Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ И ТЕОРИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Методическое руководство для студентов вечернего отделения Составитель: Захаров Е. В. Москва PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

2 Оглавление. Введение в терминологию теории систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Линейные действия над матрицами и их свойства.. Произведение матриц и их свойства. Определители -го и -го порядка и их свойства...7. Необходимое и достаточное условие равенства определителя нулю Минор и алгебраическое дополнение. Вычисление определителей. 8. Формулы Крамера. Критерий единственности решения СЛУ.. 9. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы 7. Решение СЛУ с помощью обратной матрицы..9. Применение методов решения систем линейных уравнений... Однородная система линейных уравнений и ее решения..... Матричные уравнения вида X B... Примеры для самостоятельного решения. Приложение 8 Литература 9 PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

3 . Введение в терминологию теории систем линейных уравнений Определение Системой линейных уравнений (СЛУ) с тремя неизвестными называется выражение вида: где,, - неизвестные переменные, ij,(i,,, j,,) - постоянные коэффициенты при неизвестных,, i,(i,,) - свободные члены уравнений, i - индекс, указывающий номер уравнения, j - индекс, указывающий номер неизвестной в уравнении. Определение Решением СЛУ тремя неизвестными называется упорядоченная тройка чисел (,, ), удовлетворяющая всем уравнениям системы. Т.е., упорядоченный набор чисел (,, ) называется решением СЛУ, если он обращает в тождества все уравнения системы при подстановке в них,,. Пример. Для СЛУ 8 тройка чисел (,,) является решением. PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

4 Определение СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; в противном случае, если решений нет, СЛУ называется несовместной. В примере показана совместная система. СЛУ может иметь бесконечно много решений. Пример. Легко проверить что, СЛУ имеет бесконечно много решений. 9 Действительно, бесконечно много упорядоченных троек чисел удовлетворяет ей, например: (,,), (,,), (,,), и т.д. Эти решения получены из общей записи решения СЛУ: (, ) Решение (,,) получается из общего решения, если параметр. Решение (,,) - при. Решение (,,) - при, и т.д. Определение Совместная СЛУ называется определенной, если она имеет единственное решение; и - неопределенной, если решений бесконечно много. В примере показана совместная неопределенная СЛУ. PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

5 Пример. Легко проверить, что для СЛУ 9 не существует ни одного упорядоченного набора чисел, который удовлетворял бы всем уравнениям системы одновременно. Действительно, умножая левую и правую части второго уравнения на, получим противоречивую систему, В данной системе первые два уравнения не могут одновременно выполняться ни при каких значениях переменных,,. В примерах и показаны совместные системы. В примере система несовместна. Определение Решить СЛУ это значит найти все ее решения, или доказать, что система решений не имеет.. Метод Гаусса Пример. Найдем решение системы двух линейных уравнений 8 методом последовательного исключения неизвестных. Исключение некоторой неизвестной в СЛУ происходит при сложении двух ее уравнений, у которых при данной неизвестной коэффициенты PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

6 отличаются только знаками. Поэтому для исключения первой переменной в данной системе необходимо первое уравнение умножить на ( ). Умножая первое уравнение на ( ), и складывая со вторым уравнением, исключаем первую переменную во втором уравнении, и т.д. 8 8 В ходе решения данной системы, выполнялись арифметические действия над уравнениями системы, которые сводились к арифметическим действиям над коэффициентами системы. При этом символы и, обозначающие неизвестные переменные, переносились и переписывались с новыми коэффициентами. Поэтому, с целью сокращения записи в ходе поиска решений СЛУ, целесообразно записывать только пересчитываемые коэффициенты системы. Определение Таблица, составленная из коэффициентов СЛУ при неизвестных называется матрицей системы. Пример. Матрицей рассматриваемой системы является таблица: (см. пример ). Определение 7 Матрица системы с приписанным к ней столбцом из свободных членов называется расширенной матрицей системы. PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

7 7 Пример. Расширенная матрица данной системы имеет вид: 8 (см. пример ). Запишем процесс нахождения решения системы 8 через расширенную матрицу. Первая строка умножается на ( ), складывается со второй строкой, и результат сложения записывается на позиции второй строки. Далее первая строка умножается на. 8 8 Получили, так называемую, ступенчатую матрицу у которой под главной диагональю содержатся только нулевые элементы. (Для матриц данного размера под главной диагональю только один элемент, который размещается во второй строке и первом столбце). На этом процесс преобразования над строками расширенной матрицы заканчивается. Далее записывается СЛУ, соответствующая полученной ступенчатой матрице (коэффициентами СЛУ являются элементы ступенчатой матрицы):. PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

8 Определение 8 Элементарными преобразованиями над уравнениями системы называются следующие процедуры: - перестановка местами двух уравнений системы; - умножение некоторого уравнения системы на константу; - сложение одного уравнения системы, умноженного на константу, с другим уравнением. Определение 9 Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если их решения совпадают, либо они обе - несовместны. Утверждение В результате элементарных преобразований над уравнениями СЛУ получается система, эквивалентная исходной. Определение Элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы СЛУ называются следующие процедуры: - перестановка местами двух строк; - умножение некоторой строки на константу; - сложение строки расширенной матрицы, умноженной на константу, с другой строкой. Утверждение Применение элементарных преобразований над строками расширенной матрицы СЛУ эквивалентно применению элементарных преобразований над уравнениями данной системы. 8 PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

9 Эффективным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. В основе метода лежит принцип последовательного исключения неизвестных, путем приведения расширенной матрицы СЛУ к ступенчатому виду с помощью выполнения последовательности элементарных преобразований над ее строками. Пример 7. Решить систему методом Гаусса шаг. Вторая строка получена как результат сложения первой строки расширенной матрицы, умноженной на ( ), со второй строкой (при этом исключается первая неизвестная во втором уравнении); шаг. Третья строка получена как результат сложения первой строки, умноженной на ( ), с третьей строкой (исключается первая неизвестная в третьем уравнении); шаг. Вторая строка получена путем умножения ее на ; шаг. Третья строка получена как результат сложения второй строки, умноженной на, с третьей строкой (исключается вторая неизвестная в третьем уравнении); шаг. Третья строка получена умножением ее на. 9 PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

10 Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду (под главной диагональю - нули). На этом процесс элементарных преобразований над строками расширенной матрицы заканчивается. Далее записываем СЛУ, соответствующую полученной ступенчатой матрице, и являющуюся эквивалентной исходной системе. 7 8 Ответ: (,,) решение единственное. Так как расширенная матрица приведена к треугольному ступенчатому виду, все переменные определяются однозначно, поэтому система имеет единственное решение. Пример 8. Решить систему методом Гаусса шаг. Вторая строка получена как результат сложения первой строки, умноженной на ( ), со второй строкой (исключаются первая и вторая неизвестные во втором уравнении); шаг. Третья строка получена как результат сложения первой строки, умноженной на ( ), с третьей строкой (исключаются первая и вторая неизвестная в третьем уравнении); шаг. Третья строка получена как результат сложения второй строки, умноженной на (-), с третьей строкой (исключается третья строка); PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

11 Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду (под главной диагональю - нули). На этом процесс элементарных преобразований над строками расширенной матрицы заканчивается. Далее записываем СЛУ, соответствующую полученной ступенчатой матрице, и являющуюся эквивалентной исходной системе. ëä Ответ:, ( ),. Расширенная матрица приведена к трапецевидному ступенчатому виду, поэтому система имеет бесконечно много решений. Каждому значению параметра соответствует некоторое частное решение. Например, значению параметра соответствует решение (,,). Пример 9. Решить систему методом Гаусса 9 9 шаг. Вторая строка получена как результат сложения первой строки, умноженной на ( ), со второй строкой. Полученной второй строке расширенной матрицы соответствует противоречивое выражение:, которое не выполняется ни при каких значениях неизвестных переменных, поэтому система не совместна (решений нет). PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

12 Исследование решений СЛУ с помощью метода Гаусса. Если расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над строками приводится к треугольному виду, тогда система имеет единственное решение.. Если расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над строками приводится к трапецевидному виду, тогда система имеет бесконечное множество решение.. Если, в ходе элементарных преобразований над строками расширенной матрицы, образуется строка вида: ( ),, тогда система решений не имеет.. Линейные действия над матрицами и их свойства Определение Числовой матрицей (матрицей) размера [ n m] будем называть прямоугольную таблицу чисел, содержащую n строк и m столбцов, и обозначать или [ n m]. Матрица [ n ], содержащая один столбец, называется столбцом. Матрица [ m], содержащая одну строку, называется строкой. Столбцы и строки будем обозначать как векторы -. Пример. Матрица [ ] содержит свои элементы в -х строках и -х столбцах. Обозначение: или ij, i,,, j,, ij - обозначение элемента матрицы, расположенного в i -й строке, и j -м столбце, (i,,, j,,); PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

13 i - индекс, указывающий номер строки; j - индекс, указывающий номер столбца. Линейными действиями над матрицами называются операции сложения матриц, и умножения матрицы на число. Определение При сложение матриц [ n m] и B [ n m] образуется матрица C [ m] n, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц [ n m] и B [ m] n. Обозначение суммы матриц: C B где [ m] j,,m. n, B [ m] ij n, C [ m] ij n ij, ij ij ij, i,,n, Пример Определение При умножении матрицы [ m] n на R λ образуется матрица B [ m] n, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы на λ. Обозначение произведения матрицы на число: B где [ m] n, B [ m] ij n ij, ij λ λ ij, i,,n, j,,m, λ R. Пример. 9 8 PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

14 Определение Линейной комбинацией столбцов называется выражение вида:,,..., n с коэффициентами,,.., n L n()... nn Пример. Столбец является линейной комбинацией столбцов и с коэффициентами,. линейно выражается через и :. Аналогично вводится понятие линейной комбинации матриц коэффициентами,,.., n : L n()... nn.,,...,n с Линейные свойства матриц: Пусть [ m] n тогда:, B [ m] ij n ij, i,,n, j,,m,. B B (коммутативность).( B) C (B C) (ассоциативность).λ ( B) λ λ B (дистрибутивность).(λ µ ) λ µ (дистрибутивность) λ R, µ R,.(λ µ )λ ( µ ) (ассоциативность) PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

15 . Произведение матриц и их свойства Определение Произведением матриц [ n m] и B [ m ] называется матрица C [ ] элементы которой определяются по формуле: Обозначение : C B, C [ ] m ij iq qj, ( i,,n, j,, ). q n ij. n, Пример. Пусть [ n m], B [ ] m q q q m q q q m q q q m. Найти C B. m m, m m, m m, и т.д. Матрицы и B можно перемножить, если число столбцов матрицы (т.е. длина строки матрицы ) равно числу строк матрицы B (т.е. длине столбца матрицы B ). Количество строк матрицы C ( где C B ) определяется количеством строк матрицы, а количество столбцов количеством столбцов матрицы B. Пример PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

16 Свойства произведения матриц:. ( )C B ( BC) (ассоциативность). ( B)C C B C (дистрибутивность) В общем случае произведение матриц не коммутативно, т.е. B B. Если B B, тогда матрицы и B называются перестановочными. Пример. Умножим матрицу на столбец X Матричной записью системы линейных уравнений называется выражение вида: где: - матрица системы;, или кратко: X B, PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

17 X - столбец неизвестных; B - столбец свободных членов.. Определители -го и -го порядка и их свойства Определение Выражение вида, где которое вычисляется по формуле ij R, i,, j,,, называется определителем второго порядка матрицы. Пример 7. Вычислить определитель:. Определение 7 Выражение вида, где которое вычисляется по формуле ij R, i,,, j,,, - - -, 7 PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

18 называется определителем третьего порядка матрицы В алгебраическую сумму, определяющую определитель третьего порядка, со знаком плюс входят произведения следующих элементов:. со знаком минус:. de - обозначение определителя (детерминанта) матрицы. Свойства определителей разберем на примере определителей -го и -го порядка.. Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании T de de, где, T T - обозначение транспонированной матрицы. Транспонирование это процедура, связанная с заменой строк матрицы на столбцы 8 PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

19 Из первого свойства следует, что любое свойство, сформулированное для строк определителя, справедливо и для столбцов, и - наоборот.. Знак определителя изменится на противоположный, если поменять местами два столбца (строки) ) (. Определитель равен нулю, если содержит нулевой столбец (строку). Определитель равен нулю, если содержит два одинаковые столбца (строки). Кооэффициент, на который умножены все элементы некоторого столбца (строки) можно выносить за определитель, как множитель. ) ( Пример PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

20 . Определитель равен нулю, если содержит пропорциональные столбцы (строки) (см. свойство ) 7. Если в определителе каждый элемент некоторого i-го столбца представлен суммой двух слагаемых, тогда данный определитель может быть представлен суммой двух определителей того же порядка. Столбцы полученных определителей, кроме i-го столбца, совпадают со столбцами исходного определителя. i-й столбец первого полученного определителя состоит соответственно из первых слагаемых в суммах, которыми представлены соответствующие элементы i-го столбца исходного определителя. i-й столбец второго полученного определителя состоит соответственно из вторых слагаемых в суммах, которыми представлены соответствующие элементы i-го столбца исходного определителя. ( ( ( В силу свойства, данное свойство справедливо и для строк. ) ) ) Утверждение Определитель не изменится, если к одному из его столбцов прибавить другой его столбец, умноженный на константу (см.свойства 7,). В силу свойства, данное утверждение справедливо и для строк. 8. Определитель равен нулю, если один из его столбцов (строк) представляет собой линейную комбинацию некоторых других столбцов (строк). PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

21 Рассмотрим определитель ) ( ) ( ) ( ; у которого третий столбец представляет собой линейную комбинацию первого и второго столбцов с коэффициентами и : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (см.свойства 7,). Необходимое и достаточное условие равенства определителя нулю Определение 8 Система столбцов называется линейно зависимой, если один из столбцов может быть представлен в виде линейной комбинации других столбцов. Пример 9. Система столбцов,, линейно зависима т.к. столбец линейно выражается через столбцы, : PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

22 Утверждение. (Необходимое и достаточное условие равенства определителя нулю). Для равенства определителя нулю необходимо и достаточно, чтобы его столбцы (строки) были линейно зависимыми. Пример ) ( ) ( ) ( Третий столбец данного определителя представляет линейную комбинацию первого и второго столбцов с коэффициентами и. Поэтому столбцы данного определителя линейно зависимы (выполнено необходимое и достаточное условие равенства определителя нулю). Пример. Исследование системы столбцов,, на линейную зависимость с помощью определителя Определитель равен нулю, следовательно столбцы линейно зависимы. PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

23 7. Минор и алгебраическое дополнение. Вычисление определителей Определение 9 Минором M ij элемента ij определителя называется определитель, который получается из исходного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых данный элемент расположен. Пример. Минор элемента : M Определение Алгебраическим дополнением ij элемента ij определителя называется выражение вида: ij i j ( ) M ij, где M ij минор элемента ij. Пример. Алгебраическое дополнение элемента : ) ( M ( ) Утверждение. (Вычисление определителя) Вычисление определителя может осуществляться путем разложения его по любой строке (столбцу) следующим образом, PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

24 по строке: i i i i i i, (i,,); по столбцу: j j j j j j, ( j,,). Пример. Разложение определителя по первой строке ( ) M ( ) M ( ) M ; ; ; ;. Пример. Вычисление определителя путем разложения по первой строке ; PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

25 Аналогично данный определитель можно разложить по любой другой строке (столбцу). Пример. Определитель ступенчатой матрицы. Утверждение Определитель ступенчатой матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Пример 7. Вычисление определителя путем приведения его к ступенчатому виду В силу свойства, имеем: 8 8 ; 9 Определитель не изменится, если к одной из его строк прибавить другую строку, умноженную на константу (см. утверждение ), поэтому: ( ) ; ; PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

26 ; ; 8. Формулы Крамера (рассматривается случай ) (СЛУ) - определитель системы Если определитель СЛУ отличен от нуля, тогда решение системы определяется однозначно по формулам Крамера:,, ( ) где:,, Пример 8. Решить СЛУ с помощью формул Крамера 8 PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

27 ( ) ( ) ( 8 8) Определитель системы отличен от нуля, следовательно - решение однозначно определяется по формулам Крамера: 8 8, ; 8 8, ; 8 8 9, 9. Утверждение 7. (Критерий единственности решения СЛУ). Для того, чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был отличен от нуля. 9. Обратная матрица Определение Матрица называется обратной матрице, если где E E - единичная матрица. Единичная матрица в матричной алгебре играет роль единицы: E E, где квадратная матрица. 7 PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

28 Вычисление обратной матрицы где - определитель матрицы ij - алгебраические дополнения элементов ij Пример 9. Вычислить матрицу, обратную матрице ; ( ) M ; ( ) M 8; ( ) M ; ( ) M ; ( ) M ; ( ) M ; ( ) M ; ( ) M ; ( ) M ; 8 PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

29 9 8 Проверка Утверждение 8. (Критерий существования обратной матрицы) Для существования необходимо и достаточно, чтобы de.. Решение СЛУ с помощью обратной матрицы СЛУ может быть представлена в виде X B (см. пример ) где матрица системы X столбец неизвестных B столбец свободных членов. X B X B E X B X B PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

