Глава 4. Системы линейных уравнений

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 4. Системы линейных уравнений"

Транскрипт

1 Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица ( ) а F( ) { f () f() } заданная вектор функция a b x x () x () определенные при [ ] () { } Везде далее предполагается что элементы aij () матрицы A( ) а также функции fi () непрерывны на отрезке [ ab ] Определение Однородной системой (ОС) линейных ДУ соответствующей системе () называется система уравнений x A x () Докажем несколько теорем устанавливающих наиболее важные свойства решений систем линейных уравнений Теорема Линейная комбинация решений ОС () также является решением этой системы Доказательство Пусть x A () x и () x A x Положим x α x + β x тогда d x ( αx+ βx) α x+ β x αa () x+ βa () x A ()( αx+ βx) A () x d Теорема Разность любых двух решений НС () есть решение ОС () x A x + F x A x+ F Тогда вычитая получим Доказательство Пусть () () и () () d x x ( x x) A() x A() x A()( x x) d Следствие Сумма любого (частного) решения НС () и решения соответствующей ОС () есть решение НС () Сформулируем правило сложения решений НС линейных уравнений которое применяется при практическом нахождении решений НС Теорема 3 Если x A () x F + () и x A () x + F () то x α x + β x решение системы уравнений x A () x + αf() + βf() Доказательство проведите самостоятельно Теорема 4 Пусть x () функция F() F() F Тогда для [ ab ] ( [ a ) решение системы уравнений () матрица ( ) непрерывны на некотором отрезке [ a Пусть () up выполнена оценка () A и вектор A Ax A и x

2 A x() x( ) + F( b a) e Доказательство Решение x () удовлетворяет интегральному уравнению x ( ) x( ) + A( τ) x( τ) dτ + F ( τ) dτ ( [ a ) Оценим сверху x () По условию A() : x () x( ) + A( τ ) x( τ) dτ + F ( τ) dτ A следовательно A( τ ) x( τ) A x( τ) Поэтому (3) x x + A x d + F d x + A x d + F τ τ τ τ τ () ( ) ( ) ( ) ( ) x x F b a A x dτ () ( ) + ( ) + ( τ ) По лемме Гронуолла получаем что A x() x( ) + F( b a) e Следствие Для любого решения линейной ОС () ( F () ) выполняется оценка A x() x( ) e (4) Следствие Пусть матрица A( ) C[ a тогда A( ) A и для решения x ( ) ОС () имеет место оценка A A x ( ) e x ( ) x ( ) e (5) рост и убывание функции x () ограничены экспонентой Действительно оценка сверху есть оценка (4) С другой стороны та же оценка (4) имеет A место для любых [ ab ] Поэтому заменяя на а на получим x( ) x( ) e A те x() x( ) e Из известной теоремы существования и единственности для нормальных систем вытекает следующее утверждение Теорема 5 (существования и единственности для линейной системы) Решение задачи Коши для системы () с начальным условием x x ( ) существует и единственно на любом отрезке [ T ] [ a Доказательство Сформулированный результат следует из того что функции Gi( x x x ) fi( ) + ai( ) x+ ai( ) x + + ai( ) x непрерывны имеют ограниченные непрерывные частные производные по переменным x i и следовательно удовлетворяют условию Липшица в полосе [ a < xi < Поэтому применима теорема существования и единственности решения нормальной системы (см Теорема из 5 Гл а также замечание 3 Гл ) где постоянная Липшица N max max ai j( ) i j [ a

3 Замечание Поскольку x( ) очевидно есть решение () то решение x () однородной линейной системы с непрерывной матрицей A( ) тождественно равно нулю на всем отрезке [ ab ] если оно равно нулю в какой-либо точке этого отрезка Это следует как из оценки (5) так и из теоремы 5 Однородная система Линейная зависимость системы вектор-функций Определитель Вронского Определение 3 Решения x () xm ( ) ОС () называются линейно независимыми на отрезке [ ab ] если в каждой точке [ a векторы x ( ) xm ( ) линейно независимы Очевидно что если m решений x ( ) xm ( ) линейно независимы то m Пусть теперь задана совокупность решений x ( ) x ( ) (7) ОС () определенных на [ ] Определение 4 ab Составим матрицу X ( ) x ( ) x ( ) (8) Определитель W ( ) ( ) X ( ) называется определителем Вронского совокупности решений x ( ) x ( ) ФСР однородной системы и ее свойства Определение 5 независимых на отрезке [ ] (9) Совокупность из решений однородной линейной системы () линейно ab называется фундаментальной совокупностью решений (ФСР) Теорема 6 Определитель Вронского W( ) составленный из столбцов ФСР определенной на отрезке [ ab ] отличен от нуля во всех точках этого отрезка Доказательство Предположим противное Тогда ( ) W в некоторой точке [ a Рассмотрим систему линейных однородных уравнений относительно { C c c } : X ( ) C () Так как определитель этой системы ( ) C системы уравнений () Это означает что столбцы матрицы X ( ) векторы x( ) x ( ) линейно зависимы что противоречит определению ФСР W то существует нетривиальное решение Теорема 7 Пусть матрица A( ) непрерывна на отрезке [ ab ] и в какой-либо точке [ a векторы x( ) x ( ) линейно независимы Тогда система решений (7) линейно независима на отрезке [ ab ] Доказательство Докажем что при каждом фиксированием [ a равенство X ( ) C выполняется лишь при C Предположим противное те пусть при некотором [ a b ] существует такой вектор C что X ( ) C Тогда линейная комбинация x () X ( ) C

4 решений (7) есть решение системы () удовлетворяющее условию x( ) Следствию из теорем 4 5 x () [ a В частности для x ( ) X ( ) C т е векторы x( ) x ( ) линейно зависимы что противоречит условию теоремы Следствие Определитель Вронского W( ) совокупности решений (7) отличен от нуля Согласно во всех точках отрезка [ ab ] (на котором эти решения определены) если он отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка [ ab ] Доказательство проделайте самостоятельно Можно непосредственно показать что определитель Вронского может обращаться в нуль лишь сразу на всем отрезке [ ab ] Для этого продифференцируем определитель Вронского W() пользуясь правилом дифференцирования определителя: где W ( ) () W W определитель отличающийся от W лишь -ой строкой: вместо строки x x в нем стоит строка из производных x x : x x x x x x x x x x x x x x x x W () a j j j () j j x () () a () x aj x aj x j x x x x j j x x x x x x x x a ( ) W( ) Следовательно W () W a () W () S() W () () где S () a () Tr A () Sp A () след матрицы A() Решая уравнение () как уравнение с разделяющимися переменными получим формулу Лиувилля: S( τ ) dτ () () ( ) W W e Из () следует что если существует точка [ a отрезке [ ab ] Следствие Любое решение x ( ) столбцов ФСР: Действительно в точке [ a в которой W( ) то ( ) W на однородной системы () есть линейная комбинация x c x X C () () ()

5 Рассмотрим два решения ОС (): x () x c x X C ( ) ( ) ( ) и cx () (3) В силу (3) эти два решения удовлетворяют одному и тому же начальному условию при Следовательно на основании теоремы 5 x c x X C a b () () () при любом [ ] Определение 6 Общим решением системы линейных уравнений () называется множество всех решений этой системы 3 Общее решение однородной системы ФСР системы () Тогда общее решение однородной системы имеет вид x c x X C (4) Теорема 8 Пусть x () x ( ) () () () где C - произвольный вектор Следствие Множество всех решений () образует -мерное векторное (линейное) пространство базисом которого может служить любая ФСР Доказательство При любых c c выражение (4) представляет собой решение ОС () а в силу Следствия любое решение ОС () может быть записано в виде (4) Поэтому (4) есть общее решение () Сумма двух решений () и произведение решения () на число есть снова решения этой системы Кроме того любая ФСР линейно независима и любое решение через нее линейно выражается Следовательно множество всех решений () образует мерное векторное пространство базисом которого служит любая ФСР Замечание Из теоремы существования следует что для любой ОС всегда существует ФСР Для ее построения достаточно задать произвольно линейно независимых векторов a a и рассмотреть решения x ( ) удовлетворяющие условиям x ( ) a В силу теоремы 7 функции x ( ) образуют ФСР Следствие (принцип суперпозиции) Пусть x ( ) - частное решение неоднородной системы () а функции x () x () образуют ФСР соответствующей однородной системы () тогда общее решение () имеет вид: x x + c x x + X C (5) где C - произвольный вектор В самом деле при любых Наоборот если x () () () () () () c c формула (5) представляет собой решение () x x - решение системы () и по x x c x X C где C - - какое-либо решение () то ( ) ( ) теореме 8 оно может быть записано в виде () () () () произвольный вектор Следовательно любое решение x ( ) системы уравнений () представимо в виде (5) Покажем что решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений () сводится к нахождению ФСР соответствующей однородной системы ()

6 Неоднородная система Метод вариации постоянных Матрица Коши Теорема 9 Пусть матрица A( ) и вектор F( ) непрерывны на отрезке [ ab ] и известна ФСР однородной системы () Тогда общее решение неоднородной линейной системы () находится с помощью квадратур Доказательство (метод вариации постоянных или метод неопределенных коэффициентов Лагранжа) Пусть x () x () ФСР системы () Составим ее фундаментальную матрицу те матрицу из столбцов образующих ФСР X ( ) ( x ( ) x ( ) ) Так как каждый столбец этой матрицы является решением () то справедливо матричное уравнение X () A() X () Заметим что определитель фундаментальной матрицы X ( ) W ( ) [ a (6) и будем искать решение системы () в виде x c x X C (7) () () () () () Подставляя выражение (7) в () получим X C + X C A X C + F В силу (6) уравнение (8) примет вид X C F () () () () () () () () () () () (9) Так как X () и матрица X () C[ a то существует обратная матрица X () C[ a Тогда откуда C X F () () () C X τ F τ dτ + C ( ) ( ) ( ) (8) где C произвольный постоянный вектор Подставляя () в формулу (7) получим x () X () C + X () X ( τ ) F( τ) dτ () Докажем что () есть общее решение неоднородной системы () Так как C произвольный постоянный вектор то выбирая C получим частное решение системы () x () X () X ( τ ) F( τ) dτ С другой стороны X () C общее решение ОС () и () можно переписать в виде (5) x x + X C () () ( ) ( ) ( C - произвольный вектор) В силу следствия из теоремы 8 формула () а следовательно и () дает общее решение НС () Покажем теперь как с помощью представления () решить задачу Коши для системы () Пусть ищется решение x () удовлетворяющее начальному условию x ( ) x Полагая в формуле () получим x X ( ) C откуда C X x ( ) ()

7 Таким образом решение задачи Коши для системы () задается формулой x () X () X ( ) x + X () X ( τ ) F( τ) dτ или x X X x X X τ F τ dτ + () () ( ) () ( ) ( ) Определение 7 Матрица K( τ ) X ( ) X ( τ ) называется матрицей Коши "импульсной" матрицей или матрицантом Она однозначно определяется как решение задачи Коши: d K ( ) A ( ) K ( ) K( ) E d Замечание Для построения матрицы Коши надо решить векторных задач Коши: : x A () x x ( ) : Решение задачи Коши для системы () имеет вид x K x K τ F τ dτ () ( ) ( ) ( ) + На практике бывает удобно решить систему (9) X () C() F() и найти C() B() Тогда C () B () d + C а решение задачи Коши и общее решение для системы () имеет вид: x () X () B() d+ C x () X () B( τ) dτ + X ( ) x Теорема ФСР однозначно определяет нормальную форму линейной ОС т е матрицу A() Иначе говоря зная фундаментальную матрицу X () системы можно однозначно восстановить эту систему уравнений Доказательство Пусть задана фундаментальная матрица X () ОС () Тогда из (6) () A() X () > A() X () X () X Замечание Общее решение НС () однозначно определяет эту систему В самом деле A() X () X () Далее выбирая какое-нибудь частное решение x () системы () находим F x A x вектор () () () () Рассмотрим теперь вопрос о степени гладкости решения линейной НС () По x x является дифференцируемой вектор функцией переменного определению решение ( ) на всем отрезке [ ab ] Может ли решение обладать большей гладкостью?

8 Теорема Пусть матрица A( ) и вектор F( ) Тогда любое решение x x( ) системы () Доказательство Так как x ( ) раз дифференцируемы на отрезке [ ab ] + раз дифференцируемо дифференцируемая вектор-функция то в правой части системы () при стоит дифференцируемая вектор-функция Поэтому x A () x+ A () x+ F () Если то в правой части только что полученного равенства снова стоит дифференцируемая вектор-функция и потому x () Повторяя это рассуждение раз получим утверждение теоремы F бесконечно дифференцируемы т е Замечание Если матрица A( ) и вектор ( ) имеют на [ ab ] производные всех порядков то из доказанной теоремы следует что и любое решение системы () бесконечно дифференцируемо Метод исключения для системы линейных дифференциальных уравнений В было показано что одно линейное уравнение то порядка сводится к линейной системе из уравнений Имеет место и обратное утверждение те любой линейной системе можно сопоставить линейное уравнение -го порядка Этот способ решения системы линейных дифференциальных уравнений называется методом исключения Мы не будем обосновывать такую возможность в общем виде а ограничимся лишь рассмотрением примера Пример Рассмотрим систему с постоянными коэффициентами x ax+ ax + f() x ax+ ax + f() и сведем ее к одному уравнению второго порядка относительно функции x () Для этого продифференцируем первое уравнение и вместо производных x и x подставим правые части исходной системы: x a x + a x + f a ( ax + ax + f ) + a ( ax + ax + f ) bx + bx + q ( ) Выразим x из первого уравнения исходной системы x x ax f a и подставим в правую часть записанного выше соотношения Получим b x bx+ x ax f+ q a или a x b x + ( ab ab) x g ( ) Записав общее решение этого уравнения найдем x () Подставив его в выражение для x найдем общее решение системы { () ()} x x 4 Некоторые приемы упрощающие решение линейных дифференциальных уравнений и систем В этом параграфе мы рассмотрим некоторые частные случаи когда решение дифференциальных уравнений либо упрощается либо сводится к квадратурам

9 Рассмотрим линейное однородное уравнение -го порядка ( ) ( ) x + a () x + + a () x Пусть известно частное решение ϕ() этого уравнения отличное от нуля на рассматриваемом отрезке [a Сделав замену переменных x y ϕ() получим следующее уравнение для y: ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ() y + b() y + + b () y+ ( ϕ + a() ϕ + + a () ϕ) y Последнее слагаемое равно нулю так как ϕ() решение исходного уравнения Обозначая y z получим линейное однородное уравнение - го порядка ( ϕ ( ) ) ϕ () ( ) () ( z + b z ) + + b () z Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений x A () x + F () с диагональной матрицей a ( ) A () diag ( a () a () ) a () В этом случае система распадается на линейных уравнений первого порядка xi aii() xi + fi() ( i ) и потому интегрируется в квадратурах 3 Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений x A () x + F () с треугольной матрицей a ( ) a () a () A () a3 () a3 () a33 () a () a() a3() a() В этом случае интегрирование системы также сводится к квадратурам Действительно первое уравнение системы x a() x + f() линейное уравнение с одной неизвестной функцией x и его решения находятся с помощью квадратур Второе уравнение системы записанное в виде ( ) x a() x + f() + a() x() также линейное уравнение с одной неизвестной функцией x Последовательно решая получившиеся линейные уравнения найдем решение исходной системы 5 Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами В случае системы двух уравнений удобно сводить к одному уравнению -го порядка и строить ФСР и общее решение для него а затем и для системы (см пример в 3) Однородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами Рассмотрим однородную систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами

10 где A ( aij ) ( i j ) x Ax a ij - числа A Ее общее решение представимо в виде x e C где C - произвольный вектор Действительно d A d A x e C AC AC A A C Ae C Ax d d!!! ( ) ( ) Решение задачи Коши x Ax x ( ) x имеет вид A ( ) x e x Случай невырожденного спектра собственных значений матрицы A Теорема (о построении ФСР и общего решения однородной системы с постоянными коэффициентами) Пусть: { λ j j } невырожденный спектр собственных значений матрицы A { I j j } соответствующие им собственные векторы матрицы A j I e λ j j - ФСР системы () Общее решение () есть линейная комбинация ФСР: Тогда: { } j x () cj je λ Λ I Ie C j где ( I I I ) квадратная матрица ( x ) составленная из собственных векторов Λ Λ diag { λ λ } diag { e e λ e λ } ( T C c c ) вектор произвольных постоянных Доказательство По определению собственного вектора и собственного значения имеем AI IΛ A IΛI Подставив в () получим x Ax IΛI x или I x ΛI x Сделав замену y I x приведем систему к виду y Λy где матрица Λ diag { λ λ} является диагональной Легко видеть что ее общее решение имеет вид y ( ) e Λ C где e Λ diag { e λ e λ } а ( T C c c ) вектор произвольных постоянных Следовательно общее решение () имеет вид Λ j x () I y() I e C cj I je λ () T Подставляя в () C и используя теорему линейной алгебры о линейной независимости собственных векторов соответствующих различным собственным j I e λ j j - ФСР системы () значениям получим что { } Решение задачи Коши ( ) ( ) j x Ax x x имеет вид Λ( ) x Ie I x Случай вырожденного спектра собственных значений матрицы A Теорема Пусть λ m собственные значения матрицы A их кратности (напомним что + + m ) Тогда общее решение задачи () может быть записано в виде ()

11 m p p λ x () B Ce (3) p p! где B A λe а C общее решение уравнения B C (корневой вектор матрицы A) Доказательство Пример Решение x() B B C e B B B C e ( ) m p p p p λ B B + λ B + B λ + B Ce p p! p p! (! ) (! ) B C m p p λ ( B + λe) B + ( B + λe) B! ( ) Ce p p! m p m p p λ p λ ( B + λe) B Ce A B Ce Ax p p! p p! A m p p m p p p p λ p p λ + λ + λ p p! p p! p p! p p! A 3 λ 3 ; Найти общее решение системы уравнений Матрица системы имеет вид ее собственные значения: x x x x x + 3x + x 3 x x x x B A λe A E B 4 c 3 3 B BC C c ; c 3 c c 4c c3 BC c c c 3 BC + + ; c c c 3 c+ 4c + c 3

12 c c c 4c c3 x () c + c+ c + c3 + e c 3 c c c 3 c+ 4c + c 3 Неоднородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами где A { a ij } x Ax + F() - постоянная матрица Напомним что общее решение неоднородной линейной системы имеет вид x x + x где ч x - общее решение соответствующей однородной системы а x ч - любое частное решение неоднородной Способы нахождения частного решения неоднородной системы Метод вариации постоянных или с помощью матрицы Коши Для правых частей специального вида ("квазиполинома") подбор решений методом неопределенных коэффициентов 3 Операторный метод Теорема Решение задачи Коши x Ax + F() x ( ) x для неоднородной линейной системы с постоянными коэффициентами имеет вид: A ( ) A ( τ ) x() e x e F( τ ) dτ + Доказательство нетрудно провести например используя метод вариации постоянных (сделайте это самостоятельно)

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Линейные системы со специальной правой частью

Линейные системы со специальной правой частью Линейные системы со специальной правой частью А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этой лекции мы рассмотрим неоднородные линейные уравнения, однородная часть которых автономна.

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Лекция 6 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные ураннения

Обыкновенные дифференциальные ураннения Обыкновенные дифференциальные ураннения Преподаватель: Колотий Александр Дмитриевич Литература: 1 Понтрягин Лев Семенович Обыкновенные дифференциальные уравнения Петровский И Г Лекции по теории обыкновенных

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Линейные неавтономные системы

Линейные неавтономные системы Линейные неавтономные системы А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В предыдущих лекциях исследовались линейные автономные системы. Они допускают точные решения, которые выражаются

Подробнее

1 Экспонента линейного оператора.

1 Экспонента линейного оператора. 134 1. ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1 Экспонента линейного оператора. 1.1 Напоминание: геометрическая формулировка основной задачи ОДУ. Напомним, что векторное поле это отображение, которое каждой точке

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны.

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны. Лекция 3 Тема: Линейная зависимость векторов Базис векторного пространства План лекции Компланарные векторы Линейная зависимость/независимость системы векторов: определение свойства геометрический смысл

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание . ДУ курс семестр задание. Постановка задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.. Выяснить, при каких начальных условиях существует единственное решение уравнения y y y.. Решить уравнения,

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A).

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A). ГЛАВА 10. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ Одна из основных задач линейной алгебры задача решения линейного уравнения Ax = y. Здесь A : X n Y m есть линейный оператор, y заданный

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ План лекции Лекция Системы линейных уравнений Матричная запись Основная и расширенная матрицы системы; 2 Совместные и не совместные системы 2 Однородные системы

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ (

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ ( Краевые задачи L ни разу все функции комплекснозначные Определение: - задачей называют задачу найти такое что верно задача имеет хоть одно решение а именно Предложение : - линейный оператор L и - линейные

Подробнее

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА МАТЭМАТЫКА 9 УДК 579 АВ Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА Рассматривается метод построения общего интеграла специальной формы для нелинейного дифференциального

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Характеристический показатель функции

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Характеристический показатель функции ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА Под первым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений, основанных непосредственно на анализе

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Локальная теорема Коши Пикара.

Локальная теорема Коши Пикара. Локальная теорема Коши Пикара. Теорема (о существовании и единственности локального решения). Пусть дана задача Коши x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0, (1) где правая часть f(t, x) определена и непрерывна в прямоугольнике

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее