Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Неравенства с параметром на едином государственном экзамене В.В. Сильвестров"

Транскрипт

1 Неравенства с параметром на едином государственном экзамене ВВ Сильвестров Задания единого государственного экзамена (ЕГЭ) непременно содержат задачи с параметрами Планом экзаменационной работы 008 года ) в качестве такой задачи предусматривается неравенство с параметром задача С3 в разделе заданий высокого уровня сложности Успех при решении задач с параметрами, в том числе и неравенств, во многом зависит от удачного выбора метода решения задачи Целью данной статьи является ознакомление с некоторыми основными методами решения неравенств с параметром Рассмотрим одну из задач С3 экзаменационной работы ЕГЭ 007 года Задача Найдите все значения параметра a, для которых при каждом из промежутка [ 0) значение выражения 3 не равно значению выражения a 3 + Решение Пусть 3 = Так как 3 >, то показательная функция = 3 возрастает и непрерывна на всей числовой оси и, в частности, на промежутке [0), поэтому она при [0) принимает все значения от 3 0 = включительно до 3 = 3, исключая само значение 3, те [3) Тогда 3 a 3 + при всех [0) тогда и только тогда, когда a + для всех [3 ) () Имеются разные способы исследования неравенства () способ (решение относительно параметра и использование множества значений функции) Из неравенства () при [3 ) находим: a На промежутке [ 3) линейная функция y = с положительным коэффициентом и функция обратной пропорциональности возрастают и непрерывны, поэтому функция y y = с отрицательным коэффициентом =, как сумма двух возрастающих непрерывных функций, также возрастает и непрерывна Следовательно, множество значений этой функции на промежутке [ 3) есть промежуток [ y () y(3)) = [ / 3) Тогда a для всех [3) тогда и только тогда, когда a [ / 3) a ( ) [ / 3 + ) способ (графический) В системе координат Oy при < 3 построим график квадратичной функции y = = ( ) параболу с вершиной в точке ( ) и с ветвями, направленными вверх, и семейство прямых y = a + в зависимости от значений параметра а, причем прямые, пересекающие часть параболы y = на промежутке [3 ), изобразим пунктирными линиями, а не пересекающие её сплошными Найдем значения параметра а, для которых прямая y = a + проходит через точки ( 0) и (36) концы указанной части параболы Имеем: 0 = a + a = 6 = 3a + a = / 3 Тогда, как видно из рисунка, если a < или a / 3, то прямая y = a + не пересекает часть параболы на промежутке [3), поэтому справедливо неравенство () При остальных значениях а прямая y = a + пересекает указанную часть параболы, поэтому условие () не выполняется Следовательно, a ( ) [ / 3 + ) 3 способ (сведение к исследованию расположения корней квадратного трехчлена) Условие () равносильно тому, что квадратное уравнение ) См сайты ФИПИ и МО РФ: hp://wwwfipiru hp://egeeduru

2 = a + ( a + ) = 0 () не имеет корней на промежутке [3) Так как дискриминант D = ( a + ) + 6 этого уравнения всегда положителен, то оно имеет два различных корня, По теореме Виета = < 0, поэтому один из корней положительный, а другой отрицательный Следовательно, уравнение () не имеет корней на промежутке [3) тогда и только тогда, когда график функции y = ( a + ) парабола с ветвями, направленными вверх, имеет схематически одно из следующих расположений: С учетом того, что один из корней уравнения () отрицателен, эти параболы однозначно описываются аналитически совокупностью неравенств y() > 0 a > 0 a < ( ) [ / 3 + ) (3) a y a a / 3 способ (непосредственное нахождение корней квадратного уравнения) Решая уравнение (), найдем ее корни a + a + a + 7 a + + a + a + 7 =, = Так как a + a + 7 = ( a + ) + 6 > ( a + ), то первый корень всегда отрицателен, поэтому уравнение () не имеет корней на промежутке [3) тогда и только тогда, когда второй корень < или 3 Решим полученные неравенства: a + + a + a + 7 < < a + a + 7 < a a > 0 a < a < a + a + 7 < ( a) a < a + + a + a a + a + 7 a a < 0 a > a 0 a a / 3 a + a + 7 ( a) a / 3 Объединяя решения двух последних неравенств, найдем a ( ) [ / 3 + ) Ответ: ( ) [ / 3 + ) Анализ приведенных методов решения задачи показывает, что применительно к рассмотренной задаче наиболее простым и коротким является метод решения относительно параметра с последующим нахождением множества значений функции Этот метод особенно эффективен, когда параметр входит в уравнение или неравенство линейно В то же время, наиболее универсальным из всех приведенных методов является метод сведения задачи к исследованию расположения корней квадратного трехчлена, который с успехом применятся и в общем случае, когда параметр входит в квадратное уравнение или неравенство не только линейно Как правило, графический метод применяется для исследования уравнений и неравенств, в одной части которых (например, левой) записана не зависящая от параметра функция, а в другой части семейство хорошо известных функций, зависящих от параметра (например, линейных, квадратичных и тд) Метод непосредственного нахождения корней уравнения, часто квадратного, и последующего подчинения их условиям задачи в большинстве случаев приводит к большим объемам вычислений и преобразований, как правило, связанных с

3 решениями нескольких иррациональных неравенств, в силу чего требует большого ресурса времени, внимания и терпения Все методы решения предыдущей задачи с небольшими изменениями и усложнениями применимы также для решения следующих задач Задача Найдите все значения параметра a, для которых 3 а) log 0, + log0, a log0, при всех [ ) 6 б) a при всех (0] в) + ( a 3) при всех (6] г) + (3 a) + 0 при всех [ ) д) a при всех [ ) е) + 3 a при всех ( ] Прежде всего, заметим, что все эти задачи, по сути, являются различными отражениями одной и той же задачи е Действительно, первое неравенство а путем замены = log 0, в 3 силу равенства log 0, = 3log0, приводится к неравенству + 3 a Логарифмическая функция промежутке [ 6 = log 0, с основанием, меньшим, непрерывна и убывает на ), поэтому при ) переменная принимает все значения из [ 6 промежутка (log0, log0, ] = ( ] Тем самым, получаем задачу нахождения значений 6 параметра a, для которых + 3 a при всех ( ], (3) полностью совпадающую с последней задачей е Аналогично, посредством замен =, =, = и = к задаче (3) сводятся и остальные задачи б д y = + 3 Решение задачи (3) Из (3) находим: y y возрастает, а функция монотонности функции a Так как при (] функция = убывает, то утверждать что-либо определенное о = на промежутке (] в данном случае не удается, поэтому найдем множество значений этой функции, используя ее производную y = Сначала найдем наименьшее и наибольшее значения этой функции на отрезке [] На этом отрезке функция дифференцируема, так как имеет определенную на всем отрезке производную, поэтому она имеет там наименьшее и наибольшее значения, которые достигаются либо на концах отрезка, либо в критических точках, расположенных на отрезке Найдем их: y = 0 = ±3 Критическая точка 3 [ ], а точка 3 [ ] Так как y ( ) = 3, y( 3) =, y( ) =,, то наименьшее, а 3 наибольшее значение функции на отрезке [] Функция, как дифференцируемая, непрерывна на отрезке [], поэтому ее множество значений на нем есть отрезок от ее наименьшего до ее наибольшего значения, те [ 3] Так как наибольшее значение функции 3 принимается только при =, то множество значений функции y = на промежутке ( ] есть промежуток [ 3), и условие (3) выполняется тогда и только тогда, когда a [ 3), откуда получаем Ответ: a ( ) [3 + ) Задачу (3) можно решать и другими приведенными выше методами, однако они менее рациональны по сравнению с изложенным Советуем читателю самому убедиться в этом Рассмотрим возможности использования этих методов для решения задач с параметром, связанных с неравенствами общего вида 3

4 Задача 3 Найдите все значения параметра a, для которых неравенство log a a log + 3 а) выполняется при всех [ ) б) выполняется хотя бы для одного значения [ ) в) ни для одного значения из промежутка [) не выполняется г) выполняется для некоторых значений из промежутка [), среди которых имеются ровно два целых числа Решение графическим методом Обозначив = log, получим неравенство a a a ( + ), () которое надо исследовать при [0 ), так как при [ ) функция = log, как возрастающая и непрерывная, принимает все значения из промежутка [ log log ) = [0), и только их Тогда задача равносильна нахождению значений параметра a, для которых неравенство () выполняется при всех [0) в случае 3а, хотя бы для одного [0 ) в случае 3б, ни для одного [0 ) не выполняется в случае 3в и выполняется для всех или некоторых значений [0 ), среди которых содержатся два из следующих трех чисел log = 0, log =, log 3, соответствующих целым значениям из промежутка [), в случае 3г В системе координат Oy построим часть параболы y = 3 на промежутке [0) и семейство прямых y = a ( +) Найдем значения параметра а, для которых прямая y = a ( +) проходит через концы ( 0 3), () указанной части параболы и «среднюю» точку ( ) : a ( 0 + ) = 3 a = 3 a ( + ) = a = / 3 a ( + ) = a = Условию задачи 3а удовлетворяют те и только те прямые, которые расположены ниже указанной части параболы, или прямая, проходящая через ее «нижний» конец Как видно из рисунка, это имеет место при a 3 Условию 3б удовлетворяют прямые, которые расположены ниже указанной части параболы или пересекают ее, что имеет место при a < / 3 Условию 3в удовлетворяют прямые, расположенные выше указанной части параболы, или прямая, проходящая через ее «верхний» конец, откуда a / 3 Условию 3г удовлетворяют прямые, пересекающие указанную часть параболы и расположенные между прямыми, проходящими через «нижний» конец ( 0 3) и «среднюю» точку ( ), включая последнюю Это имеет место при 3 < a Ответы: а) ( 3] б) ( / 3) в) [ / 3 + ) г) ( 3 ] Заметим, что для решения задачи 3а достаточно было найти значение параметра а, для которого прямая y = a ( +) проходит только через «нижний» конец ( 0 3) части параболы, а для задач 3б и 3в значение а, для которого прямая y = a ( +) проходит только через «верхний» конец () Задачу 3 можно решить и другими методами Например, поделив обе части неравенства () на двучлен +, который при [0) положителен, получим равносильное неравенство 3 a () +

5 На промежутке [ 3 0) функция f ( ) = =, как непрерывная и возрастающая, + + принимает значения из промежутка [ 3 / 3), поэтому в случае 3а неравенство () будет выполняться при всех [0 ) тогда и только тогда, когда а меньше любого из значений функции f () на промежутке [ 0) или равно ее наименьшему значению, те a 3 Аналогично исследуются и другие случаи 3б 3г Задача Найдите все значения параметра a, для которых неравенство + a + < (a + 3) а) выполняется при всех значениях [ ) б) ни для одного значения из промежутка (] не выполняется в) выполняется хотя бы для одного значения из промежутка [ ) или (] Решение Обозначив =, в силу равенств = = запишем неравенство в виде ( a + 3) + a + < 0 (6) Как на промежутке [ ), так и на промежутке ( ] функция = принимает одни и те же значения от до включительно Следовательно, надо найти те значения параметра a, для которых квадратное неравенство (6) выполняется при всех (] в случае а, ни для одного значения (] не выполняется в случае б и выполняется хотя бы для одного значения (] в случае в Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности а) Неравенство (6) выполняется для всех (] тогда и только тогда, когда множество его решений содержит в себе промежуток (] Такое возможно лишь тогда, когда график функции f ( ) = (a + 3) + a + парабола имеет следующие расположения: которые описываются аналитически системой неравенств () 0 f a a 0 < a + () 0 f < a 8a + < 0 б) Дискриминант квадратного трехчлена f () равен D = a + Если D 0 a /, то f ( ) 0 и неравенство (6) при всех, значит, и при (] не выполняется Если D > 0 a > /, то неравенство (6) ни для одного значения (] не выполняется тогда и только тогда, когда парабола y = f () имеет следующие расположения: или Первые две параболы описываются аналитически системой неравенств D > 0 a > / f () 0 a a 0 < a 0 < a +, < а последние две системой D > 0 a > / f () 0 a 8a + 0 a + 0 > a +, > Объединяя все случаи, находим a ( ] [ + + ),

6 в) Данный случай является противоположным предыдущему, поэтому он имеет место, когда a ( ] [ + + ) a ( + ) Ответы: а) ( + ] б) ( ] [ + + ) в) ( + ) Подобно рассмотренным выше задачам, в которых ограничения на участвующие в них функции возникают из-за ограничений, наложенных на аргументы функций, задачи того же характера возникают и при отсутствии явных ограничений на аргументы функций в силу естественной ограниченности самих функций, например, sin,, +, и тд Задача Найдите все значения параметра a, для которых неравенство cos a < ( a + ) cos а) имеет хотя бы одно решение б) не имеет решений в) выполняется для всех Решение Пусть = cos Тогда a < ( a + ) ( a + ) a < 0 (7) Дискриминант квадратного трехчлена, записанного в левой части последнего неравенства, равен D = ( a + 3), поэтому в данном случае проще найти корни этого трехчлена =, = a + и само решение неравенства (7) Им будет интервал между точкам = и = a + Так как cos, то исходное тригонометрическое неравенство имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда неравенство (7) имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку [ ] Это возможно лишь при a + > a > 3 Если a + a 3, то неравенство (7) либо вообще не имеет решений (при a = 3), либо множество его решений не имеет ни одной общей точки с отрезком [ ] Следовательно, в этом случае исходное неравенство также не имеет решений Для того, чтобы исходное неравенство выполнялось для всех, необходимо, чтобы все числа из промежутка [ ] были решениями неравенства (7) Но =, как корень квадратного трехчлена, ни при каких a не может быть решением этого неравенства, поэтому значений параметра a, для которых выполняется условие в нет Ответы: а) ( 3 + ) б) ( 3] в) нет таких a Изложенные выше основные методы решения задач с параметрами, связанных с неравенствами, не исчерпывают все методы Надеемся, знакомство с ними поможет читателю сориентироваться в выборе рационального метода решения задачи Более подробно с изложенными методами решения неравенств с параметром, а также другими можно ознакомиться, например, по приведенным в конце статьи книгам Найдите все значения параметра a, для которых ) + a + 6 при всех [0) : ) 3 a 3 при всех [0) 3 Задачи для самостоятельного решения 3) log3 3log3 a log3 + при всех ) 3 [ 3 3 ) a 8 ( a) при всех ( 87] π ( π ] 6 ) a g ag + g при всех 6) a + при всех 7) + + a a + при всех значениях 6

7 Найдите все значения параметра a, для которых неравенство 8) + a + a + 6a < 0 выполняется при всех (0 ) ) + 3a + a < (a + 3) выполняется при всех [ 3 ] 0) ( a + 3)( a + ) < 0 выполняется при всех (0) ) ( 3 + a)( + a + ) 0 ни для одного значения [ ) не выполняется ) 3 a > выполняется хотя бы при одном отрицательном значении 3 3) ( a )lg < + lg ни для одного значения < 0, не выполняется ) < a не имеет решений ) a a имеет хотя бы одно решение 6) a + ( a ) 3 + a > 0 справедливо для всех значений 7) a + a sin a cos > выполняется при всех значениях 8) sin ( a )sin + a + < 0 выполняется хотя бы при одном значении ) cos a cos + a < 0 ни для одного значения не выполняется 0) ( a ) g + (a 3) g > 3 a выполняется хотя бы при одном π ( π ) ) < a + выполняется при всех [ ) ) a + выполняется при всех [ ] Ответы (,] (6 + ) ( 3) ( + ) 3 ( 6,) [ + ) [0] [ 0] 6 ( + ) 7 ( 0] 8 [( 7 ) / + ] ( 0/ 3) 0 [,3 ] ( 0] ( 3 3) 3 [ 3 + ) ( ] [ + ) 6 [ + ) 7 ( ( 3 3) / ) (( + ) / + ) 8 ( 0) ( ] [ + ) 0 ( 0,7 + ) [ + ) ( ] Рекомендуемая литература Амелькин ВВ, Рабцевич ВЛ Задачи с параметрами Минск, 6 6 с Горнштейн ПИ, Полонский ВБ, Якир МС Задачи с параметрами Москва Харьков, с 3 Мочалов ВВ, Сильвестров ВВ Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие -е изд, доп, перераб М, 006 с Сильвестров ВВ Множество значений функции: Учебное пособие - Чебоксары, 00 6 с 7

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

x возрастает; 4. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов: 1) Если функция y f x

x возрастает; 4. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов: 1) Если функция y f x Тема: Исследование функций Обор корней показательных уравнений Подготовка к ЕГЭ (задание ; ; 8) Производная Формулы дифференцирования: 0 Const k m k n n n sin cos cos sin cos sin tg ctg ln Правила дифференцирования:

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов АГ, г Брянск,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С5) Корянов АГ, Прокофьев АА Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений МАТЕМАТИКА ЕГЭ (типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений Корянов А Г, г Брянск, korynov@milru

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Общие сведения ЕГЭ Профильный уровень Задание 0 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Дихтярь МБ Уравнение f ( a) x + g( a) x + ϕ ( a) = 0, где f ( a) 0, является

Подробнее

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

Ускользающая парабола

Ускользающая парабола Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи, сводящиеся к квадратичным Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 4 В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи,

Подробнее

ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 5 Итак, уравнение имеет два корня: x=0 и x. Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют данному уравнению. Ответ: УДК 5.(07.07) x=0 и 5 x. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ БЕЗ

Подробнее

Расположение корней квадратного трехчлена.

Расположение корней квадратного трехчлена. Задачи с использованием касательных. Задачи с квадратным трехчленом.. Найдите все значения параметра, при которых прямая y имеет с параболой y 3 единственную общую точку. Сделать чертеж.. Найдите все значения

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Подробнее

Модуль и производная В.В. Сильвестров

Модуль и производная В.В. Сильвестров Модуль и производная В.В. Сильвестров При решении некоторых задач приходится находить производную функции, содержащей один или несколько модулей. Такие задачи возможны и на едином государственном экзамене

Подробнее

Н.В. ЛАТЫПОВА КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

Н.В. ЛАТЫПОВА КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ОЧНО ЗАОЧНАЯ ШКОЛА Н.В. ЛАТЫПОВА КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Ижевск

Подробнее

Досрочный экзамен по математике в форме ЕГЭ, 11 класс. 23 апреля 2013 г.

Досрочный экзамен по математике в форме ЕГЭ, 11 класс. 23 апреля 2013 г. Досрочный экзамен по математике в форме ЕГЭ, класс 3 апреля 3 г С Окружность радиуса 6 вписана в прямой угол Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках М и N Известно,

Подробнее

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 А.В. Шевкин, avshevkin@mail.ru Аннотация: В статье разобраны различные способы решения ряда заданий с параметром. Ключевые слова: уравнение, неравенство, параметр, функция,

Подробнее

ID_4970 1/7 neznaika.pro

ID_4970 1/7 neznaika.pro Уравнения, неравенства, системы с параметром Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

Аннотация к рабочей программе » 1. Пояснительная записка

Аннотация к рабочей программе » 1. Пояснительная записка Аннотация к рабочей программе Рабочая программа учебного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами» являясь составной частью образовательной программы среднего общего образования МАОУ «Лицей

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Показательные уравнения и неравенства Показательные уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина входит в аргумент

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ I Рациональные алгебраические уравнения Равносильность уравнений Равносильность уравнений на множестве Равносильность

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 2

Параметры и квадратный трёхчлен. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Доклад по теме: задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Выполнила Яценко Ирина Алексеевна Учитель математики МОУ СОШ 16 г. Щелково Щелково 2011 г. Содержание Знакомство с параметрами...

Подробнее

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ СК Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ Учебно-методическое пособие для учителей математики, студентов математических специальностей педагогических вузов, абитуриентов ОРЕЛ 0 Кожухов СК Уравнения

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

ID_6684 1/8 neznaika.pro

ID_6684 1/8 neznaika.pro Уравнения, неравенства, системы с параметром Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 1 Мы приступаем к изучению уравнений вида ax + bx + c = 0. (1) Если a 0, то уравнение (1) является квадратным.

Подробнее

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Решение задач с параметрами. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Решение задач с параметрами (01 015

Подробнее

Линейные уравнения и неравенства с параметрами и сводящиеся к ним

Линейные уравнения и неравенства с параметрами и сводящиеся к ним = n Задания к программе учебного курса «Задачи с параметрами» для учащихся класса социально-экономического профиля Учитель Тихонова АВ, школа 7 Линейные уравнения и неравенства с параметрами и сводящиеся

Подробнее

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5

Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 Общие сведения Задачи с параметрами Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 1 Подготовка к ЕГЭ Дихтярь М.Б. 1. Абсолютной величиной, или модулём числа х, называется само число х, если х 0; число x,

Подробнее

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ. Задачи, в которых участвуют обратные функции, встречаются в самых различных разделах математики и в ее приложениях.

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ. Задачи, в которых участвуют обратные функции, встречаются в самых различных разделах математики и в ее приложениях. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ Задачи, в которых участвуют обратные функции, встречаются в самых различных разделах математики и в ее приложениях Важную область математики составляют обратные задачи в теории интегральных

Подробнее

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ МАТЕМАТИКА Программа «11 класс» 2013-2014 учебный год Часть 1, алгебра и начала анализа Оглавление Глава 1. Содержание курса и контрольных работ...

Подробнее

г. Классная работа.

г. Классная работа. 5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

Домашнее задание по задачам С5 к лекции 2 по подготовке к ЕГЭ

Домашнее задание по задачам С5 к лекции 2 по подготовке к ЕГЭ Домашнее задание по задачам С5 к лекции по подготовке к ЕГЭ Задача 1 При каких р данная система имеет решения? Задача При каждом а решите систему уравнений: Задача 3 При каких значениях параметра а прямая

Подробнее

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1))

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) Отбор корней в тригонометрических уравнениях. (типовые задания С1) СОДЕРЖАНИЕ 1. Способы отбора корней в тригонометрических ур-ях. 1 2. Отбор общих

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ;

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ; C5 При каждом значении а решите систему Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям Из второго уравнения системы находим Осталось заметить, что тогда Уравнение при условиях и имеет при,

Подробнее

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6.

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 1 1. Решите неравенство: Вариант 1 5 2x x 2 (2x 6) 0. 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: x 4 2x 9. 3. Найдите значение выражения при x = 35: 6 (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 4. Найдите наибольшее

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

2. Место предмета в учебном плане 3. Содержание курса Тема 1. Линейные уравнения, их системы и неравенства с параметром.

2. Место предмета в учебном плане 3. Содержание курса Тема 1. Линейные уравнения, их системы и неравенства с параметром. вооружению учащихся специальными и общеучебными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать знания по данному курсу. 2. Место предмета в учебном плане Программа элективного курса «Решение уравнений

Подробнее

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Системы линейных уравнений с двумя переменными Системы линейных уравнений с двумя переменными Система уравнений вида называется системой линейных уравнений с двумя переменными. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений

Подробнее

1 Степень с целым показателем

1 Степень с целым показателем Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий)

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Корянов АГ, Надежкина НВ Задания В Исследование функций Математика ЕГЭ 0 (система задач из открытого банка заданий) Задания В Исследование функций Материалы подготовили: Корянов А Г (г Брянск); e-mail:

Подробнее

1. Пояснительная записка.

