Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Равномерная непрерывность функций одной переменной."

Транскрипт

1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной. Пособие для студентов I курса Москва 00

2 В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной. Пособие предназначено для студентов курса физического факультета МГУ, изучающих курс математического анализа в I семестре. В нем приведены основные определения и доказан ряд утверждений, касающихся свойства равномерной непрерывности функций одной переменной. Все утверждения проиллюстрированы примерами решения задач, а также приведены задачи для самостоятельного решения. Материал соответствует курсу лекций по математическому анализу, который читается в -3 семестрах физического факультета.

3 Определение. Числовое множество X называется всюду плотным, если любая окрестность каждой точки множества, содержит точки множества X, отличные от этой точки. Отметим, что любой промежуток является всюду плотным множеством. Рассмотрим функцию f ( ), определенную на некотором всюду плотном множестве X. Определение. Функция f ( ) называется равномерно непрерывной на множестве X, если " > 0 $ > 0, такое что ", Î X, удовлетворяющих условию - <, выполняется неравенство ( ) ( ) f - f <. Замечание. Равномерная непрерывность это свойство функции, рассматриваемое на множестве точек, а не в отдельных точках. Замечание. Если в определении равномерной непрерывности зафиксировать точку, то получится определение непрерывности функции f ( ) в точке. Таким образом, из равномерной непрерывности функции f ( ) на множестве X следует её непрерывность в каждой точке этого множества. Замечание 3. Из непрерывности функции f ( ) на множестве X не следует её равномерная непрерывность на этом множестве. Примеры будут рассмотрены ниже. Геометрическая интерпретация равномерной непрерывности функции. Если функция y = f ( ) y равномерно непрерывна на X, то " > 0 $ () > 0, такое, что прямоугольник со сторонами () y f и ε, параллельными осям O и Oy, можно так переместить вдоль графика этой функции, сохраняя параллельность сторон осям координат, что график не будет пересекать сторон прямоугольника, параллельных оси O, а будет пересекать лишь стороны, параллельные оси Oy. Рассмотрим несколько примеров, где равномерная непрерывность функции устанавливается на основе определения. Пример. Цех завода вырабатывает квадратные пластинки, стороны которых могут принимать значения в пределах от до 0 см. С каким допуском можно обрабатывать стороны этих пластинок, чтобы независимо от их длины (в указанных границах) площадь их отличалась от проектной меньше, чем на 0.0см? Решение. Допуском называется величина предельно допустимого отклонения размеров детали от нормы. Обозначим допуск буквой (см) и рассмотрим площадь пластинки S(см ) как функцию длины l стороны пластинки: S( l) = l, l Î [ ;0]. Наша цель по заданному = 0.0 подобрать, такое, чтобы " l, l Î [ ;0], таких что l - l < выполнялось неравенство S( l) - S( l) <. Так как S( l )- S( l ) = l - l = l -l l + l < при условии, что 0 l - l <, то неравенство S( l) - S( l) < 0, 0 будет выполнено, если взять = (см).

4 Пример. Функция y = является равномерно непрерывной на всей числовой прямой, поскольку взяв любое значение > 0 и положив =, получим, что ", Î из неравенства - < следует y ( )- y ( ) = - < =. Задача. Докажите с помощью определения, что функция f () = sinравномерно непрерывна на (-, Пример 3. Покажем, что функция y = является равномерно непрерывной на полупрямой ³. Возьмем любое > 0 и подберем для него значение (), такое, чтобы ", Î [ ; + ), удовлетворяющих неравенству - <, выполнялось - - неравенство - <. Поскольку - = <, то при - < для выполнения неравенства - < достаточно взять =. Задача. Докажите с помощью определения, что функция f ( ) = равномерно непрерывна на ( 0, ). Выше было показано, что функция y = является равномерно непрерывной на полупрямой [ ; Однако, функция y = не является равномерно непрерывной на интервале ( 0; ). Для того, чтобы доказать это, построим отрицание к определению равномерной непрерывности. Функция f ( ) не является равномерно непрерывной на промежутке X, если $ > 0, такое, что для любого сколь угодно малого положительного числа δ найдутся точки, Î X такие, что - <, но ( ) ( ) f - f ³. Пример 4. Рассмотрим функцию y = при Î ( 0;). Воспользуемся отрицанием к определению равномерной непрерывности. Возьмем = и любое Î ( 0;). Подберем такие значения, Î ( 0;), чтобы выполнялись неравенства - < и - >. Для этого положим = <, =. Тогда, Î ( 0;), = <, при этом - = - = > =. Таким образом, ( + ) функция y = не является равномерно непрерывной на интервале Î ( 0;). Пример 5. Покажем, что функция y = не является равномерно непрерывной на всей числовой прямой. Возьмем = и любое положительное число δ. Положим

5 =, = +. Тогда - = <, а æ ö ( ) -( ) = - ç + = + > =. çè ø 4 Это и означает, что функция y = не является равномерно непрерывной на всей числовой прямой. Задача. Докажите с помощью отрицания к определению равномерной непрерывности, что функция f ( ) = sin не является равномерно непрерывной функцией на ( 0; ). Пример 6. Докажем с помощью отрицания к определению равномерной непрерывности, что функция f ( ) = sin не является равномерно непрерывной функцией на (- ; Решение. Возьмем = и любое > 0. Положим = pn, = pn +, n Î, Тогда при достаточно большом n имеем: pn f - f = sin - sin = ( ) ( ) æ ö æ ö = pn sin pn ç pnsin( pn) = è pn ø çè pn ø - = <, pn æ ö æ ö æ ö æ ö = pn sin pnsin sin ç + = + > è pn ø çèpnø è çpnø pn çèpnø æ ö > pn sinç > = çè pn ø sin Здесь мы воспользовались тем, что lim ( pn) sin = lim pn =, откуда n pn n pn следует, что при достаточно большом n справедливо неравенство pn sin p n >. Полученные неравенства доказывают, что функция f ( ) = sin не является равномерно непрерывной функцией на (- ; Исследование равномерной непрерывности с помощью определения бывает достаточно трудоемким, поэтому далее будут сформулированы достаточные, а в некоторых случаях и необходимые, условия равномерной непрерывности функции. Утверждение. (Теорема Кантора). Непрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на этом сегменте. Доказательство. Пусть f ( ) непрерывна на [ ab. ; ] Предположим, что f ( ) не является равномерно непрерывной на [ ab. ; ] Тогда $ > 0, такое что " > 0 $, Î [ a; b], для которых - <, но ( ) ( ) f - f ³. Возьмем последовательность { n} 0, n > 0 (например, n = ). n 3

6 Согласно нашему предположению, " $, Î [ a; b], для которых n - n < n, но ( ) ( ) f - f ³. n n n n n Рассмотрим последовательность { n }. Она ограничена, и поэтому по теореме Больцано-Вейерштрасса из неё можно выделить подпоследовательность { n k }, сходящуюся к некоторой точке с Î [ ab, ]. В силу того, что n - n < n и n 0, имеем: c при nk. По условию f ( ) непрерывна в точке с, поэтому nk ( ) f () c, f ( ) f () c f n k при k n k n, и, значит, f ( n ) f ( n ) 4 lim - = 0. nk С другой стороны, в силу неравенства ( n) ( n) ( n )- ( n ) ³, откуда следует, что ( n ) ( n ) f f k k противоречие доказывает теорему. k f - f ³ получаем, что lim f - f ³ > 0. Полученное nk Очевидно, что с помощью этой теоремы вопрос о равномерной непрерывности функции на сегменте сводится к вопросу о непрерывности функции на этом сегменте. Утверждение. (О связи равномерной непрерывности функции на интервале и на отрезке). Функция f ( ) равномерно непрерывна на интервале ( ab ; ) тогда и только тогда, когда существует непрерывная на сегменте [ ab ; ] функция g( ), совпадающая с f ( ) на интервале ( ab ; ). Доказательство: Достаточность. Пусть существует функция g( ), непрерывная на [ ab ; ] и совпадающая с функцией f () на интервале ( ab ; ). По теореме Кантора g( ) является равномерно непрерывной на сегменте [ ab, ; ] а, значит, и на интервале ( ab ; ), что следует непосредственно из определения равномерной непрерывности. А поскольку функция g( ) совпадает на ( ab ; ) с f ( ), то f ( ) равномерно непрерывна на ( ab ; ). Необходимость. Пусть a < b и функция f ( ) равномерно непрерывна на интервале ( ab ; ). Покажем, что при этих условиях существует lim f ( ). Возьмем произвольное k a+ 0 > 0. По определению равномерной непрерывности $ > 0, такое что ", Î ( a; b), удовлетворяющих условию - <, выполняется неравенство ( ) ( ) f - f <. Выберем точки, таким образом, чтобы 0 < - a < ; 0 < - a <. Очевидно, что в этом случае - <, и, значит, ( ) ( ) f - f <. Таким образом, функция f ( ) удовлетворяет условию Коши в точке = a справа. Значит, $ lim f ( ) [см. Ильин Позняк I часть, гл.8, ]. a+ 0 Обозначим этот предел буквой A. Точно так же можно показать, что $ lim f ( ) = B. k k - b 0 ìï A, = a; Введем функцию g( ) = ï íf ( ), Î( a; b) ; Функция g () определена на сегменте ï B, = b. ïî [ ab, ; ] непрерывна на этом сегменте и совпадает с функцией f ( ) на интервале ( ab, ). Утверждение доказано.

7 sin Пример 7. Исследуем на равномерную непрерывность функцию f ( ) = на интервале ( 0; ). Поскольку на отрезке [ 0; ] существует непрерывная функция ìï sin, ¹ 0 g( ) = ï í, которая совпадает с f ( ) на интервале ( 0; ), то, согласно ïï, = 0 ïî утверждению, функция f ( ) является равномерно непрерывной на интервале ( 0; ). Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность функцию f ( ) = - на ( 0; ). Утверждение 3. Пусть функция f ( ) равномерно непрерывна на каждом из сегментов [ ac ; ] и [ cb ; ], где a < c < b. Тогда она равномерно непрерывна на сегменте [ ab. ; ] Возьмем любое число > 0. Поскольку функция f ( ) является равномерно непрерывной на сегменте [ ac, ; ] то $ > 0, такое, что для любых, Î [ a; c], удовлетворяющих неравенству - <, выполняется неравенство f ( )- f ( ) <. Точно так же $ > 0, такое, что для любых, Î [ c; b], удовлетворяющих неравенству - <, выполняется неравенство f ( )- f ( ) <. Пусть теперь Î [ a; c], Î [ c; b] и - < = min (, ). Тогда c, c - < - <, поэтому f () c f ( ) f ( ) f () c ( ) ( ) ( ) () () ( ) f - f = f - f c + f c - f откуда следует, что f - f c + f c - f < ( ) () () ( ) - < ; - <, Таким образом, для произвольного > 0 мы указали такое, что если, Î [ a; b] - <, то ( ) ( ) и непрерывна на всем сегменте [ ab. ; ] f - f <, а это и означает что функция f ( ) равномерно Замечание. В утверждении 3 можно заменить условие равномерной непрерывности f ( ) на сегментах [ ac ; ] и [ cb ; ] на условие непрерывности функции на этих сегментах. Замечание. Утверждение 3 справедливо и для сегментов, имеющих более одной общей точки (перекрывающихся). Замечание 3. В формулировке утверждения 3 можно заменить один или оба сегмента на полубесконечные промежутки. Так, например, утверждение 3 справедливо для объединения промежутков [ bc ; ] и [ c ; + ). Замечание 4. Для объединения двух интервалов аналогичное утверждение, вообще говоря, не имеет места. 5

8 sin Пример 8. Покажем, что функция f ( ) = равномерно непрерывна на интервалах I = (- < < 0) и I = ( 0< < ), но не является равномерно непрерывной на множестве I I, являющемся объединением этих интервалов. Решение. Заметим, что множество X = I I является всюду плотным, хотя точка = 0 и не принадлежит указанному множеству. sin Равномерная непрерывность функции f ( ) = на интервалах I = (- < < 0) и I = ( 0< < ) следует из утверждения (см. пример 7), а отсутствие равномерной непрерывности функции f ( ) на множестве X можно sin sin усмотреть из следующих рассуждений. Поскольку lim = lim =, а sin sin lim =- lim =-, то взяв = и любое > 0, можно выбрать точки -0-0 и, лежащие по разные стороны от нуля, так что будет выполнено неравенство - <, а разность значений функции в этих точках будет сколь угодно близко к, и, следовательно, больше =. Это и означает, что f ( ) не является равномерно непрерывной на множестве X. Утверждение 4. Если функция f ( ) определена и непрерывна на [ a ; + ) и существует предел lim f ( ) = c, то функция f ( ) равномерно непрерывна на [ a ; + Доказательство. Зададим произвольное > 0 Из условия lim f ( ) = c следует, + что " > 0 $ A= A() > 0, такое, что " ³ A выполняется неравенство f ( ) - c <. Поэтому для любых значений,, удовлетворяющих условиям 4 ³ A, ³ A, выполнено неравенство ( ) f ( ) f - = = f -c- f + c f - c + f - c < ( ) ( ) ( ) ( ). Итак, - <, если ³ A, ³ A. () ( ) f ( ) f На отрезке [ aa ; ] непрерывная функция f ( ) является равномерно непрерывной согласно теореме Кантора. Поэтому для заданного найдется > 0, такое, что f ( )- f ( ) <, если, Î [ a, A] и - < () Пусть теперь A, ³ A и - <. Тогда A- <, - A< и, следовательно, в силу () и () получаем: f ( )- f ( ) f ( )- f ( A) + f ( A) - f ( ) < + =. (3) 6

9 Из (), () и (3) следует, что ", Î [ a, + ), удовлетворяющих условию - <, выполнено неравенство ( ) ( ) f ( ) равномерно непрерывна на [, ) a +. f - f <, а это и означает, что функция Пример 9. Покажем, что функция f ( ) = - равномерно непрерывна на промежутке [ 0; Действительно, эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси, а также lim - = 0. Следовательно, согласно утверждению 4, эта + функция равномерно непрерывна на [ 0; Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность функцию f ( ) = tg на [ ; Утверждение 5. Если функция f ( ) определена и непрерывна на (- ; + ) и $ lim f ( ) = c, а также $ lim f ( ) =, то функция f ( ) равномерно + непрерывна на (- ; =- Доказательство аналогично доказательству утверждения 4. Пример 0. Докажем, что функция f ( ) = arctg равномерно непрерывна на всей числовой прямой. Действительно, эта функция определена и непрерывна на всей p p числовой прямой, а также $ lim arctg = и $ lim arctg =-. Следовательно, + - согласно утверждению 5, эта функция равномерно непрерывна на всей числовой прямой. Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность на всей числовой прямой функцию f ( ) = -. Утверждение 6. Пусть ограниченная монотонная функция f ( ) непрерывна на интервале (на всей числовой прямой). Тогда f ( ) равномерно непрерывна на этом промежутке. Доказательство. Рассмотрим сначала случай интервала. Пусть a < b и ограниченная монотонная функция f ( ) непрерывна на интервале ( ab, ). Тогда, в силу монотонности и ограниченности функции $ lim f ( ) = A и $ lim f ( ) = B. ìï A, = a; Положим g( ) = ï íf ( ), Î( a; b) ; ï B, = b. ïî 7 a+ 0 - b 0 Тогда функция g( ), определенная на сегменте [ ab, ; ] непрерывна на этом сегменте и совпадает с f ( ) на интервале ( ab ; ). Согласно утверждению, функция f ( ) равномерно непрерывна на интервале ( ab ; ). Пусть теперь монотонная ограниченная непрерывная функция f ( ) задана на всей числовой прямой (- ; Тогда существуют lim f ( ) и lim f ( ), следовательно, - + согласно утверждению5, функция f ( ) является равномерно непрерывной на (- ;

10 Задача. Докажите, что непрерывная, монотонная и ограниченная на полубесконечном промежутке функция f ( ) равномерно непрерывна на этом промежутке. Задача. Докажите, что функция f ( ) = arccos является равномерно непрерывной на (- ;), пользуясь монотонностью функции f ( ). Задача. Докажите, что функция f ( ) = arcsh является равномерно непрерывной на (- ;). Совет. Учтите, что функция f ( ) = arcsh является обратной по отношению к непрерывной монотонной функции g( ) = sh, а значит, и сама является непрерывной монотонной функцией. Утверждение 7. Если функция f ( ) определена, но не ограничена в любой проколотой окрестности точки 0, то она не является равномерно непрерывной ни в какой проколотой окрестности этой точки. Доказательство. Рассмотрим произвольную проколотую окрестность точки 0 (обозначим ее w ) и возьмем =. Пусть > 0 произвольное число, столь малое, что проколотая -окрестность точки 0 (обозначим ее w /) содержится в w. Очевидно, что расстояние между любыми двумя точками из w / меньше. Выберем какую-нибудь точку из w /. В силу неограниченности функции f ( ) в w / найдется точка, такая, что f ( ) f ( ) при этом ( ) ( ) > +. Таким образом, - <, но f ( )- f ³ f ( ) - f > =, что и означает отсутствие равномерной непрерывности функции f ( ) в проколотой окрестности w. Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность функцию f ( ) = ctg на (- ;). Утверждение 8. Если функция f ( ) имеет на промежутке X ограниченную производную, то f ( ) равномерно непрерывна на этом промежутке. Доказательство: Ограниченность производной функции f ( ) на промежуткеx означает, что существует такое число M > 0, для которого f ( ) < M " Î X. Зададим произвольное число > 0 и положим =. Рассмотрим любые две M точки, Î X, удовлетворяющие условию - <. Заметим, что для функции f ( ) на отрезке ; é ù ë û выполнены все условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется ; f - f = f - < M = M =. M такая точка Î ( ), что ( ) ( ) ( ) Согласно определению равномерной непрерывности функция f ( ) равномерно непрерывной на промежутке X. 8 является Пример. Исследуем функцию f ( ) = - на равномерную непрерывность на - интервале ( 0; ). Производная f ( ) = ограничена на интервале ( 0; ),

11 поскольку она положительна, а её максимальное значение на интервале ( 0; ) 4 достигается в точке = и равно. Отметим, что - lim = 0. Таким образом, 0 4 всюду на указанном интервале 0 < f ( ). Согласно утверждению 8, функция f ( ) = - равномерно непрерывна на интервале ( 0; ). Пример. Исследуем функцию f ( ) = на равномерную непрерывность на полупрямой [ 0; Решение. Сначала рассмотрим промежуток [ ; На этом промежутке функция f ( ) = имеет ограниченную производную: f ( ) =. Согласно утверждению 8 функция f ( ) = является равномерно непрерывной на промежутке Î [ ; + ). Пусть теперь Î [ 0;]. На этом сегменте, функция f ( ) = является равномерно непрерывной по теореме Кантора. Отсюда следует (в силу утверждения 3 и замечания 3 к утверждению 3), что функция f ( ) = является равномерно непрерывной на объединении множеств [ 0; ] и [ ; + ), то есть на полупрямой [ 0; Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность на ( ; + ) функцию f ( ) = ln. Утверждение 9. Пусть функция y = f ( ) определена и непрерывна на промежутке [ a; + ), a > 0 и её график имеет наклонную асимптоту при +. Тогда f ( ) равномерно непрерывна на указанном промежутке. Доказательство. По условию у графика функции y = f ( ) существует наклонная асимптота при +, поэтому функцию f ( ) можно представить в виде f ( ) = k + b + a( ), где k и b числа, a( ) 0 при +. Если k = 0, то $ lim f ( ) = b и, следовательно, функция f ( ) равномерно + непрерывна на промежутке [ a ; + ) в силу утверждения 4. Пусть k ¹ 0. Зададим произвольное > 0. Так как a( ) 0 при +, то $ A= A(), такое что a ( ) < при ³ A. Положим = и рассмотрим любые 8 4 k и, удовлетворяющие условиям ³ A, ³ A, - <. Для таких и имеем f ( )- f ( ) = k( - ) + a( )- a( ) Итак, k - + a( ) + a( ) < k + + = k + = k 4 f ( )- f ( ) <, если ³ A, ³ A, - <. (4) На сегменте [ aa, ] функция f ( ) является равномерно непрерывной согласно теореме Кантора. Поэтому для заданного найдется > 0, такое что 9

12 f ( )- f ( ) <, если, Î [ a, A] и - <. (5) Положим = min (, ) и возьмем любые и, удовлетворяющие условиям A, ³ A, - <. Тогда, используя (4) и (5), получим (аналогично тому, как было получено неравенство (3) на основе () и ()): ( ) ( ) f - f < (6) Из (4), (5) и (6) следует, что ", Î [ a, + ), удовлетворяющих условию - <, выполняется неравенство ( ) ( ) функция f ( ) равномерно непрерывна на [ a ; f - f <, а это и означает, что Пример 3. Исследуем на равномерную непрерывность функцию f ( ) = - + на [ a; + ), a > 0. + Решение. Так как a ( ) = 0 при +, то у графика функции + y = f ( ) существует наклонная асимптота при + : y = -. Поэтому, согласно утверждению 9, функция f ( ) = - + равномерно непрерывна на + [ a ; 4 Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность функцию f ( ) = 3 на ( + ) [ a; + ), a > 0. Утверждение 0. Пусть функция f ( ) непрерывна на всей числовой прямой и периодична с периодом T. Тогда функция f ( ) равномерно непрерывна на всей числовой прямой. Доказательство. По условию функция f ( ) непрерывна на всей числовой прямой. Выберем отрезок [ 0;T ]. Согласно теореме Кантора функция f ( ) является равномерно непрерывной на этом отрезке. Значит, " > 0 $ > 0 такое, что для любых, Î [ 0;T] из неравенства - < следует ( ) ( ) f - f <. Рассмотрим теперь любые две точки,, связанные соотношением - <. Возможны два варианта. [ ] ) Точки, лежат в пределах одного отрезка kt; ( k + ) T, k Î. [ ] ) Точки, лежат на соседних отрезках: Î kt; ( k + ) T, Î [( k + ) T; ( k + ) T], k Î. Как в первом, так и во втором случае, -kt, -kt Î [ 0;T], и при этом ( -kt)-( - kt) <, поэтому ( ) ( ) ( ) ( ) f - f = f -kt -f - kt <, а это и означает, что функция ( ) f является равномерно непрерывной на всей числовой прямой. 0

13 Пример 4. Исследуйте на равномерную непрерывность на всей числовой прямой функцию f ( ) = sin. Решение. Функция f ( ) является непрерывной на множестве (- ; + ) и периодической с периодом p, а значит, согласно утверждению 0, она равномерно непрерывна на этом множестве. Задача. Докажите, что функция f ( ) = sin - cos является равномерно непрерывной на промежутке (- ; Утверждение. Равномерно непрерывная на ограниченном промежутке функция ограничена на этом промежутке. Доказательство. В случае сегмента ограниченность функции следует непосредственно из непрерывности равномерно непрерывной функции и -й теоремы Вейерштрасса. Пусть теперь функция f ( ) является равномерно непрерывной на интервале ( ab ; ). Тогда, согласно утверждению, существует непрерывная на отрезке [ ab ; ] функция g( ), совпадающая с f ( ) на интервале ( ab ; ). Согласно -й теореме Вейерштрасса, функция g( ) ограничена на отрезке [ ab, ; ] а, значит, и на интервале ( ab ; ), то есть функция f ( ) является ограниченной на интервале ( ab ; ). Замечание. Функция, равномерно непрерывная на неограниченном промежутке, может быть неограниченной на этом промежутке (см. пример ). Утверждение. Сумма и произведение двух равномерно непрерывных на ограниченном промежутке функций равномерно непрерывны на этом промежутке. Докажем утверждение для произведения функций. (Доказательство для суммы предлагается провести самостоятельно в качестве упражнения). Пусть функции f ( ) и g( ) равномерно непрерывны на ограниченном промежутке X. Тогда, согласно утверждению, эти функции ограничены на рассматриваемом промежутке, то есть существуют числа M и M, такие что f ( ) < M ( ), g < M, " Î X. Согласно определению равномерной непрерывности, " > 0 $ > 0, такое, что ", Î X, удовлетворяющих условию - <, верно неравенство f ( )- f ( ) < ; M $ > 0, такое, что ", Î X, удовлетворяющих условию - <, верно g - g <. M неравенство ( ) ( ) Выберем = min (, ). Тогда ", Î X, удовлетворяющих условию - <, получаем ( ) ( ) ( ) ( ) f g - f g = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = f g - f g + f g - f g ( f ( ) f ( )) g( ) ( g( ) g( )) f ( ) g( ) + f ( ) < M + M =, M M M M

14 а это и доказывает равномерную непрерывность произведения f ( ) g( ) на промежутке X. Замечание. На неограниченном множестве утверждение, аналогичное утверждению для суммы равномерно непрерывных функций, также справедливо. Замечание. Произведение равномерно непрерывных функций на неограниченном множестве может не быть равномерно непрерывным. Например, произведение функций f ( ) = и g( ) =, равномерно непрерывных на (- ; + ), не является равномерно непрерывной функцией на этом прормежутке (см. пример и пример 5). Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность функцию f ( ) = sin sin 5 на (- ; + ) Задачи для самостоятельного решения.. Для данного > 0 найдите какое-нибудь > 0, удовлетворяющее определению равномерной непрерывности функции f ( ), если a. f ( ) = - -, - 5 b. ( ) n f =, 0 < <+, n Î.. Докажите с помощью отрицания к определению равномерной непрерывности, что функция f ( ) = ln не является равномерно непрерывной функцией на ( 0; ). 3. Докажите, что сумма и произведение конечного числа равномерно непрерывных на интервале ( ab ; ) функций равномерно непрерывны на этом интервале. p 4. Докажите, что функция f ( ) = sin непрерывна и ограничена на интервале ( 0; ), но не является равномерно непрерывной на этом интервале. 5. Докажите, что неограниченная функция f ( ) = sin + равномерно непрерывна на (- ; 6. Исследуйте на равномерную непрерывность функцию f ( ) = cos на ( 0; ); f ( ) = + на (- ; + ); f ( ) = + на (- ; 0) и на ( 0; + ) ; f ( ) = cos на (- ; + ); f ( ) = ln на ( 0; ) и на [ ; + ); f ( ) = - на (- ; 3 f ( ) = + на (- ; - f ( ) = + на (- ; + ); + - f ( ) = - + на (- ; + ); - + f ( ) = - + на (- ; + ); f ( ) = cos на [ 0; p ].

15 3 f ( ) = + + на ( ; ) - +. f ( ) = + ln на [ ; + ); f ( ) = + ln на [ ; + ); f () = ln на ( 0; ) и на [ ; + ); 7. Модулем непрерывности функции f ( ) на данном множестве называется функция w ( ) ( ) f = sup f - f ( y), где y, - любые две точки множества, связанные условием - y <. Докажите, что для равномерной непрерывности функции f ( ) на данном множестве необходимо и достаточно, чтобы lim w ( ) = f ЛИТЕРАТУРА.. Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. Лекции по математическому анализу. Москва, «Высшая школа», В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин. Математический анализ в вопросах и задачах. Изд-во «Лань», Н.Я. Виленкин, К.А. Бохан, И.А. Марон, И.В. Матвеев, М.Л. Смолянский, А.Т. Цветков. Задачник по курсу математического анализа. М.: «Просвещение», И.А Виноградова, С.Н. Олехник, В.А, Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга. М.:Высш.шк., Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.:Астрель, В.А. Зорич. Математический анализ. Часть I. Издание второе, исправленное и дополненное. М.: ФАЗИС В.А. Ильин Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть I. М.: ФИЗМАТЛИТ, Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Том. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость: Учеб. пособие/ Под ред. Л.Д. Кудрявцева. -е изд. Перераб. М.: ФИЗМАТЛИТ, И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г.Гай, Г.П. Головач. Справочное пособие по высшей математике. УРСС, 00. 3

Перечень тем и вопросов, выносимых на летнюю сессию 2013-2014 уч. год, 1 курс, 2 поток Дисциплина Математический анализ, лектор к.ф.-м.н., доцент Фроленков И.В. 1. Числовые ряды. Сходимость ряда. Сумма

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Практикум по курсу математического анализа

Практикум по курсу математического анализа ЯА Барлукова, СФ Долбеева Практикум по курсу математического анализа Часть II Улан- Удэ Министерство образования Российской Федерации Бурятский государственный университет ЯА Барлукова СФ Долбеева ПРАКТИКУМ

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ НТ Левашова, НЕ Шапкина НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Пособие для студентов II курса

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Западно-Казахстанский государственный университет им.м.утемисова РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА MTОƏ1201 Методика преподавания математического анализа 6М060100

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. Многомерный анализ, интегралы и ряды «Прикладные математика и физика» базовая часть 6 зач. ед.

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. Многомерный анализ, интегралы и ряды «Прикладные математика и физика» базовая часть 6 зач. ед. по дисциплине: по направлению подготовки факультеты: кафедра: курс: семестр: 2 Трудоёмкость: лекции: УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе и экономическому развитию 29 января 2016 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис и координаты.

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание)

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л1. Функции ограниченной вариации образуют линейное пространство.

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ϕ x называется. ϕ называется финитной, δ примет следую- ε, то предельная плотность ( x) δ нельзя восстановить массу при помощи

( ) ( ) ( ) ( ) ϕ x называется. ϕ называется финитной, δ примет следую- ε, то предельная плотность ( x) δ нельзя восстановить массу при помощи Лекция 6 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Общие понятия Пространства основных и обобщенных функций 3 Операции над обобщенными функциями Общие понятия Понятие обобщенной функции было вызвано не стремлением к обобщениям

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л 1. Функции ограниченной вариации образуют линейное

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

17-е занятие. Норма-супремум. Равномерная сходимость функциональных послед. Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

17-е занятие. Норма-супремум. Равномерная сходимость функциональных послед. Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 17-е занятие. Норма-супремум. Равномерная сходимость функциональных послед. Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Норма-супремум функции f: X C определяется следующей формулой: f = sup f(). X Для краткости,

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Оглавление Асимптотическая формула x А.А.Быков boombook.narod.ru,

Оглавление Асимптотическая формула x А.А.Быков boombook.narod.ru, MA ksm-0-эталонные пределы А.А.Быков boombook.arod.ru, boombook@yade.ru Оглавление. Лекция. Первый и второй замечательные пределы... 5.. Формула, выражающая первый замечательный предел... 5... Напоминание

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа Математический анализ Методические указания Ярославль Составители: МВ Ануфриенко

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 1.3. Предел последовательности 3.1. Точные границы. Начнем c анализа точных границ последовательностей. Сначала напомним определение точной границы множества. ТЕОРИЯ Множество A R называют ограниченным

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. 1. Определения и свойства

Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. 1. Определения и свойства Семинар Лекция 3 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 1. Определения и свойства Напомним определение, данное на лекции. Определение 1. Функция f(x) называется абсолютно непрерывной на отрезке [; b], если для

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Математический анализ-1

Математический анализ-1 Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ. Числовые последовательности. Предел последовательности. Свойства пределов последовательности.. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ж Н КУЛЬБАКОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ по разделам «ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ» для студентов курса заочного факультета специальности - - «Математика научнопедагогическая

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление,

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины дифференциальное исчисление, Номер недели РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление, УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет линейная алгебра и аналитическая геометрия"

Подробнее

Четные и нечетные функции.

Четные и нечетные функции. Четные и нечетные функции. Функция f (x) называется четной, если для любого равенства: 1),2) f ( x) = f (x). выполняются График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY.

Подробнее

Математика (БкПл-100, БкК-100)

Математика (БкПл-100, БкК-100) Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 5. Исследование функций с помощью производных 1 1. Понятие о производных высших порядков Опр. Пусть дана функция f(x)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

ПРАКТИКУМ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ. Учебно - методическое пособие

ПРАКТИКУМ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ. Учебно - методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского А.А. Нуятов ПРАКТИКУМ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ Учебно - методическое пособие Рекомендовано

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

Лекция Последовательности комплексных чисел

Лекция Последовательности комплексных чисел Лекция 2 2.1 Последовательности комплексных чисел Комплексное число a называется пределом последовательности комплексных чисел {z n }, если для любого числа ε > 0 найдется такой номер n 0 n 0 (ε), что

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И М Аксененкова ТР Игонина ОА Малыгина НС Чекалкин АГ Шухов Редактор: НС Чекалкин Математический анализ семестр

Подробнее

Идз-1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ z arcsin( 2x z 1 x y z

Идз-1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ z arcsin( 2x z 1 x y z Идз- ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Найти область определения указанных функций / arcsin ln / 7 arccos 8 / ln / arcsin / ln / 7 arccos 8 arcsin ln / / / / ln 7 / 7 8 e / / Найти частные производные и частные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Необходимые понятия и теоремы: фундаментальная последовательность, критерий Коши, теорема о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности,

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim Билет 1 1 Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) равен + при x + Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения двух функций 2 Сформулируйте определение того, что предел

Подробнее

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа # январь Кандаурова И Е УДК: 57 Россия МГТУ им НЭ Баумана hadaur@gyrplaru Введение Классический курс математического анализа

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

Стрелковская И.В., Паскаленко В.Н.

Стрелковская И.В., Паскаленко В.Н. Одесская национальная академия связи им АС Попова Кафедра высшей математики Стрелковская ИВ, Паскаленко ВН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебное пособие для иностранных студентов

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Предлагаемое пособие предназначено для студентов первого курса по направлению подготовки "Прикладная математика и информатика".

Предлагаемое пособие предназначено для студентов первого курса по направлению подготовки Прикладная математика и информатика. Родина ТВ, Трифанова ЕС, Бойцев АА Типовой расчет по математическому анализу для направления "Прикладная математика и информатика" 1 модуль Учебно-методическое пособие СПб: Университет ИТМО, 015 4 с Предлагаемое

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

Детали курса учебного года можно найти здесь:

Детали курса учебного года можно найти здесь: "Математический анализ-1" Составитель: А. Б. Шаповал Аннотация В последнее время математика активно расширяет сферу своих приложений, вторгаясь в смежные науки. Математики стали успешно решать не только

Подробнее

Глава 8. Введение в анализ функций нескольких переменных

Глава 8. Введение в анализ функций нескольких переменных Глава 8 Введение в анализ функций нескольких переменных 8 Область определения, линии и поверхности уровня Расстоянием между двумя точками (,, ) и (,, ) в пространстве называется число (, ) ( ) ( ) Пусть

Подробнее