ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое пособие для студентов физического и радиофизического факультетов ХАРЬКОВ 2014

2 УДК (0758) ББК я73 Д 95 Рекомендовано к печати решением Научно-методического совета Харьковского национального университета имени ВН Каразина (протокол 4 от ) Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики и информатики Харьковского национального университета имени ВН Каразина ВА Золотарев кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и функционального анализа Харьковского национального университета имени ВН Каразина И П Ильинская Д 95 Дюкарев Ю М Линейная алгебра: матрицы, определители, системы линейных уравнений: учебно-методическое пособие / Дюкарев ЮМ, Серикова ИЮ Харьков: ХНУ имени В Н Каразина, с В учебно-методическом пособии рассмотрены матрицы, определители и системы линейных алгебраических уравнений Эти темы изучают студенты физического и радиофизического факультетов в курсе линейной алгебры В краткой и элементарной форме изложены все необходимые теоретические сведения и даны подробные решения типичных задач По каждой теме приведены задачи для аудиторной и домашней работы Ко всем задачам имеются достаточно полные ответы При решении большинства задач требуется только выполнение арифметических действий над целыми числами Это позволит студентам сосредоточиться на освоении основных алгоритмов решения задач линейной алгебры, не отвлекаясь на выполнение сложных арифметических операций УДК ББК 221 c ХНУ имени ВН Каразина, 2014 c ЮМ Дюкарев, ИЮ Серикова, 2014

3 СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВА 1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 4 11 Определение матриц 4 12 Операции над матрицами Умножение матрицы на число Сложение и вычитание матриц Умножение матриц Транспонирование матриц Свойства операций над матрицами 7 13 Определители первого, второго и третьего порядка 8 14 Определители n-го порядка 9 15 Миноры и алгебраические дополнения Свойства определителей Вычисление определителей разложением по строке (столбцу) Вычисление определителей методом Гаусса Обратная матрица Ранг матрицы Упражнения к главе 1 21 ГЛАВА 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Формулы Крамера Метод обратной матрицы Теорема Кронекера-Капелли Метод Гаусса Вычисление обратных матриц методом Гаусса Структура множества решений однородной системы линейных алгебраических уравнений Структура множества решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Линейные матричные уравнения О выборе базисных неизвестных в системах линейных уравнений Упражнения к главе 2 49 ОТВЕТЫ 57 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 66 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 67 3

4 11 Определение матриц ГЛАВА 1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Матрицей называется прямоугольная таблица, элементами которой являются числа Порядком матрицы называется количество ее строк и столбцов Примеры матриц: Порядок каждой из этих матриц равен соответственно: ( ) ( ) Матрицы мы будем обозначать большими буквами латинского алфавита, а их элементы малыми буквами латинского алфавита с двумя числовыми индексами Первый из этих индексов указывает номер строки, а второй номер столбца, в котором находится соответствующий элемент матрицы Матрица с m строками и n столбцами записывается в виде a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Если n = m, то матрица A называется квадратной матрицей n-го порядка Если n m, то матрица A называется прямоугольной порядка m n Главной диагональю квадратной матрицы n-го порядка называются элементы a 11, a 22,, a nn Квадратная матрица называется единичной, если элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю Единичную матрицу будем обозначать буквой E Примеры единичных матриц: ( ) Две матрицы называются равными, если совпадают их порядки и совпадают соответствующие элементы Например, ( ) ( ) =

5 Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю Нулевую матрицу будем обозначать буквой O Примеры нулевых матриц: ( ) ( ) Операции над матрицами 121 Умножение матрицы на число Любую матрицу можно умножить на число Например, = , = А теперь дадим общее определение Определение 11 Пусть дана произвольная матрица a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn и произвольное число λ Произведением числа λ на матрицу A называется матрица λa 11 λa 12 λa 1n λa 21 λa 22 λa 2n λa = λa m1 λa m2 λa mn 122 Сложение и вычитание матриц Матрицы одинакового порядка можно складывать и вычитать Например, = , = А теперь дадим общее определение Определение 12 Пусть даны две произвольные матрицы одинакового порядка a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2n A =, B = b 21 b 22 b 2n a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn 5

6 Суммой (разностью) этих матриц называется матрица a 11 ± b 11 a 12 ± b 12 a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 22 ± b 22 a 2n ± b 2n A ± B = a m1 ± b m1 a m2 ± b m2 a mn ± b mn 123 Умножение матриц Пусть даны прямоугольные матрицы A и B такие, что количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B Тогда определено произведение AB по правилу «строка на столбец» Приведем простейшие примеры: ( ) ( ) 4 a) 2 3 = = 23 5 ( ) ( ) ( ) ( ) b) = = ( ) ( ) ( ) ( ) c) = = ( ) 2 1 ( ) d) = = ( ) = 5 2 А теперь дадим общее определение Определение 13 Пусть даны две прямоугольные матрицы a 11 a 12 a 1p b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2p A =, B = b 21 b 22 b 2n a m1 a m2 a mp b p1 b p2 b pn и количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n AB =, c m1 c m2 c mn 6

7 элементы которой вычисляются по формуле c ij = p a ik b kj, 1 i m, 1 j n k=1 Матрица AB состоит из m строк и n столбцов Пусть A является произвольной квадратной матрицей порядка n и E обозначает единичную матрицу порядка n Тогда В общем случае AB BA Пример 1 Пусть A = ( 3 3 Тогда AB = 7 7 Пример 2 Пусть A = Тогда AB = ( ), BA = ( AE = EA = A ) ( ) 1 1 и B = 1 1 ( ) 4 6 и AB BA 4 6 ) и B = ( ) 4 4 4, а произведение BA не существует Транспонирование матриц Пусть дана матрица A порядка m n Рассмотрим матрицу A, столбцами которой являются строки матрицы A Говорят, что матрица A получена транспонированием матрицы A Порядок матрицы A равен n m a 11 a 12 a 1n a 11 a 21 a m1 a 21 a 22 a 2n Таким образом, если A =, то a 12 a 22 a m2 A = a m1 a m2 a mn a 1n a 2n a mn Например, ( ) = 3 4 6, = Свойства операций над матрицами Теорема 11 Введенные выше операции над матрицами обладают такими свойствами: 1) A + B = B + A 7

8 2) (A + B) + C = A + (B + C) 3) λ(a + B) = λa + λb 4) A(B + C) = AB + AC 5) (A + B)C = AC + BC 6)λ(AB) = (λa)b = A(λB) 7) (AB)C = A(BC) 8) (A ) = A 9) (λa) = λa 10) (A + B) = A + B 11) (AB) = B A Здесь A, B, C произвольные прямоугольные матрицы, для которых выполнимы операции в левых и правых частях рассматриваемых равенств, и λ произвольное число 13 Определители первого, второго и третьего порядка Каждой квадратной матрице A по определенным правилам будет поставлено в соответствие число, которое называется определителем и обозначается через A или через det A Определение 14 Определителем матрицы первого порядка A = (a 11 ) (определителем первого порядка) называется число det(a 11 ) = a 11 (11) ( ) a11 a Определение 15 Определителем матрицы второго порядка 12 (опре- a 21 a 22 делителем второго порядка) называется число a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12 (12) Пример 1 Вычислить определитель второго порядка = 2 ( 5) 3 ( 1) = = 7 Определение 16 Определителем матрицы третьего порядка a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 8

9 (определителем третьего порядка) называется число a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 + a 13 a 21 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 (13) Структуру сомножителей и знаки слагаемых в правой части последнего равенства легко запомнить с помощью следующих схем: Пример 2 Вычислить определитель третьего порядка = = 0 14 Определители n-го порядка Пусть задана произвольная квадратная матрица n-го порядка a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn Выберем по одному элементу в 1-ой, 2-ой и тд, n-ой строке Получим упорядоченную в порядке возрастания номеров строк выборку ( a1j1, a 2j2,, a njn ) (14) Элементы этой выборки находятся в разных строках матрицы A Они находятся в разных столбцах тогда и только тогда, когда последовательность (j 1, j 2,, j n ) является перестановкой чисел (1, 2,, n) Таким образом, выборки вида (14), с элементами в разных строках и разных столбцах матрицы A, находятся во взаимно однозначном соответствии с перестановками J = (j 1, j 2,, j n ) чисел (1, 2,, n) Количество таких перестановок равно n! = n 9

10 Пусть числа j k и j k+p, k > 0, p > 0 принадлежат некоторой перестановке (j 1, j 2,, j n ) Говорят, что числа j k и j k+p образуют инверсию в перестановке (j 1, j 2,, j n ), если j k > j k+p Через r(j) обозначим количество инверсий в произвольной перестановке J чисел (1, 2,, n) В качестве примера укажем все перестановки последовательности (1, 2, 3) и количество инверсий в каждой перестановке Перестановка (1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1) Количество инверсий Определение 17 Определителем квадратной матрицы n-го порядка (определителем n-го порядка) называется число a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = ( 1) r(j) a 1j1 a 2j2 a njn (15) (J) a n1 a n2 a nn Здесь суммирование производится по всем перестановкам J = (j 1, j 2,, j n ) чисел (1, 2,, n) Покажем, что при n = 3 формула (15) совпадает с формулой (13) Последовательно воспользовавшись формулой (15) и приведенной выше таблицей перестановок, получим a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ( 1) r(j) a 1j1 a 2j2 a 3j3 = (J) = ( 1) r(1,2,3) a 11 a 22 a 33 + ( 1) r(1,3,2) a 11 a 23 a 32 + ( 1) r(2,1,3) a 12 a 21 a ( 1) r(2,3,1) a 12 a 23 a 31 + ( 1) r(3,1,2) a 13 a 21 a 32 + ( 1) r(3,2,1) a 13 a 22 a 31 = = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 Что и требовалось доказать Легко видеть, что при n = 1, 2 формула (15) совпадает соответственно с формулами (11), (12) 15 Миноры и алгебраические дополнения Определение 18 Пусть A квадратная матрица n-го порядка и ее элемент a ij находится на пересечении i-й строки и j-го столбца Вычеркнем из матрицы A строку с номером i и столбец с номером j Получим квадратную матрицу (n 1)-го 10

11 порядка, определитель которой называется минором элемента a ij и обозначается через M ij Пример 1 Вычислить миноры для элементов второй строки матрицы Решение A = M 21 = = 8 7 = 15, M 22 = = 8 6 = 2, M 23 = = = 13 Определение 19 Пусть a ij является элементом квадратной матрицы Алгебраическим дополнением элемента a ij называется A ij = ( 1) i+j M ij Пример 2 Вычислить алгебраические дополнения для элементов первой строки матрицы A = Решение A 11 = ( 1) = 1 4 = 3, A 12 = ( 1) = ( 2 12) = 14, A 13 = ( 1) = = 5 Замечание Определитель является числом и фраза типа «строка определителя» некорректна Вместе с тем, корректный аналог этой фразы «строка матрицы, определитель которой мы вычисляем» представляется несколько громоздким Поэтому длинные фразы «строка (столбец) матрицы, определитель которой мы вычисляем», «элемент матрицы, определитель которой мы вычисляем» будем заменять короткими фразами «строка (столбец) определителя», «элемент определителя» и тд 11

12 16 Свойства определителей Из формулы (15) выводятся следующие свойства определителей 1 Если у определителя элементы строки (столбца) равны нулю, то такой определитель равен нулю Например, = Постоянный множитель элементов строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя Например, = = Определитель матрицы не меняется при транспонировании Например, для определителя 3-го порядка имеем a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 4 Если у определителя поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак на противоположный Например, = , тк второй определитель получается из первого перестановкой первых двух строк 5 Если у определителя есть две совпадающие строки (столбца), то такой определитель равен нулю Например, = 0, тк у этого определителя совпадают два первых столбца 12

13 Если у определителя есть две пропорциональные строки (столбца), то такой определитель равен нулю Например, = = 0, тк у этого определителя 1-й и 3-й столбцы пропорциональны 6 Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матричных сомножителей Например, для матриц 3-го порядка имеем = Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число Например, = = К элементам первого столбца прибавили элементы последнего столбца, умноженные на 6 Определитель не изменился 8 Определитель равен сумме элементов строки (столбца), умноженных на их алгебраические дополнения Например, для определителя 3-го порядка имеем a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = a 21 A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23 = a 31 A 31 + a 32 A 32 + a 33 A 33 = a 11 A 11 + a 21 A 21 + a 31 A 31 = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 = a 13 A 13 + a 23 A 23 + a 33 A 33 9 Сумма элементов строки (столбца) определителя, умноженных на алгебраические дополнения к другой строке (столбцу) определителя равна 0 Например, для определителя 3-го порядка (13) имеем a 11 A 31 + a 12 A 32 + a 13 A 33 = 0 13

14 17 Вычисление определителей разложением по элементам строки (столбца) Разложение определителя по элементам строки (столбца) применяется для вычисления определителей Рассмотрим некоторые примеры Пример 1 Вычислить определитель : а) разложением по элементам 2-й строки б) разложением по элементам 3-го столбца Решение: а) = a 21A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23 = 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = ( 10 32) ( 25 8) 7(20 2) = = 51 б) = a 13A 13 + a 23 A 23 + a 33 A 33 = 8 ( 1) ( 1) ( 5) ( 1) = 8(4 + 1) 7(20 2) 5( 5 2) = = 51 Вычисление определителя методом разложения особенно удобно, если у определителя в строке (столбце) имеются нули Пример 2 Вычислить определитель

15 Решение Разлагая этот определитель по элементам 2-го столбца, получим = a 12A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 = 0 A 12 1 A A 32 = = ( 25 8) = 33 Если у определителя нет нулевых элементов, то их всегда можно получить в строке (столбце) с помощью свойства 7 определителей (см предыдущий пункт) После этого определитель вычисляется разложением по соответствующей строке (столбцу) определителя Такой метод вычисления определителей называется методом накопления нулей в строке (столбце) Пример 3 Вычислить определитель = Решение Прибавим второй столбец к первому, третьему и четвертому столбцу Получим = Разложим этот определитель по элементам первой строки и затем вынесем общий множитель 2 элементов 1 строки за знак определителя Получим = 3 ( 1) = К первому и второму столбцу прибавим третий столбец, умноженный на -2, и затем разложим полученный определитель по элементам первой строки Получим = = = 6( 6 + 7) = 6 Определение 110 Квадратная матрица называется верхнетреугольной, если 15

16 все элементы под главной диагональю равны нулю Пример 4 Доказать, что определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению диагональных элементов a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n = 0 0 a 33 a 3n = a 11 a 22 a 33 a nn (16) a nn Решение Последовательно разлагая определители по элементам первого столбца, получим a 22 a 23 a 2n 0 a 33 a 3n a 33 a 3n = a 11 = a 11 a 22 0 a = = a 11a 22 a 33 a nn 0 0 a nn nn 18 Вычисление определителей методом Гаусса При вычислении определителей методом Гаусса используются следующие свойства определителей: а) определитель матрицы не меняется при транспонировании б) постоянный множитель элементов строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя в) если у определителя поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак на противоположный г) определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число С помощью этих свойств вычисление определителя любой матрицы можно свести к вычислению определителя верхнетреугольной матрицы, который равен произведению диагональных элементов матрицы (см (16)) Такой метод вычисления определителей называется методом Гаусса Пример 1 Методом Гаусса вычислить определитель = = = Здесь и в дальнейшем с помощью свойства 7 определителей мы получаем нули под элементами, обведенными в прямоугольную рамку Для этого все элементы первой 16

17 строки (содержит элемент в рамке) домножаем на 3 и складываем с соответствующими элементами второй строки Получим = = = 4 Пример 2 Методом Гаусса вычислить определитель = = Умножим элементы первой строки на 2 и сложим с соответствующими элементами второй строки Затем умножаем первую строку на 1 и складываем с третьей И, наконец, умножаем первую строку на 2 и складываем с четвертой В результате, получаем = Аналогично, умножаем вторую строку на 2 и складываем с третьей Далее, складываем вторую и четвертую строки Получим = Умножаем третью строку на 1 и складываем с четвертой Окончательно, = = = Обратная матрица Определение 111 Квадратная матрица n-го порядка A называется обратимой (невырожденной), если существует квадратная матрица n-го порядка A 1 такая, что A 1 A = AA 1 = E Здесь E обозначает единичную матрицу n-го порядка Матрица A 1 называется обратной к матрице A 17

18 Теорема 12 Для того, чтобы квадратная матрица a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn (17) была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля В этом случае обратная матрица может быть вычислена по формуле A 11 A 12 A 1n A 1 = 1 A 21 A 22 A 2n (18) A A n1 A n2 A nn Здесь A обозначает определитель матрицы A, через A ij обозначены алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы (17), а штрих обозначает транспонирование матрицы Пример 1 Для матрицы A = Решение Отсюда следует, что A 1 = 1 A Пример 2 Для матрицы вычислить обратную A = ( ) 1 2 вычислить обратную матрицу 3 4 ( ) 1 2 = 4 6 = 2, 3 4 A 11 = ( 1) = 4, A 12 = ( 1) = 3, A 21 = ( 1) = 2, A 22 = ( 1) = 1 ( A11 A 12 A 21 A 22 ) = A = ( ) 4 3 = 2 1 ( )

19 Решение A = = 5, A 11 = ( 1) = 1, A 12 = ( 1) = 3, A 13 = ( 1) = 1, A 21 = ( 1) = 3, A 22 = ( 1) = 1, A 23 = ( 1) = 2, A 31 = ( 1) = 2, A 32 = ( 1) = 1, A 33 = ( 1) = 3 Отсюда следует, что A 1 = 1 A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A A 31 A 32 A Ранг матрицы = = Пусть дана прямоугольная матрица с m строками и n столбцами Выделим в ней матрице произвольные r строк и произвольные r столбцов На пересечении выделенных строк и столбцов находится квадратная матрица r-го порядка Ее определитель называется минором r-го порядка Определение 112 Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A называется рангом матрицы и обозначается через rank A Все отличные от нуля миноры наивысшего порядка называются базисными минорами Строки (столбцы) матрицы A, в которых находится какой-нибудь базисный минор, называются базисными строками (столбцами) Непосредственно из этого определения следуют свойства ранга матрицы: a) ранг прямоугольной матрицы A не превосходит ее минимального размера rank A min(m, n) б) ранг матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, те A = O 19

20 в) ранг квадратной матрицы равен ее порядку тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля Из свойств определителей следует, что ранг матрицы не меняется при следующих элементарных операциях: a) вычеркивание нулевых строк и столбцов б) умножение элементов любой строки (столбца) на ненулевой множитель в) перемена местами строк (столбцов) г) прибавление к элементам любой строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число д) транспонирование матрицы С помощью элементарных операций мы можем, не меняя ранга матрицы, поместить любой базисный минор в левый верхний угол матрицы Определение 113 Прямоугольная матрица размера m n, m n называется ступенчатой, если элементы на главной диагонали отличны от нуля, а под главной диагональю равны нулю Таким образом, ступенчатая матрица имеет следующую структуру: a 11 a 12 a 13 a 1m a 1n 0 a 22 a 23 a 2m a 2n A = 0 0 a 33 a 3m a 3n a mm a mn Минор, находящийся в первых m строках и первых m столбцах этой матрицы равен произведению диагональных элементов a 11 a 22 a 33 a mm и отличен от нуля Следовательно, ранг ступенчатой матрицы равен количеству строк rank A = m Оказывается, что любую матрицу с помощью элементарных преобразований (не меняющих ранга матрицы) можно привести к ступенчатой форме и, таким образом, вычислить ее ранг Запись A B будет обозначать, что матрица B получена из матрицы A с помощью элементарных преобразований и, следовательно, rank A = rank B Рассмотрим примеры Пример 1 Вычислить ранги матриц A = 1 0 3, B = , C = Решение С помощью элементарных преобразований приведем матрицу A к ступенчатому виду (под цифрой в рамке с помощью элементарных преобразований 20

21 получаем нули) Первую строку складываем со второй и третьей Получим A = Теперь вторую строку домножаем на 1 и складываем с третьей Окончательно получим A Отсюда следует, что rank A = 3 Аналогичным образом преобразуем матрицу B Получим ( ) B = Таким образом, rank B = 2 Для матрицы C имеем C = ( ) Следовательно, rank C = Упражнения к главе 1 11 Даны число λ и матрица A Найти матрицу λa: a) λ = 5, A = ( ) 6 6 b) λ = 5, A = Даны матрица A и матрица B Найти их сумму A + B: ( ) ( ) A =, B = Даны матрица A и матрица B Найти их разность A B: A = 9 5, B =

22 14 Дана матрица A Найти транспонированную матрицу A : ( ) a) A = b) A = Даны матрица A и матрица B Найти их произведение AB: ( ) ( ) a) A =, B = b) A = 1 2 3, B = ( ) c) A = , B = d) A = 3, B = (1 1 1) 3 1 e) A = (3 1 3), B = Даны матрицы A = 3 1 1, B = 3 1 2, Найти матрицу A + 2B CDA C = 3 1 2, D = Вычислить определители: a) b) c) d) ( ) Дана матрица A = Найти минор M

23 19 Дана матрица A = Найти миноры элементов последнего столбца ( ) Дана матрица A = Найти алгебраическое дополнение A Дана матрица A = Найти алгебраические дополнения элементов второй строки 112 Дана матрица A = Найти ее определитель: а) раскладывая по элементам второй строки б) раскладывая по третьему столбцу 113 Дана матрица A = Найти ее определитель, раскладывая по элементам первой строки 114 Найти определитель матрицы A = Методом Гаусса вычислить определители: a) b) c)

24 116 Для следующих матриц найти обратные: ( ) ( ) ( ) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) ( ) Вычислить ранги следующих матриц: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

25 ГЛАВА 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 21 Формулы Крамера В школьном курсе математики были рассмотрены линейные алгебраические уравнения и системы линейных алгебраических уравнений следующих видов: а) одно линейное алгебраическое уравнение с одним неизвестным ax = b, (21) где a и b заданные числа, а x неизвестное б) система из двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2, (22) где a ij и b i - заданные числа, а x 1, x 2 - неизвестные в) система из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2, (23) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 где a ij и b i заданные числа, а x 1, x 2, x 3 неизвестные Обобщая уравнение и системы уравнений (21) - (23), мы приходим к системе из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными a 11 x 1 + a 12 x a 1n 1 x n 1 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n 1 x n 1 + a 2n x n = b 2 (24) a n1 x 1 + a n2 x a nn 1 x n 1 + a nn x n = b n С системой линейных алгебраических уравнений (24) свяжем n + 1 определитель a 11 a 12 a 1n 1 a 1n b 1 a 12 a 1n 1 a 1n a 21 a 22 a 2n 1 a 2n b 2 a 22 a 2n 1 a 2n =, 1 =, a n1 a n2 a nn 1 a nn b n a n2 a nn 1 a nn a 11 b 1 a 1n 1 a 1n a 11 a 12 a 1n 1 b 1 a 21 b 2 a 2n 1 a 2n a 21 a 22 a 2n 1 b 2 2 =,, n = a n1 b n a nn 1 a nn a n1 a n2 a nn 1 b n 25

26 Определитель i получается заменой i-ого столбца столбцом свободных членов Условия, при выполнении которых существует единственное решение системы (24), дает теорема Крамера Теорема 21 Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений (24) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы был отличен от нуля определитель 0 При выполнении этого условия единственное решение системы линейных алгебраических уравнений (24) может быть найдено по формулам Крамера x 1 = 1, x 2 = 2,, x n = n Пример 1 Решить систему { 5x1 + 2x 2 = 21 2x 1 + x 2 = 9 Решение По формулам Крамера имеем = = 5 4 = 1, 1 = = = 3, 2 = = = 3 x 1 = 1 = 3 1 = 3, x 2 = 2 = 3 1 = 3 Пример 2 Решить систему 6x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 1 6x 1 + 4x 2 + 4x 3 = 2 2x 1 + 1x 2 + 2x 3 = 1 Решение = = = 4, = = = 4,

27 По формулам Крамера имеем = = = 4, = = = x 1 = 1 = 4 4 = 1, x 2 = 2 = 4 4 = 1, x 3 = 3 = 4 4 = 1 22 Метод обратной матрицы Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (25) a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Эту систему можно записать в матричной форме a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n x 2 = a n1 a n2 a nn Если матрица системы линейных алгебраических уравнений (25) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn x n b 1 b 2 b n (26) невырождена, то умножив матричное равенство (26) слева на матрицу A 1, получим такой результат Теорема 22 Пусть матрица A системы линейных алгебраических уравнений (25) невырождена Тогда единственное решение x 1, x 2, x n системы линейных алгебраических 27

28 уравнений (25) может быть найдено по формуле x 1 a 11 a 12 a 1n x 2 = a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn x n 1 b 1 b 2 b n (27) Решение системы линейных алгебраических уравнений (25) по формулe (27) называется методом обратной матрицы Пример 1 Методом обратной матрицы решить систему { x1 + 2x 2 = 3 x 1 + x 2 = 1 Решение Для матрицы системы A = ( ) найдем обратную матрицу A 1 Имеем A = = 1 2 = 1, Отсюда следует, что A 1 = 1 A По формуле (27) имеем ( ) x1 = x 2 ( A 11 = ( 1) = 1, A 12 = ( 1) = 1, A 21 = ( 1) = 2, A 22 = ( 1) = 1 ( A11 A 12 A 21 A 22 Таким образом, x 1 = 5, x 2 = 4 ) = 1 1 ( ) 1 1 = 2 1 ( ) ) ( ) ( ) ( 1) = = ( 1) ( 1) Пример 2 Методом обратной матрицы решить систему x 1 + 2x 2 + 1x 3 = 8 2x 1 + 3x 2 3x 3 = 5 3x 1 4x 2 + 5x 3 = ( ) 5 4

29 Решение Для матрицы этой системы A = обратная матрица имеет вид (см (18)) A 1 = По формуле (27) имеем x 1 x 2 = = 2 4 x Таким образом, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 23 Теорема Кронекера-Капелли Рассмотрим систему из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (28) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m С этой системой свяжем матрицу системы (28) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn и расширенную матрицу системы (28) a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 Ã = a m1 a m2 a mn b m Определение 21 Система линейных алгебраических уравнений (28) называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение и несовместной в противном случае 29

30 Теорема 23 (Кронекер-Капелли) Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений (28) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы A равнялся рангу расширенной матрицы системы à Определение 22 Совместная система линейных алгебраических уравнений (28) называется определенной (неопределенной), если у нее существует единственное решение (существует бесконечно много решений) Важное замечание Если решение не единственно, то их бесконечно много Теорема 24 Для совместной системы линейных алгебраических уравнений (28) имеют место следующие утверждения: а) если rank A =rank à = n, то система (28) является определенной б) если rank A =rank à < n, то система (28) является неопределенной Пример 1 Рассмотрим систему { 3x1 + 2x 2 = 1 2x 1 + x 2 = 2 Решение Для этой системы A = ( ) 3 2, à = 2 1 ( ) Легко видеть, что rank A = rank à = 2 Таким образом, система является совместной и определенной Пример 2 Рассмотрим систему { 4x1 + 2x 2 = 4 2x 1 + x 2 = 2 Решение Для этой системы A = ( ) 4 2, à = 2 1 ( ) Легко видеть, что rank A = rank à = 1 Следовательно, система является совместной и неопределенной Пример 3 Рассмотрим систему { 2x1 + 2x 2 = 1 x 1 + x 2 = 1 30

31 Решение Для этой системы A = ( ) 2 2, à = 1 1 ( ) Легко видеть, что rank A = 1, rank à = 2 Таким образом, система является несовместной 24 Метод Гаусса Для нахождения множества всех решений систем линейных алгебраических уравнений наиболее эффективным является метод Гаусса Определение 23 Две системы линейных алгебраических уравнений с одним и тем же набором неизвестных называются эквивалентными, если совпадают множества их решений Как известно, следующие элементарные преобразования приводят к эквивалентным системам линейных алгебраических уравнений: a) умножение левой и правой частей любого уравнения на любой ненулевой множитель б) исключение из системы одного из двух пропорциональных уравнений в) исключение из системы уравнения вида 0=0 г) любые перестановки уравнений в системе д) прибавление к левой и правой частям одного уравнения левой и правой частей другого уравнения, умноженных на любое число Системы из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (29) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m находятся в очевидном взаимно однозначном соответствии со своими расширенными матрицами a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 à = a m1 a m2 a mn Перечисленным выше эквивалентным преобразованиям систем линейных алгебраических уравнений соответствуют такие элементарные операции над их расширенными матрицами: 31 b m

32 a) умножение любой строки расширенной матрицы системы на любой ненулевой множитель б) вычеркивание одной из двух пропорциональных строк расширенной матрицы системы в) вычеркивание нулевой строки расширенной матрицы системы г) любые перестановки строк расширенной матрицы системы д) прибавление к строке расширенной матрицы системы любой другой строки, умноженной на любое число Метод Гаусса состоит из двух этапов Сначала, с помощью перечисленных выше элементарных операций, приводим расширенную матрицу системы к ступенчатой форме (прямой ход метода Гаусса) По результатам прямого хода метода Гаусса выясняется совместность или несовместность исходной системы В случае совместности применяем обратный ход метода Гаусса для нахождения всех решений системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим примеры на применение метода Гаусса Пример 1 Методом Гаусса решить систему x 1 + 3x 2 3x 3 = 1 2x 1 5x 2 + 3x 3 = 6 x 1 2x 2 + x 3 = 3 Решение С помощью элементарных преобразований приведем расширенную матрицу системы к ступенчатой форме Имеем (под цифрой в рамке с помощью элементарных преобразований получаем нули) à = Отсюда следует, что rank à = rank A = 3 Поэтому исходная система является совместной, определенной и эквивалентна системе x 1 + 3x 2 3x 3 = 1 x 2 3x 3 = 4 x 3 = 2 Отсюда следует, что (обратный ход метода Гаусса) x 3 =2, x 2 = 4 + 3x 3 = = 2, x 1 =1 3x 2 + 3x 3 = = 1 32

33 Таким образом, у нашей системы существует единственное решение x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 2 Пример 2 Методом Гаусса решить систему x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 = 11 3x 1 + 4x x 4 = 35 x 1 4x 2 7x 3 + 4x 4 = 14 3x 1 6x 2 + 8x 3 15x 4 = 43 Решение С помощью элементарных преобразований приведем расширенную матрицу системы к ступенчатой форме Имеем (под цифрой в рамке с помощью элементарных преобразований получаем нули) à = Отсюда следует, что rank à = rank A = 4 Поэтому исходная система является совместной, определенной и эквивалентна системе x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 = 11 x 2 3x 3 + x 4 = 2 x 3 2x 4 = 3 x 4 = 2 Отсюда следует, что (обратный ход метода Гаусса) x 4 =2, x 3 = 3 + 2x 4 = = 1, x 2 =2 + 3x 3 x 4 = = 3, x 1 =11 x 2 x 3 3x 4 = = 1 Таким образом, у нашей системы существует единственное решение x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 1, x 4 = 2 33

34 Важное замечание Обратный ход метода Гаусса можно снова реализовать как элементарные преобразования, приводящие к единичной матрице в левой части расширенной матрицы системы Так, в нашем примере соответствующие элементарные преобразования имеют вид (над цифрой в рамке с помощью элементарных преобразований получаем нули): Приведем пошаговый комментарий к проведенным вычислениям Шаг 1 Последнюю строку умножаем на 2 и складываем с третьей Последнюю строку вычитаем из второй Последнюю строку умножаем на 3 и складываем с первой Шаг 2 Третью строку умножаем на 3 и складываем со второй Третью строку вычитаем из первой Шаг 3 Вторую строку вычитаем из первой Таким образом, наша система эквивалентна системе x 1 = 1 x 2 = 3 x 3 = 1 x 4 = 2 И мы снова получили решение исходной системы x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 1, x 4 = 2 Пример 3 Методом Гаусса решить систему 2x 1 + 3x 2 x 3 + x 4 = 5 3x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 6 6x 1 + 4x 2 + 4x 3 + 6x 4 = 1 Решение С помощью элементарных преобразований приведем расширенную матрицу системы к ступенчатой форме Имеем Ã =

35 Поэтому исходная система эквивалентна системе x 1 + 2x 2 x 3 + x 4 = 5 x 2 + 7x 3 + 7x 4 = 7 42x x 4 = 32 0 = 11 В этой системе последнее уравнение противоречиво Следовательно, не совместной является исходная система линейных алгебраических уравнений Пример 4 Методом Гаусса решить систему 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 2 x 3 + 2x 4 = 2 2x 1 + 2x 2 + 3x 4 = 3 Решение С помощью элементарных преобразований получим единичную матрицу в левой части расширенной матрицы Имеем ( ) ( ) ( ) /2 1/ Поэтому исходная система эквивалентна системе { x1 + x x 4 = 1 2 x 2 x 3 + 2x 4 = 2 В этой системе неизвестные x 1 и x 2 (соответствующие единичной матрице в левой части расширенной матрицы системы) называются базисными, а неизвестные x 3 и x 4 свободными Выразив базисные неизвестные через свободные неизвестные { x1 = 1 2 x x 4 x 2 = 2 + x 3 2x 4, (210) получим общее решение исходной системы 35

36 Формула (210) задает общее решение исходной системы в следующем смысле: а) если свободные неизвестные x 3 и x 4 принимают произвольные конкретные значения, а базисные неизвестные x 1 и x 2 вычислены по формулам (210), то полученные числа x 1, x 2, x 3, x 4 являются решениями исходной системы б) любое решение исходной системы x 1, x 2, x 3, x 4 получается при некоторых значениях свободных неизвестных x 3, x 4 и вычисленных по формулам (210) значениях базисных неизвестных x 1, x 2 Например, если в формулы (210) подставить x 3 = 1 и x 4 = 1, то базисные неизвестные x 1 = 1 и x 2 = 1 Мы получили решение исходной системы x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1, x 4 = 1 Особый интерес представляет случай, когда свободные неизвестные равны нулю x 3 = 0 и x 4 = 0 Тогда базисные переменные x 1 = 1/2, x 2 = 2 и мы получаем решение исходной системы x 1 = 1/2, x 2 = 2, x 3 = 0, x 4 = 0 Это решение называется базисным Базисные решения играют важную роль в линейном программировании Пример 5 Методом Гаусса решить систему +3x 1 2x 2 +6x 3 +4x 4 5x 5 = 7 +1x 1 1x 2 +3x 3 +3x 4 3x 5 = 5 1x 1 +2x 2 3x 3 2x 4 +4x 5 = +4 1x 1 +1x 2 +1x 3 +5x 4 1x 5 = 7 +4x 1 1x 2 +4x 3 1x 4 1x 5 = +1 Решение С помощью элементарных преобразований получим единичную матрицу в левой части расширенной матрицы Имеем

37 Итак, исходная система эквивалентна системе x 1 2x 4 +x 5 = 3 x 2 +x 4 +x 5 = 1 x 3 +2x 4 x 5 = 3 Выражая базисные неизвестные x 1, x 2, x 3 через свободные неизвестные x 4, x 5, получим общее решение нашей системы x 1 = x 4 1x 5 x 2 = 1 1x 4 1x 5 x 3 = 3 2x 4 + 1x 5 25 Вычисление обратных матриц методом Гаусса Пусть дана невырожденная матрица A порядка n n Тогда обратная матрица является решением матричного уравнения Введем обозначения для столбцов матриц X и E AX = E (211) X = ( X 1 X 2 X n ), E = ( E1 E 2 E n ) Теперь уравнение (211) можно записать в виде A ( X 1 X 2 X n ) = ( E1 E 2 E n ) Отсюда ( AX1 AX 2 AX n ) = ( E1 E 2 E n ), что эквивалентно обычным системам линейных алгебраических уравнений AX 1 = E 1, AX 2 = E 2,, AX n = E n 37

38 У этих систем отличаются только правые части, а матрицы этих систем совпадают с матрицей A Поэтому решение этих систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса можно объединить, рассмотрев такую расширенную матрицу ( A E ) (212) Мы приходим к следующему алгоритму вычисления обратной матрицы: а) записываем расширенную матрицу (212) б) с помощью элементарных операций над строками расширенной матрицы получаем на месте матрицы A единичную матрицу в) на месте матрицы E получится обратная матрица A 1 Пример 1 Найти матрицу A 1, если ( ) 1 2 A = 3 5 Решение ( ) Отсюда следует, что ( ) A 1 = ( ) ( ) Пример 2 Вычислить обратную матрицу для матрицы A = ( ) Решение /15 9/15 6/ /15 3/15 3/ /5 2/5 3/5 38

39 Таким образом, A 1 = 3/15 9/15 6/15 9/15 3/15 3/15 = 1/5 2/5 3/5 1/5 3/5 2/5 3/5 1/5 1/5 1/5 2/5 3/5 26 Структура множества решений однородной системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим однородную (все правые части уравнений равны нулю) систему линейных алгебраических уравнений из m уравнений с n неизвестными a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 (213) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 Такая система всегда имеет решение, например x 1 = x 2 = = x n = 0 С каждым решением этой системы x 1, x 2,, x n свяжем столбец x = col (x 1, x 2,, x n ) и рассмотрим множество всех таких столбцов x = x 1 x 2 x n, y = y 1 y 2 y n, z = z 1 z 2 z n, Нулевой столбец имеет вид 0 = col (0, 0,, 0) Операции сложения столбцов и умножения столбцов на числа задаются формулами x 1 y 1 x 1 + y 1 x 1 λx 1 x 2 + y 2 = x 2 + y 2, λ x 2 = λx 2 x n y n x n + y n λx n Столбец λ 1 x 1 + λ 2 x λ k x k называется линейной комбинацией столбцов x 1, x 2,, x k с числовыми коэффициентами λ 1, λ 2,, λ k Любая линейная комбинация решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (213) снова является решением системы (213) Столбцы x 1, x 2,, x k называются линейно независимыми, если λ 1 x 1 + λ 2 x λ k x k = 0 λ 1 = λ 2 = = λ k = 0 39 x n

40 Определение 24 Пусть ранг матрицы системы линейных алгебраических уравнений (213) равен r и k = n r Линейно независимые решения x 1, x 2,, x k системы линейных алгебраических уравнений (213) называются фундаментальной системой решений Теорема 25 Пусть ранг матрицы системы линейных алгебраических уравнений (213) равен r и k = n r Тогда: а) у системы линейных алгебраических уравнений (213) существует фундаментальная система решений x 1, x 2,, x k б) множество всех решений системы линейных алгебраических уравнений (213) задается формулой x = C 1 x 1 + C 2 x C k x k, где C 1, C 2, C k произвольные константы Другими словами, все решения системы (213) являются линейными комбинациями фундаментальной системы решений Для построения фундаментальной системы решений целесообразно воспользоваться методом Гаусса Пример 1 Найти фундаментальную систему решений и описать множество всех решений однородной системы линейных алгебраических уравнений +3x 1 2x 2 +1x 3 = 0 2x 1 +2x 2 2x 3 = 0 +1x 1 1x 2 +1x 3 = 0 Решение Применим метод Гаусса Имеем ( ) Ã = Таким образом, исходная система линейных алгебраических уравнений эквивалентна системе { x1 1x 3 = 0 x 2 2x 3 = 0 Общее решение нашей системы имеет вид { x1 = x 3 x 2 = 2x 3 40

41 Пусть свободная переменная x 3 = C 1 Отсюда и из общего решения имеем x 1 = C 1, x 2 = 2C 1 Последние равенства можно записать в векторном виде x 1 C 1 1 x 2 = 2C 1 = C 1 2 x 3 C 1 1 Отсюда следует, что единственный столбец 1 x 1 = 2 1 задает фундаментальную систему решений и все решения исходной системы задаются формулой x 1 1 x 2 = C 1 2 x 3 1 Здесь C 1 произвольная постоянная Замечание Как видим, для решения однородной системы нет необходимости применять метод Гаусса к расширенной матрице системы (матрица системы расширяется столбцом нулей) Поэтому для решения системы линейных однородных уравнений достаточно применить метод Гаусса к матрице системы Пример 2 Найти фундаментальную систему решений и описать множество всех решений однородной системы линейных алгебраических уравнений 2x 1 1x 2 3x 3 +6 = 0 +1x 1 +1x 2 +2x 3 4 = 0 +2x 1 +2x 2 +4x 3 8 = 0 Решение Применим метод Гаусса Получим ( ) A = Таким образом, исходная система линейных алгебраических уравнений эквивалентна системе { x1 +x 3 2x 4 = 0 x 2 +x 3 2x 4 = 0 Выразим базисные переменные x 1, x 2 через свободные переменные x 3, x 4 Получим общее решение нашей системы { x1 = x 3 +2x 4 x 2 = x 3 +2x 4 41

42 Зададим свободным переменным конкретные значения x 3 = C 1, x 4 = C 2 Отсюда и из общего решения имеем x 1 = C 1 + 2C 2, x 2 = C 1 + 2C 2 Последние равенства можно записать в векторном виде x 1 C 1 +2C x 2 x 3 x 4 В этой формуле столбцы = C 1 +2C 2 C 1 = C 1 C 2 1 +C }{{} x 2 }{{} x x 1 = 1 1, x 2 = являются линейно независимыми решениями исходной системы (проверьте это!) Их количество равно разности между числом неизвестных n = 4 и рангом матрицы системы r = 2 По теореме 25 столбцы x 1, x 2 являются фундаментальной системой решений Следовательно, все решения исходной системы задаются формулой x x 2 x 3 = C C x Здесь C 1, C 2 произвольные константы Пример 3 Найти фундаментальную систему решений и описать множество всех решений однородной системы линейных алгебраических уравнений 2x 1 3x 2 8x 3 2x 4 5x 5 = 0 +1x 1 +2x 2 +5x 3 +2x 4 +3x 5 = 0 2x 1 1x 2 4x 3 +2x 4 3x 5 = 0 2x 1 3x 2 8x 3 2x 4 5x 5 = 0 Решение Для расширенной матрицы этой системы имеем ( ) A =

43 Отсюда, { x1 +x 3 2x 4 +x 5 = 0 x 2 +2x 3 +2x 4 +x 5 = 0 Общее решение нашей системы имеет вид { x1 = x 3 +2x 4 x 5 x 2 = 2x 3 2x 4 x 5 Пусть x 3 = C 1, x 4 = C 2, x 5 = C 3 Тогда x 1 C 1 +2C 2 C x 2 x 3 x 4 = 2C 1 2C 2 C 3 C 1 C 2 = C C 2 0 +C x 5 C 3 0 }{{} x 1 0 }{{} x 2 1 }{{} x 3 В этой формуле столбцы x 1, x 2, x 3 являются линейно независимыми решениями исходной системы Их количество равно разности между числом неизвестных n = 5 и рангом матрицы системы r = 3 По теореме 25 столбцы x 1, x 2, x 3 являются фундаментальной системой решений Следовательно, все решения исходной системы задаются формулой x x x 3 x 4 x 5 = C C C 3 В этой формуле C 1, C 2, C 3 произвольные константы 27 Структура множества решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим совместную неоднородную (не все правые части уравнений равны нулю) систему линейных алгебраических уравнений из m уравнений с n неизвестными a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (214) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m

44 Вместе с этой неоднородной системой мы всегда будем рассматривать соответствующую ей однородную систему Она получается заменой нулями правых частей уравнений в (214): a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 (215) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 Теорема 26 Пусть неоднородная система линейных алгебраических уравнений (214) совместна, ранг матрицы однородной системы линейных алгебраических уравнений (215) равен r и k = n r И пусть, далее, x обозначает некоторое (частное) решение системы линейных алгебраических уравнений (214) и x 1, x 2,, x k обозначает фундаментальную систему решений для (215) Тогда множество всех решений системы линейных алгебраических уравнений (214) задается формулой где C 1, C 2,, C k произвольные константы x = x + C 1 x 1 + C 2 x C k x k, (216) Для описания множества всех решений с помощью формулы (216) целесообразно воспользоваться методом Гаусса Пример 1 С помощью формулы (216) дать описание множества всех решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений 2x 1 2x 2 2x 3 = 8 2x 1 3x 2 4x 3 = 9 +1x 1 +2x 2 +3x 3 = +5 Решение Следовательно, общее решение нашей системы имеет вид { x1 = 3 + x 3 x 2 = 1 2x 3 ( )

45 Пусть в этих формулах x 3 = C 1 Тогда x 1 = 3 + C 1, x 2 = 1 2C 1 Поэтому x C x 2 = 1 2C 1 = 1 +C 1 2 x 3 C 1 0 }{{} x 1 }{{} x 1 Пример 2 С помощью формулы (216) дать описание множества всех решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений 3x 1 7x 2 6x 3 5x 4 +4x 5 = +1 +1x 1 +2x 2 +2x 3 +1x 4 1x 5 = 1 3x 1 2x 2 4x 3 +3x 4 +1x 5 = +5 +1x 1 +3x 2 +3x 3 +2x 4 1x 5 = 2 Решение Общее решение нашей системы имеет вид x 1 = 1 +1x 4 +1x 5 x 2 = 2 2x 4 +1x 5 x 3 = 3 +1x 4 1x 5 Пусть x 4 = C 1, x 5 = C 2 Тогда x C 1 +1C x 2 x 3 x 4 = 2 2C 1 +1C C 1 1C 2 C 1 = C 1 1 +C x 5 C 2 0 }{{} x 0 }{{} x 2 1 }{{} x 3 28 Линейные матричные уравнения Рассмотрим примеры решения простейших линейных матричных уравнений Пример 1 Найти 2 2 матрицы X, которые удовлетворяют следующим матричным уравнениям: a) ( ) X = ( ) 2 1 b) X ( ) 2 1 = 5 3 ( )


Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аннотация Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования матриц. Линейные операции над матрицами (сравнение, сложение,

Подробнее