Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m"

Транскрипт

1 Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Определение числовой последовательности В курсе школьной математики кратко излагались элементы теории последовательности при изучении арифметической и геометрической прогрессий, при последовательных приближениях иррациональных чисел Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая свои значения из множества действительных чисел f : N R Обозначается: или Числа,,, называются элементами (членами) последовательности, формула общего члена последовательности, номер общего члена последовательности Последовательность считается заданной, если указан способ получения ее любого элемента Основными способами задания последовательности являются: формула -го члена, рекуррентный, словесный, графический Пусть даны две последовательности y, Суммой последовательностей и y называется последовательность y, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов последовательностей Произведением последовательности на число m назы- вается последовательность m, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности на число m Произведением последовательностей и y называется последовательность y, каждый элемент которой равен произведению соответствующих элементов последовательностей Если все члены последовательности y отличны от нуля, то частным последовательностей y называется по- и следовательность, каждый элемент которой равен частному соответствующих элементов y последовательностей Ограниченные и неограниченные последовательности Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число M ( m ) такое, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству M ( m ) Числа M и m называются верхней и нижней гранями числовой последовательности Символическая запись: ограничена сверху M R : N M ограничена снизу m R : N m Последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, те существуют числа M и m такие, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству m M Символическая запись: ограничена m, M R : N m M Пусть A ma m, M Тогда условие ограниченности мож-

2 но записать в виде A Последовательность называется неограниченной, если для любого действительного числа A существует элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству A, те либо A или A Символическая запись: неограниченна AR N : A Монотонные последовательности Последовательность называется неубывающей, если ее элементы удовлетворяют условию: Последовательность называется возрастающей, если ее элементы удовлетворяют условию: Последовательность называется невозрастающей, если ее элементы удовлетворяют условию: Последовательность называется убывающей, если ее элементы удовлетворяют условию: Последовательность называется монотонной, если является одной из выше перечисленных Последовательность называется строго монотонной, если она возрастающая или убывающая Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа существует такой номер N выполняется N такой, что для всех номеров неравенство Символическая запись: бмп N : N Свойства бесконечно малых последовательностей: бесконечно малая последовательность ограничена сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность произведение бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность произведение бесконечно малой последовательность на ограниченную есть бесконечно малая последовательность Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа c существует такой номер k N k выполняется N такой, что для всех номеров неравенство c Символическая запись: ббп c Nk : Nk c Если последовательность бесконечно большая, то она неограниченна Если последовательность неограниченна, то она не обязательно бесконечно большая Если бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность является бесконечно малой последовательность Если бесконечно малая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность является бесконечно большой последовательностью Вопросы для самоконтроля Сформулируйте определение числовой последовательности Приведите примеры последовательностей с различным способом задания

3 Перечислите арифметические действия над последовательностями Дайте определение ограниченной и неограниченной последовательности Приведите примеры Какие последовательности называются монотонными, строго монотонными? 5 Может ли быть монотонной последовательностью: сумма двух немонотонных последовательностей произведение двух немонотонных последовательностей? 6 Сформулируйте определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности Какими свойствами они обладают? Решение типовых примеров Напишите пять первых членов из следующих последовательностей: а), б) числа Фибоначчи,,,, если простое число, в) y,если составное число Какие из данных последовательностей являются ограниченными сверху, ограниченными снизу, ограниченными, монотонными? Р е ш е н и е а) для последовательности имеем,, 9, 5, Поскольку для любого N, то последовательность является ограниченной Так как и 5, видно, что определение монотонности не выполняется Значит, последовательность не является монотонной б) для чисел Фибоначчи имеем:,,,, 5 5 Поскольку N, то последовательность ограничена снизу, но неограничена сверху При этом N Значит, числа Фибоначчи образуют неубывающую последовательность y получим: y, y, в) для последовательности y, y 6, y 5 5 Данная последовательность ограничена сверху числом, но неограничена снизу Она не является монотонной, так как y y и y y5 Доказать по определению, что последовательность является бесконечно малой последовательностью 6 Р е ш е н и е Возьмем произвольное малое число Так как, то для нахождения значений, удовлетворяющих этому неравенству, достаточно его решить Поскольку N, то Решая данное неравенство, получим Следовательно, в качестве N можно взять целую часть числа : N Тогда неравенство будет выполнятся при всех номеров, больших чем N Например, пусть, N, Тогда 5 5

