ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость."

Транскрипт

1 Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений. Тогда отыскание оценки состоит в определении либо единственного значения (оценка параметра точкой) или интервала значений (оценка параметра интервалом). В некотором смысле оценка параметра интервалом точнее, поскольку он либо ближе к истинному значению параметра, либо включает его. Однако при определении оценки параметра в виде фиксированного значения следует помнить, что найденное конкретное значение оценки параметра является величиной случайной, меняющейся в сериях повторных равноточных измерений в соответствии с определенным распределением f(θ θ).

2 Поэтому задача оценки параметра включает на самом деле не только определение по данным выборки конкретного значения оценки θ, но и определение ф.п.в. для этой случайной величины. При этом особенно важной задачей математической статистики является определение достаточной оценки θ, которая включает всю информацию о параметре, содержащуюся в выборке, и отвечает ф.п.в. f(θ θ) с минимально возможной дисперсией. Таким образом, оценка параметра фиксированным значением при условии определения ф.п.в., соответствующей достаточной оценке, содержит самую полную информацию об искомом параметре.

3 Метод оценки параметра интервалом значений также содержит полную информацию, если определена функция распределения и для любого интервала значений может быть вычислена его достоверность. Существует тесная связь между отысканием оценки и информацией. В частности, очевидно, что оценка параметра есть статистика (т. е. она является функцией данных), и свойства статистик, обсужденные ранее, применимы также к оценкам.

4 Основные понятия в теории оценок Чтобы найти оценку параметра, необходимо сначала выбрать функцию наблюдений (т. е. способ перехода от наблюдений к оценке). Это и составляет метод оценки. Численное значение, получаемое в результате применения этого метода к определенному набору наблюдений, называется оценкой. Выбрав метод оценки, можно затем обсудить его качества в терминах четырех важных желаемых свойств: 1) состоятельность; 2) несмещенность; 3) информационная емкость или эффективность; 4) устойчивость.

5 Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. ТЕОРИЯ ОЦЕНОК Метод оценки называется состоятельным, если оценки, полученные с его помощью, сходятся к истинному значению параметра с увеличением числа наблюдений. Дальше мы всегда будем подразумевать состоятельность по вероятности, определенную с использованием понятия сходимости по вероятности.

6 Основные понятия в теории оценок ТЕОРИЯ ОЦЕНОК Пусть θ n оценка параметра θ, полученная на основе n наблюдений. θ n является состоятельной оценкой θ, если для любых ε > 0 и η > 0 существует такое N, что P( θ n θ > ε) < η для всех n > N. В этом случае говорят, что θ n сходится (по вероятности) к θ при возрастании n. Поскольку состоятельность в значительной мере является асимптотическим свойством, то отсюда не следует, что точность монотонная функция n, т. е. даже если оценка состоятельна, добавление некоторого числа наблюдений отнюдь не всегда увеличивает точность.

7 Основные понятия в теории оценок ТЕОРИЯ ОЦЕНОК Состоятельность по вероятности. Для любых η > 0 и ε > 0 может быть найдено такое N, что кривая расположится ниже значения η при всех n > N. При выбранных здесь значениях ε 0 и η 0 N 2 и N 3 удовлетворяют определению, a N 1 еще недостаточно велико.

8 Основные понятия в теории оценок Смещение и состоятельность. Пусть θ будет оценкой параметра θ, полученной на основе N наблюдений. Мы определяем смещение в оценке θ как отклонение ожидания θ от истинного значения θ 0 : b N θ = E θ θ 0 = E θ θ 0. (94) Поэтому оценка называется несмещенной, если для всех N и θ 0 b N θ = 0 или E θ = θ 0.

9 Основные понятия в теории оценок Смещение может быть определено по-разному, поскольку в качестве центра распределения могли бы быть выбраны другие характеристики. Обычно выбирается математическое ожидание (или арифметическое среднее). Это делается из соображении удобства, а также вследствие важности его свойств для нормального распределения. Заметим, что если оценка не смещена, то это вовсе не означает, что в среднем половина оценок будет лежать выше θ 0, а половина ниже. Это было бы правильно, если бы вместо среднего была бы выбрана медиана.

10 Основные понятия в теории оценок Четыре различных вида ф.п.в f(θ, θ 0 ), обладающей соответствующей комбинацией свойств состоятельности и смещенности. Стрелки показывают движение кривых с увеличением N Казалось бы, несмещенность и состоятельность связаны друг с другом, но из одного не следует другое. Предположим, что оценки θ, получаемые на основании выборок объемом в N наблюдений, распределены в соответствии с ф.п.в. f(θ, θ 0 ) относительно истинного значения θ 0.

11 Основные понятия в теории оценок Четыре различных вида ф.п.в f(θ, θ 0 ), обладающей соответствующей комбинацией свойств состоятельности и смещенности. Стрелки показывают движение кривых с увеличением N На рисунке приведены четыре различные функции f(θ, θ 0 ), использующие методы оценки с различной степенью смещения и состоятельности. В каждом квадрате рисунка семейство суживающихся кривых отражает поведение f(θ) с ростом N.

12 Основные понятия в теории оценок Четыре различных вида ф.п.в f(θ, θ 0 ), обладающей соответствующей комбинацией свойств состоятельности и смещенности. Стрелки показывают движение кривых с увеличением N В квадрате 1 центр каждой f(θ) совпадает с θ 0, а пики с ростом N суживаются. Этот случай соответствует несмещенности и состоятельности. В квадрате 2 каждое распределение f(θ) смещено вправо от θ 0, но тем не менее такая оценка состоятельна, поскольку она сходится к истинному значению θ 0.

13 Основные понятия в теории оценок Четыре различных вида ф.п.в f(θ, θ 0 ), обладающей соответствующей комбинацией свойств состоятельности и смещенности. Стрелки показывают движение кривых с увеличением N В квадрате 3 каждое f(θ) не смещено, но нет сходимости к θ 0. Наконец, квадрат 4 соответствует случаю, когда оценка смещена и несостоятельна. Если t несмещенная оценка параметра θ, то можно было бы подумать, что t 2 несмещенная оценка θ 2.

14 Основные понятия в теории оценок К сожалению, это не так, как это легко может быть показано, если использовать свойство линейности оператора ожидания. Конечно, если t 2 состоятельная оценка θ 2, то при больших объемах выборки оценка становится несмещенной (как показано в квадрате 2 рисунка). По этой причине мы обычно считаем состоятельность более важным свойством, чем несмещенность.

15 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Предположим, что имеется n измерений случайной переменной Х i с ф.п.в. f(x, θ), где θ неизвестный параметр. Если цель эксперимента состоит в извлечении информации об истинном значении θ 0 параметра θ, то необходимо иметь состоятельную оценку θ значения θ 0, т. е. θ должно сходиться к θ 0 с ростом n. Легко сконструировать величину с подобными свойствами сходимости, если использовать закон больших чисел. Из этого закона следует, что n 1 n i=1 a(x i ) n E a X = a X f X, θ dx, (95)

16 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Здесь a(x) некоторая функция X с конечной дисперсией D[a(X)]. Наиболее распространены следующие три метода оценок, использующие закон больших чисел: метод моментов, метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов.

17 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Метод моментов. Допустим, что можно найти такую функцию a(x), что правая часть уравнения (95) становится известной функцией h от θ: E a X = a X f X, θ dx = h θ. (96) Если это справедливо для истинного значения θ 0, то существует «обратная функция» h 1 для h, определенная соотношением h 1 h θ 0 θ 0.

18 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Соотношение (96) можно «решить» относительно θ 0 : θ 0 = h 1 E a X = h 1 a X f X, θ 0 dx. (97) Интуитивно понятно, что для получения оценки θ значения θ 0 необходимо заменить (95) на правую часть уравнения (97): θ = h 1 n 1 a(x i ) n i=1. (98)

19 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Если использовать этот метод, то в одномерном случае можно выбрать a X = X. (99) Из (96) следует, что h(θ 0 ) тогда является просто средним µ(θ 0 ), и состоятельная оценка θ задается уравнением n θ = μ 1 n 1 X i i=1 Когда оцениваются значения нескольких параметров θ = θ 1, θ 2,, θ r, то требуются различные функции a j (X)..

20 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Соотношение (96) тогда приобретает такой вид: E a j X = h j θ, j = 1,2,, r, (100) а оценками θ j являются решения системы уравнений, получаемых в результате замены n n 1 a j X i i=1 E a j X в уравнениях (100). В частном случае, когда a j X j = X j, функции h j (θ) имеют вид моментов μ j (θ) распределения f(x,θ). Отсюда и название метод моментов.

21 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Неявно определенные оценки. Другая, более общая альтернатива выбрать функцию a(x) в уравнении (96) как функцию обеих переменных X и θ. Допустим, что можно найти такую функцию a(x, θ), что h(θ) равно нулю для истинного значения параметра θ = θ 0 : E a X, θ 0 = a X, θ 0 f X, θ 0 dx = h θ 0 = 0. (101) Уравнение (101) и закон больших чисел (95) тогда приводят к неявному методу оценки.

22 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Определим экспериментальную функцию ξ наблюдений Х i : n ξ θ n 1 a X i, θ i=1. (102) В соответствии с законом больших чисел (95) ξ(θ) имеет в асимптотике те же самые корни, что и соотношение (101): ξ θ 0 n E a X, θ 0 = 0.

23 Обычные способы конструирования состоятельных оценок В таком случае оценка θ может быть определена неявно как корень уравнения ξ θ = 0. (103) Очевидно, что в частном случае метода моментов в качестве a(x, θ) в (102) нужно взять a X i E [a(x)]. Тогда уравнение (103) приводит к такому же результату, что и (98).

24 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Можно показать, что один из корней уравнения (101) дает состоятельную оценку θ 0 при двух условиях: 1) выполняются некоторые условия регулярности (в частности, ξ дифференцируема, среднее ξ и ξ θ существуют) и 2) в пределе при n ξ θ E 0. (104) θ θ=θ0

25 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Одна очевидная трудность при использовании такого неявного метода состоит в том, что уравнение (103) может иметь много решений и не существует способа отличить их друг от друга. Конечно, метод хорош, если функция (101) имеет только один нуль. На практике уравнения (103) конструируют путем наложения условия минимума или максимума на некоторую другую функцию g(x, θ), связанную с a(x, θ) соотношением a X i, θ = θ g X i, θ.

26 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Если выполняются условия (101) и (104), то один из максимумов или минимумов экспериментальной величины n 1 n i=1 g X i, θ дает состоятельную оценку θ значения θ 0 и это θ является корнем уравнения ξ θ = 1 n θ n i=1 g(x i, θ) = 0. (105) В соответствии с условием (101) функцию a X i, θ нужно выбрать в виде a X i, θ = θ g X i, θ E g(x i, θ) θ = θ0

27 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Практически E( g θ ) не должно зависеть от θ 0; если же оно зависит, то оценка бесполезна, поскольку истинное значение θ 0 неизвестно. Таким образом, соотношение (101) должно быть дополнено условием θ E g(x i, θ θ θ=θ 0 = 0

28 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Метод максимального правдоподобия. Важным случаем рассмотренного выше подхода является метод максимального правдоподобия. При знакомстве с понятием и свойствами информации, мы определили правдоподобие набора из n независимых наблюдений X i как где f(x i, θ) ф.п.в. L(X θ) = n i=1 f(x i, θ),

29 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Оценка максимального правдоподобия параметра θ есть такое значение θ, которое соответствует максимуму L(X θ) при заданных измерениях X. Метод максимального правдоподобия частный случай метода неявно определенных оценок, для которого g X i, θ = lnf X i, θ. (106) Тогда (104) приобретает следующий вид: θ n i=1 ln f X i, θ = θ lnl X, θ = 0. (107)

30 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Уравнение (107) называется уравнением правдоподобия. Оно отражает необходимое условие существования максимума L(X,θ) при условии, что максимум не лежит на границе области изменения θ. Оценка максимального правдоподобия θ является корнем уравнения (107). Легко показать, что эта оценка состоятельна. Более того, состоятельное решение в асимптотике дает абсолютный максимум правдоподобия. Но только в асимптотике, при n, поэтому нельзя быть уверенным, что максимум, найденный для конечного n, является абсолютным максимумом.

31 Обычные способы конструирования состоятельных оценок С ростом n относительные высоты различных максимумов lnl могут изменяться. Это отражает фундаментальную неопределенность истинного значения θ 0 при наличии выборок конечного размера.

32 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Методы наименьших квадратов. Рассмотрим множество наблюдений Y = {Y l,..., Y n ), распределенных случайно с ожиданиями E Y = M θ = m i θ, i = 1,, n, где М есть n-мерная функция r неизвестных параметров θ = {θ 1,θ 2,,θ n }. В соответствии с методами наименьших квадратов нужно отыскивать минимум квадратичной формы g Y, θ = [Y M θ ] T W Y M θ, (108) где W матрица весов, не зависящая от θ.

33 Обычные способы конструирования состоятельных оценок По-прежнему оценка наименьших квадратов является корнем уравнения (103), которое в этом случае приобретает форму ξ θ = g M θ T = W Y M θ = θ θ Если W остается положительно определенной и если матрица вторых моментов случайных переменных Y i остается ограниченной при стремлении n к бесконечности, то можно показать, что один из корней θ уравнения (109) является состоятельной оценкой.

34 Обычные способы конструирования состоятельных оценок Важным частным случаем является линейный метод наименьших квадратов, когда М(θ) линейная функция θ, т. е. M θ = E Y = A θ. Матрица A с постоянными элементами называется матрицей планирования. Тогда оценка является единственным корнем θ уравнения ξ θ = 2A T W Y A Q = 0. (109) Этот корень равен θ = A T WA 1 A T WY. (110)

35 Асимптотические распределения оценок Асимптотическими мы всегда называем свойства оценок, когда число наблюдений n становится бесконечно большим. Асимптотическая нормальность. Для того чтобы найти асимптотическое распределение состоятельных оценок, привлечем центральную предельную теорему. Из этой теоремы следует, что n n 1 a(x i ) i=1 ТЕОРИЯ ОЦЕНОК (111) в асимптотическом пределе распределена по нормальному закону со средним E[a(X)] и дисперсией n 1 D[a(X)] при условии, что D[a(X)] конечна.

36 Асимптотические распределения оценок Величину θ в уравнении (98) можно разложить в ряд вблизи E[a(X)]: θ = h 1 n 1 a(x i ) n n i=1 n 1 a(x i ) i=1 = h 1 E a X + h 1 a ТЕОРИЯ ОЦЕНОК E a X E a X + O n 1. (112) Очевидно, что при такой степени точности θ в асимптотическом пределе распределено по нормальному закону, поскольку выражение (111), а также все другие члены правой части (112) константы.

37 Асимптотические распределения оценок ТЕОРИЯ ОЦЕНОК Однако нормальность распределения оценки в виде (98) является в высшей степени асимптотическим свойством. Это следует из того факта, что случайная переменная (111) распределена по нормальному закону для конечного числа наблюдений, только если A(X i ) распределена также по нормальному закону. Даже если бы это выполнялось, то функция h в общем случае нарушала бы свойство нормальности при конечном числе наблюдений. Дисперсия случайной переменной (111) пропорциональна n 1. Поэтому в приближении уравнения (112) дисперсия θ пропорциональна n 1.

38 Асимптотические распределения оценок Нетрудно увидеть, что в асимптотике дисперсия D θ = E θ θ 0 2 = 1 n где D(а) дисперсия а(x). h 1 a 2 D a, В случае многих параметров θ = θ 1, θ 2,, θ r функции h 1 и а имеют вид векторных функций h 1 и а. Тогда матрица вторых моментов асимптотического распределения θ приобретает следующий вид: D ~ θ = E θ θ 0 θ θ 0 T = 1 n ТЕОРИЯ ОЦЕНОК h 1 a D ~ a h 1 a T.

39 Асимптотические распределения оценок ТЕОРИЯ ОЦЕНОК Здесь D a матрица вторых моментов a; h 1 матрица ~ a с элементами h i 1 и h 1 a j a = θ 0i. j Смещенность оценки обусловлена членами порядка n 1, которые были опущены в правой части уравнения (112). Из этого следует, что величина смещения по меньшей мере порядка n 1. Аналогичные результаты получаются, если используются неявно определенные оценки. Например, свойство нормальности следует из того факта, что точка В на рисунке слева распределена по нормальному закону вблизи С.

40 Асимптотические распределения оценок ТЕОРИЯ ОЦЕНОК Следовательно, в соответствии с центральной предельной теоремой ξ(θ 0 ) в (102) в окрестности нуля в асимптотике распределено по нормальному закону. Тогда в пределе, когда АС становится пропорциональной ВС, разность θ θ 0 также распределена по нормальному закону. Матрица дисперсий для θ равна: D ~ θ = 1 n E ξ(θ) θ θ=θ 0 1 D ~ a(x, θ 0 E ξ(θ) θ θ=θ 0 1 T, (113) ξ(θ) поскольку E в асимптотике равна тангенсу θ θ=θ 0 угла наклона ВА, а n 1 D[a(X,θ 0 )] асимптотической дисперсии ВС.

41 Информация и точность оценки Выше указывалось, что оценка есть случайная переменная и поэтому она имеет распределение вероятности по θ, часто называемое выборочным распределением. Ранее мы определили состоятельность и несмещенность таким образом, что выборочное распределение состоятельной оценки для достаточно большого числа наблюдений сконцентрировано сколь угодно близко к истинному значению θ 0, а выборочное распределение несмещенной состоятельной оценки всегда имеет в качестве центра θ 0. Интуитивно мы понимаем, что точность оценки связана с шириной этого распределения, т. е. обратна дисперсии оценки.

42 Информация и точность оценки Рассмотрим связь между информацией оценки и дисперсией ее выборочного распределения. Нижние границы для дисперсии неравенство Крамера-Рао. Пусть X наблюдения случайной величины, распределенной в соответствии с функцией плотности f(х θ), и пусть оценка θ имеет выборочное распределение q(θ θ). Обозначим функцию правдоподобия наблюдений L x, функцию правдоподобия оценки L θ и соответствующие информации через I х и I θ. В соответствии с (94) смещение есть функция истинного значения b = E θ θ 0 = θ X f X θ 0 dx θ 0

43 Информация и точность оценки Временно опустим индекс у θ. Дисперсия выборочного распределения D θ = θ E θ 2 q θ θ dθ (114) связана с информацией неравенством Крамера-Рао 1 + db db 2 dθ dθ D θ. (115) I X I θ Первая часть этого важного неравенства утверждает, что дисперсия несмещенной оценки ограничена снизу величиной, обратной информации, которую она содержит.

44 Информация и точность оценки Вторая часть неравенства означает, что дисперсия любой несмещенной оценки ограничена снизу величиной, обратной информации, содержащейся в наблюдениях. Заменяя I х в соответствии определением объема информации, получаем для любой оценки 2 dτ θ dθ где D θ E ln L X θ 2, (116) τ θ E θ = θ + b θ. (117)

45 Информация и точность оценки Неравенства (115) и (116) справедливы при условии, если: 1) область изменения переменных X не зависит от θ; 2) L X должна быть достаточно регулярной, чтобы дифференцирование по θ и интегрирование по X коммутировали друг с другом. Эффективность и минимальная дисперсия. Можно показать, что минимум дисперсии для статистики θ D θ = I θ db dθ 2 (118)

46 Информация и точность оценки достигается, когда выборочное распределение θ имеет экспоненциальную форму: L θ = q θ θ = exp a θ θ + β θ + c θ. (119) Здесь a θ интеграл от произвольной функции A θ, определяемой функцией правдоподобия L θ, β θ константа интегрирования, а c θ произвольная функция. Когда также и второе неравенство в (115) превращается в равенство I θ = I X, (120) дисперсия D θ достигает границы минимальной дисперсии.

47 Информация и точность оценки В этом случае говорят, что статистика θ является эффективной оценкой. Важно отметить различие между: 1) минимальной дисперсией, когда данная оценка θ имеет наименьшую дисперсию в семействе рассматриваемых оценок; 2) границей минимальной дисперсии для выборки данных X, достигаемой, когда выполняются соотношения (118) и (119) (оценка θ эффективна). Уравнение (120) является необходимым и достаточным условием того, что θ служит достаточной статистикой для θ.

48 Информация и точность оценки Если существует достаточная статистика t, то в соответствии с теоремой Дармуа (см. лекцию об информации) ф.п.в. f(x,θ) имеет экспоненциальную форму. С другой стороны, если f(x,θ) имеет экспоненциальную форму, то n t = n 1 α(x i ) i=1 является достаточной статистикой из выборочного распределения экспоненциальной формы q t θ = exp [a θ t + β 1 t + c θ ] (121)

49 Информация и точность оценки Здесь β 1 можно выразить через β, если использовать уравнение (118). Можно показать, что dc E t = dθ r θ. da dθ Поэтому статистика (121) служит несмещенной оценкой для r(θ), и поскольку q(t θ) имеет экспоненциальную форму, справедливо соотношение D t = I t 1 r θ = I X 1 r θ. Наконец, несмещенная оценка t с дисперсией, равной границе минимальной дисперсии, существует тогда и только тогда, когда распределение f(x, θ) имеет достаточные статистики.

50 Информация и точность оценки В этом случае функция r(θ), оцениваемая с помощью t, единственна с точностью до линейного преобразования. Теорема Гаусса-Маркова. В тех случаях, когда достаточные статистики не существуют, наша цель должна быть более скромной. Рассмотрим класс несмещенных оценок, которые являются линейными функциями результатов наблюдений. Пусть имеется выборка размером п наблюдений Y 1, Y 2,..., Y n с ф.п.в. f(y θ), зависящей от k неизвестных параметров θ, и с матрицей вторых моментов D.

51 Информация и точность оценки Необходимое условие существования несмещенных линейных оценок θ состоит в том, что E Y = A ~ θ, где A n k-матрица констант. Тогда оценки задаются ~ уравнением (110), с W = D 1 : θ = A. T D. 1 1 A. A ~. T D. 1 Y. (122) ~ ~ ~ ~ Теорема Гаусса-Маркова утверждает, что среди оценок рассматриваемого класса оценки (122) метода наименьших квадратов для линейного случая имеют минимальную дисперсию.

52 Информация и точность оценки Важно отметить, что не делались никакие предположения о распределении наблюдений Y, кроме того что их среднее значение есть линейная функция параметров. Оптимальные свойства оценок метода наименьших квадратов, а именно минимальная дисперсия и несмещенность, следуют прямо из линейности задачи. Кроме того, эти свойства имеют место при любом числе наблюдений.

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2011

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2011 Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2011 1. Основная задача математической статистики. Понятие вероятностно-статистической модели. Примеры: выборка и линейная

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел.

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 0 Неравенства Маркова и ЧебышеваЗакон больших чисел Предельные теоремы теории вероятностей В теории вероятностей часто изучаются случайные

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Условия Гаусса-Маркова Теорема Гаусса-Маркова Свойства МНК-оценок. Лекция 8

Условия Гаусса-Маркова Теорема Гаусса-Маркова Свойства МНК-оценок. Лекция 8 Условия Гаусса-Маркова Теорема Гаусса-Маркова Свойства МНК-оценок Лекция 8 CВОЙСТВА ОЦЕНОК КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ Для того чтобы полученные по МНК оценки обладали некоторым полезными статистическими свойствами

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство Российской Федерации по связи и информатизации Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики Н. И. Чернова МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебное пособие Новосибирск 2009

Подробнее

Работа 1.3 Исследование зависимостей T(l) и A(t) математического маятника

Работа 1.3 Исследование зависимостей T(l) и A(t) математического маятника Работа 13 Исследование зависимостей T(l) и A(t) математического маятника Оборудование: штатив, маятник, линейка, электронный счетчик-секундомер Описание метода Графический метод является наиболее простым

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа 46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ» Министерство сельского хозяйства РФ Департамент научно-технологической политики и образования ФГОУ ВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия Кафедра высшей математики МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Математическая статистика.

Математическая статистика. Лекция. Математическая статистика. Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов.

Подробнее

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 3 Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция

Подробнее

Статистика (функция выборки)

Статистика (функция выборки) Статистика (функция выборки) Материал из Википедии свободной энциклопедии Статистика (в узком смысле) это измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения. В

Подробнее

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

Содержание. Предисловие... 9

Содержание. Предисловие... 9 Содержание Предисловие... 9 Введение... 12 1. Вероятностно-статистическая модель и задачи математической статистики...12 2. Терминология и обозначения......15 3. Некоторые типичные статистические модели...18

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Б.И. Положинцев Теория вероятностей и математическая статистика Введение в математическую статистику Санкт-Петербург Издательство СПбГПУ

Подробнее

Теория устойчивости Ляпунова.

Теория устойчивости Ляпунова. Теория устойчивости Ляпунова. Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении

Подробнее

Оценивание моделей. Метод максимального правдоподобия

Оценивание моделей. Метод максимального правдоподобия Оценивание моделей дискретного выбора Метод максимального правдоподобия План лекции. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок ММП 3. Пример оценки ММП для классической линейной регрессии 4. Модели

Подробнее

Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения

Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения В случае, когда число значений признака Х велико или признак является непрерывным, составляют интервальный ряд. Опр. Интервальный

Подробнее

Лекции по математической статистике 2-й курс ЭФ, отделение «математические методы и исследование операций в экономике»

Лекции по математической статистике 2-й курс ЭФ, отделение «математические методы и исследование операций в экономике» Лекции по математической статистике 2-й курс ЭФ, отделение «математические методы и исследование операций в экономике» Н. И. Чернова cher@nsu.ru Стр. 1 Предлагаемый вашему вниманию курс теоретической статистики

Подробнее

Ульянов В. В. Ушаков В Г. Байрамов Н. Р. Нагапетян Т. А. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ульянов В. В. Ушаков В Г. Байрамов Н. Р. Нагапетян Т. А. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Ульянов В. В. Ушаков В Г. Байрамов Н. Р. Нагапетян Т. А. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Москва 007 Аннотация. Данное методическое пособие предназначено для подготовки к экзамену по теории вероятности

Подробнее

Семинар 3. Генерирование случайных величин. Повторение теории вероятностей и математической статистики. Задание для выполнения на компьютерах 1 :

Семинар 3. Генерирование случайных величин. Повторение теории вероятностей и математической статистики. Задание для выполнения на компьютерах 1 : Семинары по эконометрике 0 год Преподаватель: Вакуленко ЕС Семинар 3 Генерирование случайных величин Повторение теории вероятностей и математической статистики Задание для выполнения на компьютерах : Сгенерируйте

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лабораторная работа МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ Дискретные случайные величины Слова "случайная величина" в обыденном смысле употребляют

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ЯДЕРНОЙ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ЯДЕРНОЙ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ЯДЕРНОЙ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ А.В. Антонов, Н.Г. Зюляева, В.А. Чепурко В настоящее время особую актуальность имеют вопросы обеспечения надежного функционирования объектов ядерной

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Непрерывные случайные величины.

Непрерывные случайные величины. Непрерывные случайные величины. Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной. В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Тема 5. Непрерывные случайные величины.

Тема 5. Непрерывные случайные величины. Тема 5. Непрерывные случайные величины. Цель и задачи. Цель контента темы 5 дать определение непрерывной случайной величины, ее функции распределения и функции распределения; рассмотреть особенности задания

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Семинар 5. Модели ARMA

Семинар 5. Модели ARMA Семинар 5. Модели ARMA 5.1. Авторегрессионная модель (AR) Авторегрессионная модель p-го порядка (обозначается AR(p)) имеет вид y t = p a k y t k + ε t, где ε t белый шум. Изучим свойства модели на примере

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Кафедра физической химии. А. В. Блохин ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА. Курс лекций.

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Кафедра физической химии. А. В. Блохин ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА. Курс лекций. БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра физической химии А. В. Блохин ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Курс лекций В двух частях Часть МИНСК 00 Автор-составитель Блохин А.В., кандидат химических

Подробнее

Эконометрическое моделирование

Эконометрическое моделирование Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 7 Анализ остатков. Автокорреляция Оглавление Свойства остатков... 3 1-е условие Гаусса-Маркова: Е(ε i ) = 0 для всех наблюдений... 3 2-е условие Гаусса-Маркова:

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Математическая статистика (программа учебного курса)

Математическая статистика (программа учебного курса) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный

Подробнее

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Основные понятия теории вероятностей Многие объекты в математике определяются указанием операций которые можно выполнять над объектами и перечислением свойств которым удовлетворяют

Подробнее

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ООП: 120103.65 Космическая геодезия Дисциплина: Математика Время выполнения теста: 80 минут Количество заданий: 45 ТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АПИМ N ДЕ Наименование

Подробнее

Лекция 4. Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ. Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 4. Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 4 Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й

Подробнее

Метод существенной выборки для оценивания границ доверительных интервалов в задачах параметрической нелинейной регрессии

Метод существенной выборки для оценивания границ доверительных интервалов в задачах параметрической нелинейной регрессии Санкт-Петербург 1/19 Горлова Марина Владимировна, гр. 5222013г. Существенная выборка в задачах регрессии Метод существенной выборки для оценивания границ доверительных интервалов в задачах параметрической

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Постановка задачи. Основу математических моделей многих процессов и явлений в физике, химии, биологии, экономике и других областях составляют уравнения

Подробнее

Камчатский государственный технический университет. Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА. Модель парной регрессии

Камчатский государственный технический университет. Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА. Модель парной регрессии Камчатский государственный технический университет Кафедра высшей математики ЭКОНОМЕТРИКА Модель парной регрессии Задания и методические указания для студентов специальностей ФК, БУ, ПИ дневного и заочного

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1 Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) Операционное исчисление один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Кафедра теории вероятностей и математической статистики Н. И. Чернова Математическая статистика

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

Кафедра автоматизации исследований и технической кибернетики. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине: ОПД.Ф.14 «Математическая статистика»

Кафедра автоматизации исследований и технической кибернетики. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине: ОПД.Ф.14 «Математическая статистика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Выборка гиперслучайной величины

ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Выборка гиперслучайной величины ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Формализовано понятие гиперслучайной выборки и определены ее свойства предложена методология формирования оценок характеристик гиперслучайной величины и исследована

Подробнее

Заметки по матричным вычислениям и нормальному распределению

Заметки по матричным вычислениям и нормальному распределению Заметки по матричным вычислениям и нормальному распределению Матричные вычисления Здесь и далее вектора будут обозначаться жирным шрифтом x,y,, а матрицы заглавными буквами A,B, При этом под вектором всегда

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Ответы на тест по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Июнь 2004 года. A n F. n=1. i=1

Ответы на тест по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Июнь 2004 года. A n F. n=1. i=1 Ответы на тест по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Июнь 2004 года 1 1. Основные понятия теории вероятностей. 1.1 1.2 A B = A B = A B (A \ B) (B \ A) = A B 1.3 A (A B) = A (A B) =

Подробнее

Лекция 2. Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента

Лекция 2. Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента Лекция 2 Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента Доверительный интервал Задача на практике - при ограниченной выборке оценить точность и надежность вычисления

Подробнее

Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций

Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций На этом занятии рассматривается вычисление интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций. Обсуждаются случаи

Подробнее

СЕМИНАР 1 переменные параметры

СЕМИНАР 1 переменные параметры СЕМИНАР Основные понятия. Составление (вывод) дифференциального уравнения. Понятие решения дифференциального уравнения. Решение методом разделяющихся переменных. Решение линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Глава VI Натурные испытания

Глава VI Натурные испытания Глава VI Натурные испытания Испытания систем управления есть экспериментальные исследования опытного образца системы и ее компонентов на соответствие техническому заданию. По сути, опытный образец является

Подробнее

Лекция 2. Задачи прогнозирования, Линейная машина, Теоретические методы оценки обобщающей способности, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 2. Задачи прогнозирования, Линейная машина, Теоретические методы оценки обобщающей способности, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 2 Задачи прогнозирования, Линейная машина, Теоретические методы оценки обобщающей способности, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. С. Л. СОБОЛЕВА Д. А. КОРШУНОВ, Н. И. ЧЕРНОВА СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ Учебное

Подробнее

Лекция 2 дополнение. Распределение Стьюдента Доверительный интервал в программе «Описательная статистика»

Лекция 2 дополнение. Распределение Стьюдента Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Лекция 2 дополнение Распределение Стьюдента Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента Это распределение получило свое название от псевдонима Student, которым

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков

Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2013 1

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

УДК ББК Т47

УДК ББК Т47 УДК 004.9 ББК 32.97 Т47 Электронный аналог печатного издания: Информатика и математика : в 3 ч. Ч. 2 : Решение уравнений / В. И. Тишин. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. 112 с. : ил. Тишин В. И. Т47

Подробнее

Теория ошибок и обработка результатов эксперимента

Теория ошибок и обработка результатов эксперимента Теория ошибок и обработка результатов эксперимента Содержание 1. Классификация и типы ошибок. 2. Прямые и косвенные измерения. 3. Случайные измерения и ошибки. 3.1. Понятие вероятности случайной величины.

Подробнее

Retinskaya.jimdo.com

Retinskaya.jimdo.com ЛЕКЦИЯ 1 Классификация экспериментальных исследований Определение и свойства функции распределения. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал Квантиль распределения Выборочная функция

Подробнее

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Знакоопределенные функции

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Знакоопределенные функции ГЛАВА ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА 77 ГЛАВА ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений при помощи

Подробнее

w j g j (x i ) + ε i.

w j g j (x i ) + ε i. В. В. Стрижов. «Информационное моделирование». Конспект лекций. Введение, метод наименьших квадратов Введение Термин регрессия был введен Фрэнсисом Гальтоном в конце 19-го века. Гальтон обнаружил, что

Подробнее

Оценивание скорости убывания экспоненциального хвоста распределения

Оценивание скорости убывания экспоненциального хвоста распределения Информационные процессы, Том 9, 3, 2009, стр. 210 215. c 2009 Давиденко. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ Оценивание скорости убывания экспоненциального хвоста распределения М.Г. Давиденко

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Математический анализ в вопросах и задачах

Математический анализ в вопросах и задачах ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Математический

Подробнее

2 Численные методы решения уравнений.

2 Численные методы решения уравнений. 2 Численные методы решения уравнений. 2.1 Классификация уравнений, их систем и методов решения. Уравнения и системы уравнений делятся на: 1) алгебраические: уравнение называется алгебраическим, если над

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА. Научно-исследовательский вычислительный центр. О. Б. Арушанян, С.Ф.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА. Научно-исследовательский вычислительный центр. О. Б. Арушанян, С.Ф. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА Научно-исследовательский вычислительный центр О. Б. Арушанян, С.Ф. Залеткин РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ РУНГЕ

Подробнее

Виды сходимости последовательностей случайных величин

Виды сходимости последовательностей случайных величин С.Я. Шатских Лекции по теории вероятностей Виды сходимости последовательностей случайных величин Черновик Сходимость по вероятности. Будем считать, что все интересующие нас случайные величины определены

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА Методические указания Санкт-Петербург 2013

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского И.А. Кузнецова О.А. Мыльцина А.К. Смирнов И.Я. Чернявский ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебное пособие для студентов заочного

Подробнее