1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров"

Транскрипт

1 . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости. Это свойство заключается в том, что, хотя результат Х отдельного опыта не может быть предсказан с достаточной точностью, значение некоторой функции θ θ ( x, x,..., x ) от результатов наблюдений при неограниченном увеличении объема выборки теряет свойство случайности и сходится по вероятности к некоторой неслучайной величине θ. Рассмотрим некоторые понятия. Генеральной совокупностью Х называют множество результатов всех мыслимых наблюдений, которые могут быть сделаны при данном комплексе условий. В некоторых задачах генеральную совокупность рассматривают как случайную величину Х. Выборочной совокупностью (выборкой) называют множество результатов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Выборка должна быть репрезентативной, т.е. правильно отражать пропорции генеральной совокупности. Это достигается случайностью отбора, когда все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность быть отобранными. Задачи математической статистики практически сводятся к обоснованному суждению об объективных свойствах генеральной совокупности по результатам случайной выборки. Параметры генеральной совокупности есть постоянные величины, а выборочные характеристики (статистики) - случайные величины. В самом общем смысле статистическое оценивание параметров распределения можно рассматривать как совокупность методов, позволяющих делать научно обоснованные выводы о числовых параметрах генеральной совокупности по случайной выборке из нее. Сформулируем задачу статистической оценки параметров в общем виде. Пусть X - случайная величина, подчиненная закону распределения F(x,θ), где θ - параметр распределения, числовое значение которого неизвестно. Исследовать все элементы генеральной совокупности для вычисления параметра θ не представляется возможным, поэтому о данном параметре пытаются судить по выборкам из генеральной совокупности.

2 Всякую однозначно определенную функцию результатов наблюдений, с помощью которой судят о значении параметра θ, называют оценкой (или статистикой) параметра θ. Рассмотрим некоторое множество выборок объемом каждая. Оценку параметра θ, вычисленную по i-ой выборке, обозначим через ~ θ i. Так как состав выборки случаен, то можно сказать, что ~ θ i примет неизвестное заранее числовое значение, т.е. является случайной величиной. Известно, что случайная величина определяется соответствующим законом распределения и числовыми характеристиками, следовательно, и выборочную оценку также можно описывать законом распределения и числовыми характеристиками. Основная задача теории оценивания состоит в том, чтобы произвести выбор оценки хорошее приближение оцениваемого параметра. θ ~ параметра θ, позволяющей получить.. Законы распределения выборочных характеристик, используемые при оценке параметров... Распределение средней арифметической Пусть из генеральной совокупности X, имеющей нормальный закон распределения N(µ;) с математическим ожиданием µ и средним квадратическим отклонением, взята случайная выборка объемом и определена средняя арифметическая: x x i, i (.) где x i - результат i-го наблюдения. Здесь и в дальнейшем будем рассматривать выборку объема, т.е. последовательность наблюдений X, X,... X, как систему независимых, одинаково распределенных случайных величин с распределением N ( µ ; ). Таким образом, если случайная величина X распределена нормально, то средняя арифметическая распределена также нормально с параметрами µ ;,т.е. X N( µ, ). Откуда следует, что: M( x) µ ; Dx ( ) и. x (.)

3 Для одинаково распределенных и взаимно независимых случайных величин дисперсия распределения средней арифметической в раз меньше дисперсии случайной величины X.... Распределение Пирсона ( - хи квадрат) Если X, X,..., X есть ряд независимых, нормированных, нормально распределенных случайных величин N(0,), т.е. M(X i )0 и D(X i ) для i,,..., ν, то случайная величина: U ν X i i (.3) имеет распределение с ν степенями свободы, где ν - единственный параметр распределения, характеризующий число независимых случайных величин в выражении (.3). В таблицах приложения для различных ν приводятся числа, вероятность превышения которых случайной величиной U равна заданному значению уровня значимости -. Отметим, что математическое ожидание случайной величины U равно числу степеней свободы ν, а дисперсия - удвоенному числу степеней свободы: M(U )ν; D(U )ν. (.4) Распределение Пирсона используется для построения доверительного интервала для генеральной дисперсии...3. Распределение Стьюдента (t - распределение) В... был рассмотрен закон распределения средней арифметической X, зависящей от среднего квадратичного отклонения генеральной совокупности. Однако во многих практических приложениях математической статистики параметр, как правило, не известен. В этой связи возникает задача определения закона распределения X, не зависящего от, которую решил английский статистик Госсет, публиковавшийся под псевдонимом Стьюдент. Распределение Стьюдента находит широкое применение в теории статистического оценивания параметров генеральной совокупности и в проверке статистических гипотез. Дадим определение случайной величины, имеющей распределение Стьюдента.

4 Если случайная величина Z имеет нормированное распределение N(0;), а величина U имеет распределение с ν степенями свободы, причем Z и U взаимно независимы, то случайная величина: Z T U имеет t распределение с ν степенями свободы. Наибольшее применение на практике находят таблицы, в которых даны значения t(,ν), соответствующие заданному числу степеней свободы ν,,..., и уровню значимости, т.е. вероятности выполнения неравенства P[ T >t(,ν)]. Если из генеральной совокупности X с нормальным законом распределения N(µ;) взята случайная выборка объемом, то статистика: ν X µ T (.5) имеет распределение Стьюдента с ν- степенями свободы. Распределение Стьюдента (t - распределение) используется при интервальной оценке математического ожидания при неизвестном значении среднего квадратического отклонения. Теория статистического оценивания рассматривает два основных вида оценок параметров распределений: точечные и интервальные оценки..3. Точечные оценки параметров распределений Точечной оценкой называют некоторую функцию результатов наблюдения θ (x, x,..., x ), значение которой принимается за наиболее приближенное в данных условиях к значению параметра θ генеральной совокупности. Примером точечных оценок являются X,, и др., т.е. оценки параметров одним числом. Из точечных оценок в приложениях математической статистики часто используют начальные: k ~ν k X i, где ~ν X i и центральные ~µ X i, (.7) k i k ( X i X ), i (.6)

5 моменты до четвертого порядка включительно, т.е. k,,3, Основные свойства точечной оценки Основная проблема точечной оценки заключается в выборе возможно лучшей оценки, отвечающей требованиям несмещенности, эффективности и состоятельности. Точечную оценку и называют несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру: ~ M ( θ ) θ. (.8) Выполнение требования несмещенности оценки гарантирует отсутствие ошибок в оценке параметра одного знака. Эффективной называют несмещенную выборочную оценку, обладающую наименьшей дисперсией среди всех возможных несмещенных оценок параметра θ для данного объема выборки и функции распределения вероятности F(X,θ) генеральной совокупности. Точечная оценка ~ θ параметра θ называется состоятельной, если ~ θ сходится по вероятности к оцениваемому при оценка параметру, т.е. выполняется условие: ~ lim P θ < ε для любого ε>0. { } θ (.9) Следует отметить, что при состоятельности оценки оправдывается увеличение объема наблюдений, так как при этом становится маловероятным допущение значительных ошибок при оценивании..3.. Точечные оценки основных параметров распределений Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия. Рассмотрим вопрос о том, какими выборочными характеристиками лучше всего в смысле несмещенности, эффективности и состоятельности оцениваются математическое ожидание и дисперсия.. Средняя арифметическая X, вычисленная по независимым наблюдениям над случайной величиной X, которая имеет математическое ожидание M(X)µ и дисперсию D(X), является несмещенной и состоятельной оценкой этого параметра.. Если случайная величина X распределена нормально с параметрами N(µ,), то несмещенная оценка X математического

6 ожидания M(X) имеет минимальную дисперсию, равную D( X ), поэтому средняя арифметическая X в этом случае является также эффективной оценкой математического ожидания. 3. Если случайная подборка состоит из независимых наблюдений над случайной величиной X с математическим ожиданием M(X) и дисперсией D(X), то выборочная дисперсия ( X i X ) не является несмещенной оценкой генеральной i дисперсии. Несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия: i ( X i X ), (.0) где дробь называется поправкой Бесселя. При малых значениях поправка Бесселя довольно значительно отличается от единицы, с увеличением значений она стремиться к единице. При >50 практически нет разницы между оценками и. Оценки и являются состоятельными оценками генеральной дисперсии. 4. Если известно значение математического ожидания µ, то несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой генеральной дисперсии является выборочная оценка: * ( X i µ ). i (.) 5. Если случайная величина X имеет биноминальное распределение, то несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли P является частость события (статистическая доля ω)..4. Интервальные оценки параметров распределений При выборке небольшого объема точечная оценка ~ θ может существенно отличаться от истинного значения параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. Поэтому в случае малой выборки часто используют интервальные оценки.

7 Интервальной оценкой называют числовой интервал ~ () ~ () ( θ, θ ), определяемый по результатам выборки, относительно которого можно утверждать с определенной, близкой к единице вероятностью, что он заключает в себе значение оцениваемого параметра генеральной совокупности, т.е.: ~ () ~ () P ( θ θ θ ), (.) где ~ ( ) ~ () θ и θ называют также нижней и верхней границами доверительного интервала параметра θ. Вероятность - принято называть доверительной вероятностью. Выбор значения доверительной вероятности следует производить исходя из конкретной задачи. ~ Чтобы получить представление о точности и надежности оценки θ параметра θ, можно для каждой близкой к единице вероятности указать такое значение, что: ~ ~ ~ P ( θ θ < ) P( θ θ θ + ). (.3) Оценка ~ θ будет тем точнее, чем меньше для заданной доверительной вероятности будет. Из соотношения (.3) следует, что вероятность того, что доверительный интервал ( ~ θ - ; ~ θ + ) со случайными границами накроет неизвестный параметр θ, равна. Величину, равную половине ширины h доверительного интервала называют точностью оценки. В общем случае границы интервала ~ θ - и θ ~ + есть некоторые функции от результатов наблюдений X, X,..., X. Вследствие случайного характера выборки при многократном ее повторении будут изменяться как положение, так и величина доверительного интервала. Задачи на построение доверительных интервалов могут решаться как в прямом направлении (когда надо указать границы интервала), так и в обратном (где по заданным границам надо определить надежность или объем выборки). Как правило, обратные задачи не всегда разрешимы, особенно, при поиске объема выборки. Поскольку в реальных задачах исследователь стремиться к высокой надежности и точности (т.е. к «узкому» интервалу) при минимальном объеме выборки, то может возникнуть противоречие. Рассмотрим теперь правила построения доверительных интервалов для некоторых параметров распределений.

8 .4.. Интервальные оценки для генеральной средней Правила построения доверительного интервала для математического ожидания зависит от того, известна или не известна дисперсия генеральной совокупности. Пусть из генеральной совокупности X с нормальным законом распределения N(µ; ) и известным генеральным средним квадратическим отклонением взята случайная выборка X, X,..., X объемом и вычислено X. Требуется найти интервальную оценку для µ. Используем среднюю арифметическую X, которая имеет нормальное распределение с параметрами N( µ ; ). Тогда статистика X µ имеет нормированное нормальное распределение с параметрами N(0;). Вероятность любого отклонения X µ может быть вычислена по интегральной теореме Лапласа для интервала, симметричного относительно µ, по формуле: X P µ t < Ф(t). (.4) Задавая определенную доверительную вероятность, по таблице интегральной функции вероятностей Ф(t) можно определить значение t. Для оценки математического ожидания преобразуем формулу (.4): P X µ < t Ф(t ) (.5) и далее будем иметь: P X t µ X + t. (.6) Интервал, определенный по (.6), и представляет собой доверительный интервал для математического ожидания µ. Точность оценки равна: t. (.7) Формула (.7) в практических приложениях занимает особое место. По этой формуле можно, например, вычислить объем случайной выборки, необходимый для оценки нормальной средней с заданной надежностью и точностью, а также при заданной точности и известном объеме выборки можно определить надежность (вероятность).

9 Нижняя и верхняя границы доверительного интервала равны: µ mi X µ X ; max +. (.8) Ширина доверительного интервала равна: h µ max - µ mi. (.9) Предположим теперь, что генеральная совокупность X распределена по нормальному закону N(µ;) с неизвестным средним квадратическим отклонением. В этом случае для построения интервальной оценки генеральной средней µ используется статистика X µ T, имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы ν -. Предполагается, что средняя арифметическая x и выборочное среднее квадратическое отклонение определены по результатам выборки объемом из генеральной совокупности X. По таблице t - распределения (Стьюдента) для ν - степеней свободы находим значение t,ν, для которого справедливо равенство: P x t µ x + t, (.0) где точность оценки генеральной средней равна: t. (.) При решении обратной задачи нахождения приходиться строить итерационный процесс: t, t t(, -) и найти, при котором правая часть наиболее близка к левой части. При достаточно больших различия между доверительными интервалами, определенными по формулам (.6) и (.0), мало, так как при распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению. Пример.. По результатам 0 наблюдений установлено, что средний темп роста акций предприятий отрасли равен X 04,4%. В предположении, что ошибки наблюдений распределены по нормальному закону со средним квадратическим отклонением %, определить с надежностью 0,95 интервальную оценку для генеральной средней µ.

10 Решение. Поскольку параметр нам известен, интервальную оценку будем искать согласно (.6). По таблице интегральной функции Лапласа Ф(t) из условия 0,95 найдем t,96. Тогда точность оценки равна: t,96,96 0,6. 0 3,6 Отсюда доверительный интервал имеет вид: и окончательно: 04,4-0,6 µ 04,4 + 0,6 03,78 µ 05,0 (%). Пример.. Средняя урожайность пшеницы на 7 опытных участках области составила X 5 ц/га, а ц/га. Найти с надежностью 0,9 границы доверительного интервала для оценки генеральной средней. Решение. Так как нам неизвестно, то интервальную оценку генеральной средней µ будем искать согласно (.0). Из таблиц t-распределения для числа степеней свободы ν-6 и - -0,9 0, найдем t,746. Тогда точность оценки согласно (.0) равна: t,746 0, Отсюда доверительный интервал равен: 5-0,873 µ 5 + 0,873 и окончательно: 4,7 µ 5,873 (ц/га)..4.. Интервальные оценки для генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения Пусть из генеральной совокупности X, распределенной по нормальному закону N(µ;), взята случайная выборка объемом и вычислена выборочная дисперсия. Требуется определить с надежностью интервальные оценки для генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения. Построение доверительного интервала для генеральной дисперсии * основывается на том, что случайная величина имеет распределение y Пирсона ( ) с ν степенями свободы, а величина имеет распределение Пирсона с ν - степенями свободы.

11 Подробно рассмотрим построение доверительного интервала для второго случая, так как он наиболее часто встречается на практике. Для выбранной доверительной вероятности -, учитывая, что имеет распределение с ν - степенями свободы, можно записать: P. Далее по таблице - распределения нужно выбрать такие два значения ч и ч, чтобы площадь, заключенная под дифференциальной функцией распределения между ч и ч,, была равна -. Для однозначного решения требуется дополнительное условие. Обычно ч и ч, выбирают так, чтобы: P ( < ) P( > ), (.) т.е. площади, заштрихованные на рис.. были равны между собой. P(x ) x x x Рис.. Тогда имеем: P P( < ) P( > ). (.3)

12 Так как таблица - распределения содержит лишь P ( > ), то для вычисления P ( < ) запишем следующее тождество: P ( < ) P( > )., ν (.4) Подставив (.4) в (.3), получим: P ( ) P( > ) P( > ) и окончательно: P( ) P( ). (.5) Формула (.5) используется при решении обратной задачи - нахождении доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу генеральной дисперсии. В прямой задаче задают: P ( ) P( > ) ; P ( ) P( > ). (.6) Преобразуем двойное неравенство в (.3):, (.7) окончательно получим:. (.8) Это и есть доверительный интервал для генеральной дисперсии, когда неизвестно значение генеральной средней и по выборке объемом вычисляется выборочная дисперсия. Ширина доверительного интервала для генеральной дисперсии равна: h max mi. (.9) Доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения при 30 равен:

13 . (.30) При достаточно больших объемах выборки ( > 30) доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения определяется по формуле: 3 + t 3 t, (.3) где t - нормированное значение нормальной случайной величины, соответствующее заданной надежности и определяемое по таблице функции Лапласа Ф(t). Если в качестве дополнительного условия потребовать симметрии интервала относительно точечной оценки, то задача может не иметь решения. Возможно противоречие между объемом выборки и надежностью, т.к. левая граница интервала не может быть отрицательной. P { ( q) < < ( + q) }, qq(,) Требуется подробная таблица q-распределения. Пример.3. По результатам контроля 9 деталей вычислено выборочное среднее квадратическое отклонение 5 мм. В предположении, что ошибка изготовления деталей распределена нормально, определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для параметра. Решение. Так как < 30, то используется распределение. Согласно (.6): 0,05 P ( > ) 0,975; 0,05 P ( > ) 0,05. По таблице - распределения для числа степеней свободы ν - 8 и найденных вероятностей 0,975 и 0,05 определяем, что,80 и 7,535. Вычисляем,8, 47 и 7,535 4,9. Доверительный интервал (.30) равен: и окончательно: ,9,47

14 3,58 0, (мм) Интервальные оценки для генеральной доли Пусть в независимых испытаниях некоторое событие A, вероятность появления которого в каждом испытании равна p, имело место m раз, где 0 m, тогда границы доверительного интервала для генеральной доли определяются из уравнений: i i i С p ( p) ; i m m i i i С p ( p ). i 0 Эти уравнения решаются приближенно. Для различных значений m, и надежности могут быть найдены p и p. Могут быть составлены специальные таблицы. При достаточно больших ( > 30) можно считать, что частость m ω имеет приближенно нормальное распределение с параметрами pq N ; p. В этом случае доверительный интервал для генеральной доли p определяется соотношением: где m m m m m m t p + t, (.3) t определяется по таблице интегральной функции Лапласа Ф(t): m - частость события A; m - частость противоположного события A ; - объем выборки. Точность оценки генеральной доли p равна: m m t. (.33) Более точное решение получается, если: p( p). t Но здесь приходится решать квадратное неравенство относительно неизвестного «р»:

15 m p( p p < t ). При этом значение р(-р) различается в разных точках интервала. Поэтому интервал не симметричен относительно m. Пример. При испытании зерна на всхожесть из 400 зерен проросло m 384. С надежностью 0,98 определить доверительный интервал для генеральной доли p. Решение. По таблице интегральной функции Лапласа из условия Ф(t ) 0,98 определяем t 3,06. m 384 Учитывая, что 0, 96, определим точность оценки 400 0,96 0,04 3,06 3,06 0,0384 0,53 0,96 0, Доверительный интервал равен: и окончательно: 0,96-0,03 p 0,96 + 0,03 0,93 p 0,99. В заключение приведем табл.., в которой укажем формулы, используемые при интервальном оценивании основных параметров распределений. Пояснения к табл.... Стрелка вправо ( ) означает порядок решения "прямой" задачи, т.е. определения доверительного интервала по заданной доверительной вероятности.. Стрелка вправо ( ) означает порядок решения "обратной" задачи, т.е. определения доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу. 3. Ф(t), (t) и - соответствующие таблицы законов распределения: нормального, Стьюдента, Пирсона точность оценки соответствующих параметров. 5. h - ширина доверительного интервала параметров µ или p. 6. Обратной является и задача нахождения. Но она более трудоемкая, а иногда и неразрешаемая.

16 Таблица. Основные формулы, используемые при интервальном оценивании параметров распределений Оцениваемы й параметр Условия оценки Используемо е распределени е Основные формулы Доверительный интервал известно Ф(t) t ; t µ не известно t ; t t ν ± x 30 µ известно ) ( ) ( ; ; ν ν P P * * i X i ) ( µ 30 µ не известно ) ( ) ( ; ; ν ν P P > 30 Ф(t) t t л и t п t t p Ф(t) t m m t m ± Вернуться к руководству

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ Оценка параметров 30 5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ 5.. Введение Материал, содержащийся в предыдущих главах, можно рассматривать как минимальный набор сведений, необходимых для использования основных

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

Интервальные оценки.

Интервальные оценки. Лекция 1. Интервальные оценки. Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Точечное оценивание Как уже говорилось, наиболее полной и исчерпывающей характеристикой для случайной величины является закон распределения:

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов.

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов. Лекция 5 ЭКОНОМЕТРИКА 5 Проверка качества уравнения регрессии Предпосылки метода наименьших квадратов Рассмотрим модель парной линейной регрессии X 5 Пусть на основе выборки из n наблюдений оценивается

Подробнее

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы 3 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 3 Основные понятия статистической проверки гипотезы Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений В экономике, технике, естествознании,

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность Лекция 18 Интервальные оценки параметров распределения Интервальные оценки Точность Надежность Точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров Достаточно часто это происходит в случае

Подробнее

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основной принцип проверки ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ дисперсия известна дисперсия неизвестна t распределение распределение

Подробнее

Доверительные интервалы: примеры решения задач

Доверительные интервалы: примеры решения задач Доверительные интервалы: примеры решения задач Л. В. Калиновская Кафедра высшей математики, Университет "Дубна" date Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения

Подробнее

Лекция 2. Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента

Лекция 2. Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента Лекция 2 Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента Доверительный интервал Задача на практике - при ограниченной выборке оценить точность и надежность вычисления

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений

Статистическая обработка результатов измерений Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский Государственный Технологический Университет им. К. Э. Циолковского. Кафедра «Высшая математика» Статистическая обработка результатов измерений

Подробнее

Математическая статистика.

Математическая статистика. Лекция. Математическая статистика. Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов.

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Задачи по математической статистике

Задачи по математической статистике Задачи по математической статистике Задача. По данным распределения возрастного состава участников революционного движения в России 70-х годов 9-го века была построена следующая таблица Возраст 7-3 3-9

Подробнее

Лекция 5. Доверительные интервалы

Лекция 5. Доверительные интервалы Лекция 5. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2014 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 1 / 31 Cодержание Содержание

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА С.П.Еркович ПРИМЕНЕНИЕ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ. Москва, 994.

Подробнее

Лекция 2 дополнение. Распределение Стьюдента Доверительный интервал в программе «Описательная статистика»

Лекция 2 дополнение. Распределение Стьюдента Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Лекция 2 дополнение Распределение Стьюдента Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента Это распределение получило свое название от псевдонима Student, которым

Подробнее

По таблице приложения 4 по γ = 0,99 и n = 15 найдем q = 0,73. Искомый доверительный интервал

По таблице приложения 4 по γ = 0,99 и n = 15 найдем q = 0,73. Искомый доверительный интервал Лекция 9. Оценка точности измерений. Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте. 1. Оценка точности измерений. В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора)

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

Лекция 3. Доверительные интервалы

Лекция 3. Доверительные интервалы Лекция 3. Доверительные интервалы Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS Center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 3. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2015 1 / 41 Cодержание Содержание

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

Контрольное задание

Контрольное задание http://wwwzachetru/ Контрольное задание Задача Построить полигон относительных частот по данным вариационного ряда ( 0): 3 6 7 0 m 8 0 3 3 Решение 3 6 7 0 m 8 0 3 3 m Полигон относительных частот: 0073

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

4 Проверка параметрических гипотез

4 Проверка параметрических гипотез 4 Проверка параметрических гипотез Статистическая гипотеза Параметрическая гипотеза 3 Критерии проверки статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Подробнее

Идентификация законов распределения случайных величин

Идентификация законов распределения случайных величин Лабораторное занятие Идентификация законов распределения случайных величин Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой P неизвестно полностью или

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел.

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 0 Неравенства Маркова и ЧебышеваЗакон больших чисел Предельные теоремы теории вероятностей В теории вероятностей часто изучаются случайные

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Основные понятия математической статистики Совокупность - это множество объектов (элементов совокупности), обладающих общим свойством. Объем совокупности - это число

Подробнее

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности

такая, что ' - ее функцией плотности. Свойства функции плотности Демидова ОА, Ратникова ТА Сборник задач по эконометрике- Повторение теории вероятностей Случайные величины Определение Случайными величинами называют числовые функции, определенные на множестве элементарных

Подробнее

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез.

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Элементы теории оценок и проверки гипотез

Элементы теории оценок и проверки гипотез Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ЧАСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Статистической совокупностью называется совокупность

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ это распределение числа успехов наступлений определенного события в серии из n испытаний при условии, что для каждого из n испытаний вероятность успеха имеет одно и то же значение

Подробнее

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок План лекции Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров метод моментов метод максимума правдоподобия метод наименьших квадратов Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок Функция результатов

Подробнее

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ]

Законы распределения случайных величин. [Часть II, стр ] Законы распределения случайных величин [Часть II, стр. 0-3] Центральная предельная теорема: сумма произвольно распределенных независимых случайных величин при условии одинакового их влияния подчиняется

Подробнее

Лекция 3. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних

Лекция 3. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних Лекция 3. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних 1. Генеральная средняя. Пусть изучается дискретная генеральная совокупность

Подробнее

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Выборочные оценки параметров распределения

Выборочные оценки параметров распределения Выборочные оценки параметров распределения 1 Выборочные оценки параметров распределения Резюмируя, важно подчеркнуть, что, с точки зрения экспериментатора, функции распределения и статистические характеристики

Подробнее

Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения

Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные определения В случае, когда число значений признака Х велико или признак является непрерывным, составляют интервальный ряд. Опр. Интервальный

Подробнее

Лекция. Элементы математической статистики.

Лекция. Элементы математической статистики. Лекция. Элементы математической статистики. План. 1. Статистика как наука. Этапы статистической работы.. I-й этап статистической работы. Генеральная совокупность и выборка. 3. I I-ой этап статистической

Подробнее

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события 3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Конспект лекций (сокращенный) по теории вероятностей и математической статистике ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Раздел 1. Случайные события Лекция 1 1. Основные понятия

Подробнее

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа 46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

Эконометрика. Модель линейной регрессии. Шишкин Владимир Андреевич. Пермский государственный национальный исследовательский университет

Эконометрика. Модель линейной регрессии. Шишкин Владимир Андреевич. Пермский государственный национальный исследовательский университет Эконометрика Модель линейной регрессии Шишкин Владимир Андреевич Пермский государственный национальный исследовательский университет Вероятностью P(A) события A называется численная мера степени объективной

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия

Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Медицинская статистика Специальность «Лечебное дело» Проверка статистических гипотез Критерии согласия Определение статистической гипотезы Статистическая гипотеза - предположение о виде распределения или

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности

Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности В статистике существует два вида оценок: точечные и интервальные. Точечная оценка представляет собой отдельную

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 01.03.02

Подробнее

ТОЧЕЧНОЕ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

ТОЧЕЧНОЕ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Оренбургский государственный университет Кафедра математических методов и моделей в экономике А.Г.РЕННЕР, О.А. ЗИНОВЬЕВА, Г.Г. АРАЛБАЕВА ТОЧЕЧНОЕ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

4.1 Неравенство Чебышёва. Пусть случайная величина X имеет математическое ожидание m x и дисперсию

4.1 Неравенство Чебышёва. Пусть случайная величина X имеет математическое ожидание m x и дисперсию Лекция План лекции 4 Неравенство Чебышёва 4 Теорема Чебышёва 4 Применение теоремы Чебышёва на практике 43 Теорема Бернулли 4 Неравенство Чебышёва Пусть случайная величина имеет математическое ожидание

Подробнее

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения Виды статистических оценок 3 Нахождение оценок неизвестных параметров

Подробнее

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют:

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют: . На складе 00 деталей, из которых 00 изготовлено цехом, 60 цехом и 40 цехом. Вероятность брака для цеха %, для цеха % и для цеха %. Наудачу взятая со слада деталь оказалась бракованной. Найти вероятность

Подробнее

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ГЛАВА 6 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВЕЛИЧИН Описаны точечный и интервальный методы оценки детерминированных величин основанные на представлении оценок гиперслучайными

Подробнее

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ Проверка статистических гипотез 37 6. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 6.. Введение В этой главе рассматривается группа статистических методов, которые получили наибольшее распространение в статистических

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Е. В. Морозова 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ

Подробнее

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Специальность: Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 016-017 Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ Погрешность В реальных условиях даже очень точные измерения будут содержать погрешность D, которая является отклонением результата измерения x от истинного

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

Исследование операций в экономике Контрольная работа 3. Вариант 58

Исследование операций в экономике Контрольная работа 3. Вариант 58 Исследование операций в экономике Контрольная работа 3 Вариант 58 Задача 8. Малое предприятие имеет два цеха - A и B. Каждому установлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех A свой план выполняет

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания

Кафедра прикладной математики. А.Г. Курицын КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)

Подробнее

Часть 2. Элементы математической статистики

Часть 2. Элементы математической статистики Часть 2. Элементы математической статистики Замечательно, что науке, начинавшейся с рассмотрения азартных игр, суждено было стать важнейшим объектом человеческого знания. Лаплас Вероятность это важнейшее

Подробнее

Подбор подходящего теоретического распределения

Подбор подходящего теоретического распределения Лекция Подбор подходящего теоретического распределения При наличии числовых характеристик случайной величины (математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть

Подробнее

Обработка и анализ результатов моделирования

Обработка и анализ результатов моделирования Практическая работа Обработка и анализ результатов моделирования Задача. Проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с теоретическим распределением с помощью критериев Пирсона и Колмогорова-

Подробнее

Лекция 20. Проверка статистических гипотез

Лекция 20. Проверка статистических гипотез Лекция. Проверка статистических гипотез Понятие о статистических гипотезах и методах их проверки При решении многих задач возникает необходимость оценки того, подчиняется ли распределение генеральной совокупности

Подробнее

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного

Подробнее