Лекция 4. Доверительные интервалы

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 4. Доверительные интервалы"

Транскрипт

1 Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

2 Cодержание Содержание 1 Доверительные интервалы Общая схема построения доверительных интервалов Асимптотические доверительные интервалы Распределения статистик для выборок из нормальной генеральной совокупности Распределение Стьюдента Cтатистика Пирсона Точные доверительные интервалы для нормальной генеральной совокупности 2 Гамма-распределение Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

3 Общая схема построения доверительных интервалов Общая схема построения доверительных интервалов Пусть задана генеральная совокупность ξ с функцией распределения F ξ (x). Имеется выборка X [n] = (X 1,..., X n ) из этой генеральной совокупности и неизвестный параметр распределения θ Θ R. Определение 1 Пусть для некоторого α (0, 1) существуют статистики S (X [n], α) и S + (X [n], α) такие, что P { S (X [n], α) < θ < S + (X [n], α) } = 1 α, тогда интервал ( S (X [n], α), S + (X [n], α) ) называется доверительным интервалом для параметра θ с уровнем доверия (1 α). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

4 Общая схема построения доверительных интервалов Укажем общий метод построения доверительных интервалов, который будет использован далее. Пусть известна статистика Y (S(X [n] ), θ), содержащая оцениваемый параметр θ и его точечную оценку S(X [n] ) со следующими свойствами: 1 Функция распределения F Y (x) случайной величины Y известна и не зависит от θ. 2 Функция Y (S(X [n] ), θ) непрерывна и строго монотонна по θ. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

5 Общая схема построения доверительных интервалов Зададим уровень значимости α. Обычно доверительный интервал строят так, чтобы дополнительные интервалы ( inf, S (X [n], α)), (S + (X [n], α), + inf) накрывали θ равновероятно (с вероятностью α/2). Находим квантили y α/2 и y 1 α/2 распределения случайной величины Y порядка α/2 и 1 α/2 и далее получаем P(y α/2 < Y (S(X [n] ), θ) < y 1 α/2 ) = F (y 1 α/2 ) F (y α/2 ) = 1 α. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

6 Общая схема построения доверительных интервалов Пусть для опреденности, функция Y (S(X [n] ), θ) строго возрастает по θ. Тогда обратная функция Y 1 (y) для Y (S(X [n] ), θ) также будет строго возрастающей. Тогда неравенство эквивалентно неравенству y α/2 < Y (S(X [n] ), θ) < y 1 α/2 (1) Y 1 (y α/2 ) < θ < Y 1 (y 1 α/2 ). (2) Получаем доверительный интервал для θ P(S (X [n], α) < θ < S + (X [n], α)) = 1 α, где S (X [n], α) = Y 1 (y α/2 ), S + (X [n], α) = Y 1 (y 1 α/2 ). Для случая строгого убывания Y (S(X [n] ), θ) по θ знаки неравенства в (1), (2) будут противополжного смысла. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

7 Асимптотические доверительные интервалы Асимптотические доверительные интервалы Определение 2 Пусть для некоторого α (0, 1) существуют статистики S (X [n], α) и S + (X [n], α) такие, что lim P { S (X [n], α) < θ < S + (X [n], α) } = 1 α, n тогда интервал ( S (X [n], α), S + (X [n], α) ) называется асимптотическим (приближенным) доверительным интервалом. Построение асимптотических доверительных интервалов основано на асимптотически нормальных оценках. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

8 Асимптотические доверительные интервалы Предположим, что оценка ˆθ = ˆθ(X [n] ) является асимптотически нормальной, т. е. d n(ˆθ θ) ς N(0, n σ2 ), где дисперсия σ 2 (θ) коэффициент асимптотического рассеивания. Предположим, что функция σ 2 (θ) непрерывна на Θ и отлична от нуля для любого θ Θ. Лемма 1 Случайный вектор ( d n(ˆθ θ), ˆθ) (ζ, θ), где ζ подчиняется n нормальному распределению N(0, σ 2 (θ)). Доказательство Покажем, что характеристическая функция случайного вектора ( n(ˆθ θ), ˆθ) удовлетворяет условию: ϕ ( n(ˆθ θ),ˆθ) (t 1, t 2 ) n ϕ (ζ,θ)(t 1, t 2 ) = Ee it 1ζ+it 2 θ. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

9 Асимптотические доверительные интервалы Действительно, ϕ ( n(ˆθ θ),ˆθ) (t 1, t 2 ) = Ee it 1 n(ˆθ θ)+i(t 2 ˆθ±θt 2 ) = = e it 2θ = Ee i n(ˆθ θ)(t 1 + t 2 n ) e it 2 θ = e it2θ ϕ n(ˆθ θ) (t 1 + t 2 ) = n } ({ ϕ n(ˆθ θ) (t 1 + t 2 n ) ϕ ζ (t 1 + t 2 n ) При этом, ϕ ζ (t 1 + t 2 / n) ϕ ζ(t 1 ), так как любая n характеристическая функция равномерно непрерывна. Имеет место сходимость: ϕ n(ˆθ θ) (t 1 + t 2 n ) ϕ ζ (t 1 + t 2 n ) n 0, + ϕ ζ (t 1 + t 2 n ) так как при любом t: ϕ n(ˆθ θ) (t) ϕ ζ(t), и сходимость равномерна на любом конечном промежутке. ). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

10 Асимптотические доверительные интервалы Следовательно, выполняется сходимость: ϕ ( n(ˆθ θ),ˆθ) (t 1, t 2 ) n eit 2θ ϕ ζ (t 1 ) = Ee it 2θ+iζt 1 = ϕ (ζ,θ) (t 1, t 2 ). Лемма доказана. Рассмотрим функцию от двух переменных H(x 1, x 2 ) = x 1 /σ(x 2 ), она непрерывна на R Θ. Случайный вектор (ζ, θ) T R Θ, следовательно, можем воспользоваться теоремой непрерывности: H( n(ˆθ n θ), ˆθ n ) Таким образом, имеет место сходимость: n(ˆθ θ) σ(ˆθ) d ζ H(ζ, θ) = N(0, 1). n σ(θ) d η N(0, 1). n Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

11 Асимптотические доверительные интервалы Тогда справедливо следующее соотношение: n(ˆθ P{ z 1 α < θ) < z 2 1 α 2 σ(ˆθ) } 1 α = 1 n 2π z1 α 2 z 1 α 2 e y 2 2 dy, где z 1 α квантиль стандартного нормального распределения уровня 2 1 α/2, то есть, F (z 1 α ) = 1 α/2, где F (x) функция 2 стандартного нормального распределения. Получаем асимптотический доверительный интервал с уровнем доверия 1 α: σ(ˆθ) σ(ˆθ) P{ˆθ z 1 α < θ < ˆθ + z 2 1 α } 1 α. n 2 n Ширина доверительного интервала характеризует точность интервальной оценки. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

12 Асимптотические доверительные интервалы Пример 1 Рассмотрим схему Бернулли, в которой n испытаний. Пусть m число успехов. Выборка X [n] = (a 1,..., a n ) состоит из последовательности нулей и единиц, тогда функция правдоподобия имеет вид: L(X [n], p) = p m q n m, p Θ = (0, 1), где m число единиц в выборке. Логарифмическая функция правдоподобия имеет вид: ln L = m ln p + (n m) ln(1 p). Найдем оценку максимального правдоподобия: ln L p = m p n m 1 p = m mp np + mp p(1 p) = 0. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

13 Следовательно, получаем оценку: ˆp = m n. Асимптотические доверительные интервалы Убеждаемся, что ˆp максимизирует функцию правдоподобия: 2 ln L p 2 = m p 2 n m (1 p) 2 < 0. Следовательно, ˆp = m n точка максимума или оценка по методу максимального правдоподобия. Нетрудно показать, что оценка ˆp асимптотически нормальна: n ( m n p ) = m np n = n i=1 ξ i np n = = n (ξ i p) n i=1 d ζ N(0, pq), n где P{ξ i = 1} = p, P{ξ i = 0} = q = 1 p, σ 2 = pq = p(1 p). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

14 Асимптотические доверительные интервалы Воспользуемся доказанным утверждением: n(ˆθ θ) σ(ˆθ) Тогда имеет место сходимость: n( m n p) m n (1 m n ) d η N(0, 1). n d η N(0, 1). n Следуя приведенным выше рассуждениям, получаем доверительный интервал с уровнем доверия 1 α для вероятности p: ( m m n z 1 α n (1 m n ), 2 n m m n + z 1 α n (1 m n ) ) 2 n Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

15 Распределения статистик для выборок из нормальной генеральной совокупности Распределения статистик для выборок из нормальной генеральной совокупности Пусть имеется генеральная совокупность ξ N(a, σ 2 ) и выборка X [n] из этой генеральной совокупности. Если ξ гауссова случайная величина, то функция плотности ее распределения имеет вид: f ξ (x) = 1 2πσ e (x a)2 2σ 2, x R, а если ξ гауссов случайный вектор, то f ξ (x) = 1 e 1 (2π) n 2 (x a)t Σ 1 (x a), x R m. 2 Σ В первом случае предполагается, что σ 2 > 0, а во-втором, что det Σ 0. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

16 Распределения статистик для выборок из нормальной генеральной совокупности Любому распределению взаимно однозначно соответствует характеристическая функция. С помощью метода характеристических функций легко получить, что компоненты гауссова случайного вектора независимы тогда и только тогда, когда ковариационная матрица Σ диагональна или, другими словами, когда равны нулю попарные ковариации всех компонент. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

17 Распределения статистик для выборок из нормальной генеральной совокупности Лемма 2 Пусть ζ случайный вектор размерности m, подчиняющийся многомерному нормальному распределению N(a, Σ), пусть A любая матрица размерности n m, b вектор размерности n 1. Тогда вектор η = Aζ + b подчиняется нормальному распределению N ( Aa + b; AΣA T ). Доказательство Рассмотрим ϕ η (t) = Ee itt η = e itt b Ee i(tt A)ζ = e itt b ϕ ζ (t T A) = = Ee itt (Aa+b) 1 2 tt AΣA T t, где Aa + b математическое ожидание, AΣA T ковариационная матрица случайного вектора η. Лемма доказана. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

18 Распределения статистик для выборок из нормальной генеральной совокупности Лемма 3 Пусть ξ N ( 0, σ 2 E n ) и ξ = 1 n n i=1 ξ i среднее арифметическое. Тогда ξ и вектор ( ξ 1 ξ,..., ξ n ξ ) взаимно независимы. Доказательство Возьмем любой элемент вектора, например, ξ k ξ, и проверим его независимость с ξ. Рассмотрим разность: ξ k ξ = ξ k 1 n ξ i = 1 n n ξ n ξ k 1 + n 1 n ξ k i=1 1 n ξ k ( n ξ n = 1 n,..., 1 n, n 1 n, 1 n,... 1 ) ξ, n ξ = 1 n ξ ( 1 n ξ n = n,..., 1 ) ξ, n ( 1 n,..., 1 n, n 1 n, 1 n,..., 1 ) ( ) n ξk ξ 1 n, 1 n,..., 1 ξ =. n ξ Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

19 Распределения статистик для выборок из нормальной генеральной совокупности Тогда по лемме 2 получаем: ( ξk ξ ) N ξ ( ( 0 0 ), ( σ σ 2 2 ) ), где σ1 2 = n 1 n σ2, σ2 2 = 1 n σ2, внедиагональные элементы равны нулю, поскольку ( σ 2 1 n,..., 1 n, n 1 n, 1 n,..., 1 ) ( 1 n n,..., 1 ) T = n Лемма доказана 2 (n 1) + (n 1) = σ n 2 = 0. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

20 Распределения статистик для выборок из нормальной генеральной совокупности Лемма 4 Пусть ξ = (ξ 1,..., ξ m ) T N(0, E m ), CC T = C T C = E m и η = Cξ. Тогда τ = m ξk 2 η η2 r подчиняется распределению k=1 хи-квадрат с m r степенями свободы, и случайные величины η 1,..., η r взаимно независимы с τ. Доказательство Из леммы 2 следует, что η N(0, E m m ). Как легко видеть, имеет место равенство: m m ξi 2 = ξ T ξ = ξ T C T Cξ = η T η = ηi 2. i=1 Следовательно, справедливо равенство: m ξi 2 η ηr 2 = i=1 полученное равенство доказывает лемму. m j=r+1 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49 i=1 η 2 j,

21 Распределение Стьюдента Распределение Стьюдента Определение 3 Пусть заданы случайные величины ζ N(0, 1) и τ k χ 2 k. Пусть случайные величины ζ и τ k взаимно независимы. Распределение случайной величины ξ = ζ τk k называется распределением Стьюдента с k степенями свободы и обозначается через T k. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

22 Распределение Стьюдента Замечание 1 Очевидно, что если ζ N(0, 1) и ζ 1,...,ζ k взаимно независимые случайные величины, подчиняющиеся стандартному нормальному распределению, независимые с ζ, тогда Лемма 5 ζ ζ ζ2 k k T k. Пусть ζ = η/ξ, где η, ξ взаимно независимые случайные величины. Пусть ξ п.н. > 0, f ξ (x), f η (y) плотности распределения ξ и η соответственно, тогда плотность распределения f ζ (z) дроби ζ имеет вид: f ζ (z) = 0 xf ξ (x)f η (zx)dx. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

23 Распределение Стьюдента Доказательство Найдем функцию распределения случайной величины ζ: F ζ (z) = P{ζ z} = = zx 0 {(x,y): y x z,x>0} f ξ (x)f η (y)dxdy = f ξ (x)f η (y)dydx = 0 f ξ (x) z f η (xs)xds dx. Положим s = y/x, dy = xds. Меняем порядок интегрирования: F ζ (z) = z Полученное равенство доказывает лемму. 0 xf ξ (x)f η (xs)dx ds. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

24 Распределение Стьюдента Лемма 6 Пусть η N(0, 1), ξ = τ, τ χ 2 k. Пусть случайные величины η и τ взаимно независимы. Тогда случайная величина ζ = η/ξ имеет плотность распределения следующего вида: f ζ (z) = k+1 Γ( 2 ) 1 πγ( k 2 ) (1 + z 2 ) k+1 2 Доказательство Распределение хи-квадрат с k степенями свободы представляет собой гамма-распределение с параметрами формы k/2 и масштаба 1/2: f τ (x) = ( 1 2 ) k 2 x k 2 1 Γ( k 2 ) e x 2, x > 0; 0, x 0. Как легко заметить, имеет место равенство: P{ τ x} = P{τ x 2 }, Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

25 тогда Доверительные интервалы f τ (x) = 2xf τ (x 2 ) = Следовательно, имеют место равенства: f ζ (z) = 0 Распределение Стьюдента { 1 x k 1 2 k 2 1 Γ( k 2 ) e x 2 1 xf ξ (x)f η (zx)dx = 2 k 2 1 Γ( k 2 ) 2π = 1 2 k 1 2 Γ( k 2 ) π = 0 2, x > 0; 0, x 0. 0 x k e x2 2 (z2 +1) dx = 1 1 πγ( k 2 ) (z 2 + 1) k+1 2 где u = x 2 (z 2 + 1)/2, xdx = du/(z 2 + 1), причем, 2 1 e u du = Γ ( ) k+1. 0 u k+1 2 x k e x2 2 e z2 x 2 2 dx = 0 u k e u du, Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

26 Распределение Стьюдента Следствие 1 Плотность распределения Стьюдента с k степенями свободы имеет вид: k+1 Γ( 2 f (z) = ) 1 πkγ( k 2 ). (3) (1 + z 2 /k) k+1 2 Доказательство Для доказательства достаточно заметить, что случайная величина kζ подчиняется распределению Стьюдента с k степенями свободы и f kζ (z) = 1 k f ζ ( z k ). Замечание 2 Можно показать, что для плотности f (z) из выражения (3) имеет место сходимость: 1 f (z) e z2 2. k 2π Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

27 Cтатистика Пирсона Статистика Пирсона Пусть задана генеральная совокупность ξ с функцией распределения F ξ и выборка X [n] = (X 1,..., X n ). Разобьем числовую ось на r непересекающихся интервалов: = a 0 < a 1 <... < a r =. Обозначим через 1 = (, a 1 ], 2 = (a 1, a 2 ],..., r = (a r 1, ). Пусть p i = F ξ (a i ) F ξ (a i 1 ) вероятность того, что случайная величина ξ попадет в интервал i, r i=1 p i = 1. Пусть n i количество элементов выборки X [n], попавших в i. Определим статистику χ 2 следующим образом: χ 2 = r (n i np i ) 2 i=1 np i, (4) где n i частота (количество элементов выборки, попавших в i ), np i ожидаемое количество наблюдений в интервале i. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

28 Cтатистика Пирсона Определение 4 Статистики вида 4 называются статистиками χ 2 или статистиками Пирсона. Покажем, что статистика Пирсона может быть преобразована к статистике первого типа: χ 2 = r (n i np i ) 2 i=1 np i r ( 1 n i = n pi n ) 2 p i = i=1 r n = n 1 I {X j i } p i pi i=1 j=1 2. (5) Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

29 Cтатистика Пирсона Рассмотрим статистику первого типа S(X [n] ) = h( 1 n n g(x j )), где в качестве h возьмем функцию h(t 1,..., t r ) = = r ( ti ) 2, p i g(x) = (g 1 (x),..., g r (x)) и g i (x) = 1 pi I {x i }, i = 1,..., r. Получаем, что 1 n n g(x j ) = j=1 j=1 i=1 ( ) 1 n 1 p1 n,..., 1 n r. pr n Таким образом, статистика χ 2 представляет собой произведение константы n на статистику первого типа. Следовательно, можно воспользоваться теоремой 8 (Л2) о предельном распределении статистик первого типа. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

30 Cтатистика Пирсона Очевидно, что a = (a 1,..., a r ) = (Eg 1 (ξ),..., Eg r (ξ)) = ( p 1,..., p r ), при этом h (a) = 0, 1 2 h (a) = E r, где E r единичная матрица порядка r. Из теоремы 8 (Л2) получаем, что χ 2 (X [n] ) d n ζt ζ = ζ ζ 2 r, где ζ N(0, Dg(ξ)). Вычислим ковариационную матрицу Dg(ξ): { } Dg(ξ) = E g(ξ)g T (ξ) Eg(ξ) (Eg(ξ)) T, после дополнительных преобразований получаем Dg(ξ) = E r ( p 1,..., p r ) T ( p 1,..., p r ). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

31 Cтатистика Пирсона Пусть C ортонормированная матрица CC T = C T C = E r. Зафиксируем первую строку c 1 = ( p 1,..., p r ) матрицы C. Остальные строки будем искать методом ортогонализации Грамма-Шмидта. Случайный вектор η = C ζ подчиняется многомерному нормальному распределению N(0, CDg(ξ)C T ), при этом из выбора матрицы C п.н. следует, что Dη 1 = 0, кроме того, Eη 1 = 0, следовательно, η 1 = CDg(ξ)C T = 0... E r 1 0. Как легко видеть, η T η = ζ T C T Cζ = ζ T ζ = η η η2 r = ζ ζ ζ2 r. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

32 Cтатистика Пирсона Следовательно, распределения сумм одинаковы, поэтому χ 2 d n η η 2 r, но η η2 r п.н. = η η2 r, тогда χ 2 d n η η 2 r, где η 2,..., η r взаимно независимые одинаково распределенные случайные величины, η i N(0, 1), i = 2,..., r, η 1 п.н. = 0. Определение 5 Пусть δ 1,..., δ k взаимно независимые одинаково распределенные стандартные гауссовы случайные величины, тогда распределение случайной величины δ δ2 k, называется распределением χ2 с k степенями свободы (или распределением Пирсона с k степенями свободы). Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

33 Cтатистика Пирсона Проведенные рассуждения доказывают следующую теорему. Теорема 1 Статистика χ 2, определяемая равенством (4), асимптотически распределена по закону хи-квадрат с r 1 степенью свободы, то есть χ 2 = r (n i np i ) 2 i=1 np i d n τ, где τ подчиняется распределению хи-квадрат с r 1 степенью свободы. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

34 Cтатистика Пирсона Замечание 3 Нетрудно заметить, что к статистике χ 2, определяемой формулой (4), можно прийти, исходя из генеральной совокупности, подчиняющейся полиномиальному распределению с r возможными исходами, где вероятности p 1, p 2,...,p r представляют собой вероятности появления соответствующих исходов ( r i=1 p i = 1), n число испытаний, n 1 количество появлений первого исхода, n 2 количество появлений второго исхода,..., n r количество появлений исхода с номером r, r i=1 n i = n. В статистическом эксперименте непосредственно наблюдается выборка частот (n 1, n 2,..., n r ). Утверждение теоремы 1 сохраняется и для рассматриваемого полиномиального распределения. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

35 Точные доверительные интервалы для нормальной генеральной совокупности Точные доверительные интервалы для нормальной генеральной совокупности Теорема 2 Пусть задана выборка X [n] из генеральной совокупности ξ N(a, σ 2 ). Справедливы следующие утверждения: 1 Статистика X a σ n подчиняется стандартному нормальному распределению. n 2 Если s 2 = 1 n 1 (X i X ) 2, тогда статистика X a s n подчиняется i=1 распределению Стьюдента с n 1 степенью свободы. 3 Статистика (n 1) s2 подчиняется распределению хи-квадрат с n 1 σ 2 степенью свободы. n 4 Если s 2 = 1 n (X i a) 2, тогда статистика ns2 подчиняется i=1 распределению хи-квадрат с n степенями свободы. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49 σ 2

36 i=1 Точные доверительные интервалы для нормальной генеральной совокупности Тогда справедливо равенство: (n 1) s 2 n ( ) Xi a 2 n σ 2 = 1 X j a σ n σ Введем обозначение: δ = X 1 a σ... X n a σ при этом δ подчиняется многомерному нормальному распределению с параметрами (0, E n ). Рассмотрим строку (1/ n,..., 1/ n) = C 1. При этом, нетрудно заметить, что C 1 C1 T = 1, тогда методом ортогонализации Грама-Шмидта последовательно получим n 1 строку C 2,..., C n. Строки будут ортогональными и нормированными. Составим матрицу: C 1 C =.... C n, j=1 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49 2.

37 Точные доверительные интервалы для нормальной генеральной совокупности Рассмотрим преобразование Cδ = η, из лемм 2 и 4 следует: (n 1) s 2 n σ 2 = δ1 2 η1 2 χ 2 n 1, j=1 1 X j a n σ i=1 где δ i = X i a σ, η 1 = n = n j=1 1 n δ i = C 1 δ. Утверждение 3 теоремы доказано. В лемме 3 было доказано, что (X 1 X,..., X n X ) и X a взаимно независимы. Рассмотрим дробь Стьюдента: X a σ 1 n 1 n (n 1) s 2 σ 2 = X a n Tn 1. s Таким образом, доказано утверждение 2 теоремы. Утверждение 4 следует из определения: n ns 2 (X i a) 2 n ( ) σ 2 = i=1 Xi a 2 σ 2 = χ 2 σ n. Теорема доказана. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49 i=1

38 Точные доверительные интервалы для нормальной генеральной совокупности Точные доверительные интервалы для нормальной генеральной совокупности можно построить по следующим правилам: Если a неизвестно, σ 2 известно, тогда { P X σ z 1 ε < a < X + σ } z n 2 1 ε = 1 ε, n 2 где z 1 ε квантиль стандартного нормального распределения. 2 Если a неизвестно, σ 2 неизвестно, то доверительный интервал для a будет иметь вид: { P X s t 1 ε < a < X + s } t n 2 1 ε = 1 ε, n 2 где t 1 ε квантиль распределения Стьюдента с n 1 степенью 2 свободы. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

39 Точные доверительные интервалы для нормальной генеральной совокупности Если a неизвестно, σ 2 неизвестно, необходимо построить доверительный интервал для σ 2. Пусть ε = ε 1 + ε 2. Пусть u 1 ε2 квантиль распределения хи-квадрат с n 1 степенью свободы уровня 1 ε 2, u ε1 квантиль распределения хи-квадрат с n 1 степенью свободы уровня ε 1, тогда доверительный интервал для σ 2 будет следующим: { } (n 1) s 2 P < σ 2 (n 1) s2 < = 1 ε. u ε1 u 1 ε2 Если a известно, σ 2 неизвестно, тогда доверительный интервал строится также, как и в случае 3, только в качестве статистики рассматривается статистика ns 2 /σ 2 из пункта 4 теоремы 2. Пусть v ε1 квантиль распределения хи-квадрат с n степенями свободы уровня ε 1, v 1 ε2 квантиль распределения хи-квадрат с n степенями свободы уровня 1 ε 2, тогда доверительный интервал для σ 2 будет { ns 2 P v 1 ε2 } < σ 2 < ns2 = 1 ε, v ε1 здесь ε = ε 1 + ε 2. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

40 Гамма-распределение Гамма-распределение Плотность распределения случайной величины ξ, соответствующая стандартному гамма-распределению с параметром формы p, определяется формулой: { x p 1 Γ(p) f ξ (x) = e x, x > 0 0, x 0. Нетрудно заметить, что f ξ (x) 0 и + f ξ(x)dx = 1. Гамма-функция определяется следующим образом Γ(p) = 0 x p 1 e x dx, p > 0. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

41 Гамма-распределение Свойства гамма-функции: Справедливы равенства: Γ(1) = 1, Γ(2) = 1, = Γ ( ) 1 = e y 2 dy = x 1 2 e x dx = e y 2 dy + e x d(x 1 2 ) = 2 e y 2 dy = 1 2 = e y 2 e x2 dxdy 1 2 = π, При p > 1, интегрируя по частям, нетрудно получить равенство: Γ(p) = (p 1)Γ(p 1). Если n N, то Γ(n) = (n 1)!. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

