4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда."

Транскрипт

1 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность a, a 2,..., a n,... и образуем формальное выражение a + a a n +... =. Назовем это выражение числовым рядом, а числа членами ряда. Сумма n S n = называется частичной суммой (n-ой частичной суммой) ряда. Определение: числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность {S n } его частичных сумм. При этом число S = lim n S n = называется суммой ряда. Если же последовательность частичных сумм ряда расходится, то такой ряд называется расходящимся. Примеры: ) ряд + q + q 2 + q q n +..., где q <, сходится: S n = qn q q = S при n ; 2) ряд расходится, поскольку S n = n, lim S n = + ; n 08

2 3) т.н. гармонический ряд расходится: + ( ) + 4 k = n +... ( ) ( ) Сумма дробей в каждой такой скобке больше /2, откуда вытекает, что {S n } бесконечно-большая последовательность, т.е. lim S n = + n и, значит, ряд расходится. Теорема 5 (критерий Коши сходимости числового ряда). Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы ε > 0 N, n > N, p N: k=n+ < ε. Сходимость числового ряда это сходимость последовательности {S n } его частичных сумм, а для сходимости последовательности {S n }, как было доказано в теореме 4, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, т.е. ε > 0 N, n > N, p N: S S n < ε, или k=n+ < ε, что и доказывает теорему. Следствие (необходимое условие сходимости ряда): если ряд сходится, то a n 0 при n. 09

3 Поскольку ряд сходится, то выполнено условие k=n+ < ε. Возьмем p = : a n+ < ε n > N. Это и означает, что a n 0 при n. Отметим, что данное условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости (пример гармонический ряд, который расходится, хотя a n = /n 0 при n ). Следствие 2: если ряд сходится, то r n = k=n+ 0 при n. Здесь r n это так называемый остаток ряда. Если = S, то S = S n + r n, а поскольку S n S при n, то r n 0 при n. Теорема 6. Если ряды и b k сходятся и их суммы равны соответственно S A и S B, то для любых чисел α и β ряд (α + βb k ) сходится и его сумма S выражается формулой S = αs A + βs B. 0

4 Для любого n имеем: n (α + βb k ) = α n + β n b k. Первое слагаемое стремится к αs A, а второе к βs B при n. Таким образом, предельный переход при n дает S = αs A + βs B, что и требовалось доказать. Если все 0, то ряд 5. Ряды с положительными членами. называется рядом с положительными членами. Члены такого ряда часто обозначают : ( 0). Последовательность {S n } частичных сумм в таком случае будет, очевидно, неубывающей и поэтому для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной. Признак сравнения. Теорема 7. Пусть даны два ряда с положительными членами и (обозначим их как ряд P и ряд Q соответственно), и пусть k: q k. Тогда: ) из сходимости ряда Q следует сходимость ряда P ; 2) из расходимости ряда P следует расходимость ряда Q. q k Утверждение теоремы следует из неравенства n n Sn P = q k = Sn Q.

5 Пример: рассмотрим т.н. обобщенный гармонический ряд k α (α < ). Из сравнения с гармоническим рядом следует, что обобщенный гармонический ряд при α < расходится. Замечания: ) теорема 7 остается в силе, если неравенство q k выполнено, начиная не с k =, а с некоторого k = k 0. 2) теорема 7 остается в силе, если вместо неравенства q k выполнено неравенство c q k, где c > 0 некоторое число. Задания на дом: ) Доказать, что если существует lim = a > 0, k q k то ряды P и Q сходятся или расходятся одновременно. 2) Пусть lim = 0. k q k Сформулировать и доказать утверждение о связи между сходимостью или расходимостью рядов P и Q. Признаки Даламбера и Коши. Теорема 8 (признак Даламбера). Если ( ) + pk+ k : q <, то ряд сходится (расходится). Воспользуемся признаком сравнения (теорема 7). Из цепочки неравенств + q q q... q k p и сходимости ряда q k p 2

6 заключаем, что ряд сходится. Если +, то +... p > 0 и тем самым не выполнено необходимое условие сходимости ряда. Теорема 8 доказана. Следствие (признак Даламбера в предельной форме): если существует + lim k = q < (> ), то ряд сходится (расходится). Доказательство провести самостоятельно. Замечание : условие + q < в теореме 8 нельзя заменить условием + <, которое выполняется, например, для рассмотренного выше расходящегося гармонического ряда. Замечание 2: признак Даламбера в предельной форме не позволяет судить о сходимости и расходимости рядов в случае, когда В качестве примера приведем ряды + lim =. k k и k 2, первый из которых расходится, а второй сходится (это будет доказано позднее). 3

7 Теорема 9 (признак Коши). Если k : k q < ( k ), то ряд сходится (расходится). Воспользуемся теоремой 7. Из неравенства q k и сходимости ряда вытекает, что ряд также сходится. Если k, то и тем самым не выполнено необходимое условие сходимости ряда. Теорема 9 доказана. Следствие (признак Коши в предельной форме): если существует то ряд lim k q k k pk = q < (> ), сходится (расходится). Доказательство провести самостоятельно. Замечание : условие k pk q < в теореме 9 нельзя заменить условием k pk <. Пример: гармонический ряд Замечание 2: если lim k k. k pk =, 4

8 то ряд может сходиться, а может и расходиться. Примеры: k и k 2. Признак Коши имеет более широкую область применимости. Нетрудно доказать, что если + q < (т.е. "работает"признак Даламбера), то, начиная с некоторого номера k pk q < (т.е. "работает"и признак Коши). Обратное не верно. Пример: ( ) k k. 5

9 Лекция 5 Числовые последовательности и ряды (продолжение). Интегральный признак Коши-Маклорена. Теорема 0. Пусть ряд является рядом с положительными членами и пусть существует функция f(x), определенная при x и удовлетворяющая условиям: ) f(x) 0 при x ; 2) f(x) не возрастает при x ; 3) k: f(k) =. Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда существует Очевидно, что lim a n, где a n = n n k k f(x)dx. Просуммируем это неравенство по k от 2 до n: f(x)dx. или p 2 + p p n 2 f(x)dx f(x)dx n + f(x)dx p + p p n, n S n p a n S n, где a n = n f(x)dx и S n = n. 6

10 Так как f(x) 0, то {a n } неубывающая последовательность. Для ее сходимости, т.е. для существования предела lim a n, n необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы последовательность {S n } его частичных сумм была ограничена. Из полученного выше неравенства S n p a n S n следует, что {S n } ограничена тогда и только тогда, когда ограничена {a n }. Следовательно, {S n } сходится (а значит, сходится и наш ряд) тогда и только тогда, когда существует lim a n. n Теорема 0 полностью доказана. Пример: рассмотрим при α > ряд k α. Введем функцию f(x) = x. α Она будет положительной и убывающей при x, причем f(k) = /k α. Поскольку n dx a n = x = x α+ n α α = n α+ α α при n, α то, согласно теореме 0, ряд сходится (α > ). Еще один полезный признак сходимости для рядов с положительными членами признак Гаусса работает на сравнении рядов с обобщенным гармоническим рядом. Сформулируем его. k α 7

11 Пусть члены ряда удовлетворяют при k асимптотическому соотношению = α + β ( ) + k + o. k Тогда: ) если α > (α < ), то ряд сходится (расходится); 2) если α = и β > (β < ), то ряд сходится (расходится); 3) если α = и β =, то ряд может как сходиться, так и расходиться. Рассмотрим ряд A: 6. Знакопеременные ряды.. Будем считать, что в нем имеется бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. В таком случае ряд A назовем знакопеременным. Определение: ряд (ряд A) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (ряд A ). Отметим, что при этом ряд A также сходится (это легко доказывается с помощью критерия Коши). Пример: ряд ( ) k является абсолютно сходящимся, т.к. сходится ряд k 2 ( ) k k 2 = k. 2 8

12 Определение: ряд A называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд A расходится. Пример: ряд ( ) k k = является условно сходящимся. Докажем это. Имеем: ( S 2n = ) ( ) ( n ) > 0, 2n ( S 2n = 2 ) ( 3 4 ) ( n 2 ) 2n 2n <. Итак, последовательность {S 2n } ограниченная, поскольку для любого n выполнено неравенство 0 < S 2n <. Кроме того, {S 2n } возрастающая последовательность. Следовательно, существует а поскольку то и lim S 2n = S, n S 2n+ = S 2n + 2n + lim S n = S, n S при n, т.е. ряд сходится. Ряд из модулей членов ( ) k k = k расходится (это гармонический ряд). Следовательно, ряд ( ) k k = сходится условно, что и требовалось доказать. Пусть ряд (ряд A) 9

13 является знакопеременным. Обозначим через p, p 2,..., p n,... положительные члены, выписанные в том порядке, в котором они стоят в ряде A, а через q, q 2,..., q n,... отрицательные члены ряда A. Образуем два ряда с положительными членами: (ряд P ) и q k (ряд Q). Теорема. ) Если ряд A сходится абсолютно, то ряды P и Q сходятся, причем S A = S P S Q. 2) Если ряд A сходится условно, то ряды P и Q расходятся. ) Пусть ряд A сходится абсолютно, т.е. сходится ряд. Тогда для любого n справедливо неравенство: S A n = n = S A. Рассмотрим S A n = n. Обозначим через Sn P сумму членов ряда P, входящую в Sn A, а через Sn Q 2 сумму членов ряда Q, входящую в Sn A со знаком "минус": Очевидно,что n n 2 Sn P =, Sn Q 2 = q k, n + n 2 = n. S A n = S P n S Q n 2, S A n = S P n + S Q n 2. Из последнего неравенства и из неравенства S A n S A получаем S P n S A, S Q n 2 S A, откуда вытекает сходимость рядов P и Q: S P n S P и S Q n 2 S Q при n, n 2. Переходя к пределу при n в равенстве S A n = S P n S Q n 2, получим S A = S P S Q. Первая часть теоремы доказана. 20

14 2) Пусть ряд A сходится условно. Тогда ряд расходится. Докажем, что ряды P и Q также расходятся. В самом деле, если бы они сходились, т.е. существовали бы пределы lim n SP n и lim n 2 SQ n 2, то в силу равенства S A n = S P n + S Q n 2 существовал бы и предел т.е. сходился бы ряд lim n S A n,, что противоречит условию. Следовательно, по крайней мере один из рядов P и Q расходится. Если бы один из них сходился, а другой расходился, то в силу равенства Sn A = Sn P Sn Q 2 расходился бы ряд A, а он по условию сходится. Итак, ряды P и Q расходятся. Теорема полностью доказана. Замечание: если ряд A сходится условно, то его положительная часть (ряд P ) и отрицательная часть (ряд Q со знаком "минус") являются бесконечно большими. Другими словами, получается как бы "неопределенность типа ". Любой условно сходящийся ряд обладает тем свойством, что для любого наперед заданного числа S можно переставить члены ряда так, что новый ряд (полученный после перестановки членов) будет иметь сумму, равную S. Об этом подробнее ниже. Признак Дирихле-Абеля. Этот признак относится к рядам вида b k. Положим S n = n. 2