30 Пример. Решить СЛУ с помощью обратной матрицы 8 Матричный вид системы: где, X, B 8, (см. пример 9) тогда X B 8. Ответ: (,,). PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

31 . Применение методов решения систем линейных уравнений С Л У De Рекомендуемые методы решения: -метод Гаусса -правило Крамера -с помощью обратной матрицы De Рекомендуемые методы решения: -метод Гаусса Совместные определенные системы Решение единственное Совместные неопределенные системы Решений бесконечно много Несовместные системы Решений нет Замечания: ).Если, или или, тогда решений нет, так как формулы Крамера приводят к противоречивым выражениям, которые не выполняются ни при каких значениях неизвестных: ).Если,,., тогда имеет место неопределенность, т.е. система может иметь бесконечно много решений, или быть несовместной. PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

32 . Однородная система линейных уравнений и ее решения Определение Система линейных уравнений у которой столбец свободных членов - нулевой, называется однородной. Однородная СЛУ (ОСЛУ) всегда совместна, так как нулевое решение (,,) ей всегда удовлетворяет. Поэтому, если однородная СЛУ имеет единственное решение, тогда оно - нулевое, так как для данного вида систем нулевое решение всегда имеет место. Однородная СЛУ имеет ненулевые решения, если решений бесконечно много. Утверждение 9. (Критерий существования ненулевых решений ОСЛУ). Для того, чтобы однородная СЛУ имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю. Однородные СЛУ всегда совместны De Решение единственное нулевое (,, ) De Решений бесконечно много Метод решения: - метод Гаусса PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

33 Пример. Решить однородную СЛУ Определитель однородной системы отличен от нуля, следовательно решение единственное нулевое. Ответ: (,,). Пример. Решить однородную СЛУ Определитель однородной системы равен нулю, следовательно - решений бесконечно много. Общее решение ищем с помощью метода Гаусса Далее записываем систему, соответствующую полученной ступенчатой матрице, и являющуюся эквивалентной исходной. PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

34 > > ëä, R. Матричные уравнения вида X B Определение Матричным уравнением называется выражение вида или в краткой записи: X B, где: B X, B заданные матрицы, de, X неизвестная матрица, которую надо найти. Под решением матричного уравнения будем понимать матрицу X, которая обращает матричное уравнение в тождество. Искать решение матричного уравнения будем с помощью обратной матрицы X B X B EX B X B Пример. Решить матричное уравнение PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

35 Искать решение будем по формуле: X B где: B X (см. пример 9) Ответ: PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

36 . Примеры для самостоятельного решения.. Решить системы линейных уравнений ) ; ) 7 ; ) ) ; Ответ: ( ), ) ; Ответ: ( ),, ) ; Ответ: ( ), 7) 7 ; Ответ: ( ), 8) ; Ответ: ( ), 9) ; Ответ: Решений нет ) ; Ответ: ( ), PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

37 7 ) ; Ответ: ( ), 9 ) ; Ответ: ( ),.. Проверить с помощью определителя линейную зависимость следующих систем столбцов ),, ),,.. Решить матричное уравнение PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

38 . Приложение.. Вывод формул Крамера для СЛУ с тремя переменными Пусть de, где: ; ; ; ;, тогда ; ; ( ) ( ) ( ) 8 PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://

39 ( ), где: ( ), где: ( ), где: Литература. Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М., Наука, Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, М., Наука, Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, М., "Наука", 98.. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, М., Высшая школа, 98, ч... Сборник задач по курсу высшей математики. Под ред. Г.И. Кручковича, М., Высшая школа, PDF reed wih FinePrin pdffor ril version hp://


РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ЛЕКЦИЯ. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ) коэффициенты которого составляют квадратную матрицу второго порядка

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ Протасеня Александр Анатольевич Рогожина Регина Григорьевна Ветохина Валентина Евгеньевна

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

1 Системы линейных уравнений

1 Системы линейных уравнений 1 Системы линейных уравнений Рассмотрим систему линейных уравнений a x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2.............................. a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Матрицы и действия над ними Определение матрицы

Матрицы и действия над ними Определение матрицы Матрицы и действия над ними ы Матрицей размера называется прямоугольная таблица элементов некоторого множества (например чисел или функций) имеющая строк и столбцов Элементы из которых составлена а называются

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее