А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса"

Транскрипт

1 Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва

2 Содержание Правила оформления Комплексные числа и многочлены Матрицы и определители Алгоритм Гаусса Жордана Системы линейных уравнений Алгебра векторов Прямые и плоскости Линии второго порядка

3 Правила оформления Внимательно прочитайте эти правила прежде чем начинать выполнение работы! Контрольные работы выполняются в отдельной тетради Записывать решение нужно лишь на одной стороне листа: обратная сторона предназначена для выполнения работы над ошибками На каждой странице требуется оставить поля шириной см На обложке тетради указываются фамилия имя отчество студента номер группы номер варианта номера выполненных задач дата сдачи работы Каждая задача выполняется начиная с нового листа Условия задач переписывать не нужно Работа должна быть выполнена аккуратно написана разборчивым почерком Решение каждой задачи необходимо сопровождать текстовыми пояснениями; отсутствие пояснений приводит к снижению оценки Все задачи приведены в вариантах; каждый студент выбирает вариант согласно своему номеру в списке группы по журналу

4 Комплексные числа и многочлены Вычислите значение выражения (+i) (+i) +i (+i) (+i) +i (+i) (+i) +i (+i) (+i) +i (+i) ( i) +i (+i) ( i) +i (+i) ( i) +i 8 (+i) ( i) +i 9 (+i) ( i) +i (+i) ( i) +i (+i) ( i) +i (+i) ( i) +i (+i) ( i) +i (+i) ( i) +i (+i) ( i) +i (+i) ( i) +i (+i) ( i) +i 8 (+i) ( i) +i 9 (+i) ( i) +i ( i) (i ) i ( i) (i ) i ( i) (i ) i ( i) (i ) i ( i) (i ) i (+i) ( i) +i (+i) ( i) +i Вычислите значение выражения ( +i (+i) ( +i ( ( (+i) ) ) (+i) ) i (i ) ) 9 i ( +i (+i) ) 8 9 ( +i (+i) ) ( i (+i) ) ( i (+i) ) ( ( ( +i) ) +i (+i) ) +i ( ( ( i) ) 9 +i ( i) ) +i ( +i (+i) ) ( i (+i) ) ( i (+i) )

5 ( +i (+i) ) ( +i ( i) ) ( i (+i) ) 8 9 ( +i ( i) ) ( i ( i) ) 9 ( i ( i) ) ( (+i) ) +i ( ) +i (+i) ( (+i) ) +i ( +i ( i) ) ( i ( i) ) Решите квадратное уравнение z (+i)z ++i = z ( i)z + i = z (+i)z +i = z ( i)z i = z (+i)z +i = z (+i)z ++i = z ( i)z + i = 8 z ( i)z i = 9 z (+i)z +i = z (+i)z ++i = z ( i)z + i = z ( i)z i = z (+i)z +i = z (+i)z ++i = z (+i)z ++8i = z (+i)z ++i = z ( i)z + i = 8 z ( i)z i = 9 z ( i)z + i = z ( i)z + 8i = z (+i)z ++i = z (+i)z + i = z (+i)z ++i = z (+i)z +8+i = z (+8i)z ++i = z (+i)z +i = Найдите модуль и главное значение аргумента (удовлетворяющее условию π < argz π) комплексного числа Аргумент выразите через арктангенс + i i + i i + i i + i 8 i 9 + i i + i i + i i + i i + i 8 i 9 + i i i + i i + i i i

6 Найдите все значения корня из комплексного числа Запишите ответ в алгебраической тригонометрической и показательной форме 8+9i i i +i +i +i 9+i i i 8 +i + i i i 8 i i +i 8+i +i 9+i i i +i i i i i i +i i 8 +i 9+9i i +i 9 +i i +i 9+i i i +i i +i +i i 9+8i i +9i +i 9i +i + +i i 8 9 8i i +i +i +i 9+i i +i +i + +i +i i i i +i +i +i 9+i i +i 9 i i i +i 9 i +i +i i i i 9+9i +i +i +i 9+i i 8+i +i 9+i i +i +i i +i 9i +i + +i i +i + +i +i i Найдите все значения корня из комплексного числа Запишите ответ в алгебраической тригонометрической и показательной форме +i 8 +9i i +i i +i +i i

7 +i + i i +i 9i +i +i i 9i 9 +i i i +i i +9i +i i 8 +i i i 8 +i 8 i +i +i i 9 +i + 9i i 8 i +i i i i 9 +i 8 i i 9 i +i i i +i i +i +i i +i 9 i i i i 8+i +i 9 i +i +i i +i i i +i 8i +i 9+i i i +i + +i i i +i i i 8+i i 9 i +i i +i +i i 9i 9 i +i i 8 i i i +i +i i +i +i i +i + +i i Матрицы и определители Алгоритм Гаусса Жордана Найдите произведения матриц AX X T AX где X = (xyz) T а матрица A равна

8 Вычислите определитель тремя способами: (a) с помощью разложения по первой строке; (b) с помощью разложения по первому столбцу; (c) используя алгоритм Гаусса для предварительного упрощения вычислений

9 Для данной матрицы найдите обратную Проверьте правильность вычисления умножением матриц

10 8 Методом Гаусса приведите матрицу к упрощённому виду Укажите базисные столбцы и найдите линейные зависимости между столбцами

11 Для данной матрицы вычислите обратную методом Гаусса Проверьте правильность вычисления умножением матриц

12 Даны матрицы A и B С помощью метода Гаусса найдите B AB не вычисляя отдельно B

13 Даны матрицы A и B С помощью метода Гаусса найдите BA не вычисляя отдельно A

14 Системы линейных уравнений Запишите неоднородную систему линейных уравнений зная её расширенную матрицу Решите систему (a) методом Крамера; (b) методом Гаусса Жордана

15 Решите неоднородную систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами заданную своей расширенной матрицей +i +i +i i +i +8i +i +i i +i +i +i +i i +i +i +i +i i +i 8 i +i +i +i i +i +i 8 9 +i +i 9 i i +i i +i +i +i i +i i +i +i i i +i i +i +i +8i i +i +9i +i +i +i i +i +i

16 8 +i +i +i i +i +i +i +i 8+i i +i 9 i +i +i +i i +i +i +i +i i +i i +i +i +9i i +i i +i +i i i +i i +i +i +i i +i +i +i +i 9+i i +i 9 +i +i +9i i +i +i +i +i +i i +i i +i +i +i i +i +i +i +i +i i +i i +i +i +i i +i i +i +i i +i i +i +i +i i +i +i +i +i +i i +i +i Представьте столбец X в виде линейной комбинации столбцов ABC X = A = B = C = X = A = 8 X = A = X = X = 8 9 A = A = X = A = B = C = B = C = B = B = B = C = C = C =

17 X = A = B = C = 8 X = A = B = C = 9 X = A = X = A = 9 B = C = B = C = 9 X = A = B = C = X = A = B = C = X = A = B = C = X = A = 9 X = A = X = X = 8 B = C = B = C = A = B = C = A = 8 X = A = B = B = C = C =

18 9 X = X = X = A = B = C = A = B = C = A = X = 8 A = X = A = X = A = 8 X = A = 8 X = A = B = B = B = B = B = B = C = C = C = C = C = C = Даны столбцы A B C Установите линейную зависимость столбцов Запишите соотношение вида αa + βb + γc = O выражающее факт линейной зависимости (коэффициенты α β γ должны быть взаимно простыми целыми числами)

19 Решите однородную систему линейных уравнений заданную основной матрицей В качестве базисных неизвестных выбирайте неизвестные с наименьшими возможными номерами 9 8

20 Дана блочная матрица (A B B ) Решите две неоднородные системы заданные расширенными матрицами (A B ) и (A B ) В качестве базисных неизвестных выбирайте неизвестные с наименьшими возможными номерами

21

22 Составьте однородную систему содержащую наименьшее возможное количество уравнений для которой данные столбцы образуют фундаментальное семейство решений Ответ представьте в таком виде чтобы каждое уравнение системы содержало базисную неизвестную номер которой совпадает с номером уравнения В ответе запишите основную матрицу системы

23 Алгебра векторов Известны разложения векторов x f f по базису e e Найдите разложение вектора x по базису f f x = e e f = e e f = e e x = e e f = e +e f = e +e x = e e f = e e f = e e x = e e f = e e f = e e x = e e f = e +e f = e +e x = e +e f = e e f = e +e x = e +e f = e e f = e e 8 x = e +e f = e e f = e +e 9 x = e +e f = e +e f = e e x = e +e f = e e f = e e x = e +e f = e +e f = e e x = e +e f = e e f = e e x = e +e f = e +e f = e e x = e +e f = e e f = e e x = e e f = e e f = e e x = e +e f = e +e f = e e x = e e f = e e f = e +e 8 x = e +e f = e e f = e +e 9 x = e e f = e e f = e +e x = e +e f = e +e f = e +e x = e +e f = e e f = e e

24 x = e +e f = e e f = e e x = e +e f = e e f = e e x = e +e f = e e f = e +e x = e +e f = e +e f = e +e x = e +e f = e +e f = e +e Разложите вектор a в линейную комбинацию двух векторов один из которых коллинеарен а другой ортогонален вектору b: a = () b = () a = ( ) b = ( ) a = ( ) b = ( ) a = () b = () a = ( ) b = ( ) a = ( ) b = ( ) a = () b = ( ) 8 a = ( ) b = () 9 a = ( ) b = ( ) a = () b = ( ) a = ( ) b = () a = ( ) b = ( ) a = ( ) b = ( ) a = ( ) b = ( ) a = ( ) b = ( ) a = ( ) b = ( ) a = () b = ( ) 8 a = ( ) b = () 9 a = ( ) b = () a = () b = ( ) a = ( ) b = () a = ( ) b = ( ) a = ( ) b = ( ) a = ( ) b = ( ) a = ( ) b = ( ) a = ( ) b = ( ) Даны координаты вершин A B C параллелограмма ABCD в прямоугольной декартовой системе координат Найдите координаты вершины D координаты вектора нормали к плоскости параллелограмма и площадь параллелограмма ()( )() ( )()( ) ( )( )( ) ()( )() ()( )() ( )()() ()( )( ) 8 ( )()() 9 ( )( )() ( )( )() ( )( )() ()( )() ( )( )() ( )()( )

25 ()( )( ) ()( )( ) ()()( ) 8 ( )(9)() 9 ( )( )() ( )( )( ) ( )()( ) ( )()( ) ( )( )() ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )() Даны координаты векторов a b c относительно ортонормированного базиса i j k (a) Вычислите смешанное произведение (a b c) Сделайте вывод о линейной зависимости или независимости данных векторов Правую или левую тройку образуют векторы a b c? (b) Вычислите скалярные произведения (ac) (ab) (c) Найдите линейную комбинацию b(a c) c(a b) (d) Найдите векторное произведение [bc] (e) Найдите двойное векторное произведение [a[b c]] и сравните результат с тем который был получен в п (c) 8 9

26 8 9 Даны координаты векторов a b x относительно ортонормированного базиса i j k (a) Проверьте что векторы a и b ортогональны (b) Найдите координаты вектора c который вместе с векторами a и b образует правый ортогональный (не нормированный) базис a b c (c) Найдите координаты вектора x относительно ортогонального базиса a b c

27 Прямые и плоскости Во всех последующих задачах система координат декартова прямоугольная Составьте уравнение плоскости проходящей через три заданные точки ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) () () ( ) ( )

28 ( )()( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 9 ()( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Составьте векторное параметрическое уравнение прямой которая задана как пересечение двух плоскостей В качестве опорной точки возьмите точку лежащую в плоскости Oxy x+y z = x+y = x+y z = x+y z = 8 x+y z = x+y +z = x+y z = x+y +z = 9 x+y +z = 8 x+y +z = x+y = x+y +z = x+y 8z = 9 x+y z = 8 x+y z = x+y z = 9 9 x+y +z = x+y +z = x+y +z = 8 x+y +z = x+y z = x+y z = x+y z = x+y z = y +z = x+y +z = y +z = x y z = y +z = x y z = x y 9z = x y z = x y z = x y z = 8 x+y +z = x+y +z = 9 x+y +z = x+y +z =

29 x y z = x y z = x y z = x y z = x+y +z = x+y +z = x+y +z = x+y +z = x y z = x y z = x+y z = x+y z = x y z = x y z = Составьте уравнение плоскости проходящей через первую прямую параллельно второй x x x+ x x+ x x+ 8 x+ = y = z + x = y = z + x+ = y = z + x+ = y = z + = y = z = y + = y = z = y + = z = y = z x x = z x+ = y = z x+ = y + = z x+ = y + = y = z + = y = z = y + 9 x = y + = z x = y = z x+ x = y = z x = y + = z x+ x = y + = z + x+ x = y = z = z + = y + = z + = z = y + = z = y = z + = y = z + x = y = z +

30 8 x x+ x+ = y = z + x = z + x+ = y + = y = z + x x = y + = z + x+ 8 x = y = z x+ 9 x+ x = y x x+ x = y x = y + = z + x = z x = y = z + x+ = y + = y x+ x = y + = y = z + x+ = z + x+ x = z = z = y + = z + = y = z + = y = y + = z = z + = y = z = y = z + = y = z + = y = z = y + = z + = y = z = y x = y + = z = z = z + x+ = y + = z + Даны плоскость π и три прямые l l l Для каждой из прямых выясните пересекается ли она с плоскостью параллельна ей или лежит в плоскости В случае пересечения найдите координаты общей точки плоскости и прямой π: r = +α +β l : r = +s 9 9 l : r = 9 +t 9 l : r = +u 9 π: r = l : r = +α +β l : r = 9 +s 9 +t l : r = 9 +u 9

31 π: r = +α +β l : r = t 8 l : r = l : r = 8 8 +u +s 9 π: r = 8 l : r = +t 9 +α +β l : r = π: r = +α +β l : r = +t 9 8 l : r = +s l : r = +u l : r = +u 9 +s π: r = +α +β l : r = 9 +s l : r = 8 +t l : r = +u 9 9 π: r = +α +β l : r = 8 +s l : r = +t 8 π: r = l : r = 8 +t 8 +α l : r = +β l : r = +u l : r = +s +u 8 8

32 9 π: r = l : r = 9 +α +β l : r = +s 8 +t π: r = +α l : r = 9 +t π: r = l : r = 9 +t π: r = l : r = 8 l : r = +β l : r = +α +t π: r = 8 l : r = +β l : r = 9 +α +t π: r = +t l : r = +β l : r = +α +β l : r = +α +β l : r = +u 8 l : r = +u 9 +s l : r = +s +u l : r = 9 +s +u l : r = +u l : r = 9 +u 9 +s 8 +s

33 π: r = +α +β l : r = +t 9 l : r = l : r = +u +s π: r = +α l : r = +t π: r = l : r = l : r = +t 8 π: r = 8 +β l : r = l : r = +u +α +β l : r = +t 9 π: r = l : r = +α +t π: r = l : r = +t l : r = +β l : r = +α +β l : r = +α +β l : r = 9 +u l : r = 8 +u 9 9 l : r = +u l : r = +u s +s +s +s +s 8

34 π: r = +α +β l : r = l : r = 8 +t π: r = 9 +t 8 +α l : r = +β l : r = π: r = +α +β l : r = 8 l : r = +t l : r = 9 9 +u l : r = +u l : r = +u +s +s +s 9 π: r = +α +β l : r = +s 8 l : r = +t π: r = l : r = +t π: r = l : r = +α +t l : r = +u +β l : r = l : r = +u 9 +s 9 +α +β l : r = +s 9 l : r = +u Даны прямые l l l l Для каждой из шести возможных пар прямых: (l l ); (l l ); (l l ); (l l ); (l l ); (l l ) выясните являются ли они скрещивающимися параллельными совпадающими или пересекающимися Для пересекающихся прямых найдите координаты точки пересечения и уравнение плоскости в

35 которой лежат эти прямые Для параллельных прямых найдите уравнение плоскости в которой лежат эти прямые 8 9 x = t y = z = t x = y = t z = t x = 8 t y = 8 t z = +t x = +t y = t z = x = t y = +t z = t x = t y = z = +t x = t y = t z = 8+t x = t y = +t z = +t x = +t y = t z = t x = t y = z = t x = y = +t z = t x = +t y = z = +t x = t y = z = +t x = t x = +t y = +t y = +t z = t z = t x = t y = z = +t x = +t y = t z = +t x = t y = z = +t x = t y = t+ z = x = y = t z = +t x = t y = t z = t x = t x = t y = y = z = t z = t x = t y = t z = +t x = +t y = t z = t x = 9 t y = t z = t x = +t y = +t z = t x = t y = t z = t x = +t y = +t z = +t x = +t y = t z = t x = +t x = t y = t y = t z = t z = +t x = +t y = +t z = +t x = t y = t z = t+ x = t y = t z = t x = +t y = +t z = t x = +t y = z = t x = t y = t z = 8 t x = t y = z = t x = t y = t z = x = t y = t z = +t x = 8 t y = t z = t x = +t y = +t z = t x = 8 t y = +t z = +t x = y = t z = t x = 8 t y = t z = t x = t y = t z = +t x = +t y = +t z = 9+t

36 8 9 x = t y = z = t x = +t y = +t z = +t x = 9 t y = +t z = +t x = t y = t z = t x = 8+t y = +t z = t x = y = t z = +t x = +t y = t z = t x = +t y = +t z = +t x = t y = t z = t x = 9+t y = t z = +t x = y = +t z = +t x = +t y = t z = x = t y = +t z = +t x = t y = t z = t x = 8 t y = +t z = +t x = t y = t+ z = t x = 9+t y = +t z = t x = y = +t z = t x = t y = t z = +t x = 8 t y = +t z = 9 t x = +t y = +t z = t x = t y = t z = t x = y = +t z = +t x = y = t z = +t x = +t y = t z = t x = t y = +t z = +t x = y = +t z = t x = t y = +t z = +t x = +t y = t z = t x = t y = t z = t x = +t y = 8 t z = 9 t x = t+ y = t z = t x = t x = y = t y = t+ z = +t z = +t x = t y = z = +t x = y = t z = +t x = t y = +t z = +t z = t x = t y = 8+t z = t x = t y = 8 t z = +t z = x = +t y = t x = t y = t+ z = t x = t y = +t z = x = t y = +t x = +t y = t z = +t x = 8 t y = t z = +t x = t y = +t z = t x = y = t z = t x = +t y = t z =

37 x = +t y = 9 t z = 8 x = t y = +t z = +t z = 8 x = +t y = t x = +t y = t z = t z = x = t y = +t x = +t y = +t z = +t x = t y = t z = t x = t y = +t z = +t Прямая l является биссектрисой острого (в вариантах с нечётными номерами) или тупого (в вариантах с чётными номерами) угла образованного прямыми l и l Запишите уравнение прямой l в общем виде Определите расстояние от начала координат до прямой l Вычислите угол между прямой l и каждой из прямых l l l : x+ l : x+ l : x+ l : x+ l : x l : x = y l : r = = y l : r = = y + l : r = = y + l : r = = y l : r = = y l : r = l : x = y + l : r = 8 l : x = y + l : r = 9 l : x = y + l : r = l : x = y + l : r = l : x+ = y 8 l : r = l : x+ = y 8 l : r = +t +t +t +t +t +t +t +t +t +t +t +t

38 l : x+ l : x+ = y l : r = = y l : r = l : x = y +9 l : r = l : x = y +9 l : r = l : x 8 l : x+ 9 l : x+ l : x+ l : x+ l : x+ l : x 8 l : x 8 = y l : r = = y l : r = = y l : r = = y l : r = = y + l : r = = y + l : r = = y l : r = = y l : r = l : x = y + l : r = l : x = y + l : r = +t +t +t +t +t +t +t +t +t +t +t +t +t +t Даны точка A и плоскость π Найдите: (a) проекцию P точки A на плоскость π; (b) точку S симметричную точке A относительно плоскости π; (c) расстояние от точки A до плоскости π При решении задачи нельзя использовать готовые формулы выведенные в учебнике: вы должны вывести эти формулы самостоятельно A( ) π : x y z =

39 A( ) π : x+y +z = ( ) π : x+y z + = A( ) π : x+y +z = A( ) π : x+y z = A( ) π : x y +z = A( ) π : x+8y z = 8 A() π : x y +z = 9 A( ) π : x y +z = A( ) π : x 8y z + = A( ) π : x y z 9 = A( ) π : x y z 9 = A() π : x 8y z = A( ) π : x y = A( ) π : x y +z + = A( ) π : x+y 8z = A( ) π : x+y +z 8 = 8 A( ) π : 8x z + = 9 A( ) π : x y +z + = A( ) π : x z = A( ) π : x y +z +9 = A( ) π : x+y z + = A( ) π : x y z = A( ) π : x y +z 9 = A( ) π : x+y 8z = A( ) π : x y +z = 8 Даны точка A и прямая l Найти: (a) проекцию P точки A на прямую l; (b) точку S симметричную точке A относительно прямой l; (c) расстояние от точки A до прямой l При решении задачи нельзя использовать готовые формулы выведенные в учебнике: вы должны вывести эти формулы самостоятельно

40 8 8 A() r = ( )+t( 9) 8 A( ) r = ( 9)+t(9) 8 A( ) r = ( )+t() 8 A( ) r = (8 )+t( ) 8 A( ) r = ( )+t() 8 A( ) r = ( 8)+t( ) 8 A( ) r = (8 )+t( ) 88 A() r = ( )+t() 89 A( ) r = ( )+t() 8 A( ) r = ( )+t() 8 A( ) r = ( )+t(8 ) 8 A( ) r = ( )+t( ) 8 A() r = ( 8 )+t(9 ) 8 A( ) r = ( )+t() 8 A( ) r = ( )+t( ) 8 A( ) r = ( )+t( ) 8 A( ) r = ( )+t( ) 88 A( ) r = ( )+t() 89 A( ) r = (9 8 )+t( ) 8 A( ) r = ( )+t( ) 8 A() r = ( )+t( ) 8 A( ) r = ()+t() 8 A( ) r = ( )+t( ) 8 A( ) r = ( )+t() 8 A( ) r = ( )+t() 8 A( ) r = ( )+t( )

41 9 Даны плоскость π и прямая l Найдите точку их пересечения Составьте векторное параметрическое уравнение ортогональной проекции m прямой l на плоскость π взяв в качестве опорной точки точку пересечения 9 π: 9x+8y z+ = ; l: x = +t y = t z = +t 9 π: x y +z 8 = ; l: x = +t y = t z = +t 9 π: x y +z = ; l: x = t y = +t z = t 9 π: x y +z = ; l: x = t y = +t z = +t 9 π: x+y 9z + = ; l: x = t y = +t z = t 9 π: x y +z 9 = ; l: x = +t y = t z = +t 9 π: x 9y z + = ; l: x = +t y = +t z = +t 98 π: x y z + = ; l: x = 9+t y = 9+t z = t 99 π: x y +z+ = ; l: x = +t y = t z = +t 9 π: x 8y 9z 9 = ; l: x = t y = +t z = +t 9 π: x y +z = ; l: x = t y = +t z = t 9 π: 9x y +z = ; l: x = +t y = t z = t 9 π: 9x y +z + = ; l: x = +t y = t z = +t 9 π: x y +9z + = ; l: x = t y = +t z = t 9 π: 8x y z 8 = ; l: x = 8+t y = +t z = +t 9 π: x y z = ; l: x = t y = +t z = +t 9 π: x+y 88z = ; l: x = t y = t z = +t 98 π: x+y +z +8 = ; l: x = +t y = +t z = 8+t 99 π: x y +z = ; l: x = t y = +t z = t 9 π: x+y +z +9 = ; l: x = +t y = +t z = +t 9 π: x y +z + = ; l: x = +t y = +t z = +t 9 π: x+y 9z+ = ; l: x = +t y = +t z = t 9 π: 9x+y z + = ; l: x = +t y = +t z = t 9 π: x+y +z + = ; l: x = t y = t z = +t 9 π: 8x 8y 9z +9 = ; l: x = t y = +t z = +t 9 π: 8x 9y z = ; l: x = t y = +t z = +t 9

42 Составьте каноническое уравнение общего перпендикуляра к двум данным скрещивающимся прямым взяв в качестве опорной точку пересечения этого перпендикуляра с одной из данных прямых Определить координаты обеих точек пересечения x x x x x+ x x 8 x+ 9 x+ x+ x x+ x x x x x = y = z ; = y = z ; = y x x = z ; x+ = y = z ; x = y = z + ; x+ = y = z ; x = y = z ; x = y = z + ; x+ = y = z ; x+ = y = z ; = y = y = y + = y + = y + = y = y x = y = y = y = z 9 = z = z + = y + = z = y = z = y + = z = y + = y = y + = z + ; x = z + ; x+ = z ; x = z ; x+ = z ; x+ = z ; x+ = z ; x = y = z = z = z = z = y = z + = y + = y = y + = y = y = y = z + = z = z + = z + = z + = z +

43 8 x 9 x+ x x+ x+ x+ x x x = y = y = y = y = y + = y + = y = z ; x = z ; x = z ; x = z ; x = z ; x = z + ; x = z ; x+ = y = z ; x = y = z ; x = y = y = y = y = y = y = y = z = z = z = z = z = z = z = y + = z = y = z Линии второго порядка Составьте каноническое уравнение эллипса по известным данным Обозначения: C расстояние между фокусами D расстояние между директрисами K расстояние между фокусом и соответствующей ему директрисой ε эксцентриситет C = ε = / C = D = D = ε = / K = ε = / C = ε = / C = D = 8 D = ε = / 8 K = ε = / 9 C = ε = / C = D = D = ε = / K = ε = / C = 8 ε = / C = D = 8 D = ε = / K = 8 ε = / C = ε = / 8 C = D = 9 D = 8 ε = / K = ε = / C = ε = / C = D = D = 8 ε = / K = ε = / C = D = 8 K = 8 ε = / Прямая l касается эллипса фокусы которого расположены в точках F F Составьте каноническое уравнение этого эллипса и найти его эксцентриситет l : x+y + = F = ( ) F ()

44 l : x y = F ( ) F () l : x y 9 = F ( ) F () l : x+y = F ( ) F () l : x y + = F ( ) F () l : x y = F ( ) F () l : x+y = F ( ) F () 8 l : x y 8 = F ( ) F () 9 l : x y = F ( ) F () l : x+y + = F ( ) F () l : x y + = F ( ) F () l : x y +8 = F ( ) F () l : x+y = F ( ) F () l : x y + = F ( ) F () l : x y + = F ( ) F () l : x y + = F ( ) F () l : x+y + = F ( ) F () 8 l : x y + = F ( ) F () 9 l : x+y +9 = F ( ) F () l : x+y = F ( ) F () l : x y + = F ( ) F () l : x+y + = F ( ) F () l : x y + = F ( ) F () l : x y +8 = F ( ) F () l : x+y = F ( ) F () l : x y + = F ( ) F () Составьте каноническое уравнение гиперболы имеющей общие фокальные хорды с данным эллипсом x + y x = + y = x + y =

45 x + y = x + y = x + y = x + y = 8 x +y = 9 x + y = x + y = x +y = x +y = x +y = x +y = x + y = x + y = x + y = 8 x + y = 9 x + y = x 8 +y = x 8 + y = x 8 + y = x 8 + y = x 8 + y = x 8 + y = x 8 + y = Из правого фокуса гиперболы под углом α к оси Ox направлен луч света Известен tg α Дойдя до гиперболы луч от неё отразился Составьте уравнения прямых на которых лежат отраженные лучи x y x y x y x y x y x y x y 8 x y 9 x y = tgα = = tgα = = tgα = = tgα = = tgα = = tgα = = tgα = = tgα = = tgα = x y x y x 9 y x 9 y x 9 y x 9 y x y 8 x y 8 8 x y = tgα = = tgα = = tgα = = tgα = = tgα = = tgα = = tgα = = tgα = = tgα =

46 9 x y x y x y x y 8 = tgα = = tgα = = tgα = = tgα = x y 8 x y x y x y = tgα = = tgα = = tgα = = tgα = Составьте уравнение эллипса если известны его эксцентриситет фокус и уравнение соответствующей директрисы Представьте уравнение в виде F(x y) = где F(xy) многочлен второй степени от xy / ( ) x+y + = / ( ) x+y + = / ( ) x+y = / ( ) x+y = / ( ) x+y + = / ( ) x+y + = / ( ) x y + = 8 / ( ) x y + = 9 / ( ) x+y + = / ( ) x+y + = / ( ) x+y + = / ( ) x+y = / ( ) x y = / ( ) x y + = / ( ) x y + = / ( ) x y + = / ( ) x+y = 8 / ( ) x y + = 9 / ( ) x y + = / ( ) x y = / ( ) x+y + = / ( ) x+y + = / ( ) x+y + = / ( ) x y + = / ( ) x y + = / ( ) x+y + = Составьте уравнение параболы если известны уравнение её директрисы и фокус Представьте уравнение в виде F(xy) = где F(xy) многочлен второй степени от xy x+y + = F( ) x+y = F( ) x y + = F( ) x y + = F() x y + = F( )

47 x+y + = F( ) x+y = F( ) 8 x+y = F( ) 9 x+y = F( ) x+y = F() x+y = F( ) x y + = F() x y = F( ) x y + = F( ) x y = F( ) x y + = F() x+y + = F( ) 8 x+y + = F( ) 9 x+y = F( ) x+y = F( ) x y + = F() x y + = F() x y + = F() x y + = F() x+y = F() x+y + = F() Составьте каноническое уравнение линии если известно её полярное уравнение r = r = r = r = cosϕ 8 cosϕ cosϕ cosϕ r = r = r = 8 r = cosϕ cosϕ cosϕ cosϕ 9 r = r = r = r = cosϕ cosϕ 8 cosϕ cosϕ

48 r = r = r = r = r = cosϕ cosϕ 9 cosϕ cosϕ cosϕ 8 r = 9 r = r = r = r = cosϕ 9 cosϕ cosϕ cosϕ cosϕ r = r = r = r = cosϕ 9 cosϕ cosϕ cosϕ

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Аналитическая геометрия Домашние контрольные работы 5 Учебное пособие для студентов курса

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников)

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Экзамен по аналитической геометрии 2009/200 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Список вопросов к первой части экзамена Цель первой части экзамена проверка знания основных определений и формулировок

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Задачи по курсу «Аналитическая геометрия»

Задачи по курсу «Аналитическая геометрия» Задачи по курсу «Аналитическая геометрия» 1 11 Используя метод Гаусса, вычислить определитель 2 4 1 3 2 1 0 5 3 9 2 7 12 Используя метод Гаусса, вычислить определитель 2 4 1 3 2 1 0 5 3 9 2 7 13 Используя

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г.

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г. МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова 2014 2015 г. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ПЕРВОЙ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 2 ПОТОК. Лектор А. В. Овчинников

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 2 ПОТОК. Лектор А. В. Овчинников АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 2 ПОТОК Лектор А. В. Овчинников 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Место дисциплины в структуре образовательной программы

Место дисциплины в структуре образовательной программы Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Алгебра и аналитическая геометрия» является дисциплиной модуля «Математика» Б1.Б.6 базовой части ОПОП по направлению подготовки 02.03.03

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ. Линейная алгебра и Аналитическая Геометрия. МАТЕМАТИКА

МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ. Линейная алгебра и Аналитическая Геометрия. МАТЕМАТИКА МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Линейная алгебра и Аналитическая Геометрия МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов первого курса заочного обучения Москва

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Практические задания к теме «Аналитическая геометрия»

Практические задания к теме «Аналитическая геометрия» Практические задания к теме «Аналитическая геометрия» Вариант 0 Задача Привести к каноническому виду уравнение кривой порядка, найти все ее параметры, построить кривую 4x +y -6x-6y+=0 Решение Приведем

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Логвенков С.А. Мышкис П.А. Панов П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии.

Логвенков С.А. Мышкис П.А. Панов П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии. Логвенков С.А. Мышкис П.А. Панов П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии. Москва Издательство МЦНМО Логвенков С.А. Мышкис П.А.

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Группа АМ-12-06 Вопросы к экзамену 1Векторная алгебра 1 Определение вектора Равенство векторов Свободные вектора Линейные операции над векторами и их свойства

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год 1 ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 1 (a) Системы координат на плоскости и в пространстве: декартова прямоугольная, декартова косоугольная, полярная,

Подробнее

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ 1» (1 семестр)

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ 1» (1 семестр) Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика-»

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Педагогическое

Подробнее

Вопросы и задачи. оретические вопросы. 1. Дайте определение линейного пространства.

Вопросы и задачи. оретические вопросы. 1. Дайте определение линейного пространства. Вопросы и задачи оретические вопросы ормулировки 1. Дайте определение линейного пространства. 2. Дайте определение подпространства линейного пространства и сформулируйте критерий линейного подпространства.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Алгебра и геометрия. 1 семестр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Алгебра и геометрия. 1 семестр МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Алгебра и геометрия семестр Учебно-методическое пособие Для студентов очно-заочной и заочной форм обучения институтов

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет кафедра высшей математики и математической физики

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет кафедра высшей математики и математической физики САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет кафедра высшей математики и математической физики СБЛевин, НВСмородина, ВАСлоущ, ММФаддеев ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ первый

Подробнее

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант Задания для выполнения расчётно-графической работы по математике на I полугодие - учебного года для студентов курса заочной формы обучения ИСиА Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика.

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика. АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Математико - механический факультет. Кафедра алгебры и дискретной математики. Алгебра и геометрия. Программа дисциплины (Стандарт ЕН.Ф.01.

Математико - механический факультет. Кафедра алгебры и дискретной математики. Алгебра и геометрия. Программа дисциплины (Стандарт ЕН.Ф.01. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» Математико - механический

Подробнее