup{a r r Q, r < x} = inf{a r r Q, r > x} Пусть a = const > 0. Докажите непрерывность функции y = a x Пусть f(x) = a x, 0 < a 1, D f = R. Докажите существование, монотонность и непрерывность функции f 1 (y) =: log a y, обратной к функции y = f(x) Пусть α = const > 0. Докажите непрерывность функции y = x α := e α ln x Сформулируйте и докажите теорему о первом замечательном пределе Выведите асимптотическую формулу (при x 0) для функции: а) sin x б) tg x в) cos x Сформулируйте и докажите теорему о втором замечательном пределе Докажите, что: ln(1 + x) a x 1 а) lim = 1 б) lim = ln a, если a > в) 0. x x Выведите асимптотическую формулу (при x 0) для функции: а) ln(1 + x) б) a x в) (1 + x) α г) sh x д) th x е) ch x. 12

13 3.36. Напишите асимптотическое разложение функции: а) sin 2 (5 x + x), x > 0 б) cos(4x 2 + x) в) ln(1 x 2 + x) г) ln(cos 2x) при x 0 c остаточным членом вида o(x α ), где α Напишите асимптотическое разложение функции: а) x 2 + x x б) 3 x 3 + x x в) ln cos(2/x) г) e 1/ x 1, x > 0. при x c остаточным членом вида o(1/x α ), где α 0. д) ln(e x + x), x > 0 е) cos sin x, x > Найдите все точки разрыва функции f(x) и определите их тип: 1 sin x а) f(x) = б) f(x) = (1 + x) x в) f(x) = x2 1 x ln x Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: sin(x π/3) а) lim x π/3 1 2 cos x о) lim n ( n x 1), x > 0 б) lim (1 x) tg πx x 1 2 в) lim г) lim д) lim x + 1 cos x cos 2x cos 3x 1 cos x m 1 + ax n 1 + bx, m, n N x ( 1 + x + x2 1 x + x 2) ( е) lim 3 x3 + 3x 2 x 2 2x ) x + ж) lim з) lim cos x 3 cos x sin 2 x 1 cos x 1 cos x и) lim x ( sin x + 1 sin x ) к) lim cos ( π n 2 + n ) e αx e βx л) lim, α β ш) lim sin αx sin βx a x x a м) lim, a > 0 щ) lim x a x a a x+h + a x h 2a x н) lim, a > 0 h 0 h Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: ( ) 1 x 1 + x 1 x а) lim б) lim x x x 1 п) lim n 2 ( n a n+1 a), a > 0 р) lim (1 x) log x 2 x 1 с) lim x (ln(x + 1) ln x) x + ln(1 + 3 x ) т) lim x ln(1 + 2 x ) ln(1 + x + 3 x) у) lim x + ln(1 + 3 x + 4 x) ф) lim ln(x 2 + e x ) ln(x 4 + e 2x ) ln(x 2 + e x ) х) lim x + ln(x 4 + e 2x ) ln(x 2 + e x ) ц) lim x ln(x 4 + e 2x ) ч) lim (x ln ch x) x + ln ch 2x ln cos 3x ( ( ln tg π + ax) ) 4, b 0 sin bx э) lim x 1 sin 2 (π 2 x ) ln cos(π 2 x ). ( ) 1 x 1 + x 1 x 2 + x 13

14 в) lim x + г) lim x + ( 1 + x 2 + x ( ax + b cx + d д) lim (sin x π/2 x)tg x е) lim x ж) lim tg n ) 1 x 1 x ) x, a, c > 0 ( sin 1 x + cos 1 x) x ( π n ) з) lim и) lim к) lim л) lim м) lim ( ch π ) n 2 n ( cos π ) n 2 n ( ) a x + b x + c x 1 x, a, b, c > 0 3 ( ) 1 + x 2 x 1 x x 3 x ( a 1 + n ) n b, a 0 a ( n ) a + n n b, a, b >

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim Билет 1 1 Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) равен + при x + Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения двух функций 2 Сформулируйте определение того, что предел

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ. Числовые последовательности. Предел последовательности. Свойства пределов последовательности.. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте Перечень тем и вопросов, выносимых на зимнюю сессию 2013-2014 уч. год, 1 курс, 2 поток Дисциплина Математический анализ, лектор к.ф.-м.н., доцент Фроленков И.В. 1. Понятие функции. График функции. Обзор

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b +

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b + Предел функции (продолжение) Лекция (..) Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой). Если, где б.м. при a. Доказательство. Пусть б.м. при +. f( = b, то f( = b + f ( = b. Рассмотрим функцию

Подробнее

Математический анализ-1

Математический анализ-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-1 Баку - 2015 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-1.

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

Тема 1 = (закрепление = и , сдача ДР = ) Функция. График.

Тема 1 = (закрепление = и , сдача ДР = ) Функция. График. Функция. График. Тема = 0.09.0 (закрепление = 07.09.0 и 08.09.0, сдача ДР = 4.09.0). Преобразования графиков (?) (Правила преобразований [?, стр. 4 6], примеры 4 [?, 6 0]) а) линейные функции 237 (237,

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

1. БИЛЕТ Сформулировать понятие точной верхней и точной нижней Сформулировать понятие окрестности точки и свойства окрестностей

1. БИЛЕТ Сформулировать понятие точной верхней и точной нижней Сформулировать понятие окрестности точки и свойства окрестностей 1. БИЛЕТ 1.1. Сформулировать понятие точной верхней и точной нижней границ числового множества. 1.2. Сформулировать понятие окрестности точки и свойства окрестностей фиксированной точки. 1.3. Сформулировать

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр, часть I Аксиоматический подход к описанию множества действительных чисел.. Сформулировать группу аксиом сложения.

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Глава. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.. Сравнение поведения функций. О-символика В этой, вводной, главе будет обсуждаться сравнительное поведение функций, а также асимптотическое

Подробнее

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2 Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f ( ) называется непрерывной в точке, если она

Подробнее

7. Производная. = lim., f

7. Производная. = lim., f 7. Производная 7.1. Рассмотрим интервал (a, b) R, функцию f, заданную на (a, b), и точку x (a, b). Если существует предел f(x + h) f(x) lim h 0 h f(y) f(x) = lim, y x y x его называют производной функции

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

1.6. Производная 6.1. Производная функции в точке. Нахождение, геометрический. = lim

1.6. Производная 6.1. Производная функции в точке. Нахождение, геометрический. = lim .6. Производная 6.. Производная функции в точке. Нахождение, геометрический смысл. ТЕОРИЯ Рассмотрим интервал (a, b) R, функцию f, заданную на (a, b), и точку x (a, b). Если существует предел f(x + h)

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

8. Сформулируйте определение сходящейся последовательности точек пространства R. Является ли

8. Сформулируйте определение сходящейся последовательности точек пространства R. Является ли Множества и последовательности точек Сформулируйте определение изолированной точки множества D R Приведите пример Сформулируйте определение внутренней точки множества D точек пространства Приведите пример

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Производная функции. Правила дифференцирования

Производная функции. Правила дифференцирования Производная функции. Правила дифференцирования Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Запишите выражение для Δy = f(х 0 + Δх) f(х) и найдите область определения функции Δу, если: a) f(x) = arcsin

Подробнее

Семинар 3. Предел функции нескольких переменных

Семинар 3. Предел функции нескольких переменных Семинар 3 Предел функции нескольких переменных О. Пусть D некоторое множество точек пространства R m : D R m. Пусть каждой точке M(x, x,, x m ) D поставлено в соответствие некоторое число u R. Тогда говорят,

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Оглавление Асимптотическая формула x А.А.Быков boombook.narod.ru,

Оглавление Асимптотическая формула x А.А.Быков boombook.narod.ru, MA ksm-0-эталонные пределы А.А.Быков boombook.arod.ru, boombook@yade.ru Оглавление. Лекция. Первый и второй замечательные пределы... 5.. Формула, выражающая первый замечательный предел... 5... Напоминание

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) А. А. Пожарский Занятие. Принцип математической индукции. Задачи по []: 0. Задачи по [2]: 27. Занятие 2. Основные понятия комбинаторики: факториал,

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л 1. Функции ограниченной вариации образуют линейное

Подробнее

6. Свойства дифференцируемых функций

6. Свойства дифференцируемых функций 6. Свойства дифференцируемых функций 6.. Производная функции в данной точке отражает локальные свойства функции, т. е. свойства, присущие функции в некоторой окрестности данной точки. Вместе с тем есть

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 09 декабря семестр 1, часть II 17-45, главный корпус НГУ, МА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 09 декабря семестр 1, часть II 17-45, главный корпус НГУ, МА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 09 декабря семестр 1, часть II 17-45, главный корпус НГУ, МА Функции и отображения. 1. Сформулировать определение тождественного отображения.

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. Глава ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. Глава ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Функции и пределы.................... 5 1.1. Числовые множества................. 5 1.2. Функции........................ 8 1.3. Определения пределов в различных случаях.... 15 1.4. Бесконечно

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Числовые функции и числовые последовательности

Числовые функции и числовые последовательности Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции.

Подробнее

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ У ч е б н о е п о

Подробнее

Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки.

Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки. Лекция 7-8. Замкнутые множества и непрерывные функции. 1 Предельные точки. Определение 1 Предельная точка для множества - это такая точка a, к которой сходится некоторая последовательность точек множества,

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Москва 6 Предисловие Учебное пособие

Подробнее

Математический анализ Лекция 5. Математический анализ, Лекция 5 1 / 16

Математический анализ Лекция 5. Математический анализ, Лекция 5 1 / 16 Математический анализ Лекция 5 Математический анализ, Лекция 5 1 / 16 Общие свойства пределов Математический анализ, Лекция 5 2 / 16 Общие свойства пределов Теорема (локальная ограниченность функции) Математический

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по дисциплине: по направлению подготовки: факультеты: кафедра: курс: Трудоёмкость: семестры: лекции: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

Основы математического анализа

Основы математического анализа Основы математического анализа Лектор Александр Петрович Ульянов Преподаватель может разнообразить стандартные задачи Задание 1 (сдать к 4 октября) 1. Построить график функции y = 3x+2 2x 3. 2. Построить

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

УДК 517(075.8) ББК ISBN

УДК 517(075.8) ББК ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» В.Н. Горбузов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ Учебное

Подробнее

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Необходимые понятия и теоремы: фундаментальная последовательность, критерий Коши, теорема о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности,

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

1. Подготовительные занятия Метод математической индукции Комбинаторика и бином Ньютона Верхние и нижние границы множеств 11

1. Подготовительные занятия Метод математической индукции Комбинаторика и бином Ньютона Верхние и нижние границы множеств 11 Содержание 1. Подготовительные занятия 3 2. Метод математической индукции 6 3. Комбинаторика и бином Ньютона 10 4. Верхние и нижние границы множеств 11 5. Предел последовательности 15 6. Операции над пределами

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера.

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера. Билет.. Определение матрицы (с примерами квадратной и прямоугольной матриц).. Геометрический смысл многочлена Тейлора первого порядка (формулировка, пример, рисунок). ( x) ctg(x). 4. Метод хорд графического

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

С. Р. Насыров ПРОИЗВОДНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Казань 2013

С. Р. Насыров ПРОИЗВОДНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Казань 2013 . С. Р. Насыров ПРОИЗВОДНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Казань 2013 УДК 517.1 Печатается по решению Учебно-методической комиссии Института математики и механики им. Н. И. Лобачевского КФУ Научный редактор

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание)

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л1. Функции ограниченной вариации образуют линейное пространство.

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

8. Свойства дифференцируемых функций

8. Свойства дифференцируемых функций 8. Свойства дифференцируемых функций 8.. Производная функции в данной точке отражает локальные свойства функции, т. е. свойства, присущие функции в некоторой окрестности данной точки. Вместе с тем есть

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ж Н КУЛЬБАКОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ по разделам «ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ» для студентов курса заочного факультета специальности - - «Математика научнопедагогическая

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, I СЕМЕСТР.

ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, I СЕМЕСТР. МГУ им МВЛомоносова Физический факультет Кафедра математики - ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, I СЕМЕСТР Предел последовательности (-) Пользуясь определением предела последовательности,

Подробнее

11. Производная (продолжение); непрерывные функции

11. Производная (продолжение); непрерывные функции 11. Производная (продолжение); непрерывные функции На прошлой лекции мы вывели правило дифференцирования произведения функций; сейчас мы разберемся и с дифференцированием частного. Заметим для начала,

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

Занятие 1. Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2

Занятие 1. Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2 Занятие 1 Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2 2x 3, (б) f(x) = 6 cos 2x + 8 sin 2x. Занятие 2 2. Мат индукция.

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции односторонние пределы, замечательные пределы, сравнение бесконечно малых и бесконечно больших Лектор Пахомова Е.Г. 22 г. 4. Односторонние

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 011/01 учебный год Тема. Пределы, непрерывность, производные 1 Тема: Предел функции 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр.

Подробнее