4 Начиная с шестого номера все члены последовательности меньше, Доказать по определению, что последовательность 9 является бесконечно большой Р е ш е н и е Возьмем произвольное число c Из неравенства c N c : найдем Возьмем за c c N k целую часть числа c : Nk c Тогда для всех номеров, больших чем N c, выполняется неравенство c Например, для c, 6 имеем N c,6 Значит, для всех членов последовательности, начиная со второго номера, выполняется неравенство c c Если c, то N и неравенство верно Является ли неограниченная последовательность бесконечно большой? Р е ш е н и е Рассмотрим последовательность,,,,,,,, Данная последовательность является неограниченной, поскольку для любого A N найдется элемент последовательности, для которого A Однако она не является бесконечно большой, так как это неравенство не выполняется для любого N Поэтому не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой Задания для аудиторной работы Напишите пять первых членов каждой из следующих последовательностей: а) г) a, a a, при б) д) a, a a, при в) е) Какие из данных последовательностей являются ограниченными сверху, ограниченными снизу, ограниченными, монотонными? Найти формулу для общего члена следующих последовательностей: а) члены с четными номерами равны, а члены с нечетными равны - б) членами последовательности являются корни уравнения cos Может ли быть монотонной последовательностью: а) сумма двух немонотонных последовательностей б) произведение двух немонотонных последовательностей? Доказать по определению, что последовательности si а), б), в) являются бесконечно малыми 5 Доказать по определению, что последовательности а) l, б), в) являются бесконечно большими Задания для домашней работы Напишите пять первых членов каждой из следующих последовательностей: а) в) д) 5 б) si г) l е) Какие из данных последовательностей являются ограниченными сверху, ограниченными снизу, ограниченными? 6 7

5 Найти формулу для общего члена следующих последовательностей: а) члены номерами, кратными равны, а остальные равны б) членами последовательности являются корни уравнения si Определить, какие из указаных последовательностей являются возрастающими, убывающими, а какие из них не являются монотонными? а) г) ж) б) д) si и) в) е) lg к) Может ли быть ограниченной последовательностью: а) сумма двух неограниченных последовательностей б) произведение двух неограниченных последовательностей в) произведение ограниченной и неограниченной последовательностей 5 Доказать по определению, что последовательности arcsi а), б) являются бесконечно малыми 5 Доказать по определению, что последовательность является бесконечно большой Практическое занятие Предел последовательности Определение и свойства предела последовательности Критерий Коши сходимости последовательности Замечательные пределы Определение и свойства предела последовательности Число a R называется пределом последовательности, если для любого положительного действительного числа N N, что при всех найдется такой номер N элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству a Обозначается: lim a или a при Символическая запись: lim a N : N a Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся (к числу а), а последовательности, не имеющие конечного предела, расходящимися Неравенство a означает, что последовательность a является бесконечно малой последовательностью Отсюда следует, что любую сходящуюся последовательность можно представить в виде a бесконечно, где малая последовательность, где lim Бесконечно большая последовательность имеет бесконечный предел: lim A NA: NA A Сходящиеся последовательности обладают следующими свойствами: сходящаяся последовательность имеет только один предел сходится, то она ограничена: если последовательность 8 9

6 lim a M R : M сумма (разность) двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей lim y lim lim y произведение двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность предел которой равен произведению пределов последовательностей y lim lim y lim частное двух сходящихся последовательностей и y, lim y, есть сходящаяся последовательность предел которой равен частному пределов последовательностей lim lim y lim y если все элементы сходящейся последовательности lim, a, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству b ( b ), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству a b ( a b ) z таковы, что пусть последовательности, y, N выполняется неравенство y z и lim a, lim z a Тогда последовательность y сходится и y lim a каждая ограниченная монотонная последовательность сходится Критерий Коши сходимости последовательности Последовательность называется фундаментальной, если для любого малого действительного числа найдется номер N такой, что для всех номеров, больших p N выполняется неравенство p Символическая запись: фундаментальна N : N и p N p Из определения следует, что lim p N и любого Критерий Коши сходимости последовательности: Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной Замечательные пределы Пределы, к которым сводятся вычисления многих пределов условно называются замечательными пределами Ниже приводся некоторые из них: lim a e, lim, ( a R ),! lim, lim a ( a R ), lim, lim!! Вопросы для самоконтроля Дайте определение предела последовательности Сформулируйте с помощью логических символов определение расходящейся последовательности, бесконечно большой последовательности Дайте геометрическую интерпретацию предела последовательности Перечислите свойства сходящихся последовательностей 5 Всякая ли монотонная последовательность является сходящейся? 6 Какая последовательность называется фундаментальной? 7 В чем суть критерия Коши?

7 Решения типовых примеров Доказать по определению, что lim Р е ш е н и е Возьмем любое Из неравенства Найдем номер получим N Отсюда Если взять N (так как при получим N ), то для всех номеров N выполняется неравенство Например, при, последнее неравенство справедливо для членов последовательности с номерами,,, а при неравенство верно N Доказать, что ограниченная последовательность не имеет предела Р е ш е н и е Предположим, что она имеет предел, равный a R Тогда lim a N : N a При k получим С учетом этого a, при k получим a или a N a a a a, т е Получили противоречие Значит, последовательность Доказать, что последовательность нулю, но она не является монотонной Р е ш е н и е lim N, начиная с которого выполняется это не- Найдем номер равенство: не имеет предела N : N сходится к N Следовательно, последовательность сходится Так как,,,, то последовательность 6 не является монотонной Доказать, что lim! Р е ш е н и е Покажем, что Рассмотрим монотонна!!! Следовательно,, те убывающая и ограничена снизу числом По свойству сходимости монотонной ограниченой последовательности существует предел последовательности, равный b, те lim b! Переходя к пределу в равенстве получим b b Отсюда b при,

8 5 Доказать, что сходится Р е ш е н и е Так как, то возрастает Покажем, что последовательность ограничена Имеем: l l l l, т е l Откуда e Значит, монотонна и ограничена Тогда по свойству о сходимости монотонной и ограниченной последовательности сходится 6 Вычислить пределы: 8 5 а) lim, б) lim, в) lim Р е ш е н и е а) имеем: разделим числитель 8 lim = = lim = и знаменатель на 5 lim8 = по свойствам пределов = = lim 5 lim 8 lim 8 8 = по свойствам пределов = lim lim б) имеем: lim = умножим и разделим на в) имеем: lim = lim lim lim lim e lim e 7 Доказать, что последовательность a aq aq, где a k M k,, q, сходится Р е ш е н и е Для доказательства используется критерий Коши Возьмем любое и рассмотрим разность p p a q a q a p p q p p q M M q Mp q при Следовательно, существует N, такое, что M N и p выполняется неравенство p Следовательно, последовательность является фундаментальной и согласно критерию Коши она сходится 8 Доказать, что расходится Р е ш е н и е Построим отрицание к критерию Коши: 5

9 p Для этого рассмотрим разность p p p p p Пусть p Тогда получим Значит,, такое, что N N p,, те последовательность не является фундаментальной, а значит и не сходится 9 Доказать, что последовательность si расходится Р е ш е н и е Доказательство проведем от противного Пусть существует конечный предел lim si a, следовательно, lim si a lim Тогда si si С другой стороны si si cos, lim si cos si Следовательно, lim cos С учетом того, что cos cos cos si si Значит, si cos cos cos si lim si lim si Таким образом, lim si lim cos cos cos cos, что противоречит ра- венству cos si Следовательно, si расходится, имеем Задания для аудиторной работы Докажите, что lim, указав для каждого положительного числа такой номер элементы N, что при всех N последовательности удовлетворяют неравенству, если равно: а) в) si б) г) Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что: 56 а) lim,8 б) lim 5 6 Докажите, что последовательность расходится Докажите, что число a не является пределом последовательности cos 5 Докажите по определению, что последовательность имеет бесконечный предел при 6 Вычислить пределы: 6 5 а) lim и) lim 5 б) lim к) lim в) lim 5 л) lim г) д) lim м) 5 lim н) lim 5 lim 5 6 7

10 8 е) lim ж) lim 5 о) Задания для домашней работы lim п) lim Докажите, что lim, указав для каждого положительного числа такой номер элементы N, что при всех N последовательности удовлетворяют неравенству, если равно: а) в) 5 cos б) г) Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что: а) lim б) lim log Докажите, что последовательность l расходится Докажите, что число a не является пределом последовательности 5 Выясните существование предела у следующих последовательностей и найдите его, если он существует: а) в) д) cos 5 5 б) г), е) 6 Вычислить пределы: 5 7 а) lim и) lim б) lim к) lim 9 7 в) lim л) lim 5 7 г) lim д) е) lim 7 lim ж) lim 6 м) lim 7 н) lim 7 о) lim п) lim 8 9

11 Практическое занятие Предел функции Понятие функции, сложная и обратная функции Способы задания функции Определения предела функции по Гейне и по Коши Односторонние пределы функции Понятие функции, сложная и обратная функции Под функциями понимается отображение числовых множеств Пусть X произвольное подмножество действительных чисел, X R Если каждому числу X поставлено в соответствие единственное действительное число y f, то говорят, что на множестве X определена числовая функция f Переменная называется независимой переменной или аргументом, y зависимой переменной, множество X называется областью опреде- D f, а множество ления функции и обозначается Y y y f, D f ции и обозначается E f R множеством значений функ- Если о функции говорить как об отображении f : X Y, то f называется образом элемента, а прообразом элемента f При этом множество Y называется образом множества X, множество X прообразом множества Y Чтобы определить функцию y f, нужно задать множество X и закон (правило, соответствие) f, переводящий элементы множества X в элементы y множества Y и Пусть функции u y f u определены на множествах X и U соответственно, причем множество значений функции содержится в области определения f Тогда функция переводит элементы в элементы u, а функция f переводит элементы u в элементы y : u y f Таким образом, каждому значению ставится в соответствие (посредством промежуточной переменной u ) одно значение y f В этом случае y называется сложной функцией (композицией функций f и ) аргумента При этом функция u называется промежуточным аргументом, независимым аргументом Обозначается: y f или f f Обратная функция Пусть функция y такова, что каждое значение y она принимает только при одном значении Такая функция называется обратимой Тогда уравнение y f можно однозначно разрешить относительно, те каждому y соответствует единственное значение Это соответствие определяет функцию, которая называется обратной к функции f Обозначается: Если функция y f или f f является обратной по отношению к функции f, то функция f является обратной по отношению к f называются взаимно обрат- те f f ными, те f f y y Функции f и и Если числовая функция y строго монотонна, то существует обратная функция При этом, если f возрастающая функция, то f f, f f f y f возрастающая если f убывающая, то f убывающая Если же у обратной функции, так же как и у данной, аргумент обозначить через, а зависимую переменную через у, то обратная функция запишется в виде и y f Функции f y y f различаются только обозначением зависимой и независимой переменных Поэтому, чтобы из графика функции f y совпадающего с графиком функции y f, получить график функции y f, достаточно 5 5

12 поменять местами оси O и Oy, те повернуть плоскость чертежа вокруг биссектрисы первого координатного угла Таким образом, график обратной функции y f симметричен графику данной функции y f относительно биссектрисы первого координатного угла Способы задания функции Функция задается одним из следующих способов А н а л и т и ч е с к и й способ задания функции состоит в том, что с помощью формулы устанавливается алгоритм вычисления значений функции f для каждого из значений D Частное значение функции y f при некотором значении аргумента записывается в виде f или y При аналитическом задании функции область определения D есть множество значений аргумента, при которых данная формула имеет смысл Аналитически функция f a b может быть неяв- y, но задана уравнением F y, если a b f В некоторых случаях, разрешив уравнение y сительно у, удается получить явное задание функции y f F F отно- Аналитически функция y f () может быть задана в п а - р а м е т р и ч е с к о м виде Пусть ( t), y ( t) две функции одной независимой переменной t T Если (t) моно- тонна на Т, то существует обратная к ней функция t ( ) Поэтому функцию y (t), t ( ) можно рассматривать как сложную функцию, переводящую элемент в элемент y посредством промежуточной переменной t : ( t), t ( y ( ( )) F( ) y ( t), y t,), В этом случае говорят, что сложная функция y ( ( )) F( ) задана параметрическими уравнениями и пишут: ( t), y ( t), где t, t T, параметр Всякую функцию, заданную явно y f (), можно задать параметрическими уравнениями Действительно, t, y f y f t Параметрическое задание функций иногда имеет преимущество перед другими формами их задания В некоторых случаях непосредственная связь между y и может быть весьма сложной, в то время как функции t и y (t) определяющие функциональную зависимость y от через параметр t, оказываются простыми Т а б л и ч н ы й способ задания функции осуществляется табличным перечислением значений аргумента и соответствующих им значений функции y y y Г р а ф и ч е с к и й способ задания функции состоит в представлении функции y f графиком в некоторой системе координат Графиком Γ функции y f называется множество точек M y плоскости R, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью: Г M y R y f D f Средствами элементарной математики для функции y f с областью определения D f в большинстве случаев можно определить следующие характеристики Н у л и ф у н к ц и и и з н а к ф у н к ц и и н а м н о ж е с т в е D f Значение D f при котором функция y f обращается в нуль, называется нулем функции, те нули функции являются корнями уравнения f 5 5

13 В интервале, на котором функция положительна, график ее расположен выше оси O, а в интервале, на котором она отрицательна, ниже оси O в нуле функции график имеет общую точку с осью O Ч е т н о с т ь и н е ч е т н о с т ь ф у н к ц и и Числовая функция y f называется четной (нечетной), если выполняются следующие условия: ) область ее определения симметрична относительно точки O, т е для каждой точки D существует точка D ) для любого из области определения выполняется равенство f f ( f f ) Существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными Они называются функциями общего вида Ось Oy является осью симметрии графика любой четной функции, а начало координат центром симметрии графика нечетной функции Графики функций, не обладающих свойствами четности или нечетности, не симметричны При изучении поведения четной (нечетной) функции достаточно изучить ее при любом и продолжить это изучение по симметрии на любое П е р и о д и ч н о с т ь ф у н к ц и и Функция D f y f, определенная на множестве, называется периодической, если существует такое число T, что D f выполняются следующие условия: ) T, T D f ) f f T f T Число T называется периодом функции Если число Т является периодом функции y f для любого N, то число T также период этой функции Если существует наименьший положительный период функции, то он называется основным периодом Если T период функции y f, то достаточно построить график на одном из интервалов длиной Т, а затем произвести параллельный перенос его вдоль оси O на Tk, k Z Если функция f периодическая с периодом Т, то функция f k также периодическая с периодом k T К периодическим функциям относится постоянная функция f c, c cost, D f R Любое число T R является периодом этой функции, но наименьшего (основного) периода Т функция не имеет М о н о т о н н о с т ь ф у н к ц и и Функция y f называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее (меньшее) значение функции:, X f f f возрастает на X : f убывает на X, X : f f f Функция y называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X, если большему значению аргумента из этого множества соответствует не меньшее (не большее) значение функции: () f не убывает на Х, X : f f f () не возрастает на Х, X f f : Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными, а неубывающие и невозрастающие монотонными О г р а н и ч е н н о с т ь ф у н к ц и и Функция D f y f называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если существует такое число M R, что при любых X выполняется условие f M ( f M ): f () ограничена сверху на X M R : X f M ( f () ограничена снизу на X M : X f M Функция f X D f R ) y называется ограниченной на множестве, если существует такое положительное число M, что 5 55

14 для любого X выполняется условие f M : f () ограничена на X M R : X f M Функция X если условия ограниченности не вы- на множестве полняются: () D f y f называется неограниченной сверху (снизу) f неограничена сверху на X M X : f M ( () R f неограничена снизу на X M X : f M R ) Определения предела функции по Гейне и по Коши Пусть функция f определена в проколотой окрестности U В точке значение быть не определено Число A называется пределом (по Гейне) функции f может y f в точке (или при ), если для любой последовательности точек U, сходящейся к соответствующих значений функции A Символическая запись: lim f, U, последовательность : lim f сходится к A a lim f Число A называется пределом (по Коши) функции y f в точке (или при ), если для любого можно указать такое число, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство f A Символическая запись: A lim f : A f Определения предела функции в точке по Гейне и по Коши эквивалентны Предел функции обладает следующими свойствами функция предела если функция f в точке не может иметь больше одного f в точке имеет предел, то она ограни- чена в некоторой окрестности U если функции f и пределы, те lim f a, lim g b : f ) f g a b g в точке имеют конечные lim ) f g a b lim f a ) lim, g b ) f a b lim при любом N 5) lim f a при a, N если в U и существуют конечные пределы f lim, то lim f lim справедливо функциональное неравенство lim, если в U f и существует lim A то существует f A справедливы функциональные неравенства lim lim, A R, если в окрестности точки задана сложная функция f u lim u u ( u при y и существуют пределы ), lim f u A, то существует предел сложной функции y f u в точке и lim f u lim f u uu 56 57

15 Односторонние пределы функции Левой -окрестностью точки называется множество всех, удовлетворяющих неравенству х : U Правой -окрестностью точки называется множество всех, удовлетворяющих неравенству : U f существует Число A называется левым пределом функции точке, если для любого y в что U выполняется неравенство A lim f A : U Число A называется правым пределом функции точке, если для любого, такое, f : f A существует y f в что U выполняется неравенство A lim f A : U, такое, f : f A Функция f имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные правый и левый преде- lim f lim f lim f лы и они равны между собой Критерий Коши существования предела функции: для того чтобы функция f имела в точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовала такая окрестность U точки такая, что для любых ' '', U имеет место неравенство f ' '', U '' f : lim f A : '' f f ' ' Вопросы для самоконтроля Дайте определение функции, ее области определения, множества значений Перечислите способы задания функций Какими элементарными свойствами обладают функции Дайте определение сложной функции 5 Дайте определение обратной функции Как для взаимно однозначной функции получить обратную ей? Как располагаются графики взаимно-обратных функций? 6 Сформулируйте определения предела функции в точке по Гейне и по Коши 7 Сформулируйте отрицания этих определений 8 Сформулируйте определения по Коши, соответствующие следующим символическим обозначениям: а) lim f в) lim f a д) lim f a б) lim f г) lim f е) f lim 9 Дайте определения односторонних пределов функции Какая связь между односторонними пределами и пределом функции? Сформулируйте критерий Коши существования предела функции Решение типовых примеров Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена, если, те если Поэтому областью определения функции является множество D f R 58 59

16 Поскольку для всех из области определения, то множество значений есть E f y y Доказать, что функция f является неограниченной сверху на множестве Р е ш е н и е По определению: () f ограничена сверху на M R : f M Построим отрицание для этого определения: () Возьмем M Тогда f неограничена сверху на M R : f M f M M для любого M M Следовательно, существует такое число M, что f Поэтому функция неограничена Определить, какая из данных функций четная, нечетная а) f si, б) f 5, в) f? Р е ш е н и е а) изменим знак аргумента, тогда получим: f si si f Следовательно, функция нечетная б) здесь f 5 5 Таким образом, эта функция общего вида в) имеем f f Найти период функции y cos cos Р е ш е н и е Функция cos имеет период T, а функция cos период T Поскольку T T, то число является периодом данной функции 5 Показать, что функция y имеет обратную, и найти ее аналитическое выражение Р е ш е н и е Функция y R монотонно возрастает Следовательно, имеет обратную Решив уравнение y относительно, получим y f y Поменяв местами обозначения, найдем обратную функцию y f Графики этих функций изображены на рисунке Рисунок Графики функции y и обратной ей y f Рисунок График функции, если, y,, если, если, 6 Построить график функции y,, если Р е ш е н и е При функция представляется лучом прямой y, при параболой функции представлен на рисунке y y, График данной 6 6

17 7 Используя определение предела функции по Гейне, доказать, что lim Р е ш е н и е Функция f (рисунок ) не определена в точке, но определена для любой U Пусть произвольная последовательность с общим членом N, такая, что lim Образуем последовательность N f N Так как Поэтому lim lim f Рисунок График функции, то f f Следовательно, lim 8 Доказать, что функция y cos не имеет предела при Р е ш е н и е Докажем, что эта функция не удовлетворяет определению предела функции при по Гейне: lim f A f A lim,, U : lim Для этого укажем такую бесконечно большую последовательность cos расходится Положим, что последовательность, N Тогда lim и последовательность cos,,,, расходится Следовательно, функция cos не имеет предела при 9 Используя определение предела по Коши, доказать, lim si Р е ш е н и е Возьмем произвольное малое Положим Известно, что U выполняется неравенство si Это означает, что lim si Докажите, что для функции, если, f, если число не является пределом при Р е ш е н и е Положим Тогда существуют и такие, что Для имеем f Значит, Поэтому lim f Задания для аудиторной работы : f Найти область определения следующих функций: l а) y б) arccos y в) y si 9 Исследовать на ограниченность следующие функции: 6 6

18 cos а) y на, б) y на R Определить, какая из данных функций четная, нечетная: y 5l а) б) y si в) y log Найти период следующих функций: а) y cos si si cos, б) y si 5 Используя определение предела функции по Коши, доказать, что: а) lim 9 6 в) lim 6 lim г) lim б) 6 Доказать, что функция y si не имеет предела при 7 Доказать, что число не является пределом функции f, если f si при 8 Привести пример функции, удовлетворяющей условию: а) lim f, б) f не имеет предела в точке 9 Привести пример функций f и q, каждая из которых не имеет предела в точке, но их сумма, произведение, разность частное имеет предел в точке Известно, что lim f A, lim q B Найти: а) f lim, N в) lim f q q г) f f б) lim q lim Вычислить пределы: а) lim д) lim б) lim е) lim 6 в) lim г) lim ж) lim lg 5 з) lim 7 Для функции f найти: а) lim f б) lim f в) f Задания для домашней работы lim Найти область определения следующих функций: log 9 arcsi 6 y l si а) y б) в) y Исследовать на ограниченность следующие функции: 5 si а) y на б) y e на R Определить, какая из данных функций четная, нечетная: а) y 5 6 б) y 5cos в) Найти период следующих функций: а) y cos si 5, б) y cos e y e 5 Используя определение предела функции по Коши, доказать, что: а) lim si в) lim 9 9 б) lim 6 Доказать, что функция: г) lim 6 65

19 si при, y при не имеет предела в точке 7 Привести пример функции, удовлетворяющей условию: f не имеет предела в точке, но функция f имеет предел в этой точке 8 Привести пример функций f и q, каждая из которых не имеет предела в точке, но их сумма, произведение, разность, частное имеет предел в точке 9 Известно, что lim f A, lim q B Найти: f si а) lim f q б) lim q cos Вычислить пределы: а) lim cos д) lim 5 6 б) lim е) lim в) lim si г) lim 5 ж) lim в) lim cos f 6 9 з) lim 6 Практическое занятие Бесконечно малые функции Определение и свойства бесконечно малых функций Сравнение асимптотического поведения функций Определение и свойства бесконечно малых функций Функция называется бесконечно малой функцией (или бесконечно малой) при Обозначается: o Функция, если lim только тогда, когда функция A f при имеет конечный предел тогда и f является бесконечно малой при С в о й с т в а б е с к о н е ч н о м а л ы х ф у н к ц и й конечная сумма бесконечно малых функций есть функция, бесконечно малая и функции произведение бесконечно малой функции есть бесконечно малая функция ограниченной произведение некоторого числа и бесконечно малой функции есть бесконечно малая функция произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция частное от деления бесконечно малой функции, такую, что lim функцию функция если функция функция на, есть бесконечно малая при бесконечно малая, то при бесконечно большая Если функция f при бесконечно большая, то функция бесконечно малая f при 66 67

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

( ) 0. Пример. Найти область определения D и множество значений Е функции y =. Лекция 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

( ) 0. Пример. Найти область определения D и множество значений Е функции y =. Лекция 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 4 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие функции Способы задания функции Основные свойства функций Сложная функция 4 Обратная функция Понятие функции Способы задания функции Пусть D

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Понятие функции. Основные свойства функций Математический анализ (лекция 2) 28 / 64 Понятие функции. Основные свойства функций Если каждому элементу (значению) x множества X поставлен

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Числовые функции и числовые последовательности

Числовые функции и числовые последовательности Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции.

Подробнее

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Пусть X и Y Некоторые числовые множества Если каждому по некоторому правилу F ставится в соответствие единственный элемент то говорят, что Задана

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

( ) ( ( ) ) ( ) 0. ( x) M. α. Тогда. α называется. ϕ ограничена в ( ) Лекция 7.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

( ) ( ( ) ) ( ) 0. ( x) M. α. Тогда. α называется. ϕ ограничена в ( ) Лекция 7.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Лекция 7БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Определение и свойства бесконечно малых функций Основные теоремы о пределах Замечательные пределы 4 Сравнение асимптотического поведения функций Определение

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Тема 2. Числовая функция, ее свойства и график

Тема 2. Числовая функция, ее свойства и график Тема Числовая функция, ее свойства и график Понятие числовой функции Область определения и множество значений функции Пусть задано числовое множество X Правило, сопоставляющее каждому числу X единственное

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x)

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x) 6 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Понятие функции. Способы задания Пусть D - произвольное подмножество действительных чисел ( D ). Если каждому числу D поставлено в соответствие

Подробнее

Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики.

Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики. Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики. Пусть даны два произвольных множества Х и Y. Функция это правило, по которому каждому элемента из множества X можно найти

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Необходимые понятия и теоремы: фундаментальная последовательность, критерий Коши, теорема о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности,

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ У ч е б н о е п о

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Тема: Понятие функции

Тема: Понятие функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Понятие функции (основные определения, классификация, основные характеристики поведения) Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное

Подробнее

Лекция 1. Последовательности

Лекция 1. Последовательности С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция 1 Последовательности 1 Понятие последовательности Мы будем рассматривать только бесконечные числовые последовательности Начнем с формального определения этого объекта

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член, начиная со второго,

Подробнее

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта МИИТ» Кафедра Высшая и вычислительная

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики.

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

( ) f сходится к A. Лекция 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

( ) f сходится к A. Лекция 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Лекция 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. Определение предела функции по Гейне и по Коши.. Односторонние пределы функции. 3. Бесконечные пределы. 4. Критерий Коши существования предела.. Определение предела функции по

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim Билет 1 1 Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) равен + при x + Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения двух функций 2 Сформулируйте определение того, что предел

Подробнее

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции»

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции» КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ «ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ» Методическое

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Н.Б.Шепелявая. Введение в математический анализ Учебное пособие.

Н.Б.Шепелявая. Введение в математический анализ Учебное пособие. НБШепелявая Введение в математический анализ Учебное пособие СЗТУ,3 Предисловие Данное учебное пособие является первым в серии пособий, подготовленных кафедрой высшей математики СЗТУ по различным разделам

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ VI МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Федеральное агентство по образованию РФ ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий VI МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

1 Степень с целым показателем

1 Степень с целым показателем Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

Авторы: М. В. Дубатовская, А. А. Королева, С. В. Рогозин, П. П. Староселец

Авторы: М. В. Дубатовская, А. А. Королева, С. В. Рогозин, П. П. Староселец УДК 57(0758) ББК 6я7 М4 Авторы: М В Дубатовская, А А Королева, С В Рогозин, П П Староселец Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент С И Василец кандидат физико-математических наук, доцент

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ).

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ). . Прогрессии Последовательность функция натурального аргумента.. Задание последовательности формулой общего члена: a n = f(n), n N, например, a n = n + n + 4, а = 43, а = 47, а 3 = 3,. Задание последовательности

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Введение в математический анализ

Введение в математический анализ Бубнов ВФ, Веременюк ВВ курс лекций для студентов строительных специальностей Введение в математический анализ 3 г ОГЛАВЛЕНИЕ Множества и операции над ними 3 Множества и их элементы 3 Подмножества Операции

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее