1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ"

Транскрипт

1 ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это борьба с помехами при передаче или извлечении информации и наоборот создание помех при разрушении информации В СТРТС встречаются в основном три разновидности случайных объектов Это случайная величина, случайный вектор и случайный процесс Случайная величина может описывать какой-либо параметр сигнала, который может быть как информационным, так и мешающим Например, принимаемый сигнал может иметь случайное значение времени прихода, случайную начальную фазу и/или амплитуду и/или среднюю частоту, при этом информация может содержаться в амплитуде сигнала, а параметры, например, начальной фазы и/или частоты неизвестны при приеме и являются мешающими приему факторами Случайный вектор используется для описания дискретных сигналов Мешающие и информационные параметры сигнала могут быть объединены в случайный вектор в тех случаях, когда у них имеется статистическая связь, важная для решения целевой задачи Случайная величина, зависящая от времени называется случайным процессом Случайный процесс может описывать, например, флуктуационную помеху в канале или информационный сигнал, порожденный, например собственным радиоизлучением исследуемого объекта естественного происхождения 4 Случайная величина и ее характеристики В основе теории вероятностей лежит понятие вероятностного пространства, как совокупности 3-х понятий: ) элементарного исхода пространства; ) событий (множеств исходов) и действий над ними алгебры множеств; 3) вероятности событий P меры множеств Случайная величина в теории вероятностей определяется как отображение вероятностного пространства на вещественную ось, при котором исходы становятся точками, события становятся интервалами на вещественной оси, вероятности этих событий соответственно вероятностями попадания точки в соответствующий интервал Случайная величина полностью характеризуется интегральной функцией распределения x, которая задается соотношением F x x F P, (34) имеющим смысл вероятности события, заключающегося в том, что случайная величина x

2 Рис9 Типичный вид интегральной функцией распределения Очевидно, что F 0, F Если интегральная функция распределения дифференцируема, то для описания случайной величины используется функция плотности вероятности случайной величины f x определенная следующим образом: d f x F x (35) dx Помимо интегральной функцией распределения случайная величина (с учетом проблемы моментов) может характеризоваться числовыми характеристиками (моментами) Начальным моментом порядка случайной величины называются числа, определенные следующим образом: m x f xdx (36) Центральным моментом порядка случайной величины называются числа, определяемые следующим образом: M x m f xdx (37) Математическое ожидание случайной величины это начальный момент первого порядка, те m Математическое ожидание характеризует среднее по вероятности значение случайной величины В теории вероятности математическое ожидание рассматривается как оператор, действующий на случайную величину Обозначается этот оператор как M{ } С использованием такого обозначения начальные моменты могут быть получены как m M, а центральные моменты как M M M Дисперсия случайной величины это центральный момент второго порядка или M Дисперсия характеризует степень разброса случайной величины относительно среднего значения Дисперсия также может рассматриваться как оператор, действующий на случайную величину Обозначается этот оператор D{ } В СТРТС используются различные вероятностные распределения случайных параметров Наиболее часто встречается нормальное (гауссовское) распределение, плотность которого имеет вид

3 x m f x exp, (38) моменты распределения m m, M Для описания некоторых параметров сигналов используется равномерное распределение, плотность которого можно записать в виде, xa, b, f x b a (39) 0, xa, b, a b b a моменты распределения m, M Для описания эффектов распространения сигнала в радиоканалах может использоваться распределение Рэлея, плотность которого x x f x exp, x 0 (40) 4 В этом случае моменты распределения m, M Пример 4 Найдем распределение квадрата случайной величины, имеющей релеевское распределение, те и 0 f x f x J x, d где x x - однозначное обратное отображение, а J x x dx - якобиан отображения В соответствии с (40) получим следующее выражение x x x f x exp exp x То квадрат релеевской случайной величины имеет экспоненциальное распределение, которое в общем случае имеет вид f x exp x, x 0 (4) Моменты распределения m, M Случайная величина называется дискретной случайной величиной, если она принимает конечное множество значений z,,z с вероятностями z Pz, так что P P,, записать в виде z В этом случае плотность вероятности можно

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 x z x f P z Моменты распределения можно вычислить по формулам: m P z z, z M P z m 4 Случайные векторы и их описание Случайный вектор (случайная многомерная величина) определяется как отображение вероятностного пространства на векторное пространство R То случайный вектор ξ можно рассматривать как набор случайных величин T ξ,,, Так же как и случайная величина, случайный вектор полностью характеризуется -мерной интегральной функцией распределения, которая определяется выражением Fξ x, x,, x P x, x,, x (4) В случае если интегральная функция распределения дифференцируема в точке, то можно определить -мерную плотность вероятности в виде f ξ x,, x Fξ x, x (43) x x Две случайные величины и называются статистически независимыми, если их совместная интегральная функция распределения может быть записана в виде F x, x F x F x Отметим некоторые свойства оператора математического ожидания, при описании наборов случайных величин: M M M ; M M M, если две случайные величины и статистически независимы Аналогично можно определить некоторые свойства оператора дисперсии: D 0 ; D D ; 3 D D D Смешанным начальным моментом го порядка случайного вектора ξ называется число следующего вида m,,,, M, (44) Смешанным центральным моментом го порядка случайного вектора ξ называется число следующего вида

5 M M M, M M,,,, (45) Особую роль при описании линейной зависимости двух случайных величин играет смешанный центральный момент второго порядка M,, который определяется как M M M M (46), и называется ковариацией случайных величин и Коэффициентом корреляции двух случайных величин и называется число, которое определяется в виде M, r ; (47) M M,0 Если и статистически независимы, то их ковариация и коэффициент корреляции равны нулю Если коэффициент корреляции случайных величин и равен нулю, то о таких случайных величинах говорят, что они некоррелированы Отметим, что из некоррелированности случайных величин не следует в общем случае их независимость Понятия некоррелированности и независимости совпадают только для гауссовских случайных величин ξ,,, полностью характеризуется вектором математических ожиданий m и матрицей ковариаций R, определенных в виде m m m, m M, m RR R RR R R R R R 3 3 3, R j M M j M j RR R Многомерную плотность вероятности гауссовского случайного вектора можно записать в виде: T f x m R x m ξ x,, x exp, (48) det R Гауссовский случайный вектор T x где T x x,,, RR E, где E единичная матрица, те 0,

6 E 43 Случайные процессы Случайный процесс t это отображение вероятностного пространства на функциональное пространство L Говоря о случайном процессе, имеют в виду совокупность функций времени (реализаций), каждая из которых возникает как результат независимого статистического эксперимента («подбрасывания монетки») В любой фиксированный момент времени t t 0 сечение случайного процесса t 0 является случайной величиной Рис0 Реализации случайного процесса Случайный процесс описывают с помощью многомерных интегральных функций распределения, определяемых в виде F x, x, t,, t P t x ; t x ; t x (49), ; Если известна конечномерная функция распределения случайного процесса, и она дифференцируема, то -мерную функцию плотности вероятности случайного процесса можно записать как f x,, x, t,, t F x,, x, t,, t (50) x x Моментное описание случайных процессов аналогично соответствующему описанию случайных векторов и осуществляется с помощью соответствующих моментных функцией случайного процесса Начальные моментные функции -го порядка определяются следующим выражением m, t t t t M (5),,,, Соответственно, центральные моментные функции случайного процесса определяются в виде: M t,, t M t m t t m t,,, (5)

7 m t - меняющееся во времени математическое ожидание случайного процесса M t - дисперсия случайного процесса, меняющаяся во времени, которая показывает разброс значений случайного процесса вокруг функции математического ожидания Соответствующие функции можно вычислить по следующим формулам: t x f x t m, dx, (53) t x m t f x t M, dx (54) Смешанный центральный момент второго порядка случайного процесса называется ковариационной функцией случайного процесса и находится по формуле,t, t x m t x m t f x, x, t, t dxdx M (55) Ковариационная функция показывает степень линейной связи между сечениями случайного процесса, взятыми в моменты времени t и t Очевидно, что если t t t, то M,t, t M t Сечения случайного процесса t и t называются некоррелированными, если M t t 0 Сечения случайного процесса и называются,, независимыми, если f x, x, t, t f x, t f x, t Случайный процесс t называется стационарным в узком смысле, если при сдвиге -сечений случайного процесса, взятых в моменты времени t, t,, t на произвольное значение -мерная интегральная функция распределения этого процесса не меняется, те F x, x, t,, t F x,, x, t,, t, t Стационарный процесс называется стационарным в широком смысле, если выполняются следующие условия: m t cost ; M t cost ; 3 M, t, t Bt t, t t, где Bt t - корреляционная функция случайного процесса Стационарность в узком и широком смыслах совпадает только для гауссовских случайных процессов Пусть t стационарный случайный процесс с корреляционной функцией B, тогда: B 0 M ; 0 B ; t t

8 3 B B Важную роль для описания распределения энергии стационарного процесса по частотам элементарных гармонических составляющих играет энергетический спектр стационарного случайного процесса, который определяется следующими этапами ) Пусть xt - реализация стационарного случайного процесса Вычислим преобразование Фурье от этой реализации на интервале Т,Т : x T T j xt T jt e dt ) Определим значения удельной мощности спектральной плотности реализации x t xt j gt T 3) Найдем среднее значение удельной мощности реализаций спектральной плотности проведя усреднение по реализациям GT MgT 4) Определим энергетический спектр случайного процесса как распределение средней мощности гармоник, составляющих реализации случайного процесса в виде G lm G T Теорема Винера-Хинчина Если t - стационарный случайный процесс с корреляционной функцией B, то его энергетический спектр G может быть найден как прямым преобразованием Фурье от корреляционной функции B, те G B e T j d (56) Соответственно, если известен энергетический спектр случайного процесса, то его корреляционная функция может быть найдена обратным преобразованием Фурье B G e j d (57) Стационарный случайный процесс, энергетический спектр которого определяется как N 0 G называется белым шумом

9 Мощность гармоник реализаций белого шума распределена равномерно по всем частотам В соответствии с (57) B То любые два несовпадающих сечения белого шума некоррелированы Случайный процесс называется гауссовским, если любая его многомерная функция плотности вероятности описывается многомерным гауссовским распределением Соответственно для полного описания гауссовского случайного процесса достаточно знания его корреляционной функции B t,t и функции математического ожидания m t Многомерную плотность вероятности действительного гауссовского случайного процесса можно записать в виде: f x,, x ; t,, t ξ det B t,, t где exp j N 0 xt mt B t, t xt mt j (58) B t,,t - ковариационная матрица с коэффициентами B t, t B t, t j - коэффициенты матрицы B t,,t Обратная корреляционная функция B t, t уравнения j, j может быть найдена решением следующего интегрального t, t B t, t t t B 3 3 (59) Рассмотрим предел многомерной плотности вероятности действительного гауссовского случайного процесса, определенного на интервале времени 0,T при Предел многомерной плотности вероятности (58) называют функционалом плотности вероятности случайного процесса и записывают в виде T T fξ xt cexp xt mt B t, t xt mt dtdt, (60) 0 0 c lm (6) detb t,, t Предел с может быть равен 0 или отсутствовать, при этом функционал плотности вероятности в (60) оказывается определен некорректно, однако в большинстве задач СТРТС плотности вероятности вида (59) сравниваются между собой и неопределенная константа сокращается Модель белого гауссовского шума (БГШ) наиболее часто используется для описания флуктуационных помех в РТС

10 Найдем функционал плотности вероятности гауссовского белого шума Подставим в (59) корреляционную функцию белого шума N0 B t t3 t t3, получим соответственно B t t3 t t3 N0 Подставляя обратную корреляционную функцию в (60), и учитывая, что m t получим 0 T fξ x t cexp xt dt, (6) N0 0 Пример 5 Найдем характеристики белого шума, прошедшего идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотой среза F В общем случае прохождения стационарного случайного процесса через линейную цепь с инвариантными к временному сдвигу параметрами энергетический спектр на выходе цепи на входе Gx где K j G следующим соотношением G y y K j G x связан с энергетическим спектром, (63) - коэффициент передачи цепи В рассматриваемом примере, F,F N K j, G 0 0, F,F x, (64) N0, F,F G y 0, F,F Корреляционную функцию процесса yt найдем с помощью теоремы Винера-Хинчина: B y Дисперсия процесса N F M 0 y t F F N 0 j e d N 0 s F F (65) F (называемого иногда квазибелым шумом) ЗАКЛЮЧЕНИЕ В СТРТС встречаются в основном три разновидности случайных объектов Это случайная величина, случайный вектор и случайный процесс Во всех этих случаях свойства этих объектов можно описать с помощью моментов или более полно с помощью функций распределения Важной характеристикой совокупностей случайных величин является понятие корреляции степени статистической связи двух случайных величин Среди случайных процессов важно отличать стационарные процессы, для которых корреляция между двумя

11 сечениями зависит от временного интервала между ними и называется корреляционной функцией Используя преобразование Фурье от корреляционной функции, можно определить спектральную плотность мощности стационарного случайного процесса, которая наглядно описывает распределение энергии процесса по гармоникам Важную роль в СТРТС играют гауссовские случайные процессы, которые полностью описываются своими корреляционными функциями и функцией математического ожидания КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ Какие случайные объекты встречаются в СТРТС? Что такое случайная величина? 3 Как описать случайную величину с помощью интегральной функции распределения или функции плотности вероятности? 4 Как определяются начальные и центральные моменты случайных величин? 5 Какой физический смысл математического ожидания и дисперсии случайной величины? 6 Какая случайная величина называется гауссовской? 7 Назовите основные вероятностные распределения, встречающиеся в СТРТС 8 Что такое случайный вектор? 9 Как описать случайный вектор с помощью интегральной функции распределения или функции плотности вероятности? 0 Как определяются начальные и центральные моменты случайного вектора? Что такое независимые случайные величины? О чем говорит значение коэффициента корреляции -х случайных величин? 3 Что такое гауссовский случайный вектор? 4 Что такое случайный процесс? 5 Как описать случайный процесс с помощью многомерных интегральных функций распределения или функции плотности вероятности? 6 Как определяются начальные и центральные моментные функции случайных процессов? 7 Что такое корреляционная функция случайного процесса? 8 Какие случайные процессы называются стационарными в узком и широком смысле? 9 Каковы свойства корреляционной функции стационарного случайного процесса? 0 Что такое энергетический спектр стационарного случайного процесса и как он связан с его корреляционной функцией? Какой случайный процесс называют белым шумом? Что такое гауссовский случайный процесс?

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru 3. Случайные сигналы и помехи в радиотехнических системах 3.1. Случайные процессы и их основные характеристики Помехой называют стороннее колебание, затрудняющее приѐм и обработку сигнала. Помехи могут

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Функции распределения вероятностей случайных величин СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Случайные величины Функции распределения вероятностей случайных величин Простейшая модель физического эксперимента последовательность независимых опытов (испытаний

Подробнее

ГЛАВА 4 СТАЦИОНАРНЫЕ И ЭРГОДИЧЕСКИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Стационарные гиперслучайные функции

ГЛАВА 4 СТАЦИОНАРНЫЕ И ЭРГОДИЧЕСКИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Стационарные гиперслучайные функции ГЛАВА 4 СТАЦИОНАРНЫЕ И ЭРГОДИЧЕСКИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Формализованы понятия стационарности и эргодичности гиперслучайных функций Предложены различные характеристики описывающие стационарные и эргодические

Подробнее

Статистическая радиофизика и теория информации

Статистическая радиофизика и теория информации Статистическая радиофизика и теория информации. Введение Радиофизика как наука изучает физические явления существенные для радиосвязи, излучения и распространения радиоволн, приема радиосигналов. Предметом

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

ГЛАВА 2 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Скалярные гиперслучайные функции

ГЛАВА 2 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Скалярные гиперслучайные функции ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Определено понятие гиперслучайной функции и разработан математический аппарат описания гиперслучайных функций различных типов скалярных и векторных вещественных и комплексных).

Подробнее

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вектор среднего дисперсий границ математических ожиданий границ функции среднеквадратических отклонений границ величина гиперслучайная векторная непрерывная 1.2 скалярная 1.2 интервальная

Подробнее

Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В курсе "Теория вероятностей" корреляция между двумя случайными величинами определяется математическим ожиданием их произведения Если в качестве двух случайных

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ Методические указания к выполнению учебно-исследовательской лабораторной работы по курсу «Математические модели сигналов» Составили: Тимофеева Римма

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

6.4. Системы случайных величин

6.4. Системы случайных величин Лекция 4.9. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции 6.4. Системы случайных величин В практике часто встречаются задачи которые описываются

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

Типовые задачи к зачёту по курсу «Теория случайных процессов» Осень 2015 г.

Типовые задачи к зачёту по курсу «Теория случайных процессов» Осень 2015 г. Типовые задачи к зачёту по курсу «Теория случайных процессов» Осень 2015 г. 1. Задачи по моментным характеристикам случайных процессов, конечномерным распределениям и т. д. 1.1. Найти двумерные распределения

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ После введения вероятностного описания случайных процессов можно дать их классификацию с учетом тех или иных ограничений которые предъявляются к их вероятностным

Подробнее

6. Оптимальные линейные цепи (фильтры)

6. Оптимальные линейные цепи (фильтры) ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-onlinenarodru 6 Оптимальные линейные цепи (фильтры) 61 Понятие оптимального фильтра его характеристики Пусть на вход линейной

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

52. Чем определяется потенциальная точность совместных оценок частоты и задержки сигнала? 53. В чём заключается идея оценивания параметров сигнала с

52. Чем определяется потенциальная точность совместных оценок частоты и задержки сигнала? 53. В чём заключается идея оценивания параметров сигнала с Контрольные вопросы 0. Вывод рекуррентного уравнения для АПВ дискретных марковских 1. Как преобразуются ПВ распределения случайных величин при их функциональном преобразовании? 2. Что такое корреляционная

Подробнее

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Часть 5 МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами которые будут рассмотрены в последующих разделах: с помощью

Подробнее

Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова. Кафедра теории электрической связи

Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова. Кафедра теории электрической связи Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова Кафедра теории электрической связи ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ по дисциплине «Сигналы и процессы в радиотехнике» для студентов заочного факультета Составитель

Подробнее

5.1. Системы массового обслуживания

5.1. Системы массового обслуживания Теория массового обслуживания (ТМО) изучает процессы, в которых возникают требования на выполнение каких-либо видов услуг, и происходит обслуживание этих требований. Объектами (ТМО) могут быть производственные

Подробнее

Лекция 11. Приближенные способы вывода. Методы Монте Карло с. процессы. Д. П. Ветров 1 Д. А. Кропотов 2

Лекция 11. Приближенные способы вывода. Методы Монте Карло с. процессы. Д. П. Ветров 1 Д. А. Кропотов 2 способы вывода. Д. П. Ветров 1 Д. А. 2 1 МГУ, ВМиК, каф. ММП 2 ВЦ РАН Спецкурс «Байесовские методы машинного обучения» План лекции 1 Случайные процессы 2 -Карло Простейшие методы цепями 3 регрессии классификации

Подробнее

Вопросы по Теории Вероятностей

Вопросы по Теории Вероятностей Вопросы по Теории Вероятностей 1. Понятия испытания и случайного события. 2. Понятие статистической устойчивости. 3. Относительная частота появления случайного события. Статистическое определение вероятности.

Подробнее

Программа и задачи курса Случайные процессы

Программа и задачи курса Случайные процессы Программа и задачи курса Случайные процессы лектор профессор Д. А. Шабанов осень 2016 ПРОГРАММА 1. Понятие случайного процесса (случайной функции). Примеры: случайное блуждание, процессы восстановления,

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии

Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии Дорогие студенты, данная презентация служит лишь наглядной иллюстрацией к одной из лекций по теории вероятностей для II курса факультета биоинженерии и биоинформатики. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Нейронные сети. Краткий курс

Нейронные сети. Краткий курс Нейронные сети Краткий курс Лекция 7 Модели на основе теории информации Рассмотрим информационно теоретические модели, которые приводят к самоорганизации В этих моделях синаптические связи многослойной

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них. 1. Записать свойства ассоциативности

Подробнее

Практикум по теме 8 "Системы случайных величин"

Практикум по теме 8 Системы случайных величин Практикум по теме 8 "Системы случайных величин" Методические указания по выполнению практикума Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 8, а также развитие следующих навыков:

Подробнее

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция Понятие о системе случайных величин Законы распределения системы случайных величин Часто возникают ситуации когда каждому элементарному

Подробнее

Лекция 9. Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах. Когерентный прием

Лекция 9. Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах. Когерентный прием Лекция 9 Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах. Когерентный прием Для решения задачи об оптимальном алгоритме приема дискретных сообщений сделаем следующие допущения:. Все искажения

Подробнее

ТЕМА 7. Случайные процессы. Оглавление. 7.1 Случайные процессы

ТЕМА 7. Случайные процессы. Оглавление. 7.1 Случайные процессы ТЕМА 7. Случайные процессы. Цель контента темы 7 дать начальные понятия о случайных процессах и цепях Маркова в частности; очертить круг экономических задач, которые используют в своем решении модели,

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

8. Различение сигналов 8.1. Постановка задачи различения сигналов

8. Различение сигналов 8.1. Постановка задачи различения сигналов ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-onlinenarodru 8 Различение сигналов 81 Постановка задачи различения сигналов Среда где распространяется сигнал РПдУ + РПУ Рис81

Подробнее

Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, ноября 2008 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ , часть 4 МИРЭА

Материалы V Международной научно-технической школы-конференции, ноября 2008 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ , часть 4 МИРЭА Материалы Международной научно-технической школы-конференции, 3 ноября 8 г. МОСКВА МОЛОДЫЕ УЧЕНЫЕ 8, часть 4 МИРЭА РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА ДВОИЧНЫХ

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности Экзаменационный билет по курсу: ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А.). Случайные события. Определение вероятности.. Найти распределение дискретной случайной величины ξ, принимающей значения x с вероятности

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ

Подробнее

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 3 Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

ГЛАВА 9 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Гиперслучайно-гиперслучайная модель измерения

ГЛАВА 9 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Гиперслучайно-гиперслучайная модель измерения ГЛАВА 9 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Результаты, полученные для гиперслучайных оценок детерминированных и гиперслучайных величин, обобщены на случай гиперслучайных оценок гиперслучайных

Подробнее

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПОСОБИЕ по выполнению курсовой работы

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПОСОБИЕ по выполнению курсовой работы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора Домашнее задание. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора.1. Содержание и порядок выполнения работы Дана парная выборка (x i ; y i ) объема 50 из двумерного нормально распределенного

Подробнее

7. Обнаружение сигналов 7.1. Постановка задачи обнаружения сигналов

7. Обнаружение сигналов 7.1. Постановка задачи обнаружения сигналов 7 Обнаружение сигналов 71 Постановка задачи обнаружения сигналов Среда где распространяется сигнал РПдУ + РПУ Рис71 К постановке задачи обнаружения сигналов Радиопередающее устройство (РПдУ) на интервале

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

Матричные вычисления и нормальное распределение

Матричные вычисления и нормальное распределение Курс: Байесовские методы машинного обучения, Дата: 9 октября Матричные вычисления и нормальное распределение Дивергенция Кульбака-Лейблера 5 p(x) (x) 5 p(x) (x) 5 5 5 5 5 5-5 5 KL( p) min -5 5 KL(p ) min

Подробнее

Семинар 4. Временные ряды. Автокорреляционная функция

Семинар 4. Временные ряды. Автокорреляционная функция Иткин В.Ю. Модели ARMAX Семинар 4. Временные ряды. Автокорреляционная функция 4.1. Пример временного ряда Рассмотрим пример: серия измерений давления газа на выходе из абсорбера на УКПГ. На первый взгляд,

Подробнее

1. A2. a A a A3.длялюбойсчетнойпоследовательностиa n. P A H k. позволяет найти

1. A2. a A a A3.длялюбойсчетнойпоследовательностиa n. P A H k. позволяет найти Теория вероятностей Учебно-методическое пособие для сдачи зачета по курсу 3 семестра. Данное пособие представляет собой план ответа для зачета у Матвеева В.Ф. (201,202 группы). Приведены в сжатой форме

Подробнее

В табл представлена эпюра сигнала и его спектр. Таблица 1.1.

В табл представлена эпюра сигнала и его спектр. Таблица 1.1. 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АНАЛОГОВЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВАХ (АЭУ). ПАРАМЕТРЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ АЭУ 1. 1. Общие сведения об аналоговых электронных устройствах (АЭУ), принципы их построения Аналоговые сигналы

Подробнее

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

ГЛАВА Несмещенные и состоятельные гиперслучайные оценки гиперслучайных величин ГЛАВА 8 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ОЦЕНОК ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для точечных гиперслучайных оценок гиперслучайных величин введены понятия несмещенной, состоятельной, эффективной и достаточной оценок

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние,

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние, Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

Подробнее

МОДЕЛЬ ЗРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ЧЕЛОВЕКА- ОПЕРАТОРА ПРИ РАСПОЗНАВАНИИ ОБРАЗОВ ОБЪЕКТОВ

МОДЕЛЬ ЗРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ЧЕЛОВЕКА- ОПЕРАТОРА ПРИ РАСПОЗНАВАНИИ ОБРАЗОВ ОБЪЕКТОВ МОДЕЛЬ ЗРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ЧЕЛОВЕКА- ОПЕРАТОРА ПРИ РАСПОЗНАВАНИИ ОБРАЗОВ ОБЪЕКТОВ Ю.С. Гулина, В.Я. Колючкин Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Изложена математическая

Подробнее

1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика)

1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика) Информация План 1. Основные понятия 1.1. Функция правдоподобия 1.2. Функция результатов наблюдения (статистика) 2. Информация Фишера... 2.1. Определение информации 2.2. Свойства информации 3. Достаточные

Подробнее

Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика»

Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика» Задачи к экзамену по курсу «Математическая статистика» весна 2011 01. Пусть (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) выборка, соответствующая случайному вектору (ξ, η). Докажите, что статистика T = 1 n 1 n (X i X)(Y

Подробнее

Программа и задачи курса Случайные процессы

Программа и задачи курса Случайные процессы Программа и задачи курса Случайные процессы лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов осень 2012 ПРОГРАММА 1. Понятие случайного процесса (случайной функции). Примеры: случайное блуждание, процессы восстановления,

Подробнее

Вісник ДУІКТ 7 (1) 2009

Вісник ДУІКТ 7 (1) 2009 Вісник ДУІКТ 7 (1) 2009 УДК 519.72:621.391 ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ СИГНАЛОВ, ПОСТРОЕННОМ НА ОБОБЩЕННОЙ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЕ С МЕРОЙ А.А. Попов Национальная академия

Подробнее

МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» Электронное учебное издание

МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» Электронное учебное издание МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» О.В. Михайлова, Т.В. Облакова Случайные процессы-. Стохастический анализ Электронное

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет КК Васильев МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Учебное пособие Рекомендовано Учебно-методическим объединением по

Подробнее

Лекция 8 Тема. Содержание темы. Основные категории. Сравнение случайных величин или признаков.

Лекция 8 Тема. Содержание темы. Основные категории. Сравнение случайных величин или признаков. Лекция 8 Тема Сравнение случайных величин или признаков. Содержание темы Аналогия дискретных СВ и выборок Виды зависимостей двух случайных величин (выборок) Функциональная зависимость. Линии регрессии.

Подробнее

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 1. Доказать лемму о баллотировке. Комментарий. Важно показать, что выбор вероятностного пространства (в виде функций, описывающих исходы) позволяет легко применить

Подробнее

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 3. Условные распределения

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (95) 509-8-0 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Программа и задачи курса Случайные процессы

Программа и задачи курса Случайные процессы Программа и задачи курса Случайные процессы лектор профессор Д. А. Шабанов осень 2015 ПРОГРАММА 1. Понятие случайного процесса (случайной функции). Примеры: случайное блуждание, процессы восстановления,

Подробнее

Программа и задачи курса Случайные процессы

Программа и задачи курса Случайные процессы Программа и задачи курса Случайные процессы лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов осень 2013 ПРОГРАММА 1. Понятие случайного процесса (случайной функции). Примеры: случайное блуждание, процессы восстановления,

Подробнее

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Лекция 1 Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Теория случайных процессов является частью теории вероятностей. Специфика теории случайных процессов состоит в том, что в ней рассматриваются

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины

1. Цели и задачи дисциплины 2 1. Цели и задачи дисциплины Цель изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» формирование у студентов современных теоретических знаний о вероятностных и статистических закономерностях,

Подробнее

1.2. Элементы теории вероятностей.

1.2. Элементы теории вероятностей. .. Элементы теории вероятностей.... Случайные события. Случайные события обычное явление в жизни. Примеры случайных событий: выпадение «орла» или «решки» при бросании монеты, выпадение числа при бросании

Подробнее

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Случайные величины

Логашенко И.Б. Современные методы обработки экспериментальных данных. Случайные величины Случайные величины Распределения Случайные величины характеризуются распределениями Дискретное Если случайная величина может принимать дискретное множество значений, то соответствующее распределение называется

Подробнее

Нейронные сети. Краткий курс.

Нейронные сети. Краткий курс. Нейронные сети. Краткий курс. Лекция 4 Сети на основе радиальных базисных функций Многослойный персептрон, рассмотренный в предыдущих лекциях выполняет аппроксимацию стохастической функции нескольких переменных

Подробнее

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений.

Подробнее

Лекция. Система двух случайных величин

Лекция. Система двух случайных величин Совместная функция системы СВ и ее свойства Вероятность попадания в прямоугольник Система двух случайных величин Системой случайных величин или случайным вектором называют две или более СВ в совокупности

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Математика ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Математика ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДИСКРЕТНОГО КАНАЛА НАБЛЮДЕНИЯ С ПАМЯТЬЮ В ЗАДАЧЕ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДИСКРЕТНОГО КАНАЛА НАБЛЮДЕНИЯ С ПАМЯТЬЮ В ЗАДАЧЕ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ Управление вычислительная техника и информатика УДК 6-5:59 ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДИСКРЕТНОГО КАНАЛА НАБЛЮДЕНИЯ С ПАМЯТЬЮ В ЗАДАЧЕ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ НС Дёмин ОВ Рожкова* Томский государственный университет

Подробнее

Глава IV Идентификация динамических характеристик по экспериментальным данным

Глава IV Идентификация динамических характеристик по экспериментальным данным Глава IV Идентификация динамических характеристик по экспериментальным данным Построение модели системы управления и ее элементов не всегда удается осуществлять аналитически, т.е. на основе использования

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский,

Подробнее

Направление физика (510400) бакалавриат. Название и содержание дисциплины в соответствии с ГОС ВПО

Направление физика (510400) бакалавриат. Название и содержание дисциплины в соответствии с ГОС ВПО Направление физика 010700 (510400) бакалавриат ЕН.Ф.03 Название и содержание в соответствии с ГОС ВПО Математический анализ. Предмет математики. Физические явления как источник математических понятий.

Подробнее

Лекция 8 Общая постановка однокритериальной задачи принятия решений.

Лекция 8 Общая постановка однокритериальной задачи принятия решений. Лекция 8 Общая постановка однокритериальной задачи принятия решений. Общая постановка однокритериальной задачи принятия решений. Пусть исход управляемого мероприятия зависит от выбранного решения (стратегии

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

Если при фиксированных с заданной точностью начальных условиях x ( t 0 ) и параметрах процесс демонстрирует одну и ту же временную

Если при фиксированных с заданной точностью начальных условиях x ( t 0 ) и параметрах процесс демонстрирует одну и ту же временную Опираясь на сказанное о случайности в п..., коротко остановимся на стохастических моделях эволюции во времени (случайных процессах). Они могут быть заданы либо непосредственно указанием в явном виде их

Подробнее

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2 Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Подробнее

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей Лекция 5 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей 6.. Метод наименьших квадратов 6... Теоретическое обоснование метода наименьших квадратов 7. Проверка статистических гипотез 7..Критерий согласия

Подробнее

Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Тема 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Тема 3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Прямое и обратное преобразования Фурье Спектральная характеристика сигнала Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры Спектральные характеристики

Подробнее

Статистическая радиофизика и теория информации

Статистическая радиофизика и теория информации Статистическая радиофизика и теория информации Лекция 8 12. Линейные системы. Спектральный и временной подходы. Линейными называются системы или устройства, процессы в которых можно описать при помощи

Подробнее

Теория Вероятностей и Математическая Статистика

Теория Вероятностей и Математическая Статистика ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА Наименование дисциплины Теория Вероятностей и Математическая Статистика Рекомендуется для направления (ий) подготовки (специальности (ей)) для направления 080100.62 Экономика; для направления

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 11

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 11 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 11 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ И ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ.15.Глава 1. Основные понятия теории управления... 15 1.1.Понятия об управлении и системах управления... 15 1.2.Объекты

Подробнее

Некоторые вопросы теории и практики при определении искомого сигнала в присутствии шума. Емельянов В.В.

Некоторые вопросы теории и практики при определении искомого сигнала в присутствии шума. Емельянов В.В. Некоторые вопросы теории и практики при определении искомого сигнала в присутствии шума. Емельянов В.В. 2 Среди большого числа задач, встречающихся в различных видах исследований, когда искомый сигнал

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

Комментарии к теме «Характеристические функции»

Комментарии к теме «Характеристические функции» Комментарии к теме «Характеристические функции» Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ, 2013 г. В. В. Некруткин 1 Определение и основные свойства Сначала сделаем следующее замечание.

Подробнее

ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ Министерство образования Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.Я. Городецкий ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ Учебное

Подробнее