15 Теорема 2 (признак Дирихле-Абеля). Пусть выполнены следующие условия: ) последовательность {b n } невозрастающая и бесконечно малая, т.е. b n 0 при n ; 2) последовательность {S n } ограничена, т.е. существует число M > 0 такое, что для любого n выполнено неравенство S n M. Тогда ряд b k сходится. Для доказательства сходимости данного ряда воспользуемся критерием Коши. Рассмотрим "отрезок"ряда от k = n+ до k = (именно этот "отрезок"фигурирует в критерии Коши): = k=n+ + k=n+2 b k = k=n+ b k S k k=n+ ( ) b k Sk S k = k=n+ k=n+ b k S k = b S + b k S k = b S b n S n + b k S k k=n+ k=n+ k=n+ b k S k = b k S k b n S n S k ( bk b k ). Отметим, что в силу условия ) b k 0, b k b k 0. Зададим теперь произвольное ε > 0. Поскольку b n 0 при n, то N, n > N : 0 b n < ε 2M, где M число из условия 2) теоремы. Тем самым n > N и p N, используя равенство получаем k=n+ k=n+ b k = b S b n S n + k=n+ S k ( bk b k ), b k b M+b n M+M ( b n b n+ +b n+ b n b b ) = 22

16 ε = 2b n M < 2M 2M = ε. По критерию Коши ряд b k сходится. Теорема 2 доказана. Пример: исследуем на сходимость ряд sin kx k α, где x любое фиксированное число и α > 0 (если α 0, то общий член ряда не стремится к нулю и ряд заведомо расходится). Положим = sin kx, b k = /k α и применим признак Дирихле-Абеля. Последовательность {b k } удовлетворяет условию ) теоремы 2. Проверим выполнение условия 2): S n = n = n sin kx = sin x + sin 2x sin nx = = ( 2 sin x cos x 2 cos 3x 2 + cos 3x 2 cos 5x 2 + cos 5x 2 cos 7x cos(n 2 )x cos(n + ) 2 )x = cos x cos(n + )x sin x 2 S n sin x = M (если x 2πm, m Z). 2 По признаку Дирихле-Абеля ряд сходится при x 2πm, m Z. Но если x = 2πm, m Z, то все члены ряда равны нулю и ряд также сходится. Таким образом, можно заключить, что ряд sin kx k α (α > 0) сходится при любом x. Если α >, то ряд сходится абсолютно, т.к. sin kx k α k, α 23

17 а ряд сходится при α >. Если же 0 < α, то ряд сходится условно, поскольку ряд sin kx k α k α расходится при 0 < α. В самом деле, Но при 0 < α ряд sin kx k α sin2 kx k α = cos 2kx 2k α cos 2kx 2k α. расходится, т.к. его частичная сумма S n = n 2 k n cos 2kx α 2 k α при n. Здесь мы воспользовались тем, что при 0 < α n при n, kα а последовательность n cos 2kx k α сходится к некоторому числу при n (доказательство этого факта аналогично доказательству сходимости ряда sin kx (α > 0), k α которое мы провели выше.) Следствие из теоремы 2: рассмотрим ряд p p 2 + p 3 p = ( ) k, где > 0. Он называется знакочередующимся. Пусть { } 0 (это означает, что + и 0 при k ). Тогда данный ряд называется рядом Лейбница. 24

18 Утверждение: ряд Лейбница сходится. Положим = ( ) k, b k =. Тогда {b n } 0 и последовательность { n } {S n } = =, 0,, 0,...,, 0,... является ограниченной. По теореме 2 ряд сходится, что и требовалось доказать. Пример: рассмотрим ряд ( ) k. k Он является рядом Лейбница, и, следовательно, сходится (ранее мы доказали это, не опираясь на теорему 2). Позднее мы покажем, что его сумма равна ln 2. Задание на дом: пусть ряд ( ) k = S является рядом Лейбница. Доказать следующие неравенства: ) S p ; 2) 3) S n ( ) k p n+ ; n N : S 2 S 4... S 2n S S 2n... S 3 S. О сочетательном и перестановочном свойствах рядов. Конечные суммы обладают сочетательным и перестановочным свойствами. Обладают ли этими свойствами сходящиеся ряды? 25

19 Рассмотрим сначала сочетательное свойство. Пусть дан некоторый ряд A: = a + a a n + a n a n a nk +... Введем обозначения (a + a a n ) = b, (a n a n2 ) = b 2,..., ( a nk ) = b k и рассмотрим ряд B: b k. Теорема 3. Если ряд A сходится, то ряд B также сходится и их суммы равны. Частичная сумма ряда B является также частичной суммой ряда A: n k Sk B = b + b b k = a i = Sn A k. Поэтому последовательность {Sk B } является подпоследовательностью последовательности {Sn A } и, следовательно, {Sk B } сходится к тому же числу, что и {Sn A }, т.е. сумма ряда B равна сумме ряда A. Теорема доказана. i= 26

20 Рассмотрим ряд A Лекция 6 Числовые последовательности и ряды (продолжение). Перестановочное свойство.. После перестановки его членов получается новый ряд A : a k. Ясно, что a k = a n k и также = a m k, где n k и m k какие-то номера. Теорема 4. Если ряд A сходится абсолютно, то ряд A также сходится абсолютно и их суммы равны: S A = S A. а) сначала разберем случай, когда члены A неотрицательны: 0. Тогда n Sn A = = S A. Рассмотрим частичную сумму ряда A : S A k = a + a a k = a n + a n a nk S A. Итак, последовательность частичных сумм ряда A ограничена, поэтому этот ряд сходится. При этом S A = lim k S A k S A. Поскольку ряд A можно рассматривать как ряд, полученный перестановкой членов ряда A, то S A S A. Отсюда S A = S A. б) теперь обратимся к общему случаю, когда члены ряда A являются числами произвольного знака. По условию ряд 27

21 сходится. По доказанному в пункте а) ряд a k, полученный из ряда перестановкой членов, также сходится. Это означает, что ряд A, полученный из ряда A перестановкой членов, сходится абсолютно. По теореме лекции 5 имеем: S A = S P S Q, S A = S P S Q (смысл обозначений такой же, как и в теореме ). Так как ряд P получается перестановкой членов ряда P, а ряд Q перестановкой членов ряда Q, то, по доказанному в пункте а), S P = S P и S Q = S Q. Поэтому S A = S A. Теорема 4 полностью доказана. Если ряд A сходится условно, то перестановочное свойство не имеет места. Более того, справедливо следующее утверждение. Теорема 5 (Римана). Если ряд A сходится условно, то для любого числа S можно так переставить члены ряда A, что сумма полученного ряда A будет равна S. Ряду A соответствуют два ряда (см. теорему лекции 5) ряд P и ряд Q q k, причем, как было показано, эти ряды являются расходящимися. Пусть (для определенности) S > 0. Покажем, как можно переставить члены ряда A так, чтобы сумма полученного ряда A равнялась S. Сначала будем брать члены ряда P (в порядке их следования) до тех пор, пока не получится сумма, большая S: p + p p n + p n > S, p + p p n S. Затем будем добавлять члены ряда Q (со знаком "минус") до тех пор, пока не получится сумма, меньшая S: p +...+p n q... q n2 q n2 < S, p +...+p n q... q n2 S. 28

22 Потом снова будем добавлять члены ряда P, и так далее. В результате получится ряд A, частичные суммы S n которого "колеблются"около числа S, причем "амплитуда"этих "колебаний"стремится к нулю при n, поскольку p n 0 и q n 0 при n. Следовательно, ряд A сходится к числу S. Теорема Римана доказана. 7. Второе определение предела функции. Пусть функция f(x) определена на X и a предельная точка множества X, т.е. в любой ε-окрестности точки a содержатся точки из X, отличные от a. Отметим, что понятия предельной точки числового множества и предельной точки числовой последовательности различные понятия. Поясняющий пример: рассмотрим множество X = {; 2} и последовательность {x n } =, 2,, 2,...,, 2,.... У множества X, состоящего из двух чисел, нет предельных точек, тогда как у последовательности {x n }, очевидно, их две: a = и a 2 = 2. Определение (по Коши): число b называется пределом функции f(x) при x a, если ε > 0 δ > 0, такое, что x {0 < x a < δ}: f(x) b < ε. Определение 2 (по Гейне): число b называется пределом функции f(x) при x a, если для любой последовательности значений аргумента {x n }, сходящейся к a и такой, что x n a, соответствующая последовательность значений функции {f(x n )} сходится к b. Задание: сформулировать отрицание определения предела функции по Гейне, т.е. сформулировать определение того, что lim f(x) b. x a Теорема 6. Определения и 2 эквивалентны. ) пусть Требуется доказать, что lim f(x) = b x a по Коши. то есть lim f(x) = b x a по Гейне, {x n } a(x n a) : {f(x n )} b ε > 0 N, n > N : f(x n ) b < ε. 29

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Глава. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.. Сравнение поведения функций. О-символика В этой, вводной, главе будет обсуждаться сравнительное поведение функций, а также асимптотическое

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Сходимость произвольных рядов. Ниже будут рассматриваться ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов. Такие ряды называют знакопеременными.

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция 5 Абсолютная и условная сходимости. Понятие абсолютной и условной сходимостей Пусть дан ряд (данный ряд). Поставим ему в соответствие ряд, члены которого равны

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

n =1,2, K. Ряд называют

n =1,2, K. Ряд называют 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов Ряд u называют знакоположительным, если все его члены неотрицательны, т.е. если u 0 для любого,2, K. Ряд называют знакоотрицательным, если все его члены

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

Задача Первая теорема сравнения

Задача Первая теорема сравнения Первая теорема сравнения Постановка задачи: Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами где = f(, u (), u 2 (),...) и u (), u 2 (),...- функции с известными наименьшими и наибольшими значениями,

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

11. Несобственный интеграл

11. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл.. Говоря в предыдущем параграфе об определенном интеграле, мы рассматривали ограниченные функции, заданные на ограниченных замкнутых промежутках числовой прямой (если хотя бы одно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций 3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций Рассмотрим два знака менительно к несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом. Аналогичные знаки имеют

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;...

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;... ЛЕКЦИЯ N25. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости рядов с положительными членами. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов..числовые ряды 2.Основные теоремы....

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2014)

Лекция 1 (13 января 2014) Лекция (3 января 24). Фундаментальные последовательности.. Философия. В прошлом семестре были рассказаны различные схемы введения определения вещественных чисел. Все они строились по следующей основной

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Лекция 3. Интегральный признак

Лекция 3. Интегральный признак С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Интегральный признак Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить несобственные интегралы (лекция 9 и практическое занятие 9 из модуля «Интегральное

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

10. Несобственный интеграл

10. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл ТЕОРИЯ При определении интеграла Римана от участвующих в нем объектов, а именно промежутка интегрирования и заданной на нем функции, предполагались выполненными следующие условия:

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора Определение 1. Линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами порядка

Подробнее

2. Какая из указанных величин является формулой n-ого члена(n N) ряда: , если. 2 ; г) a n 1 n = ( 1)n 1? 2 n 1

2. Какая из указанных величин является формулой n-ого члена(n N) ряда: , если. 2 ; г) a n 1 n = ( 1)n 1? 2 n 1 Тесты по теме «Числовые ряды» Вариант. Вставьте в выражение недостающий символ,, ): Общий член числового ряда a 0 при )... Числовой ряд a сходится). 2. Какая из указанных величин является формулой -ого

Подробнее

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом " > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. < " при x > x 0. (17.1)

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом  > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. <  при x > x 0. (17.1) 17. Дополнения На этой сокращенной лекции последней лекции первого семестра мы осветим два вопроса, на которые не хватило времени в прошлый раз. Мы видели, что для раскрытия неопределенности вида 0=0,

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Необходимые понятия и теоремы: фундаментальная последовательность, критерий Коши, теорема о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности,

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Лекция 12. Стационарные последовательности

Лекция 12. Стационарные последовательности Лекция 12 Стационарные последовательности Рассмотрим еще один класс случайных последовательностей, обобщающих последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть Ω, F, P исходное

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 1.3. Предел последовательности 3.1. Точные границы. Начнем c анализа точных границ последовательностей. Сначала напомним определение точной границы множества. ТЕОРИЯ Множество A R называют ограниченным

Подробнее

10. Еще о рядах; предел функции

10. Еще о рядах; предел функции 10. Еще о рядах; предел функции До сих пор мы знали только один признак сходимости рядов, применимый не только к рядам с положительными членами, признак абсолютной сходимости. Этот признак, однако, далеко

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега.

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега. Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА На прошлой лекции мы рассмотрели построение меры Лебега плоских множеств. Теперь наша задача обобщить эту процедуру на случай произвольных множеств. При этом существо схемы

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК ЗАМЯТИН ВН ШАОВА СМ ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие Майкоп УДК 7(78) ББК 6Я7-6 Печатается по решению

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ НТ Левашова, НЕ Шапкина НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Пособие для студентов II курса

Подробнее

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim Билет 1 1 Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) равен + при x + Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения двух функций 2 Сформулируйте определение того, что предел

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

Оглавление Асимптотическая формула x А.А.Быков boombook.narod.ru,

Оглавление Асимптотическая формула x А.А.Быков boombook.narod.ru, MA ksm-0-эталонные пределы А.А.Быков boombook.arod.ru, boombook@yade.ru Оглавление. Лекция. Первый и второй замечательные пределы... 5.. Формула, выражающая первый замечательный предел... 5... Напоминание

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание)

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л1. Функции ограниченной вариации образуют линейное пространство.

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. В.А.Ильин, А.А.Кулешов Рассмотрим на этот раз в открытом с одной стороны

Подробнее

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА Лекция ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В этой лекции мы рассмотрим основные свойства решений уравнения Лапласа и уравнения Пуассона в гладких областях. Многие результаты известны из курса лекций ММФ для третьего курса.

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

3. Бесконечно большие последовательности

3. Бесконечно большие последовательности 3. Бесконечно большие последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность { n } называется бесконечно большой, если M> NN такое, что n >M, n>n. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет им СА Есенина» ЛГ Насыхова, МТ Терехин ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л 1. Функции ограниченной вариации образуют линейное

Подробнее

Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ.

Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. Лекция 1 ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 1. Определение пространства BV[, b] и его свойства Пусть вещественная функция f(x) определена на отрезке [,b] R 1. Рассмотрим на отрезке [,b] произвольное

Подробнее

Лекция 1. Последовательности

Лекция 1. Последовательности С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция 1 Последовательности 1 Понятие последовательности Мы будем рассматривать только бесконечные числовые последовательности Начнем с формального определения этого объекта

Подробнее

Предлагаемое пособие предназначено для студентов первого курса по направлению подготовки "Прикладная математика и информатика".

Предлагаемое пособие предназначено для студентов первого курса по направлению подготовки Прикладная математика и информатика. Родина ТВ, Трифанова ЕС, Бойцев АА Типовой расчет по математическому анализу для направления "Прикладная математика и информатика" 1 модуль Учебно-методическое пособие СПб: Университет ИТМО, 015 4 с Предлагаемое

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 2. Свойства биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм и метод производящих функций (конечный случай). Полиномиальные коэффициенты. Оценки биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Оценки сумм

Подробнее

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и { предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и второй бесконечно малые величины и их свойства - сравнение

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Е. С. Белкина, Гармонический анализ Данкля и некоторые задачи теории приближений функций. II, Труды ПГУ. Математика, 2006, выпуск 13, 26 37 Использование

Подробнее

11. Числовые ряды. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее

11. Числовые ряды. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее . Числовые ряды ТЕОРИЯ Пусть дана числовая последовательность x. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее членов, то говорят, что рассматривают числовой ряд x,

Подробнее