ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость."

Транскрипт

1 Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений. Тогда отыскание оценки состоит в определении либо единственного значения (оценка параметра точкой) или интервала значений (оценка параметра интервалом). В некотором смысле оценка параметра интервалом точнее, поскольку он либо ближе к истинному значению параметра, либо включает его. Однако при определении оценки параметра в виде фиксированного значения следует помнить, что найденное конкретное значение оценки параметра является величиной случайной, меняющейся в сериях повторных равноточных измерений в соответствии с определенным распределением f(θ θ).

2 Поэтому задача оценки параметра включает на самом деле не только определение по данным выборки конкретного значения оценки θ, но и определение ф.п.в. для этой случайной величины. При этом особенно важной задачей математической статистики является определение достаточной оценки θ, которая включает всю информацию о параметре, содержащуюся в выборке, и отвечает ф.п.в. f(θ θ) с минимально возможной дисперсией. Таким образом, оценка параметра фиксированным значением при условии определения ф.п.в., соответствующей достаточной оценке, содержит самую полную информацию об искомом параметре.

3 Метод оценки параметра интервалом значений также содержит полную информацию, если определена функция распределения и для любого интервала значений может быть вычислена его достоверность. Существует тесная связь между отысканием оценки и информацией. В частности, очевидно, что оценка параметра есть статистика (т. е. она является функцией данных), и свойства статистик, обсужденные ранее, применимы также к оценкам.

4 Основные понятия в теории оценок Чтобы найти оценку параметра, необходимо сначала выбрать функцию наблюдений (т. е. способ перехода от наблюдений к оценке). Это и составляет метод оценки. Численное значение, получаемое в результате применения этого метода к определенному набору наблюдений, называется оценкой. Выбрав метод оценки, можно затем обсудить его качества в терминах четырех важных желаемых свойств: 1) состоятельность; 2) несмещенность; 3) информационная емкость или эффективность; 4) устойчивость.

5 Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. ТЕОРИЯ ОЦЕНОК Метод оценки называется состоятельным, если оценки, полученные с его помощью, сходятся к истинному значению параметра с увеличением числа наблюдений. Дальше мы всегда будем подразумевать состоятельность по вероятности, определенную с использованием понятия сходимости по вероятности.

6 Основные понятия в теории оценок ТЕОРИЯ ОЦЕНОК Пусть θ n оценка параметра θ, полученная на основе n наблюдений. θ n является состоятельной оценкой θ, если для любых ε > 0 и η > 0 существует такое N, что P( θ n θ > ε) < η для всех n > N. В этом случае говорят, что θ n сходится (по вероятности) к θ при возрастании n. Поскольку состоятельность в значительной мере является асимптотическим свойством, то отсюда не следует, что точность монотонная функция n, т. е. даже если оценка состоятельна, добавление некоторого числа наблюдений отнюдь не всегда увеличивает точность.

7 Основные понятия в теории оценок ТЕОРИЯ ОЦЕНОК Состоятельность по вероятности. Для любых η > 0 и ε > 0 может быть найдено такое N, что кривая расположится ниже значения η при всех n > N. При выбранных здесь значениях ε 0 и η 0 N 2 и N 3 удовлетворяют определению, a N 1 еще недостаточно велико.

8 Основные понятия в теории оценок Смещение и состоятельность. Пусть θ будет оценкой параметра θ, полученной на основе N наблюдений. Мы определяем смещение в оценке θ как отклонение ожидания θ от истинного значения θ 0 : b N θ = E θ θ 0 = E θ θ 0. (94) Поэтому оценка называется несмещенной, если для всех N и θ 0 b N θ = 0 или E θ = θ 0.

9 Основные понятия в теории оценок Смещение может быть определено по-разному, поскольку в качестве центра распределения могли бы быть выбраны другие характеристики. Обычно выбирается математическое ожидание (или арифметическое среднее). Это делается из соображении удобства, а также вследствие важности его свойств для нормального распределения. Заметим, что если оценка не смещена, то это вовсе не означает, что в среднем половина оценок будет лежать выше θ 0, а половина ниже. Это было бы правильно, если бы вместо среднего была бы выбрана медиана.

10 Основные понятия в теории оценок Четыре различных вида ф.п.в f(θ, θ 0 ), обладающей соответствующей комбинацией свойств состоятельности и смещенности. Стрелки показывают движение кривых с увеличением N Казалось бы, несмещенность и состоятельность связаны друг с другом, но из одного не следует другое. Предположим, что оценки θ, получаемые на основании выборок объемом в N наблюдений, распределены в соответствии с ф.п.в. f(θ, θ 0 ) относительно истинного значения θ 0.

11 Основные понятия в теории оценок Четыре различных вида ф.п.в f(θ, θ 0 ), обладающей соответствующей комбинацией свойств состоятельности и смещенности. Стрелки показывают движение кривых с увеличением N На рисунке приведены четыре различные функции f(θ, θ 0 ), использующие методы оценки с различной степенью смещения и состоятельности. В каждом квадрате рисунка семейство суживающихся кривых отражает поведение f(θ) с ростом N.

12 Основные понятия в теории оценок Четыре различных вида ф.п.в f(θ, θ 0 ), обладающей соответствующей комбинацией свойств состоятельности и смещенности. Стрелки показывают движение кривых с увеличением N В квадрате 1 центр каждой f(θ) совпадает с θ 0, а пики с ростом N суживаются. Этот случай соответствует несмещенности и состоятельности. В квадрате 2 каждое распределение f(θ) смещено вправо от θ 0, но тем не менее такая оценка состоятельна, поскольку она сходится к истинному значению θ 0.

13 Основные понятия в теории оценок Четыре различных вида ф.п.в f(θ, θ 0 ), обладающей соответствующей комбинацией свойств состоятельности и смещенности. Стрелки показывают движение кривых с увеличением N В квадрате 3 каждое f(θ) не смещено, но нет сходимости к θ 0. Наконец, квадрат 4 соответствует случаю, когда оценка смещена и несостоятельна. Если t несмещенная оценка параметра θ, то можно было бы подумать, что t 2 несмещенная оценка θ 2.

14 Основные понятия в теории оценок К сожалению, это не так, как это легко может быть показано, если использовать свойство линейности оператора ожидания. Конечно, если t 2 состоятельная оценка θ 2, то при больших объемах выборки оценка становится несмещенной (как показано в квадрате 2 рисунка). По этой причине мы обычно считаем состоятельность более важным свойством, чем несмещенность.

15 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Предположим, что имеется n измерений случайной переменной Х i с ф.п.в. f(x, θ), где θ неизвестный параметр. Если цель эксперимента состоит в извлечении информации об истинном значении θ 0 параметра θ, то необходимо иметь состоятельную оценку θ значения θ 0, т. е. θ должно сходиться к θ 0 с ростом n. Легко сконструировать величину с подобными свойствами сходимости, если использовать закон больших чисел. Из этого закона следует, что n 1 n i=1 a(x i ) n E a X = a X f X, θ dx, (95)

16 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Здесь a(x) некоторая функция X с конечной дисперсией D[a(X)]. Наиболее распространены следующие три метода оценок, использующие закон больших чисел: метод моментов, метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов.

17 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Метод моментов. Допустим, что можно найти такую функцию a(x), что правая часть уравнения (95) становится известной функцией h от θ: E a X = a X f X, θ dx = h θ. (96) Если это справедливо для истинного значения θ 0, то существует «обратная функция» h 1 для h, определенная соотношением h 1 h θ 0 θ 0.

18 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Соотношение (96) можно «решить» относительно θ 0 : θ 0 = h 1 E a X = h 1 a X f X, θ 0 dx. (97) Интуитивно понятно, что для получения оценки θ значения θ 0 необходимо заменить (95) на правую часть уравнения (97): θ = h 1 n 1 a(x i ) n i=1. (98)

19 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Если использовать этот метод, то в одномерном случае можно выбрать a X = X. (99) Из (96) следует, что h(θ 0 ) тогда является просто средним µ(θ 0 ), и состоятельная оценка θ задается уравнением n θ = μ 1 n 1 X i i=1 Когда оцениваются значения нескольких параметров θ = θ 1, θ 2,, θ r, то требуются различные функции a j (X)..

20 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Соотношение (96) тогда приобретает такой вид: E a j X = h j θ, j = 1,2,, r, (100) а оценками θ j являются решения системы уравнений, получаемых в результате замены n n 1 a j X i i=1 E a j X в уравнениях (100). В частном случае, когда a j X j = X j, функции h j (θ) имеют вид моментов μ j (θ) распределения f(x,θ). Отсюда и название метод моментов.

21 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Неявно определенные оценки. Другая, более общая альтернатива выбрать функцию a(x) в уравнении (96) как функцию обеих переменных X и θ. Допустим, что можно найти такую функцию a(x, θ), что h(θ) равно нулю для истинного значения параметра θ = θ 0 : E a X, θ 0 = a X, θ 0 f X, θ 0 dx = h θ 0 = 0. (101) Уравнение (101) и закон больших чисел (95) тогда приводят к неявному методу оценки.

22 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Определим экспериментальную функцию ξ наблюдений Х i : n ξ θ n 1 a X i, θ i=1. (102) В соответствии с законом больших чисел (95) ξ(θ) имеет в асимптотике те же самые корни, что и соотношение (101): ξ θ 0 n E a X, θ 0 = 0.

23 Обычные способы конструирования состоятельных оценок В таком случае оценка θ может быть определена неявно как корень уравнения ξ θ = 0. (103) Очевидно, что в частном случае метода моментов в качестве a(x, θ) в (102) нужно взять a X i E [a(x)]. Тогда уравнение (103) приводит к такому же результату, что и (98).

24 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Можно показать, что один из корней уравнения (101) дает состоятельную оценку θ 0 при двух условиях: 1) выполняются некоторые условия регулярности (в частности, ξ дифференцируема, среднее ξ и ξ θ существуют) и 2) в пределе при n ξ θ E 0. (104) θ θ=θ0

25 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Одна очевидная трудность при использовании такого неявного метода состоит в том, что уравнение (103) может иметь много решений и не существует способа отличить их друг от друга. Конечно, метод хорош, если функция (101) имеет только один нуль. На практике уравнения (103) конструируют путем наложения условия минимума или максимума на некоторую другую функцию g(x, θ), связанную с a(x, θ) соотношением a X i, θ = θ g X i, θ.

26 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Если выполняются условия (101) и (104), то один из максимумов или минимумов экспериментальной величины n 1 n i=1 g X i, θ дает состоятельную оценку θ значения θ 0 и это θ является корнем уравнения ξ θ = 1 n θ n i=1 g(x i, θ) = 0. (105) В соответствии с условием (101) функцию a X i, θ нужно выбрать в виде a X i, θ = θ g X i, θ E g(x i, θ) θ = θ0

27 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Практически E( g θ ) не должно зависеть от θ 0; если же оно зависит, то оценка бесполезна, поскольку истинное значение θ 0 неизвестно. Таким образом, соотношение (101) должно быть дополнено условием θ E g(x i, θ θ θ=θ 0 = 0

28 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Метод максимального правдоподобия. Важным случаем рассмотренного выше подхода является метод максимального правдоподобия. При знакомстве с понятием и свойствами информации, мы определили правдоподобие набора из n независимых наблюдений X i как где f(x i, θ) ф.п.в. L(X θ) = n i=1 f(x i, θ),

29 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Оценка максимального правдоподобия параметра θ есть такое значение θ, которое соответствует максимуму L(X θ) при заданных измерениях X. Метод максимального правдоподобия частный случай метода неявно определенных оценок, для которого g X i, θ = lnf X i, θ. (106) Тогда (104) приобретает следующий вид: θ n i=1 ln f X i, θ = θ lnl X, θ = 0. (107)

30 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Уравнение (107) называется уравнением правдоподобия. Оно отражает необходимое условие существования максимума L(X,θ) при условии, что максимум не лежит на границе области изменения θ. Оценка максимального правдоподобия θ является корнем уравнения (107). Легко показать, что эта оценка состоятельна. Более того, состоятельное решение в асимптотике дает абсолютный максимум правдоподобия. Но только в асимптотике, при n, поэтому нельзя быть уверенным, что максимум, найденный для конечного n, является абсолютным максимумом.

31 Обычные способы конструирования состоятельных оценок С ростом n относительные высоты различных максимумов lnl могут изменяться. Это отражает фундаментальную неопределенность истинного значения θ 0 при наличии выборок конечного размера.

32 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Методы наименьших квадратов. Рассмотрим множество наблюдений Y = {Y l,..., Y n ), распределенных случайно с ожиданиями E Y = M θ = m i θ, i = 1,, n, где М есть n-мерная функция r неизвестных параметров θ = {θ 1,θ 2,,θ n }. В соответствии с методами наименьших квадратов нужно отыскивать минимум квадратичной формы g Y, θ = [Y M θ ] T W Y M θ, (108) где W матрица весов, не зависящая от θ.

33 Обычные способы конструирования состоятельных оценок По-прежнему оценка наименьших квадратов является корнем уравнения (103), которое в этом случае приобретает форму ξ θ = g M θ T = W Y M θ = θ θ Если W остается положительно определенной и если матрица вторых моментов случайных переменных Y i остается ограниченной при стремлении n к бесконечности, то можно показать, что один из корней θ уравнения (109) является состоятельной оценкой.

34 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Важным частным случаем является линейный метод наименьших квадратов, когда М(θ) линейная функция θ, т. е. M θ = E Y = A θ. Матрица A с постоянными элементами называется матрицей планирования. Тогда оценка является единственным корнем θ уравнения ξ θ = 2A T W Y A Q = 0. (109) Этот корень равен θ = A T WA 1 A T WY. (110)

35 Асимптотические распределения оценок Асимптотическими мы всегда называем свойства оценок, когда число наблюдений n становится бесконечно большим. Асимптотическая нормальность. Для того чтобы найти асимптотическое распределение состоятельных оценок, привлечем центральную предельную теорему. Из этой теоремы следует, что n n 1 a(x i ) i=1 ТЕОРИЯ ОЦЕНОК (111) в асимптотическом пределе распределена по нормальному закону со средним E[a(X)] и дисперсией n 1 D[a(X)] при условии, что D[a(X)] конечна.

36 Асимптотические распределения оценок Величину θ в уравнении (98) можно разложить в ряд вблизи E[a(X)]: θ = h 1 n 1 a(x i ) n n i=1 n 1 a(x i ) i=1 = h 1 E a X + h 1 a ТЕОРИЯ ОЦЕНОК E a X E a X + O n 1. (112) Очевидно, что при такой степени точности θ в асимптотическом пределе распределено по нормальному закону, поскольку выражение (111), а также все другие члены правой части (112) константы.

37 Асимптотические распределения оценок ТЕОРИЯ ОЦЕНОК Однако нормальность распределения оценки в виде (98) является в высшей степени асимптотическим свойством. Это следует из того факта, что случайная переменная (111) распределена по нормальному закону для конечного числа наблюдений, только если A(X i ) распределена также по нормальному закону. Даже если бы это выполнялось, то функция h в общем случае нарушала бы свойство нормальности при конечном числе наблюдений. Дисперсия случайной переменной (111) пропорциональна n 1. Поэтому в приближении уравнения (112) дисперсия θ пропорциональна n 1.

38 Асимптотические распределения оценок Нетрудно увидеть, что в асимптотике дисперсия D θ = E θ θ 0 2 = 1 n где D(а) дисперсия а(x). h 1 a 2 D a, В случае многих параметров θ = θ 1, θ 2,, θ r функции h 1 и а имеют вид векторных функций h 1 и а. Тогда матрица вторых моментов асимптотического распределения θ приобретает следующий вид: D ~ θ = E θ θ 0 θ θ 0 T = 1 n ТЕОРИЯ ОЦЕНОК h 1 a D ~ a h 1 a T.

39 Асимптотические распределения оценок ТЕОРИЯ ОЦЕНОК Здесь D a матрица вторых моментов a; h 1 матрица ~ a с элементами h i 1 и h 1 a j a = θ 0i. j Смещенность оценки обусловлена членами порядка n 1, которые были опущены в правой части уравнения (112). Из этого следует, что величина смещения по меньшей мере порядка n 1. Аналогичные результаты получаются, если используются неявно определенные оценки. Например, свойство нормальности следует из того факта, что точка В на рисунке слева распределена по нормальному закону вблизи С.

40 Асимптотические распределения оценок ТЕОРИЯ ОЦЕНОК Следовательно, в соответствии с центральной предельной теоремой ξ(θ 0 ) в (102) в окрестности нуля в асимптотике распределено по нормальному закону. Тогда в пределе, когда АС становится пропорциональной ВС, разность θ θ 0 также распределена по нормальному закону. Матрица дисперсий для θ равна: D ~ θ = 1 n E ξ(θ) θ θ=θ 0 1 D ~ a(x, θ 0 E ξ(θ) θ θ=θ 0 1 T, (113) ξ(θ) поскольку E в асимптотике равна тангенсу θ θ=θ 0 угла наклона ВА, а n 1 D[a(X,θ 0 )] асимптотической дисперсии ВС.

41 Информация и точность оценки Выше указывалось, что оценка есть случайная переменная и поэтому она имеет распределение вероятности по θ, часто называемое выборочным распределением. Ранее мы определили состоятельность и несмещенность таким образом, что выборочное распределение состоятельной оценки для достаточно большого числа наблюдений сконцентрировано сколь угодно близко к истинному значению θ 0, а выборочное распределение несмещенной состоятельной оценки всегда имеет в качестве центра θ 0. Интуитивно мы понимаем, что точность оценки связана с шириной этого распределения, т. е. обратна дисперсии оценки.

42 Информация и точность оценки Рассмотрим связь между информацией оценки и дисперсией ее выборочного распределения. Нижние границы для дисперсии неравенство Крамера-Рао. Пусть X наблюдения случайной величины, распределенной в соответствии с функцией плотности f(х θ), и пусть оценка θ имеет выборочное распределение q(θ θ). Обозначим функцию правдоподобия наблюдений L x, функцию правдоподобия оценки L θ и соответствующие информации через I х и I θ. В соответствии с (94) смещение есть функция истинного значения b = E θ θ 0 = θ X f X θ 0 dx θ 0

43 Информация и точность оценки Временно опустим индекс у θ. Дисперсия выборочного распределения D θ = θ E θ 2 q θ θ dθ (114) связана с информацией неравенством Крамера-Рао 1 + db db 2 dθ dθ D θ. (115) I X I θ Первая часть этого важного неравенства утверждает, что дисперсия несмещенной оценки ограничена снизу величиной, обратной информации, которую она содержит.

44 Информация и точность оценки Вторая часть неравенства означает, что дисперсия любой несмещенной оценки ограничена снизу величиной, обратной информации, содержащейся в наблюдениях. Заменяя I х в соответствии определением объема информации, получаем для любой оценки 2 dτ θ dθ где D θ E ln L X θ 2, (116) τ θ E θ = θ + b θ. (117)

45 Информация и точность оценки Неравенства (115) и (116) справедливы при условии, если: 1) область изменения переменных X не зависит от θ; 2) L X должна быть достаточно регулярной, чтобы дифференцирование по θ и интегрирование по X коммутировали друг с другом. Эффективность и минимальная дисперсия. Можно показать, что минимум дисперсии для статистики θ D θ = I θ db dθ 2 (118)

46 Информация и точность оценки достигается, когда выборочное распределение θ имеет экспоненциальную форму: L θ = q θ θ = exp a θ θ + β θ + c θ. (119) Здесь a θ интеграл от произвольной функции A θ, определяемой функцией правдоподобия L θ, β θ константа интегрирования, а c θ произвольная функция. Когда также и второе неравенство в (115) превращается в равенство I θ = I X, (120) дисперсия D θ достигает границы минимальной дисперсии.

47 Информация и точность оценки В этом случае говорят, что статистика θ является эффективной оценкой. Важно отметить различие между: 1) минимальной дисперсией, когда данная оценка θ имеет наименьшую дисперсию в семействе рассматриваемых оценок; 2) границей минимальной дисперсии для выборки данных X, достигаемой, когда выполняются соотношения (118) и (119) (оценка θ эффективна). Уравнение (120) является необходимым и достаточным условием того, что θ служит достаточной статистикой для θ.

48 Информация и точность оценки Если существует достаточная статистика t, то в соответствии с теоремой Дармуа (см. лекцию об информации) ф.п.в. f(x,θ) имеет экспоненциальную форму. С другой стороны, если f(x,θ) имеет экспоненциальную форму, то n t = n 1 α(x i ) i=1 является достаточной статистикой из выборочного распределения экспоненциальной формы q t θ = exp [a θ t + β 1 t + c θ ] (121)

49 Информация и точность оценки Здесь β 1 можно выразить через β, если использовать уравнение (118). Можно показать, что dc E t = dθ r θ. da dθ Поэтому статистика (121) служит несмещенной оценкой для r(θ), и поскольку q(t θ) имеет экспоненциальную форму, справедливо соотношение D t = I t 1 r θ = I X 1 r θ. Наконец, несмещенная оценка t с дисперсией, равной границе минимальной дисперсии, существует тогда и только тогда, когда распределение f(x, θ) имеет достаточные статистики.

50 Информация и точность оценки В этом случае функция r(θ), оцениваемая с помощью t, единственна с точностью до линейного преобразования. Теорема Гаусса-Маркова. В тех случаях, когда достаточные статистики не существуют, наша цель должна быть более скромной. Рассмотрим класс несмещенных оценок, которые являются линейными функциями результатов наблюдений. Пусть имеется выборка размером п наблюдений Y 1, Y 2,..., Y n с ф.п.в. f(y θ), зависящей от k неизвестных параметров θ, и с матрицей вторых моментов D.

51 Информация и точность оценки Необходимое условие существования несмещенных линейных оценок θ состоит в том, что E Y = A ~ θ, где A n k-матрица констант. Тогда оценки задаются ~ уравнением (110), с W = D 1 : θ = A. T D. 1 1 A. A ~. T D. 1 Y. (122) ~ ~ ~ ~ Теорема Гаусса-Маркова утверждает, что среди оценок рассматриваемого класса оценки (122) метода наименьших квадратов для линейного случая имеют минимальную дисперсию.

52 Информация и точность оценки Важно отметить, что не делались никакие предположения о распределении наблюдений Y, кроме того что их среднее значение есть линейная функция параметров. Оптимальные свойства оценок метода наименьших квадратов, а именно минимальная дисперсия и несмещенность, следуют прямо из линейности задачи. Кроме того, эти свойства имеют место при любом числе наблюдений.

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Оценка параметров

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Оценка параметров Оценка параметров Постановка задачи Пусть x вектор случайных величин, описываемых распределением f( x;,,,, параметры распределения (например, положение пика, ширина, масса частицы, { x, x, } Пусть ограниченная

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

Точечные оценки и их свойства. Грауэр Л.В.

Точечные оценки и их свойства. Грауэр Л.В. Точечные оценки и их свойства Грауэр Л.В. Статистика ξ генеральная совокупность c ф.р. F ξ (x; θ) θ = (θ 1,..., θ m ) неизвестные параметры X [n] = (X 1,..., X n ) выборка из ξ Статистикой будем называть

Подробнее

1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика)

1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика) Информация План 1. Основные понятия 1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика) 2. Информация Фишера... 2.1. Определение информации 2.2. Свойства информации 3. Достаточные

Подробнее

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин ГЛАВА 8 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ОЦЕНОК ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для точечных гиперслучайных оценок гиперслучайных величин введены понятия несмещенной, состоятельной, эффективной и достаточной оценок

Подробнее

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ГЛАВА 6 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВЕЛИЧИН Описаны точечный и интервальный методы оценки детерминированных величин основанные на представлении оценок гиперслучайными

Подробнее

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ Оценка параметров 30 5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ 5.. Введение Материал, содержащийся в предыдущих главах, можно рассматривать как минимальный набор сведений, необходимых для использования основных

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения Виды статистических оценок 3 Нахождение оценок неизвестных параметров

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2011

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2011 Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2011 1. Основная задача математической статистики. Понятие вероятностно-статистической модели. Примеры: выборка и линейная

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

2.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ

2.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ .4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ Достаточно простые способы оценки коэффициентов линейного тренда, приведённые в предыдущее параграфе, обладают среди прочих одним

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

Интервальные оценки.

Интервальные оценки. Лекция 1. Интервальные оценки. Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел.

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 0 Неравенства Маркова и ЧебышеваЗакон больших чисел Предельные теоремы теории вероятностей В теории вероятностей часто изучаются случайные

Подробнее

Программа курса. Математическая статистика. лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов. Весна 2014

Программа курса. Математическая статистика. лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов. Весна 2014 Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов Весна 2014 1. Вероятностно статистическая модель. Понятия наблюдения и выборки. Моделирование выборки из неизвестного распределения.

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

Оглавление Введение Выборка и ее характеристики Эмпирическая функция распределения Эмпирические (выборочные) моменты...

Оглавление Введение Выборка и ее характеристики Эмпирическая функция распределения Эмпирические (выборочные) моменты... Введение.... Выборка и ее характеристики... 3.. Эмпирическая функция распределения... 3.. Эмпирические (выборочные) моменты... 6.3. Примеры решения задач... 9. Теория точечных оценок... 4.. Несмещенные

Подробнее

2. «Простая» статистика

2. «Простая» статистика 2. «Простая» статистика 1 2. «Простая» статистика В большинстве статистических расчетов приходится работать с выборками случайной величины: либо с данными эксперимента, либо с результатами моделирования

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

Условия Гаусса-Маркова Теорема Гаусса-Маркова Свойства МНК-оценок. Лекция 8

Условия Гаусса-Маркова Теорема Гаусса-Маркова Свойства МНК-оценок. Лекция 8 Условия Гаусса-Маркова Теорема Гаусса-Маркова Свойства МНК-оценок Лекция 8 CВОЙСТВА ОЦЕНОК КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ Для того чтобы полученные по МНК оценки обладали некоторым полезными статистическими свойствами

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Работа 1.3 Исследование зависимостей T(l) и A(t) математического маятника

Работа 1.3 Исследование зависимостей T(l) и A(t) математического маятника Работа 13 Исследование зависимостей T(l) и A(t) математического маятника Оборудование: штатив, маятник, линейка, электронный счетчик-секундомер Описание метода Графический метод является наиболее простым

Подробнее

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа 46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2015-2016 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Матричные вычисления и нормальное распределение

Матричные вычисления и нормальное распределение Курс: Байесовские методы машинного обучения, Дата: 9 октября Матричные вычисления и нормальное распределение Дивергенция Кульбака-Лейблера 5 p(x) (x) 5 p(x) (x) 5 5 5 5 5 5-5 5 KL( p) min -5 5 KL(p ) min

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ С ОДНОШАГОВЫМИ И ВЛИЯНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИК КРИТЕРИЕВ СОГЛАСИЯ [1]

ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ С ОДНОШАГОВЫМИ И ВЛИЯНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИК КРИТЕРИЕВ СОГЛАСИЯ [1] Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2003. Т. 69. С.62-68. УДК 519.2 ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ С ОДНОШАГОВЫМИ И ВЛИЯНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИК

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Олимпиада для студентов и выпускников вузов 2014 г.

Олимпиада для студентов и выпускников вузов 2014 г. Олимпиада для студентов и выпускников вузов 014 г. Направление «Математические методы анализа экономики» Профили: Математические методы анализа экономики Экономика Статистический анализ экономических и

Подробнее

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 3 Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция

Подробнее

ГЛАВА 9 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Гиперслучайно-гиперслучайная модель измерения

ГЛАВА 9 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Гиперслучайно-гиперслучайная модель измерения ГЛАВА 9 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Результаты, полученные для гиперслучайных оценок детерминированных и гиперслучайных величин, обобщены на случай гиперслучайных оценок гиперслучайных

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

В данной главе исследуются флуктуации для равновесных термодинамических

В данной главе исследуются флуктуации для равновесных термодинамических 7 РАВНОВЕСНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ В данной главе исследуются флуктуации для равновесных термодинамических систем. 7.1 Флуктуации энергии Рассматривается закрытая система, состояние которой представляется каноническим

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2 Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство Российской Федерации по связи и информатизации Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики Н. И. Чернова МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебное пособие Новосибирск 2009

Подробнее

Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика»

Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика» Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика» весна 2011 01. Пусть (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) выборка, соответствующая случайному вектору (ξ, η). Докажите, что статистика T = 1 n 1 n (X i X)(Y

Подробнее

Содержание. Предисловие... 9

Содержание. Предисловие... 9 Содержание Предисловие... 9 Введение... 12 1. Вероятностно-статистическая модель и задачи математической статистики...12 2. Терминология и обозначения......15 3. Некоторые типичные статистические модели...18

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

Статистика (функция выборки)

Статистика (функция выборки) Статистика (функция выборки) Материал из Википедии свободной энциклопедии Статистика (в узком смысле) это измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения. В

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

Математическая статистика.

Математическая статистика. Лекция. Математическая статистика. Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов.

Подробнее

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 3. Условные распределения

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. М. Ильин, М. А. Меленцов, Асимптотика решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при больших значениях времени, Тр. ИММ УрО РАН, 25,

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Б.И. Положинцев Теория вероятностей и математическая статистика Введение в математическую статистику Санкт-Петербург Издательство СПбГПУ

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ» Министерство сельского хозяйства РФ Департамент научно-технологической политики и образования ФГОУ ВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия Кафедра высшей математики МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ 3 А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ...5

ОГЛАВЛЕНИЕ 3 А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ...5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие...3 А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ...5 1. Решение систем линейных уравнений...5 1.1. Линейные уравнения...5 1.2. Системы линейных уравнений...7 1.3. Разрешенные системы линейных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

Теория устойчивости Ляпунова.

Теория устойчивости Ляпунова. Теория устойчивости Ляпунова. Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 3. Доверительные интервалы

Лекция 3. Доверительные интервалы Лекция 3. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 3. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2015 1 / 41 Cодержание Содержание

Подробнее

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание Определение детерминанта матрицы Квадратная матрица состоит из одного элемента A = (a ). Определитель такой матрицы равен A = det(a) = a. ( ) a a Квадратная матрица 2 2 состоит из четырех элементов A =

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра общих проблем управления КУРСОВАЯ РАБОТА "Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Семинар по теме Трансцендентые уравнения

Семинар по теме Трансцендентые уравнения Семинар по теме Трансцендентые уравнения 22 апреля 2016 г. Вступление В приложениях очень часто приходится иметь дело с трансцедентными уравнениями, зависящими от параметра или нескольких. Как правило,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Кафедра автоматизации исследований и технической кибернетики. Рабочая программа дисциплины

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Кафедра автоматизации исследований и технической кибернетики. Рабочая программа дисциплины МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра

Подробнее

Оценивание моделей. Метод максимального правдоподобия

Оценивание моделей. Метод максимального правдоподобия Оценивание моделей дискретного выбора Метод максимального правдоподобия План лекции. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок ММП 3. Пример оценки ММП для классической линейной регрессии 4. Модели

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения

Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения В случае, когда число значений признака Х велико или признак является непрерывным, составляют интервальный ряд. Опр. Интервальный

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

( x i, y i ). Предположим, что X и Y связаны линейной корреляционной. ϕ называют линией Линейная корреляционная зависимость

( x i, y i ). Предположим, что X и Y связаны линейной корреляционной. ϕ называют линией Линейная корреляционная зависимость .. Линейная корреляционная зависимость Часто на практике требуется установить вид и оценить силу зависимости изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других величин (случайных или неслучайных).

Подробнее

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Лабораторная работа 8 Цель работы: 1. Подтверждение случайного, статистического характера процессов радиоактивного распада ядер.. Ознакомление

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Численная оптимизация

Численная оптимизация Численная оптимизация Функции многих переменных: условная оптимизация 26 ноября 2012 г. Численная оптимизация 26 ноября 2012 г. 1 / 27 x (l) i f(x) min, g j (x) 0, h k (x) = 0, x R n j = 1,..., J k = 1,...,

Подробнее

[] - Гауссово обозначение суммы

[] - Гауссово обозначение суммы Принцип наименьших квадратов, задачи решаемые МНК Параметрический способ уравнивания, оценка точности Коррелатный способ уравнивания Пример уравнивания измеренных углов треугольника параметрическим и коррелатным

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2013-2014 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

4 Проверка параметрических гипотез

4 Проверка параметрических гипотез 4 Проверка параметрических гипотез Статистическая гипотеза Параметрическая гипотеза 3 Критерии проверки статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах

Подробнее