МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"

Транскрипт

1 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

2 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) СОДЕРЖАНИЕ Матрицы и определители Матрицы и операции над ними Определители и их свойства 5 Обратная матрица 0 Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия и определения Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера 5 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (случай однозначной разрешимости) 6 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (общий случай) Ранг матрицы Теорема Кронекера- Капелли 0 5 Собственные значения и собственные векторы матрицы ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ЛИТЕРАТУРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

3 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Матрицы и операции над ними Матрицей называется квадратная или прямоугольная таблица, заполненная числами Эти числа называются элементами матрицы Элементы матрицы, расположенные по горизонталям, образуют строки матрицы Элементы матрицы, расположенные по вертикалям, образуют столбцы матрицы Строки нумеруются слева направо, начиная с номера, столбцы нумеруются сверху вниз, начиная с номера Матрица A, имеющая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m на n и обозначается A m n Элемент i j матрицы A { i j } стоит на пересечении i - ой строки и j - го столбца Транспонированием матрицы A { i j } называется операция, резуль- T татом которой является матрица A { j i } Каждую матрицу можно умножить на любое число, причем, если k число, то k A { k i j } Матрицы одного и того же размера A m n и B m n можно складывать, причем A B { b } + + m n m n i j i j Операция сложения матриц обладает свойствами A + B B + A, ( B + C) ( A + B) C A + + Матрицы A m n и B n k можно перемножать, причем A m n Bn k Cm k, где c i j n s is b s j ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

4 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Операция умножения матриц обладает свойствами ( ) ( ) ( ) A B C A B C, A B + C A B + A C В общем случае A B B A Пример Выполнить действия над матрицами Решение T T Пример Можно ли перемножить матрицы и 0 8? Решение Умножение указанных матриц осуществить невозможно, так как число столбцов первого сомножителя не равно числу строк второго сомножителя Пример Выполнить действия над матрицами Решение T ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

5 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) T Определители и их свойства Квадратная матрица размера n на n называется матрицей n-го порядка Для квадратных матриц можно ввести понятие определителя Определитель матрицы -го порядка ( ) вычисляется по формуле Определитель матрицы -го порядка вычисляется по формуле Определитель матрицы n - го порядка при n > (определитель n - го порядка) можно вычислить с помощью разложения по любой строке (любому столбцу) матрицы по формуле n j j i j i n i n i i i i i n i i i A A A A K L L L, где символами j i A обозначены объекты, называемые алгебраическими дополнениями Алгебраические дополнения j i A вычисляются по формулам j i j i j i M A + ) (,

6 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) где символами M ij обозначены определители (n) порядка, называемые минорами и полученные из исходного определителя вычеркиванием строки и j - го столбца i - ой Вычисление определителей -го порядка с помощью разложения по любой строке (столбцу) приводит к формуле: + +, для запоминания которой можно использовать способ треугольников +, или способ Саррюса Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю Если у матрицы умножить любую строку (любой столбец) на какоелибо число, то определитель матрицы умножится на это число Определитель не меняется при транспонировании матрицы Определитель меняет знак при перестановке любых двух строк (столбцов) матрицы Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю Определитель не меняется, если к какой-нибудь строке прибавить любую другую строку, умноженную на любое число Аналогичное утверждение справедливо и для столбцов Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, ведущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

7 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, ведущая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже или выше главной диагонали, равны нулю Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, расположенных на ее главной диагонали: n 0 n 0 0 nn Пример Вычислить определитель матрицы -го порядка ( ) Решение Пример Вычислить определитель матрицы -го порядка Решение Пример Вычислить определитель матрицы -го порядка 5 Решение (способ треугольников) n n ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

8 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Решение (способ Саррюса) Решение (разложение по -ой строке) Пример Вычислить определитель -го порядка Решение (разложение по столбцу) Для вычисления определителя разложим его по одному из столбцов Третий столбец для этого наиболее удобен, поскольку именно в -м столбце находятся два нуля: A + A + A + A A + A 0 ( ) ( ) Решение (приведение к треугольному виду) Для вычисления определителя приведем его к треугольному виду С этой целью, не изменяя определителя, преобразуем его так, чтобы элементы, расположенные в первом столбце под главной диагональю, стали равными нулю Для этого сначала к третьей строке прибавим первую строку, а затем из четвертой строки вычтем удвоенную первую строку: ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

9 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Преобразуем теперь полученный определитель к виду, в котором элементы, расположенные во втором столбце под главной диагональю, равны нулю Для этого сначала из третьей строки вычтем вторую строку, умноженную на 7, а затем к четвертой строке прибавим удвоенную вторую строку: Преобразуем теперь полученный определитель к виду, в котором элемент, расположенный в третьем столбце под главной диагональю, равен нулю Для этого сначала умножим четвертую строку на, а сам определитель разделим на : Прибавим теперь к четвертой строке третью строку, умноженную на : Полученная матрица имеет треугольный вид Поэтому 0 0 ( ) ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

10 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Обратная матрица Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят числа, а все остальные элементы равны 0, обозначается символом E и называется единичной матрицей Единичная матрица обладает следующим свойством: A E E A A Пусть A квадратная матрица Если существует квадратная матрица A, обладающая свойством то она называется обратной матрицей к матрице A Обратная матрица A A A A E, () A квадратной матрицы A существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы A не равен 0 Обратную матрицу можно вычислить по формуле A ( A ) T, () где символом A обозначена матрица, состоящая из алгебраических дополнений A i j к элементам i j матрицы A Эта матрица называется присоединенной матрицей матрицы A Если матрицу A привести преобразованиями строк к единичной матрице E, то теми же преобразованиями матрица E приведется к обратной матрице: ( E) ( E A ) A Пример Существует ли обратная матрица к матрице A? 6 Если да, то найти ее и проверить выполнение соотношения () Решение Вычислим сначала определитель матрицы A : ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

11 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Поскольку определитель равен 0, то обратная матрица не существует Пример Существует ли обратная матрица к матрице A? 5 Если да, то найти ее и проверить выполнение соотношения () Решение Вычислим сначала определитель матрицы A : Поскольку определитель отличен от 0, то обратная матрица существует Найдем ее по формуле (): A 5 T 5 Сделаем проверку выполнения соотношения (): A A E, A A E Пример Существует ли обратная матрица к матрице 5 6 A 0? 7 Если да, то найти ее и проверить выполнение соотношения () ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

12 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Решение Найдем сначала алгебраические дополнения A к элементам i j, расположенным в первой строке матрицы A: i j 0 0,, A A A Теперь удобно найти определитель матрицы A : A + A + A Далее получаем 5 ( ) + 6 ( 5) A 6; A ; A 9; A 8; 6; 0 0 Составив присоединенную матрицу получим A 5 A 6 9, A A 8 T 6 ( A) Сделаем проверку выполнения соотношения (): A A E, ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

13 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) A A E Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия и определения Системой линейных алгебраических уравнений называется система x + x + K+ nxn b, x + x + K+ nxn b, LLLLLLLLLL m x + mx + K+ mnxn bm Систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричной форме A x b, () где n x b n x b A, x, b x n b n m m mn Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае система несовместна Если матрица A является квадратной и имеет обратную матрицу, то система уравнений имеет единственное решение x A b () Пример С помощью вычисления обратной матрицы решить систему уравнений ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

14 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) x 5x b, x + x b, для произвольных значений b, b Найти числовой ответ в случаях а) b b 0, 6 ; б) b 9, b Решение Если ввести обозначения 5 x b A, x b x b,, то рассматриваемую систему можно записать в матричном виде () Проверим, что матрица A является обратимой Действительно, поскольку определитель матрицы A , то матрица A имеет обратную матрицу A, и решение системы x A b Найдем теперь обратную матрицу A Так как присоединенная матрица к матрице A имеет вид A, 5 то, в соответствии с () обратная матрица Поэтому A 5 6 x x 6 5 b b Следовательно, x а), x ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

15 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) б) x x Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера В случае, когда матрица A является квадратной и имеет обратную матрицу, решение системы уравнений можно найти по формулам Крамера: где j x j, j - определители, полученные из определителя матрицы A заменой j го столбца столбцом свободных членов Если 0 и все определители 0, то система имеет бесконечно много решений j Если 0, а хотя бы один из определителей 0, то система не имеет решений Пример С помощью формул Крамера решить систему x y + z, x + y z 7, x y + 5z 5 j Решение Вычислим сначала определитель и определители j для всех значений j,, : , , 5 5 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

16 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) , Поэтому 8 x, y, z Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (случай однозначной разрешимости) Рассмотрим систему из n уравнений с n неизвестными Если равносильными преобразованиями эту систему удается привести к виду c y + c y + + c n yn d, c y + + cn yn d, cnn yn dn, () то в случае, когда определитель c c c n 0 c c n c c cnn 0, c nn (случай однозначной разрешимости) можно, решая сначала последнее уравнение системы, затем предпоследнее уравнение и тд (обратный ход), один за другим найти все неизвестные Описанная схема решения систем линейных алгебраических уравнений и составляет основу метода последовательного исключения неизвестных Гаусса ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

17 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Пример С помощью метода последовательного исключения неизвестных Гаусса решить систему уравнений x + 5x x 5, x x + x 0, 7x + x 5x 6 Решение Удобнее всего исключить неизвестную x из первого и третьего уравнений, воспользовавшись тем, что во втором уравнении системы коэффициент при неизвестном x равен С этой целью к первому уравнению системы прибавим второе уравнение, умноженное на, а к третьему уравнению прибавим второе уравнение, умноженное на 5 Получим следующую систему уравнений: x x 5, x x + x 0, x 6x 9 Исключим теперь переменную x из третьего уравнения Для этого из третьего уравнения предыдущей системы вычтем первое уравнение, умноженное на Получим систему уравнений x x 5, x x + x 0, x, которую для наглядности удобно записать в виде (): x + x x 0, x x 5, x Из третьего уравнения находим значение неизвестной x (обратный ход) Подставляя значение x во второе уравнение, найдем значение неизвестной x : ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

18 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) x + 5, x Осталось значения x и x подставить в первое уравнение: + + x 0, x 6 Ответ: x, x, x 6 Замечание Решение примера можно осуществить в матричной форме Для этого представим исходную систему уравнений в форме расширенной матрицы 5 5 0, где слева от вертикальной черты записана матрица системы A, а справа столбец свободных членов b Производя над строками расширенной матрицы операции, описанные в решении примера, получаем x x x 6 Пример С помощью метода последовательного исключения неизвестных Гаусса решить систему уравнений x x x x + +, 5x + x + x + 6x 5, x x x + x 5, x + 7x x 9, осуществляя при каждой операции над строками расширенной матрицы контроль правильности вычислений ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

19 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Решение Составим расширенную матрицу этой системы и запишем для контроля правильности вычислений в каждой строке справа суммы всех элементов строки (контрольные суммы): Будем вычислять контрольные суммы до проведения каждой операции над строками расширенной матрицы, а также после проведения операции Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности расчетов Воспользовавшись сначала третьей строкой матрицы, получим Используем теперь четвертую строку матрицы: Воспользуемся теперь первой строкой матрицы: ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

20 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Теперь воспользуемся второй строкой матрицы: Остается лишь разделить на ( ) четвертую строку матрицы: x x x x 5 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (общий случай) Ранг матрицы Теорема Кронекера-Капелли Рассмотрим систему из m уравнений с n неизвестными x + x + K+ nxn b, x + x + K+ nxn b, LLLLLLLLLL m x + mx + K+ mnxn bm () Равносильными преобразованиями и переобозначением неизвестных ( x, x,, x ) ( y, y,, y ) n эту систему всегда можно привести к одному из следующих двух типов: n ) y + c r+ yr+ + + c n yn d, y + cr+ yr+ + + cn yn d, L yr + crr+ yr+ + + crn yn dr, 0 dr+, L 0 d m ( 0 r < m) () ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

21 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) ) y + c m+ ym+ + + c n yn d, y + cm+ ym+ + + cn yn d, ym + cmm+ ym+ + + cmn yn dm () В первом случае, если хотя бы одно из чисел dr+, dr+,, dmотлично от нуля, то система решений не имеет Если же в первом случае все числа dr+, dr+,, dmравны нулю, то система имеет бесконечно много решений Во втором случае, если n > m, то система имеет бесконечно много решений Если же во втором случае n m, то система имеет единственное решение, причем этот случай совпадает со случаем однозначной разрешимости, рассмотренном в пункте В первом случае говорят, что ранг матрицы m n A равен r ( 0 r m) Во втором случае говорят, что ранг матрицы A m nравен m < В системе () переменные y,, y r называются базисными, а переменные y,, + y называются свободными r n В системе () переменные y,, y m называются базисными, а переменные y +,, y называются свободными m n Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что система уравнений () имеет решение тогда и только тогда, когда ранг её расширенной матрицы совпадает с рангом матрицы A m n Пример Решить систему уравнений x + x + x, x + x + x, x + x + 5x 6 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

22 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Решение Исключим неизвестную x из второго и третьего уравнений, воспользовавшись первым уравнением системы С этой целью из второго уравнения вычтем первое уравнение, умноженное на, а из третьего уравнения вычтем первое уравнение, умноженное на Получим следующую систему уравнений: x + x + x, x x 9, x x 8 Вычитая из третьего уравнения второе уравнение, умноженное на, получим систему x + x + x, x x 9, 0 0 Прибавляя к первому уравнению удвоенное второе уравнение и меняя знак во втором уравнении, получим Следовательно, x x, x x, x + x 9 + x x 9 Ответ x t +, x t 9, x t, где t любое число Замечание В описанном решении примера неизвестные x и x являются базисными, а неизвестная x является свободной Ранг матрицы исходной системы равен, ранг расширенной матрицы также равен Пример Решить систему уравнений x + x + x, x + 8x + x ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

23 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Решение Исключим сначала неизвестную x из второго уравнения системы Для этого вычтем из второго уравнения первое уравнение, умноженное на : x + x + x, x x x 5 + Теперь исключим неизвестную x из первого уравнения системы Для этого к первому уравнению прибавим второе уравнение, умноженное на : x 8x x +, x x + x 5 Остается лишь поменять знаки во втором уравнении: x 8x + x, x + x x 5 Следовательно, x 8x x x x + x + 5, Ответ x 8t t, x t + t + 5, x t, x t, где t, t произвольные числа Замечание В описанном решении примера неизвестные x и x являются базисными, а неизвестные x и x являются свободными Ранг матрицы исходной системы равен, ранг расширенной матрицы также равен 5 Собственные значения и собственные векторы матрицы Рассмотрим квадратную матрицу ненулевой столбец n n A, n n nn ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

24 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) x x x, x n который в дальнейшем будем называть вектором-столбцом, и некоторое число λ Вектор-столбец x называется собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному значению λ, если этот вектор является решением системы уравнений которую можно записать в виде n x x n x x λ, x n x n n n nn ( ) x x nxn x ( ) x x λ , + λ + + n n 0, nx + nx + + ( nn λ) xn 0 (5) Необходимым условием существования ненулевого решения системы (5) является равенство нулю определителя λ n λ ( ) λ 0 λ n n nn (5) Соотношение (5) является уравнением n-го порядка относительно неизвестной λ, которое называется характеристическим уравнением Корни характеристического уравнения называются характеристическими числами матрицы A ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

25 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) После нахождения корней характеристического уравнения ищутся соответствующие им собственные векторы, являющиеся ненулевыми решениями системы уравнений (5) Если вектор x является собственным вектором с собственным значением λ, то и любой другой вектор k x, где k - произвольное число, отличное от 0, является собственным с тем же собственным значением Пример 5 Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A Решение Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: λ λ 0, ( )( ) λ λ 0, λ 5λ0, λ 0, λ 5 Рассмотрим сначала характеристический корень λ 0 и найдем соответствующий ему собственный вектор Для этого решим систему уравнений которую можно записать в виде x 0 0, 0 x 0 x x + x 0, + x 0 (5) Полученная система эквивалентна уравнению x x, и, если неизвестную x выбрать в качестве базисной неизвестной, а неизвестную x в качестве свободной, то решение системы уравнений (5) можно представить в виде { x t, x t}, ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

26 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) где t любое число, не равное 0 Таким образом, а вектор x t t, t 0, x t является искомым собственным вектором Рассмотрим теперь характеристический корень λ 5 и найдем соответствующий ему собственный вектор Для этого решим систему уравнений x 5 0, 5 x 0 которую можно записать в виде x + x 0, x x 0 (5) Полученная система эквивалентна уравнению x x, и, если неизвестную x выбрать в качестве свободной неизвестной, а неизвестную x в качестве базисной, то решение системы уравнений (5) можно представить в виде { x t, x t}, где t любое число, не равное 0 Таким образом, а вектор x t t, t 0, x t является искомым собственным вектором Ответ Векторы ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

27 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) и являются собственными с собственными значениями 0 и 5 соответственно Пример 5 Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Решение Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: λ 6 0 λ λ 0, ( )( )( ) λ λ λ 0, λ, λ, λ Рассмотрим сначала характеристический корень λ и найдем соответствующий ему собственный вектор Для этого решим систему уравнений 6 x x 0, 0 0 x 0 которую можно записать в виде 6x x 0, x + 5x 0, 5x 0 (55) Решение системы уравнений (55) можно представить в виде { x t, x 0, x 0}, где t любое число, не равное 0 Таким образом, ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

28 а вектор ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) x x x t 0 t0, является искомым собственным вектором Рассмотрим теперь характеристический корень λ и найдем соответствующий ему собственный вектор Для этого решим систему уравнений 6 x x x 0, которую можно записать в виде x + 6x x 0, 5x 0, 7x 0 (56) Решение системы уравнений (56) можно представить в виде { x t, x t, x 0}, где t любое число, не равное 0 Таким образом, x t x t t, x 0 0 а вектор 0 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

29 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) является искомым собственным вектором Осталось рассмотреть характеристический корень λ и найти соответствующий ему собственный вектор Для этого решим систему уравнений + 6 x x x 0, которую можно записать в виде 5x + 6x x 0, 7x + 5x 0, 0 0 (57) Преобразуем систему (57) к более удобному виду Для этого исключим из рассмотрения третье уравнение, а к первому уравнению, умноженному на 5, прибавим второе уравнение, умноженное на В результате получим следующую систему уравнений 5x + x 0, 7x + 5x 0 (58) В системе (58) неизвестную x можно выбрать в качестве свободной неизвестной, а неизвестные x и x в качестве базисных неизвестных Тогда решение системы (58) можно представить в виде 7 x t, x t, x t, 5 5 где t любое число, не равное 0 Таким образом, а вектор x t 5 5, 7 7 t 5 5 x t t x ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

30 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) является искомым собственным вектором Пропорциональный этому вектору вектор, например 5 так же является собственным с тем же собственным значением Ответ Векторы 0 0, 5 0, 5 являются собственными с собственными значениями, и соответственно 5 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

31 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Можно ли складывать матрицы разного размера? Как осуществляется операция умножения матрицы на число? По какому правилу производится умножение матриц? Что называется минором элемента квадратной матрицы? 5 Что называется алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы? 6 По какой формуле вычисляется определитель квадратной матрицы второго порядка? 7 По какой формуле вычисляется определитель квадратной матрицы третьего порядка? 8 Что называется обратной матрицей? 9 Для каких матриц существуют обратные? 0 Что называется теоремой Кронекера-Капелли? Что такое формулы Крамера для решения систем линейных уравнений? Для каких систем решение можно найти, используя формулы Крамера? Какова схема решения систем линейных уравнений методом Гаусса? Что называется базисной переменной? 5 Что называется свободной переменной? 6 Что называется собственным вектором матрицы? 7 Что называется собственным значением матрицы? 8 Что называется рангом матрицы? ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

32 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Выполнить действия Транспонировать матрицу Выполнить действие 0 Вычислить определитель матрицы 0 5 Решить систему уравнений методом Крамера x + x + x, x + x + 7x, x + x + x 6 Решить систему уравнений методом Гаусса x + x + x x 6, x x x x 8, x + x x + x, x x + x + x 8 7 Найти обратную матрицу к матрице ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

33 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) воспользовавшись формулой, 5 A, 9 A ( A ) T где символом обозначен определитель матрицы A, а символ A присоединенная матрица к матрице 8 Найти с помощью преобразования строк обратную матрицу к матрице A, 0 воспользовавшись схемой ( E) ( E A ) A, где символом E обозначена единичная матрица 9 Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Найти ранг матрицы в зависимости от параметра α α α α ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)

34 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95) Основная: ЛИТЕРАТУРА Беклемишев ДВ Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник для вузов М: Физматлит, 006 Боревич ЗИ Определители и матрицы - СПб: Издательство «Лань», 00 Бугров ЯС, Никольский СМ Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие М: Физматлит, 00 Кремер НШ, Путко БА, Тришин ИМ, Фридман МН Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов - М: ЮНИТИ, 00 Дополнительная: 5 Бутузов ВФ, Крутицкая НЧ, Шишкин АА Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учебное пособие М: Физматлит, 00 6 Натансон ИП Краткий курс высшей математики - СПб: Издательство «Лань», Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред ВИЕрмакова М: ИНФРА-М, 00 8 Проскуряков ИВ Сборник задач по линейной алгебре - СПб: Издательство «Лань», Шипачев BC Высшая математика - М: Высшая школа, 00 ООО «Резольвента», wwwresolventru, (95)


МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

ОГАОУ СПО «Белгородский политехнический колледж» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ОГАОУ СПО «Белгородский политехнический колледж» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ОГАОУ СПО «Белгородский политехнический колледж» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебное пособие Разработала: преподаватель математики Шопина Л.Н. Белгород 2014 СОДЕРЖАНИЕ 1 Матрицы и определители.. 4 1. 1 Матрицы и

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 1 (самостоятельное изучение) Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка, его свойства Вычисление определителей 2-ого

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ Лекций ч. Практических занятий ч. Всего ч. Итоговый контроль экзамен. Проф., д.ф.-.м.н. Пантелеев Андрей Владимирович ЛИТЕРАТУРА. Беклемишев Д.В.

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц.

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц. Введение Определители являются базовым инструментарием, который применяется в различных приложениях математики. Предмет изучения данной темы изучение понятия определителя, его свойств и способов вычисления,

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

при неизвестных x a11 a12 составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (1). Умножая первое уравнение системы (1) на a

при неизвестных x a11 a12 составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (1). Умножая первое уравнение системы (1) на a Лекция 1 Определители 2-го и 3-го порядков При решении систем линейных уравнений а также в ряде других задач используются специальные математические выражения называемые определителями. Рассмотрим систему

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ матрица Для любой матрицы ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ a a an a a an am am amn a a am a a am, an an amn получающаяся из матрицы заменой строк соответствующими столбцами, а столбцов соответствующими строками,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Текстильный институт

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

Линейная алгебра в примерах и задачах

Линейная алгебра в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова О В Куликова Линейная алгебра в примерах и задачах Сборник

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Общие сведения Действия над матрицами Определитель квадратной матрицы 4 Основные свойства определителей 5 Обратная матрица 6 Виды матриц 9 Ранг матрицы Метод окаймляющего

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Математический анализ»

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-10 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Тема 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Тема 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Тема. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Обозначается:. m n Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее