ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО"

Транскрипт

1 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

2 Математический анализ функции одного переменного Введение в математический анализ Определение предела числовой последовательности Предел функции в точке и при стремлении аргумента к бесконечности Бесконечно малые функции Определение бесконечно малых Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми Сравнение бесконечно малых функций Некоторые замечательные пределы 7 Непрерывность функции 8 Непрерывность функции в точке 8 Непрерывность функции на интервале и на отрезке 9 Точки разрыва и их классификация Примеры решений расчетных заданий по теме «Введение в математический анализ» Дифференциальное исчисление функции одной переменной 8 Определение производной функции 8 Производные высших порядков 9 Производная сложной функции Производная неявных функций Дифференцирование функции, заданной параметрически Дифференциал функции 7 Формула Тейлора 8 Правило Лопиталя-Бернулли раскрытия неопределенностей Примеры решений расчетных заданий по теме «Дифференциальное исчисление функции одного переменного»

3 Математический анализ функции одного переменного Введение в математический анализ Определение предела числовой последовательности Определение Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число a n, то говорят, что задана числовая последовательность a, a, a n { a n } Общий член последовательности является функцией от n, те a n fn Определение Число A называется пределом числовой последовательности { a n }, если для любого ε> найдется такой номер N, зависящий от ε, что для всех n > Nε выполняется условие: a n A < ε Это записывается: a n A ε f N ε : n f N ε a n A < ε n В этом случае говорят, что последовательность { an} сходится к A при n Таким образом, чтобы доказать, что число A является a, надо найти N ε, решив неравенство A < ε a n n n Предел функции в точке и при стремлении аргумента к бесконечности Предел функции в точке Aε A A-ε f a-δ a aδ Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х a те в самой точке х а функция может быть и не определена Определение Число A называется пределом функции f при х а, если для любого ε> найдется такое число δε> зависящее от ε, что для

4 a Если f A при х а только справа от точки а, то называется пределом функции f в точке ха справа a f A всех a и удовлетворяющих условию a < δε выполняется неравенство f А < ε То же определение может быть записано в другом виде: Если а δε < < a δε, a, то верно неравенство А ε < f < A ε Запись предела функции в точке: f A a Определение Если f A при х а только слева от точки а, то f A называется пределом функции f в точке ха слева f A A a Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f не определена в самой точке ха, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки Пределы А и А называются односторонними пределами функции f в точке ха Определение Число A называется пределом функции f при х, если для любого числа ε> найдется число δ ε >, зависящее от ε, что для всех X из области определения X, как только > δε, выполняется неравенство f А < ε f A ε f δ ε f : X f δ ε f А < ε Графически можно представить: A A A A

5 Аналогично можно определить пределы Основные теоремы о пределах Теорема C C, где С cons a f A и f A Следующие теоремы справедливы в предположении, что функции f и g имеют конечные пределы при х а Теорема f ± g f ± g a a a Теорема [ f g ] f g a a Следствие C f C f a a a f f a Теорема, если g a g g a a Теорема Если f> в окрестности точки ха и f a A, то А> Аналогично определяется знак предела при f <, f, f Теорема Если g f u в окрестности точки ха и g u A, то f A a a a Определение Функция f называется ограниченной в окрестности точки ха, если существует такое число M >, что f < M в окрестности точки ха Теорема 7 Если функция f имеет конечный предел при х а, то она ограничена в окрестности точки ха Бесконечно малые функции Определение бесконечно малых Определение Функция α называется бесконечно малой при х a или х, если α α a Теорема Для того, чтобы функция f при х а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности точки ха выполнялось условие f Aα, где αх бесконечно малая при х а αх при х а Свойства бесконечно малых Если α и β бесконечно малые при х a или х, то будут бесконечно малыми : α ± β ; c α, где с постоянная;

6 f α, где f ограниченная функция; α β ; α, если f a х f Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми Определение Функция f называется бесконечно большой при х a или х, если для любого ε > найдется такое число δ ε >, зависящее от, что для всех a, удовлетворяющих условию a < δ f δ ε, ε ε будет верно неравенство f > ε Таким образом, функция f является бесконечно большой при х a или х, если f a Свойства бесконечно больших функций Если f бесконечно большая при х a или х, то будут бесконечно большими: f ϕ, где ϕ a f ± ϕ, где φ ограниченная функция f, где φ имеет конечный предел ϕ Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций определяется в соответствии со следующей теоремой Теорема Если функция α есть бесконечно малая при х a или х, то функция f α является бесконечно большой, и обратно, если α является f f бесконечно большая при х a или х, то бесконечно малой Сравнение бесконечно малых функций Если αх и βх бесконечно малые функции при х а или х α и k, то эти бесконечно малые функции можно сравнивать по a β быстроте их убывания, те по быстроте их стремления к нулю Например, функция f стремится к нулю быстрее, чем g Если k, то говорят что αх бесконечно малая более высокого порядка малости, чем βх; при k А, А cons αх и βх одного порядка ма-

7 лости; при k αх более низкого порядка малости, чем βх; при k αх и βх называются эквивалентными бесконечно малыми, записывают αх ~ βх Теорема Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если бесконечно малые заменить их эквивалентами Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что позволяет упростить вычисление пределов Примеры эквивалентных бесконечно малых при х sin ~ arcsin ~ g ~ arcg ~ cos ~ - ~ a ~ ln ~ ~ ln a log ~ log m - ~ m n n ~ a a Некоторые замечательные пределы Часто если непосредственное нахождение предела какой либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов sin Первый замечательный предел Второй замечательный предел Далеко не всякая подстановка предельного значения может сразу привести к нахождению предела Случаи, в которых подстановка предельного значения не дает значения предела, называют неопределенностями К ним относятся :,, [ ], [ ], [ ], [ ], [ ] Устранить неопределенности удается с помощью алгебраических преобразований Существуют некоторые правила для устранения неопределенностей : f ϕ с неопределенностью вида, где f и φ степенные или показательные функции В случае степенных функций необходимо выносить за скобку в числителе и знаменателе дроби х с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби 7

8 В случае показательных функций за скобку выносится степень с большим основанием После сокращения неопределенность устраняется f a ϕ с неопределенностью вида В этом случае необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби или домножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения Если же х, заменить бесконечно малые на эквивалентные им функции f ϕ с неопределенностью вида [ ] a Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределенность устраняется или приводится к -му виду после приведения дробей к общему знаменателю Если функция представляет собой алгебраическую сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется, или приводится к -му виду путем домножения и деления функции на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения ϕ f с неопределенностью вида [ ] a В этом случае выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой степенно-показательную функцию, в основании которой необходимо выделить целую часть дроби которая должна быть равна Неопределенность устраняется при помощи «второго замечательного предела» Непрерывность функции Непрерывность функции в точке Определение Функция f называется непрерывной в точке х, если она определена в некоторой окрестности этой точки и предел функции совпадает со значением функции, те f f Определение Функция f называется непрерывной в точке х, если для любого положительного числа ε > существует такое число Δ >, что для любых х, удовлетворяющих условию < Δ верно неравенство f f < ε Определение Функция f называется непрерывной в точке х х, если приращение функции в точке х является бесконечно малой величиной, те f f α, где αх бесконечно малая при х х 8

9 Определение Если функция f определена в некоторой окрестности точки х, но не является непрерывной в самой точке х, то она называется разрывной функцией, а точка х точкой разрыва f ε f f -ε -Δ Δ f ε f f -ε Пример непрерывной функции Пример разрывной функции Свойства непрерывных функций Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х функций есть функция, непрерывная в точке х f Частное двух непрерывных функций есть непрерывная функция g при условии, что g Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция Это свойство может быть записано следующим образом: если u f, v g непрерывны в точке х х, то функция v gf непрерывна в этой точке Непрерывность функции на интервале и на отрезке Определение Функция f называется непрерывной на интервале отрезке, если она непрерывна в любой точке интервала отрезка При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала Свойства функций, непрерывных на отрезке Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, те на отрезке [a, b] выполняется условие M f M Первая теорема Вейерштрасса Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения То есть существуют такие значения х и х, что f m, f M, причем m f M 9

10 Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами Вторая теорема Больцано Коши Если функция f непрерывна в точке хх, то существует некоторая окрестность точки х, в которой функция сохраняет знак Если функция f непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f первая теорема Больцано Коши Точки разрыва и их классификация Рассмотрим некоторую функцию f, непрерывную в окрестности точки х, за исключением может быть самой этой точки Из определения точки разрыва функции следует, что х х является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней Поясним это следующим образом Если односторонний предел f f, то говорят, что функция непрерывна справа Если односторонний предел f f, то говорят, что функция непрерывна слева X X непрерывная справа непрерывная слева Определение Точка х называется точкой разрыва функции f, если f не определена в точке х или не является непрерывной в этой точке Определение Точка х называется точкой разрыва - го рода, если в этой точке функция f имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы f f Точку х называют точкой неустранимого разрыва -го рода

11 Определение Точка х называется точкой устранимого разрыва - го рода, если оба односторонних предела конечны, равны между собой, но не равны f, те f f f Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва го рода функция может иметь только конечный скачок Для того, чтобы устранить разрыв, нужно доопределить или переопределить функцию в самой точке х, те ввести новую функцию f, если A, если Определение Точка х называется точкой разрыва го рода, если в этой точке функция f не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен Примеры решений расчетных заданий по теме «Введение в математический анализ» n Задание 8 Доказать, что n n Решение Используя определение предела последовательности, составим основное предельное неравенство A < ε и решим его относительно n a n n 9 < ε ; < ε, тк n>, то n n n n Тогда < ε p p ε n > n > n n n ε ε Таким образом, если 9 9 N ε целая часть дроби, то для всех ε ε n > Nε выполняется предельное неравенство при любом ε> В частности: пусть ε,9, тогда 9 N ε,,9 тогда при n>, то есть, начи- ная с а все члены последовательности отличаются от менее, чем на ε,9 пусть ε,9, тогда 9 N ε,,9 тогда n >, то есть, начиная с а все члены последовательности отличаются от менее, чем на ε,9

12 Значит при ε, Nε Следовательно, для любого ε > найдется N ε, начиная с которого будет выполнено неравенство A < ε, это означает, что данная последовательность имеет предел равный Задание 9 Доказать, используя определение предела функции, что 7 8 Решение По определению: f A, если для любого ε > найдется такое число δε >, что при < a < δε выполняется неравенство a f А < ε Зафиксируем произвольное ε > и найдем по этому ε такое δ >, чтобы из 7 8 условия < < δε вытекало бы неравенство < ε: < ε < ε < ε 7 8 < ε ε ε 7 < ε < Отсюда следует, что если взять δ ε, то 7 7 неравенство < δ ε автоматически влечет за собой неравенство f < ε это означает, что для всех х, для которых верно первое неравенство, будет верно и второе В соответствии с определением предела 7 8 функции это означает, что Задание Доказать, что g Решение По определению: ε f δ ε f х Х p p δ ε f < ε В нашем случае неравенства имеют вид: g < ε при p < δ ε Разрешив относительно, получим < < arcg ε, тогда < < arcg ε, а значит δ ε arcgε f, что соответствует определению предела, те при выполняется Следовательно, доказано, что g a n

13 Задание Найти предел функции Решение Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженные выражения: 9 Ответ: Задание Найти предел функции Решение В числителе и знаменателе дроби вынесем за скобку х с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби: Ответ: Задание Найти предел функции Решение [ ] Так как при х, то ~, заменив функцию эквивалентной бесконечно малой, получим:

14 Ответ: Задание Найти предел функции Решение [ ] Преобразуем выражение так, чтоб получить формулу разности кубов: Ответ: Задание Найти предел функции: a, b cos sin cos Решение а [ ] Преобразуем выражение так, чтобы перейти ко второму замечательному пределу х х х х х х Ответ:

15 b sin cos [ ] cos Решение Приведем выражение ко второму замечательному пределу : sin cos cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos Ответ: cos cos cos sin cos sin cos cos cos cos sin cos cos cos sin cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cg Задание Найти предел функции cos Решение [ ] cos cg Неопределенность вида [ ] так же как и неопределенность вида [ ], можно раскрыть, предварительно вычислив предел от логарифма функции, то есть, воспользовавшись основным логарифмическим тождеством cg ln cos cg ln cos, cos,где cos ln ln cg ln cos g g Сделали замену, при, ; тогда ln cos ln cos cos g g Так как, заменили функции эквивалентными бесконечно малыми ln cos ~ cos ~ - ; g ~ Ответ:,

16 Задание 7 Найти предел функции Решение cos [ ] [сделаем замену cos, при ln sin cos ln sin где ln sin cos, тогда ] sin здесь имеет место неопределенность вида [ ], сведем ее к и раскроем эту неопределенность, используя правило Лопиталя: ln sin cos cos sin sin Так как то, заменив функцию эквивалентной бесконечно малой sin ~ cos, получим: cos Ответ: Задание 8 Найти точки разрыва функции и исследовать их характер Дать геометрическую иллюстрацию, если <, sin, если p <, f, если <,, если

17 Решение В интервалах, ;, ;, ; ; функция f непрерывна, как элементарная функция в своей области определения Следовательно, функция может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, те в точках, и Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции В точке имеем: f ; f f не существует, значит f точка разрыва -го рода устранимая sin ; Достаточно доопределить функцию в этой точке, положив будет точкой непрерывности f, тогда В точке имеем: f sin ; f ; f f Таким образом, f f, значит точка разрыва -го рода типа скачка Величина скачка равна Δ f f f, те разрыв -го рода неустранимый В точке имеем: f ; f ; f f Таким образом, f f, значит точка разрыва -го рода типа скачка, неустранимая Величина скачка равна Δ f f f 7

18 - Ответ: точка разрыва -го рода устранимая; точка разрыва -го рода типа скачка, неустранимая; точка разрыва -го рода типа скачка, неустранимая Дифференциальное исчисление функции одной переменной Определение производной функции Определение Производной f функции f называется предел отношения приращения функции Δ f Δ f к соответствующему приращению аргумента Δ, при стремлении Δ d Обозначается f или d Δ f Δ Δ Операция нахождения производной называется дифференцированием Основные правила дифференцирования: Обозначим f u, g v дифференцируемые функции u ± v u ± v ; u v u v uv ; u u v v u, если v v v Производные основных элементарных функций c, cons arcsin c ; 9, < ; 8

19 α α α, α R ; arccos a a ln a, a >, a ; arcg ; log a, >, a >, arccg ln a sin cos ; sh ch ; cos sin ; ch sh ; 7 g, n ; h ; cos ch 8 cg, n ; ch sin sh Производные высших порядков a ;, < ; Определение Второй производной или производной второго порядка функции f называется производная первого порядка от производной первого порядка d Обозначается f f или d Определение Производной n го порядка функции f называется производная первого порядка от производной порядка n n d Обозначается f n или n d Правила нахождения производных высших порядков: Пусть f u, g v функции, дифференцируемые до n го порядка включительно: n n cu c u, где c cons ; n n n u ± v u ± v ; формула Лейбница где C k n n!, u u, k! n k! uv n n k nk k Cn u v, k v v 9

20 Производная сложной функции Пусть f u, u g, причем область значений функции u область определения функции Тогда производная равна произведению производной от внешней функции по промежуточному аргументу на производную от промежуточного аргумента по основному f u u u Производная неявных функций Пусть дифференцируемая функция f,, задана уравнением F Тогда дифференцируем левую и правую часть уравнения F, считая сложной функцией, и выражаем из уравнения Пример Найти производную функции sin Решение sin, sin Так как sin cos cos cos,,,, cos Выражаем из последнего уравнения : то cos cos,

21 Ответ: cos cos Дифференцирование функции, заданной параметрически Пусть функция f задана параметрически ϕ, где функции ψ, ψ имеют производные ϕ и ψ, то функция f ϕ также имеет производную, вычисляемую по формуле ψ ϕ Вторая производная для параметрически заданной функции вычисляется по формуле: Производная n порядка n n Дифференциал функции Определение Дифференциалом функции f называется главная, линейная относительно Δ, часть приращения функции Δ f Δ α Δ, где α Δ бесконечно малая функция, более высокого порядка малости, чем Δ Обозначается d или df Из определения следует, что d f Δ или d f d Дифференциал второго порядка вычисляется по формуле: d f d, если независимая переменная Если же зависимая переменная, те ϕ, то

22 d f d f d 7 7 Формула Тейлора Теорема Тейлора Пусть функция f имеет в точке a и некоторой ее окрестности производные порядка до n включительно Пусть - любое значение из этой окрестности, но a Тогда между точками и a найдется такая точка ε, что справедлива формула: n f a f a f a n f f a a a a!! n! n f ε n a 8 n! это выражение называется формулой Тейлора, а выражение: n f ε n a Rn n! называется остаточным членом в форме Лагранжа 8 Правило Лопиталя-Бернулли раскрытия неопределенностей Теорема Лопиталя-Бернулли Если выполняется: функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, g ; f g ; a a f a g Тогда f f 9 a g a g Теорема справедлива, и в случае, если вместо условия выполняется f g a a Также теорема справедлива, если в пределах вместо a Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности типа

23 и Неопределенности других типов можно свести к или ; ; можно свести Например, неопределенности вида [ ] [ ] [ ] с помощью логарифмирования Неопределенность [ ] или путем преобразования произведения в частное сводится к П римеры решений расчетных заданий по теме «Дифференциальное исчисление функции одного переменного» ' Задание 9 Пользуясь только определением производной, найти для cos функции Решение Зададим приращение аргументу Δ и найдем соответствующее приращение функции Δ : cos Δ cos cos Δ Δcos Δ Δ Δ Δ Применяя тригонометрическую формулу cos α β cosαcosβ sinαsinβ в числителе, имеем cos cosδ sin sin Δ cos Δcos Δ Δ Используя определение производной функции, и группируя слагаемые, получаем Δ cos cosδ sin sin Δ cos Δcos ' Δ Δ Δ Δ Δ cos cosδ sin sin Δ Δcos Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Применив в первом и втором слагаемом алгебраической суммы эквивалентны cosδ~ при Δ, sin Δ ~ Δ при Δ, Δ сократив дроби, придем к следующему равенству cos Δ sin cos ' Δ Δ Δ Δ Δ Δ sin cos sin cos

24 Ответ: ' cos sin Задание Найти производную функции g arccos Решение Используя правила дифференцирования, получим ' ' ' arccos g В первом слагаемом алгебраической суммы, применим правило дифференцирования произведения, а во втором слагаемом представим корень в виде степени, придем к следующему равенству ' ' ' g arccos arccos Найдем производные, используя правило дифференцирования сложной функции, и выполнив алгебраические преобразования, получим ' ' ' sin g g arccos g cos g g arccos g ' g g ' g arccos g g arccos ' sin g g arccos Ответ: ' sin g g arccos Задание Найти производную первого порядка для функции, заданной неявно ln sin

25 Решение Используя правило дифференцирования функции, заданной неявно, имеем cos ' cos ' ' ' Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые с, получим ' cos cos Из последнего равенства выразим производную функции ' : cos ' cos cos Ответ: ' cos Задание Найти ' и " от функции, заданной параметрически Решение Найдем производные функций и по переменной : ' ln ' ln Воспользуемся формулами, для нахождения ' и " : ln ln ln ln ', " ln lnln 7 ln ln ln ln ln Ответ: ' lnln, " 7 ln ln Задание Используя формулу Лейбница, найти для функции ln Решение Обозначим u, v ln, тогда u', u", u, u ; v', v", v, v Применив формулу Лейбница для n, получим k k k ln C u v C u v C u v' C u" v" C u' v C uv k

26 !!!! C, C, C, C,!!!!!!!!! C!! Следовательно, 8 ln ln Ответ: 8 ln ln Задание Для функции найти d и d, если а - независимая переменная, б - зависимая переменная, arcsin Решение а Вычислим производную функции первого и второго порядка, используя правила дифференцирования: ', " Найденные значения ' и " подставим в формулы, соответственно, получим d d, d d б Если arcsin, тогда d d d d, d, d, arcsin arcsin ' arcsin, " arcsin Подставляя в формулы, 7 найденные значения d, d, d, ', ", найдем дифференциалы первого и второго порядка в случае зависимой переменной: arcsin d d arcsin ; d arcsin d arcsin d arcsin arcsin d arcsin Ответ: а d d, d d arcsin d б d arcsin ; arcsin arcsin

27 d arcsin d arcsin arcsin Задание Написать формулу Тейлора -го порядка для функции в точке Решение Найдем производные первого, второго, третьего порядка и вычислим значение полученных функций в указанной точке ', ' ; ", " ; ' '', ''' ; Тогда, применяя формулу Тейлора 8, получим! Ответ:! sin Задание Используя правило Лопиталя, найти arcsin Решение Для того чтобы избавиться от неопределенности, применим правило Лопиталя 9: sin sin ' cos arcsin arcsin ' arcsin sin Ответ: arcsin ln Задание 7 Используя правило Лопиталя, найти ln Решение Для устранения неопределенности, применим правило Лопиталя 9: ln ln 7

28 В результате вновь получили неопределенность, применим правило Лопиталя еще раз ln Ответ: ln Задание 8 Используя правило Лопиталя, найти lncos Решение Преобразуем функцию, стоящую под знаком предела к следующему виду: lncos ln cos Для устранения неопределенности, применим правило Лопиталя 9: sin lncos cos sin cos Ответ: lncos Задание 9 Используя правило Лопиталя, найти Решение Преобразуем функцию к виду Для того чтобы избавиться от неопределенности, применим правило Лопиталя 9: 8

29 Ответ: Задание Используя правило Лопиталя, найти ln Решение Используя свойство логарифмов: а lnb b, б ln b a alnb, преобразуем функцию к виду ln ln ln ln ln ln, ln тогда предел показателя степени можно вычислить по правилу Лопиталя 9, применяя свойство непрерывности элементарных функций в частности : ln ln Ответ: ln ln ln ln ln Задание Используя правило Лопиталя, найти ln Решение Воспользовавшись свойствами логарифмов ln b b ; ln b a alnb, преобразуем функцию, стоящую под знаком предела к следующему виду: lnln ln ln ln, тогда предел показателя степени можно вычислить по правилу Лопиталя 9, применяя свойство непрерывности элементарных функций в частности : ln ln Ответ: ln ln ln ln ln Задание Используя правило Лопиталя, найти arcsin 9

30 Решение Воспользуемся свойствами логарифмов непрерывностью функции : arcsin ln arcsin ln arcsin ln arcsin ln b b ; ln b a alnb, arcsin arcsin arcsin [ ] [ ] - arcsin ~ Ответ: arcsin

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ 09.03.2013 Предел функции Математический анализ (лекция 4) 09.03.2013 2 / 49 Предел функции Определение Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности,

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования.

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования. Производная функции Ее геометрический и физический смысл Техника дифференцирования Основные определения Пусть f ( ) определена на (, ) a, b некоторая фиксированная точка, приращение аргумента в точке,

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра высшей математики УТВЕРЖДАЮ

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Пределы. Решение контрольной работы

Пределы. Решение контрольной работы Пределы. Решение контрольной работы Нахождение предела по определению Задача. Доказать, что a a 5 + 5, 5 a a (указать N(ε)) Нужно показать, что для любого ε > найдется такое N ( ε ), что для всех a > N

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр. Число А называется пределом функции f(x) при xa, если >0 такая -окрестность

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Практикум по высшей математике

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Практикум по высшей математике ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра прикладной математики и

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Практикум по высшей математике

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Практикум по высшей математике ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра прикладной математики и

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебно-методическое пособие для студентов всех специальностей Рецензент проф ЕА Калашников Редактор

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное

Подробнее

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» ФГБОУ ВО РГУПС ЕВ Пиневич, ВА Липович, ИС Стасюк

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии МЕЧанга Предел и непрерывность функции одной переменной Рекомендовано учебно-методическим

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

«Пределы, непрерывность. Производные»

«Пределы, непрерывность. Производные» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть Стакун Н.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть Пределы, функции, графики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Учебное пособие для факультета технологии и предпринимательства Москва Введение Настоящее

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Оглавление. А.А.Быков bykovaa.ru, abkov.ru

Оглавление. А.А.Быков bykovaa.ru, abkov.ru ksm-n05-производная и дифференциал А.А.Быков bykovaa.ru abkov.ru Оглавление 5. Лекция 5. Понятие производной... 4 5.. Производная... 4 5... Определение производной в точке 4 5... Производная степенной

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие для

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет УГТУ Дифференциальное исчисление

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

9 Дифференцирование неявных функций

9 Дифференцирование неявных функций 80 9 Дифференцирование неявных функций Пусть функция = f задана уравнением F (, )= 0 В этом случае говорят, что функция задана неявно Для нахождения производной считаем, что в уравнении зависит от,иначе

Подробнее

. Раз- 0 0 x 0 называется приращением функции в точке x 0. в точке x 0. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. log a. 4.

. Раз- 0 0 x 0 называется приращением функции в точке x 0. в точке x 0. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. log a. 4. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Раз- 0 0 0 называется приращением функции в точке 0 f ( 0 ) Если существует конечный предел lim f ( 0 ), то он называется производной функции f ( ) в точке 0 0 Отыскание производной

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее