Глава 4. Системы линейных уравнений

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 4. Системы линейных уравнений"

Транскрипт

1 Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица ( ) а F( ) { f () f() } заданная вектор функция a b x x () x () определенные при [ ] () { } Везде далее предполагается что элементы aij () матрицы A( ) а также функции fi () непрерывны на отрезке [ ab ] Определение Однородной системой (ОС) линейных ДУ соответствующей системе () называется система уравнений x A x () Докажем несколько теорем устанавливающих наиболее важные свойства решений систем линейных уравнений Теорема Линейная комбинация решений ОС () также является решением этой системы Доказательство Пусть x A () x и () x A x Положим x α x + β x тогда d x ( αx+ βx) α x+ β x αa () x+ βa () x A ()( αx+ βx) A () x d Теорема Разность любых двух решений НС () есть решение ОС () x A x + F x A x+ F Тогда вычитая получим Доказательство Пусть () () и () () d x x ( x x) A() x A() x A()( x x) d Следствие Сумма любого (частного) решения НС () и решения соответствующей ОС () есть решение НС () Сформулируем правило сложения решений НС линейных уравнений которое применяется при практическом нахождении решений НС Теорема 3 Если x A () x F + () и x A () x + F () то x α x + β x решение системы уравнений x A () x + αf() + βf() Доказательство проведите самостоятельно Теорема 4 Пусть x () функция F() F() F Тогда для [ ab ] ( [ a ) решение системы уравнений () матрица ( ) непрерывны на некотором отрезке [ a Пусть () up выполнена оценка () A и вектор A Ax A и x

2 A x() x( ) + F( b a) e Доказательство Решение x () удовлетворяет интегральному уравнению x ( ) x( ) + A( τ) x( τ) dτ + F ( τ) dτ ( [ a ) Оценим сверху x () По условию A() : x () x( ) + A( τ ) x( τ) dτ + F ( τ) dτ A следовательно A( τ ) x( τ) A x( τ) Поэтому (3) x x + A x d + F d x + A x d + F τ τ τ τ τ () ( ) ( ) ( ) ( ) x x F b a A x dτ () ( ) + ( ) + ( τ ) По лемме Гронуолла получаем что A x() x( ) + F( b a) e Следствие Для любого решения линейной ОС () ( F () ) выполняется оценка A x() x( ) e (4) Следствие Пусть матрица A( ) C[ a тогда A( ) A и для решения x ( ) ОС () имеет место оценка A A x ( ) e x ( ) x ( ) e (5) рост и убывание функции x () ограничены экспонентой Действительно оценка сверху есть оценка (4) С другой стороны та же оценка (4) имеет A место для любых [ ab ] Поэтому заменяя на а на получим x( ) x( ) e A те x() x( ) e Из известной теоремы существования и единственности для нормальных систем вытекает следующее утверждение Теорема 5 (существования и единственности для линейной системы) Решение задачи Коши для системы () с начальным условием x x ( ) существует и единственно на любом отрезке [ T ] [ a Доказательство Сформулированный результат следует из того что функции Gi( x x x ) fi( ) + ai( ) x+ ai( ) x + + ai( ) x непрерывны имеют ограниченные непрерывные частные производные по переменным x i и следовательно удовлетворяют условию Липшица в полосе [ a < xi < Поэтому применима теорема существования и единственности решения нормальной системы (см Теорема из 5 Гл а также замечание 3 Гл ) где постоянная Липшица N max max ai j( ) i j [ a

3 Замечание Поскольку x( ) очевидно есть решение () то решение x () однородной линейной системы с непрерывной матрицей A( ) тождественно равно нулю на всем отрезке [ ab ] если оно равно нулю в какой-либо точке этого отрезка Это следует как из оценки (5) так и из теоремы 5 Однородная система Линейная зависимость системы вектор-функций Определитель Вронского Определение 3 Решения x () xm ( ) ОС () называются линейно независимыми на отрезке [ ab ] если в каждой точке [ a векторы x ( ) xm ( ) линейно независимы Очевидно что если m решений x ( ) xm ( ) линейно независимы то m Пусть теперь задана совокупность решений x ( ) x ( ) (7) ОС () определенных на [ ] Определение 4 ab Составим матрицу X ( ) x ( ) x ( ) (8) Определитель W ( ) ( ) X ( ) называется определителем Вронского совокупности решений x ( ) x ( ) ФСР однородной системы и ее свойства Определение 5 независимых на отрезке [ ] (9) Совокупность из решений однородной линейной системы () линейно ab называется фундаментальной совокупностью решений (ФСР) Теорема 6 Определитель Вронского W( ) составленный из столбцов ФСР определенной на отрезке [ ab ] отличен от нуля во всех точках этого отрезка Доказательство Предположим противное Тогда ( ) W в некоторой точке [ a Рассмотрим систему линейных однородных уравнений относительно { C c c } : X ( ) C () Так как определитель этой системы ( ) C системы уравнений () Это означает что столбцы матрицы X ( ) векторы x( ) x ( ) линейно зависимы что противоречит определению ФСР W то существует нетривиальное решение Теорема 7 Пусть матрица A( ) непрерывна на отрезке [ ab ] и в какой-либо точке [ a векторы x( ) x ( ) линейно независимы Тогда система решений (7) линейно независима на отрезке [ ab ] Доказательство Докажем что при каждом фиксированием [ a равенство X ( ) C выполняется лишь при C Предположим противное те пусть при некотором [ a b ] существует такой вектор C что X ( ) C Тогда линейная комбинация x () X ( ) C

4 решений (7) есть решение системы () удовлетворяющее условию x( ) Следствию из теорем 4 5 x () [ a В частности для x ( ) X ( ) C т е векторы x( ) x ( ) линейно зависимы что противоречит условию теоремы Следствие Определитель Вронского W( ) совокупности решений (7) отличен от нуля Согласно во всех точках отрезка [ ab ] (на котором эти решения определены) если он отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка [ ab ] Доказательство проделайте самостоятельно Можно непосредственно показать что определитель Вронского может обращаться в нуль лишь сразу на всем отрезке [ ab ] Для этого продифференцируем определитель Вронского W() пользуясь правилом дифференцирования определителя: где W ( ) () W W определитель отличающийся от W лишь -ой строкой: вместо строки x x в нем стоит строка из производных x x : x x x x x x x x x x x x x x x x W () a j j j () j j x () () a () x aj x aj x j x x x x j j x x x x x x x x a ( ) W( ) Следовательно W () W a () W () S() W () () где S () a () Tr A () Sp A () след матрицы A() Решая уравнение () как уравнение с разделяющимися переменными получим формулу Лиувилля: S( τ ) dτ () () ( ) W W e Из () следует что если существует точка [ a отрезке [ ab ] Следствие Любое решение x ( ) столбцов ФСР: Действительно в точке [ a в которой W( ) то ( ) W на однородной системы () есть линейная комбинация x c x X C () () ()

5 Рассмотрим два решения ОС (): x () x c x X C ( ) ( ) ( ) и cx () (3) В силу (3) эти два решения удовлетворяют одному и тому же начальному условию при Следовательно на основании теоремы 5 x c x X C a b () () () при любом [ ] Определение 6 Общим решением системы линейных уравнений () называется множество всех решений этой системы 3 Общее решение однородной системы ФСР системы () Тогда общее решение однородной системы имеет вид x c x X C (4) Теорема 8 Пусть x () x ( ) () () () где C - произвольный вектор Следствие Множество всех решений () образует -мерное векторное (линейное) пространство базисом которого может служить любая ФСР Доказательство При любых c c выражение (4) представляет собой решение ОС () а в силу Следствия любое решение ОС () может быть записано в виде (4) Поэтому (4) есть общее решение () Сумма двух решений () и произведение решения () на число есть снова решения этой системы Кроме того любая ФСР линейно независима и любое решение через нее линейно выражается Следовательно множество всех решений () образует мерное векторное пространство базисом которого служит любая ФСР Замечание Из теоремы существования следует что для любой ОС всегда существует ФСР Для ее построения достаточно задать произвольно линейно независимых векторов a a и рассмотреть решения x ( ) удовлетворяющие условиям x ( ) a В силу теоремы 7 функции x ( ) образуют ФСР Следствие (принцип суперпозиции) Пусть x ( ) - частное решение неоднородной системы () а функции x () x () образуют ФСР соответствующей однородной системы () тогда общее решение () имеет вид: x x + c x x + X C (5) где C - произвольный вектор В самом деле при любых Наоборот если x () () () () () () c c формула (5) представляет собой решение () x x - решение системы () и по x x c x X C где C - - какое-либо решение () то ( ) ( ) теореме 8 оно может быть записано в виде () () () () произвольный вектор Следовательно любое решение x ( ) системы уравнений () представимо в виде (5) Покажем что решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений () сводится к нахождению ФСР соответствующей однородной системы ()

6 Неоднородная система Метод вариации постоянных Матрица Коши Теорема 9 Пусть матрица A( ) и вектор F( ) непрерывны на отрезке [ ab ] и известна ФСР однородной системы () Тогда общее решение неоднородной линейной системы () находится с помощью квадратур Доказательство (метод вариации постоянных или метод неопределенных коэффициентов Лагранжа) Пусть x () x () ФСР системы () Составим ее фундаментальную матрицу те матрицу из столбцов образующих ФСР X ( ) ( x ( ) x ( ) ) Так как каждый столбец этой матрицы является решением () то справедливо матричное уравнение X () A() X () Заметим что определитель фундаментальной матрицы X ( ) W ( ) [ a (6) и будем искать решение системы () в виде x c x X C (7) () () () () () Подставляя выражение (7) в () получим X C + X C A X C + F В силу (6) уравнение (8) примет вид X C F () () () () () () () () () () () (9) Так как X () и матрица X () C[ a то существует обратная матрица X () C[ a Тогда откуда C X F () () () C X τ F τ dτ + C ( ) ( ) ( ) (8) где C произвольный постоянный вектор Подставляя () в формулу (7) получим x () X () C + X () X ( τ ) F( τ) dτ () Докажем что () есть общее решение неоднородной системы () Так как C произвольный постоянный вектор то выбирая C получим частное решение системы () x () X () X ( τ ) F( τ) dτ С другой стороны X () C общее решение ОС () и () можно переписать в виде (5) x x + X C () () ( ) ( ) ( C - произвольный вектор) В силу следствия из теоремы 8 формула () а следовательно и () дает общее решение НС () Покажем теперь как с помощью представления () решить задачу Коши для системы () Пусть ищется решение x () удовлетворяющее начальному условию x ( ) x Полагая в формуле () получим x X ( ) C откуда C X x ( ) ()

7 Таким образом решение задачи Коши для системы () задается формулой x () X () X ( ) x + X () X ( τ ) F( τ) dτ или x X X x X X τ F τ dτ + () () ( ) () ( ) ( ) Определение 7 Матрица K( τ ) X ( ) X ( τ ) называется матрицей Коши "импульсной" матрицей или матрицантом Она однозначно определяется как решение задачи Коши: d K ( ) A ( ) K ( ) K( ) E d Замечание Для построения матрицы Коши надо решить векторных задач Коши: : x A () x x ( ) : Решение задачи Коши для системы () имеет вид x K x K τ F τ dτ () ( ) ( ) ( ) + На практике бывает удобно решить систему (9) X () C() F() и найти C() B() Тогда C () B () d + C а решение задачи Коши и общее решение для системы () имеет вид: x () X () B() d+ C x () X () B( τ) dτ + X ( ) x Теорема ФСР однозначно определяет нормальную форму линейной ОС т е матрицу A() Иначе говоря зная фундаментальную матрицу X () системы можно однозначно восстановить эту систему уравнений Доказательство Пусть задана фундаментальная матрица X () ОС () Тогда из (6) () A() X () > A() X () X () X Замечание Общее решение НС () однозначно определяет эту систему В самом деле A() X () X () Далее выбирая какое-нибудь частное решение x () системы () находим F x A x вектор () () () () Рассмотрим теперь вопрос о степени гладкости решения линейной НС () По x x является дифференцируемой вектор функцией переменного определению решение ( ) на всем отрезке [ ab ] Может ли решение обладать большей гладкостью?

8 Теорема Пусть матрица A( ) и вектор F( ) Тогда любое решение x x( ) системы () Доказательство Так как x ( ) раз дифференцируемы на отрезке [ ab ] + раз дифференцируемо дифференцируемая вектор-функция то в правой части системы () при стоит дифференцируемая вектор-функция Поэтому x A () x+ A () x+ F () Если то в правой части только что полученного равенства снова стоит дифференцируемая вектор-функция и потому x () Повторяя это рассуждение раз получим утверждение теоремы F бесконечно дифференцируемы т е Замечание Если матрица A( ) и вектор ( ) имеют на [ ab ] производные всех порядков то из доказанной теоремы следует что и любое решение системы () бесконечно дифференцируемо Метод исключения для системы линейных дифференциальных уравнений В было показано что одно линейное уравнение то порядка сводится к линейной системе из уравнений Имеет место и обратное утверждение те любой линейной системе можно сопоставить линейное уравнение -го порядка Этот способ решения системы линейных дифференциальных уравнений называется методом исключения Мы не будем обосновывать такую возможность в общем виде а ограничимся лишь рассмотрением примера Пример Рассмотрим систему с постоянными коэффициентами x ax+ ax + f() x ax+ ax + f() и сведем ее к одному уравнению второго порядка относительно функции x () Для этого продифференцируем первое уравнение и вместо производных x и x подставим правые части исходной системы: x a x + a x + f a ( ax + ax + f ) + a ( ax + ax + f ) bx + bx + q ( ) Выразим x из первого уравнения исходной системы x x ax f a и подставим в правую часть записанного выше соотношения Получим b x bx+ x ax f+ q a или a x b x + ( ab ab) x g ( ) Записав общее решение этого уравнения найдем x () Подставив его в выражение для x найдем общее решение системы { () ()} x x 4 Некоторые приемы упрощающие решение линейных дифференциальных уравнений и систем В этом параграфе мы рассмотрим некоторые частные случаи когда решение дифференциальных уравнений либо упрощается либо сводится к квадратурам

9 Рассмотрим линейное однородное уравнение -го порядка ( ) ( ) x + a () x + + a () x Пусть известно частное решение ϕ() этого уравнения отличное от нуля на рассматриваемом отрезке [a Сделав замену переменных x y ϕ() получим следующее уравнение для y: ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ() y + b() y + + b () y+ ( ϕ + a() ϕ + + a () ϕ) y Последнее слагаемое равно нулю так как ϕ() решение исходного уравнения Обозначая y z получим линейное однородное уравнение - го порядка ( ϕ ( ) ) ϕ () ( ) () ( z + b z ) + + b () z Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений x A () x + F () с диагональной матрицей a ( ) A () diag ( a () a () ) a () В этом случае система распадается на линейных уравнений первого порядка xi aii() xi + fi() ( i ) и потому интегрируется в квадратурах 3 Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений x A () x + F () с треугольной матрицей a ( ) a () a () A () a3 () a3 () a33 () a () a() a3() a() В этом случае интегрирование системы также сводится к квадратурам Действительно первое уравнение системы x a() x + f() линейное уравнение с одной неизвестной функцией x и его решения находятся с помощью квадратур Второе уравнение системы записанное в виде ( ) x a() x + f() + a() x() также линейное уравнение с одной неизвестной функцией x Последовательно решая получившиеся линейные уравнения найдем решение исходной системы 5 Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами В случае системы двух уравнений удобно сводить к одному уравнению -го порядка и строить ФСР и общее решение для него а затем и для системы (см пример в 3) Однородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами Рассмотрим однородную систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами

10 где A ( aij ) ( i j ) x Ax a ij - числа A Ее общее решение представимо в виде x e C где C - произвольный вектор Действительно d A d A x e C AC AC A A C Ae C Ax d d!!! ( ) ( ) Решение задачи Коши x Ax x ( ) x имеет вид A ( ) x e x Случай невырожденного спектра собственных значений матрицы A Теорема (о построении ФСР и общего решения однородной системы с постоянными коэффициентами) Пусть: { λ j j } невырожденный спектр собственных значений матрицы A { I j j } соответствующие им собственные векторы матрицы A j I e λ j j - ФСР системы () Общее решение () есть линейная комбинация ФСР: Тогда: { } j x () cj je λ Λ I Ie C j где ( I I I ) квадратная матрица ( x ) составленная из собственных векторов Λ Λ diag { λ λ } diag { e e λ e λ } ( T C c c ) вектор произвольных постоянных Доказательство По определению собственного вектора и собственного значения имеем AI IΛ A IΛI Подставив в () получим x Ax IΛI x или I x ΛI x Сделав замену y I x приведем систему к виду y Λy где матрица Λ diag { λ λ} является диагональной Легко видеть что ее общее решение имеет вид y ( ) e Λ C где e Λ diag { e λ e λ } а ( T C c c ) вектор произвольных постоянных Следовательно общее решение () имеет вид Λ j x () I y() I e C cj I je λ () T Подставляя в () C и используя теорему линейной алгебры о линейной независимости собственных векторов соответствующих различным собственным j I e λ j j - ФСР системы () значениям получим что { } Решение задачи Коши ( ) ( ) j x Ax x x имеет вид Λ( ) x Ie I x Случай вырожденного спектра собственных значений матрицы A Теорема Пусть λ m собственные значения матрицы A их кратности (напомним что + + m ) Тогда общее решение задачи () может быть записано в виде ()

11 m p p λ x () B Ce (3) p p! где B A λe а C общее решение уравнения B C (корневой вектор матрицы A) Доказательство Пример Решение x() B B C e B B B C e ( ) m p p p p λ B B + λ B + B λ + B Ce p p! p p! (! ) (! ) B C m p p λ ( B + λe) B + ( B + λe) B! ( ) Ce p p! m p m p p λ p λ ( B + λe) B Ce A B Ce Ax p p! p p! A m p p m p p p p λ p p λ + λ + λ p p! p p! p p! p p! A 3 λ 3 ; Найти общее решение системы уравнений Матрица системы имеет вид ее собственные значения: x x x x x + 3x + x 3 x x x x B A λe A E B 4 c 3 3 B BC C c ; c 3 c c 4c c3 BC c c c 3 BC + + ; c c c 3 c+ 4c + c 3

12 c c c 4c c3 x () c + c+ c + c3 + e c 3 c c c 3 c+ 4c + c 3 Неоднородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами где A { a ij } x Ax + F() - постоянная матрица Напомним что общее решение неоднородной линейной системы имеет вид x x + x где ч x - общее решение соответствующей однородной системы а x ч - любое частное решение неоднородной Способы нахождения частного решения неоднородной системы Метод вариации постоянных или с помощью матрицы Коши Для правых частей специального вида ("квазиполинома") подбор решений методом неопределенных коэффициентов 3 Операторный метод Теорема Решение задачи Коши x Ax + F() x ( ) x для неоднородной линейной системы с постоянными коэффициентами имеет вид: A ( ) A ( τ ) x() e x e F( τ ) dτ + Доказательство нетрудно провести например используя метод вариации постоянных (сделайте это самостоятельно)


Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1)

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1) Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 41 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А.

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А. Лекция Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Однородная система линейных алгебраических уравнений Пусть дана однородная система линейных уравнений: или в матричной форме: m m n n A

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Лекция 6 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Линейные системы со специальной правой частью

Линейные системы со специальной правой частью Линейные системы со специальной правой частью А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этой лекции мы рассмотрим неоднородные линейные уравнения, однородная часть которых автономна.

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные ураннения

Обыкновенные дифференциальные ураннения Обыкновенные дифференциальные ураннения Преподаватель: Колотий Александр Дмитриевич Литература: 1 Понтрягин Лев Семенович Обыкновенные дифференциальные уравнения Петровский И Г Лекции по теории обыкновенных

Подробнее

Линейные неавтономные системы

Линейные неавтономные системы Линейные неавтономные системы А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В предыдущих лекциях исследовались линейные автономные системы. Они допускают точные решения, которые выражаются

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны.

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны. Лекция 3 Тема: Линейная зависимость векторов Базис векторного пространства План лекции Компланарные векторы Линейная зависимость/независимость системы векторов: определение свойства геометрический смысл

Подробнее

1 Экспонента линейного оператора.

1 Экспонента линейного оператора. 134 1. ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1 Экспонента линейного оператора. 1.1 Напоминание: геометрическая формулировка основной задачи ОДУ. Напомним, что векторное поле это отображение, которое каждой точке

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A).

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A). ГЛАВА 10. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ Одна из основных задач линейной алгебры задача решения линейного уравнения Ax = y. Здесь A : X n Y m есть линейный оператор, y заданный

Подробнее

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание . ДУ курс семестр задание. Постановка задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.. Выяснить, при каких начальных условиях существует единственное решение уравнения y y y.. Решить уравнения,

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА МАТЭМАТЫКА 9 УДК 579 АВ Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА Рассматривается метод построения общего интеграла специальной формы для нелинейного дифференциального

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Локальная теорема Коши Пикара.

Локальная теорема Коши Пикара. Локальная теорема Коши Пикара. Теорема (о существовании и единственности локального решения). Пусть дана задача Коши x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0, (1) где правая часть f(t, x) определена и непрерывна в прямоугольнике

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = a a2 a a a a 2 A =, A a 2 2 2 = a a2 = A,A 2,,A,,, A = a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Аннотация Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.

Подробнее