Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР"

Транскрипт

1 Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры двух (парные) и 3 лиц. Участников игры принято называть игроками. Игра состоит из последовательности действий (ходов), среди которых могут быть как личные ходы, так и случайные. Выбор личных ходов основан на стратегии игрока. Определение 7.. Стратегия игрока это набор правил для определения варианта действий, используемых при выборе каждого личного хода. Результат ходов игроков оценивается платежными функциями участников игры, которые можно интерпретировать как их выигрыши. Если сумма выигрышей всех игроков равна нулю, то такую игру называют игрой с нулевой суммой. Определение 7.2. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры его средний выигрыш максимален. В дальнейшем будем считать, что игроки ведут себя разумно (без риска и азарта). В рамках данного пособия рассмотрим матричные игры. Определение 7.3. Матричная игра это парная игра, в которой заданы: {,, } множество стратегий первого игрока, {,, } множество стратегий второго игрока, и для любой пары стратегий {,, } и {,, } определен выигрыш первого игрока, равный a. Матрицу A = (a, =,,, =,, ) называют платежной. В разд. 7.2 будет введено понятие смешанной стратегии, поэтому, упомянутые выше стратегии, называют чистыми. В матричной игре целью первого игрока является максимизация своего выигрыша, а цель второго игрока минимизация выигрыша первого игрока. 67

2 7.. Принцип осторожности Предположим, что второй игрок знает все ходы первого игрока заранее. Тогда на каждый ход первого игрока =,, он отвечает лучшей стратегией (), для которой a,() a, =,,. Обозначим α = a,() = a, =,,. Тогда лучшей чистой стратегией (максиминной стратегией) первого игрока является стратегия, для которой α = ax a = α. С другой стороны, если предположить, что первый игрок отвечает на любую стратегию второго игрока своей лучшей стратегией (), то второй игрок стремится минимизировать величину β = a (), = ax a, =,,, что приводит к выбору стратегии β = ax a = β. Стратегию, определенную таким образом, называют минимаксной стратегией второго игрока. Стратегии и определяются игроками по принципу осторожности, так как каждый игрок при выборе хода учитывает самый плохой для себя вариант развития событий. Величина α называется нижней, а величина β верхней ценами игры. Если первый иг- рок придерживается принципа осторожности, то его выигрыш будет не менее α. Если второй игрок придерживается принципа осторожности, то выигрыш первого игрока не превысит величины β. Лемма 7.. (О максимине и минимаксе). Для любой функции f(x, y), x X, y Y справедливо неравенство ax f(x, y) ax f(x, y). x X y Y Доказательство. Пусть f(x, y) = f(x, y(x)), x X, и Тогда y Y y Y x X ax f(x, y(x)) = f(x, y(x )). x X 68

3 ax x X f(x, y) = f(x, y(x )) = y Y Из леммы 7. следует, что α = f(x, y) y Y y Y ax f(x, y). x X α β. Следовательно, случай β удовлетворяет обоих игроков, и выбор стратегий, на которых достигается равенство, является оптимальным (решением матричной игры в чистых стратегиях). Определение 7.4. Седловой точкой матрицы A называется пара номеров строка-столбец (, ), для которой справедливы неравенства: a a a, =,...,, =,, (т. е. элемент a является одновременно максимальным в столбце и минимальным в строке). Теорема 7.. Необходимым и достаточным условием равенства нижней и верхней цен игры является существование седловой точки в платежной матрице A. Доказательство. Докажем необходимость. Пусть α = β. По определению, α = ax a a β = ax a = ax a a. Следовательно, α a, β a. Из равенства α = β следует a ax a = a = a a. Значит, a a седловая точка. Покажем достаточность. Пусть (, ) седловая точка. Из определения седловой точки следует, что a =, a, для любых и и, следовательно, (, ) ax a ax a a a ax a. С другой стороны, по лемме 7. справедливо неравенство ax a ax a. Следовательно, α = ax a = ax a = β. 69

4 7.2. Решение матричных игр в смешанных стратегиях Очевидно, не всякая матрица имеет седловую точку. Что делать, если платежная матрица не имеет седловой точки? В этом случае при выборе любых чистых стратегий будет иметь место строгое неравенство α < β. Что считать решением матричной игры в этом случае? Для решения матричной игры в общем случае было введено понятие смешанных стратегий. Определение 7.5. Смешанная стратегия это вероятностное распределение на множестве чистых стратегий. Смешанные стратегии игроков определяются векторами: p = q = p = (p,, p ) P = {p : q = (q,, q ) Q = {q : =, p }, =, q }, где компонента p является вероятностью использования первым игроком чистой стратегии, а q вероятность использования вторым игроком чистой стратегии. Применение смешанных стратегий это чередование чистых стратегий согласно их вероятностям при многократном повторении игры. Для любой пары смешанных стратегий (p, q) определим платежную функцию как математическое ожидание величины выигрыша первого игрока: E(p, q) = a pq. = = Принцип осторожности в данном случае приводит к определению следующих характеристик: α(p) = E(p, q); α = ax E(p, q); q Q p P q Q β(q) = ax E(p, q); β = ax E(p, q), p P q Q где α нижняя, а β верхняя цены игры в смешанных стратегиях. Справедлива следующая теорема. p P 7

5 Теорема 7.2 (Фон Неймана). В любой матричной игре существует такая пара смешанных стратегий (p, q ), что: ) E(p, q ) E(p, q ) E(p, q), p P, q Q ; 2) α = β = ν = E(p, q ). Доказательство. Сформулируем задачи первого и второго игроков в виде задач линейного программирования. Заметим, что, добавив достаточно большое число ко всем элементам платежной матрицы, можно добиться положительности цены игры ν. Задача первого игрока α(p) ax. p P Имеем α(p) = E(p, q) E(p, q ) = a p, =,,, q Q (7.) где q p = (,,,,,, ). Обозначим u =, =,,. Следовательно, u. Разделив члены соотношений (7.) на α(p), полу- α( p) чим a u, =,,. Просуммировав u, получим = виде = u =. Тогда задачу первого игрока можно переписать в α( p) f(u) = = a u = u ; u (7.2), =,, ; (7.3) u, =,,. (7.4) Задача второго игрока: β(q). Введем переменные q Q v = q β (q). Тогда задачу можно переписать в виде 7

6 ϕ(v) = = = v ax ; (7.5) v a v, =,, ; (7.6) v, =,,. (7.7) Пусть u и v оптимальные решения двойственных задач (7.2) (7.4) и (7.5) (7.7). Значит, p = u и q f ( u ) = v ϕ( v ). Согласно принципу дополняющей нежесткости [6], справедливы равенства v ( a u ) =, =,,, = u ( a v ) =, =,,. = Просуммировав обе группы последних равенств по =,, и по =,, соответственно и разделив на f(u ) ϕ(v ), получим E(p, q ) = =. f ( u ) ϕ( v ) Из неравенств (7.3) и (7.6) следует, что E(p, q ) = p a q = p q v a ϕ( v ) ϕ( v ) E(p, q) = a q u f ( u ) f ( u ) p =, ϕ( v ) a p = q =. f ( u ) Таким образом, первое утверждение теоремы доказано. Докажем второе. Из неравенств 72

7 E(p, q ) E(p, q ) E(p, q), p P, q Q, следует, что ax E(p, q ) E(p, q ) E(p, q), p P q Q или β β(q ) E(p, q ) α(p ) α. Значит, β α. С другой стороны, по лемме 7. справедливо неравенство α β, откуда получаем равенства α = α(p ) = E(p, q ) = β = β(q ). Величина ν называется ценой игры Методы решение матричных игр Если платежная матрица имеет седловую точку, то решение игры существует в чистых стратегиях, которые определяются седловой точкой матрицы. Предположим, что седловой точки в платежной матрице нет. Тогда матричную игру следует решать в смешанных стратегиях. Введем следующие определения. Определение 7.6. Строка доминирует строку k, если a a k, для всех =,,, и существует столбец d такой, что a d > a. kd Определение 7.7. Столбец доминирует столбец k, если a a k, =,,, и существует строка d такая, что a d < a. dk Очевидно, что подмножества доминируемых строк и столбцов могут быть исключены из платежной матрицы. Определение 7.8. Чистая стратегия является активной, если она используется в некоторой оптимальной стратегии с положительной вероятностью. Другими словами, если существует оптимальная стратегия p (q) такая, что p > (q > ), то чистая стратегия () является активной для первого (второго) игрока. Теорема 7.3 (Об активных стратегиях). Если один игрок придерживается оптимальной стратегии, то его соперник достигает цены игры ν, применяя любую свою смешанную стратегию, в которой используются только активные стратегии. Доказательство. Пусть первый игрок использует оптимальную стратегию p, а второй смешанную стратегию q, в которой q >, J, где J подмножество активных стратегий второго игрока. Необходимо показать, что цена игры ν = E(p, q). 73

8 Пусть ν = E(p, q ), где q = (,,,,,, ). Очевидно, ν ν, для любого =,,. Покажем, что для активной стратегии имеет место равенство ν = ν. По определению цены игры имеем ν = E(p, q ) = = = q ν = k ν = = a p q = = q ν + q k ν k ν k q = a p = q + q k ν k = q + q k (ν k ν) = ν + q k (ν k ν) ν. Следовательно, q (ν k k ν) =. Если стратегия k J, то q > и, k значит, ν k ν =. Итак, для всех J имеет место равенство ν = ν. Из свойства q = получаем J E(p, q) = = J a p q = J q ν = ν J q = ν. Теорема 7.3 позволяет решать матричные игры малой размерности. Способы решения игр 2 и 2, использующие теорему об активных стратегиях, подробно рассмотрены в работе [3], поэтому здесь мы их опустим. Разберем случай 3 3. Пример 7.. Решить матричную игру, заданную следующей платежной матрицей Решение. По теореме 7.3, взяв q = (,, ), q 2 = (,, ) и q 3 = (,, ), получим 2 p + 3p2 4 p3 α ( p) = E( p, q) = 3p 4 p2 + 5p3. q Q p + p p3 74

9 Выразим p 3 = p p 2 и запишем задачу первого игрока: p + 7 p2 = f 5 2 p 9 p2 = f p + p2 = f 3 ax p, p2 ; p + p2 Пусть D = {(p, p 2 ) p + p 2 ; p, p 2 } допустимая область. Определим в D подобласти, где максимальное значение принимает одна из величин f, =, 2, 3. Для этого рассмотрим следующие случаи:. a b /2 D 9/6 R D 2 R 2 7/2 Рис. 8 а) Сравним f и f 3. Если f = f 3, то 7p 2 4 = p 2 6 и, следовательно, p 2 = /2. Значит, в области D = {(p, p 2 ) p 2 [/2, ], p [, p 2 ]} имеет место неравенство f f 3, а в области 75

10 D 2 = {(p, p 2 ) p 2 [, /2], p [, p 2 ]} неравенство f f 3 (см. рис. 8, a). б) Сравним f и f 2. Если f = f 2, то 2p + 7p 2 4 = 5 2p 9p 2 и, следовательно, 4p + 6p 2 = 9. Значит, если (p, p 2 ) R = {(p, p 2 ) p [, 7/2], p 2 [(9 4p )/6, p ]}, то f 2 f. А в случае (p, p 2 ) R 2 = {(p, p 2 ) p [, 7/2], p 2 [, (9 4p )6], p [7/2, ], p 2 [, p ]} имеем f 2 f (рис. 8, b). a b /2 S 9/6 /2 /2 K 2 K K 4 K 5 K 3 S 2 K 6 9/6 /4 9/6 7/2 Рис. 9 в) Сравним f 2 и f 3. Если f 2 = f 3, то 5 2p 9p 2 = 2p + p 2 6 и, следовательно, 4p + 2p 2 =. Значит, если (p, p 2 ) S = {(p, p 2 ) p [, 9/6], p 2 [( 4p )/2, p ]}, то f 2 f 3. А в случае (p, p 2 ) S 2 = {(p, p 2 ) p [, 9/6], p 2 [, ( 4p )/2], p [9/6, ], p 2 [, p } 76

11 имеем f 2 f 3 (рис. 9, a). Итак, область D делится прямыми p 2 = /2, 4p + 6p 2 = 9 и 4p + 2p 2 = на шесть подобластей K, =,, 6 (см. рис. 9, b). Следовательно: если (p, p 2 ) K 2 K 3, то {f, f 2, f 3 } = f ; если (p, p 2 ) K K 4, то {f, f 2, f 3 } = f 2 ; если (p, p 2 ) K 5 K 6, то {f, f 2, f 3 } = f 3. Значит, нижняя цена игры равна α = ax{ ax f ( p, p ), ax f ( p, p ), ax ( p, p2 ) K5 K6 ( p, p2 ) K 2 K3 f ( p, p )} ( p, p2 ) K K4 Так как линейная функция принимает экстремальные значения на границе области, то справедливы следующие равенства. 9 ax f( p, p2 ) = ax{ f(, ), f(, ), f(, )} = ( p, p2 ) K2 K3 ax{,, } = ; ax f2( p, p2 ) = ax{ f2(, ), f2(, ), f2(, ), f2(,)} = ( p, p ) K K 2 ax{,, 6 ax f ( p ( p, p2 ) K5 K6, 4} = ; 6, p ) = 9 7 ax{ f3(, ), f3(, ), f3(, ), f3(, ), f3(,)} = ax{ 6,,,, 4} =. 2 6 Таким образом, нижняя цена игры, которая по теореме 7.3 является ценой игры, равна α = ν = f(, ) = f2(, ) = f3(, ) =, а оптимальная стратегия первого игрока p = (,, )

12 Чтобы найти оптимальную смешанную стратегию второго игрока достаточно еще раз воспользоваться теоремой об активных стратегиях. Получим q = (,, ) Для решения матричной игры с произвольными и можно применять как метод линейного программирования (см. теорему 7.2), так и итеративный метод Брауна Робинсон (см. [3]). 78


5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

Введение в матричные игры

Введение в матричные игры Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны.

Подробнее

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр Введение в матричные игры «Семейный спор» Муж и жена решают куда пойти в субботу вечером на футбол или в театр. Им небезразлично куда пойдет другой но всё-таки каждому больше хотелось бы пойти на что-то

Подробнее

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

Тема 11. Матричные игры

Тема 11. Матричные игры Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее

2.2. Смешанные стратегии

2.2. Смешанные стратегии 1 2.2. Смешанные стратегии Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший,

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г.

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 14 апреля 2016 г. Аннотация. В докладе матричные игры анализируются с точки зрения линейного программирования. Приведены два

Подробнее

Лекция 2. Антагонистические игры.

Лекция 2. Антагонистические игры. Лекция 2. Антагонистические игры. 11.09.2014 1 2.1 Определение антагонистической игры 2.2 Понятие матричной игры 2.3 Выбор оптимальной стратегии в матричной игре 2.4 Ситуация равновесия в матричной игре

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание Контрольная работа Теория игр Оглавление Задание Задание 9 Задание 3 4 Задание 4 9 Задание 5 3 Задание Сельскохозяйственное предприятие планирует посеять на площади 000 га одну или две (в равной пропорции)

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку.

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку. торговец Пример из лекции Торговец на сумму у.е. может закупить зонтики по цене у.е. за штуку и солнечные очки по цене у.е. за штуку. Он продает зонтики по у.е. за штуку очки по у.е. за штуку. Если идет

Подробнее

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение Сделаем ваши задания на отлично. htts://www.matburo.ru/sub_subect.h?ti Теория игр Матричные игры. Игры с природой Задание Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение ma min a i } min

Подробнее

Γ обозначение игры, N = { 1,

Γ обозначение игры, N = { 1, Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.. Понятие игры в нормальной форме... Игры в нормальной форме. Введем понятие игры в нормальной (стратегической) форме. Как

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента»,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

Основные и самые популярные методы решения матричных игр ограничены в возможностях и применимы только для игр с матрицей выигрышей размерности

Основные и самые популярные методы решения матричных игр ограничены в возможностях и применимы только для игр с матрицей выигрышей размерности РЕШЕНИЕ ИГРЫ m х n МЕТОДОМ ШЕПЛИ-СНОУ Мардашкина А.А. Финансовый университет при Правительстве РФ г. Москва Научный руководитель к.ф-м.н., проф. Лабскер Л. Г. На практике часто приходится сталкиваться

Подробнее

Решенная контрольная работа по МОР

Решенная контрольная работа по МОР Решенная контрольная работа по МОР. Построить симплексную таблицу ЗЛП Q = x 3x x 3 max при ограничениях: 3x + x x3 3 x 3x + x3 = x + x + 3x3 x 0; x 0; x 0. Решение Приводим задачу к каноническому виду.

Подробнее

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях.

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. 18.09.2014 1 3.1 Нахождение смешанных стратегий в играх 2 2 3.2 Упрощение матричных игр 3.3 Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2xn и mx2 2 Аналитический

Подробнее

определяется матрицей A.

определяется матрицей A. Задание.Мебельная фабрика планирует выпуск двух видов продукции А и Б. Спрос на продукцию не определен, однако можно предполагать, что он может принимать одно из трех состояний (I, II и III). В зависимости

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР. A q = ue; p T B = ve T ; p i = 1; q j = 1

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР. A q = ue; p T B = ve T ; p i = 1; q j = 1 УДК 519.85 Н. С. В а с и л ь е в ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР Предложен эффективный игровой алгоритм поиска равновесия по Нэшу в биматричных играх, основанный на методах линейного программирования

Подробнее

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике Часть II Модели оптимального управления в экономике К содержанию 7 Теория игр и игровое моделирование в экономике 7 Основные понятия теории игр Теория игр это раздел математики, в котором исследуются математические

Подробнее

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13 Полезность ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность Полезность - мера удовлетворенности агента ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность

Подробнее

Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта

Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта Лекция Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта ЮТИ ТПУ Кафедра информационных систем Направление 09.04.03 Прикладная информатика 2016 1 Основные понятия Пусть соперником при ПР является

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31 Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2013 1 / 31 Пример Рассмотрим игру, похожую на покер В данный момент есть две возможности

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. Лекция 7 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один

Подробнее

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа

Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Математические модели в экономике Теория игр Контрольная работа Задача. Используя теорию игр проанализировать ситуацию и принять решение. Рассмотреть ситуацию, как антогонистическую игру и игру с природой.

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

Теория принятия решений

Теория принятия решений Теория принятия решений Литература О.И. Ларичев «Теория и методы принятия решений» А.И. Орлов «Теория принятия решений» А.Т. Зуб «Принятие управленческих решений» А.Г. Мадера «Моделирование и принятие

Подробнее

1.1. Определение цепи Маркова. Свойства матриц перехода.

1.1. Определение цепи Маркова. Свойства матриц перехода. 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ По выполнению контрольных работ По дисциплине «Теория игр» Для студентов заочного отделения специальности «Прикладная информатика в экономике» Хабаровск Задачи теории игр Если имеется

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр ы. е. ах Антагонистические ы. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова ы. Определение ы. е. ах Игра Γ =< I, {X i

Подробнее

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ А. В. Лазарев lazarev_av@sampo.ru 17 мая 2008 г. 1. Рассмотрим в R n задачу математического программирования f(x) inf, g i (x) 0, i 1:s ;

Подробнее

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 1 Аналитический метод Графический метод Аналитический метод решения игры 2х2 2 A 1) оптимальное решение в смешанных стратегиях: S A = p 1, p 2 и S

Подробнее

Глава 5. МЕТОДЫ НЕЯВНОГО ПЕРЕБОРА. Рассмотрим общую постановку задачи дискретной оптимизации

Глава 5. МЕТОДЫ НЕЯВНОГО ПЕРЕБОРА. Рассмотрим общую постановку задачи дискретной оптимизации Глава 5. МЕТОДЫ НЕЯВНОГО ПЕРЕБОРА Рассмотрим общую постановку задачи дискретной оптимизации mi f ( x), (5.) x D в которой -мерный искомый вектор x принадлежит конечному множеству допустимых решений D.

Подробнее

ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАТЕГИИ ПОЛИТИЧЕСКИХ ПАРТИЙ В ХОДЕ ПРЕДВЫБОРНОЙ КАМПАНИИ

ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАТЕГИИ ПОЛИТИЧЕСКИХ ПАРТИЙ В ХОДЕ ПРЕДВЫБОРНОЙ КАМПАНИИ УДК 58 9 ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАТЕГИИ ПОЛИТИЧЕСКИХ ПАРТИЙ В ХОДЕ ПРЕДВЫБОРНОЙ КАМПАНИИ ВВ ОСТАПЕНКО ОС ОСТАПЕНКО ТВ ПОДЛАДЧИКОВА Предложена теоретико-игровая модель борьбы двух крупных партий за электорат в ходе

Подробнее

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 202 Т. 4 3 С. 475 482 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 59.833 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для

Подробнее

Инвестиционная политика

Инвестиционная политика УДК 336.051 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИНВЕСТОРА НА РОССИЙСКОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ИГР Н. А. КЛИТИНА, ассистент кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mal: kltnanna@yandex.

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Ýêîíîìèêà УДК 5985 ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 00 АИ Чегодаев* Ключевые слова: чистые

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) М.Л. ОВЕРЧУК ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB» ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB». Введение Sclb - это система компьютерной математики, которая предназначена выполнения инженерных и научных вычислений, включающих в себя задачи принятия

Подробнее

Двойственность в линейном программировании

Двойственность в линейном программировании Двойственность в линейном программировании Двойственными называются пары следующих задач: z b b, k k,, r r, w, k k, b, r r, Принципы составления двойственных задач: Если исходная задача на максимум, то

Подробнее

Равновесие Нэша - определения

Равновесие Нэша - определения Равновесие Нэша Самый популярный принцип рационального поведения в теории некооперативных игр рекомендует в качестве рациональных исходов использовать ситуации равновесия Нэша. Они характеризуются тем,

Подробнее

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» П. С. Гончарь Л. Э. Гончарь Д. С. Завалищин ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера x x n m x В решении игр используется следующая теорема: если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию

Подробнее

ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ

ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ Г.С. Курганская Иркутский государственный университет, Облачные технологии стали уже общепринятым инструментом работы в Интернет. В основном, это относится

Подробнее

Лекция 1. Понятие случайного процесса. Процесс Пуассона

Лекция 1. Понятие случайного процесса. Процесс Пуассона Лекция 1 Понятие случайного процесса. Процесс Пуассона В теории вероятностей основными объектами исcледований являются случайные величины и векторы. Напомним их определение. Пусть задано некоторое вероятностное

Подробнее

Методы оптимальных решений Контрольная с решением

Методы оптимальных решений Контрольная с решением Методы оптимальных решений Контрольная с решением Задача 1 Составить математическую модель задачи и решить ее двумя способами: симплексметодом и графически. Для полученной задачи составить двойственную,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Теория двойственности ЛП (продолжение) 1. Теоремы Фаркаша Минковского и Гордана

ЛЕКЦИЯ 4. Теория двойственности ЛП (продолжение) 1. Теоремы Фаркаша Минковского и Гордана ЛЕКЦИЯ 4 Теория двойственности ЛП (продолжение) 1. Теоремы Фаркаша Минковского и Гордана Необходимые условия экстремума 2. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 3. Критерий оптимальности (выпуклый

Подробнее

5. Линейные коды (продолжение)

5. Линейные коды (продолжение) 17 5. Линейные коды (продолжение) Проверочная матрица кода. Другой способ задания линейного подпространства C F n размерности k состоит в указании n k линейных уравнений, которым удовлетворяют координаты

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7. Необходимые условия экстремума. 2. Необходимые условия оптимальности Фритца Джона. 3. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера

ЛЕКЦИЯ 7. Необходимые условия экстремума. 2. Необходимые условия оптимальности Фритца Джона. 3. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера ЛЕКЦИЯ 7 Необходимые условия экстремума 1. Геометрическая форма необходимых условий оптимальности 2. Необходимые условия оптимальности Фритца Джона 3. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера -1-

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Эквивалентные формулировки задачи линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования. Напомним, что математически задача

Подробнее

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской Академии Наук Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Подробнее

Программа, вопросы и литература по с/курсу "Элементы теории игр" лектор проф. Чижонков Е.В. 0,5 года; 2-5 курсы; 2013/2014 уч.г.

Программа, вопросы и литература по с/курсу Элементы теории игр лектор проф. Чижонков Е.В. 0,5 года; 2-5 курсы; 2013/2014 уч.г. Программа вопросы и литература по с/курсу "Элементы теории игр" лектор проф. Чижонков Е.В. 5 года; -5 курсы; 13/14 уч.г. I. Основные определения и положения теории игр. 1. Участники игры игроки стратегии

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5. Необходимые условия экстремума. 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай)

ЛЕКЦИЯ 5. Необходимые условия экстремума. 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай) ЛЕКЦИЯ 5 Необходимые условия экстремума 1. Необходимые условия оптимальности Куна Таккера 2. Критерий оптимальности (выпуклый случай) -1- Лекция 4: Теорема 7 (Фаркаша Минковского). Система уравнений Ax

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Глава 3. Информационные аспекты и равновесие Позиционные игры.

Глава 3. Информационные аспекты и равновесие Позиционные игры. Глава 3. Информационные аспекты и равновесие. 3.. Позиционные игры. В главе 2 рассматривалась игра в нормальной форме. К такой форме в принципе может быть сведен динамический (т. е. протекающий в течение

Подробнее

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов

Подробнее

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 3. Условные распределения

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи. Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок. Распространенность в

Подробнее

Просеминар по математической логике и теории алгоритмов

Просеминар по математической логике и теории алгоритмов Просеминар по математической логике и теории алгоритмов http://proseminar.math.ru Игры и стратегии - 2 Пусть задана игра в нормальной форме. Смешанной стратегией для игрока m называется распределение вероятностей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Часть 1. Бескоалиционные игры в нормальной форме. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Часть 1. Бескоалиционные игры в нормальной форме. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К В Григорьева Методические указания Часть Бескоалиционные игры в нормальной форме Факультет ПМ-ПУ СПбГУ г ОГЛАВЛЕНИЕ ЗАНЯТИЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ ИГР КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР ИГРА В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ РАВНОВЕСИЕ

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

3. Бесконечно большие функции

3. Бесконечно большие функции 3 Бесконечно большие функции Пусть функция f ( определена в некоторой окрестности точки R, кроме, может быть, самой точки ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на языке ε δ Функцию f ( называют бесконечно большой при (в точке

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной

Подробнее

Теория игр Решение контрольной работы

Теория игр Решение контрольной работы Теория игр Решение контрольной работы Задача Решить задачу графическим методом Решение Очевидно, матрица не имеет седловой точки, поэтому будем искать решение в смешанных стратегиях Решим задачу графическим

Подробнее

РЕШЕНИЕ ИГРЫ МЕТОДОМ ШЕПЛИ-СНОУ Галеев Р.Р. Финансовый университет при Правительстве РФ Москва, Россия

РЕШЕНИЕ ИГРЫ МЕТОДОМ ШЕПЛИ-СНОУ Галеев Р.Р. Финансовый университет при Правительстве РФ Москва, Россия РЕШЕНИЕ ИГРЫ МЕТОДОМ ШЕПЛИ-СНОУ Галеев Р.Р. Финансовый университет при Правительстве РФ Москва, Россия SOLUTION OF THE GAME BY SHAPLEY-SNOW Gleev R.R. Fcl uversty by The Govermet of the Russ Federto Moscow,

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А.

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А. Федеральное агентство по образованию Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им. П. А. Соловьева ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ ТЕОРИЯ ИГР Программа учебной дисциплины и методические указания

Подробнее

ОБ АЛЬТЕРНАНСАХ. 20 декабря 2012 г.

ОБ АЛЬТЕРНАНСАХ. 20 декабря 2012 г. ОБ АЛЬТЕРНАНСАХ В. Ф. Демьянов vfd@ad9503.spb.edu В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 0 декабря 01 г. В докладе анализируется альтернансная форма условий оптимальности для минимаксных задач с ограничениями-неравенствами.

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

МЕТОД ДИХОТОМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МЕТОД ДИХОТОМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ МЕТОД ДИХОТОМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В.Н. Бурков, И.В. Буркова, М.В. Попок (Институт проблем управления РАН, Москва) f f f f f f f(x). Введение Многие задачи дискретной оптимизации сводятся к следующей

Подробнее

ДВА ПОДХОДА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ АЛЬТЕРНАНСА

ДВА ПОДХОДА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ АЛЬТЕРНАНСА ДВА ПОДХОДА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ АЛЬТЕРНАНСА В. Ф. Демьянов vfd@ad9503.spb.edu В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 24 января 2013 г. Пусть G R n ограниченное замкнутое множество и C его выпуклая оболочка. В задачах

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ

ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ В результате изучения данной главы студенты должны: знать определения и свойства Марковских процессов с непрерывным

Подробнее

ϕ монотонно возрастают при изменении

ϕ монотонно возрастают при изменении ГЛАВА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 8 степень со знаком +, из полученного следует, что ( ) π возрастает от до π. Итак, слагаемые ϕ i( ) и k ( ) +, т. е. вектор ( i) ϕ монотонно ϕ монотонно возрастают при

Подробнее

Лекция 12. Стационарные последовательности

Лекция 12. Стационарные последовательности Лекция 12 Стационарные последовательности Рассмотрим еще один класс случайных последовательностей, обобщающих последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть Ω, F, P исходное

Подробнее

Лекция 9. Множественная линейная регрессия

Лекция 9. Множественная линейная регрессия Лекция 9. Множественная линейная регрессия Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Множественная регрессия... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39 Cодержание Содержание 1

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского И.А. Кузнецова, Н.В. Сергеева РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ Учебно-методическое пособие для студентов механико-математического

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Изоморфизм линейных пространств, матрица перехода в другой базис Раздел электронного учебника для

Подробнее

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи Лекция 0 4 Задачи на условный экстремум Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала V [ ] = F(,,,,,, где = (, = (, с граничными условиями ( = 0, ( = 0; ( =, ( = Кроме того, предположим, что функции

Подробнее

А.В. Костромин ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Учебно-практическое пособие.

А.В. Костромин ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Учебно-практическое пособие. ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА А.В. Костромин Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Учебно-практическое пособие IV семестр Рекомендовано экспертным советом по дистанционному образованию Института

Подробнее

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем Региональная олимпиада по математике для студентов технических специальностей вузов Декабрь 205 г., СибГАУ Задания для второго и старших курсов с решениями. Пусть E единичная матрица порядка n, а I квадратная

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее