МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ"

Транскрипт

1 ООО «Резольвента» (495) Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ К. Л. Самаров 009 ООО «Резольвента» 009 ООО «Резольвента» (495)

2 ООО «Резольвента» (495) СОДЕРЖАНИЕ Частные производные функции нескольких переменных. 3. Частные производные первого порядка Градиент функции Касательная плоскость к поверхности Нормаль к поверхности Производная по направлению заданному вектором Поверхность уровня функции трех и более переменных Линия уровня функции двух переменных Однородная функция. Степень однородности функции Первый дифференциал функции Частные производные высших порядков Второй дифференциал функции Экстремум функции нескольких переменных Критическая точка функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных. Схема исследования. 7.3 Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной 0 области. Схема исследования... 3 Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа.. 3. Понятие условного экстремума. Уравнения связей Функция Лагранжа. Множители Лагранжа. Схема исследования... 4 Нелинейное программирование Графический метод решения задач нелинейного программирования с двумя переменными Задача нелинейного программирования с n переменными. Теорема Куна-Таккера... 8 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. 4 ЛИТЕРАТУРА... 6 ООО «Резольвента» (495)

3 ООО «Резольвента» (495) ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ Частной производной ПЕРЕМЕННЫХ. Частные производные первого порядка u функции трех переменных u = f ( x y z ) по переменной x является производная функции переменной x полученной из исходной функции при условии что остальные переменные фиксированы. Частные производные функции по другим переменным определяются аналогично. u y. Градиент функции u z Градиентом функции трех переменных u f ( x y z) = в точке A = ( x y z ) называется вектор координаты которого равны частным производным функции в этой точке: u u u grad u = ; ; x A y A z A. В направлении градиента функция имеет наибольший рост..3 Касательная плоскость к поверхности Если поверхность в трехмерном пространстве задана уравнением z = f ( x y) то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке A ( x y z ) z = f ( x y ) имеет вид f f 0 A 0 y A 0 z z = ( x x ) + ( y y ). = где ООО «Резольвента» (495)

4 ООО «Резольвента» (495) Нормаль к поверхности Нормалью к поверхности в трехмерном пространстве называется прямая линия перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания. Если поверхность в трехмерном пространстве задана уравнением z = f ( x y) то уравнение нормали к поверхности в точке A ( x y z ) имеет вид x x y y z z = = f f A y A z = f ( x y ) = где Производная по направлению заданному вектором Производной от функции трех переменных u = f ( x y z) в точке r A = x y z по направлению заданному вектором a = ( a ; a ; a ) называется ( ) число которое определяется по формуле u u u u A ax A ay A az a r = a r + + x y z. x y z Таким образом производная функции по направлению заданному вектором a r равна скалярному произведению градиента этой функции на единичный вектор задающий направление a r : u r a r = r grad u. a a.6 Поверхность уровня функции трех и более переменных Поверхностью уровня функции трех переменных u = f ( x y z) называется множество точек трехмерного пространства координаты которых удовлетворяют уравнению f ( x y z) = const. ООО «Резольвента» (495)

5 ООО «Резольвента» (495) Линия уровня функции двух переменных Линией уровня функции двух переменных u = f ( x y) называется множество точек двумерного пространства координаты которых удовлетворяют уравнению f ( x y) = const..8 Однородная функция. Степень однородности функции Функция u = f ( x y z) называется однородной функцией степени однородности k если для любого числа λ ( λ 0) выполнено соотношение f ( λx λ y λz) = λ f ( x y z)..9 Первый дифференциал функции Первый дифференциал функции двух переменных u = f ( x y) в точке ( ) A = x y определяется по формуле 0 0 u u du = d x + d y A y A и является в рассматриваемой точке A функцией двух переменных d x d y..0 Частные производные высших порядков Частные производные функции двух переменных u = f ( x y) второго порядка определяются по формулам = = = = u u u u u u u u y y y y y y y y. Второй дифференциал функции Второй дифференциал функции двух переменных u = f ( x y) в точке ( ) A = x y определяется по формуле 0 0 u u u = + + k ( ) ( ) ( ) ( ) d u dx d x dy dy A y A y y A. ООО «Резольвента» (495)

6 ООО «Резольвента» (495) и так же как и первый дифференциал является в рассматриваемой точке A функцией двух переменных d x d y. В случае если функция зависит не от двух а от другого количества переменных в приведенных выше определениях нужно сделать соответствующие изменения. Пример. Для функции z = x y в точке A = (4; ) найти: а) частные производные по переменным x и y ; б) градиент; в) производную по направлению вектора a = ( ; ) г) первый дифференциал; д) второй дифференциал. Решение. Проведем следующие вычисления: r ; а) 3 z z = x y = x y y z A z ( 4) = A( 4) =. 4 y z z б) grad z A( 4) = A( 4) ; A( 4) = ;. x y 4 r a = + = в) ( ) z 5 r = + ( ) ( ) =. a A( 4) 4 4 г) 3 z z d z = d x + d y = x y d x x y d y y ООО «Резольвента» (495)

7 ООО «Резольвента» (495) d z =. A( 4) 4 d x d y д) 3 z = x y x y = = 4 z z A( 4 ) = z = x y x y = = 4 z y y z A( 4 y ) = 8 3 z = x y x y = = 4 z y y y z A( 4 y ) = z 3 = x y x y = = 4 z y y y y y z A( 4 y y ) = 3 z z z = + + ( ) ( ) ( ) ( ) d z dx d x dy dy y y y 3 d z = ( 4 ) ( dx) ( d x A ) ( dy) + ( dy) ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Критическая точка функции нескольких переменных Критической точкой функции нескольких переменных называется точка в которой все частные производные этой функции равны нулю или не существуют. В данном разделе будем рассматривать только такую ситуацию когда частные производные функции существуют и равны нулю. Критические точки функции являются точками подозрительными на экстремум.. Экстремум функции нескольких переменных. Схема исследования Чтобы понять существует ли экстремум в подозрительной на экстремум точке функции двух переменных z = z ( x y) необходимо: ООО «Резольвента» (495)

8 ООО «Резольвента» (495) Вычислить в рассматриваемой точке вторые частные производные z z z A = B = C = y y y.. Подставить найденные значения вторых частных производных в формулу для второго дифференциала функции z = z ( x y) : ( ) ( ) ( ) ( ) d z = A dx + B d x dy + C dy. 3. Исследовать знак функции d z в зависимости от значений dx и dy при условии что эти переменные одновременно не обращаются в нуль. 4. Если при любых значениях dx и dy одновременно не обращающихся в нуль функция d z положительна то в рассматриваемой подозрительной на экстремум точке минимум. 5. Если при любых значениях dx и dy одновременно не обращающихся в нуль функция d z отрицательна то в рассматриваемой подозрительной на экстремум точке максимум. 6. Если функция d z меняет знак то в рассматриваемой подозрительной на экстремум точке экстремума нет. 7. В остальных случаях требуется гораздо более сложное дополнительное исследование. Исследование знака функции d z в подозрительной на экстремум точке осуществляется по следующей схеме:. Сначала вычисляется значение выражения = AC B.. В случае < 0в рассматриваемой критической точке экстремума нет в случае = 0необходимы дополнительные исследования. 3. В случае > 0 A > 0 что влечет за собой условие C > 0 в рассматриваемой критической точке минимум; в случае > 0 A< 0 что влечет за собой условие C < 0 в рассматриваемой критической точке максимум. ООО «Резольвента» (495)

9 ООО «Резольвента» (495) Пример. Исследовать функцию z 3 = 6x y 6x 9y + на экстремумы. Решение. Сначала найдем критические точки: z = x xy x 0 x( y ) = 0 = z = 0. x y y = 8 y( x y ) = 0. y Следовательно существует три критических точки М (0; 0) М (; ) М 3 ( ; ). Вычислим вторые частные производные: В точке М (0; 0) z 3 z z = y = 36 xy = 36x y 8. y y y 3 A = y ( 0;0) = < 0 B = 36xy ( 0;0) = 0 C = 36x y 8 ( 0;0) = 8 < 0 = AC B = 6 0 > 0 следовательно эта точка является точкой максимума причем z = z(0; 0). В точке М (; ) 3 A = y ( ; ) = 0 B = 36xy ( ; ) = 36 C = 36x y 8 ( ; ) = 8 = 96 < 0 следовательно в этой точке экстремума нет. В точке М 3 ( ; ) 3 A = y ( ; ) = 0 B = 36xy ( ; ) = 36 C = 36x y 8 ( ; ) = 8 = 96 < 0 следовательно в этой точке экстремума нет. max = ООО «Резольвента» (495)

10 ООО «Резольвента» (495) Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области. Схема исследования Наибольшее и наименьшее значения функции z = z ( x y) в замкнутой ограниченной области находятся путем сравнения значений функции в критических точках внутри области со значениями функции в критических и в угловых точках границы области. Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D заданной неравенствами z = xy x y { x 0 y 0 x y 8} +. Решение. Найдем критические точки внутри области D (см. рисунок): y 8 B 0 D A 8 x z = 0 y = 0 z = 0 x = 0. y Следовательно единственной критической точкой внутри области D является точка C = (; ). Теперь найдем критические точки на внутренних участках границы D. Для этого рассмотрим сначала участок АО. Поскольку ( ) y = 0 z = x x 0;8 z = 0 то на этом участке нет критических точек. Рассмотрим теперь участок BО. Поскольку ООО «Резольвента» (495)

11 ООО «Резольвента» (495) ( ) x = 0 z = y y 0;8 z = 0 то на этом участке так же нет критических точек. Рассмотрим участок АB. На этом участке ( ) ( ) y = 8 x x 0;8 z = x 8 x x 8+ x = x + 7x 8 z = x + 7 = 0 x = 35 (0; 8) y = 8 35 = 45 (0; 8). Таким образом на этом участке существует критическая точка E = ( 35; 45). В заключение сравним значения функции z в точках С(; ) Е(35; 45) О(0; 0) А(8; 0) и В(0; 8): Следовательно ( ) = z ( ) = ( ) z ( ) ( ) = z ( ) = ( ) = z ( ) = ( ) = z ( ) = z C z E z O z A z B ; ; = 35; 45 = 45; 0; 0 0; 8; 0 6; 0; 8 8. ( ) max z = z 35; 45 = 45 D min z = z ( 8; 0) = 6. D 3. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА 3. Понятие условного экстремума. Уравнения связей Под условным экстремумом понимается задача о нахождении экстремума функции нескольких переменных u = f ( x... x n ) в случае когда переменные x... x n удовлетворяют одному или нескольким уравнениям (условиям) связи ( ) φ ( x x ) = 0φ ( x x ) = 0...φ ( x x ) = 0 k < n... n... n k... n. ООО «Резольвента» (495)

12 ООО «Резольвента» (495) Функция Лагранжа. Множители Лагранжа. Схема исследования Задача об условном экстремуме решается при помощи метода множителей Лагранжа который заключается в следующем: А) По формуле L = f ( x x ) + λ φ ( x x ) λ φ ( x x )... n... n k k... n вводится в рассмотрение функция Лагранжа L = L( x x λ λ )... n... зависящая от n + k переменных x... xn λ... λ k. Переменные λ... λ k являются произвольными числами и называются множителями Лагранжа. Б) Решается задача о нахождении критических точек функции Лагранжа. В) Проводится исследование на экстремум каждой подозрительной на экстремум точки функции Лагранжа. Исследование проводится с учетом того что дифференциалы dx... dx nпеременных x... x nсвязаны k соотношениями φ φ φ... 0 dx + dx + + dxn = n... φk φk φ dx k + dx + + dxn = n k Пример 4. Найти экстремум функции u = xy при условии x + y =. Решение. Введем функцию Лагранжа λ ( ) L = L( x y λ) = xy + x + y. Найдем для функции Лагранжа точки подозрительные на экстремум: ( xy λ ( x y ) ) L + + = = y + λ = 0 x = x = λ L ( xy + λ ( x + y ) ) = = x + λ = 0 y = λ y = y y λ 0 = ( xy ( x y )) L λ + + λ. x y 0 = = = + = λ λ ООО «Резольвента» (495)

13 ООО «Резольвента» (495) Итак у функции Лагранжа существует единственная подозрительная на экстремум точка а сама функция Лагранжа имеет вид A = x = y = λ = L = xy ( x + y ). Теперь воспользовавшись соотношениями L L L L = 0 = 0 = = y y y y вычислим второй дифференциал функции Лагранжа в точке A : d L = dx dy. Воспользовавшись условием x + y = найдем соотношение между дифференциалами dx и dy : Поэтому ( ) d x + y = dx + dy = 0 dy = dx. ( ) d L = dx. Поскольку второй дифференциал d L везде за исключением точки dx = 0 отрицателен то точка A ( x 05 y 05) = = = является точкой максимума. Замечание. Пример 3..можно решить и по-другому. Действительно если подставить в соотношение u = xy выражение y = x то функция u принимает вид u = u( x) = x x и задача нахождения условного экстремума функции двух переменных x и y превращается в задачу нахождения экстремума функции одного переменного x. Пример 5. Найти экстремум функции u = 3x + 4y при условии x + y =. Решение. Введем функцию Лагранжа ООО «Резольвента» (495)

14 ООО «Резольвента» (495) ( ) L = L( x y λ) = 3x + 4y + λ x + y. Найдем для функции Лагранжа точки подозрительные на экстремум: ( 3x 4y λ ( x y ) ) L = = 3 + λx = 0 L ( 3x + 4y + λ ( x + y ) ) 4 λ y 0 y y L (( 3x + 4y + λ ( x + y ) )) x y = = + = λ λ = = + = x = x x λ = 5 = y y y λ = λ = λ. = = = = 4λ λ Итак у функции Лагранжа существуют две подозрительные на экстремум точки: A = x = y = λ = A = x = y = λ = 5 5. В первом случае функция Лагранжа имеет вид Воспользовавшись соотношениями ( ) 5 L = 3x + 4y + x + y. L L L L = 5 = 5 = 0 = 0 y y y y вычислим второй дифференциал функции Лагранжа ( ) ( ) d L = 5 dx + 5 dy. L в точке A : Воспользовавшись условием x + y = найдем соотношение между дифференциалами dx и dy в точке A : ООО «Резольвента» (495)

15 Поэтому ООО «Резольвента» (495) ( ) d x + y = xdx + ydy = x A dx + y 0 A dy = dx dy = dy = dx ( ) d L = dx. 6 Поскольку второй дифференциал d L везде за исключением точки dx = 0 положителен то точка 3 4 A = x = y = 5 5 является точкой минимума. Во втором случае функция Лагранжа имеет вид Воспользовавшись соотношениями ( ) 5 L = 3x + 4y x + y. L L L L = 5 = 5 = 0 = 0 y y y y вычислим второй дифференциал функции Лагранжа ( ) ( ) d L = 5 dx 5 dy. L в точке A : Воспользовавшись условием x + y = найдем соотношение между дифференциалами dx и dy в точке Поэтому A : ( ) d x + y = xdx + ydy = x A dx + y 0 A dy = dx + dy = dy = dx ( ) d L = dx. 6 ООО «Резольвента» (495)

16 ООО «Резольвента» (495) Поскольку второй дифференциал d L везде за исключением точки dx = 0 отрицателен то точка является точкой максимума. 3 4 A = x = y = НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 4.. Графический метод решения задач нелинейного программирования с двумя переменными Ранее мы изучали задачи на отыскание экстремумов функций при наличии ограничений в форме равенств. Целью настоящего раздела являются задачи на отыскание экстремумов функций с ограничениями в форме неравенств. Начнем с наиболее простого случая а именно с таких задач которые допускают графический метод решения и изложим этот метод на следующем примере. Пример 4.. Найти наибольшее и наименьшее значения функции при наличии ограничений Z = x + y 8x 6y + 5 (4..) x 3 y 6 x + y 6 0. (4..) Решение. Система ограничений (4..) задает на координатной плоскости XOY прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 3). ООО «Резольвента» (495)

17 ООО «Резольвента» (495) Y B C D E O A Рис. 3 X Прямые AC BC и AB определяются уравнениями x = 3 y = 6 и y = 6 x соответственно причем A = (3;0) B = (0;6) C = (3;6). Выделяя в формуле (4..) полные квадраты по переменным x и y преобразуем эту формулу к следующему виду: Если ввести новую переменную Z ( 4) ( 3) Z = x + y. (4..3) = Z то формула (4..3) примет вид ( ) ( ) Z = x 4 + y 3 (4..4) и будет задавать окружности с центром в точке E = (4;3) и радиусами Z. Опустив из точки E перпендикуляр на прямую AC получим точку D с координатами { x 3 y 3} = = причем длина отрезка ED равна. Теперь найдем длину отрезка EB: ( ) ( ) EB = = 5. Из рис. 3 вытекает что окружности (4..4) пересекают треугольник ABC тогда и только тогда когда их радиусы Z удовлетворяют неравенству Z 5. В случае Z = окружность заданная уравнением (4..4) касается прямой AC в точке D а в случае Z = 5 окружность заданная уравнением (4..4) проходит через точку B. ООО «Резольвента» (495)

18 ООО «Резольвента» (495) В случае Z = выполнено соотношение а в случае Z = 5 соотношение Z = Z = = Z = Z = 5 = 5. Следовательно при наличии ограничений (4..) наименьшее значение функции (4..) равно и достигается в точке { x 3 y 3} = =. Наибольшее значение функции (4..) равно 5 и достигается в точке { x 0 y 6} Решение Примера 4.. завершено. = =. 4.. Задача нелинейного программирования с n переменными. Теорема Куна-Таккера Стандартной формой задачи нелинейного программирования с n переменными называют задачу о нахождении максимума или минимума функции Z = f x x x (4..) (... n) (целевой функции) при наличии ограничений g ( x x x 0 i =... m (4..) i... n) в случае когда нелинейной является функция (4..) или хотя бы одна из функций (4..) при этом часть ограничений (4..) может иметь форму равенств. Функция L = L( x x... x n λ λ... λ m ) определенная соотношением m... n... m... n) i i... n) i= L = L ( x x x λ λ λ ) = f ( x x x + λ g ( x x x (4..3) называется функцией Лагранжа для задачи (4..) (4..). Числа λ λ... λ m называются множителями Лагранжа. Теорема Куна-Таккера. Если в точке x ( x x... xn ) = n мерного пространства достигается максимум функции (4..) при наличии ограничений ООО «Резольвента» (495) (4..) то в этой точке выполняются следующие условия:

19 ООО «Резольвента» (495) L = 0 i =... n i λ g ( x x x = 0 i =... m i i... n) λ 0 i =... m. В этом случае точка x ( x x... xn ) i (4..) при наличии ограничений (4..). (4..4) = называется стационарной точкой функции Если в точке n мерного пространства x ( x x... xn ) = достигается минимум функции (4..) при наличии ограничений (4..) то в этой точке выполняются следующие условия: L = 0 i =... n i... n) λ g ( x x x = 0 i =... m i i λ 0 i =... m. В этом случае точка x ( x x... xn ) i (4..5) = также называется стационарной точкой функции (4..) при наличии ограничений (4..) Задача 4.. Найти максимум функции при наличии ограничений 4 u = 4x 6y + z (4..6) 3 z x y z. (4..7) Решение. Перепишем систему ограничений (4..7) в необходимом для применения теоремы Куна-Таккера виде: x y z 3 0 z 0. Составим функцию Лагранжа L с множителями Лагранжа λ и λ : ( ) ( ) 4 L = L( x y zλ λ ) = 4x 6y + z + λ x y z 3 + λ z. Воспользуемся условиями Куна-Таккера (4..4): ООО «Резольвента» (495)

20 ООО «Резольвента» (495) Следовательно L = + = 4 λ 0 L y y = = y L 3 = z z + = ( x y z ) = λ ( z ) = 0 λ 0 λ 0. 4λ 0 4 λ λ 0 λ 3 0 (4..8) λ = 4 y = 0 3 4z + 4+ λ = 0 ( z ) x y z 3 = 0 λ = 0 λ 0. (4..9) В случае λ = 0из системы (4..9) получаем: Таким образом точка является решением системы (4..8). 3 4z = 4 z = x = y + z + 3=. { x y 0 z λ 4λ 0} = = = = = (4..0) В случае λ < 0из системы (4..9) получаем: Таким образом точка z = y = 0 x = y + z + 3 = 4 λ 3 = 4z 4 = 8. ООО «Резольвента» (495)

21 ООО «Резольвента» (495) также является решением системы (4..8). { x 4 y 0 z λ 4 λ 8} = = = = = (4..) Из формул (4..0) и (4..) вытекает что у функции (4..6) при наличии ограничений (4..7) существуют две стационарные точки: точка M с координатами { x y 0 z } этом = = = и точка ) M с координатами { x 4 y 0 z } ( ) u ( M = u x = y = 0 z = = = 9 ) ( ) u ( M = u x = 4 y = 0 z = = = 7. = = =. При Ответ. Максимум функции (4..6) при наличии ограничений (4..7) равен 7 и достигается в точке { x 4 y 0 z } = = =. Замечание. Точки M и M обращают в равенства первое и второе из ограничений системы (4..7) соответственно. ООО «Резольвента» (495)

22 ООО «Резольвента» (495) ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. Что называется частной производной первого порядка функции нескольких переменных?. Что такое градиент функции нескольких переменных? 3. Что такое производная функции нескольких переменных по направлению вектора? 4. Что такое первый дифференциал функции нескольких переменных? 5. Как написать уравнение касательной плоскости к поверхности? 6. Что называется нормалью к поверхности? 7. Как написать уравнение нормали к поверхности? 8. Что называется линией уровня функции двух переменных? 9. Что называется поверхностью уровня функции трех переменных? 0. Что такое частная производная второго порядка функции нескольких переменных?. Что такое второй дифференциал функции нескольких переменных?. Что такое критическая точка функции нескольких переменных? 3. Обязана ли критическая точка быть точкой экстремума? 4. В чем состоит схема исследования функции нескольких переменных на экстремум? 5. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой ограниченной области? 6. Что такое условный экстремум функции нескольких переменных? 7. Что такое уравнение связи? 8. Что такое функция Лагранжа? 9. Что такое множители Лагранжа? 0. В чем состоит схема исследования функции нескольких переменных на условный экстремум?. Что называется стандартной формой задачи нелинейного программирования? ООО «Резольвента» (495)

23 ООО «Резольвента» (495) Как формулируется теорема Куна-Таккера? 3. Что называется стационарной точкой? ООО «Резольвента» (495)

24 ООО «Резольвента» (495) ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ А. Дана функция двух переменных Найти: f f. Частные производные y ; 3 f ( x y) = 3x y + y x 5y +.. Градиент функции f ( x y ) в точке (;3) ; 3. Производную функции f ( x y ) по направлению вектора ( 4; 3) в точке (;3) ; 4. Первый дифференциал функции f ( x y ) в точке (;) ; 5. Критические точки функции f ( x y ) ; 6. Вторые частные производные f f f ; y y 7. Второй дифференциал функции f ( x y ) ; 8. Экстремумы функции f ( x y ) ; 9. Наибольшее и наименьшее значения функции f ( x y ) на множестве Дана функция двух переменных { 3 x 3; 3 y 3}. g( x y) = 4x 4y. 0. Найти экстремумы функции g( x y ) при условии x y = 8. В. Найти наименьшее значение целевой функции ООО «Резольвента» (495)

25 ООО «Резольвента» (495) Z = x + y при наличии ограничения ( x ) + ( y ) 5 4 и определить точку ( ) x y в которой наименьшее значение целевой функции 0 0 достигается. ООО «Резольвента» (495)

26 ООО «Резольвента» (495) Основная: ЛИТЕРАТУРА. Бутузов В.Ф. Крутицкая Н.Ч. Медведев Г.Н. Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие / Под ред. В.Ф. Бутузова М.: Физматлит 00.. Бугров Я.С. Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие. М.: Физматлит Кремер Н.Ш. Путко Б.А. Тришин И.М. Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. СПб.: Издательство «Лань» 005. Дополнительная: 5. Ведина О.И. Десницкая В.Н. Варфоломеева Г.Б. Тарасюк А.Ф. Математика. Математический анализ для экономистов: Учебник. М.: Инф.-изд. дом «Филинъ» Рилант Геворкян Г.С. Высшая математика. Основы математического анализа: Учебник для вузов. М.: Физматлит Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие. / Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т..- М.: Физматлит Шипачев B.C. Высшая математика. М.: Высшая школа 00. ООО «Резольвента» (495)

Экстремум функции двух переменных

Экстремум функции двух переменных ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 11 Экстремум функции двух переменных Максимум или минимум функции называется её экстремумом Точка M 0, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума Если дифференцируемая

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для выполнения домашнего задания необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие вашему

Подробнее

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы студентов. Примерное время, необходимое для выполнения ДКР,

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ Абанин, ДА Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ

Подробнее

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра нелинейного анализа и аналитической экономики В. И. БАХТИН, И. А. ИВАНИШКО, А. В. ЛЕБЕДЕВ, О. И. ПИНДРИК МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение)

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение) Глава 5 Поверхностные интегралы -го типа (продолжение) 5 Задачи в классе Задача 5 (4349) Вычислить интеграл где часть поверхности конуса z d, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin α, z = ρ cos α ( ( ρ h,

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 4. Задача о назначениях.

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 4. Задача о назначениях. Лекция. Задача о назначениях. Постановка задачи. Институт получил гранты на выполнение четырех исследовательских проектов. Выходные результаты для первого проекта являются входными данными ля второго проекта

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции Вебинар 7 (6-7) Тема: Параметры ЕГЭ Профиль Задание 8 Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество значений функции 5 5 5 содержит отрезок Найдите все значения параметра, для каждого

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

Практическая работа: Решение задач по теме "Геометрический смысл производной. Механический смысл первой и второй производной"

Практическая работа: Решение задач по теме Геометрический смысл производной. Механический смысл первой и второй производной Молодечненский государственный политехнический колледж Практическая работа: Решение задач по теме "Геометрический смысл производной Механический смысл первой и второй производной" Разработчик: И А Кочеткова

Подробнее

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f ГЛАВА 7 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1 Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных Опр711 Пусть М (, y ), : O(М, ) Рассмотрим функцию 1 = 1 ()=

Подробнее

Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике

Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS

MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В. А. БРУСИН Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS V. A. BRUSIN The paper is a continuation of

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB=

ur uuur 2) для любой точки A из T и любого вектора p V существует единственная точка B в T, такая, что AB= Глава 1 ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ n R. 1.1. Точечные пространства Ранее было рассмотрено арифметическое пространство строк В математике конечный упорядоченный набор координат может интерпретироваться не только

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

Криволинейные интегралы 2-го типа

Криволинейные интегралы 2-го типа Глава 2 Криволинейные интегралы 2-го типа 2. Необходимые сведения из теории Напомним, обсужденный нами на предыдущем занятии криволинейный интеграл -го типа был удобен при отыскании скалярных величин,

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (9) 09-8-0 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебно-методическое

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1 Постановка задачи Пусть

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Государственный университет - Высшая школа экономики

Государственный университет - Высшая школа экономики Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Государственный университет - Высшая школа экономики Программа дисциплины Высшая

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ СОСТАВИТЕЛИ:

Подробнее

1.Дивергенция векторного поля.

1.Дивергенция векторного поля. ЛЕКЦИЯ N Дивергенция векторного поля Циркуляция Ротор отенциальные соленоидальные гармонические поля Операторы Лапласа и Гамильтона Дивергенция векторного поля Соленоидальные поля Циркуляция 4Формула Стокса

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

r 1 r r V, то в каждой точке P V существует rot a r r rot a = i x y k

r 1 r r V, то в каждой точке P V существует rot a r r rot a = i x y k 367 Получим формулу для вычисления ot a в прямоугольной декартовой системе координат Теорема Если векторное поле = + + ap Xyzi,, Yyz,, j Zyzk,, непре- V, то в каждой точке P V существует ot a рывно дифференцируемо

Подробнее

Экстремум функций нескольких переменных

Экстремум функций нескольких переменных Экстремум функций нескольких переменных МЮБаландин Май 004 Аннотация Рассматриваются вопросы, связанные с темой «Экстремум функции нескольких переменных» из второго семестра курса математического анализа

Подробнее

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии Лекция 7 Работа. Теорема об изменении кинетической энергии. Консервативные силы. Потенциальная энергия частицы в потенциальном поле. Примеры: упругая сила, гравитационное поле точечной массы. Работа. Теорема

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики. Схема переменных направлений для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в прямоугольнике. Как уже было показано

Подробнее

9 класс. 1 xy 1. x + y = 1 12, x 2 y + xy 2 = 12. xy = 3, x + y = 4.

9 класс. 1 xy 1. x + y = 1 12, x 2 y + xy 2 = 12. xy = 3, x + y = 4. 9 класс 5). Найдите все решения системы уравнений xy x + y =, x y + xy =. Заметим, что x y + xy = xyx + y). Введем замену xy = a, x + y = b. Тогда получаем a b =, b a = ab, b a =, b a =, b = + a, ab =

Подробнее

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1 B3 (2011) 60 3x =6 Ниже приведено решение уравнения программой UMS online 10.0 (www.umsolver.com) Отметим ОДЗ. 60 3x 0 60 3x =6 Преобразуем неравенство. x 20 60 3x =6 Воспользуемся свойством радикалов.

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями)

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями) ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 1/11 учебного года, 11 класс (с решениями) Задача 1 (1 балл) Найти наибольшее число, принадлежащее области определения функции Решение 1 способ Область определения функции задается

Подробнее

Уравнения математической физики

Уравнения математической физики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАСТИТЕЛЬНЫХ

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Методические указания по выполнению контрольных работ

Методические указания по выполнению контрольных работ Методические указания по выполнению контрольных работ В соответствии с учебным планом по дисциплине «Высшая математика» каждый студент должен выполнить две контрольные работы ( и ) в сроки, установленные

Подробнее

«ПРИКДАДНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ»

«ПРИКДАДНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ» ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2 «ПРИКДАДНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ» РЕШАЕМЫЕ ЗАДАЧИ: Задача об аренде партии верблюдов Задача о выборе транспортных средств СОДЕРЖАНИЕ И ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ОТЧЕТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ

Подробнее

Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных

Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала [ ] (,, ) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Письменный экзамен проводится в течение двух часов. На экзамене каждому студенту

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/10 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 10-1 В компании из 6 человек некоторые компаниями по трое ходили

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ УДК 518.85 НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В.В. Листопад Национальный университет пищевых технологий, г. Киев, Украина, vlystopad@ukr.et В докладе приведены три способа

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности

существовании предела монотонной последовательности. Предел последовательности ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис и координаты.

Подробнее

1 СЕМЕСТР. Контрольная работа 1 теме: «Предел функции».

1 СЕМЕСТР. Контрольная работа 1 теме: «Предел функции». Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения текущих и промежуточных аттестаций по дисциплине «Математический анализ» (направление 080500 «Бизнес-информатика») СЕМЕСТР В семестре предусмотрены

Подробнее

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода 5 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике 2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В5 Наталья и Александр Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 5 год демонстрационная версия Часть A Вычислите 5 8 9 5 6 6 6 Решение Воспользуемся формулой ( a ) = a : Правильный ответ: A Упростите выражение 5b 5b 5 8

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

1.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ. и ее масса и скорость). Из закона изменения импульса системы

1.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ. и ее масса и скорость). Из закона изменения импульса системы Импульс системы n материальных точек ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ где импульс i-й точки в момент времени t ( i и ее масса и скорость) Из закона изменения импульса системы где

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее