Прикладная математика и информатика 30, М.: Изд-во факультета ВМиК МГУ, с.25-34, Р.З. Деянов, Б.М. Щедрин, Е.М.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Прикладная математика и информатика 30, М.: Изд-во факультета ВМиК МГУ, с.25-34, Р.З. Деянов, Б.М. Щедрин, Е.М."

Транскрипт

1 Прикладная математика и информатика, М: Изд-во факультета ВМиК МГУ, с5-, 8 РЗ Деянов, БМ Щедрин, ЕМ Бурова ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В ЗАДАЧЕ ВЫДЕЛЕНИЯ ЛИНИИ ФОНА ПРИ ОБРАБОТКЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ Задача выделения линии фона часто возникает при первичной обработке данных физического эксперимента, когда из полученных значений требуется выделить фоновую составляющую В первую очередь, это связано с обработкой дифракционных спектров в нейтронографии, оже-спектроскопии, газовой электронографии, с обработкой порошковых дебаеграмм Факторы, порождающие линию фона, носят, как правило, случайный характер и, главное, не всегда известно какие именно физические факторы участвуют в формировании линии фона Поэтому, основным вопросом выделения линии фона является выбор функций, которыми ее моделируют Как правило, основными свойствами таких функций является их плавность, или, с математической точки - гладкость и ограниченность функции кривизны Функция кривизны задается выражением: ux ( ( )) = ( u ( x) ( u ( x)) )/ Из физических соображений линия фона, обозначим ее как B (bacgroud), ищется такой, чтобы минимизировалась выбранная норма для функции кривизны Отметим очевидное соотношение u ( ) u (для любой нормы) Таким образом, если мы будем минимизировать норму u на некотором специально заданном множестве функций, то добьемся и уменьшения нормы u ( ) Формализуем нашу задачу Рассмотрим пространство функций интегрируемых с квадратом на ab, с метрикой

2 U { } b ρ (, ) = ( ( ) ( )) uv ux vx dx a / (далее просто ρ ( uv, )) Это метрическое пространство U ab, Для b uv, U ab, : ( uv, ) = uvdx, u = ( uu, ) U a (далее, под будем понимать ) На множестве {, ; ( ) ( ) () () } D= u C ab ua = u a = ub = u b = рассмотрим линейные du du операторы дифференцирования Lu =, Lu dx = dx Пусть нам известно δ > такое, что для данной экспериментальной функции uδ ( x) C ab, выполняется ρ( uδ, B) δ Пусть также известно число R > такое, что выполняется LB R Как показала практика, значения δ, R не сложно найти по экспериментальным данным Введем множество Dδ, R { u C ab, ; ρ( u, u) δ, Lu R} = Не ограничивая δ общности, можно считать Dδ,R D (что можно добиться линейной заменой переменных) Поставим задачу выделения линии фона как поиск элемента множества D δ,r с минимальным значением квадрата нормы второй производной, те mi,, R Lu u D δ () Решение задачи существует, единственно ([], с 9) и сводится к поиску регуляризованного решения по АНТихонову При этом, априорная информация о значениях δ, R позволяет обойтись без решения задачи определения параметра регуляризации α Согласно детерминированному методу регуляризации [, c6] решение () ищется как минимум квадратичного функционала на множестве D δ,r : δ mi Ψ [ u] = u uδ Lu, u Dδ, R () R Пусть uα ( α = δ / R ) решение (), тогда оно с необходимостью удовлетворяет тождеству Эйлера: ( uα uδ, v) α( Lu α, Lv ), v Dδ, R * Учитывая для множества D самосопряженность оператора L = L, получаем уравнение Эйлера: () α u u = u, u ( a) = u ( a) = u () b = u () b = () α α δ U α α α α

3 Решение () существует и единственно для любой непрерывной функции u δ ([], с7) Будем рассматривать варианты A)- Г) решения задач (),(): A) проводится дискретизация () на неравномерной сетке, Б) проводится дискретизация () на равномерной сетке, В) проводится дискретизация () на равномерной сетке, Г) решение () находится для любой точки [ ab, ] Вариант А Проводится дискретизация исходного функционала () с неравномерной сеткой по аргументу x: x, x,, x( x = ax, = b), uδ, i = uδ( x i ) и искомыми значениями ui = ux ( i) Функционал () переходит в квадратичную форму от переменных u, u,, u : Φ ( u) = ( u u ) (( u u u )/ ) mi i i δ, i α i i i i i i= i= Минимум (единственный) данный квадратичной формы определяется как T T решение СЛАУ: Au = f, где u= ( u, u,, u), f = ( u δ,, u δ,,, u δ, ), A-симметричная положительно-определенная матрица Приведем ее верхний треугольный вид: α α α ( ) ( ) j α j j j α j j α j A= ( ) α α α Для решения СЛАУ Au = f применяли метод монотонной прогонки ([], с98), который требует всего 8 5 операций сложения и вычитания, 8 5 операций умножения и операций деления Достаточные условия корректности (устойчивости) данного метода прогонки для матрицы A выражаются как α mi,,,, σmi, где σ i mi = mi i ([], с) i i Вариант Б Проводится дискретизация исходного функционала () с равномерной сеткой по аргументу x : xi = x i, i=,, В этом случае функционал () также переходит в квадратичную форму от переменных u, u,, u :

4 i δ, i α i i i i= i= Φ ( u) = ( u u ) ( u u u ) mi Минимум определяется как решение СЛАУ Au положительно-определенной матрицей D= D T (вырождена): 5 6 D= 5 = u δ с симметричной A= E ( α / ) D, где матрица Для данной матрицы A найден эффективный метод обращения (методом прогонки), который требует порядка 9 операций умножения и операций деления Вариант В Проводится дискретизация уравнения Эйлера () на равномерной сетке Оператор дифференцирования четвертого порядка заменим соответствующим оператором конечной разности четвертого () порядка: ui ( ui ui 6 ui ui ui ), i=,, С учетом нулевых граничных условий, мы можем рассматривать нашу функцию как периодическую (с периодом T = b a ) и принять u = u, u = u, u = u, u = u Тогда () u ( u u 6 u u u ), () u ( u u 6 u u u ), () u ( u u 6 u u u ), () u ( u u 6 u u u ) Отсюда получаем СЛАУ : ( E pc) u= uδ, p= α /, где (E pc ) симметричная циркулянтная матрица:

5 6p p p p p p 6p p p p p p 6p p p E pc = p p 6p p p p p p 6p p p p p p 6p Следовательно, при решении СЛАУ можно избежать трудоемкой операции обращения матрицы и найти решение (при условии невырожденности матрицы) в явном виде, тк известны вещественные собственные значения y = p(6 r r r r ) и собственные T вектора x (, r, r,, r π π = ), где r = cos isi (-й корень из ) Для нахождения y вычислим 6 ( r r ) r r = α 6 8cos cos 6si, π = α α = α = Таким образом, 6 si π y = p > (отсюда матрица E pc является положительноопределенной) и решение дается как u= F Λ Fuδ, где * Λ = diag{ y, y,, y }, F- матрица дискретного преобразования Фурье, у которой столбцами являются собственные вектора x Можно также рассматривать следующий оператор конечной разности четвертого порядка([6], с): () ui ( ui ui ui ui ui ) α α α α α, () () () () () () ui ( ui ui ui ui ui ) α α α α α = ( β u βu ), i ui ui ui ui ui ui u i β β β β β β β i где α = 6, α=, α = Значения β выражаются через α как β = ( α α α), β= ( αα αα ), β = α αα, β= αα, β = α Принималось u = u, u= u, u = u, u= u, u = u, u = u, u = u, u = u, u = u Собственные значения β β β β β β β β β y = p( r r r r r r r r ), или

6 y = p( β ( β cosα βcosα βcosα βcos α)) Решение * также дается как u= F Λ Fuδ Меняется только diag{ y, y,, y T Λ = } Собственные вектора x = (, r, r,, r ), как известно, являются общими для всех циркулянтов([7], с) Вариант Г Выразим решение () в явном виде Предварительно, приведем уравнение к виду: () u λ u= λ u, ua ( ) = u ( a) = ub () = u () b =, δ / где λ= ( R/( δ)) Решением данного уравнения является функция: x ux ( ) = cu ( x) λ u( xtu ) δ() tdt, = a где u( x) = cosλx cos λx, u( x) = ( cosλx siλx siλx cosλx), u( x) = siλx si λx, u( x) = ( cosλx siλxsiλx cosλx) Коэффициенты c определяются из граничных условий: u ( ac ) u ( ac ) u ( ac ) u ( ac ) =, u() bc u() bc u() bc u() bc = b, u ( ac ) u ( ac ) u ( ac ) u ( ac ) =, u() bc u() bc u() bc u() bc = b, b b = λ u( btu ) δ() tdt, a d x b = λ u( x tu ) δ() tdt dx a x= b Доказательство дано в ([5]) Замечание Оценки параметров алгоритма - δ и R, несложно вычисляются применением метода скользящего среднего: пусть S m - оператор применения метода скользящего среднего по m точкам Тогда, можно определить δ = Sm( uδ) uδ, R= LS m( uδ) Замечание Если искомая функция не удовлетворяет нулевым граничным условиям (), те выполняется ua ( ) = y, u ( a) = d, ub () = y, u () b = d так, что y y d d, то вводим новую функцию zx ( ) = ux ( ) P ( x), где P( x) = ( b xy ) ( x ay ) ba

7 ( xa)( xb) ( d ( b a ) y y )( x b ) ( d ( b a ) y y )( x a ) ( b a) Тогда, очевидно, z( a) = z ( a) = zb () = z () b =, функция uδ ( x) заменится на uδ( x) P ( x), значение δ останется прежним, но R изменится на / b R z = R P P P P a Замечание Данный алгоритм может также применяться для фильтрации шумов экспериментальных данных; на рис показано выделение полезного сигнала 7 6 Yexp 5 Yfilter 6 8 Рис Фильтрация шумов экспериментальной функции Замечание Определенную сложность для известных алгоритмов проведения линии фона вызывает требование проведения линии фона строго под спектром Наш алгоритм успешно справляется с подобным требованием (см рис)

8 Yexp Bacgroud - 5 Рис По условиям задачи линия фона проведена строго под спектром Практическое использование Данный алгоритм успешно применялся при обработки данных порошковых дифрактограмм, оже-спектроскопии, газовой электронографии, нейтронограмм ( рис -5) Yexp Bacgroud Рис Выделение линии фона в газовой электронографии ( Yexp интенсивность рассеяния электронов на газе молекулы CHCl)

9 Yexp Bacgroud Рис Выделение линии фона по данным порошковой рентгенограммы (количество точек -5) 6 Y exp B a cgrou d 8 Рис5 Выделение линии фона по данным нейтронограммы При числе точек в спектре N=96 время счета занимает менее долей секунды на PC средней мощности Проведенные тесты показали, что ограничения на количество точек спектра определяется только ограниченностью памяти PC В этом смысле интересно рассмотреть следующую постановку задачи проведения линии фона: с непрерывно работающего прибора поступает спектр; требуется в режиме реального времени выдавать числовые значения спектра без линии фона В настоящее время такой алгоритм нами разработан, проводится его апробация Заключение На основе метода регуляризации АНТихонова разработан эффективный алгоритм и серия соответствующих программ для

10 выделения гладкой линии фона при обработке экспериментальных данных Следует отметить, что алгоритм пригоден не только для выделения линии фона, но и для построения фильтрующей функции Литература Тихонов АН, Арсенин ВЯ Методы решения некорректных задач - М, Наука, 979, 85 с Морозов ВА Регулярные методы решения некорректно поставленных задач - М: Изд-во МГУ, 97, 59 с Тихонов АН, Васильева АБ, Свешников АГ Дифференциальные уравнения - М: Наука, 98, с Самарский АА, Николаев ЕС Методы решения сеточных уравнений - М: Наука, 978, 59 с 5 Деянов РЗ, Щедрин БМ Восстановление гладкой функции детерминированным методом регуляризации - М: Изд-во МГУ, В кн Вычислительные методы и программирование, вып 9, 98, с Березин ИС, Жидков НП Методы вычислений т - М: Наука, 966, 6c 7 Воеводин ВВ, Тыртышников ЕЕ Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами - М: Наука, 987, с

Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, ноября 2008 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ , часть 4 МИРЭА

Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, ноября 2008 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ , часть 4 МИРЭА Материалы Международной научно-технической школы-конференции, 3 ноября 8 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ 8, часть 4 МИРЭА РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА ДВОИЧНЫХ

Подробнее

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ПРОГРАММА-МИНИМУМ кандидатского экзамена по специальности 01.01.07 «Вычислительная математика» по физико-математическим наукам Программа-минимум содержит

Подробнее

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

Направление Компьютерные и информационные науки. Профиль «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» Направление 02.06.01 Компьютерные и информационные науки Профиль 01.01.07 «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» 1. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Первообразная непрерывной функции. 2.

Подробнее

УДК Исабеков К.А., Маданбекова Э.Э. ЫГУ им К.Тыныстанова О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

УДК Исабеков К.А., Маданбекова Э.Э. ЫГУ им К.Тыныстанова О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ УДК 55 Исабеков КА Маданбекова ЭЭ ЫГУ им КТыныстанова О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В данной статье приводятся алгоритмы двух методов решения плохо

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:

Подробнее

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений Варианты заданий 0. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений 0.1. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:

Подробнее

О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 64 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N- 3 УДК 57.944+59.46 О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Ю. А. Чиркунов Новосибирский

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

ИТЕРАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ИТЕРАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ИТЕРАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Вабищевич П.Н. 1, Васильев В.И. 2 1 Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН ул. Большая Тульская д.52, 115191 Москва,

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины.

Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины. Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины. 1.1. Цель преподавания дисциплины. Преподавание курса Численные методы имеет целью приобретение студентами навыков решения различных математических задач, анализа

Подробнее

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость.

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений

Подробнее

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение.

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. 6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Кандидатского экзамена по специальности «Вычислительная математика» По физико-математическим наукам

Кандидатского экзамена по специальности «Вычислительная математика» По физико-математическим наукам ПРОГРАММА-МИНИМУМ Кандидатского экзамена по специальности 01.01.07 «Вычислительная математика» По физико-математическим наукам Введение В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: функциональный

Подробнее

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ» по теме: «Численные методы регуляризации для решения интегрального уравнения Фредгольма

Подробнее

Рассмотрим дифференциальное уравнение u(x, t) t. u(x, 0) = 0, x [0, 1], (2) u(0,t) = 0, t 0, (3) u(x 0,t) = f(t), t 0; 0 < x 0 < 1, (4)

Рассмотрим дифференциальное уравнение u(x, t) t. u(x, 0) = 0, x [0, 1], (2) u(0,t) = 0, t 0, (3) u(x 0,t) = f(t), t 0; 0 < x 0 < 1, (4) А. С. КУТУЗОВ ОПТИМАЛЬНАЯ ПО ПОРЯДКУ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОВОЙ ДИАГНОСТИКИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ Доказана оптимальность по порядку метода проекционной регуляризации при

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

О нормальных решениях приближенных систем линейных алгебраических уравнений

О нормальных решениях приближенных систем линейных алгебраических уравнений АН Тихонов О нормальных решениях приближенных систем линейных алгебраических уравнений 1 Система линейных алгебраических уравнений A u, A A { a }, u R n, R m, n, m i, j задаѐтся с помощью расширенной матрицы

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета

Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета Рассмотрим ряд наиболее часто используемых разностных схем, аппроксимирующих начально-краевые задачи для линейного уравнения переноса: u t + c(x, t) u x = f(x,

Подробнее

Об однородных разностных схемах

Об однородных разностных схемах Доклады Академии наук СССР Том 4 958 А Н Тихонов А А Самарский Об однородных разностных схемах В статье [] была поставлена задача об отыскании разностных схем пригодных для единообразного решения дифференциальных

Подробнее

О некорректной граничной задаче для уравнения теплопроводности

О некорректной граничной задаче для уравнения теплопроводности М. Т. Дженалиев, д-р физ.-мат.наук Ин-т математики МОН РК (Казахстан, 050010, Алматы, ул.пушкина, 125, тел. (727) 2912336, E-mail: dzhenali@math.kz) Т. Ш. Кальменов, академик, д-р физ.-мат.наук Ин-т математики,

Подробнее

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Булычев Сергей, МОУ «Лицей

Подробнее

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» Программа междисциплинарного экзамена для проведения вступительного испытания в магистратуру Российского университета дружбы народов по направлению «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» специализация «Математическое

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Решение дифференциальных уравнений в частных производных Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского Факультет Вычислительной математики и кибернетики Параллельные численные методы Решение дифференциальных уравнений в частных производных При

Подробнее

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А-1. Тесты текущего контроля СТО БТИ АлтГТУ 15.62.2.0008-2014 Вопросы к модулям (разделам) курса «Вычислительная

Подробнее

5. Метод Эйлера: явные разностные схемы

5. Метод Эйлера: явные разностные схемы 5. Метод Эйлера: явные разностные схемы 5. Метод Эйлера: явные разностные схемы Вернемся к модели взаимодействия световых пучков (см. 2) и рассмотрим наиболее универсальный метод решения краевых задач

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Министерство образования и науки молодежи и спорта Донбасская государственная машиностроительная академия Составитель Костиков А.А. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Методические указания к выполнению практических

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям РЕФЕРАТ Выпускная квалификационная работа по теме «Численная идентификация правой части параболического уравнения» содержит 45 страниц текста 4 приложения 6 использованных источников 4 таблицы ОБРАТНАЯ

Подробнее

19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений

19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений Варианты заданий 9. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений 9.. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения:

Подробнее

Решение эллиптического дифференциального уравнения в частных производных на графическом процессоре в технологии CUDA

Решение эллиптического дифференциального уравнения в частных производных на графическом процессоре в технологии CUDA Решение эллиптического дифференциального уравнения в частных производных на графическом процессоре в технологии CUDA Н. О. Матвеева Рассматривается возможность использования графических процессоров для

Подробнее

Необходимо определить управляющий вектор U оп (t)

Необходимо определить управляющий вектор U оп (t) Лекция 2 3.5.2 Поиск оптимального управления непрерывными детерминированными процессами методами Лагранжа-Понтрягина В общем виде управляемая динамическая система описывается системой дифференциальных

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

О. А. Махинова СВОЙСТВА КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО АНАЛОГА ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА ГРАФЕ

О. А. Махинова СВОЙСТВА КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО АНАЛОГА ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА ГРАФЕ ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10. 01. Вып. 1 УДК 517.95 О. А. Махинова СВОЙСТВА КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО АНАЛОГА ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА ГРАФЕ 1. Введение. В последнее время в естествознании

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-NetR Общероссийский математический портал В Ф Бутузов Н Т Левашова А А Мельникова Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика 3» ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ по уравнениям математической физики для студентов строительных

Подробнее

О некоторых примерах для иллюстрации метода Радона

О некоторых примерах для иллюстрации метода Радона О некоторых примерах для иллюстрации метода Радона # 3, сентября 25 Чадов В. Б. УДК 372.85 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана Введение Многие проблемы естествознания и техники (астрофизики, физики плазмы, сейсмологии,

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность*

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* В. Н. РАЗЖЕВАЙКИН Аннотация. Доказывается теорема о положительной определенности ленточных матриц широко используемых в задачах математической

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

«Вычислительная математика» (основная часть)

«Вычислительная математика» (основная часть) ПРИНЯТО Ученым советом факультета физико-математических и естественных наук 2015 г. Протокол _ Председатель ученого совета факультета физико-математических и естественных наук УТВЕРЖДАЮ Проректор по научной

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

О методах регуляризации задач оптимального управления., (задача (1))., что x t,

О методах регуляризации задач оптимального управления., (задача (1))., что x t, АНТихонов О методах регуляризации задач оптимального управления Пусть дана система уравнений dx / d f x x x x T m с управляющими функциями из некоторого полного функционального класса U и начальными условиями

Подробнее

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Рассмотрим эллиптическое уравнение с переменными коэффициентами следующего вида: Lu(x) def a ij (x)u xi x j

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

Ключевые слова: уравнения Фредгольма, расширенные регуляризованные нормальные уравнения, изображающий спектрометр.

Ключевые слова: уравнения Фредгольма, расширенные регуляризованные нормальные уравнения, изображающий спектрометр. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА РАСШИРЕННЫХ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ГИПЕРСПЕКТРАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ Р.В. Скиданов, А.А. Морозов, С.Ю.

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. 2-е изд. -М.: Научный мир, с.

Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. 2-е изд. -М.: Научный мир, с. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. 2-е изд. -М.: Научный мир, 2003.-316 с. Книга является учебным пособием по численным методам решения задач математической физики, предназначенным

Подробнее

7. Регуляризация Регуляризация

7. Регуляризация Регуляризация 7. Регуляризация 1 7. Регуляризация Для решения некорректных задач советским математиком Тихоновым был предложен простой, но чрезвычайно эффективный метод, называемый регуляризацией и основанный на привлечении

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж

Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 009. Т. 50, N- 6 19 УДК 59.; 5; 517.946 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КРУЧЕНИИ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ s-угольного СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ РАСШИРЕНИЯ ГРАНИЦ А. Д. Чернышов Воронежская государственная

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

Системы управления и моделирование

Системы управления и моделирование Системы управления и моделирование Алгоритм анализа робастной устойчивости дискретных систем управления с периодическими ограничениями М. В. МОРОЗОВ Аннотация. Для дискретных линейных нестационарных систем

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

3 1 на отрезке 3;3. на отрезке 4. Проверить найденное решение с помощью надстройки MS Excel Поиск решения (1 балл). y x x

3 1 на отрезке 3;3. на отрезке 4. Проверить найденное решение с помощью надстройки MS Excel Поиск решения (1 балл). y x x ОБРАЗЕЦ БИЛЕТА К ЗАЧЁТУ ПО ИНФОРМАТИКЕ С РЕШЕНИЕМ (ДЛЯ ЗАЧЁТА MIN БАЛЛОВ!) СамГТУ ИТФ 5/6 Задание Построить график функции y на отрезке ; с шагом h, (,5 балла) С точностью, найти корень нелинейного уравнения

Подробнее

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2.

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2. Вариант 1. 1. Поле комплексных чисел. Его конструкция. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Формула Муавра и формула извлечения корней n ой степени из комплексного числа.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический

Подробнее

Нелинейные краевые задачи

Нелинейные краевые задачи МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВЛомоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т АБ Васильева НН Нефедов Нелинейные краевые задачи (дополнительные разделы к курсу лекций «Дифференциальные уравнения»)

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Решение дифференциальных уравнений в частных производных Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского Факультет Вычислительной математики и кибернетики Решение дифференциальных уравнений в частных производных При поддержке компании Inel Баркалов

Подробнее

Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина.

Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т А.Б. Васильева, Н.Н. Нефедов Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина. (некоторые разделы

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями

Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями Митюков В.В. Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации институт, программист ОВТИ, v.tukov@gal.co Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями КЛЮЧЕВЫЕ

Подробнее

Метод конечных разностей

Метод конечных разностей Решение задач 4 6 1 Метод конечных разностей Пусть надо решить дифференциальное уравнение y'' 0,5y + 0,5xy = 2x с краевыми (граничными) условиями y'(1) = 0,5 2y(1,3) y' (1,3) = 2 1) Диапазон изменения

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Mat-Net.Ru Общероссийский математический портал О. А. Махинова Свойства конечно-разностного аналога одномерного оператора Лапласа на графе Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц.

Подробнее

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА. Учебная программа для специальности Информатика. информационных технологий и высшей математики

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА. Учебная программа для специальности Информатика. информационных технологий и высшей математики ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «МИНСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ» УТВЕРЖДАЮ Ректор Минского института управления Н.В.Суша 2011 г. Регистрационный УД- /р. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА Учебная программа для специальности

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Выполнил: студент 3-го курса, гр. АК3-51 Ягубов Роман Борисович Проверил:

Подробнее

ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ. II. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ

ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ. II. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ УДК 6-5:59 НС Демин СВ Рожкова ОВ Рожкова ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ II НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ В данной работе

Подробнее

[ a ; a ], a = a x = b, (1)

[ a ; a ], a = a x = b, (1) РАСЧЕТ ДОПУСКОВ НА ОСНОВЕ ИНТЕРВАЛЬНОГО АНАЛИЗА Василега Н.М., Шило Г.Н., Гапоненко Н.П. 1. ИНТЕРВАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА Математическое моделирование физических процессов на этапах проектирования и производства

Подробнее

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА ПЛАНКА КОЛМОГОРОВА *

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА ПЛАНКА КОЛМОГОРОВА * СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ 007 3(49) 41 46 УДК 51916 МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА ПЛАНКА КОЛМОГОРОВА * КС КИРЯКИН Рассмотрен метод Монте-Карло для решения уравнения Фоккера Планка Колмогорова

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Введение в численные методы решения задач гиперболического типа. МФТИ 27 августа 2012 А.И.Лобанов

Введение в численные методы решения задач гиперболического типа. МФТИ 27 августа 2012 А.И.Лобанов Введение в численные методы решения задач гиперболического типа МФТИ 27 августа 2012 А.И.Лобанов Численные методы Конечные разности Производные по тем или иным правилам заменяются разностными отношениями

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика 3» ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика 3» ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ по уравнениям математической физики для студентов строительных

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых и начально-краевых задач математической физики получаются СЛАУ матрицы которых обладают следующими

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

[] - Гауссово обозначение суммы

[] - Гауссово обозначение суммы Принцип наименьших квадратов, задачи решаемые МНК Параметрический способ уравнивания, оценка точности Коррелатный способ уравнивания Пример уравнивания измеренных углов треугольника параметрическим и коррелатным

Подробнее

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» по теме: «РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО РОДА

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лабораторные работы по дисциплине «Численные методы» для группы АК3 Лектор: доцент кафедры ФН-11, Кутыркин В.А.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лабораторные работы по дисциплине «Численные методы» для группы АК3 Лектор: доцент кафедры ФН-11, Кутыркин В.А. Оглавление Введение... Лабораторная работа Погрешности при решении СЛАУ... 3 Лабораторная работа Метод наименьших квадратов и модели регрессии... 7 Лабораторная работа 3 Методы простой итерации и Зейделя...

Подробнее