42 Гамма-распределение Рассмотрим случайную величину η = ξ/λ, параметр λ > 0, нетрудно получить выражение для плотности распределения, соответствующего гамма-распределению G(λ, p) с параметром формы p и параметром масштаба λ: { λ p x p 1 Γ(p) f η (x) = e λx, x > 0 (6) 0, x 0. Если в формуле 6 положить λ = 1, то получим плотность стандартного гамма-распределения, а если в формуле (6) положить p = 1, то получим плотность экспоненциального распределения. Лемма 7 Пусть δ случайная величина, подчиняющаяся стандартному нормальному распределению, δ N(0, 1), тогда случайная величина δ 2 подчиняется гамма-распределению с параметрами p = 1/2, λ = 1/2. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

43 Доказательство Гамма-распределение Пусть δ N(0, 1), то есть, f δ (x) = 1 2π e x2 2. Функцию распределения случайной величины δ обозначим через Φ(y) = 1 2π y e t2 2 dt. Найдем функцию распределения случайной величины δ 2 : P{δ 2 y} = P( y δ y) = Φ( y) Φ( y), дифференцируя, найдем плотность распределения для y > 0: f δ 2(y) = e y e y 2 = 2 y 2π 2 y 2π = ( 1 2 ) 1 2 y e y ( 1 2 ) 2 1 y = e y Γ( π 1 2 ) 2, y > 0; 0, y < 0. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

44 Гамма-распределение Следовательно, случайная величина δ 2 подчиняется гамма-распределению с параметрами p = 1/2, λ = 1/2. Лемма 8 Пусть заданы взаимно независимые случайные величины ξ 1 G(λ, p 1 ), ξ 2 G(λ, p 2 ), тогда ξ = ξ 1 + ξ 2 G(λ, p 1 + p 2 ). Доказательство Очевидно, что P{ξ y} = f ξ1 (x 1 )f ξ2 (x 2 )dx 1 dx 2 = {(x 1,x 2 ) x 1 +x 2 y} + = f ξ1 (x 1 ) y x 1 f ξ2 (x 2 )dx 2 dx 1. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

45 Гамма-распределение Сделаем замену переменных: u = x 1 + x 2, du = dx 2, тогда P{ξ y} = + f ξ1 (x 1 ) y f ξ2 (u x 1 )dudx 1 = = y + f ξ1 (x 1 )f ξ2 (u x 1 )dx 1 du. Получили формулу свертки для плотности суммы двух независимых случайных величин: f ξ (u) = + = f ξ1 (x 1 )f ξ2 (u x 1 )dx 1 = u 0 u 0 f ξ1 (x 1 )f ξ2 (u x 1 )dx 1 = λ p1+p2 Γ(p 1 )Γ(p 2 ) x p1 1 1 (u x 1 ) p2 1 e λx1 e λ(u x1) dx 1 = = λp1+p2 e λu Γ(p 1 )Γ(p 2 ) u 0 x p1 1 1 (u x 1 ) p2 1 dx 1. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

46 Гамма-распределение Сделаем замену переменных под знаком интеграла: x 1 = su, s (0, 1), dx 1 = uds, тогда f ξ (u) = λp 1+p 2 e λu 1 Γ(p 1 )Γ(p 2 ) up 1+p s p 1 1 (1 s) p 2 1 ds = = { cu p 1 +p 2 1 e λu λ p 1+p 2, u > 0; 0, u 0, где c = ( 1 0 sp1 1 (1 s) p2 1 ds)/(γ(p 1 )Γ(p 2 )). Найдем c из условия нормировки: + c λ p 1+p 2 u p 1+p 2 1 e λu du = 1. 0 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

47 Гамма-распределение Сделаем замены переменных: x = λu, u = x/λ, du = dx/λ, тогда c + x p 1+p 2 e x dx = cγ(p 1 + p 2 ) = 1 или Плотность f ξ (x) имеет вид: 0 f ξ (x) = c = 1 Γ(p 1 + p 2 ). { λ p 1 +p 2 Γ(p 1 +p 2 ) x p 1+p 2 1 e λx, x > 0 0, x 0. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

48 Гамма-распределение В ходе доказательства леммы 8 получено тождество, связывающее бета-функцию с гамма-функциями: B(p 1, p 2 ) = 1 0 s p 1 1 (1 s) p 2 1 ds = Γ(p 1)Γ(p 2 ) Γ(p 1 + p 2 ). Следствие 2 Пусть случайные величины δ i,i = 1,..., m взаимно независимы, одинаково распределены и подчиняются стандартному нормальному распределению, δ i N(0, 1). Тогда δ δ2 m G( 1 2, m 2 ). Доказательство следует из лемм 7, 8. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

49 Гамма-распределение Замечание 4 Доказано важное утверждение: распределение хи-квадрат с m степенями свободы является частным случаем гамма распределения с параметрами p = 1/2, λ = m/2. Если случайная величина τ подчиняется распределению хи-квадрат с m степенями свободы, то ее плотность имеет вид: x m 2 1 e 1 2 x f τ (x) = 2 m 2 Γ( m 2 ), x > 0; 0, x 0. Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, / 49

Лекция 3. Доверительные интервалы

Лекция 3. Доверительные интервалы Лекция 3. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 3. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2015 1 / 41 Cодержание Содержание

Подробнее

Лекция 5. Доверительные интервалы

Лекция 5. Доверительные интервалы Лекция 5. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 1 / 31 Cодержание Содержание

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

Лекция 9. Множественная линейная регрессия

Лекция 9. Множественная линейная регрессия Лекция 9. Множественная линейная регрессия Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Множественная регрессия... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39 Cодержание Содержание 1

Подробнее

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 3. Условные распределения

Подробнее

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ

Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Лекция 7. Проверка гипотез о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Однофакторный дисперсионный анализ Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 013 Буре В.М.,

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков

Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков Лекция 6. Критерии согласия. Проверка независимости двух номинальных признаков Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2013 1

Подробнее

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева ГЛАВА 4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Неравенства Чебышева Доказательство теоремы Чебышева основывается на неравенстве Чебышева Докажем это неравенство Неравенство Чебышева Вероятность того что отклонение (СВ) ξ

Подробнее

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 3. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия.

Лекция 6. Критерии согласия. Лекция 6. Критерии согласия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CS Center) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2014 1 / 26 Cодержание Содержание 1

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Случайные величины

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Случайные величины Случайные величины Распределения Случайные величины характеризуются распределениями Дискретное Если случайная величина может принимать дискретное множество значений, то соответствующее распределение называется

Подробнее

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М. А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с. Книга предназначена для начального

Подробнее

лектор доц. И.В. Родионов Весна Сходимости случайных векторов

лектор доц. И.В. Родионов Весна Сходимости случайных векторов Задачи по курсу Математическая статистика лектор доц. И.В. Родионов Весна 2017 1. Сходимости случайных векторов 1 Пусть последовательность случайных векторов ξ 1,..., ξ n,... сходится по распределению

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность Лекция 18 Интервальные оценки параметров распределения Интервальные оценки Точность Надежность Точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров Достаточно часто это происходит в случае

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел.

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 0 Неравенства Маркова и ЧебышеваЗакон больших чисел Предельные теоремы теории вероятностей В теории вероятностей часто изучаются случайные

Подробнее

Точечные оценки и их свойства. Грауэр Л.В.

Точечные оценки и их свойства. Грауэр Л.В. Точечные оценки и их свойства Грауэр Л.В. Статистика ξ генеральная совокупность c ф.р. F ξ (x; θ) θ = (θ 1,..., θ m ) неизвестные параметры X [n] = (X 1,..., X n ) выборка из ξ Статистикой будем называть

Подробнее

Программа курса. Математическая статистика. лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов. Весна 2014

Программа курса. Математическая статистика. лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов. Весна 2014 Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. И.В. Родионов Весна 2014 1. Вероятностно статистическая модель. Понятия наблюдения и выборки. Моделирование выборки из неизвестного распределения.

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок План лекции Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров метод моментов метод максимума правдоподобия метод наименьших квадратов Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок Функция результатов

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2014 1 / 29 Cодержание Содержание

Подробнее

Семинар 3. Генерирование случайных величин. Повторение теории вероятностей и математической статистики. Задание для выполнения на компьютерах 1 :

Семинар 3. Генерирование случайных величин. Повторение теории вероятностей и математической статистики. Задание для выполнения на компьютерах 1 : Семинары по эконометрике 0 год Преподаватель: Вакуленко ЕС Семинар 3 Генерирование случайных величин Повторение теории вероятностей и математической статистики Задание для выполнения на компьютерах : Сгенерируйте

Подробнее

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости

Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Лекция 8. Непараметрические критерии однородности и независимости Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Непараметрические критерии... Санкт-Петербург, 2013 1 / 39

Подробнее

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012 Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012 1. Основная задача математической статистики. Примеры: выборка и линейная модель. 2. Различные виды сходимостей случайных

Подробнее

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика)

1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика) Информация План 1. Основные понятия 1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика) 2. Информация Фишера... 2.1. Определение информации 2.2. Свойства информации 3. Достаточные

Подробнее

Семинар 3. МНК. Генерирование случайных величин. Повторение теории вероятностей и математической статистики.

Семинар 3. МНК. Генерирование случайных величин. Повторение теории вероятностей и математической статистики. Семинары по эконометрике 0 год Семинар 3 МНК Генерирование случайных величин Повторение теории вероятностей и математической статистики Задание для выполнения на компьютерах : Сгенерируйте две независимые

Подробнее

Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и инженеров

Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и инженеров Ивановский Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. СПб.: БХВ- Петербург, 2008. 528 с.: ил. + CD-ROM (Учебное пособие) В

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ

Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ Лекция 8. Непараметрические критерии независимости. Корреляционный анализ Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Непараметрические критерии... Санкт-Петербург,

Подробнее

Интервальные оценки.

Интервальные оценки. Лекция 1. Интервальные оценки. Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается

Подробнее

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2 Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение ГЛАВА СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли Определение Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами

Подробнее

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности

Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Лекция 4. Параметрические и непараметрические критерии однородности Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) о равенстве параметров... Санкт-Петербург,

Подробнее

Лекция 6. Критерии согласия.

Лекция 6. Критерии согласия. Лекция 6. Критерии согласия. Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Критерии согласия... Санкт-Петербург, 2015 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Критерии

Подробнее

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Лекция 1 Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Теория случайных процессов является частью теории вероятностей. Специфика теории случайных процессов состоит в том, что в ней рассматриваются

Подробнее

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В.

Проверка статистических гипотез. Грауэр Л.В. Проверка статистических гипотез Грауэр Л.В. Статистические гипотезы Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей Гипотеза о равенстве дисперсий нескольких генеральных совокупностей

Подробнее

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ]

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ] Законы распределения случайных величин [Часть II, стр. 0-3] Центральная предельная теорема: сумма произвольно распределенных независимых случайных величин при условии одинакового их влияния подчиняется

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений.

Подробнее

n ) 1 n 1 n P-lim j=1 n n lim D( 1 2 n ξ j ) = 1 1 k n

n ) 1 n 1 n P-lim j=1 n n lim D( 1 2 n ξ j ) = 1 1 k n Колодий А.М., Колодий Н.А. Лекции по теории вероятностей для студентов специальности «Математическое обе6спечение и администрирование информационных систем» 4. Предельные теоремы 4.. Закон больших чисел.

Подробнее

Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика»

Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика» Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика» весна 2011 01. Пусть (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) выборка, соответствующая случайному вектору (ξ, η). Докажите, что статистика T = 1 n 1 n (X i X)(Y

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез.

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей Оглавление Предисловие Введение Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Опыт и событие Операция умножения событий Операция сложения событий Операция вычитания событий Операция

Подробнее

Содержание. Предисловие... 9

Содержание. Предисловие... 9 Содержание Предисловие... 9 Введение... 12 1. Вероятностно-статистическая модель и задачи математической статистики...12 2. Терминология и обозначения......15 3. Некоторые типичные статистические модели...18

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3

A.В. Браилов П.Е. Рябов Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации по самостоятельной работе Часть 3 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» ФИНАКАДЕМИЯ Кафедра «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это

Подробнее

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание Expected Value (i.e. Mean) - характеризует среднее весовое значение случайной величины с учётом вероятности появлений значений

Подробнее

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 1. Доказать лемму о баллотировке. Комментарий. Важно показать, что выбор вероятностного пространства (в виде функций, описывающих исходы) позволяет легко применить

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА 4 (20) 2010

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА 4 (20) 2010 4 (0) 00 Байесовский анализ когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом Рассмотрена задача байесовского оценивания последовательности неизвестных средних значений q q... q... по

Подробнее

Лекция 11. Метод наибольшего правдоподобия. Другие характеристики вариационного ряда.

Лекция 11. Метод наибольшего правдоподобия. Другие характеристики вариационного ряда. 1 Лекция 11 Метод наибольшего правдоподобия Другие характеристики вариационного ряда 1 Метод наибольшего правдоподобия Кроме метода моментов, который изложен в предыдущем параграфе, существуют и другие

Подробнее

Ответы на тест по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Июнь 2004 года. A n F. n=1. i=1

Ответы на тест по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Июнь 2004 года. A n F. n=1. i=1 Ответы на тест по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Июнь 2004 года 1 1. Основные понятия теории вероятностей. 1.1 1.2 A B = A B = A B (A \ B) (B \ A) = A B 1.3 A (A B) = A (A B) =

Подробнее

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2011

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2011 Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2011 1. Основная задача математической статистики. Понятие вероятностно-статистической модели. Примеры: выборка и линейная

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

Коломиец Э.И. МОДЕЛИРОВАНИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ДАННЫХ

Коломиец Э.И. МОДЕЛИРОВАНИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ДАННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1 ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ. Теория вероятностей изучает явления: сложные Б) детерминированные В) случайные Г) простые. Количественная мера объективной возможности это : опыт Б) вероятность В) событие Г) явление

Подробнее

2. Пространства Соболева

2. Пространства Соболева 2. Пространства Соболева В теории дифференциальных уравнений в основном имеют дело с измеримыми функциями. Пусть область в R d. Функция u : R называется измеримой, если она является поточечным пределом

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Примеры распределений дискретных случайных величин

Примеры распределений дискретных случайных величин Примеры распределений дискретных случайных величин 1 Биномиальное распределение = μ ( ) Рассмотрим случайную величину равную числу появлений события A в серии n независимых испытаний. Распределение вероятностей

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

Теория Вероятностей и Математическая Статистика

Теория Вероятностей и Математическая Статистика ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА Наименование дисциплины Теория Вероятностей и Математическая Статистика Рекомендуется для направления (ий) подготовки (специальности (ей)) для направления 080100.62 Экономика; для направления

Подробнее

ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Выборка гиперслучайной величины

ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Выборка гиперслучайной величины ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Формализовано понятие гиперслучайной выборки и определены ее свойства предложена методология формирования оценок характеристик гиперслучайной величины и исследована

Подробнее

Олимпиада для студентов и выпускников вузов 2014 г.

Олимпиада для студентов и выпускников вузов 2014 г. Олимпиада для студентов и выпускников вузов 014 г. Направление «Математические методы анализа экономики» Профили: Математические методы анализа экономики Экономика Статистический анализ экономических и

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 212-213 гг. Геометрические и функциональные неравенства Геометрические неравенства выражают количественные

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА С.П.Еркович ПРИМЕНЕНИЕ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ. Москва, 994.

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i

называют пару гипотез. 9. Случаями называют равновозможные гипотезы. n событий A i, A i . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Основные понятия теории вероятностей Многие объекты в математике определяются указанием операций которые можно выполнять над объектами и перечислением свойств которым удовлетворяют

Подробнее