Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие"

Транскрипт

1 Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие Санкт-Петербург Издательство СПбГТУ 998

2 УДК 5 Аксёнов АП Системы обыкновенных дифференциальных уравнений Учебное пособие СПб: Изд-во СПбГТУ, 998, 4 с Пособие соответствует государственному стандарту дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)» направления бакалаврской подготовки 5 «Прикладная математика и информатика» Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующей программой по темам: «Нормальные системы ОДУ и методы их интегрирования», «Интегрирование линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка», «Линейные системы ОДУ (общая теория)», «Линейные однородные и неоднородные системы ОДУ с постоянными коэффициентами», «Линейные однородные системы ОДУ с периодическими коэффициентами», «Устойчивость по АМ Ляпунову решений систем ОДУ» В связи с широким применением матричного исчисления к исследованию и решению систем ОДУ каждый раз по мере необходимости дано подробное изложение соответствующих разделов теории матриц Предназначено для студентов физико-механического факультета специальностей, 3, 7, 3, а также для преподавателей, ведущих практические занятия В качестве дополнительного материала может быть использовано также студентами других факультетов университета Ил Библ 7 назв Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного технического университета Санкт-Петербургский государственный технический университет, 998

3 ГЛАВА НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные понятия и определения Нормальными системами обыкновенных дифференциальных уравнений называются системы вида dy = f(, y, y,, y ), d dy = f(, y, y,, y ), d ( ~ ) dy = f y y y (,,,, ) d Здесь фиксированное число ( N, ) ( порядок системы), вещественная независимая переменная, y( ), y( ),, y( ) искомые вещественные функции, f(, y, y,, y), f(, y, y,, y),, f(, y, y,, y) известные функции, определенные и непрерывные в некоторой области + ( D) R Если ввести в рассмотрение вектор-функции y( ) f(, y, y,, y ) y ( ) f (, y, y,, y ) Y( ) =, F(, Y) =, y( ) f(, y, y,, y) то система ( ~ ) запишется в виде dy = F(, Y) () d В (): R, Y R +, F(, Y ) CD ( ), где ( D) R Определение Решением системы () в ab, называют всякую векторфункцию Y ( ) = ( ) = ϕ( ) ϕ ( ) ϕ, a, b, обладающую свойствами: ϕ ( ) 3

4 4 ) для любого a, b существует ϕ ( ) = ϕ ( ) ϕ ( ) ; ϕ ( ) ϕ ( как суперпозиция не- C a b, то есть любое решение системы () в ab, непрерывно дифференцируемо 3 Задача Коши для системы () состоит в следующем: среди всех решений системы () найти такое решение Y = ϕ ( ), которое удовлетворяет условию Y( ) = = Y () В (), Y любые, но такие, что точка (, Y) ( D) dy 4 Пусть дана система = F(, Y) () и дано начальное условие d Y( ) = = Y () Пусть Y = ~ ~ ~ ϕ ( ), I~ = ( δ, + δ ) δ, и Y = ~ ϕ ( ), ~ ~ I~ = ( δ, + δ ) δ, любые два решения задачи () () Тогда: если существует интервал Iδ = ( δ, + δ) такой, что ~ ~ ϕ ( ) ϕ( ), Iδ, то говорят, что задача () () имеет единственное решение Точку (, Y) ( D) называют в этом случае точкой единственности системы () Пусть область ( D) ( D), и пусть каждая точка (, Y ) ( D ) является точкой единственности системы () Тогда ( D ) называют областью единственности системы () ) для любого a, b точка (, ϕ ( ) ) ( D) ; 3) для любого a, b ϕ ( ) = F (, ϕ ( ) ) Заметим, что вектор-функция F(, ) ) C( a, b ) прерывных функций А тогда из свойства 3) следует, что ϕ ( ) (, ) Некоторые сведения из теории вектор-функций Напомним некоторые факты из теории вектор-функций, используемые при рассмотрении систем обыкновенных дифференциальных уравнений Пусть R -мерное векторное пространство Пусть вектор X = любой из R За норму вектора X принимают по определению X = ma ( i=, ) { i }

5 Расстояние ρ( ~, ~ ~ ~ X X ) между любыми двумя точками X и X из R определяют соотношением ρ( ~, ~ ~ ~ X X ) = X X X ( ) 3 Пусть X ( ) любая фиксированная точка из R δ-окрестность точки определяется соотношением U δ ( ) ( ) { δ } ( ) ( ) ( X ) = X, X X < Так как X X < δ i i < δ, i=,, то заключаем, что U δ ( X ) -мерный куб с центром в точке X ( ) и ребром δ 4 Пусть { X ( ) } N последовательность векторов из R Пусть X ( ) фиксированная точка в R Говорят, что последовательность { X ( ) } схо- N дится к X ( ) при, и пишут lim ( X ) = X ( ), если любому ε> отвечает ( ) ( ) номер такой, что как только >, так сейчас же X X < ε Отметим, что X ( ) ( ) ( ) ( ) i i ( ) X < ε < ε, i=, Из этого следует, что сходимость в пространстве R осуществляется покомпонентно, то есть ( ) ( ) ( ) ( ) lim = lim i i, i, X X = = y( ) y ( ) 5 Введем в рассмотрение вектор Y ( ) = Здесь R, y( ) y( ), y( ),, y( ) функции от, определенные в некотором промежутке ab, Y ( ) называется вектор-функцией скалярного аргумента, определенной в ab, Говорят, что вектор-функция Y ( ) непрерывна в точке a, b, если в этой точке непрерывны одновременно функции y( ), y( ),, y( ) Производная вектор-функции Y ( ) в точке a, b определяется соотношением = y ( ) y ( ) Y ( ) Y ( ) существует, если существуют одновременно y ( ) y ( ), y ( ),, y ( ) 5

6 Пусть вектор-функция Y ( ) определена в [ ab, ] Y ( ) d определяется соотношением b b a b y ( ) d a b y ( ) d Y ( ) d = a b y( ) d a Y ( ) d существует, если существуют одновременно y( ) d, y( ) d, a b, y( ) d a b Отметим, что Y( ) d Y( ) d В самом деле, имеем a b a b b b b b i i i ( i, ) = a a a a a Y( ) d = ma y ( ) d = y ( ) d y ( ) d Y( ) d 6 Рассмотрим вектор-функцию F(, Y ) вида f(, y,, y ) f (, y,, y ) F(, Y) = f(, y,, y) y y Здесь N,, R, Y = R Будем считать, что fi(, y,, y), i=,, определены в некоторой области ( D) R Частные производные вектор-функции F(, Y ): (i=, ) определяются соотношениями y + b a b a F(, Y) и b a F(, Y) y i 6

7 7 F Y F Y (, ) ; (, ) (, ) f f f y f y f y f y i i i i i = = = Символами F Y Y (, ) (, ) и F Y Y (, ) обозначают соответственно: F Y Y (, ) (, ) f f y f y f y f f y f y f y f f y f y f y = матрица Якоби, F Y Y (, ) f y f y f y f y f y f y f y f y f y = 7 Теорема о полном приращении вектор-функции Пусть ) вектор-функция F Y (, ) ( ) C D (( ) D + R ); ) область ( ) D выпукла по Y, те для любых двух точек (, ~ ) Y и (, ~ ) Y из ( ) D оказывается, что отрезок, их соединяющий, лежит в ( ) D ; 3) F Y Y (, ) ( ) CD Тогда для любых двух точек (, ~ ) Y и (, ~ ) Y из ( ) D справедливо соотношение: F Y F Y F Y Y Y Y Y Y (, ~ ) (, ~ ), ~ ( ~ ~ ) ( ~ ~ ) ( ) t dt = + () Пусть (, ~ ) Y и (, ~ ) Y любые две точки из ( ) D Соединим их прямолинейным отрезком Его параметрические уравнения будут такими:

8 =, ~ t = + t ( ~ ~ [,] Y Y Y Y ), В точках этого прямолинейного отрезка будем иметь: ( ) F(, Y) = F, Y ( Y ~ + t Y ) = ψ ( t ), t [, ] ψ () t векторная функция скалярного аргумента t: ψ() t ψ () t ψ () t = ; ψ () t ψ ( t) f (, ~ y t( ~ y ~ y ),, ~ y t( ~ y ~ i = i + + y ) ) ( i=, ) Отметим, что ) ψ () t C( [,] ) как суперпозиция непрерывных функций ) ψ ( t ) имеет на [,] непрерывную производную ψ () t ψ () t = = ψ () t = = f, ~ + ( ~ ~ ~ ( Y t Y Y ) ) ( y ~ y ) y f, ~ + ( ~ ~ ~ ( Y t Y Y ) ) ( y ~ y ) y Из выражения для ψ () ψ () t C [,] А тогда для функции ψ ( t ) справедлива формула Ньютона Лейбница: то есть t видим, что ( ) ψ() ψ( ) = ψ () t dt, ψi( ) ψi( ) fi(, ~ ~ = Y ) fi (, Y ) = ψ i ( t ) dt = = f i + (, ~ t( ~ ~ ~ Y Y Y) ) ( y ~ y ) dt, i=, () y = Замечаем, что () есть покомпонентная запись формулы () Следовательно, формула () установлена 8 Определение Говорят, что вектор-функция F(, Y ) удовлетворяет в области ( D) R условию Липшица по Y, если существует число L >, + такое, что для любых двух точек (, Y ~ ) и (, ~ Y ) из ( D ) справедливо соотношение F(, Y ~ ~ ~ ~ ) F (, Y ) L Y Y 8

9 + Обозначение: F(, Y) Lip Y ( D) Определение Говорят, что вектор-функция F(, Y ) удовлетворяет в области ( D) R условию Липшица по Y локально, если для любой точки (, Y) ( D) существует окрестность U(, Y) ( D), такая, что F(, Y) Lip U(, Y ) Y ( ) Пишут: F(, Y) Lip Y ( D), локально На вопрос, при каких условиях функция F(, Y ) наверняка удовлетворяет в области ( D ) условию Липшица по Y локально, ответ дает следующая теорема Теорема Пусть F(, Y ) определена и непрерывна в области ( D) R Пусть F(, Y) CD ( ) Тогда F(, Y) Lip Y ( D), локально Y Возьмем в области ( D ) любую точку (, Y ) Рассмотрим окрестность этой точки: Uδ(, Y ) Будем считать δ столь малым, чтобы было Uδ(, Y) ( D) (это возможно, ибо ( D ) область) Покажем, что F(, Y) Lip U(, Y ) ( ) Y F(, Y) F(, Y) По условию CD ( ) CU ( δ(, Y )) Y Y fi(, Y ) CU ( δ(, Y )), i, =, существует число >, такое, что y f y i в Uδ(, Y ) для любых i, =, f y i + в Uδ(, Y ) при любых i, =, Очевидно, что Uδ(, Y ) выпуклая область (в частности, она выпуклая по Y) Видим, что для F(, Y ) в Uδ(, Y ) выполнены все условия теоремы о полном приращении вектор-функции Поэтому для любых двух точек (, Y ~ ) и (, ~ Y ) из U δ(, Y ) будем иметь: ( ) F Y Y Y F(, Y ~ ~, ~ ( ~ ~ + t ) ) F (, Y ) ( Y ~ ~ = Y ) dt Y ( ) F Y Y Y F(, Y ~ ~, ~ ( ~ ~ + t ) ) F (, Y ) ( Y ~ ~ Y ) dt = Y = ma f ( ~ ~ ) = { = = ~ ~ ~ ~ ~ i y ~ y dt Y Y dt Y Y L Y Y i, y = = L обозн 9

10 Итак, показано, что для любой точки (, Y) ( D) существует окрестность Uδ(, Y) ( D), такая, что F(, Y) Lip Y ( Uδ(, Y )) F(, Y ) удовлетворяет условию Липшица по Y локально 3 Существование и единственность решения задачи Коши нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Пусть даны система dy = F(, Y), d F(, Y) C( D), () и начальное условие Y = = Y, (, Y) ( D) () Будем искать решение задачи () () методом последовательных приближений Пикара Положим ψ ( ) = Y, R (ψ ( ) нулевое приближение) Существует интервал ( α, β ), содержащий точку, такой, что для любого ( α, β ), ψ ( ) ( D) Положим будет: точка ( ) Так как ( ) ψ ( ψ ) ( ) = Y + F, ( ) d, ( α, β ), ψ ( ) ( D) для любого ( α, β ) следовательно, (, ( )), то F (, ( ) ) C( (, )) ψ α β и, F ψ d существует ( ψ ( ) первое приближение) Имеем ψ ( ) = F (, ψ( ) ) ψ ( ) = F(, ψ ( ) ) = F(, Y ) ; ψ ( ) = Y, то есть кривая Y = ψ ( ) проходит через точку (, Y ) и такая, что Y ( ) = ψ ( ) = F(, Y) Существует интервал ( α, β ), содержащий точку, такой, что точка (, ψ ( ) ) ( D) для любого ( α, β ) Положим ψ ( ψ ) ( ) = Y + F, ( ) d, ( α, β )

11 Так как ( ), ψ ( ) ( D) для любого ( α, β ) следовательно, (, ( )), то F (, ( ) ) C( (, )) ψ α β и, F ψ d существует ( ψ ( ) второе приближение) Имеем ψ ( ) =, ψ ( ) F ( ) ψ ( ψ ) ψ ( ) ( ) = F, ( ) = F(, Y ); = Y, то есть кривая Y = ψ ( ) проходит через точку (, Y ) и такая, что Y ( ) = ψ ( ) = F(, Y) Продолжая этот процесс аналогичным образом дальше, получим ψ ( ψ ) ( ) = Y + F, ( ) d, ( α, β ), где N, > ; ( α, β ) некоторый интервал, содержащий точку и такой, что точка (, ψ ( ) ) ( D) для любого ( α, β ) (ψ ( ) -е приближение) И здесь кривая Y = ψ ( ) проходит через точку (, Y ) и такая, что Y ( ) = ψ ( ) = F(, Y) Лемма (о приближениях Пикара) Пусть числа a >, b > такие, что параллелепипед ( Pab ) = (, Y), a; Y Y b ( D) { } Пусть M = ma F(, Y ), h a b = mi, Тогда все приближения Пикара ( P ab ) M ψ ( ), =,,, определены и непрерывны на отрезке I = [ h, + h] и удовлетворяют неравенству ψ ( ) Y b, I (Это означает, что графики вектор-функций Y = ψ ( ), I, =,,, лежат целиком в ( P ab )) Рассмотрим Y = ψ ( ) (ψ ( ) Y, R ) Это приближение определено и непрерывно на всей вещественной оси; следовательно, оно определено и непрерывно на отрезке I Для I имеем ψ ( ) Y = Y Y b Допустим, что Y = ψ ( ) определено и непрерывно на I и удовлетворяет неравенству: ψ ( ) Y b, I Имеем тогда ψ = Y + F ( ψ ) ( ), ( ) d

12 , ψ ( ) ( Pab), для любого I F, ψ ( ) C( I) как суперпозиция непрерывных функций ψ ( ) C( I) Имеем далее, для I Точки ( ) ψ (, ( )) ( ) ( ψ ) ( ) Y = F, ( ) d F d M d = M M h b, ψ b ибо h M Видим, что переход от к сделан Для ψ ( ) утверждение леммы проверено непосредственно В силу перехода от к, утверждение леммы будет справедливо для ψ ( ), где =,, Лемма Гронуола Пусть ) f( ) C( a, b ); ) f ( ) удовлетворяет на ab, неравенству f( ) + µ f( t) dt, где, µ> постоянные числа Тогда справедливо неравенство f( ) e µ, a, b Доказательство проведем для [, b ; для a, ] оно аналогичное -й случай: > Имеем по условию: f( ) + µ f( t) dt, [, b Положим g ( ) = + µ f( tdt ), [, b = > Нетрудно понять, что g ( ) C( [, b ) ; g ( ) Имеем g ( ) = µ f( ), [, b g( ) неубывающая на промежутке [, b g ( ) >, [, b Так как g ( ) = µ f( ), а f ( ) g( ), [, b, то g ( ) µ g( ), g ( ) [, b µ, [, b Проинтегрировав последнее неравенство по g ( ) отрезку [, ] [, b, получим

13 g ( ) g ( ) l µ ( ), [, b e g ( ) g ( ) µ ( ) ( ) g ( ) g ( ) e µ = e 3 ( Следовательно, и подавно f( ) e ) µ, [, b -й случай: = = µ ( ) Имеем по условию в этом случае f( ) µ f( t) dt, [, b Возьмем последовательность чисел { } N любую, но такую, что > для любого N и Для любого N будем иметь f( ) < + µ f( t) dt, [, b Так как функция f ( ) удовлетворяет последнему неравенству, то получаем предыдущий случай Следовательно, будем иметь: µ ( f e ) ( ), [, b, N любое Переходя в этом неравенстве к пределу при и приняв во внимание, что, получим f( ), [, b Видим, что и в этом случае лемма доказана dy 3 Теорема Пикара Пусть имеется система = F(, Y) Пусть d + F(, Y ) CD ( ), ( D) R Пусть F(, Y) Lip Y ( D) локально Тогда для любой точки (, Y) ( D) задача () () имеет решение Y = ϕ ( ), [ h, + h], h= a b mi,, причем это решение задачи () () единственно M Возьмем произвольную точку (, Y) ( D) По условию, F(, Y) Lip Y ( D) локально существует Uδ(, Y ), такая, что Uδ(, Y) ( D), и F(, Y) Lip Y ( Uδ(, Y )) Пусть L > постоянная Липшица для F(, Y ) в Uδ(, Y ) Возьмем числа a, b (a >, b > ) такие, что ( Pab ) U δ (, Y ) Пусть M = ma F(, Y ), h a b = mi, По лемме, доказанной выше, все приближения ( P ab ) M Пикара 3

14 4 ( ) ψ ( ) Y, ψ ( ) = Y + F, ψ ( ) d ( =,, ) определены и непрерывны на отрезке I = [ h, + h] и удовлетворяют условию ψ ( ) Y b ψ сходится равномерно относительно на I Для N этого рассмотрим функциональный ряд ψ( ) + [ ψ( ) ψ( ) ] + + [ ψ ( ) ψ ( ) ] + (3) Замечаем, что S ( ) = ψ ( ), S ( ) = ψ ( ),, S ( ) = ψ ( ), Значит, равномерная сходимость последовательности { ψ ( ) } N, I, равносильна равномерной сходимости ряда (3) на I Установим равномерную сходимость ряда (3) на I Для этого произведем оценку членов ряда (3) Имеем ( ) = Y, I ) Покажем, что { ( ) } Имеем, далее: ψ ψ ( ) ψ ( ) = ψ ( ) Y = F(, Y ) d F(, Y ) d M M h M = ( Lh ), I L ( ( ) ( )) ψ( ) ψ( ) = F, ψ( ) F, ψ( ) d ( ) F ( ) F, ψ( ), ψ( ) d L ψ( ) ψ( ) d ( ) ( P ab ) ( ) ( P ab ) M L M d = L M ML M ( L h) h = L! Допустим, что Но тогда ψ, I M L ψ L M L h ( ) ( ), I (4)! L! ( F( ) F ( )) ψ ( ) ψ ( ) =, ψ ( ), ψ ( ) d +

15 ( ) F( ) F, ψ ( ), ψ ( ) d L ψ ( ) ψ ( ) d + + M L M L + M ( L h) d I L! L ( + )! L ( + )!, Видим, что переход от к + сделан Значит, оценка (4) справедлива на I для любого N Введем в рассмотрение ряд Y + M ( Lh) + M L ( Lh) L + + M L ( Lh)!!! + (5) Ряд (5) числовой, положительный, сходящийся Он является мажорантным для ряда (3) на I функциональный ряд (3) сходится равномерно на I Пусть ϕ ( ), I сумма ряда (3) Имеем ( ) ϕ ( ), I S + ψ ( ) ϕ( ), I (6) Так как ψ ( ) C( I), то из (6) ϕ ( ) C( I ) ) Покажем, что вектор-функция Y = ϕ ( ), I, является решением задачи () () Для этого берем -е приближение Пикара Было показано, что ψ ψ ( ψ ) ( ) = Y + F, ( ) d, I (7) ( ) ϕ( ) F, I Покажем теперь, что ( ψ ) F( ϕ ), ( ), ( ), I Возьмем любое ε> У нас F(, Y) C( P ab ) F(, Y ) равномерно непрерывная в ( P ab ) взятому ε> отвечает δ >, зависящее только от ε, такое, что для любых двух точек ( ~, Y ~ ) и ( ~ ~, Y ) из ( Pab ), для которых ~ ~ <δ, ~ ~ Y Y <δ, будет F( ~ ~, Y ) F ( ~ ~, Y ) <ε У нас ψ ( ) ϕ ( ), I по числу δ> (найденному по ε) можно указать номер такой, что как только >, так сейчас же ψ ( ) ϕ ( ) < δ, для всех I Но тогда при > будет F(, ψ ( ) ) F(, ϕ( ) ) < ε, для всех I 5

16 Последнее означает, что F(, ψ ( ) ) F(, ϕ( ) ), I Перейдем в соотношении (7) к пределу при + Получим: ( ϕ ) ϕ( ) = Y + F, ( ) d, I (8) Из (8) следует: ) ϕ ( ) = F (, ϕ( ) ), I; ) ϕ ( ) = Y А это означает, что Y = ϕ ( ), I решение задачи () () 3) Покажем теперь, что это решение единственное Рассуждаем от противного, а именно предполагаем, что задача () () имеет и другие решения Возьмем тогда два любых решения задачи () (): Y = ϕ ~ ( ), I ; Y = ϕ ~ ( ), I ~ ~ δ δ По условию F(, Y) Lip Y ( D) локально точке (, Y ) отвечает окрестность U(, Y) ( D) такая, что F(, Y) Lip Y ( U(, Y )) У нас функции ~ ~ ϕ ( ), ϕ ( ) непрерывные Значит, существует δ > такое, что для любого I δ будет: точка (, ϕ ~ ( ) ) и точка (, ϕ ~ ( ) ) U(, Y ) Так как Y = ϕ ~ ( ) и Y = ~ ϕ ( ) решения задачи () (), то ϕ ~ ( ) = F (, ϕ ~ ( ) ), I δ, ~ = ( ~ ϕ ( ) F, ϕ ( ) ), I δ Проинтегрируем оба этих соотношения по отрезку [, ], I δ Получим ~ ( ) ~ ( ), ~ ~ ~ ~ ϕ = ϕ + F ϕ( ) d, ϕ( ) = ϕ( ) + F, ϕ( ) d, I δ ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ~ ~ ( ) =, ( ), ~ F ( ) d, I ϕ ϕ ( ϕ ) F ( ϕ ) F( ) F( ) δ ~ ( ) ~ ~ ( ), ( ), ~ ~ ϕ ϕ ϕ ϕ( ) d L ϕ( ) ϕ ~ ( ) d (здесь L постоянная Липшица) Обозначим ~ ϕ( ) ϕ ~ ( ) = f( ), Iδ Будем иметь: ) f( ) C( Iδ ); 6

17 ) f( ) удовлетворяет неравенству: f( ) L f( t) dt, I δ Но тогда по лемме Гронуола ~ f( ), I ( ) ~ δ ϕ = ϕ ( ), Iδ + Следствие Пусть F(, Y ) CD ( ), ( D) R Пусть F(, Y) CD ( ) Тогда для любой точки (, Y) ( D) задача () () имеет единственное решение Y Замечание Так как ряд (3) на отрезке I мажорируется числовым, положительным, сходящимся рядом (5), то, полагая ϕ ( ) ψ ( ), I, всегда можно оценить погрешность этого приближения Именно: норма упомянутой погрешности не превосходит остатка после -го члена мажорантного ряда (5) 4 Общее решение и общий интеграл нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Пусть имеется нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений: dy = F(, Y) () d + Предполагается, что ) F(, Y ) CD ( ), ( D) R, и ) F(, Y) Lip Y ( D) локально Определение Семейство вектор-функций C C Y = ϕ (, C), где C = () C произвольный постоянный вектор, называется общим решением системы () в области ( D ), если, во-первых, для любой точки (, Y) ( D) векторное уравнение Y = ϕ (, C) (3) 7

18 C имеет одно единственное решение C = C = C, и если, во-вторых, векторфункция C Y = ϕ (, C), Iδ [ Iδ = ( δ, + δ )] (4) является решением системы (), хотя бы при достаточно малом δ Ясно, что это решение (4) удовлетворяет начальному условию: Y Y = = u(, Y ) C u (, Y ) Определение Пусть U(, Y) = C C ( D), и пусть C = произвольный постоянный вектор Соотношение: u(, Y ) C U (, Y ) = C (5) называется общим интегралом системы () в ( D ), если, во-первых, для любой точки (, Y) ( D) векторное уравнение U(, Y) = U(, Y ) (6) определяет единственную дифференцируемую вектор-функцию Y = ϕ ( ), Iδ = ( δ, + δ), (7) такую, что: ϕ ( ) = Y ; U(, ϕ ( ) ) = U(, Y ), I δ, и если, во-вторых, эта вектор-функция Y = ϕ ( ), I δ, хотя бы при достаточно малом δ является решением системы () Необходимый признак общего интеграла Теорема Пусть U (, Y ) = C общий интеграл системы () в области ( D ) Тогда для любого решения Y = ϕ ( ), a, b системы (), график которого лежит в ( D ), справедливо тождество: U, ϕ ( ) cost, a, b ( ) Пусть Y = ϕ ~ ( ), a, b произвольное решение системы (), график которого лежит в ( D ) У нас U(, Y) C ( D) ϕ ~ ( ) C a, b (, ~ ϕ ( )) (, ) Мы покажем, что U (, ( ) ) U C a b, ( ) ϕ cost, a, b, если установим, что d U (, ϕ ( ) ), a, b d Для этого берем произвольную точку a, b и находим ϕ ~ ( ) = Y Ясно, что точка (, Y) ( D) Рассмотрим теперь векторное уравнение U(, Y) = U(, Y ) 8

19 По определению общего интеграла системы () это уравнение определяет единственную дифференцируемую вектор-функцию Y = ϕ ( ), I δ, такую, что ϕ ( ) = Y, и которая при достаточно малом δ является решением системы () Ясно, что для I δ будет U(, ϕ ( ) ) U(, Y ) (8) Имеем: ) Y = ϕ ~ ( ), a, b, решение системы (), такое, что ϕ ~ ( ) = Y ; ) Y = ϕ ( ), I δ, решение системы (), такое, что ϕ ( ) = Y Видим, что оба эти решения удовлетворяют одному и тому же начальному условию: Y = Y Y D =, (, ) ( ) Так как ( D ) область единственности системы (), то ϕ ~ ( ) ϕ ( ), I δ, по крайней мере, при достаточно малом δ А тогда, в силу (8), U(, ϕ ~ ( ) ) U(, Y), Iδ d U (, ϕ ~ ( ) ), Iδ d в частности, d U (, ϕ ~ ( ) ) = d = У нас точка любая из ab, ( ab, промежуток, на котором определено решение Y = ϕ ~ ( ) системы ()) Поэтому получаем d U (, ϕ ~ ( ) ), a, b d u(, Y ) u (, Y ) Следствие Если U(, Y) = = C общий интеграл системы () в u(, Y ) ( D ), то для любого решения Y = ϕ ( ), a, b, системы () справедливы тождества ui (, ϕ ( ) ) cost, a, b ( i=, ) Определение Скалярная функция u(, Y ) C ( D) называется интегралом системы () в ( D ), если она тождественно обращается в постоянную на любом решении системы (), график которого лежит в ( D ) Замечание Любая скалярная функция u(, Y ) cost в ( D ) есть интеграл системы () в ( D ) (это тривиальные интегралы ; их мы рассматривать не будем) 3 Критерий интеграла 9

20 Теорема Скалярная функция u(, Y ) C ( D) является интегралом системы () в ( D ) тогда и только тогда, когда справедливо тождество (, Y) (, Y) + F(, Y) в ( D ) (9) Y f(, Y ) (Здесь u(, Y ) =,,, Y f (, Y ) матрица-строка, F(, Y) = y y y f (, Y ) матрица-столбец, так что u(, Y ) (, Y ) F(, Y) = f Y y = (, Y )) Необходимость Дано: u(, Y ) C ( D) является интегралом системы () в ( D ) Требуется доказать, что в ( D ) имеет место тождество (9) Возьмем любую точку (, Y) ( D) и рассмотрим решение Y = ϕ ( ), Iδ = ( δ, + δ) системы (), удовлетворяющее условию Y Y ( ϕ ( ) = Y ) Станем рассматривать функцию u(, ) По определению интеграла системы (), будем иметь: u (, ( ) ) cost, I Левая часть тождества () дифференцируема по на u(, Y ) C ( D), ϕ ( ) C ( I ) = = Y на этом решении ϕ δ () I δ, так как δ Дифференцируя по тождество (), получим (, ϕ( ) ) (, ϕ( ) ) + ϕ ( ), Iδ Y Но ϕ ( ) F (, ϕ( ) ), I δ (так как Y = ϕ ( ), I δ, решение системы ()) Поэтому будем иметь (, ϕ( ) ) (, ϕ( ) ) + F (, ϕ ( ) ), Iδ Y Положим в последнем равенстве = (тогда ϕ ( ) = Y ) Получим (, Y) (, Y) + F(, Y) = Y У нас точка (, Y ) любая, принадлежащая ( D ) Поэтому (, Y) (, Y) + F(, Y) в ( D ) Необходимость доказана Y Достаточность Имеет место тождество (, Y) (, Y) + F(, Y) в ( D ) (9) Y Требуется доказать, что u(, Y ) интеграл системы () в ( D ) Берем произвольное решение системы () в ( D )

21 Y = ϕ ( ), a, b Так как левая часть (9) тождественно равна нулю в ( D ), то она равна нулю и на взятом решении, те (, ϕ( ) ) (, ϕ( ) ) + F (, ϕ ( ) ), a, b Y Так как Y = ϕ ( ), a, b, решение системы () в ( D ), то F (, ϕ ( ) ) ϕ ( ), a, b Следовательно, будем иметь (, ϕ( ) ) (, ϕ( ) ) + ϕ ( ), a, b Y du(, ϕ ( ) ), a, b u (, ϕ ( ) ) C, ab, d Последнее означает, что u(, Y ) интеграл системы () в ( D ) Замечание Допустим, что для системы () удалось построить в ( D ) интегралов Тогда можно построить вектор-функцию u(, Y ) u (, Y ) U(, Y) = u(, Y ) и образовать соотношение U (, Y ) = C Вопрос: Будет ли соотношение U (, Y ) = C общим интегралом системы () в ( D )? Ответ: Не всегда 4 Понятие независимости интегралов Пусть u(, Y ), u(, Y ),, u (, Y ), > интегралы системы () в ( D ) Составим векторный интеграл u(, Y ) [ Y U ] u (, ) (, Y) = u (, Y ) Составим матрицу Якоби для этого векторного интеграла y y y [ ] U u u u u = y y y (, Y ) y y y

22 Определение Интегралы u(, Y ), u(, Y ),, u (, Y ) системы () в ( D ) называются независимыми, если для любой точки (, Y ) ( D) [ ] U rag = (, Y ) Справедливо утверждение: Пусть функции u(, Y ), u(, Y ),, u (, Y ) являются интегралами системы () в ( D ) Тогда rag = rag, (, Y ) ( D), где [ ] [ U U ] (, Y ) Y y y y [ ] U u u u = y y y Y y y y По условию функции ui(, Y ) (i=, ) являются интегралами системы () в ( D ) Но тогда справедливы тождества: i(, Y) i(, Y) + F(, Y) в ( D ) (i=, ) Y i(, Y) i(, Y) = f (, Y ), для любой точки (, Y ) ( D) (i=, ) y = Возьмем произвольную точку (, Y ) ( D) и закрепим ее Предыдущее соотно- U шение означает, что в закрепленной точке первый столбец матрицы является линейной комбинацией остальных ее столбцов (числа f(, Y ), f(, Y ),, f(, Y ) выступают в качестве коэффициентов) Из этого и сле- (, Y ) дует справедливость утверждения Следствие Система () имеет в области ( D ) не более чем независимых интегралов Это следует из того, что [ ]

23 y y y [ ] U u u u rag = rag y y y, при любом Y y y y строк; столбцов 5 Достаточный признак общего интеграла Теорема Пусть u(, Y ), u(, Y ),, u(, Y ) интегралы системы () в u(, Y ) u (, Y ) ( D ) Пусть U(, Y) = Тогда если интегралы u (, Y ), u(, Y ),, u(, Y ) u(, Y ) независимые в ( D ), то соотношение U (, Y ) = C () есть общий интеграл системы () в ( D ) Покажем, что соотношение () удовлетворяет определению общего интеграла Для этого берем произвольную точку (, Y) ( D) и рассматриваем векторное уравнение U(, Y) = U(, Y ) () Перепишем () в виде U (, Y ) U (, Y ) = (3) =G(, Y ) (обозначение) Имеем: ) G(, Y) C ( D) (так как U(, Y) C ( D) ) ) G(, Y ) = ; G U 3) det = det (так как интегралы ui(, Y ), i=, независимые в ( D )) Видим, что выполнены условия теоремы об однозначной разрешимости Y (, Y ) Y (, Y) векторного уравнения (3) (см теорию неявных функций) По этой теореме векторное уравнение (3) определяет единственную дифференцируемую вектор-функцию Y = ϕ ( ), Iδ = ( δ, + δ) такую, что ϕ ( ) = Y Покажем, что вектор-функция Y = ϕ ( ),, (), по крайней мере, при достаточно малом δ (δ > ) I δ, является решением системы 3

24 Так как вектор-функция Y = ϕ ( ), I δ, неявная, дифференцируемая функция, определяемая уравнением (3), то она обращает (3) в тождество относительно на интервале I δ, те U(, ϕ ( ) ) U(, Y), I δ Дифференцируя по это тождество, получим U(, ϕ( ) ) U(, ϕ( ) ) + ϕ ( ), Iδ (4) Y У нас U (, Y ) векторный интеграл системы в ( D ) Значит, каждая его компонента ui(, Y ) (i=, ) удовлетворяет в ( D ) тождеству i(, Y) i(, Y) + F(, Y) Y Эти скалярных тождеств можно переписать в виде одного векторного тождества U(, Y) U(, Y) + F(, Y) в ( D ) Y Так как это тождество имеет место всюду в ( D ), то, в частности, оно выполняется на линии Y = ϕ ( ), I δ Поэтому U(, ϕ( ) ) U(, ϕ( ) ) + F (, ϕ ( ) ), Iδ (5) Y Возьмем любое I δ и закрепим его Рассмотрим при этом линейную систему z U(, ϕ( ) ) U(, ϕ( ) ) z + Z, где Z = Y (6) 4 (, ϕ ( ) ) U Определителем этой системы является det Он отличен от нуля в Y силу независимости интегралов u(, Y ), u(, Y ),, u(, Y ) Следовательно, система (6) имеет единственное решение Но, как следует из (4) и (5), эта система имеет своими решениями векторы Z = ϕ ( ) и Z = F(, ϕ ( ) ) Так как система (6) имеет единственное решение, то получаем, что для взятого I δ ϕ ( ) = F, ϕ ( ) ( ) У нас любое, принадлежащее I δ Поэтому будем иметь ϕ ( ) (, ϕ ( ) ) z F, I δ Последнее означает, что Y = ϕ ( ), I δ решение системы () Таким образом, показано, что соотношение () удовлетворяет определению общего интеграла системы () в ( D )

25 Замечание Чтобы составить общий интеграл системы () в ( D ), нужно найти независимых интегралов этой системы Замечание Пусть скалярная функция u(, Y ) C ( D) интеграл системы () в ( D ), отличный от тривиального (те u(, Y ) / cost в ( D )) Соотношение u(, Y ) = C называется первым интегралом системы () в ( D ) Отметим, что u (, Y ) u (, Y ) если U(, Y) = u (, Y ) = C общий интеграл системы () в ( D ), то u (, Y ) = C (i=, ) первые интегралы системы () в ( D ) i i 5 Методы интегрирования нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Метод исключения Метод исключения является основным методом интегрирования нормальной системы Он сводит задачу интегрирования данной системы к интегрированию одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых представляет собой уравнение относительно одной неизвестной функции Сущность метода состоит в следующем В системе dy = f(, y, y, y ), d dy = f(, y, y, y ), d () dy = f y y y (,,, ) d берем какое-нибудь уравнение, например, первое, и дифференцируем его по Получим f f f f y = + y + y + + y y y y Подставляя сюда значения y, y,, y из системы (), будем иметь f(, y, y,, y ) f( ) y = + f(, y, y,, y ) + y f( ) f( ) + f( ) + + f( ), y y 5

26 или y = f (, y, y,, y ) () Полученное соотношение () тоже дифференцируем по и подобным же образом, те используя уравнения системы (), приходим к уравнению y = f (, y, y,, y ) (3) После ( ) таких шагов мы придем к уравнению y = f, (, y, y,, y) (4) Рассмотрим теперь систему y = f(, y, y, y ), y = f(, y, y, y ), y = f y y y (,,, ), ( ) y = f, (, y, y, y), ( ) y = f, (, y, y, y) (5) Допустим, что из первых ( ) уравнений системы (5) удается найти y, y 3,, y, те выразить y, y 3,, y через, y, y, y,, ( y ) 6 ( ) ( ) y = ϕ(, y, y, y,, y ), ( ) y3 = ϕ3(, y, y, y,, y ), ( ) y = ϕ(, y, y, y,, y ) (6) Подставляя эти значения для y, y 3,, y в последнее уравнение системы (5), будем иметь: ( ) ( ) y = f(, y, y, y,, y ) (7) Получили, таким образом, одно дифференциальное уравнение -го порядка относительно одной неизвестной функции Интегрируя это уравнение, получим y = Φ (, C, C,, C ) (8) (предполагается, что мы умеем находить общее решение уравнения (7)) Теперь, дифференцируя полученную функцию (8) последовательно ( ) ( раз и подставляя значения y y y y ),,,, в (6), получим y = Φ (, C, C,, C ), y = Φ (, C, C,, C ), 3 3 y = Φ (, C, C,, C ),

27 которые вместе с ранее найденным y (= Φ ( C,, C,, C )) составляют общее решение системы () Замечание В рассматриваемом случае процесс исключения можно вести и в ином порядке Так, например, можно выражать y, y 3,, y через (, y, y, y,, y ) из последних ( ) уравнений системы (5) и подставить в первое Пример Найти общее решение системы dy = 3 y+ 3y + 4y3, d dy = 7 6y+ 7y + 6y3, ( ~ ) d dy3 = + y y + y3 d Продифференцируем по первое уравнение из системы ( ~ ): y = 3 y + 3y + 4 y3 Подставляя здесь вместо y, y, y их выражения из ( ~ ), получим 3 y = y+ y + 4 y3 ( ~ ) Полученное уравнение ( ~ ) дифференцируем по : y = y + y + 4 y3 ( ~ 3 ) И здесь вместо y, y, y подставляем их выражения из ( ~ ) Получим 3 y = 33 3y+ 33y + 4 y3 ( ~ 4 ) Рассматриваем теперь систему y = 3 y+ 3y + 4y3, y = y+ y + 4 y3, ( ~ 5 ) y = 33 3y+ 33y + 4 y3 Из первых двух уравнений ( ~ 5 ) выражаем y и y 3 через, y, y, y : y = y 7y + 6y+, ( ~ 6 ) y3 = 3y + y 8y ( ) Подставляем найденные значения для y и y 3 в последнее уравнение ( ~ 5 ) Получим y 6y + y 6y = ( ~ 7 ) ( ~ ) 7 линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами Составляем характеристическое уравнение: 7

28 = =, =, 3 = 3 Следовательно, y = Ce + Ce + C3e 3 ( ~ 8 ) Теперь, дифференцируя ( ~ 8 ) два раза и подставляя значения y, y, y в ( ~ 6 ), получаем y = + Ce + 3C3e 3, y3 = Ce C3e 3 Совокупность функций y = Ce + Ce + C3e 3, y Ce C3e 3 = + + 3, y3 = Ce C3e 3 общее решение системы ( ~ ) Пример Найти общее решение системы y = y + y3, y = y+ y3, ( ~ ) y3 = y+ y Дифференцируя по первое уравнение системы ( ~ ), получим y = y + y3 Подставив здесь вместо y, y их выражения из ( ~ ), будем иметь 3 y = y+ ( y + y3) ( ~ ) Замечаем, что уравнения y = ( y + y3), y = y+ ( y + y3) содержат y и y 3 одинаковым образом и, следовательно, из этих уравнений они могут быть исключены сразу В результате мы получим уравнение второго порядка для y : y y y =, ( ~ 7 ) и в дальнейшем дифференцировании уравнения ( ~ ) надобности нет Интегрируя уравнение ( ~ 7 ), получим y = Ce + Ce Найдем теперь y 3 из первого уравнения системы ( ~ ): y3 = y y и подставим во второе уравнение этой системы Будем иметь: y = y+ y y y = 3 Ce y y + y = 3 Ce 8

29 Мы получили уравнение первого порядка для y Решая его, находим: y = Ce + C3e Остается найти y 3, для чего можно использовать, например, второе уравнение системы ( ~ ): 3 3 y = y y = C e C e Ce C e y3 = Ce ( C+ C3) e Таким образом, в рассматриваемом случае нам пришлось интегрировать одно уравнение второго порядка и одно первого порядка И вообще, следует отметить, что интегрирование нормальной системы порядка методом исключения может свестись к интегрированию нескольких дифференциальных уравнений, сумма порядков которых равна Рассмотрим случай, когда метод исключения приводит к интегрированию уравнений первого порядка Пусть имеется система обыкновенных дифференциальных уравнений вида dy = f(, y), d dy = f(, y, y), d dy3 = f3(, y, y, y3), d ( ~ ) dy = f(, y, y, y) d Интегрируя первое уравнение системы ( ~ ), найдем y = Φ (, C ) Подставляя это выражение для y во второе уравнение системы ( ~ ), получим уравнение первого порядка для y : dy = f(, Φ (, C), y) d Интегрируя это уравнение, получим y = Φ (, C, C ) Подставляя в третье уравнение системы ( ~ ) вместо y и y соответственно Φ ( C, ) и Φ ( C,, C ), получим уравнение первого порядка для y 3 : dy3 = f3(, Φ( C, ), Φ ( C,, C), y3) d Проинтегрировав это уравнение, найдем y3 =Φ 3(, C, C, C3), и т д Наконец, придем к уравнению первого порядка для y : 9

30 dy = f(, Φ( C, ), Φ( C,, C),, Φ ( C,, C,, C ), y) d Проинтегрировав это уравнение, найдем y = Φ (, C, C, C3,, C, C) Совокупность функций Φ ( C, ), Φ ( C,, C ),, Φ ( C,, C,, C ) является общим решением системы ( ~ ) Симметрическая форма нормальной системы Нахождение интегрируемых комбинаций Нормальную систему () можно записать в виде равенства отношений: dy dy dy d = = = = (9) f(, y, y,, y) f(, y, y,, y) f(, y, y,, y) Равенство отношений (9) называется симметрической формой нормальной системы () Такое название объясняется тем, что в (9) все переменные, y, y,, y равноправны: любую из них можно выбрать в качестве независимой Последнее обстоятельство бывает иногда очень полезным в теории и практике интегрирования систем Мы видели, что задача построения общего решения нормальной системы порядка равносильна нахождению ее независимых интегралов Общего способа построения интегралов не существует, но в отдельных случаях они могут быть сравнительно просто найдены Для нахождения интегралов системы (9) либо берут пары отношений, допускающих разделение переменных, либо используют производные пропорции: d ωd + ωdy+ ωdy + + ωdy = () ω + ωf+ ωf + + ωf Здесь ω (, y, y,, y ), ω (, y, y,, y ),, ω (, y, y,, y ) произвольные функции, и их выбирают так, чтобы числитель правой части был дифференциалом знаменателя, либо числитель был полным дифференциалом некоторой функции u(, y, y,, y ), а знаменатель был равен нулю, те чтобы одновременно выполнялись два условия: ω + ωf+ ωf + + ω f = ; ωd + ωdy+ ωdy + + ωdy = du(, y, y,, y) Если эти условия оказываются выполненными, то из () получается du =, откуда видно, что функция u(, y, y,, y ) является интегралом данной системы Пример 3 Найти интегралы системы d dy dz = = () z yz y z + () система двух дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных функций, записанная в симметрическом виде Области, в которых 3

31 будем искать интегралы системы () открытые координатные октанты R 3 с введенной системой координат Oyz Из первого равенства () d dy = находим y = C, или y = C Соотношение y y z yz = C является первым интегралом системы (), а функция u y (, )= интегралом системы () Из (), воспользовавшись свойством равных отношений, находим: yd + dy dz = d( y) = d yz ( z + ) d y z + = y z + y u(, y, z)= z + = C Это еще один первый интеграл системы () Имеем y y z = z = + z z z + z во всех точках каждой из восьми областей, в которых рассматривается система y () Значит, интегралы u =, u y = + z независимые в каждом из восьми октантов системы координат Oyz Следовательно, y U(, y, z) C = C y = = C + z общий интеграл системы () Пример 4 Найти интегралы системы d dy dz dt y+ z = z+ = + y = t () () система трех дифференциальных уравнений относительно трех неизвестных функций, записанная в симметрическом виде Для отыскания интегралов системы () будем пользоваться свойством равных отношений Имеем, например, d dy dt d( y) dt = + = ( y) t = C (3) y t y t Соотношение (3) является первым интегралом системы (), а функция u = ( y) t интегралом системы () 3

32 Имеем, далее, из () d( + y+ z) dt + y+ z = = C (4) ( + y+ z) t t Соотношение (4) является еще одним первым интегралом системы (), а y z функция u = + + интегралом системы () t Из () находим еще d dz dt d( z) dt = + = ( z) t = C 3 (5) z t z t Соотношение (5) является первым интегралом системы (), а функция u3 = ( z) t интегралом системы () Имеем t t y z = = 3 ( t ) y z t t t t t y z интегралы u(, y, z, t), u(, y, z, t), u3(, y, z, t) независимые всюду, где определена система () 6 Интегрирование линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка Общий вид линейного уравнения с частными производными первого порядка такой: ai(,,, ) + b(,,, ) u= f(,,, ) ( ) i= i Здесь:,,, независимые переменные, u= u(,,, ) неизвестная функция, ai(,,, ) (i=, ), b(,,, ), f(,,, ) известные, заранее заданные функции (Неизвестная функция u(,,, ) и все ее частные производные входят в уравнение ( ) линейно) Общий вид квазилинейного дифференциального уравнения с частными производными первого порядка такой: 3

33 ai(,,,, u) = b(,,,, u) () i= i (В уравнение входят линейно лишь частные производные неизвестной функции; сама же неизвестная функция u= u(,,, ) входит в () через посредство ai(,,,, u) (i=, ) и b(,,,, u) любым образом) I Рассмотрим сначала уравнение вида a(,,, ) + a(,,, ) + + a(,,, ) = () Предполагается, что ai(,,, ) C( D), i=,, и что в ( D ) a( a, a,, a ) (,,, ) Это линейное однородное уравнение первого порядка с частными производными Построим систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида d d d = = = (3) a(,,, ) a(,,, ) a(,,, ) (3) называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующей уравнению () (3) система ( ) обыкновенных дифференциальных уравнений Предполагаем, что (3) задана в области ( D) R и что ( D ) область единственности для системы (3) Теорема Пусть ψ (,,, ) = C первый интеграл системы (3) в ( D ) Тогда функция u=ψ (,,, ) решение уравнения () в ( D ) Возьмем в области ( D ) любую точку (,,, ) Через нее проходит интегральная кривая системы (3) Вычислим du вдоль этой интегральной кривой Так как u= ψ (,,, ) { C вдоль интегральной кривой системы (3), cost то в точках этой кривой ψ du d ψ = + d ψ + + d = (4) (В частности, (4) выполняется во взятой точке (,,, ), а она любая из ( D )) Из (3) находим, например, a(,,, ) a(,,, ) d = d,, d = d a(,,, ) a(,,, ) Подставив эти выражения для d,, d в (4), получим в каждой точке (,,, ) ( D) 33

34 ψ ψ ψ a(,,, ) + a(,,, ) + + a(,,, ) = функция u=ψ (,,, ) решение уравнения () в области ( D ) Теорема Пусть ψ(,,, ) = C, ψ(,,, ) = C, ψ (,,, ) = C есть ( ) независимых первых интегралов системы (3) Тогда: ) u = ψ( ψ, ψ,, ψ ), где ψ произвольная непрерывно дифференцируемая функция, есть решение уравнения () в ( D ); ) Любое решение уравнения () в ( D ) представимо в виде u ψ( ψ, ψ,, ψ ) = По условию, ψ i (,,, ) C i, ) первые интегралы системы (3) в ( D ) Следовательно, по теореме, функции u= ψ(,,, ), u= ψ(,,, ),, u= ψ (,,, ) являются решениями уравнения () в ( D ) ψi ψi a(,,, ) + a(,,, ) + + ψ i + a(,,, ) = в ( D ) (5) (i=, ) Пусть u = ψ( ψ, ψ,, ψ ), где ψ произвольная непрерывно дифференцируемая функция Имеем: ψ ψ ψ ψ ψ ψ = + + +, ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = + + +, ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = ψ ψ ψ А тогда в области ( D ) a(,,, ) + a(,,, ) + + a(,,, ) = 34

35 ψ ψ ψ ψ = a + + ψ + (,,, ) a(,,, ) + a(,,, ) = (в силу (5)) ψ ψ ψ ψ + a(,,, ) + a(,,, ) + + a(,,, ) ψ = (в силу (5)) + + ψ ψ ψ ψ + a(,,, ) + a(,,, ) + + a(,,, ) ψ = (в силу (5)) = + u = ψ( ψ, ψ,, ψ ) решение уравнения () в области ( D ) ) Пусть u= ψ ~ (,,, ) любое решение уравнения () в области ( D ) Покажем, что ( ) u= ψ ~ (,,, ) = ψ ψ (,,, ), ψ (,,, ),, ψ (,,, ) У нас u=ψ (,,, ), u= ψ (,,, ),, u= ψ (,,, ), u= ψ ~ (,,, ) решения уравнения () в области ( D ) Следовательно, в ( D ): ψ ψ ψ a + a + + a =, ψ ψ ψ a + a + + a =, ψ ψ ψ a + a + + a =, ψ ~ ψ ~ ψ ~ a + a + + a = (6) рассматриваем как систему уравнений относительно неизвестных a, a,, a У нас a (,,, ), a (,,, ),, a(,,, ) не обращаются в нуль одновременно ни в одной точке, принадлежащей ( D ) Но у системы (6) решения, отличные от чисто нулевого, существуют лишь тогда, когда определитель этой системы равен нулю, те когда (6) 35

36 ψ ψ ψ ψ ψ ψ = ψ ψ ψ ψ ~ ψ ~ ψ ~ существует зависимость ψ ~ = ψ ( ψ, ψ,, ψ ) Замечание Функцию u = ψ ( ψ, ψ,, ψ ), где ψ произвольная непрерывно дифференцируемая функция, называют общим решением уравнения () II Рассмотрим теперь уравнение вида: ai(,,,, u) = b(,,,, u) () i= i Предполагается, что функции ai(,,,, u) (i=, ) и + b(,,,, u) C ( D), ( D) R ; a( a, a,, a ) (,,, ) в ( D ) В (),,, независимые переменные, u(,,, ) неизвестная функция Введем в рассмотрение вспомогательное уравнение v v a(,,,, u) + a(,,,, u) + + ( ~ ) v v + a(,,,, u) + b(,,,, u) = 36 В ( ~ ),,,, u независимые переменные, v(,,,, u) неизвестная функция Видим, что ( ~ ) линейное однородное дифференциальное уравнение с частными производными относительно неизвестной функции v(,,,, u) (Уравнение такого вида было рассмотрено в пункте I) Система обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая уравнению ( ~ ), будет такой: d d d du a(,,, u) = a(,,, u) = = a(,,, u) = b(,,, u) ( ~ 3 ) ( ~ 3 ) система обыкновенных дифференциальных уравнений Предполагается, что ( ~ + 3 ) задана в области ( D) R и что ( D ) область единственности для ( ~ 3 )

37 Пусть ψ (,,,, u) = C первый интеграл системы ( ~ 3 ) в ( D ) Тогда (см теорему ) функция v = ψ (,,,, u) является решением вспомогательного уравнения ( ~ ) Следовательно, v v a(,,,, u) + a(,,,, u) + + ( ~ 4 ) v v + a(,,,, u) + b(,,,, u) = в ( D) Имеет место Теорема 3 Неявная функция u(,,, ), определяемая соотношением ψ (,,,, u) =, является решением уравнения () Пусть u(,,, ) неявная функция, определяемая соотношением ψ (,,,, u) = Тогда, как известно, ψ ψ ψ = ; = ;, = ψ ψ ψ Подставив эти выражения для u, u u,, в уравнение (), получим: ψ ψ a(,,, u) a(,,, u) ψ ψ ψ ψ a u b u u (,,, ) (,,, ) = ψ ψ ψ ψ = a + = i(,,,, u) b(,,,, u) ψ i= i = в ( D ), в силу ( ~ 4) Видим, что неявная функция u(,,, ), определяемая соотношением ψ (,,,, u) =, действительно является решением уравнения () Пусть 37

38 ψ(,,,, u) = C, ψ(,,,, u) = C, ψ (,,,, u) = C независимые первые интегралы системы ( ~ 3 ) Тогда (см теорему ) функция v =ψ( ψ(,,,, u), ψ(,,,, u),, ψ (,,,, u) ), где ψ произвольная непрерывно дифференцируемая функция, является решением вспомогательного уравнения ( ~ ) Имеет место Теорема 4 Неявная функция u(,,, ), определяемая соотношением ψ( ψ(,,,, u), ψ(,,,, u),, ψ (,,,, u) ) =, ( ~ 5 ) является решением уравнения () Пусть u(,,, ) неявная функция, определяемая соотношением ( ~ 5 ) ψ( ψ(,,, u),, ψ(,,, u) ) = Найдем, u u,, Чтобы найти u, продифференцируем по обе части ( ~ 5 ) Получим ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ + + ψ + u + + ψ + u = u u u ψ ψ = ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = = ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ Совершенно аналогично находим: ψ ψ ψ ψ ψ ψ = = =,, = ψ ψ ψ ψ ψ ψ = Подставив эти выражения для u, u u,, в уравнение (), получим: = = ψ 38

39 ψ ψ ψ ψ ψ = ψ = a(,,, u) a u (,,, ) ψ ψ ψ ψ ψ ψ = ψ ψ ψ = a(,,, u) b(,, u, ) ψ ψ ψ = = = = ψ ψ ψ ψ ψ ψ = ψ ψ ψ ai(,, u) + b(,, u) = ψ ψ ψ i= i = = ψ = в ( D), =, ψ ψ ai(,,, u) + b (,,, u) = для любого =,, так i i= как v =ψ (,,,, u) решения уравнения ( ~ ), =, Видим, что неявная функция u(,,, ), определяемая соотношением ( ~ 5 ), действительно является решением уравнения () Функцию u(,,, ), определяемую соотношением ( ~ 5 ), в котором ψ произвольная непрерывно дифференцируемая функция, называют общим решением уравнения () Пример Найти общее решение уравнения ( z) u u ( y z) z + y + z = u= u(, yz, ) неизвестная функция Заданное уравнение линейное однородное Строим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую заданному уравнению: d dy dz z = y z = z Пользуясь свойством равных отношений, найдем интегралы этой системы d dy dz ) z = y z = d( + y+ z) dz ( + y+ = z) = C 4z + y+ z z z это первый интеграл системы = 39

40 d d y dz ) z = ( ) d( y) dz ( y) = = = C это еще один z y z y z z первый интеграл системы Общее решение заданного уравнения будет таким: + y+ z y u = ψ ( ), ( ) z z Здесь ψ произвольная непрерывно дифференцируемая функция Пример Найти общее решение уравнения yz z z z = e z ( ~ ) y z = z(, y) неизвестная функция Заданное уравнение ( ~ ) квазилинейное Вводим в рассмотрение вспомогательное уравнение yz v z v z v + e = ( ~ ) y z В ( ~ ), y, z независимые переменные, v (, yz, ) неизвестная функция Уравнение ( ~ ) линейное однородное относительно неизвестной функции v (, yz, ) Составляем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую уравнению ( ~ ): d dy yz = dz z = e z ( ~ 3 ) Найдем интегралы системы ( ~ 3 ): ) d dy d ydy d+ ydy dz = = = yz z yz yz e z d + ydy = d( y + ) = + y = C первый интеграл системы ( ~ 3 ) ) d dz = yz e z Воспользуемся найденным первым интегралом Будем иметь d z z = ze dz arcsi + ( z+ ) e = C C C z arcsi + ( z+ ) e = C + y это другой первый интеграл системы ( ~ 3 ) 4 Общее решение вспомогательного уравнения ( ~ ) будет таким:

41 z v = ψ + y z+ e +, ( ) arcsi, + y а значит, общее решение исходного уравнения ( ~ ) z = z(, y) есть неявная функция, определяемая соотношением ψ z + y,( z+ ) e + arcsi + y = Пример 3 Найти общее решение уравнения ( y+ z) + ( z+ ) + ( + y) =u ( ~ 4 ) y z u= u(, yz, ) неизвестная функция Заданное уравнение ( ~ 4 ) линейное неоднородное Вводим в рассмотрение вспомогательное уравнение ( y + v v v z) ( z ) ( y) u v + + y + + z + = ( ~ 5 ) ( ~ 5 ) линейное однородное уравнение относительно неизвестной функции v = v (, yzu,, ) Составляем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих уравнению ( ~ 5 ): d dy dz du y+ z = z+ = + y = u (~ 6 ) Найдем интегралы системы ( ~ 6 ): d dy du ) y+ z = z+ = u d( y) du du d( y) = + = y u u y u( y) = C dy dz du ) z+ = + y = u d( y z) du du d( y z) = + = z y u u y z u( y z) = C 3) Из ( ~ d( + y+ z) du + y+ z 6 ): = = C 3 ( + y+ z) u u Общее решение вспомогательного уравнения ( ~ 5 ) будет таким: + y+ z v = ψ u( y), u( y z), u Значит, общее решение исходного уравнения ( ~ 4 ) есть неявная функция u= u(, yz, ), определяемая соотношением 4

42 + y+ z ψ u( y), u( y z), =, u где ψ произвольная непрерывно дифференцируемая функция Понятие о характеристиках Рассмотрим простейший пример Пусть требуется найти решение уравнения + =, (6) t удовлетворяющее условию u (, t ) f t = = ( ), (7) где f ( ) известная функция (6) (7) задача Коши Обыкновенное дифференциальное уравнение, соответствующее уравнению (6), будет таким: d dt = Решая его, находим = t + C t = C Это есть первый интеграл дифференциального уравнения Но тогда u = ψ ( t), где ψ произвольная непрерывно дифференцируемая функция, является общим решением уравнения (6) Для определения функции ψ используем условие (7) ψ ( t) = f( ) ψ ( ) = f ( ) ψ = f t = Следовательно, u = f ( t) является решением задачи (6) (7) Замечание В рассмотренном примере, исходя лишь из данного уравнения (6) и условия (7), мы можем на оси абсцисс (те при t = ) определить формально все частные производные от функции u(, t) по переменным и t t 4 Действительно, из (7) находим = = f ( ) Потом находим t= t= t = = f ( ) Затем из (6) получаем u t = = f ( ), u t t = = f ( ), u u = = f ( ), и т д t t t= t= В таком случае, когда, исходя лишь из (6) и (7), удается определить формально на линии t = все частные производные от функции u(, t) по переменным и t, будем говорить, что задача Коши (6) (7) поставлена правильно В противном случае мы сказали бы, что задача Коши поставлена неправильно Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (6) и кривой () l, заданной уравнением ω (, t ) = Предполагается при этом, что ω ( t, ) C( D) ( ω ) + ( ω ) в ( D) R t и что

43 Упомянутая задача Коши формулируется так: требуется найти решение уравнения (6), удовлетворяющее условию u = f( M) ( ~ 7 ) () l Выясним, когда задача Коши (6) ( ~ 7 ) оказывается поставленной правильно и когда нет Иначе, выясним, когда мы сможем и когда не сможем, исходя лишь из (6) и ( ~ 7 ), определить на () l формально все интересующие нас частные производные от функции u(, t) Для этого вводим в рассмотрение новые переменные ξ и η по формулам ξ= ω( t, ), η = t Тогда u(, t) u( ξ, η ): ξ η ω = + =, ξ { η { ξ ω = = ξ η ω = + = + t ξ { t η { t ξ t η ω = t Уравнение (6) в новых переменных станет таким: ω ω + + =, ( ~ 6 ) t ξ η а начальное условие ( ~ 7 ) примет вид: u = f η ( ) (~ 7 ) ξ= = Из ( ~ ~ 6 ) и ( 7 ) видим: ) если ω ω + t на кривой () l, то задача Коши (6) ( ~ 7 ) поставлена правильно; ) если ω ω + t = на кривой () l, то задача Коши (6) ( ~ 7 ) поставлена неправильно В первом случае кривую () l называют нехарактеристической или свободной для уравнения (6), во втором случае характеристической (или просто характеристикой) Итак, получили: Кривая () l, заданная уравнением ω (, t ) =, характеристическая для уравнения (6), если на () l 43

44 ω ω + t = (8) (8) уравнение для характеристик уравнения (6) Пусть требуется определить семейство характеристик для уравнения (6) Для этого берем уравнение (8) и составляем соответствующее ему обыкновенное дифференциальное уравнение d = dt t = C первый интеграл этого уравнения Утверждаем, что линии, определяемые соотношением t = C, образуют семейство характеристик для уравнения (6) Действительно, по теореме предыдущего параграфа, функция ω (, t) = t является решением уравнения (8) Значит, линии определяемые соотношением t = C, образуют семейство характеристик для уравнения (6) (рис ) t Рис Если в качестве кривой () l взять любую линию из семейства t = C, то коэффициент при u ~ в уравнении ( 6 ) на каждой такой линии будет равен нулю и, следовательно, мы не сможем, исходя из ( ~ ~ ξ 6 ) и ( 7 ), определить на () l все частные производные функции u Значит, задача Коши для уравнения (6) и такой кривой () l будет поставлена неправильно Замечание Во всех точках каждой прямой из семейства t = C решение u = f ( t) задачи (6) (7) имеет свое, но одно и то же значение Станем рассматривать теперь более общие примеры Пусть имеется уравнение вида a(, y) + b(, y) = c(, y) (9) y Пусть имеется кривая () l, заданная уравнением ω (, y ) = Предполагается, что ω (, y) C ( D) и ( ω ) ( ω ) 44 + y в ( D) R Задача: найти решение уравнения (9), удовлетворяющее условию u = f( M), () () l

45 где f ( M ) известная функция Выясним, когда задача Коши (9) () будет поставленной правильно и когда нет, те выясним, когда мы сможем и когда не сможем, исходя лишь из (9) и (), определить формально на () l все интересующие нас частные производные функции u(, y) Для этого вводим в рассмотрение новые переменные ξ и η по формулам ξ= ω(, y), η = y Тогда u(, y) u( ξ, η ): ξ η ω = + =, ξ η ξ ξ η ω = + = + y ξ y η y ξ y η В новых переменных уравнение (9) станет таким: ω ω a + b + b = c, ( ~ 9 ) y ξ η а условие () примет вид Из ( ~ ~ 9 ) и ( ) видим, что u ξ = = ~ ~ f ( η ) ( ) ) если на () l коэффициент при u не равен нулю, то задача Коши (9) () ξ поставлена правильно и, следовательно, кривая ( l ) нехарактеристическая ω ω ) если же на () l a(, y) + b(, y) =, то задача Коши (9) () поставлена неправильно и, следовательно, кривая () l характеристическая y Соотношение ω ω a(, y) + b(, y) = () y есть уравнение для характеристик уравнения (9) Пусть требуется определить семейство характеристик для уравнения (9) Для этого берем уравнение () и составляем соответствующее ему обыкновенное дифференциальное уравнение d dy a(, y) = b(, y) Пусть ψ (, y) = C () 45

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава Глава I Задача Коши для уравнения первого порядка. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ I Обыкновенные дифференциальные уравнения Вводная глава. 8 1.Понятие дифференциального уравнения.математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями.11 3.Решение

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ (

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ ( Краевые задачи L ни разу все функции комплекснозначные Определение: - задачей называют задачу найти такое что верно задача имеет хоть одно решение а именно Предложение : - линейный оператор L и - линейные

Подробнее

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТЕМА 5 Линейное уравнение Вольтерра -го рода Основные определения и теоремы Уравнение y = λ K(, ) y( ) d+ f( ),, [,, или в операторной форме y = λ By+ f, называется уравнением Вольтерра -го рода Пусть

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

Локальная теорема Коши Пикара.

Локальная теорема Коши Пикара. Локальная теорема Коши Пикара. Теорема (о существовании и единственности локального решения). Пусть дана задача Коши x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0, (1) где правая часть f(t, x) определена и непрерывна в прямоугольнике

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды S 3. Определение и элементарные свойства максимальных монотонных операторов Всюду на протяжении этих двух лекций символом H обозначено гильбертово пространство со скалярным

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 Простейший случай теоремы Пикара. S 5. Простейший случай теоремы Пикара: автономное уравнение с глобально липшицевой правой частью

ЛЕКЦИЯ 2 Простейший случай теоремы Пикара. S 5. Простейший случай теоремы Пикара: автономное уравнение с глобально липшицевой правой частью ЛЕКЦИЯ 2 Простейший случай теоремы Пикара S 5. Простейший случай теоремы Пикара: автономное уравнение с глобально липшицевой правой частью Теорема 1. Пусть B банахово пространство с нормой.. Пусть функция

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

1 Принцип сжимающих отображений 2

1 Принцип сжимающих отображений 2 Содержание 1 Принцип сжимающих отображений Применения принципа сжимающих отображений для решения линейных интегральных уравнений -го рода 3.1 Уравнения Фредгольма.................................. 3. Уравнения

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Уравнения первого порядка

Уравнения первого порядка Глава 1. Введение Лекция 1 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. 2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл. 3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных

Подробнее

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1)

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1) 29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее