Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения"

Транскрипт

1 Лекция 1 Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Теория случайных процессов является частью теории вероятностей. Специфика теории случайных процессов состоит в том, что в ней рассматриваются случайные явления, развивающиеся во времени и для описания которых необходимо использовать временную переменную. Постепенно произошло обособление этой области теории вероятностей. Напомним, что в теории вероятностей основным является понятие вероятностного пространства (Ω, F, P, включающее в себя: Ω пространство элементарных исходов (произвольное множество, элементы которого называются элементарными исходами и обозначаются ω; F это σ-алгебра случайных событий (класс подмножеств Ω, замкнутый относительно взятия дополнения, счетных объединений или пересечений и содержащий Ω; P вероятностная мера на F (неотрицательная σ-аддитивная функция на F, причем P (Ω = 1. Напомним также, что пара (E, E, где E произвольное множество, а E заданная на нем σ-алгебра, называется измеримым пространством. Следовательно, (Ω, F является измеримым пространством. Важным примером измеримых пространств является множество действительных чисел R со стандартной метрикой ρ (ρ (x, y = x y при x, y R и заданная на нем борелевская σ-алгебра B (R (минимальная σ-алгебра, содержащая все открытые множества числовой прямой относительно метрики ρ. Аналогично на пространстве R n действительных числовых векторов размерности n N можно задать борелевскую σ-алгебру B (R n (минимальную σ-алгебру, содержащую все открытые множества относительно стандартной метрики и тем самым получить измеримое пространство (R n, B (R n. Утверждение 1. Борелевская σ-алгебра B (R n совпадает с минимальной σ-алгеброй, заданной на R n и содержащей все множества вида A 1... A n, где A 1,..., A n произвольные одномерные борелевские множества (здесь A 1... A n означает декартово произведение множеств A 1,..., A n. Основными объектами изучения теории вероятностей являются случайные величины и векторы. Под случайной величиной ξ = ξ (ω понимается произвольное отображение Ω в R, являющееся измеримым относительно σ-алгебр F и B (R. Это означает, что для любого множества A, принадлежащего σ-алгебре B (R, его прообраз ξ 1 (A относительно отображения ξ является случайным событием, т.е. принадлежит σ-алгебре F. Под случайным вектором (ξ 1,..., ξ n = (ξ 1 (ω,..., ξ n (ω понимается произвольное отображение Ω в R n, являющееся измеримым относительно σ-алгебр F и B (R n. 1

2 Определение 1. Пусть заданы измеримые пространства (Ω, F и (E, E. Случайным элементом X называется произвольное отображение Ω в E, измеримое относительно σ-алгебр F и E (это означает, что для каждого множества A E множество X 1 (A принадлежит F. При этом говорят, что X случайный элемент на (Ω, F со значениями в (E, E. Таким образом, и случайная величина, и случайный вектор являются случайными элементами. Для проверки измеримости отображения полезен следующий простой факт. Утверждение 2. Пусть (Ω, F и (E, E измеримые пространства. Пусть (Ẽ Ẽ класс подмножеств множества E, причем E = σ (здесь σ (Ẽ минимальная σ-алгебра, заданная на E и содержащая элементы Ẽ. Для измеримости отображения X : Ω E относительно σ-алгебр F и E достаточно, чтобы для каждого множества A Ẽ множество X 1 (A принадлежало F. Из утверждений 1 и 2 вытекает, что отображение (ξ 1 (ω,..., ξ n (ω пространства Ω в R n является случайным вектором на (Ω, F, если ξ 1,..., ξ n случайные величины на (Ω, F. Действительно, достаточно показать, что множество {ω Ω : (ξ 1 (ω,..., ξ n (ω A 1... A n }, где A 1,..., A n произвольные одномерные борелевские множества, является случайным событием. Но указанное множество совпадает с пересечением случайных событий {ω Ω : ξ i (ω A i }, где i {1,..., n}, и, следовательно, само является случайным событием. Обозначим R множество бесконечных числовых последовательностей {x 1, x 2,...}. Зададим σ-алгебру на R. Зафиксируем m N и еще m натуральныx чисел n 1,..., n m (n 1 < n 2 <... < n m, а также множество A B (R m. Назовем цилиндрическим множеством пространства R множество таких последовательностей x R, что (x n1,..., x nm A. Обозначим его C n1,...,n m (A. Минимальную σ-алгебру, содержащую цилиндрические множества C n1,...,n m (A при всевозможных m, n 1,..., n m и A, назовем цилиндрической σ-алгеброй и обозначим G. Определение 2. Случайной последовательностью называется случайный элемент на (Ω, F со значениями в (R, G. Таким образом, каждому элементарному исходу ω Ω сопоставляется бесконечная числовая последовательность. Обозначим ее {ξ 1 (ω, ξ 2 (ω,...}. Обычно символ ω опускается и для случайной последовательности использутся следующие обозначения: {ξ 1, ξ 2,...}, или {ξ n, n N}, или {ξ n }. Из определения случайной последовательности и утверждения 2 вытекает, что отображение {ξ 1 (ω, ξ 2 (ω,...} пространства Ω в R является случайной последовательностью на (Ω, F, если ( ξ n1,..., ξ nm является случайным вектором на (Ω, F для произвольного m N и произвольных натуральных n 1,..., n m. Действительно, для произвольного A B (R m {ω Ω : {ξ 1 (ω, ξ 2 (ω,...} C n1,...,n m (A} = = { ω Ω : ( ξ n1 (ω,..., ξ nm ω A }, а последнее множество является случайным событием. В свою очередь, ( ξn1,..., ξ nm является случайным вектором на (Ω, F для произвольного 2

3 m N и произвольных натуральных n 1,..., n m, если ξ n является случайной величиной на (Ω, F для произвольного n N. Таким образом, приходим к эквивалентному определению. Определение 2. Случайной последовательностью называется последовательность случайных величин ξ 1, ξ 2,..., заданных на одном вероятностном пространстве. Обозначим R [, + множество всех числовых функций x = x (t, t [, +. Зададим σ-алгебру на R [, +. Зафиксируем m N, действительные числа t 1,..., t m ( t 1 < t 2 <... < t m и множество A B (R m. Назовем цилиндрическим множеством пространства R [, + множество таких функций x R [, +, что (x (t 1,..., x (t m A. Обозначим его C t1,...,t m (A. Минимальную σ-алгебру, содержащую цилиндрические множества C t1,...,t m (A при всевозможных m, t 1,..., t m и A, назовем цилиндрической σ-алгеброй и обозначим G. Определение 3. Случайным процессом называется случайный элемент на (Ω, F со значениями в (R [, +, G. Таким образом, каждому элементарному исходу ω Ω сопоставляется числовая функция, заданная на полуоси [, +. Обозначим ее X (t, ω, t [, +. Переменная t трактуется как время. Обычно символ ω опускается и для случайного процесса используются следующие обозначения: {X (t, t }, или {X (t}, или X. Функция X (t, ω, t [, + (при фиксированном ω, называется траекторией случайного процесса X, соответствующей элементарному исходу ω. Если же фиксируется переменная t, то отображение X (t, ω, ω Ω, называется сечением случайного процесса X, соответствующим моменту времени t. Из определения случайного процесса и утверждения 1 вытекает, что {X (t, t } случайный процесс на (Ω, F, если (X (t 1,..., X (t m является случайным вектором на (Ω, F для произвольного m N и произвольных действительных чисел t 1,..., t m. Последнее выполняется, если X (t является случайной величиной на (Ω, F для произвольного t R. Таким образом, приходим к эквивалентному определению. Определение 3. Случайным процессом называется совокупность случайных величин X (t, t [, +, заданных на одном вероятностном пространстве. При исследовании случайных величин и векторов основным инструментом являются их распределения. Напомним, что распределением случайной величины ξ, заданной на вероятностном пространстве (Ω, F, P, называется вероятностная мера P (ξ, заданная на измеримом пространстве (R, B (R по правилу: P (ξ (A = P (ξ A, A B (R (событие {ξ A} есть краткая запись события {ω Ω : ξ (ω A}. Аналогично определяется распределение случайного вектора. Определение 4. Конечномерным распределением случайного процесса X, отвечающим моментам времени t 1,..., t m ( t 1 < t 2 <... < t m, m N, называется распределение случайного вектора (X (t 1,..., X (t m, т.е. следующая вероятностная мера на измеримом пространстве (R m, B (R m : P (X t 1,...,t m (A = P ((X (t 1,..., X (t m A, A B (R m. 3

4 Рассмотрим примеры случайных последовательностей и процессов. Случайное блуждание. Пусть X 1, X 2,... последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Положим S =, S n = n X i, n N. i=1 Последовательность {S n, n N } называется случайным блужданием (символ N означает множество {, 1,...}. Поскольку S n является случайной величиной при каждом n N, то указанная последовательность является случайной. Отметим, что при n, m N случайные величины S n+m S n и d S n являются независимыми, причем S n+m S n = Sm. Эта вероятностная модель является одной из старейших в теории вероятностей, поскольку случайные блуждания возникают уже в схеме испытаний Бернулли. Напомним, что наибольший интерес в этой схеме представляет случайная величина µ n, равная числу успехов в n испытаниях Бернулли. Если положить X i равным 1 в случае успеха в i-м испытании и в случае неудачи, то n µ n = X i, n N, i=1 причем случайные величины X 1, X 2,... независимы и одинаково распределены. Таким образом, последовательность {µ n, n N } является случайным блужданием. Напомним, что если вероятности успеха и неудачи в одном испытании равны p и q соответственно, то P (µ n = k = C k np k q n k, k {, 1,..., n}. Тем самым найдены одномерные распределения случайной последовательности {µ n, n N}. Далее, поскольку при n, m N случайные величины µ n и µ n+m µ n являются независимыми и µ n+m µ n d = µm, то при k, l N P ( µ n = k, µ n+m = k + l = P ( µ n = k, µ n+m µ n = l = = P (µ n = k P ( µ n+m µ n = l = P (µ n = k P (µ m = l = = C k np k q n k C l mp l q m l = C k nc l mp k+l q n+m (k+l (предпоследнее равенство справедливо при k {, 1,..., n} и l {, 1,..., m}. Тем самым найдены двумерные распределения. Аналогично находятся остальные многомерные распределения. Процесс восстановления. Пусть X 1, X 2,... последовательность независимых одинаково распределенных положительных случайных величин и S =, S n = n i=1 X i, n N. Положим при ν ( =, ν (t = max {n N : S n t}, t >. Величина ν (t при фиксированном t > принимает целые неотрицательные значения. Событие {ν (t = k} при k N совпадает с событием {S k t} {S k+1 > t}. Следовательно, событие {ν (t = k} является случайным. Таким 4

5 образом, величина ν (t при фиксированном t > является случайной. А это означает, что {ν (t, t } образует случайный процесс, который называется процессом восстановления. Наглядно его можно представить следующим образом. В момент времени начинает функционировать некоторый прибор, срок службы которого равен X 1, в момент (равный X 1 выхода из строя этого прибора он мгновенно заменяется на следующий прибор, срок службы которого равен X 2. В момент (равный X 1 +X 2 = S 2 выхода из строя второго прибора он мгновенно заменяется на следующий прибор, срок службы которого равен X 3 и т.д. Величина ν (t при этом равну числу приборов, задействованных до момента t включительно. Определение 5. Процессом Пуассона называется частный случай процесса восстановления {ν (t, t }, когда случайные величины X 1, X 2,... имеют показательное распределение с параметром λ >, т.е. P (X 1 > t = e λt, t. Найдем конечномерные распределения процесса Пуассона. Лемма 1. Если случайные величины X 1, X 2,... имеют показательное распределение с параметром λ >, то при n N распределение случайной величины S n является абсолютно непрерывным с плотностью вероятностей f n (t = λ (λtn 1 (n 1! e λt, t >. (1 При этом функция распределения случайной величины S n равна ( F n (t = λt + (λt (λtn 1 e λt, t >. (2 2! (n 1! Доказательство. Соотношение (1 устанавливается по индукции. При n = 1 оно справедливо, поскольку X 1 имеет показательное распределение с параметром λ. Предположим, что (1 справедливо при некотором n N. Тогда f n+1 (t = (f n f 1 (t = = f n (t x f 1 (x dx = λ λn 1 (t x n 1 e λ(t x λe λx dx = (n 1! = λn+1 (n 1! e λt (t x n 1 dx = λ (λtn e λt, n! т.е. соотношение (1 справедливо и при n + 1. Итак, соотношение (1 установлено. Для доказательства (2 достаточно заметить, что F n (t = f n (t и lim t F n (t = 1. Лемма доказана. 5

6 Лемма 1 позволяет найти одномерные распределения процесса Пуассона. Действительно, поскольку при t > и n N то {ν (t = n} = {S n t, S n+1 > t} = {S n+1 > t} \ {S n > t}, P (ν (t = n = P (S n+1 > t P (S n > t = (λtn e λt. (3 n! Напомним, что случайная величина η имеет распределение Пуассона с параметром a (короткая запись: η Π a, если η принимает значения из N и P (η = n = an n! e a, n N. Соотношение (3 означает, что ν (t Π λt при t >. Замечание 1. Если η Π a, то Eη = a. Следовательно, Eν (1 = λ. Итак, λ среднее число восстановлений за единицу времени. Это объясняет, почему параметр λ называется интенсивностью процесса Пуассона. Лемма 2. При n, m N, t > и произвольном s P (S n+m > t + s ν (t = n = P (S m > s. (4 Доказательство. Сначала установим (4 при m = 1. При s обе части (4 равны 1. Заметим, что при s > P (S n+1 > t + s, ν (t = n = P (S n+1 > t + s, S n t, S n+1 > t = = = P (S n+1 > t + s, S n t = f n (u du + t+s u f n (u du λe λv dv (w=v s = e λs + t+s u f n (u du f 1 (v dv = + t u = e λs P (S n+1 > t, S n t = e λs P (ν (t = n. Откуда после деления на P (ν (t = n получаем (4 при m = 1. Пусть m > 1. Очевидно, λe λw dw = P (S n+m > t + s ν (t = n = P (S n+1 > t + s ξ ν (t = n, где ξ = S n+m S n+1. Случайная величина ξ не зависит от величины S n+1 и события {ν (t = n}, поэтому по свойству условного математического ожидания P (S n+1 > t + s ξ ν (t = n = E (P (S n+1 > t + s c ν (t = n c=ξ, а по-доказанному P (S n+1 > t + s c ν (t = n = P (S 1 > s c. 6

7 Итак, P (S n+m > t + s ν (t = n = E (P (S 1 > s c c=ξ. (5 Аналогично показывается, что P (S m > s = E (P (S 1 > s c c=η, (6 где η = S m S 1. Сравнивая (5 и (6, получаем (4. Лемма доказана. Из леммы 2 следует, что при n, m N и t, s > P (ν (t + s = n + m ν (t = n = = P (S n+m t + s, S n+m+1 > t + s ν (t = n = = P ( S n+m+1 > t + s ν (t = n P (S n+m > t + s ν (t = n = = P (S m+1 > s P (S m > s = P (S m s, S m+1 > s = P (ν (s = m. Значит, P (ν (t = n, ν (t + s = n + m = P (ν (t = n P (ν (s = m. Откуда, вспоминая найденные одномерные распределения, получаем, что P (ν (t = n, ν (t + s = n + m = (λtn λt (λsm e e λs. (7 n! m! Итак, двумерные распределения процесса Пуассона найдены. Формулу (7 можно переписать: P (ν (t = n, ν (t + s ν (t = m = (λtn λt (λsm e e λs. (8 n! m! Правая часть распадается в произведение множителей, один из которых зависит от n, а второй от m, следовательно, случайные величины ν (t и ν (t + s ν (t независимы, причем ν (t + s ν (t d = ν (s. Вспомним, что аналогичное утверждение справедливо и для случайных блужданий. Можно показать, что формула, аналогичная (8, справедлива для трех и более моментов времени. 7

Лекция 12. Стационарные последовательности

Лекция 12. Стационарные последовательности Лекция 12 Стационарные последовательности Рассмотрим еще один класс случайных последовательностей, обобщающих последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть Ω, F, P исходное

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

Лекции 5-6. Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах

Лекции 5-6. Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах Лекции 5-6 Условия сходимости случайных процессов по распределению в функциональных пространствах Применим изложенную теорию сходимости по распределению к случайным процессам. Как известно, случайный процесс

Подробнее

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега.

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Лекция 2. Абстрактная мера Лебега. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Введение На прошлой лекции мы рассмотрели построение

Подробнее

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега.

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега. Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА На прошлой лекции мы рассмотрели построение меры Лебега плоских множеств. Теперь наша задача обобщить эту процедуру на случай произвольных множеств. При этом существо схемы

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

Лекция 5. Марковские цепи: примеры и классификация состояний

Лекция 5. Марковские цепи: примеры и классификация состояний Лекция 5 Марковские цепи: примеры и классификация состояний Рассмотрим примеры марковских цепей. a Случайное блуждание. Пусть X 1, X 2,... последовательность независимых одинаково распределенных случайных

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики

Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Лекция 3. Условные распределения и условные математические ожидания. Достаточные статистики Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 3. Условные распределения

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

Примеры распределений дискретных случайных величин

Примеры распределений дискретных случайных величин Примеры распределений дискретных случайных величин 1 Биномиальное распределение = μ ( ) Рассмотрим случайную величину равную числу появлений события A в серии n независимых испытаний. Распределение вероятностей

Подробнее

А.В. Колесников. Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Теорема Радона-Никодима. Условное математическое ожидание. Всюду далее (Ω,

Подробнее

Внешние меры (по Каратеодори).

Внешние меры (по Каратеодори). Тема 3 Внешние меры по Каратеодори. При задании меры часто бывает удобно не ограничивать класс всех множеств до подходящей σ-алгебры, а ослабить требование аддитивности. Таким образом получается определение

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

Лекции по функциональному анализу

Лекции по функциональному анализу Ю.А. Чаповский Лекции по функциональному анализу Группы: КА 53, 54 III курс, семестр 5 Киев 2017 c Ю.А. Чаповский Оглавление 1 Мера и интеграл 2 1.1 Семейства подмножеств................. 3 1.2 Мера множества......................

Подробнее

А.В. Колесников. Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Сходимость: основные соотношения 1) сходимость п.н. сходимость по вероятности

Подробнее

20. Топологические пространства и пределы

20. Топологические пространства и пределы 20. Топологические пространства и пределы В конце прошлой лекции мы определили метрические пространства. На каждом метрическом пространстве можно естественным способом ввести топологию. Обозначение 20.1.

Подробнее

Лекция 11. Гильбертовы пространства. Общая теория.

Лекция 11. Гильбертовы пространства. Общая теория. Лекция 11. Гильбертовы пространства. Общая теория. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 22 января 2012 г. Определение гильбертова пространства.

Подробнее

Тема 1-2: Элементы комбинаторики

Тема 1-2: Элементы комбинаторики Тема 1-2: Элементы комбинаторики А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

МНОЖЕСТВА. ОТОБРАЖЕНИЯ. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ

МНОЖЕСТВА. ОТОБРАЖЕНИЯ. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 МНОЖЕСТВА. ОТОБРАЖЕНИЯ. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ 1. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество и пусть (x) некоторое свойство, которое для каждого конкретного элемента

Подробнее

Виды сходимости последовательностей случайных величин

Виды сходимости последовательностей случайных величин С.Я. Шатских Лекции по теории вероятностей Виды сходимости последовательностей случайных величин Черновик Сходимость по вероятности. Будем считать, что все интересующие нас случайные величины определены

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный

Подробнее

Комментарии к теме «Характеристические функции»

Комментарии к теме «Характеристические функции» Комментарии к теме «Характеристические функции» Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ, 2013 г. В. В. Некруткин 1 Определение и основные свойства Сначала сделаем следующее замечание.

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

ВВЕДЕНИЕ СОДЕРЖАНИЕ. Лекция 5. Классификация функций 80 Лекция 6. Предел функции.. 98 Лекция 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 Тема 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Лекция 1 Множества 6 Лекция Числовые множества 14 Лекция 3 Грани числовых множеств 1 Лекция 4 Множество комплексных чисел 7 Тема ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Лекция

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА МНОЖЕСТВ ИЗ R 2 1. Необходимость расширения понятия интеграла Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) задана на собственном отрезке [a, b]. Определим

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера

Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Следствие неравенства Гельдера Лекция 3 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. ПРОДОЛЖЕНИЕ В этой лекции мы продолжим рассмотрение пространств Лебега, начатое в третьей лекции предыдущего семестра. Для более полного понимания следует посмотреть эту лекцию..

Подробнее

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 1. Доказать лемму о баллотировке. Комментарий. Важно показать, что выбор вероятностного пространства (в виде функций, описывающих исходы) позволяет легко применить

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ ЛЕКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Вероятность события относится к основным понятиям теории вероятностей и выражает меру объективной возможности появления события Для практической деятельности важно

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства

Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Лекция 4. Метрические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 21 сентября 2011 г. Определение метрического пространства

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики. Володин И.Н., Тихонов О.Е., Турилова Е.А. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЕРОЯТНОСТИ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики. Володин И.Н., Тихонов О.Е., Турилова Е.А. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЕРОЯТНОСТИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики Володин И.Н., Тихонов О.Е., Турилова Е.А. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЕРОЯТНОСТИ КАЗАНЬ 2006 П Е Ч А Т А Е Т С Я ПО РЕШЕНИЮ СЕКЦИИ НАУЧНО

Подробнее

ТЕМА 7. Случайные процессы. Оглавление. 7.1 Случайные процессы

ТЕМА 7. Случайные процессы. Оглавление. 7.1 Случайные процессы ТЕМА 7. Случайные процессы. Цель контента темы 7 дать начальные понятия о случайных процессах и цепях Маркова в частности; очертить круг экономических задач, которые используют в своем решении модели,

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Статистическая радиофизика и теория информации

Статистическая радиофизика и теория информации Статистическая радиофизика и теория информации. Введение Радиофизика как наука изучает физические явления существенные для радиосвязи, излучения и распространения радиоволн, приема радиосигналов. Предметом

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Комментарии к теме Распределения случайных векторов

Комментарии к теме Распределения случайных векторов Комментарии к теме Распределения случайных векторов Практические занятия по теории вероятностей, 322 гр., СМ В. В. Некруткин, 2012 1 Случайные вектора и их распределения Многие свойства случайных векторов

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Московский Государственный Университет имени М В Ломоносова Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики Кафедра Математической Статистики Теория вероятностей и математическая статистика (II курс)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 4: ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

Лекция 19. Теорема Радона-Никодима. Определение 1 (наивное). Заряд это мера, котрая может принимать отрицательные

Лекция 19. Теорема Радона-Никодима. Определение 1 (наивное). Заряд это мера, котрая может принимать отрицательные Лекция 19. Теорема Радона-Никодима. 1. Определение заряда. Определение 1 (наивное). Заряд это мера, котрая может принимать отрицательные значения. Примеры 1 1. δ(0) δ(1). 2. f(x)dµ x, f : E R. Определение

Подробнее

Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств.

Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств. Лекция 9. Банаховы пространства. Транспонированный оператор и плотные вложения банаховых пространств. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Теория вероятностей Элементы теории множеств и теории функций Вероятностное пространство

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Теория вероятностей Элементы теории множеств и теории функций Вероятностное пространство СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Хуснутдинов, Р. Ш. Курс теории вероятностей. Казань : Издво КГТУ, 2000. 200 с. 2. Хуснутдинов, Р. Ш. Курс математической статистики. Казань : Изд-во КГТУ, 2001. 344 с. 3. Хуснутдинов,

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание Expected Value (i.e. Mean) - характеризует среднее весовое значение случайной величины с учётом вероятности появлений значений

Подробнее

Лекция 13. Стационарные в широком смысле последовательности

Лекция 13. Стационарные в широком смысле последовательности Лекция 13 Стационарные в широком смысле последовательности Рассмотрим класс случайных последовательностей {ξ n }, обобщающих стационарные последовательности, при этом предположим, что временная переменная

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 5 сентября 2012 г. Введение Функция Дирихле не интегрируема

Подробнее

Меры на сигма-алгебрах.

Меры на сигма-алгебрах. Тема 2 Меры на сигма-алгебрах. Идея меры является далеко идущим обобщением первоначального представления о площади и объеме подмножеств R n. Естественные требования, предъявляемые к объему, таковы: объем

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

Конспект лекций по теории вероятностей Механико-математический факультет МГУ, 4-й семестр, 2014 г. Лектор А.М.Зубков. Оглавление

Конспект лекций по теории вероятностей Механико-математический факультет МГУ, 4-й семестр, 2014 г. Лектор А.М.Зубков. Оглавление Конспект лекций по теории вероятностей Механико-математический факультет МГУ, 4-й семестр, 2014 г. Лектор А.М.Зубков Оглавление 1. Введение....................................................................

Подробнее

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера

Лекция 11 АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 1. Интеграл Бохнера Лекция АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Интеграл Бохнера Перейдем к построению интеграла Бохнера, являющегося банаховозначным обобщением интеграла Лебега. Как и в случае интеграла Лебега путь у нас имеется

Подробнее

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы

Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. 1. Линейные функционалы Лекция 6 ВЕКТОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Линейные функционалы Напомним некоторые понятия линейной алгебры. Действительно, пусть L это линейное пространство над полем либо вещественных либо комплексных

Подробнее

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава 1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Лекция 1 1 Введение Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла Разумеется, мы не будем рассматривать интегральные

Подробнее

Лекция 9 ТРАНСПОНИРОВАННЫЙ ОПЕРАТОР. 1. Обозначения

Лекция 9 ТРАНСПОНИРОВАННЫЙ ОПЕРАТОР. 1. Обозначения Лекция 9 ТРАНСПОНИРОВАННЫЙ ОПЕРАТОР В этой лекции мы рассмотрим важное понятие транспонированного оператора и докажем важную теорему о равенстве скобок двойственности. 1. Обозначения Пусть заданы два банаховых

Подробнее

Инвариантные методы многомерного статистического анализа

Инвариантные методы многомерного статистического анализа Инвариантные методы многомерного статистического анализа Введение Буздалин Алексей Владимирович Оглавление 1 Функциональные свойства базового отображения 1 Определение базового отображения 2 Измеримость

Подробнее

4.1. Разложение Хана Абсолютная непрерывность

4.1. Разложение Хана Абсолютная непрерывность Теория Меры 4: Теорема Радона-Никодима и теорема Фубини 4.1. Разложение Хана Определение 4.1. Напомним, что зарядом называется счетно-аддитивная функция на σ-алгебре, принимающая значения в R. Задача 4.1

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 18 УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТЕОРЕМА МАШКЕ ЛЕММА ШУРА 1 УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Определение 1. Квадратная комплексная матрица A называется унитарной, если AA = E, где A = A T. Представление φ : G

Подробнее

1. Что такое двумерные поверхности

1. Что такое двумерные поверхности Н. Б. Гончарук, Ю. Г. Кудряшов Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ, 2011-12 уч. год. Топология двумерных поверхностей Формальное определение многообразия (8 ноября) Н. Б. Гончарук, Ю. Г. Кудряшов 1. Что такое

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Лекция 1. Метрические пространства

Лекция 1. Метрические пространства Лекция 1. Метрические пространства В математике очень важную роль играет понятие пространства, т. е. множества, между элементами которого аксиоматически заданы некоторые соотношения. В таком случае говорят,

Подробнее

ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. 1. Случайный анализ

ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. 1. Случайный анализ ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. Случайный анализ Часто при исследовании различных явлений природы, экономических и технических процессов приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися во времени.

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция Понятие о системе случайных величин Законы распределения системы случайных величин Часто возникают ситуации когда каждому элементарному

Подробнее

n ) 1 n 1 n P-lim j=1 n n lim D( 1 2 n ξ j ) = 1 1 k n

n ) 1 n 1 n P-lim j=1 n n lim D( 1 2 n ξ j ) = 1 1 k n Колодий А.М., Колодий Н.А. Лекции по теории вероятностей для студентов специальности «Математическое обе6спечение и администрирование информационных систем» 4. Предельные теоремы 4.. Закон больших чисел.

Подробнее

Глава 3. Случайные величины (продолжение).

Глава 3. Случайные величины (продолжение). Глава 3 Случайные величины (продолжение) Основные распределения случайных величин Основные распределения дискретных случайных величин Биномиальный закон распределения Ряд распределения Функция распределения

Подробнее

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА В этой лекции мы рассмотрим такие фундаментальные понятия современного нелинейного функционального анализа, как сильная, слабая и слабая

Подробнее

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции 5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции Мера и интеграл понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить

Подробнее

Лекция 7. Преобразование Фурье

Лекция 7. Преобразование Фурье Лекция 7. Преобразование Фурье Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 2 апреля 2012 г. Пространство P Напомним, что топология τ пространства

Подробнее

Программа и задачи курса Случайные процессы

Программа и задачи курса Случайные процессы Программа и задачи курса Случайные процессы лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов ПРОГРАММА 1. Понятие случайного процесса (случайной функции). Примеры: случайное блуждание, процессы восстановления, эмпирические

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования

Интеграл Лебега. Тема Соглашения и обозначения. 5.2 Формализация суммирования Тема 5 Интеграл Лебега. Напомним, что такое интеграл Лебега и обсудим основные его свойства. Нам понадобятся следующие естественные соглашения, одно из которых мы уже использовали. 5.1 Соглашения и обозначения

Подробнее

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

Теория меры, лекция 4: мера Лебега

Теория меры, лекция 4: мера Лебега Теория меры, лекция 4: мера Лебега Миша Вербицкий 14 марта 2015 НМУ 1 Булевы кольца (повторение) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Булево кольцо есть кольцо, все элементы которого - идемпотенты. ЗАМЕЧАНИЕ: В булевом кольце

Подробнее

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции 5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции Мера и интеграл понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить

Подробнее

Московский физико-технический институт. факультет инноваций и высоких технологий ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лектор: М.Е. Жуковский

Московский физико-технический институт. факультет инноваций и высоких технологий ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лектор: М.Е. Жуковский Московский физико-технический институт факультет инноваций и высоких технологий ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лектор: М.Е. Жуковский КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ автор: Александр Марков 30 января 2017 г. Благодарности: М.Е.

Подробнее

Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение

Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение Лекция 3. Пространства Лебега. Продолжение Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 28 февраля 2012 г. Введение В этой лекции мы продолжим

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. Курс лекций. М. Л. Сердобольская

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. Курс лекций. М. Л. Сердобольская ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Курс лекций М. Л. Сердобольская 014 1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Пусть (Ω, F, P) некоторое вероятностное пространство. Пусть T подмножество действительной прямой. Определение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И ЕЁ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Случайной величиной называется числовая функция X(ω), заданная на пространстве элементарных событий

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. В.В. Жук, А.М. Камачкин 7 Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. 7.1 Определение гильбертова пространства.

Подробнее

. Заметим, что удовлетворяет следующим условиям: , i. i 1. n - означает прямое объединение (сумму) множеств, т.е. i 1 i 1 при условии, что Ci Cj

. Заметим, что удовлетворяет следующим условиям: , i. i 1. n - означает прямое объединение (сумму) множеств, т.е. i 1 i 1 при условии, что Ci Cj Элементы теории меры (в конец главы 2) Здесь и далее в тексте речь идет об учебном пособии авторов АА Натан ОГ Горбачев СА Гуз по теории вероятностей выложенной вот здесь http://wwwmoumptru/atahtml По

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 5 5.1. Гильбертовы пространства (продолжение) 5.1.1. Унитарные изоморфизмы Обсудим теперь, какие предгильбертовы пространства следует считать «одинаковыми».

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Векторные топологические пространства. 1. Выпуклые множества

ЛЕКЦИЯ 7А Векторные топологические пространства. 1. Выпуклые множества ЛЕКЦИЯ 7А Векторные топологические пространства 1. Выпуклые множества Докажем некоторые свойства выпуклых множеств, непосредственно следующее из их определения. 1) Пересечение любого семейства выпуклых

Подробнее

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2 ЧАСТЬ АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств

ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства. 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства 1. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств 1) Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по каждому из аргументов.

Подробнее

1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1 Метрические пространства 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Пусть X Y {(x, y) x X, y Y } прямое произведение множеств X и Y. Определение. Функция ρ : X X R + называется метрикой в X, если a) ρ(x, y) = ρ(y, x)

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них. 1. Записать свойства ассоциативности

Подробнее