1. Пояснительная записка. 1. Пояснительная записка. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры школьника, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано

Подробнее

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ. по алгебре и началам анализа для кадет I курса. Неравенства (подготовка к ГИА)

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ. по алгебре и началам анализа для кадет I курса. Неравенства (подготовка к ГИА) ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ КАДЕТСКИЙ КОРПУС 3 Дисциплина: «Математика, основы информатики и вычислительной техники» УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по алгебре и началам анализа для кадет I курса Неравенства (подготовка к ГИА)

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ С Шестаков, М Галицкий, Москва УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, часто вызывают у школьников старших классов

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ

ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ Программа вступительного испытания по математике, проводимого Академией самостоятельно для отдельных категорий граждан в соответствии с Правилами приема На вступительном экзамене по математике поступающий

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка В 1 веке - веке новых технологий все больше специальностей требует высокого уровня образования, связанного с непосредственным применением математики. Математические методы исследования

Подробнее

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x):

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): 1. Область определения функции это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы»

Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Представляю разбор контрольных работ из сборника «Л.А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы» Иногда трудно самостоятельно разобраться со всеми заданиями, предлагаемыми на контрольных, особенно

Подробнее

Презентация опыта «Факультатив по математике. Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств»

Презентация опыта «Факультатив по математике. Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств» Т Л Короленя, учитель математики гимназии 1 г Слонима Презентация опыта «Факультатив по математике Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств» Программа по математике для средней общеобразовательной

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 1

Параметры и квадратный трёхчлен. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 1 Мы начинаем с рассмотрения уравнений вида ax + bx + c = 0. 1 Если a 0, то уравнение 1 является квадратным. Не забываем,

Подробнее

Задачи с параметром в ЕГЭ

Задачи с параметром в ЕГЭ Л.А. Штраус, И.В. Баринова Задачи с параметром в ЕГЭ Методические рекомендации y=-x 0 -a- -a х -5 Ульяновск 05 Штраус Л.А. Задачи с параметром в ЕГЭ [Текст]: методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В.

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Пояснения к демонстрационному варианту

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ. Пояснения к демонстрационному варианту Демонстрационный вариант ЕГЭ 009 г. МАТЕМАТИКА, класс. (009 - ) П Проект Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Пояснения к демонстрационному варианту При ознакомлении с Демонстрационным вариантом

Подробнее

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013).

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013). Математика Собрание заданий (09 апреля 013) Задачи с параметром-1 Задача 1 (006 г, Тихов МС, Авдонин АА) Найти все значения параметра a, при каждом из которых система 3 x + ( a 4) x + (5 3 a) x + a 0 (1)

Подробнее

«Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений»

«Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений» Научно-исследовательская работа Математика «Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений» Выполнила: Гудкова Елена обучающаяся 11 класса «Г» МБОУ СОШ «Аннинский Лицей» п.г.т. Анна Руководитель:

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

Тема 39. «Производные функций»

Тема 39. «Производные функций» Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов А Г г Брянск akoryanov@mailru Прокофьев АА г Москва aaprokof@yanderu СОДЕРЖАНИЕ Способы отбора корней в тригонометрических

Подробнее

Исследование квадратного трехчлена

Исследование квадратного трехчлена Исследование квадратного тречлена Пусть f(x) = ax 2 + bx + c имеет действительные корни x 1 и x 2, а M какое-нибудь действительное число, D = b 2 4ас - дискриминант При решении конкретны задач нужно особо

Подробнее

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература: 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Рекомендации по подготовке к выполнению задания 18 (задачи с параметром) ЕГЭ профильного уровня

Рекомендации по подготовке к выполнению задания 18 (задачи с параметром) ЕГЭ профильного уровня НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «Московский институт электронной техники» Зеленоград 30 ноября 2017 Рекомендации по подготовке к выполнению задания 18 (задачи с параметром) ЕГЭ профильного уровня

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Прокофьев А.А. Задачи с параметрами

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Прокофьев А.А. Задачи с параметрами МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Прокофьев АА Задачи с параметрами Москва 004 ББК 4 П78 УДК 5(0754) Рецензенты: Кожухов ИБ доктор физико-математических

Подробнее

УДК :512 ББК 22.14я721.6 М52

УДК :512 ББК 22.14я721.6 М52 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я721.6 М52 Мерзляк, А.Г. М52 Алгебра : 9 класс : cамостоятельные и контрольные работы : пособие для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции Вебинар 7 (6-7) Тема: Параметры ЕГЭ Профиль Задание 8 Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество значений функции 5 5 5 содержит отрезок Найдите все значения параметра, для каждого

Подробнее

(задание 18) Задание имеет или семь или восемь решений. a 4 0 при всех. 2 или t2 2

(задание 18) Задание имеет или семь или восемь решений. a 4 0 при всех. 2 или t2 2 Вебинар 5 Тема: Повторение Подготовка к ЕГЭ (задание 8) Задание 8 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a a 0 имеет или семь или восемь решений Пусть, тогда t t Исходное уравнение

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Уравнения и неравенства с параметрами. Работу выполнила ученица 10 класса ГОУ СОШ 448 Бастрыгина Кристина Руководитель: Кноп Л. С.

Уравнения и неравенства с параметрами. Работу выполнила ученица 10 класса ГОУ СОШ 448 Бастрыгина Кристина Руководитель: Кноп Л. С. Уравнения и неравенства с параметрами Работу выполнила ученица класса ГОУ СОШ 8 Бастрыгина Кристина Руководитель: Кноп Л. С. Содержание. Введение. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным...

Подробнее

«Решение задач с параметром и модулем» Пояснительная записка

«Решение задач с параметром и модулем» Пояснительная записка «Решение задач с параметром и модулем» Пояснительная записка Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета

Подробнее

Методы решения задач с параметром

Методы решения задач с параметром Научно-исследовательская работа «Старт в науке» Тема работы: Методы решения задач с параметром Выполнил: Власов Никита Денисович учащийся 11 класса МБОУ «СОШ 5 с углубленным изучением отдельных предметов»

Подробнее

и x 1x 2, в частности сумму одинаковых

и x 1x 2, в частности сумму одинаковых Тема Квадратное уравнение Формулы Виета Два алгебраических выражения, соединенных знаком «=», образуют равенство Равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется

Подробнее

Г.И. КОВАЛЕВА, Е.В. КОНКИНА. Функциональный. метод решения уравнений и неравенств

Г.И. КОВАЛЕВА, Е.В. КОНКИНА. Функциональный. метод решения уравнений и неравенств Г.И. КОВАЛЕВА, Е.В. КОНКИНА 0 Функциональный метод решения уравнений и неравенств БИБЛИОТЕЧКА «ПЕРВОГО СЕНТЯБРЯ» Серия «Математика» Выпуск 0 Г.И. Ковалева, Е.В. Конкина ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Задания с параметром (примеры, исследование, практикум)

Задания с параметром (примеры, исследование, практикум) Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских работ учащихся 9-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Задания с параметром

Подробнее

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений,

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

Графический способ в задачах с параметром.

Графический способ в задачах с параметром. Графический способ в задачах с параметром. Задачи с одним подвижным ГМТ.. Уравнение вида.. Уравнения вида F(,а)=G().. Найти все значения a, при которых уравнение a имеет единственное решение.. Найти все

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1 B3 (2011) 60 3x =6 Ниже приведено решение уравнения программой UMS online 10.0 (www.umsolver.com) Отметим ОДЗ. 60 3x 0 60 3x =6 Преобразуем неравенство. x 20 60 3x =6 Воспользуемся свойством радикалов.

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение среднего (полного) общего образования «Средняя общеобразовательная школа 7 г.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение среднего (полного) общего образования «Средняя общеобразовательная школа 7 г. Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение среднего (полного) общего образования «Средняя общеобразовательная школа 7 г.кировска» Рассмотрена на заседании МО учителей математики и информатики

Подробнее

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ. Элективного учебного предмета по алгебре и началам анализа «Задачи с параметрами» 11 класс

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ. Элективного учебного предмета по алгебре и началам анализа «Задачи с параметрами» 11 класс Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 7» УТВЕРЖДАЮ Директор МБОУ СОШ 7 Н.В.Киселева 30.08.203г. КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ Элективного учебного

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Корянов АГ, Прокофьев АА Методы решения неравенств с одной переменной МАТЕМАТИКА ЕГЭ типовые задания С Методы решения неравенств с одной переменной Корянов А Г, г Брянск, korynov@milru Прокофьев АА, г

Подробнее