ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ"

Транскрипт

1 Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004

2 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды Фурье. Учебно-методическое пособие для студентов -го курса). МФТИ. М., с. В соответствии с программой кафедры высшей математики МФТИ излагаются начальные сведения по теории тригонометрических рядов Фурье, теоремы о сходимости и равномерной сходимости рядов Фурье, теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций. В центре внимания вопросы равномерной сходимости ряда Фурье. В отличие от многих курсов математического анализа, равномерная сходимость ряда Фурье непрерывной и кусочногладкой функции доказывается с неулучшаемой оценкой скорости сходимости ряда Фурье. Зависимость скорости сходимости ряда Фурье функции от ее гладкости также устанавливается вместе с точными оценками. c Московский физико-технический институт, 004 c О.В.Бесов, 004

3 Содержание 3 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации Сходимость ряда Фурье Равномерная сходимость ряда Фурье Приближение непрерывных функций многочленами Почленное дифференцирование тригонометрических рядов. Скорость стремления к нулю коэффициентов и остатка ряда Фурье Заключительное замечание

4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации Определение 1.1. Ряд вида a 0 + a k cos kx + b k sin kx a k, b k R) называется тригонометрическим рядом. Множество функций 1, cos x, sin x, cosx, sin x, cos 3x, sin 3x,... называется тригонометрической системой. Тригонометрическая система функция является ортогональной системой в том смысле, что Кроме того, cos kx cos mx dx = 0, k, m N 0, k m, sin kx sin mx dx = 0, k, m N 0, k m, cos kx sin mx dx = 0, k, m N 0, m N. cos kx dx = Лемма 1.1. Пусть sin kx dx = π, k N. fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.1)

5 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации. 5 и этот ряд сходится равномерно на R. Тогда a 0 = 1 π a k = 1 π b k = 1 π fx) dx, fx) cos kx dx, fx) sin kx dx, k N. 1.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f непрерывна на [, π] как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Домножим равенство 1.1) почленно на cos nx или sin nx n N). Полученные ряды также будут сходиться равномерно и их почленное интегрирование с использованием свойства ортогональности функций системы дает fx) cos nx dx = fx) sin nx dx = a n cos nx dx = πa n, b n sin nx dx = πb n, откуда получаем вторую и третью формулы из 1.). Первая из формул 1.) получается почленным интегрированием ряда 1.1). Заметим, что члены тригонометрического ряда являются определенными на действительной оси π-периодическими функциями. Поэтому и сумма тригонометрического ряда если этот ряд сходится) также является π-периодической функцией. Определение 1.. Пусть f π-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на отрезке [, π]. Тригонометрический ряд с коэффициентами a k, b k, определенными формулами 1.), называется тригонометрическим) рядом Фурье функции f, а коэффициенты a k, b k коэффициентами ряда Фурье функции f.

6 6 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье В этом случае пишут fx) a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.3) понимая под такой записью, что функции f поставлен в соответствие ее ряд Фурье. Лемму 1.1 можно переформулировать так: равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы. Упражнение 1.1. Показать, что тригонометрический ряд sin kx k 1+ε, ε > 0, является рядом Фурье. Заметим, что если π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на каком-либо отрезке [a, a+π] длины π, то она будет абсолютно интегрируемой и на любом сдвинутом отрезке [b, b + π] и при этом b+π a+π fx) dx = fx) dx. b Это свойство, очевидное с геометрической точки зрения, без труда можно доказать и аналитически. В частности, коэффициенты Фурье π-периодической функции f можно вычислять, заменив в формулах 1.) интеграл по отрезку [, π] на интеграл по любому отрезку [a, a + π]. С другой стороны, каждую заданную на [a π, a + π] абсолютно интегрируемую функцию можно изменив при необходимости ее значение в точке a π или в точке a + π, или и в той и в другой точке) продолжить до определенной на всей оси π-периодической функции. При этом изменение ее значения в одной или двух точках не изменит коэффициентов Фурье ее πпериодического продолжения 1.), а значит, и ряда Фурье 1.3). Поэтому сходимость и другие свойства ряда Фурье можно изучать, считая, что функция f задана лишь на отрезке длиной π, например, на [, π]. a

7 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации. 7 Мы будем изучать в первую очередь вопросы сходимости ряда Фурье в данной точке, на отрезке, равномерной сходимости на всей числовой оси и т.п. Наибольший интерес представляет случай, когда ряд Фурье функции f сходится в том или ином смысле к функции f. В этом случае говорят, что функция f разложена в ряд Фурье. Теорема 1.1 Римана об осцилляции). Пусть функция f абсолютно интегрируема на конечном или бесконечном интервале a, b). Тогда lim λ b a fx) cos λx dx = lim λ b a fx) sin λx dx = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности будем считать, что a, b) =, + ) если это не так, то функцию f можно доопределить нулем на, + ) \ a, b)). Известно, что всякая абсолютно интегрируемая на, ) функция f является непрерывной по сдвигу в среднем, т.е. + fx + h) fx) dx 0 при h ) Это свойство можно доказать, аппроксимируя f в среднем непрерывной финитной функцией. Заменив переменную x на x + π λ, получаем: Iλ) + В силу 1.4) Iλ) 1 fx) cos λx dx = + f = x + π ) λ f [ f x + π ) cos λx dx = λ x + π ) ] fx) cos λx dx. λ fx) dx 0 λ ). Для интеграла + fx) sin λx dx доказательство аналогично.

8 8 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Следствие 1. Коэффициенты Фурье 1.) абсолютно интегрируемой на отрезке [, π] функции стремятся к нулю при k. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на [, π]. Частичная сумма ряда Фурье S n x; f) a n 0 + a k cos kx + b k sin kx называется суммой ряда Фурье порядка n N 0 функции f. Приведем ее к компактному виду, удобному для дальнейших исследований. Назовем ядром Дирихле функцию D n x) 1 n sin n + 1 ) + x cos kx = sin x. 1.5) Последнее равенство правая часть понимается при x = = mπ, m Z, как предел частного при x mπ) устанавливается следующим образом. При x mπ D n x) = 1 sin x = 1 sin x ) sin x n + sin x cos kx = sin x + n sin k + 1 ) x sin k 1 x = sin n + 1 ) x = sin x Ядро Дирихле 1.5) является, очевидно, π-периодической, четной, непрерывной функцией, max D n x) = D n 0) = n + 1, π D n x) dx = 1 D n x) dx = ) π 0 π.

9 1. Определение ряда Фурье и принцип локализации. 9 Преобразуем сумму Фурье S n x; f), подставив в нее вместо коэффициентов Фурье их выражения 1.). Получим S n x; f) = = 1 π ft) dt + = 1 π n 1 π ft)cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt = [ ] 1 n ft) + cos kt x) dt = 1 π D n t x)ft) dt. 1.7) Произведя в последнем интеграле называемом интегралом Дирихле) замену переменной t на t+x и сдвиг отрезка интегрирования, получим S n x; f) = 1 π D n t)fx + t) dt = = π 0 = 1 π 0 ) Dt)fx + t) dt = D n t)[fx + t) + fx t)] dt. 1.8) Для произвольного δ, 0 < δ < π, представим последний интеграл в виде S n x; f) = 1 δ ) fx + t) + fx t) + π 0 δ sin t sin n + 1 ) ) t dt. Во втором из этих интегралов знаменатель дроби sin t sin δ > 0, поэтому сама дробь абсолютно интегрируема как функция t. Следовательно, второй интеграл стремится к нулю при n по теореме Римана об осцилляции. Мы приходим, таким образом, к следующему утверждению.

10 10 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Теорема 1. принцип локализации). Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], x 0 R, 0 < δ < π. Пределы lim S nx; f), n n + 1 ) ) t dt 1 δ fx 0 + t) + fx 0 t) lim n π 0 sin t sin существуют или не существуют одновременно и совпадают в случае их существования. Мы видим, таким образом, что сходимость ряда Фурье функции f в точке x 0 и величина его суммы в случае сходимости определяются поведением функции f на интервале x 0 δ, x 0 + δ), т.е. в сколь угодно малой окрестности точки x 0.. Сходимость ряда Фурье Пусть x 0 точка разрыва первого рода функции f. Введем следующие обобщения односторонних производных: f +x fx 0 + h) fx 0 + 0) 0 ) = lim, h 0+0 h f x fx 0 h) fx 0 0) 0 ) = lim, h 0+0 h которые также будем называть односторонними производными. Определение.1. Точку x 0 назовем почти регулярной точкой функции f, если существуют fx 0 + 0), fx 0 0), f + +x 0 ), f x 0 ). Если при этом fx 0 ) = fx 0 0) + fx 0 + 0), то x 0 назовем регулярной точкой функции f. Если функция f непрерывна в точке x 0 и имеет в ней правую и левую производные, то x 0 регулярная точка функции f. Теорема.1. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], и x 0 ее почти регулярная точка. Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x 0 к fx 0 0) + fx 0 + 0). Если же при этом x 0 регулярная

11 . Сходимость ряда Фурье. 11 точка f в частности, если f непрерывна в точке x 0 ), то ряд Фурье в точке x 0 сходится к fx 0 ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x 0 почти регулярная точка функции f. Из формулы 1.8) с помощью 1.6) получаем S n x; f) fx 0 0) + fx 0 + 0) = = 1 π 0 = 1 D n t)[fx 0 + t) + fx 0 t)] dt π 0 fx 0 + 0) + fx 0 0) π D n t) dt = π 0 fx 0 + t) + fx 0 t) fx 0 ) sin t sin n + 1 = 1 [ fx0 + t) fx 0 + 0) + π 0 t ] t + fx 0 t) fx 0 0) t sin t sin ) ) t dt = n + 1 ) ) t dt. Дробь t sin t, доопределенная единицей при t = 0, является непрерывной на [0, π] функцией. Дробь fx 0 + t) fx 0 + 0) t является абсолютно интегрируемой на [0, π] функцией, поскольку таковой является ее числитель, и при t 0+0 она имеет конечный предел. То же относится и ко второй дроби в квадратной скобке. Следовательно, множитель при sin n + 1 ) ) t в подынтегральном выражении последнего интеграла представляет собой абсолютно интегрируемую на [0, π] функцию. По теореме Римана об осцилляции, последний интеграл стремится к нулю при n, т.е. S n x 0 ; f) fx 0 0) fx 0 + 0) при n. З а м е ч а н и е.1. Требование существования f + +x 0 ), f x 0 ) в условии теоремы можно как это видно из до-

12 1 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье казательства) заменить более слабым требованием выполнения неравенств fx 0 + h) fx 0 + 0) Mh α, fx 0 h) fx 0 0) Mh α, h 0, δ), h 0, δ),.1) при некоторых α 0, 1], δ > 0, M > 0. Условия.1) называются односторонними) условиями Гёльдера степени α, а при α = 1 еще и односторонними) условиями Липшица. Следствие 1. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], и существует f x 0 ). Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x 0 к fx 0 ). З а м е ч а н и е.. Непрерывность на R π-периодической функции не является достаточным условием сходимости ее ряда Фурье в данной точке x 0. Существуют примеры π-периодической непрерывной на R функций, ряды Фурье которых расходятся в каждой рациональной точке. В теореме.1, замечании.1 и следствии приводятся достаточные условия сходимости ряда Фурье в данной точке. Существуют и значительно более общие достаточные условия такой сходимости. З а м е ч а н и е.3. Пусть функция f задана и абсолютно интегрируема на отрезке длиной π, например на [, π]. Для выяснения сходимости ее ряда Фурье в концах отрезка можно применить теорему.1, продолжив функцию f изменив при необходимости ее значения на одном или обоих концах) до π-периодической функции. После такого продолжения точка x = будет почти регулярной тогда и только тогда, когда f +), f π). В этом случае ряд Фурье функции f f + 0) + fπ 0) сходится в точке x 0 = к. Аналогично решается вопрос о сходимости ряда Фурье в точке x 0 = π. Пример.1. Найдем ряд Фурье функции fx) = π x, x [0, π].

13 3. Равномерная сходимость ряда Фурье. 13 Пусть f: R R π-периодическая функция, fx) = fx) при 0 < x < π, f0) = 0. Как мы знаем, коэффициенты Фурье функции f можно вычислить по формулам 1.) либо отличающихся от них сдвигом отрезка интегрирования. В силу нечетности f, a k = 0 k N 0. Интегрируя по частям, получаем b k = 1 π π 0 π x sin kx dx = = 1 π π x) cos kx x π 0 1 π cos kx dx = 1 πk 0 k. Заметим, что всякая точка x R является регулярной точкой функции f. Следовательно, sin kx fx) = x R..) k Итак, на отрезке [0, π] сумма ряда Фурье f функции f совпадает с f на интервале 0, π) и отличается от f в концах интервала. 3. Равномерная сходимость ряда Фурье Определение 3.1. Функцию f называют кусочно-непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b], если существует такое разбиение {a i } m i=0 отрезка [a, b] a = a 0 < a 1 < a < < < b m = b), что: 1. Производная f непрерывна на каждом интервале a i 1, a i );. Существуют односторонние пределы f a i 1 + 0), f a i 0) для i = 1,,..., m. π-периодическую функцию будем называть кусочно-непрерывной кусочно-непрерывно дифференцируемой), если она кусочно-непрерывна кусочно-непрерывно дифференцируема) на отрезке [, π].

14 14 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Теорема 3.1. Пусть f π-периодическая непрерывная и кусочно-непрерывно дифференцируемая функция. Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно на R и sup S n x; f) fx) C ln n при n, x R n где C не зависит от n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M 0 = max f, M 1 = max f, fx + t) + fx t) fx) g x t) sin t. С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем, что при 0 < t π Следовательно, fx + t) + fx t) fx) M 1 t. g x t) M 1t sin t πm 1, d dt g xt) f x + t) f 1 x t) sin t + cos t + fx + t) + fx t) fx) 4 sin t πm 1 + π M 1 π M 1. t t t Пусть 0 < δ = δ n < π. Как и при доказательстве теоремы.1 S n x; f) fx) = 1 δ ) + g x t) sin n + 1 ) ) t dt = I n +J n. π 0 δ Очевидно, что I n δm 1. C помощью интегрирования по частям имеем J n = 1 cos n + 1 ) π g t π xt) n d cos n + 1 ) δ π δ dt g t xt) n + 1 dt.

15 Отсюда 3. Равномерная сходимость ряда Фурье. 15 J n M 1 n nm 1 δ n + 1 ) = Полагая δ = δ n = n 1, получаем, что при n 1 + π ) 1 M 1 δ n + 1. sup S n x; f) fx) I n + J n C ln n, x R n где C не зависит от n. Из последнего неравенства следует утверждение теоремы. Подчеркнем, что теорема 3.1 не только устанавливает равномерную сходимость ряда Фурье, но и дает оценку быстроты стремления к нулю остатка этого ряда. Равномерная сходимость ряда Фурье периодической функции может быть установлена и при условиях более общих, чем в теореме 3.1, например, для функций, удовлетворяющих условию Гёльдера. Определение. Говорят, что функция f: [a, b] R удовлетворяет условию Гёльдера степени α, 0 < α 1 или условию Липшица в случае α = 1), если M α > 0: fx) fy) M α x y α x, y [a, b]. Заметим, что функции, удовлетворяющие условию Гёльдера, непрерывны м что класс функций, удовлетворяющих условию Гёльдера степени α сужается при увеличении α. Если функция f непрерывна и кусочно-непрерывно дифференцируема на [a, b], то она удовлетворяет на [a, b] условию Липшица. Следующая теорема обобщает теорему 3.1. Теорема 3.. Пусть π-периодическая функция f удовлетворяет на R условию Гёльдера степени α, 0 < α 1. Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R и ln n sup S n x; f) fx) C α x n α n,

16 16 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье где C α не зависит от n. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся формулой.1) в виде S n x; f) fx) = 1 fx + t) fx) π sin t sin n + 1 ) ) t dt. Положим fx + t) fx) h x t) = sin t, λ = λ n = n + 1, δ 8 n > π λ. Так же, как при доказательстве теоремы Римана об осцилляции, получаем S n x; f) fx) 1 h x t + π ) h x t) dt = λ = 1 δ... dt + 1 δ ) +... dt = I δ,n x) + J δ,n x). 3.1) δ δ Напомним, что π t < sin t < t при 0 < t < π. Заметим, что при t δ h x t) M α t α = π t M α t α 1, так что I δ,n x) π δ M α t α 1 dt = π 0 α M α α δ α. 3.) Если же t > δ, то h x t + π ) f h x t) = λ f = x + t + π ) λ fx) sin t + π λ x + t + π ) λ fx) sin t + π λ 1 1 fx + t) fx) sin t = 1 sin t + π λ sin t fx + t) fx)), 3.3)

17 так что 3. Равномерная сходимость ряда Фурье. 17 ) α h x t + π ) M πλ α π sin λ π h x t) λ t + π π M α t α + λ t + π λ t J δ,n x) δ C M α λ α dt t C M α λ α ln 1 δ. C M α t λ α, Полагая δ = n 8 и собирая оценки, приходим к утверждению теоремы. Часть теоремы 3.1, касающаяся лишь факта равномерной сходимости, допускает следующее обобщение. Теорема 3.3. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на [, π]. Пусть на некотором интервале a, b ) f непрерывна и f кусочно-непрерывна. Тогда ряд Фурье функции f равномерно сходится к f на любом отрезке [a, b] a, b ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n 8 δ < δ, [a δ, b + δ] a, b ), x [a, b]. Воспользуемся оценкой 3.1). В силу 3.) при α = 1 I δ,n x) C 1 M 1 δ. Для получения оценки J δ,n используем преобразование 3.3) разности в подынтегральном выражении. Тогда J δ,n x) 1 f u + π ) fu) du+ 4πδ λ ) π + π3 4δ fu) du + π sup f. λ [a,b] Пусть задано ε > 0. Тогда существует такое достаточно малое δ = δε) > 0, что sup I δ,n < ε. При выбранном δ [a,b] n δ N : sup [a,b] J δ,n < ε n n δ.

18 18 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Тогда из 3.1) и полученных оценок следует, что sup S n x; f) fx) 0 при n x [a,b] и теорема установлена. Отметим, что теорема 3.3 расширяет сформулированный ранее принцип локализации, показывая, что для утверждения о равномерной сходимости ряда Фурье на отрезке [a, b] достаточно знать поведение этой функции лишь на окрестности a ε, b+ε) этого отрезка при сколь угодно малом ε > 0. Из теоремы 3.3 следует, например, что ряд sin kx k на любом отрезке [ε, π ε], ε > 0, равномерно сходится к функции fx) = π x. Теорему 3.3 можно обобщить, заменив условие кусочнонепрерывной дифференцируемости на условие Гёльдера степени α > 0 на [a, b ]. 4. Приближение непрерывных функций многочленами Определение 4.1. Функция вида A 0 n + A k cos kx + B k sin kx A n + Bn > 0) тригономе- называется тригонометрическим многочленом трическим полиномом) степени n. Теорема 4.1 Вейерштрасса). Пусть f π-периодическая непрерывная функция. Тогда для каждого ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T, что max fx) T x) < ε. x R Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε > 0. Пусть τ = {x j } J j=0, x j = + j π J, разбиение отрезка [, π]. Построим ломаную вписанную в график функции f), соединив отрезками

19 4. Приближение непрерывных функций многочленами. 19 последовательно точки x j, fx j )) графика f. Обозначим через Λ J : R R π-периодическую непрерывную функцию, график которой совпадает на [, π] с построенной ломаной. Очевидно, Λ J кусочно линейная на [, π] функция, а значит, и кусочнонепрерывно дифференцируемая т.е. Λ J кусочно-непрерывна). Непрерывная функция f является равномерно непрерывной. Поэтому fx ) fx ) < ε 4 при x x π J, если J = Jε) N достаточно велико. Тогда max fx) Λ J x) < ε. Функция Λ J удовлетворяет условиям теоремы.1, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следовательно, существует такое n = nε), что max x R Λ jx) S n x; Λ J ) < ε. Из последних двух неравенств получаем, что max x R fx) S nx; Λ J ) < ε, т.е. утверждение теоремы при T x) = S n x; Λ J ). Теорему 4.1 в эквивалентной форму можно сформулировать следующим образом: Теорема 4.1. Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке [, π] и f) = fπ). Тогда для каждого ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T, что max fx) T x) < ε. x π

20 0 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Упражнение 4.1. Показать, что последняя теорема перестает быть верной, если отбросить условие f) = fπ). Заметим, что в теореме 4.1 в качестве тригонометрического многочлена T нельзя вообще говоря) взять S n x; f) частичную сумму ряда Фурье функции f), поскольку ряд Фурье непрерывной функции не обязан равномерно сходиться не обязан даже и поточечно сходиться) к функции f. Однако, в качестве T можно взять σ n x; f) сумму Фейера функции f) при достаточно большом n, где σ n x; f) = S 0x; f) + S 1 x; f) + + S n x; f) n + 1 среднее арифметическое сумм Фурье, как это следует из теоремы Фейера: Теорема 4. Фейера). Пусть f π-периодическая непрерывная функция. Тогда σ n x; f) fx) при n. R Доказательства этой теоремы приводить не будем. Факт сходимости последовательности сумм Фейера в теореме Фейера выражают еще и следующим образом: Ряд Фурье π-периодической непрерывной функции f суммируем к fx) методом средних арифметических. Метод суммирования ряда средними арифметическими последовательности его частичных сумм) дает возможность и для некоторых расходящихся рядов определить понятие их суммы как предела последовательности этих средних арифметических. Для сходящегося ряда это понятие совпадает с понятием суммы ряда. Пример 4.1. Расходящийся ряд суммируем методом средних арифметических к числу 1. С помощью теоремы 4.1 Вейерштрасса) доказывается и возможность приближения с любой точностью непрерывной на отрезке функции подходящим алгебраическим многочленом P.

21 4. Приближение непрерывных функций многочленами. 1 Теорема 4.3 Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда для любого ε > 0 существует такой алгебраический многочлен P, что max fx) P x) < ε. a x b Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим линейно отрезок [0, π] на отрезок [a, b]: и положим f t) = f x = a + b a t, 0 t π, a x b, π a + b a π t ), 0 t π. Продолжим ее четным образом на отрезок [, 0] и затем на всю ось с периодом π, сохранив обозначение f. Полученная функция f : R R является π-периодической и непрерывной на R. По теореме 4.1 для каждого ε > 0 найдется такой тригонометрический многочлен T, что max f t) T t) max f t) T t) < ε 0 t π x R. Функции cos kt, sin kt а значит и T t)) раскладываются в степенные ряды с радиусом сходимости R = +, и, следовательно, равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому существует такой номер n = nε), что max T t) P nt) < ε 0 t π, где P n многочлен Тейлора функции T. Из последних двух неравенств получаем, что max f t) P n t) < ε 0 t π + ε = ε, или возвращаясь к переменной x) max a x b fx) P n π x a ) < ε. b a Теорема доказана. Теорему 4.3 можно переформулировать следующим образом:

22 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция является равномерным пределом некоторой последовательности алгебраических многочленов. 5. Почленное дифференцирование тригонометрических рядов. Скорость стремления к нулю коэффициентов и остатка ряда Фурье Теорема 5.1. Пусть π-периодическая функция f непрерывна и кусочно-непрерывно дифференцируема и пусть fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx ее разложение в ряд Фурье. Тогда f x) ka k sin kx + kb k cos kx, т.е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье функции почленным дифференцированием. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f x) α 0 + α k cos kx + β k sin kx. Тогда, интегрируя по частям, получим α k = 1 π β k = 1 π α 0 = 1 π f x) cos kx dx = f x) dx = 1 [fπ) f)] = 0, π = 1 π fx) cos kx π f x) sin kx dx = = 1 π fx) sin kx π + k π k π fx) sin kx dx = kb k, fx) cos kx dx = ka k.

23 5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 3 Лемма 5.1. Пусть π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m 1 включительно и кусочно-непрерывную производную порядка m N. Тогда для коэффициентов Фурье функции f выполняются оценки ) 1 a k + b k = o k m при k. 5.1) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m 1 и f m) x) α k cos kx + β k sin kx. Применяя m раз теорему 5.1, получаем, что α k + β k = k m a k + b k ), k N 0. Поскольку α k, β k 0 k ) по лемме о стремлении к нулю коэффициентов Фурье, из последнего равенства получаем 5.1). Лемма 5.1 показывает, что коэффициенты Фурье функции f тем быстрее стремятся к нулю, чем лучше дифференциальные свойства функции f. Утверждение леммы 5.1 можно несколько усилить, если использовать неравенства Бесселя для кусочно-непрерывных πпериодических функций: a 0 + a k + b k ) 1 π f x) dx. 5.) Это неравенство будет установлено ниже. Применяя 5.) к производной f m), получаем, что в условиях леммы 5.1 k m a k + b k ) 1 f m) x)) dx <. π Установим оценки скорости приближения функции ее суммами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств функции. Изучим для этого характер сходимости ряда, сопряжен-

24 4 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье ного с рядом Фурье π-периодической непрерывной и кусочнонепрерывно дифференцируемой функции f, т.е. ряда Sx; f) a k sin kx b k cos kx, 5.3) где a k, b k коэффициенты Фурье функции f. Сопряженным ядром Дирихле называется D n x) = n cos x n cos + 1 sin kx = sin x ) x Последнее равенство устанавливается так же, как 1.5). же, как 1.8) устанавливается, что частичную сумму n S n x; f) = a k sin kx b k cos kx ряда 5.3) можно представить в виде S n x; f) = где 0. Так D n t)[fx + t) fx t)] dt = = 1 h x t) cos n + 1 ) ) t dt + π fx), 0 fx + t) fx t) h x t) sin t, fx) 1 fx + t) fx t) π 0 tg t dt. Лемма 5.. Пусть π-периодическая функция f непрерывна и кусочно-непрерывно дифференцируема, a k, b k ее коэффициенты Фурье. Тогда при некотором C > 0 и n sup a k sin kx b k cos kx C ln n n. 5.4) x R n+1

25 5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 5 Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим M 1 max R f. С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем fx + t) fx t) M 1 t, 0 < t π, откуда следует, в частности, что fx) существует для каждого x как интеграл от непрерывной на 0, π] и ограниченной функции). Оценим fx) S n x; f) = 1 h x t) cos n + 1 ) t dt, π используя оценки h x t) πm 1, d dt h xt) f x + t) + f 1 x t) sin t + 0 cos t + fx + h) fx h) 4 sin t πm 1 t + π M 1 t π M 1 t. Так же, как при доказательстве теоремы 1. получаем sup fx) S n x; f) C ln n x R n n откуда следует 5.4). при n, Теорема 5.. Пусть при m N π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m 1 включительно и кусочно-непрерывную производную f m). Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и max x R fx) S nx; f) = O ln n n m ) = = o 1 ) n m ε при n и ε > 0.

26 6 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай m = 1 совпадает с теоремой 3.1. Пусть ϕ f m 1) и α k, β k коэффициенты Фурье функции ϕ. По теореме 3.1 sup α k cos kx + β k sin kx C ln n n. 5.5) n x R Пусть a k, b k коэффициенты Фурье функции f. Пусть сначала m 1 четно. Тогда в силу m 1 раз примененной теоремы 5.1 при x R имеем r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k cos kx + β k sin kx). Применим к последнему ряду преобразование Абеля, учитывая сходимость ряда α k cos kx + β k sin kx и оценку установленные в случае m = 1 данной теоремы) sup α k cos kx + β k sin kx C ln n n. Получим r n x; f) = x R j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1 α j cos jx + β j sin jx ) C ln n n и 5.5) в этом случае установлено. = C ln n n 1 k + 1) m 1 1 k m 1 = 1 ln n C n + 1) m 1 n m,

27 5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 7 Пусть теперь m 1 нечетно. Тогда r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k sin kx β k cos kx). Ряд α k sin kx β k cos kx сходится по лемме 5.. Применяя преобразование Абеля и оценку 5.5), получим, что r n x; f) = α j sin jx β j cos jx j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1 ) C ln n n 1 ln n C n + 1) m 1 n m, и теорема доказана. Теорема 5. показывает, что чем больше производных имеет функция f, тем с большей скоростью сходится ее ряд Фурье. З а м е ч а н и е. Лемму 5.1 и теорему 5. можно переформулировать для функции f, заданной лишь на отрезке [, π], добавив условия в концах отрезка, гарантирующие выполнение для ее π-периодического продолжения условий соответственно леммы 5.1 и теоремы 5.. Именно, следует для функции f: [, π] R считать выполненными следующие дополнительные условия на односторонние производные: f j) ) = f j) π) при j = 0, 1,..., m 1. При соответствующей переформулировке теоремы 3.1 и теоремы 5.1 для функции f: [, π] R следует считать выполненным равенство f) = fπ). Наряду с теоремой 5. установим и другую теорему 5., хотя и менее сильную, но также указывающую на связь между диф-

28 8 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье ференциальными свойствами π-периодической функции и скоростью сходимости ее ряда Фурье. Доказательство теоремы 5. в отличие от теоремы 5. опирается не на анализ сходимости сопряженного с рядом Фурье ряда, а на неравенство Бесселя 5.), которое будет предварительно установлено. Читатель может по своему усмотрению ограничиться изучением одной из этих двух теорем. Лемма 5.3. Пусть f π-периодическая и кусочно-непрерывная функция, a k, b k ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо неравенство Бесселя 5.). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала f является π-периодической непрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируемой функцией. По теореме 5., она раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье: fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx. 5.6) Домножим равенство 5.6) почленно на fx) и проинтегрируем полученный ряд также равномерно сходящийся) почленно. Получим в силу формул 1.) для коэффициентов Фурье равенство a 0 + a k + b k ) = 1 π f x) dx, 5.7) следствием которого является.) Равенство Парсеваля 5.7) и неравенство Бесселя 5.) будут позднее распространены на функции f со значительно более общими свойствами. Пусть теперь функция f удовлетворяет условиям леммы и Λ J : R R π-периодическая непрерывная функция, кусочно линейная на [, π], построенная при доказательстве теоремы Вейерштрасса 4.1 график Λ J представляет собой вписанную в

29 5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 9 график f ломаную). Обозначим через a k f), b k f) коэффициенты Фурье функции f. Из 5.) следует неравенство a 0 Λ J) n + a k Λ J) + b k Λ J)) 1 π Λ Jx) dx n N. 5.8) Пусть n N фиксировано, а J. Тогда, как легко видеть, a k Λ J ) a k f), b k Λ J ) b k f), Λ Jx) dx f x) dx. Переходя к пределу в неравенстве 5.5), получаем, что a 0 f) n + a k f) + b k f)) 1 f x) dx. π Переходя в последнем неравенстве к пределу при n, приходим к утверждению леммы. Теорема 5.. Пусть при m N π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m 1 включительно и кусочно-непрерывную производную f m). Тогда ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на R и ) 1 max fx) S nx; f) = o при n. 5.9) x R n m 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Равномерная сходимость к функции f ее ряда Фурье установлена в теореме 3.1. Оценим остаток ее ряда Фурье. r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx a k + b k ) α k + β k ) 1 k m,

30 30 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье где α k, β k коэффициенты Фурье функции f m), а последнее неравенство получено m-кратным применением теоремы 5.1. В силу неравенства Коши Шварца N α k + β k ) 1 k m N α k + β k ) N 1 k m. Предельный переход в последнем неравенстве при N показывает, что оно остается верным, если в нем вместо N поставить. Используя его, получаем, что r n x; f) αk + β k ) 1 k m = = ε n 1, 5.10) km причем ε n 0 n ) в силу сходимости ряда αk + + βk ), вытекающей из неравенства Бесселя для функции f m) см. лемму 5.3). Заметим, что 1 k m m dx x m dx x m = 1 m 1)n m 1. k 1 Отсюда и из 5.10) следует 5.9). Заключительное замечание В этом пособии не рассмотрены вопросы почленного интегрирования рядов Фурье, рядов Фурье l-периодических функций и комплексной формы рядов Фурье. Стандартное изложение этих вопросов можно найти во многих учебниках. Мы не коснулись также вопросов сходимости рядов Фурье в смысле среднего квадратичного, в которых в полной мере про- n

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

7 Тригонометрические ряды Фурье

7 Тригонометрические ряды Фурье 35 7 Тригонометрические ряды Фурье Ряды Фурье для периодических функций с периодом T. Пусть f(x) - кусочно - непрерывная периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основную тригонометрическую систему

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C,

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C, Ряды Фурье Ортогональные системы функций С точки зрения алгебры равенство где - функции данного класса а - коэффициенты из R или C попросту означает что вектор является линейной комбинацией векторов В

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0 Ряды Лорана Более общим типом степенных рядов являются ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные степени z z 0. Как и ряды Тейлора, они играют важную роль в теории аналитических функций.

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме.

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа Математический анализ Методические указания Ярославль Составители: МВ Ануфриенко

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа # январь Кандаурова И Е УДК: 57 Россия МГТУ им НЭ Баумана hadaur@gyrplaru Введение Классический курс математического анализа

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

FOURIER SERIES. å. à. Çàòàä M. I. VISHIK

FOURIER SERIES. å. à. Çàòàä M. I. VISHIK FOURIER SERIES M I VISHIK Represetatio of ay periodic fuctio as a sum of correspodig trigoometric series, kow as its Fourier series expasio, is discussed Parseval equatio is preseted: itegral of a squared

Подробнее

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 16 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Дальневосточный математический журнал. 214. Том 14. 2. C. 231 241 УДК 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции.

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции. ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом " > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. < " при x > x 0. (17.1)

17. Дополнения. Доказательство. Зададимся числом  > 0. Покажем для начала, что существует такое x 0, что. <  при x > x 0. (17.1) 17. Дополнения На этой сокращенной лекции последней лекции первого семестра мы осветим два вопроса, на которые не хватило времени в прошлый раз. Мы видели, что для раскрытия неопределенности вида 0=0,

Подробнее

М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций

М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций 009 М. С. Семчёнок, Е. Н. Бегун, В. А. Власьева, В. Г. Галкина Математика Конспект лекций Часть третья Конспект вёл А. Димент СПбГУКиТ, ФАВТ, гр. 7 ГЛАВА 0. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 0.. ПОНЯТИЕ О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 29 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Ряды аналитических функций

Ряды аналитических функций Лекция 6 Ряды аналитических функций 6.1 Функциональные последовательности Пусть D C и f n : D C. Последовательность функций {f n } сходится поточечно (converges pointwise) к функции f : D C если для каждого

Подробнее

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Глава. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.. Сравнение поведения функций. О-символика В этой, вводной, главе будет обсуждаться сравнительное поведение функций, а также асимптотическое

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

Тема: Тригонометрические ряды Фурье

Тема: Тригонометрические ряды Фурье Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Тригонометрические ряды Фурье Лектор Рожкова С.В. 013 г. 38. Тригонометрические ряды Фурье 1. Разложение функции в тригонометрический

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. 7. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке длины 2я... 28

ОГЛАВЛЕНИЕ. 7. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке длины 2я... 28 Предисловие к первому изданию... 8 Предисловие ко второму изданию... 10 Глава 1. Тригонометрические ряды Ф урье... 11 1. Периодические функции... 11 2. Гармоники... 13 3. Тригонометрические многочлены

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора

15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора 15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора Начнем эту лекцию с того, что введем два часто используемых в анализе обозначения. Именно: пусть f и g две функции переменной x, обе стремящиеся к

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

Лектор проф. В. С. Белоносов. 3-й семестр. 1. Теорема о неявных функциях и ее приложения

Лектор проф. В. С. Белоносов. 3-й семестр. 1. Теорема о неявных функциях и ее приложения МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лектор проф. В. С. Белоносов 3-й семестр 1. Теорема о неявных функциях и ее приложения 1.1. Частные производные высоких порядков. Условия равенства смешанных производных. 1.2. Дифференциалы

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 11 (об интегрируемости кусочно непрерывной функции) «3» Пример (гармонический ряд расходится) «3» Пример ( 1/n 2 сходится) «3» Теорема 6 (интегральный

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ НТ Левашова, НЕ Шапкина НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Пособие для студентов II курса

Подробнее

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л 1. Функции ограниченной вариации образуют линейное

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

k называется рядом Лорана. Здесь k, z

k называется рядом Лорана. Здесь k, z Практическое занятие 6 Ряды Тейлора и Лорана 6 Ряд Тейлора 6 Ряд Лорана 6 Ряд Тейлора Т е о р е м а ( Т е й л о р а ) Функция однозначная и аналитическая в круге R единственным образом разлагается в этом

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Семинар по теме Интегралы с параметрами

Семинар по теме Интегралы с параметрами Семинар по теме Интегралы с параметрами апреля 6 г. Бета-функция Эйлера Порой приходится иметь дело с интегралами вида: B(p, q) = t p ( t) q dt или интегралами, которые сводятся к интегралам такого вида

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание)

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л1. Функции ограниченной вариации образуют линейное пространство.

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

Белорусский национальный технический университет Факультет информационных технологий и робототехники Кафедра высшей математики 1

Белорусский национальный технический университет Факультет информационных технологий и робототехники Кафедра высшей математики 1 Белорусский национальный технический университет Факультет информационных технологий и робототехники Кафедра высшей математики СОГЛАСОВАНО СОГЛАСОВАНО Заведующая кафедрой Декан факультета Катковская И

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ. по образовательной программе высшего образования. программе подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ. по образовательной программе высшего образования. программе подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ по образовательной программе высшего образования программе подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре ФГБОУ ВО «Орловский государственный университет имени

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Лекция Последовательности комплексных чисел

Лекция Последовательности комплексных чисел Лекция 2 2.1 Последовательности комплексных чисел Комплексное число a называется пределом последовательности комплексных чисел {z n }, если для любого числа ε > 0 найдется такой номер n 0 n 0 (ε), что

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Подробнее