ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

Транскрипт

1 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания и варианты курсовых заданий Составители: Выск Н.Д. Гуторина Т.А. Москва 6

2 Методические указания предназначены для студентов курса МАИ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». В них рассматриваются операции над матрицами, вычисление определителей и основные приемы решения однородных и неоднородных систем линейных уравнений, операции над векторами, прямые и плоскости. В каждом разделе приводится решение типовых задач. Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовое задание по рассматриваемым темам. Настоящие методические указания могут использоваться студентами на всех факультетах и специальностях. I. Матрицы и операции над ними Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... n... n m m... mn Обозначения: А матрица, ij - элемент матрицы, i номер строки, в которой стоит данный элемент, j номер соответствующего столбца; m число строк матрицы, n число ее столбцов. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы. Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны. Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны, а остальные равны.. Линейные операции над матрицами Суммой матриц А и В одинаковой размерности mn называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: c, i,..., m, j,..., n. ij ij ij

3 Пример. Найти сумму матриц 4 8 и 4 B 5 7. Решение. Вычислим элементы матрицы С = А + В, складывая элементы исходных матриц, стоящие на одинаковых местах: c ; c 4 ; c ; c ; 4 c ; c 4 ; c 5 ; c Следовательно, B. 5 Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число. Пример. Найти матрицу 5А В, если 4 А, В. 4 Решение А, В, 5А В Итак, 5А В.. Перемножение матриц Произведением матрицы А размерности mp и матрицы В размерности p n называется матрица С размерности m n, каждый элемент которой c ij определяется формулой: c ij p k ik kj, i,..., m, j,..., n. Таким образом, элемент c ij представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

4 Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. B B. Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей. Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если m n ). Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны. Пример. Выяснить, можно ли умножить друг на друга матрицы и B. 7 8 Если произведение существует, вычислить его. Решение. Сравним размерности матриц А и В: [ ], B[ ]. Следовательно, n l, m k, поэтому произведение АВ[ ] существует, а произведение ВА нет. Найдем элементы АВ: () = = ; () = = 4; () = = 6; () = = 8; () = 5 7 = -; () = 6 8 = -. 4 Таким образом, B 6 8, ВА не существует. Пример 4. Найти АВ и ВА, если, B. 4 Решение. Проверим возможность перемножения матриц, определив их размерность. [ 4], B[4 ]. Следовательно, n = l = 4, m = k =, поэтому матрицы АВ и ВА существуют, причем АВ[ ], B[4 4]. 4

5 Для вычисления элементов матрицы С = АВ элементы строк матрицы А умножаются на соответствующие элементы столбцов матрицы В: с = + (-)(-) + + = 9 (сумма произведений элементов первой строки А на элементы первого столбца В; первый индекс вычисляемого элемента задает номер строки А, второй индекс номер столбца В); с = + (-) = 5; с = - + (-) + (-) + = -9; с = (-_ + 4 = -. Следовательно, 9 5 C B. 9 При вычислении элементов матрицы D = B элементы строк В умножаются на элементы столбцов А: d = + (-) = ; d = (-) + = -4; d = + (-) = ; d 4 = + = ; d = - + (-) = -; d = - (-) + = ; d = - + (-) = -; d 4 = - + = ; d = + (-) = -; d = (-) + = -; d = + (-) = ; d 4 = + = ; d 4 = + 4 (-) = -8; d 4 = (-) + 4 = ; d 4 = + 4 (-) = -; d 44 = + 4 = 4. Таким образом, 4 D B Определители Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы -го порядка следующим образом:. При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый 5

6 нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали. Пример ( ) Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы -го порядка следующим образом:. Для того чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так: образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно Пример 6. Вычислить определитель 5 4. побочной диагонали:. Решение. Вычислим определитель -го порядка, используя его определение: Δ = (-) + (-) (-4) (-4) (-) (-) =, 6

7 = = 4. Пред тем, как перечислить основные свойства определителей, приведем определение понятия транспонирования матрицы. Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением ij = ji. Основные свойства определителей. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е... При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е. k k k k.. Определитель, имеющий нулевую строку, равен нулю:. 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен нулю:. 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен нулю: 7

8 k k k. 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на :. c c c 7. c c c. 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число: k k k. Разложение определителя по строке Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент. Обозначение: выбранный элемент определителя, M его минор. ij Пример 7. Для 5 5, M Алгебраическим дополнением ij элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число ij 8

9 четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е. i j ij ) M. ( ij При этом справедливо следующее утверждение: определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. j ij ij, где i=,,. Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя. Пример 8. Вычислим определитель из примера 6 с помощью разложения по строке. Для удобства вычисления выберем -ю строку, содержащую нулевой элемент (а = ), поскольку при этом нет необходимости находить А, так как произведение а А =. Итак, 5 ( ) ( ( ) 5) ; ( ) ( ( ) ) 8 (напомним, что определитель второго порядка, входящий в алгебраическое дополнение ij, получается вычеркиванием из исходного определителя i-й строки и j-го столбца). Тогда Δ = а А + а А = + (-4)(-8) = Обратная матрица Квадратная матрица А называется вырожденной, если, и невырожденной, если. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной. Тогда. 9

10 nn n n n n , то есть ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель. Пример 9. Найти обратную матрицу для матрицы 5 А. Решение. Вычислим определитель матрицы А разложением по первому столбцу:. Следовательно, обратная матрица для матрицы А существует. Найдем алгебраические дополнения а элементам матрицы А: Значит,.

11 II. Системы линейных уравнений Линейным уравнением называется уравнение вида..., n n где i и числа, i - неизвестные. Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой число. Линейное уравнение называется однородным, если =. В противном случае уравнение называется неоднородным. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида... n n... n n, ()... m m... mn n m где ij, i - числа, j - неизвестные, n число неизвестных, m число уравнений. Решением линейной системы называется набор чисел,,..., n, которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.. Метод Гаусса Пусть в системе () (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на i, где i номер очередного уравнения. Как известно, полученная при этом новая система будет равносильна исходной. Коэффициенты при во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны, т.е. система выглядит так:

12 n n nn n n n n n ~ ~... ~... ~ ~... ~ ~ ~... ~. Если новые коэффициенты при х не все равны нулю, можно таким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду: n n n n n n ˆ... ˆ ˆ... ˆ ˆ... ˆ. () Здесь символами i ij ij ~, ˆ, ~ и i ˆ обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены. Из последнего уравнения системы () единственным образом определяется n, а затем последовательной подстановкой остальные неизвестные. Пример. Решить систему методом Гаусса: z y z y z y. Решение. Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для удобства его применения поменяем местами -е и -е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при х равнялся единице: z y z y z y. Теперь исключим х из второго и третьего уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое, умноженное на, а из третьего первое, умноженное на :

13 4y z 4 y z. y z Далее можно легко исключить z из третьего уравнения, если прибавить к нему второе: 4y z 4 y z. 4y Из последнего уравнения получаем, что у =. Подставляя это значение в первое и второе уравнения, находим остальные неизвестные: z =, х =. Итак, х =, у =, z =.. Правило Крамера Рассмотрим линейную систему, в которой число уравнений равно... n n... n n числу неизвестных:... n n... nnn n Назовем главным определителем такой системы определитель, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:... а определителем j... n... n n n... nn, (4) - определитель, полученный из (4) заменой столбца коэффициентов при j на столбец свободных членов. Тогда: ) Если, система () имеет единственное решение, определяемое по формулам: n,,..., n. ) Если = =, система имеет бесконечно много решений. j ) Если =, а хотя бы один из, система не имеет решений. j ()

14 Пример. Решить систему по правилу Крамера: Решение. Главный определитель 9, y z y z. y 4z 6 следовательно, система имеет единственное решение. Найдем Δ х, Δ у и Δ z : Отсюда 9 9, 9, 4 y y y , 6, 4 z z z Решение линейных систем с помощью обратной матрицы Рассмотрим линейную систему () и введем следующие обозначения:... n... n матрица системы, X - столбец... n n... nn n неизвестных, B - столбец свободных членов. Тогда систему ()... n можно записать в виде матричного уравнения: АХ = В. (5) Пусть матрица А невырожденная, тогда существует обратная к ней матрица. Умножим обе части равенства (5) слева на. Получим X B. Но E, тогда EX B, а поскольку EX X, X B. Итак, решением матричного уравнения (5) является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы (). 4

15 Пример. Решить систему y z y z 6 5 4y 7z 4 с помощью обратной матрицы. Решение. Составим матрицу системы: А Δ А = -5, следовательно, система имеет единственное решение. Найдем матрицу А - : А А 5 А А 9 А А А А А 7 5 Тогда А Если В 6, Х y, то исходная система превращается в 4 z матричное уравнение АХ = В, решение которого Х = А - В. Следовательно, Х , то есть х =, у =, z =. III. Векторная алгебра. Разложение вектора по базису Два линейно независимых вектора на плоскости ( или три линейно независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде их линейной 5

16 комбинации. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами данного вектора в рассматриваемом базисе: если,, c базис и d = k + m + pc, то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе,, c. Свойства базиса:. Любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора базис в пространстве.. Разложение данного вектора по данному базису единственно, т.е. его координаты в данном базисе определяются единственным образом.. При сложении двух векторов их координаты относительно любого базиса складываются. 4. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Пример. Разложить вектор с = {;} по базису из векторов а = {-;} и = {;}. Для этого нужно найти такие числа k, m, что c = k + m. Запишем это равенство для первых и вторых координат данных векторов: k m k m,, m, m, k 9. k m k 9m Следовательно, c = +.. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними: = cosφ. Обозначения скалярного произведения:, (),. Свойства скалярного произведения:. = пр а.. =.. =. 4. (k) = k(). 5. ( + )c = c + c. 6. = =, где а называется скалярным квадратом вектора а. 7. Если векторы а и определены своими декартовыми координатами = {X, Y, Z }, = {X, Y, Z }, то = X X + Y Y + Z Z. 8. cosφ = X X Y X Z Y Y Z Z X Y Z. 6

17 Пример 4. Даны векторы а = {; -; } и = {-; ; }. Найти скалярное произведение (а )( + ). Найдем координаты векторов а и + : а = { + ; (-) - ; - } = {7; -; }; + = { + (-); - + ; + } = {; ; }. Тогда (а )( + ) = = -5.. Векторное произведение векторов Тройка некомпланарных векторов c называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор с располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами а и, откуда кратчайший поворот от а к кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке). Вектор с называется векторным произведением векторов а и, если: ) c = sinφ, где φ угол между а и. ) c, c. ) Тройка векторов c является правой. Обозначения векторного произведения: c = [], c =. Свойства векторного произведения. ) [] = - []. ) [] =. ) Модуль векторного произведения [] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и. 4) [(k)] = k[]. 5) [( + )c] = [c] + [c]. 6) Если в декартовой системе координат = {X, Y, Z }, = {X, Y, Z }, то [] =,, X Y Z. Пример 5. Y Y Z Z X X Z Z X X Y Y Вычислим векторное произведение векторов а = {, -4, } и = {, 5, }. i X Y j k Z [] = 4 5,, 4 5 ={-4, -, 9}. 7

18 4. Смешанное произведение векторов Смешанным произведением векторов а, и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [] на вектор с. Обозначение: c = []c. Свойства смешанного произведения. ) Смешанное произведение []c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах,,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если c левая тройка. Если, и с компланарны, то []c =. Следствие. []c = [c]. Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же параллелепипеда. Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся : c. ) Если = {X, Y, Z }, = {X, Y, Z }, c = {X c, Y c, Z c }, то c = X X X c Y Y Y c Z Z Z c. Пример 6. Найдем смешанное произведение векторов = {-,, -}, = {,, }, c = {-,, -}. Для этого вычислим определитель, составленный из их координат:, следовательно, векторы компланарны. IV. Прямые и плоскости. Прямая на плоскости Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.. Пусть прямая проходит через точку М (,y ) перпендикулярно вектору n = {,B}. Тогда координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению 8

19 А(х х ) + В(у у ) = - уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. При этом вектор п называют нормалью к прямой.. Общее уравнение прямой: Ах + Ву + С =.. y y l m - каноническое уравнение прямой или уравнение прямой, проходящей через точку М (,y ) параллельно вектору q = {l,m}. 4. y y y y - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М (х,у ) и М (х,у ). 5. у = k + - уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пример 7. Составим уравнение прямой, проходящей через точки М(,) и N(5,-). Уравнение (4) примет вид: прямой. y, 5 5 4y 8, 5 5 4y - общее уравнение данной Пример 8. Для треугольника АВС с вершинами А(-; -), В(; 5), С(7; ) составить уравнение высоты, выходящей из вершины В. Высота ВН перпендикулярна стороне АС, следовательно, вектор C ;4 можно считать нормалью к прямой. Воспользуемся уравнением (): х 4 у 5, 5 х у 5, 5х у 5. Расстояние d от точки М (х ; у ) до прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С =, вычисляется по формуле: uuu d By C B. Пример 9. Найдем расстояние от точки А(7,-) до прямой, заданной уравнением 9

20 х + 4у + 5 = d 4, Плоскость в пространстве Плоскость в пространстве задается линейным уравнением с тремя переменными. Приведем два вида таких уравнений.. Уравнение плоскости, проходящей через точку М (х,у,z ) перпендикулярно вектору n = {,B,C},называемому нормалью к плоскости: ( - ) + B(y - y ) + C(z - z ) =.. Общее уравнение плоскости: + By + Cz + D =. Таким образом, чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать координаты какой-либо точки, лежащей в плоскости, и нормали к ней. Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(5; -; ), B(; ; ), C(-; ; ). Векторы АВ = {-; ; -} и АС = {-6; ; -} параллельны данной плоскости, поэтому их векторное произведение или любой вектор, коллинеарный ему, является нормалью к плоскости. uuu uuu B, C ; ; 6 6 (; ; ) (; ; ). Выберем в качестве нормали п = {; ; }, а точкой (х ; у ; z ) будем считать точку В. Тогда уравнение плоскости имеет вид: (х ) + (y ) + (z ) =, y + z =.. Прямые в пространстве Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением - она задается системой из двух или трех уравнений.. Прямая как пересечение двух плоскостей задается системой уравнений, определяющих эти плоскости (предполагается, что плоскости не параллельны, то есть коэффициенты при переменных в их уравнениях не пропорциональны):

21 B y Cz D. B y Cz D. Уравнения прямой, проходящей через точку М (х,у,z ) параллельно вектору = {k; m; n}, называемому направляющим вектором прямой, имеют вид: y y z z k m n. Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.. Канонические уравнения можно преобразовать в так называемые параметрические уравнения, где координаты точки на прямой задаются как функции некоторого параметра t: kt y y mt. z z nt Пример. Составим канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А(; -; 5) и В(7; ; -4). Направляющим вектором этой прямо можно считать вектор АВ точки, лежащей на прямой, выберем точку А. Тогда y z uuu канонические уравнения прямой, 5;4; 9, а в качестве 5t y 4t z 5 9t ее параметрические уравнения. 4. Взаимное расположение прямой и плоскости Угол φ между прямой, заданной каноническими уравнениями l y y m z z n, и плоскостью, определяемой общим уравнением + By + Cz + D =, можно рассматривать как дополнительный к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда sin cos B l Bm Cn C l m n

22 Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а: l + Bm + Cn =, а условием перпендикулярности прямой и плоскости условие параллельности этих векторов: /l = B/m = C/n. Точку пересечения прямой и плоскости удобно искать, решая систему из параметрических уравнений прямой и уравнения плоскости. Пример. Найти точку, симметричную точке А(5; -; 4) относительно плоскости : х у + z 6 =. Искомая точка В лежит на прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости так, что ОА = ОВ, где точка О точка пересечения с прямой АВ. Составим уравнения прямой АВ. Эта прямая перпендикулярна, поэтому ее направляющим вектором можно считать нормаль к плоскости : = n = (; -; ). t5 Параметрические уравнения прямой АВ имеют вид: y t. z t 4 Точка О принадлежит и прямой АВ, и плоскости, поэтому ее координаты должны удовлетворять и уравнениям прямой, и уравнению плоскости. Подставим в уравнение плоскости параметрические выражения для, y, z из уравнений прямой АВ: t + 5 (-t ) + t = ; t + = ; t = -. 5 Итак, координаты точки О: y ( ) О(; ;). z 4 Поскольку точка О середина отрезка АВ, то B O B O 4 5 y yb yo yb yo y 8 B( ; 8; ). z zb zo z 4 z B zo ВАРИАНТЫ КУРСОВЫХ ЗАДАНИЙ Вариант

23 . Найти произведения матриц АВ и ВА: 4 А, В. 4. Вычислить определитель.. Решить систему линейных уравнений y z 7 y z 8 y z 9 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов ; ;, 4;;, c 5;;7 найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с 5. Даны векторы ;, ;, 6; по базису из векторов и. 6. Точки А(-;5), В(;4), С(-;-6) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(-5;6) до прямой х + 4у - 7 =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(-;;5), В(;-;4) и С(-;6;-6). 5 y 4 z 9. Найти точку пересечения прямой и плоскости y z.. Найти точку, симметричную точке А(-5;;-) относительно плоскости y z 8. Вариант. Найти произведения матриц АВ и ВА:

24 . Вычислить определитель А, В... Решить систему линейных уравнений y z y z 7 y z а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов ;;, ; 4;, c 4; ; найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с 5. Даны векторы ;, ;, 4; по базису из векторов и. 6. Точки А(-5;), В(4;4), С(-;-) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(;6) до прямой х - 4у + 6 =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(4;;-5), В(;-;) и С(-;6;8). 5 y z7 9. Найти точку пересечения прямой и плоскости y z.. Найти точку, симметричную точке А(;;-) относительно плоскости y z 5. Вариант. Найти произведения матриц АВ и ВА: 4

25 . Вычислить определитель 9 6 А, В. 6.. Решить систему линейных уравнений y 4z 5y z 4y z а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов ; ;, ;5;, c 4;; 4 найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с 5. Даны векторы ;, ;5, ;9 по базису из векторов и. 6. Точки А(;5), В(-;4), С(-;-) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(-5;) до прямой 5х + у - =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(;-;), В(;-;) и С(-;;-). 9. Найти точку пересечения прямой y z и плоскости y z 5.. Найти точку, симметричную точке А(-;-;9) относительно плоскости y 4z. Вариант 4. Найти произведения матриц АВ и ВА: 5

26 . Вычислить определитель А, В Решить систему линейных уравнений y z 5 4y z 5y z, 5 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов ; 4;, 5; ;, c ;7; найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора 5. Даны векторы ; 5, ;, 6; с по базису из векторов и. 6. Точки А(-;5), В(6;4), С(-;-7) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(;) до прямой х - 5у - =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(-;;), В(;-;-4) и С(-4;;-). 9. Найти точку пересечения прямой y z. 4 y 4 z и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(-;-;) относительно плоскости 4 y z. Вариант 5. Найти произведения матриц АВ и ВА: 6

27 . Вычислить определитель А, В Решить систему линейных уравнений y z y z y z а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов 5; ; 4, ; 4;, c 6; ; найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с 5. Даны векторы ;5, 5; 5, ;5 по базису из векторов и. 6. Точки А(-;), В(5;4), С(-;-6) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(;) до прямой 4х + у + =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(;;-), В(;;) и С(-;;-5). 9. Найти точку пересечения прямой y z. 5 y z и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(;7;) относительно плоскости y z. Вариант 6. Найти произведения матриц АВ и ВА: 7

28 . Вычислить определитель А, В. 4.. Решить систему линейных уравнений 5 y z y z 4 4 y z 6 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов 4; ; 5, ; 5;6, c ; ; 5 найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора 5. Даны векторы ;, ; 5, 9; с по базису из векторов и. 6. Точки А(-;5), В(;4), С(;-6) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(;6) до прямой 6х + 8у - 5 =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(-;;), В(;-;4) и С(;;-). 9. Найти точку пересечения прямой y z. 4 y 6 z и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(;;) относительно плоскости y z. Вариант 7. Найти произведения матриц АВ и ВА: 8

29 . Вычислить определитель 4 А, В Решить систему линейных уравнений y 6z y 5z 5y z 6 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов 4; ;, 5;6; 4, c ; ; 4 найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора 5. Даны векторы ; 4, ;, ;5 с по базису из векторов и. 6. Точки А(-;5), В(5;4), С(;-) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(-;) до прямой 8х + 6у + =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(;;), В(;-;-4) и С(;-;-5). 9. Найти точку пересечения прямой y z. 7 y 5 z 4 и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(;4;9) относительно плоскости 4 y z 5. Вариант 8. Найти произведения матриц АВ и ВА: 9

30 . Вычислить определитель 5 4 А, В Решить систему линейных уравнений y z 8 y z 4 y z 4 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов 4; 5;, ; 5; 8, c ; ; 4 найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение 5. Даны векторы 4; 5, 5; 5, 4;5 вектора с по базису из векторов и. 6. Точки А(-4;7), В(;4), С(;-6) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(;-) до прямой 6х - 8у - 9 =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(-;-;), В(5;-;) и С(-;;-). 9. Найти точку пересечения прямой y z 5. y z и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(-;;-8) относительно плоскости y z. Вариант 9. Найти произведения матриц АВ и ВА:

31 . Вычислить определитель А, В... Решить систему линейных уравнений y z 9 y z 4 4y z 6 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов 5; ;, ; 4; 5, c 4; ; найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение 5. Даны векторы ;, 4;, 4; 4 вектора с по базису из векторов и. 6. Точки А(;), В(-5;4), С(;-7) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(-4;) до прямой х + 5у + 4 =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(4;-;), В(;-;) и С(-;;-). 9. Найти точку пересечения прямой y z. 5 y z и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(;4;) относительно плоскости y z 7. Вариант. Найти произведения матриц АВ и ВА:

32 . Вычислить определитель А, В Решить систему линейных уравнений y z 6 y z y z 7 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов ; ;6, 4; 5;, c ; ; 5 найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с 5. Даны векторы ;, ;4, ; по базису из векторов и. 6. Точки А(-4;8), В(;4), С(;-5) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(-;) до прямой 4х - у - 5 =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(-;;), В(;-;) и С(-4;;-). 9. Найти точку пересечения прямой y z. 5 y z и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(;-4;-5) относительно плоскости y 5z. Вариант. Найти произведения матриц АВ и ВА:

33 . Вычислить определитель 5 4 А, В Решить систему линейных уравнений 4y 9z 8 7 y 6z 7 9y 9z 5 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов ;;, ;; 4, c ;7;5 найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с 5. Даны векторы ;, 5;, ; по базису из векторов и. 6. Точки А(-6;5), В(;4), С(-;-6) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(4;) до прямой 5х - у - =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(-;4;), В(;-;) и С(;;-4). 9. Найти точку пересечения прямой y z 5. 5 y z и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(-9;-;) относительно плоскости 4y z 9. Вариант. Найти произведения матриц АВ и ВА:

34 7 5 А, В. 4. Вычислить определитель.. Решить систему линейных уравнений y z 6 z 7 65z7 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов ;;, 4; ;, c ;; 4 найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с 5. Даны векторы 4;, ;5, ;5 по базису из векторов и. 6. Точки А(-;), В(8;4), С(;-) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(-6;5) до прямой 8х - 6у + =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(-;4;-), В(;-5;) и С(-;;). 9. Найти точку пересечения прямой y z. 4 y 7 z и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(-;-9;) относительно плоскости y z. Вариант. Найти произведения матриц АВ и ВА: 4

35 . Вычислить определитель 5 4 А, В... Решить систему линейных уравнений y z 4 5y z 7y z 8 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов ;;, 5;;, c ; 4;4 найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с 5. Даны векторы 5;, ;, 4;5 по базису из векторов и. 6. Точки А(;5), В(-7;4), С(-;-) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(-;5) до прямой 8х + 5у - =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(4;-;), В(5;-;) и С(-;;). 9. Найти точку пересечения прямой y z 6. 5 y z и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(-;4;-7) относительно плоскости y z. Вариант 4. Найти произведения матриц АВ и ВА: 5

36 . Вычислить определитель А, В Решить систему линейных уравнений y 5 z 6 5yz а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов 4;;, ; ; 5, c 7; ; найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с по 5. Даны векторы ; ;, ; базису из векторов и. 6. Точки А(-;), В(5;4), С(;-) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(-5;) до прямой 8х - 5у + =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(-;-;), В(;;-) и С(;;-). 9. Найти точку пересечения прямой y z 6. 6 y 4 z4 и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(4;;) относительно плоскости y z 7. Вариант 5. Найти произведения матриц АВ и ВА: 6

37 . Вычислить определитель 4 А, В Решить систему линейных уравнений 7 y z 5 5 y z 5 y 5z 6 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов ;4; 5, 4;;, c ; ;6 найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора 5. Даны векторы ;5, ; 5, ; с по базису из векторов и. 6. Точки А(-;7), В(;), С(;-4) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(-;6) до прямой 5х + 8у - 6 =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(-;;), В(;-;4) и С(-;;-6). 9. Найти точку пересечения прямой y z. 4 y 4 z4 и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(-;-5;-5) относительно плоскости y z. Вариант 6. Найти произведения матриц АВ и ВА: 7

38 . Вычислить определитель А, В. 4.. Решить систему линейных уравнений 5 y z 6 y z 6 y z 4 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов ; 5; 4, 5;6;, c ; 5; найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с 5. Даны векторы 4;, ;, 6; по базису из векторов и. 6. Точки А(-7;), В(;4), С(-;-5) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(-5;4) до прямой 5х - 8у + =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(-;;), В(;;) и С(-;-4;-). 9. Найти точку пересечения прямой y z. 4 y z и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(4;-;6) относительно плоскости y z. Вариант 7. Найти произведения матриц АВ и ВА: 8

39 . Вычислить определитель 6 6 А, В Решить систему линейных уравнений 5 5y 4z 6 y z 9 7y 4z а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов ; ; 4, 6; 4; 5, c ; 4; найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с 5. Даны векторы 6;, ;5, 7; по базису из векторов и. 6. Точки А(-;5), В(9;), С(-;-6) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(;6) до прямой 9х + у - 5 =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(-;;4), В(;-;) и С(;6;-). 9. Найти точку пересечения прямой y z 4. 4 y z и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(-;;) относительно плоскости y z 6. Вариант 8. Найти произведения матриц АВ и ВА: 9

40 . Вычислить определитель А, В Решить систему линейных уравнений y z 7 4 y 5z y z 7 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов 5; ; 4, 5; 8;, c ; 4; найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с 5. Даны векторы 6;, ;, ; по базису из векторов и. 6. Точки А(-;6), В(;5), С(-;-4) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(-5;) до прямой 9х - у - =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(;;-5), В(;-;) и С(;6;-). 9. Найти точку пересечения прямой y z 6. 4 y z5 и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(4;4;) относительно плоскости y z. Вариант 9. Найти произведения матриц АВ и ВА: 4

41 4 5 А, В Вычислить определитель.. Решить систему линейных уравнений y z 6 4y z 8 y 5z 9 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов ; ; 5, 4; 5;, c ;;4 найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с 5. Даны векторы 4;, ;, ; по базису из векторов и. 6. Точки А(-;5), В(6;4), С(-;-) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(5;6) до прямой х + 9у + 7 =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(-;;-), В(;-;) и С(-;;-). 9. Найти точку пересечения прямой y z 4. y 6 z и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(-7;-;5) относительно плоскости 4 y z 5. Вариант. Найти произведения матриц АВ и ВА: 4

42 . Вычислить определитель 9 А, В Решить систему линейных уравнений y z 8 y z y z 4 а) по правилу Крамера б) методом Гаусса в) с помощью обратной матрицы. 4. Для векторов ;6;, 5; ; 4, c ; 5; найти: а) скалярное произведение ; б) векторное произведение c ; в) смешанное произведение с. c. Найти разложение вектора с 5. Даны векторы ;, ;, ;6 по базису из векторов и. 6. Точки А(-;4), В(;8), С(-;-5) - вершины треугольника АВС. Составить общие уравнения сторон и высот этого треугольника. 7. Найти расстояние от точки М(-;) до прямой х - 9у - 4 =. 8. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(-;;), В(;-;) и С(-;;-6). 9. Найти точку пересечения прямой y z. 5 y 4 z8 и плоскости. Найти точку, симметричную точке А(-;-9;) относительно плоскости y z 5. 4

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение:

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение: . При каких значениях ранг матрицы равен двум? Решение: Ранг матрицы равен порядку базисного минора. Поскольку требуется, чтобы ранг матрицы был равен двум, то базисным должен быть какой-либо минор второго

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Ответы Учебное издание Министерство образования и науки Российской Федерации Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга Островерхая Лидия Дмитриевна Задачник-практикум по высшей математике

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее