[] - Гауссово обозначение суммы

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "[] - Гауссово обозначение суммы"

Транскрипт

1 Принцип наименьших квадратов, задачи решаемые МНК Параметрический способ уравнивания, оценка точности Коррелатный способ уравнивания Пример уравнивания измеренных углов треугольника параметрическим и коррелатным способами Принцип наименьших квадратов, задачи решаемые МНК В практике геодезических измерений часто возникает задача совместной обработки (уравнивания результатов измерения величин связанных функционально, причём форма связи известна заранее, а количество измерений больше количества неизвестных ( >. Наличие избыточных измерений ( позволяет выполнить контроль произведённых измерений и определить их точность. Получение вероятнейших значений неизвестных, оценка их точности и точности функций от них составляют задачу уравнивания. Уравнивание выполняют по методу наименьших квадратов, согласно которому, измеренные величины получают поправки, такие что: [ ] m ([ ] m (правило наименьших квадратов ( где [] - Гауссово обозначение суммы - веса измерений [ ] Карлом Гауссом и Андреем Марковым доказано что правило наименьших квадратов приводит к наилучшим оценкам для искомых неизвестных, эти оценки являются неещёнными и обладают минимальной дисперсией. З. Неещённая оценка в математической статистике это точечная оценка, математическое ожидание которой равно искомому параметру, то есть оценка лишённая систематической ошибки. Дисперсия мера разброса случайной величины, то есть её отклонение от математического ожидания. Существует два основных способа уравнивания: - параметрический - коррелатный В первом случае решение приводит к непосредственному получению уравненных значений неизвестных - параметров. Во втором, вычисляются уравненные коррелаты, а затем, и уравненные неизвестные как функции от них. Оба способа приводят к одинаковым результатам уравнивания, а выбор метода определяется объёмом вычислений при решении конкретной задачи. Например, в полигонометрическом ходе, число параметров в два раза больше числа пунктов (каждый пункт имеет по две координаты - и. Число всех измерений в

2 полигонометрическом ходе ( - число углов и сторон. При уравнивании хода параметрическим способом пришлось бы решать уравнений, а при уравнивании коррелатным -, что значительно меньше. Поэтому полигонометрия, как правило уравнивается коррелатным способом. Кроме указанных основных способов уравнивания существуют и комбинированные способы, сочетающие достоинства обоих. Параметрический способ уравнивания, оценка точности I Теория параметрического способа уравнивания Пусть в качестве неизвестных (параметров выбрано величин с точными значениями. Выбранные параметры не должны быть связаны функционально. Также, пусть измерено функций этих параметров. Тогда: (,, ( где > Уравнение ( это параметрическое уравнение связи. Так как точные значения параметров ( неизвестны, то нельзя определить и точные значения функций (. Но в силу переопределённости системы ( ( >, можно вместо точных значений и обозначить значения и такие, что ( где - уравненные значения функций - измеренные значения функций - поправки И система ( примет вид: (,, (* Система (* в общем случае не линейна, чтобы привести её к линейному виду, разложим уравнения в ряд Тейлора: ( g,, выделим : g (,, ( где - параметры

3 - начальные приближенные значения параметров - поправки в приближенные значения параметров g,,, - частные производные функций ( или (* по параметрам или g Частные производные могут быть взяты и по. Система ( называется системой параметрических уравнений поправок. Она состоит из уравнений с неизвестными, и переопределена так как >. Решим систему ( под условием [ ] m : ( ( F g,,, Для нахождения минимума функции найдём частные производные и приравняем их к нолю: [ ] [ ] [ ] g F F F ( Равенство ( выражает собой лемму Гаусса. g g g (*

4 g [ ] [ ] [ ] [ g] [ ] g g Аналогично, если каждое из уравнений (* последовательно умножить на,, g и просуммировать по столбцам, то получим: [ ] [ ] [ g] [ ] [ ] [ ] [ g] [ ] [ g] [ g] [ gg] [ g] (6 Система (6 состоит из уравнений с неизвестными и называется системой нормальных уравнений (СНУ. Её особенности: - на главной диагонали матрицы коэффициентов стоят только положительные, они называются квадратичными - коэффициенты расположенные симметрично относительно главной диагонали равны Решение СНУ (6 обычно выполняется методом Гаусса последовательного исключения неизвестных. В результате, определяются поправки к. В случае нелинейности параметрических уравнений ( задача решается методом последовательных приближений. З. Если уравнения ( линейны, из решения системы (6 сразу определяются уравненные параметры, которые максимально близки к точным. Подставив найденные значения параметров в Систему (, можно вычислить поправки измеренных функций а затем и уравненные значения измеренных функций по уравнениям (. II Матричные формулы параметрического способа уравнивания Вывод формул с помощью элементарной алгебры матриц: g Параметрические уравнения поправок ( в матричной форме: A L V (** Матрица частных производных:

5 A g g Матрица-столбец параметров: (,,, ( Матрица-столбец свободных членов: ( L,,, Матрица столбец поправок: ( V,,, Умножим матричное уравнение (** слева на A P : A PA A PL A PV где: P Матричная форма леммы Гаусса: A PV То есть [ ] [ ] [ g] A PA A PL A PA N - матрица коэффициентов СНУ (6. N A PL N A PL Определив параметры по уравнению (7, подставляем их в уравнение (**, определяем поправки и находим результаты измерений V. Вывод формул с помощью дифференцирования матричных выражений: Пусть дана СЛАУ:

6 m m m (8 В матричной форме: A,, ( m ( m A (,, (9 Отметим, что преобразование величин в называется линейным преобразованием. А матрица A называется матрицей линейного преобразования. О. Производной от m-мерного вектора по -мерному называется матрица частных производных. m m m В нашем случае: ( A m m A П. - B? Т.к. мы не умеем дифференцировать транспонированные матрицы, то транспонируем уравнения: B B П. - A? u u ( u Z A A Z ( A { } Z { } { } { } A A ( A A A A ( A A 6

7 A L V (** F V PV F V m F P P ( A L P( A L F F V Z {( A L } P( A L ( A L { P( A L } Z {( A L } P( A L ( A L PA Z ( A L P{ ( A L } ( A L PA Транспонируем полученный дифференциал: A P ( A L A PA A PL A PA N A PL N A PL N A PL III Оценка точности Оценка точности это центральный вопрос в любых вычислениях. СКП искомых параметров ( m вычисляется по формуле: m μ ( Q где μ - ошибка единицы веса. μ [ ] Сумма [ ] в данном случае вычисляется на последнем этапе решения задачи, при вычислении по найденным. Q - весовые коэффициенты, диагональные элементы матрицы весов: 7

8 Q Q.. Q Q Q.. Q вычисляются из СНУ (6, в которой столбец свободных членов последовательно заменяется столбцами,,,. [ ] [ ] [ g] При решении СНУ (6 с первым столбцом свободных членов, определим первый столбец Q и так далее. Таким образом, чтобы определить все весовые коэффициенты, СНУ (6 необходимо решить раз. Коррелатный способ уравнивания I Теория коррелатного способа уравнивания В практике геодезических измерений, число измерений больше или равно количеству неизвестных (. Поэтому истинные значения ( измеряемых величин должны быть связаны между собой точными математическими зависимостями. (,, f ( Причём:,, Уравнения ( называются условными уравнениями. Так как истинные значения измеренных величин неизвестны, то заменим в уравнении ( на, такие что: - уравненные значения - измеренные значения - поправки в измеренные значения f,, (* В общем случае, уравнения (* не линейны, поэтому разложив их в ряд Тейлора и ограничившись линейным методом разложения, получим: 8

9 q q q ω ω ω (,, q, - частные производные функций (* по (, q f f f ω - невязки ( ω (,, измеренных значений.,, вычисляются из уравнений (* при подстановке Уравнения ( условные уравнения поправок. Система ( содержит уравнений с неизвестными и имеет бесконечное множество решений ( <. В обозначениях Гаусса, система ( имеет вид: [ ] [ ] ω ω [ q] ω (* Выберем из множества решений (* одно, удовлетворяющее принципу наименьших квадратов. Для этого составим функцию Лагранжа: [ ] [ ] ( ω λ ([ ] ω λ ([ q] ω Φ λ ( Для нахождения минимума функции (, найдём её частные производные по и приравняем их к нолю: Φ Φ λ λ λ q λ где - коррелаты. 9

10 Выделим из полученного уравнения : ( q - обратные веса ( - вес ( q ( Уравнения ( называются коррелатными уравнениями поправок. Система ( содержит уравнений с неизвестными, то есть она по-прежнему неопределённа. Для вычисления неизвестных коррелат, подставим уравнения ( в уравнения (. Подставим,, в первое уравнение системы (: Сложим по столбцам: q q q [ ] [ ] [ q] ω ω Аналогично поступим с остальными уравнениями (: [ ] [ ] [ q] [ ] [ ] [ q] ω ω [ q] [ q] [ qq] ω (6 Система (6 система нормальных уравнений коррелат. Система содержит уравнений с неизвестными, и решается как правило методом Гаусса последовательного исключения неизвестных. Система (6 имеет те же особенности, что и система нормальных уравнений в параметрическом способе. При решении уравнений (6 найдём коррелаты, подставим их в уравнения ( и вычислим поправки, а затем и уравненные измерения. II Матричные формулы коррелатного способа уравнивания Условные уравнения поправок ( в матричной форме: A V (**

11 где: A q q q - матрица частных производных ( V,, - матрица-столбец поправок, ( ω ω,, ω - матрица-столбец невязок, Составим функцию Лагранжа: ( A V Φ V PV K (* ( K,,, - матрица-столбец коррелат Φ V V P K A V P K A PV AK V P AK (* (коррелатные уравнения поправок в матричной форме Подставим уравнение (* в уравнение (**: A P AK N A P A NK (нормальные уравнения коррелат в матричном виде K N (7 NK (6* Найдя решение уравнения (6* подставим коррелаты (7 в уравнение (*, найдём поправки и вычислим уравненные измерения V. Пример уравнивания измеренных углов треугольника параметрическим и коррелатным способами I Уравнивание измеренных углов треугольника параметрическим способом Дано: в ABC A,,, A A и измерены угла треугольника,,. Требуется уравнять измеренные значения углов, чтобы определить координаты B. Δ известны (

12 Для решения треугольника с известной стороной, необходимо знать два прилегающих к ней угла. Так как измеренных угла три, то одно измерение избыточно, и возникает задача уравнивания. Выберем неизвестные (параметры и определим их количество. В нашем случае (общее число измерений, (число избыточных измерений, (число необходимых измерений. То есть число параметров. В качестве параметров выберем дирекционные углы AB и CB и обозначим их как AB, CB. Составим параметрические уравнения связи. ( ( ( CA CB CB AB BC BA AB Так как точные значения параметров вычислить невозможно, и невозможно найти истинные значения измеренных функций, то в параметрических уравнениях связи перейдём к результатам измерений. ( 8 6 Определим начальные приближенные значения неизвестных. ( 8 d Вычислим коэффициенты и свободные члены параметрических уравнений поправок. (,, ( ( ( e Составим параметрические уравнения поправок.

13 g f Вычислим коэффициенты и решим систему нормальных уравнений. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] g Вычислим поправки в измерения, подставив найденные значения параметрические уравнения поправок. h Вычислим уравненные значения измеренных величин. З. Невязка треугольника при равноточных измерениях распределяется на три угла поровну с обратным знаком. II Уравнивание измеренных углов треугольника коррелатным способом Дано: в ABC Δ известна сторона и измерены угла,, (истинные значения,,. Определить уравненные значения,,. Количество избыточных измерений, то есть мы можем составить только одно условное уравнение. 8 f или 8 f

14 Составим условные уравнения поправок. ω f f f f f Составим коррелатные уравнения поправок. ( Если измерения равноточны, то. d Вычислим коэффициенты и решим систему нормальных уравнений коррелат. [ ] ω ω - невязка, вычисленная по измеренным величинам. 8 ω e f Если же измерения неравноточны, и углы,, измерены с весами,, (обратные веса,,, то: ( Коррелатные уравнения поправок. ( (d [ ]

15 ( и так далее. III Уравнивание разнородных измерений В треугольнике дана сторона AB. м, измерены две другие стороны и все углы. Требуется найти уравненные значения измеренных величин. Результаты измерений: м 8.66м Углы измерены со средней квадратической ошибкой m. Средние квадратические ошибки измерений сторон, могут быть вычислены по формуле: S ( m ( ( 7988( m ( ( ( m ( (. Веса вычислим по формуле: m Тогда:

16 Выберем в качестве неизвестных два угла прилегающих к известной стороне и уравняем измерения параметрическим способом. Составим систему параметрических уравнений связи ( по количеству измерений: 8 s s 8 s s 8 ( ( Далее необходимо перейти к системе параметрических уравнений поправок. Чтобы вычислить свободные члены и коэффициенты параметрических уравнений поправок, необходимо определить предварительные приближенные значения неизвестных. Для этого вычислим угловую невязку треугольника и распределим её с обратным знаком во все углы поровну: Возьмём частные производные параметрических уравнений по неизвестным: 6

17 s s s s s s s( s s( s ( s( 67.7 ( s( 6.6 ( s( s s( s ( Здесь, при вычислении значений коэффициентов вместо точных значений неизвестных подставляем их предварительные значения s s 8 ( s( s s s 6 8 s 68 ( s( Система параметрических уравнений поправок: ρ ρ ρ ρ.6.6 Здесь, в двух последних уравнениях поправки измеряемые в секундах необходимо перевести в радианы. Отсюда в уравнениях появляется коэффициент ρ. С его учётом: 7

18 Составим систему нормальных уравнений: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Решим систему способом Гаусса: Для контроля вычислим сумму нормальных уравнений и подставим в неё найденные значения: (..9. Полученная ошибка пренебрежимо мала. 8

19 9 ( ( ( ( м м В матричной форме: Составим матрицу частных производных, матрицу свободных членов, матрицу весов и матрицу измерений. A Система параметрических уравнений поправок в матричном виде: V L A Вычислим матрицу коэффициентов системы нормальных уравнений и марицу обратную ей PA A N

20 N Вычислим матрицу неизвестных PL A N Вычислим матрицу поправок в измерения L A V Вычислим матрицу уравненных измерений. м м V Составим условные уравнения и уравняем измерения коррелатным способом. s s s s 8 Возьмём частные производные по измерениям:

21 . s s s.8 s s s. s s.7 s s ρ ρ ρ ρ Здесь, деление на ρ происходит по причинам аналогичным параметрическому способу (для того, чтобы перевести поправки в углы в условных уравнениях поправок из секунд в радианы. Вычислим невязки: s 6 s s 6 s Составим систему условных уравнений поправок: ω ω ω Обратные веса:.9. Система нормальных уравнений коррелат: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ω ω ω

22 Решив эту систему (например способом Гаусса вычислим коррелаты После чего, ожем вычислить поправки в измерения и уравненные значения измерений. ( ( ( ( ( ( ( ( (. ( (. ( 6.99 (. (. ( 8.78 ( 6.99 (.9 ( ( ( м м В матричной форме:. Составим матрицу частных производных, матрицу невязок, матрицу весов и матрицу измерений, после чего сразу вычислим транспонированную матрицу частных производных и обратную матрицу весов. 6. A A P P Вычислим матрицу коэффициентов системы нормальных уравнений коррелат и матрицу обратную ей.

23 A P A N N Вычислим матрицу коррелат N K Вычислим матрицу поправок AK P V Вычислим матрицу уравненных измерений. м м V


Билет 1. Билет 2. Билет 3

Билет 1. Билет 2. Билет 3 Билет. Измерения. Классификация ошибок измерений. Структура истинной ошибки измерений..структура корреляционной матрицы вектора измерений. Матрица весовых коэффициентов. Связь корреляционной и весовой

Подробнее

Элементы уравнительных вычислений

Элементы уравнительных вычислений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра геодезии и маркшейдерского дела Тимченко А.М. Элементы уравнительных вычислений Учебное пособие

Подробнее

Содержательный модуль 1

Содержательный модуль 1 Содержательный модуль 1 Уравнивание результатов геодезических измерений методами математической статистики 1.1. Сущность задачи уравнивания результатов измерений в геодезии Напомним, что до сих пор, математическая

Подробнее

Методические указания. Уравнивание геодезических измерений параметрическим способом

Методические указания. Уравнивание геодезических измерений параметрическим способом Министерство образования и науки Российской Федерации МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАИК) Методические указания Уравнивание геодезических измерений параметрическим способом

Подробнее

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ВП ПОДШИВАЛОВ профессор дтн заведующий кафедрой инженерной геодезии Белорусский национальный технический университет

Подробнее

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТ УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТ УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ ББ Серапинас ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТ Уравнивание геодезических сетей Лекция 9 ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАРТ УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ Уравнивание Уравнивание геодезических сетей является важнейшим

Подробнее

2.3. Фотографическая астрометрия. Астрографы и приборы для измерения астронегативов. Измеренные и стандартные координаты. Методы Тернера и Шлезингера.

2.3. Фотографическая астрометрия. Астрографы и приборы для измерения астронегативов. Измеренные и стандартные координаты. Методы Тернера и Шлезингера. 3 Фотографическая астрометрия Астрографы и приборы для измерения астронегативов Измеренные и стандартные координаты Методы Тернера и Шлезингера В процессе редукции фотографических измерений используют

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ. Метод наименьших квадратов

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ. Метод наименьших квадратов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НБ Лесных ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Метод наименьших квадратов

Подробнее

Обработка измерений геодезических сетей (параметрический способ)

Обработка измерений геодезических сетей (параметрический способ) Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет Обработка измерений геодезических сетей (параметрический способ) Методические указания к практическим

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НБ Лесных ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Уравнивание системы полигонометрических ходов способом эквивалентной замены

Уравнивание системы полигонометрических ходов способом эквивалентной замены Уравнивание системы полигонометрических ходов способом эквивалентной замены Составитель: старший преподаватель кафедры астрономии и космической геодезии Г.З.Минсафин Уравнивание Уравниванием геодезических

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный минерально-сырьевой университет

Подробнее

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа 46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Подробнее

ОБРАБОТКА ИЗМЕРЕНИЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

ОБРАБОТКА ИЗМЕРЕНИЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет ОБРАБОТКА ИЗМЕРЕНИЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ Методические указания к практическим занятиям Составитель НГ Березин

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ ГА Нефедова ВА Ащеулов ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ В КОНСПЕКТИВНОМ ИЗЛОЖЕНИИ Новосибирск СГГА Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ 4 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ 5 Результаты

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования. Требования ГОС к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования. Требования ГОС к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 00 Прикладная геодезия Дисциплина: ТМОГИ Время выполнения теста: 0 минут Количество заданий: 5 Требования ГОС к обязательному минимуму

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

П Р И Л О Ж Е Н И Е 1 ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ СЧЕТЕ ЧАСТИЦ

П Р И Л О Ж Е Н И Е 1 ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ СЧЕТЕ ЧАСТИЦ П Р И Л О Ж Е Н И Е ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ СЧЕТЕ ЧАСТИЦ Результат физического измерения всегда отклоняется от действительного значения измеряемой величины Это отклонение (ошибка измерения) складывается из

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов Метод наименьших квадратов Метод наименьших квадратов один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений содержащих случайные ошибки. Метод наименьших квадратов

Подробнее

Подстановкой этого уравнения в дискретизированное уравнение неразрывности, приведенное выше, получаем выражение для давления:

Подстановкой этого уравнения в дискретизированное уравнение неразрывности, приведенное выше, получаем выражение для давления: ЛЕКЦИЯ 2. Основы вычислительной аэрогидромеханики. Часть 2. В данной лекции рассматриваются различные алгоритмы решения для связи уравнений скорости и давления, методы решения СЛАУ. Алгоритм SIMPLE. 1.

Подробнее

Приближенные числа и вычисления

Приближенные числа и вычисления ) Основные понятия ) Влияние погрешностей аргументов на точность функции 3) Понятие обратной задачи в теории погрешностей ) Основные понятия I Приближенные числа, их абсолютная и относительная погрешности

Подробнее

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений. Определение блочных матриц Для решения систем линейных алгебраических уравнений синтезированного алгоритма МНК-уравнивания

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ГА Нефедова ВА Ащеулов ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

Подробнее

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение.

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. 6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать

Подробнее

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирская Государственная Геодезическая Академия»

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Лабораторная работа «Решение задач по теории погрешностей»

Лабораторная работа «Решение задач по теории погрешностей» Лабораторная работа «Решение задач по теории погрешностей» 1. Погрешности измерений. Свойства случайных погрешностей Геодезические работы связаны с выполнением измерений различных величин расстояний, превышений,

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация)

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Аппроксимация по МНК Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Одна из главных задач математической статистики нахождение закона распределения случайной

Подробнее

УДК Исабеков К.А., Маданбекова Э.Э. ЫГУ им К.Тыныстанова О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

УДК Исабеков К.А., Маданбекова Э.Э. ЫГУ им К.Тыныстанова О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ УДК 55 Исабеков КА Маданбекова ЭЭ ЫГУ им КТыныстанова О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В данной статье приводятся алгоритмы двух методов решения плохо

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Рассмотрим некоторые методы проверки выполнения предпосылок Гаусса-Маркова и приемы исследования в случаях, когда они нарушаются.

Рассмотрим некоторые методы проверки выполнения предпосылок Гаусса-Маркова и приемы исследования в случаях, когда они нарушаются. Рассмотрим некоторые методы проверки выполнения предпосылок Гаусса-Маркова и приемы исследования в случаях, когда они нарушаются. Способ проверки остатков на случайный характер Для проверки остатков на

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Математические методы вычислений на ЭВМ А.П. Черный, д.т.н., профессор http:\\saue.kdu.edu.ua 2 ЛЕКЦИЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

Лекция 3 АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ

Лекция 3 АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ Лекция АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ План Введение Решение систем линейных уравнений методом исключения Гаусса Метод LU- разложения 4 Анализ линейных цепей в установившемся синусоидальном

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

24 Практические методы вычисления МНК-оценок и их средних квадратических

24 Практические методы вычисления МНК-оценок и их средних квадратических 4 Практические методы вычисления МНК-оценок и их средних квадратических ошибок 4 Метод определителей Этот метод применяют на практике если число неизвестных невелико и не превосходит трех Метод ориентирован

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов.

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов. Лекция 4. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. Если система имеет большую размерность ( 6 уравнений) или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫМИ И ИТЕРАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ. Основные теоретические сведения

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫМИ И ИТЕРАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ. Основные теоретические сведения ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫМИ И ИТЕРАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ Цель: изучить точные и приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ),

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие......................................... 3 Глава1 Элементы линейной алгебры............................ 5 1.1. Матрицы и определители........................... 5 1.2. Линейные пространства............................

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Образец решения. получаем элемент матрицы AB, стоящий в 1-ой строке и 2-ом столбце (элемент C 12

Образец решения. получаем элемент матрицы AB, стоящий в 1-ой строке и 2-ом столбце (элемент C 12 1. Даны матрицы: Образец решения 1 2 1 1 0 2 3 0 2 1 1 0 A, B 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0 1 1 Найти матрицу и выяснить, имеет ли она обратную матрицу. Решение. Найдѐм матрицу Найдѐм транспонированную матрицу Найдѐм

Подробнее

1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2

1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2 1. Линейная алгебра 1.1. В 1 представлены задачи на решение линейных алгебраических крамеровских систем с определителем, отличным от нуля, вычисление определителей и действий с матрицами. Линейные алгебраические

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,...,

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,..., . Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).. Метод Гаусса Цель: формирование практических навыков нахождения корней система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса (схема

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Правило Бернулли-Лопиталя. Формула Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N6. Правило Бернулли-Лопиталя. Формула Тейлора. ЛЕКЦИЯ N6 Правило Бернулли-Лопиталя Формула Тейлора Правило Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей Формула Тейлора Правило Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей Раскрытием неопределенностей

Подробнее

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных Лекции 9 Локальные экстремумы функции многих переменных Определение Пусть функция многих переменных f f ( задана на ( некотором множестве D и ( некоторая точка этого множества Точка называется точкой локального

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,

Подробнее

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В ГЕОДЕЗИИ

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В ГЕОДЕЗИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.Б. Лесных ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В ГЕОДЕЗИИ Монография Новосибирск 5 УДК

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных. ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Подробнее

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Ишмухаметова М.Г. ТЕОРИЯ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Методическое пособие

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Ишмухаметова М.Г. ТЕОРИЯ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Методическое пособие ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ишмухаметова М.Г. ТЕОРИЯ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Методическое пособие Казань 2008 Печатается по решению Редакционно-издательского совета

Подробнее

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лекция 3 Решение систем алгебраических уравнений в средах. MS Excel и Mathcad. Лектор. Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция Решение систем алгебраических уравнений в средах Лектор MS Ecel и Mthcd Ст. преподаватель Купо А.Н. .Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Постановка задачи..методы решения СЛАУ.(Метод

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Занятие 5 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), записываемых в виде a a b A b или,

Подробнее

По таблице приложения 4 по γ = 0,99 и n = 15 найдем q = 0,73. Искомый доверительный интервал

По таблице приложения 4 по γ = 0,99 и n = 15 найдем q = 0,73. Искомый доверительный интервал Лекция 9. Оценка точности измерений. Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте. 1. Оценка точности измерений. В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора)

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

( ) ( ) = ( )( ) ( ) ( ˆ ) ( ) КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Решение задач по теме 3: «Эрмитовы операторы. Коммутатор операторов» * ( ) ( )

( ) ( ) = ( )( ) ( ) ( ˆ ) ( ) КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Решение задач по теме 3: «Эрмитовы операторы. Коммутатор операторов» * ( ) ( ) КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Решение задач по теме 3: «Эрмитовы операторы Коммутатор операторов» Задачи Найдите правило эрмитового сопряжения произведения операторов Правило получим пользуясь следующими преобразованиями

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее