ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения
|
|
- Ирина Карташевская
- 4 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций может привести к нескольким дифференциальным уравнениям, образующим систему Совокупность уравнений F (,, ) = 0, F (,, ) = 0, () F (,, ) = 0, где независимая переменная, y, y неизвестные функции от, а F, F, KF известные функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка Если система () допускает возможность разрешения относительно производных, то получаем систему d = f( = f( () d = f ( которая называется нормальной системой дифференциальных уравнений Число уравнений системы называется ее порядком Решением системы () или () называется такая система функций y ( ), y ( y ( ), которая при подстановке в систему, будет обращать каждое уравнение системы в тождество или При = система () состоит из одного уравнения = f ( y) y = f ( y), которое в плоскости XOY определяет поле 60
2 направлений Решение y = ϕ() этого уравнения геометрически представляет собой некоторую кривую (интегральную кривую) в плоскости XOY При = система () состоит из двух уравнений: d = f( y = f ( y ) Решение этой системы = ϕ ( y = ϕ ( ) можно рассматривать как параметрические уравнения кривой в пространстве трех измерений Обобщая геометрическую терминологию, будем считать, что решение = ϕ ( y = ϕ ( K, = ϕ ( ) (3) системы () представляет собой интегральную кривую, лежащую в ( +) -мерном пространстве переменных, Поставим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений (): по заданным уравнениям и начальным значениям M 0 ( 0, 0, y0, 0 ) найти решение системы, удовлетворяющее начальным условиям y ( 0) = 0, y ( 0) = y0, K, ( 0 ) = 0 (4) Условия, при которых эта задача имеет решение, сформулированы в теореме Коши Теорема (Коши) Если в некоторой области D ( + ) - мерного пространства функции fi ( ) в системе () непрерывны и имеют непрерывные частные производные по y, y K, y, то для любой точки M 0 ( 0, 0, y0, 0 ) области D существует единственное решение = ϕ( y = ϕ (, = ϕ ( ) системы ( определенное в некоторой окрестности точки 0 и удовлетворяющее начальным условиям: y ) = y, y ( ) = y, K, y ( = y ( ) 0 Из теоремы Коши следует, что в области D система () имеет бесчисленное множество решений Действительно, меняя в некоторых пределах 0, y0, 0, для каждой системы чисел 0, 0, y0, 0 получим свое решение системы (при фиксированном = 0 ): y = ϕ, y, y y = ϕ (, y, y y = ϕ (, y, y ) (
3 Совокупность функций = ϕ ( C, C y = ϕ ( C, C = ϕ ( C, C ), (5) зависящих от и произвольных постоянных C, C, C, будем называть общим решением системы ( если ) при любых допустимых значениях констант C, C C они будут определять решение системы (); ) по заданным начальным условиям (4) можно однозначно определить постоянные C, C C из уравнений ϕ( 0, C, C ) = 0, ϕ ( 0, C, C ) = y0, ϕ ( 0, C, C ) = 0 (6) Решения, получающиеся из общего решения при конкретных значениях постоянных C, C C, будем называть частными решениями нормальной системы () Для нахождения частного решения, проходящего через заданную точку M 0 ( 0, 0, y0, 0 ), достаточно разрешить систему (6) относительно C, C, C и подставить найденные значения в общее решение (5) системы Если правые части системы () не зависят от независимой переменной, те система имеет вид d = f( = f ( d = f ( то ее называют автономной (стационарной) (7) Нормальные системы и дифференциальные уравнения высших порядков Всякое дифференциальное уравнение -го порядка, разрешенное ( ) ( ) относительно старшей производной y = f ( y, y, y ) может быть заменено эквивалентной ему нормальной системой из дифференциальных уравнений Действительно, обозначим ( ) y = z, y = z, y = z, K y = z 3, 6
4 Тогда dz dz ( ) dz ( ) dz y = = z, y = = z3, K, y = = z, y = = f ( z, Kz те получили нормальную систему dz dz dz dz = z, = z3, K K = z, = f ( z, z, z ), эквивалентную заданному уравнению Покажем, что возможно и обратное Пусть дана нормальная система i = fi ( K, ( i =, ) Дифференцируем по обе части первого уравнения системы: d f f d f d = + + K + Заменим,,, K их выражениями через, y из системы d f f f и получим = + f + K + f y y d или, короче, = f( y ) Дифференцируем теперь это уравнение по и, используя уравнения нормальной системы, получаем: 3 d = f3( y ) 3 и тд Таким образом, получим систему уравнений d = f( d = f( y (8) KKKKKKKKKKK d = f (,,,, ) y K Из первых ( ) уравнений находим y, y3,, y, которые будут выражаться через K ( ), d d d,,,, ( ) K : 63
5 ( ) y = ϕ (,, ( ) y3 = ϕ3(,, (9) ( ) = ϕ (,, ) Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы (8 приходим к дифференциальному уравнению -го порядка d ( ) относительно переменной y : = F(,, K, решая которое, найдем = ψ( C, C, C ) Дифференцируем найденную функцию y ( ) раз и, подставляя ее производные в (9 получаем искомое решение нормальной системы дифференциальных уравнений: = ψ( C, C, C y = ψ ( C, C, C KKKKKKKKKK y = ψ ( C, C, C ) Таким образом, интегрирование нормальной системы сводится к интегрированию одного уравнения -го порядка Этот метод является одним из основных методов интегрирования нормальных систем и называется методом исключения ПРИМЕР Найти общее решение системы путем сведения ее к одному уравнению (методом исключения) d = si = cos y Найти решение, удовлетворяющее начальным условиям y 0) = 0, y (0) = 3 ( РЕШЕНИЕ Дифференцируя по первое уравнение, будем иметь: d d = cos Подставляя сюда выражения и, из уравнений системы и d получаем = cos ( si y ) ( cos + 4y + y ) 64
6 d или = si Интегрируя дважды, получаем общее решение последнего уравнения: d = si = cos + C, y = (cos + C ) = si + C + C Теперь из первого уравнения системы найдем y : d y = si = si ( si + C + C ) ( cos + C ) = = si cos C ( + ) C = 3si cos C ( C + 3 C Таким образом, общее решение системы имеет вид: = si + C + C, y = 3si cos C ( C + C ) Подберем постоянные C и C так, чтобы удовлетворялись начальные условия Тогда из общего решения системы будем иметь 0 = C, C =, C = 0 3 = C, Следовательно, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид = si + y = 3si cos ) 3 Векторная форма записи нормальной системы Нормальную систему () можно записать в векторной форме Пусть y вектор, координатами которого являются неизвестные функции y, y, K, y, те y = ( y, y, y а вектор f ( y) = ( f, f, f ) вектор, координатами которого являются функции f, f, f правые части уравнений системы () Определим производную от вектора y как вектор с координатами d,,, K, те = d,,, K 65
7 Тогда нормальную систему () можно записать в следующей векторной форме: = f ( y) Решение этого векторного уравнения, соответствующего нормальной системе ( определяется как вектор y = y() с координатами ( y( ( ), обращающий векторное уравнение в тождество: f ( y( )) 4 Интегрирование нормальных систем путем нахождения интегрируемых комбинаций Пусть общее решение (5) нормальной системы () удалось разрешить относительно произвольных постоянных C = F ( C = F ( KKKKKKKKK C = F ( ) Тогда каждое из этих уравнений называется первым интегралом Их совокупность образует общий интеграл системы Те первые интегралы представляют собой конечные соотношения между искомыми функциями y, y и независимым переменным вида F( ) = C, обращающиеся в тождество при некотором значении C, если вместо y, y, y подставить решение нормальной системы ( y ( y () Интегрирование нормальных систем () нередко можно осуществить путем подбора так называемых интегрируемых комбинаций Интегрируемая комбинация дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений нормальной системы, например, уравнение вида dφ(, K, ) = 0 Интегрирование этого уравнения дает возможность получить одно конечное уравнение (первый интеграл) Φ ( y, y, K, = C ) 66
8 При фиксированном C первый интеграл можно интерпретировать как -мерную поверхность в ( +) -мерном пространстве с координатами, y, обладающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая общую точку с этой поверхностью, целиком лежит на ней При переменном C будем иметь семейство непересекающихся поверхностей, обладающих тем же свойством Если найдено k интегрируемых комбинаций, то получим k первых интегралов: Φ( ) = C, Φ ( ) = C, KKKKKKKKK Φ k ( ) = C k ( Φ, Φ, Φk ) При этом, если хотя бы один определитель 0 по ( y, y, y ) каким-нибудь k функциям y, y, y, то эти k первые i интегралы линейно независимы Из этой системы k первых интегралов можно выразить k неизвестных функций через остальные ( k) функции Подставим найденные функции в нормальную систему и получим систему с меньшим числом переменных А если = k, и все первые интегралы линейно независимы, то все неизвестные функции можно найти из системы первых интегралов ПРИМЕР Решить системы методом интегрируемых комбинаций: ) d d = y y3, = y y3, = 3 y 3y3, ) = + y + y3, 3 = + y + y3; 3 = y3 РЕШЕНИЕ ) Почленно сложим второе и третье уравнения, вычтем первое и получим = ( y y3 ) + (3 y 3y3 ) + ( + y + y 3 i i k i i i k 67
9 или d ( + y + y3 ) = 0 Отсюда y + y + y3 = C первый интеграл системы Этот интеграл позволяет выразить одну из неизвестных функций через две другие, например y3 = C + y Подставим y 3 в первые два уравнения системы и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными и y : d d = y ( C + y = C, = 3 y 3( C + y = y 3C Каждое из уравнений этой системы есть линейное уравнение первого порядка Решая их, находим: y C C e = +, y C C e = Подставим найденные и в первый интеграл и найдем y : y y 3 = ( e e e C 3 C + C + C ) (3C + C3 ) = ( C C3) Таким образом, y y y = C + Ce, = 3C + C3e, = e ( C C ) C 3 общее решение искомой системы ) Умножим второе уравнение на и почленно сложим с первым и третьим уравнением: = d 0 или ( + y + y3) = 0 Отсюда получим первый интеграл системы: y + y + y3 = C Из этого выражения выразим одну из неизвестных функций, например y3 = C y и подставим ее в первые два уравнения системы: d d = y ( C y = C, = + + ( y C y = y + C 68
10 Первое уравнение представляет собой линейное неоднородное уравнение первого порядка относительно y Решая его, находим: C = Ce + Подставим во второе уравнение последней системы и получим y C = + Ce y + C, + y C e = линейное уравнение первого порядка Решая его, получим y = Ce + C3e 3 C Тогда y3 = + Ce C3e 3 Таким образом получили, что общее решение искомой системы имеет вид C = + Ce, y = Ce + C3e, 3 C y = + 3 Ce C3e 3 5 Механическое толкование нормальной системы Обозначим независимую переменную через t и рассмотрим систему трех уравнений: = f( t, z dt = f ( t, z dt dz = f3( t, z) dt (0) с решениями = ( t y = y( t z = z( () 69
11 Будем рассматривать t как время, а, z как координаты движущейся частицы Тогда () есть уравнение траектории, записанной в параметрической форме, и определяет закон движения dz частицы; производные,, есть координаты вектора скорости dt dt dt движущейся частицы Систему (0) называют динамической, пространство XYZ фазовым, а решения () системы движениями Итак, задать систему (0) значит задать в пространстве XYZ в каждый момент времени t компоненты векторов скорости движущихся частиц, те задать в каждый момент времени t поле скоростей Решить для системы (0) задачу Коши с начальными данными t0, 0, y0, z0 значит найти закон движения той частицы, которая в момент времени t 0 находилась в точке ( 0, y0, z0) Если правая часть системы (0) явно от t не зависит, те = f( z dt = f( z dt dz = f3( z dt то в любой момент времени направление скорости в данной точке будет одинаковым Такое движение частиц называется стационарным (автономным) Если при этом функции f, f, f3 удовлетворяют условиям теоремы Коши, то через каждую точку ( 0, y0, z0) фазового пространства проходит только одна траектория, так как в любой момент времени в этой точке вектор скорости имеет одну и ту же величину и направление Если существует точка ( a, b, c) такая, что f ( t, a, b, c) 0, f( t, a, b, c) 0, f3( t, a, b, c) 0 при всех t или при t t 0, то система (0) определяет движение a, y b, z c Такое движение называется состоянием покоя Траекторией этого движения будет точка ( a, b, c) точка покоя, или точка равновесия Решение динамической системы (0) ( t y( t z(, определяемое начальными условиями ( t 0 ) = 0, y ( t 0 ) = y 0, z ( t 0 ) = z 0, называется устойчивым (устойчивым по Ляпунову если при малом изменении начального положения мало изменяется движение 70
12 Точнее, для любого сколь угодно малого ε > 0, можно подобрать такое δ, что решение системы (0) ( t y( t z(, определяемое начальными условиями 0, y0, z0 такими, что 0 0 < δ, y0 y0 < δ, z0 z0 < δ, будет для всех t t 0 удовлетворять неравенствам ( ( < ε, y( y( < ε, z( z( < ε Устойчивое решение называется асимптотически устойчивым, если при 0 0 < σ, y0 y0 < σ, z0 z0 < σ ( σ δ и при t ( ( 0, y( y( 0, z( z( 0 7
Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений
Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем
Электронная библиотека
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям
22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка
Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов
удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.
Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным
, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)
II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются
Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0
. Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом
4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.
4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае
Системы дифференциальных уравнений
Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В
2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия
. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.
Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.
Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22
кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные
Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.
Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического
2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого
Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка
Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например
1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.
ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,
Дифференциальные уравнения
Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17
кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные
Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:
Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ
Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2
Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или
Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.
Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого
Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ
Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 5. Понятие устойчивости решения 1. Предварительные замечания
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
Первые интегралы систем ОДУ
Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1
ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения
Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции
Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.
Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной
Уравнения в частных производных первого порядка
Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных
ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения
Федеральное агентство по образованию
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского
10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается
28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.
8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,
Глава 6. Основы теории устойчивости
Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная
6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка
6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется
Лекция Дифференцирование сложной функции
Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема
В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина
Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов
1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1)
29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение
Гл. I. Основные понятия. Простейшие типы ДУ.
Лекция Гл I Основные понятия Простейшие типы ДУ Введение Термин aequatio differerialis или дифференциальные уравнения был введен Лейбницем (Leibiz) в 676 г для обозначения зависимости между дифференциалами
Глава 4. Системы линейных уравнений
Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица
Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)
1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.
Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие
Дифференциальные уравнения
~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых
3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :
Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Лекция 5. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо
Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка
Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными
Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)
44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )
Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t)
1 Кинематика точки Задачи (,, положительные постоянные, e, e, ez - орты осей X, Y и Z) 1 Материальная точка движется вдоль оси по закону: ( ) cos ω Найдите проекцию скорости V () Материальная точка движется
В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина
Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов
Лекция 13 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ
стр. Лекция 3 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ Если некоторое явление описывается системой ДУ dx dt i = f (t, x, x...x ), i =..nс начальными i n условиями x i (t 0 ) = x i0, i =..n, которые обычно являются
Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (
Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия
y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2
МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:
5. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения
УРАВНЕНИЯ НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения Уравнениями первого порядка неразрешенными относительно производной называются уравнения вида F ( x ) () Уравнение () можно решать следующими
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Лектор: Батяев Евгений Александрович
Лекция 13. Задачи оптимального управления
Лекция 13 Задачи оптимального управления 1 мая 014 Содержательная постановка задачи оптимального управления закон движения фазовой точки (самолета или объекта управления) и закон воздействия управления
1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных
Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной
Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования
Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения
Гл. 11. Дифференциальные уравнения.
Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков
Теория поверхностей в дифференциальной геометрии
Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием
Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического
МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8
Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА
Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА Физический факультет Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения Июль 215 1) Сформулируйте теорему существования решения задачи Коши
Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,
Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного
5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()
И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.
ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные
1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)
Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 1.1. Основные определения Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию y (
Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)
Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких
ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют
Уравнения в полных дифференциалах
[Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://elibrarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по
Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15
кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение
Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Семинар 8 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Функционалы ( ) ( ) зависящие от одной функции ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых
ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие
Уравнения первого порядка
Глава 1. Введение Лекция 1 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. 2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл. 3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. К. Дауылбаев
Сибирский математический журнал Январь февраль, 2. Том 41, 1 УДК 517.948 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. К. Дауылбаев Аннотация: Рассмотрено сингулярно
ЛЕКЦИЯ 23 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ О СОХРАНЕНИИ ФАЗОВОГО ОБЪЁМА. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ СВОБОДНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛЕКЦИЯ 23 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ О СОХРАНЕНИИ ФАЗОВОГО ОБЪЁМА. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ СВОБОДНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Продолжим изучать канонические преобразования. Сначала напомним основные
ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода.
ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. d A(P) T B.Интеграл по длине линии.... τ(p).свойства, вычисление криволинейного интеграла I рода.... P 3.Криволинейный интеграл по координатам....
Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt
Семинар 4 Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в
Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»
типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..
Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Лектор Рожкова С.В. 2013 г. Теория дифференциальных уравнений
ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных
1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.
ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической