ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

Транскрипт

1 ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций может привести к нескольким дифференциальным уравнениям, образующим систему Совокупность уравнений F (,, ) = 0, F (,, ) = 0, () F (,, ) = 0, где независимая переменная, y, y неизвестные функции от, а F, F, KF известные функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка Если система () допускает возможность разрешения относительно производных, то получаем систему d = f( = f( () d = f ( которая называется нормальной системой дифференциальных уравнений Число уравнений системы называется ее порядком Решением системы () или () называется такая система функций y ( ), y ( y ( ), которая при подстановке в систему, будет обращать каждое уравнение системы в тождество или При = система () состоит из одного уравнения = f ( y) y = f ( y), которое в плоскости XOY определяет поле 60

2 направлений Решение y = ϕ() этого уравнения геометрически представляет собой некоторую кривую (интегральную кривую) в плоскости XOY При = система () состоит из двух уравнений: d = f( y = f ( y ) Решение этой системы = ϕ ( y = ϕ ( ) можно рассматривать как параметрические уравнения кривой в пространстве трех измерений Обобщая геометрическую терминологию, будем считать, что решение = ϕ ( y = ϕ ( K, = ϕ ( ) (3) системы () представляет собой интегральную кривую, лежащую в ( +) -мерном пространстве переменных, Поставим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений (): по заданным уравнениям и начальным значениям M 0 ( 0, 0, y0, 0 ) найти решение системы, удовлетворяющее начальным условиям y ( 0) = 0, y ( 0) = y0, K, ( 0 ) = 0 (4) Условия, при которых эта задача имеет решение, сформулированы в теореме Коши Теорема (Коши) Если в некоторой области D ( + ) - мерного пространства функции fi ( ) в системе () непрерывны и имеют непрерывные частные производные по y, y K, y, то для любой точки M 0 ( 0, 0, y0, 0 ) области D существует единственное решение = ϕ( y = ϕ (, = ϕ ( ) системы ( определенное в некоторой окрестности точки 0 и удовлетворяющее начальным условиям: y ) = y, y ( ) = y, K, y ( = y ( ) 0 Из теоремы Коши следует, что в области D система () имеет бесчисленное множество решений Действительно, меняя в некоторых пределах 0, y0, 0, для каждой системы чисел 0, 0, y0, 0 получим свое решение системы (при фиксированном = 0 ): y = ϕ, y, y y = ϕ (, y, y y = ϕ (, y, y ) (

3 Совокупность функций = ϕ ( C, C y = ϕ ( C, C = ϕ ( C, C ), (5) зависящих от и произвольных постоянных C, C, C, будем называть общим решением системы ( если ) при любых допустимых значениях констант C, C C они будут определять решение системы (); ) по заданным начальным условиям (4) можно однозначно определить постоянные C, C C из уравнений ϕ( 0, C, C ) = 0, ϕ ( 0, C, C ) = y0, ϕ ( 0, C, C ) = 0 (6) Решения, получающиеся из общего решения при конкретных значениях постоянных C, C C, будем называть частными решениями нормальной системы () Для нахождения частного решения, проходящего через заданную точку M 0 ( 0, 0, y0, 0 ), достаточно разрешить систему (6) относительно C, C, C и подставить найденные значения в общее решение (5) системы Если правые части системы () не зависят от независимой переменной, те система имеет вид d = f( = f ( d = f ( то ее называют автономной (стационарной) (7) Нормальные системы и дифференциальные уравнения высших порядков Всякое дифференциальное уравнение -го порядка, разрешенное ( ) ( ) относительно старшей производной y = f ( y, y, y ) может быть заменено эквивалентной ему нормальной системой из дифференциальных уравнений Действительно, обозначим ( ) y = z, y = z, y = z, K y = z 3, 6

4 Тогда dz dz ( ) dz ( ) dz y = = z, y = = z3, K, y = = z, y = = f ( z, Kz те получили нормальную систему dz dz dz dz = z, = z3, K K = z, = f ( z, z, z ), эквивалентную заданному уравнению Покажем, что возможно и обратное Пусть дана нормальная система i = fi ( K, ( i =, ) Дифференцируем по обе части первого уравнения системы: d f f d f d = + + K + Заменим,,, K их выражениями через, y из системы d f f f и получим = + f + K + f y y d или, короче, = f( y ) Дифференцируем теперь это уравнение по и, используя уравнения нормальной системы, получаем: 3 d = f3( y ) 3 и тд Таким образом, получим систему уравнений d = f( d = f( y (8) KKKKKKKKKKK d = f (,,,, ) y K Из первых ( ) уравнений находим y, y3,, y, которые будут выражаться через K ( ), d d d,,,, ( ) K : 63

5 ( ) y = ϕ (,, ( ) y3 = ϕ3(,, (9) ( ) = ϕ (,, ) Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы (8 приходим к дифференциальному уравнению -го порядка d ( ) относительно переменной y : = F(,, K, решая которое, найдем = ψ( C, C, C ) Дифференцируем найденную функцию y ( ) раз и, подставляя ее производные в (9 получаем искомое решение нормальной системы дифференциальных уравнений: = ψ( C, C, C y = ψ ( C, C, C KKKKKKKKKK y = ψ ( C, C, C ) Таким образом, интегрирование нормальной системы сводится к интегрированию одного уравнения -го порядка Этот метод является одним из основных методов интегрирования нормальных систем и называется методом исключения ПРИМЕР Найти общее решение системы путем сведения ее к одному уравнению (методом исключения) d = si = cos y Найти решение, удовлетворяющее начальным условиям y 0) = 0, y (0) = 3 ( РЕШЕНИЕ Дифференцируя по первое уравнение, будем иметь: d d = cos Подставляя сюда выражения и, из уравнений системы и d получаем = cos ( si y ) ( cos + 4y + y ) 64

6 d или = si Интегрируя дважды, получаем общее решение последнего уравнения: d = si = cos + C, y = (cos + C ) = si + C + C Теперь из первого уравнения системы найдем y : d y = si = si ( si + C + C ) ( cos + C ) = = si cos C ( + ) C = 3si cos C ( C + 3 C Таким образом, общее решение системы имеет вид: = si + C + C, y = 3si cos C ( C + C ) Подберем постоянные C и C так, чтобы удовлетворялись начальные условия Тогда из общего решения системы будем иметь 0 = C, C =, C = 0 3 = C, Следовательно, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид = si + y = 3si cos ) 3 Векторная форма записи нормальной системы Нормальную систему () можно записать в векторной форме Пусть y вектор, координатами которого являются неизвестные функции y, y, K, y, те y = ( y, y, y а вектор f ( y) = ( f, f, f ) вектор, координатами которого являются функции f, f, f правые части уравнений системы () Определим производную от вектора y как вектор с координатами d,,, K, те = d,,, K 65

7 Тогда нормальную систему () можно записать в следующей векторной форме: = f ( y) Решение этого векторного уравнения, соответствующего нормальной системе ( определяется как вектор y = y() с координатами ( y( ( ), обращающий векторное уравнение в тождество: f ( y( )) 4 Интегрирование нормальных систем путем нахождения интегрируемых комбинаций Пусть общее решение (5) нормальной системы () удалось разрешить относительно произвольных постоянных C = F ( C = F ( KKKKKKKKK C = F ( ) Тогда каждое из этих уравнений называется первым интегралом Их совокупность образует общий интеграл системы Те первые интегралы представляют собой конечные соотношения между искомыми функциями y, y и независимым переменным вида F( ) = C, обращающиеся в тождество при некотором значении C, если вместо y, y, y подставить решение нормальной системы ( y ( y () Интегрирование нормальных систем () нередко можно осуществить путем подбора так называемых интегрируемых комбинаций Интегрируемая комбинация дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений нормальной системы, например, уравнение вида dφ(, K, ) = 0 Интегрирование этого уравнения дает возможность получить одно конечное уравнение (первый интеграл) Φ ( y, y, K, = C ) 66

8 При фиксированном C первый интеграл можно интерпретировать как -мерную поверхность в ( +) -мерном пространстве с координатами, y, обладающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая общую точку с этой поверхностью, целиком лежит на ней При переменном C будем иметь семейство непересекающихся поверхностей, обладающих тем же свойством Если найдено k интегрируемых комбинаций, то получим k первых интегралов: Φ( ) = C, Φ ( ) = C, KKKKKKKKK Φ k ( ) = C k ( Φ, Φ, Φk ) При этом, если хотя бы один определитель 0 по ( y, y, y ) каким-нибудь k функциям y, y, y, то эти k первые i интегралы линейно независимы Из этой системы k первых интегралов можно выразить k неизвестных функций через остальные ( k) функции Подставим найденные функции в нормальную систему и получим систему с меньшим числом переменных А если = k, и все первые интегралы линейно независимы, то все неизвестные функции можно найти из системы первых интегралов ПРИМЕР Решить системы методом интегрируемых комбинаций: ) d d = y y3, = y y3, = 3 y 3y3, ) = + y + y3, 3 = + y + y3; 3 = y3 РЕШЕНИЕ ) Почленно сложим второе и третье уравнения, вычтем первое и получим = ( y y3 ) + (3 y 3y3 ) + ( + y + y 3 i i k i i i k 67

9 или d ( + y + y3 ) = 0 Отсюда y + y + y3 = C первый интеграл системы Этот интеграл позволяет выразить одну из неизвестных функций через две другие, например y3 = C + y Подставим y 3 в первые два уравнения системы и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными и y : d d = y ( C + y = C, = 3 y 3( C + y = y 3C Каждое из уравнений этой системы есть линейное уравнение первого порядка Решая их, находим: y C C e = +, y C C e = Подставим найденные и в первый интеграл и найдем y : y y 3 = ( e e e C 3 C + C + C ) (3C + C3 ) = ( C C3) Таким образом, y y y = C + Ce, = 3C + C3e, = e ( C C ) C 3 общее решение искомой системы ) Умножим второе уравнение на и почленно сложим с первым и третьим уравнением: = d 0 или ( + y + y3) = 0 Отсюда получим первый интеграл системы: y + y + y3 = C Из этого выражения выразим одну из неизвестных функций, например y3 = C y и подставим ее в первые два уравнения системы: d d = y ( C y = C, = + + ( y C y = y + C 68

10 Первое уравнение представляет собой линейное неоднородное уравнение первого порядка относительно y Решая его, находим: C = Ce + Подставим во второе уравнение последней системы и получим y C = + Ce y + C, + y C e = линейное уравнение первого порядка Решая его, получим y = Ce + C3e 3 C Тогда y3 = + Ce C3e 3 Таким образом получили, что общее решение искомой системы имеет вид C = + Ce, y = Ce + C3e, 3 C y = + 3 Ce C3e 3 5 Механическое толкование нормальной системы Обозначим независимую переменную через t и рассмотрим систему трех уравнений: = f( t, z dt = f ( t, z dt dz = f3( t, z) dt (0) с решениями = ( t y = y( t z = z( () 69

11 Будем рассматривать t как время, а, z как координаты движущейся частицы Тогда () есть уравнение траектории, записанной в параметрической форме, и определяет закон движения dz частицы; производные,, есть координаты вектора скорости dt dt dt движущейся частицы Систему (0) называют динамической, пространство XYZ фазовым, а решения () системы движениями Итак, задать систему (0) значит задать в пространстве XYZ в каждый момент времени t компоненты векторов скорости движущихся частиц, те задать в каждый момент времени t поле скоростей Решить для системы (0) задачу Коши с начальными данными t0, 0, y0, z0 значит найти закон движения той частицы, которая в момент времени t 0 находилась в точке ( 0, y0, z0) Если правая часть системы (0) явно от t не зависит, те = f( z dt = f( z dt dz = f3( z dt то в любой момент времени направление скорости в данной точке будет одинаковым Такое движение частиц называется стационарным (автономным) Если при этом функции f, f, f3 удовлетворяют условиям теоремы Коши, то через каждую точку ( 0, y0, z0) фазового пространства проходит только одна траектория, так как в любой момент времени в этой точке вектор скорости имеет одну и ту же величину и направление Если существует точка ( a, b, c) такая, что f ( t, a, b, c) 0, f( t, a, b, c) 0, f3( t, a, b, c) 0 при всех t или при t t 0, то система (0) определяет движение a, y b, z c Такое движение называется состоянием покоя Траекторией этого движения будет точка ( a, b, c) точка покоя, или точка равновесия Решение динамической системы (0) ( t y( t z(, определяемое начальными условиями ( t 0 ) = 0, y ( t 0 ) = y 0, z ( t 0 ) = z 0, называется устойчивым (устойчивым по Ляпунову если при малом изменении начального положения мало изменяется движение 70

12 Точнее, для любого сколь угодно малого ε > 0, можно подобрать такое δ, что решение системы (0) ( t y( t z(, определяемое начальными условиями 0, y0, z0 такими, что 0 0 < δ, y0 y0 < δ, z0 z0 < δ, будет для всех t t 0 удовлетворять неравенствам ( ( < ε, y( y( < ε, z( z( < ε Устойчивое решение называется асимптотически устойчивым, если при 0 0 < σ, y0 y0 < σ, z0 z0 < σ ( σ δ и при t ( ( 0, y( y( 0, z( z( 0 7