Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более"

Транскрипт

1 Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где a некоторое постоянное число Поскольку ряд () подстановкой a приводится к виду (), то в дальнейшем мы будем, в основном, изучать степенные ряды вида () Часто для удобства -м членом степенного ряда называют член a несмотря на то, что он стоит на ( )-м месте Свободный член ряда считают нулевым членом ряда a Сходимость и свойства степенных рядов Степенной ряд () всегда сходится при Теорема (Абель) Если степенной ряд () сходится при некотором, то он сходится, причем абсолютно, при любом, удовлетворяющем условию Если ряд () расходится при некотором >, те вне интервала (-, ) - - <, те в интервале (-, ), то он расходится при любом сходимость расх расх Следствия из теоремы Абеля Если точка сходимости и, то интервал (-, ) состоит из точек абсолютной сходимости ряда () Для всякого степенного ряда существует такое число R ( R ), называемое радиусом сходимости, что при < R ряд сходится, а при > R ряд расходится Радиус сходимости может быть определен или по формуле a R lim () или по формуле R lim (), если эти пределы a a существуют После нахождения радиуса сходимости, а следовательно, - -

2 и интервала сходимости следует для полного определения области сходимости степенного ряда исследовать поведение этого ряда на границе нитервала сходимости в точках ± R Замечание При исследовании ряда в точках ± R не имеет смысла применять признаки Коши или Даламбера, ибо соответствующие пределы, что следует из фомул для радиуса сходимости, или не существуют, или равны единице Аналогично, применяя признак Коши сходимости положительного ряда, получаем, что R lim a Замечание Для степенных рядов вида a a ) ( a a ( a) a ( a) все сказанное выше остается в силе с той только разницей, что теперь центр интервала сходимости будет лежать не в точке, а с точке a, следовательно, интервалом a R, a R, или a < R сходимости будет интервал Перечислим основные свойства степенных рядов Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке [ r,r], где r < R, R его радиус сходимости Отсюда вытекает непрерывность степенного ряда на [ r, r] и возможность почленного интегрирования ряда на любом отрезке [, ], R < < R, а так же почленного дифференцирования ряда для всех ( R, R) Ряды, получаемые почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна, соответственно, производной и интегралу от суммы первоначального ряда S a Если, S a, то R < < R a S( ) d Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно производить над стеаенным рядом сколько угодно раз Таким - -

3 образом, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией Примеры Исследовать сходимость степенного ряда Здесь a, a и радиус сходимости ряда a R lim lim lim Таким образом, ряд сходится a для значний, удовлетворяющих неравенству < < ( < ) Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости, те при ± Если, то получаем гармонический ряд Он сходится При получается ряд Он сходится по признаку Лейбница Итак, область сходимости степенного ряда есть промежуток [, ) ( < ) Исследовать сходимость ряда ( ) ( ) ( ) Имеем: a, ( ) a и R lim lim ( ) Следовательно, ряд сходится, если < <, те < < Если, то получаем ряд Этот ряд сходится, так как ряд сходится при P > При получаем ряд Этот ряд сходится, притом абсолютно, так как сходится ряд из абсолютных величин его членов Итак, область, ( ) сходимости степенного ряда есть промежуток [ ] - -

4 P P R lim радиус сходимости; < интервал сходимости Если, то ряд сходится при P > и расходится при P P При ряд сходится при P > (причем абсолютно) и P расходится при P Исследовать сходимость ряда!( )!( )!( ) Так как a!, a ( )!, то R lim lim ( ) Ряд сходится только при, те в точке Для ряда!! ( )! a, a и R lim lim( )! ( )!! Следовательно, ряд сходится при любом значении Отсюда, между прочим, следует, что при любом предел общего члена равен нулю, те lim! 6 Исследовать сходимость ряда Имеем: a при k и a Воспользуемся формулой R k lim k k k k k a k ( ) при k k - -

5 k Тогда R lim k k k k lim k k k Исследуем ряд на концах интервала сходимости Полагая, получим числовой ряд k k k k k k k k k k t k Но lim lim e k k t t Таким образом, при ряд расходится При ряд также расходится Итак, область сходимости данного ряда < < Замечание При решении примера 6 мы воспользовались следующим способом: сли среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степений разности a (переменного ) любая, то радиус сходимости можно находить по формуле R, в которой используются только lim a значения a, отличные от нуля Впрочем, эта формула пригодна и в других случаях, лишь бы существовал этот предел 7 lim lim lim (см, пример R ); R При ± ряд абсолютно сходится, так как ( ± ) < ; область сходимости k k - -

6 8 e lim e lim e ; R R При ± ряд расходится, так как его члены неограниченно возрастают Область сходимости: < < Иногда рассматривают и обобщенные степенные ряды вида a [ ϕ ] В этом случае области сходимости принадлежат все точки, удовлетворяющие неравенству 9 l ϕ ( ) < R l(l ) l (l ) e lim lim e lim ; R Ряд сходится R при < Решим это неравенство <, ( ) < ( ) > > При ряд сходится условно, при?? Область сходимости или >, те (, ], e - 6 -

7 l e lim lim ; R Ряд сходится, когда R ( e <, или > l При e ряд расходится, так как его члены не стремятся к нулю Итак, > l область сходимости Найти суммуряда ( < ), ( < ) продифференцировав почленно ряд Из формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической a прогрессии ( S ) следует, что ( a ) q Теперь, продифференцировав это равенство, имеем: Найти сумму ряда ( < ) Интегрируя равенство в пределах от до, получаем: l( ), Этот ряд сходится в промежутке [ ) Гл Разложение функций в степенные ряды Нам теперь известно, что сумма степенного ряда в интервале сходимости этого ряда является непрерывной и бесконечно дифференцируемой функцией Рассмотрим обратную задачу: какие функции и в каких областях представимы в виде суммы степенного ряда Всякую функцию, у которой в окрестности точки a существует производных, можно разложить по формуле Тейлора: - 7 -

8 f ( a) f ( a) f ( a) f f ( a) ( a) ( a) ( a) R!! ( )! f [ a θ ( a) ] (), где R ( a), < θ < ( ) R называется! остаточным членом Если функция f () имеет в окрестности точки a производные всех порядков (те является бесконечно дифференцируемой) и, кроме того, в этой окрестности lim R (), то функция f () представляется рядом Тейлора: f ( a) f ( a) f ( a) f ( a) f ( a) ( a) ( a)!!! f ( a) ( a) (), те будет суммой этого ряда (иными! словами, ряд Тейлора сходится к этой функции f ()) Условие () является необходимым и достаточным условием выполнения разложения () При a получаем разложение функции f () в так называемый ряд Маклорена: f () f () f () f f () ()!!! f () f () f () Таким образом, ряд f () ()!!! называется рядом Маклорена функции f () В связи с трудностями проверки условия () часто пользуются следующим предложением: если в некоторой окресности точки a ( при любом выполняется неравенство (А) f ) < M, где M некоторая положительная постоянная, то lim R и функция f () разлагается в ряд Тейлора Справедливо также для всех из данной окрестности следующее утверждение: если функция в некотором интервале представляется сходящимся степенным рядом, то этот ряд будет для нее рядом Тейлора Иными словами, если мы каким-либо способом разложим функцию в степенной ряд, то этот ряд обязательно будет рядом - 8 -

9 Тейлора для нашей функции (единственность разложения функции в степенной ряд) Для многих функций, употребляемых в практических применениях, каждая точка сходимости ряда Маклорена является и точкой сходимости этого ряда к породившей его функции Поэтому при разложении многих функций в ряд Маклорена можно вместо проверки выполнения условия (), что во многих случаях весьма затруднительно, исследовать сходимость самого ряда Маклорена как обычного степенного ряда и доказать, что при любом он сходится именно к данной функции При разложении функции f () в ряд Тейлора, разложенный по степеням ( a), можно рекомендовать следующий порядок действий Найти производные f (), f (),, f, () Вычислить f (), f ( ),, f (), Составить формально ряд Тейлора Найти область сходимости полученного ряда Доказать, что в области сходимости остаточный член стремится к нулю, те выполняется условие () Примеры Разложить в ряд Маклорена функцию f e Имеем ) f ( ) f f f e, откуда, при получаем: ) f ( ) f () f () f () ) По формуле () находим ряд Маклорена для функции e : (6)!!!! ) Найдем интервал сходимости этого ряда: a!( ) R lim lim Следовательно, ряд абсолютно a! сходится на всей числовой прямой (, ) ) Докажем теперь, что функция e сумма ряда (6) - 9 -

10 КРСУ Ишмахаметов К Кафедра Высшей математики e В силу необходимого условия сходимости ряда для любого ξ справедливо равенство lim (7) Так как f ( ξ ) e, то! ξ f ( ξ ) e ( ) R, где ξ θ, < ξ <!! ξ ξ e e Учитывая, что e < e, имеем: R <!! Отсюда в силу (7) lim при любых и, следовательно, R функция e является суммой ряда (6) Таким образом, при любом имеет место разложение: (8)!!!! Разложение функции f si π ) π f cos si, f si si,, π f si () ) f, f, f, f ), f (), ) По формуле () составим ряд Маклорена: 7 (9)!! 7! ( )! ( )! ( )( )! ) R lim lim ( )! ( )!, те полученный ряд (9) сходится абсолютно на всей числовой прямой ) Исследуем остаточный член π siξ f ( ξ ) R, где ξ θ, < ξ < Теперь в!! силу (7) при любом получаем lim А это означает, что функция si разложение: R является суммой ряда (9), те имеет место - -

11 si!! 7 7! ( )! () Разложение функции f cos Аналогично предыдущему, можно получить разложение функции cos в ряд Маклорена Однако еще проще разложение cos получается почленным дифференцированием ряда для si : 7 ( ) (si )!! 7!, откуда ( )! 6 cos ()!! 6! ()! Замечание Вместо ряда Маклорена можно было бы рассмотреть более общий ряд Тейлора по степеням ( a), где a, те ряд вида f ( a) f ( a) f ( a) f ( a) ( a) ( a) ( a)!!! Все изложенное полностью переносится и на эти ряды Замечание При разложении функций e, si, cos можно было воспользоваться условием (А) Например, пусть f e и рассмотрим интервал ( N, N), где N любое фиксированное число N Для любого ( N, N) имеем: e < e M Из этого следует, что все производные функции поэтому lim R e ограничены одним и тем же числом M e и Аналогично, любая производная функций si и cos (те ± si и ± cos ) по абсолютному значению не превосходит единицы Следовательно, ряды Маклорена для функций si и cos сходятся к ним соответственно на всей числовой оси Замечание Может случиться (если не выполняется условие ()), что ряд Тейлора, составленный для функции f (), сходится, а сумма - -

12 его вовсе не равна f () Например, функция f e,, бесконечно дифференцируема на всей числовой оси (, ), причем все ее производные в точке равны нулю В самом деле, f e при f ( h) f () e h z lim lim lim h h h h z z e, где и f, так как z Далее, f, так h ( ) e h f h f () как lim lim h z lim, и тд Следовательно, h h h h z z e f () f () все коэффициенты Тейлора функции f () ( f (),,, ) при!! равны нулю Соответствующий ряд Тейлора состоит из членов, равных нулю, и, значит, сходится не к функции f (), а к функции, тождественно равной нулю Биноминальный ряд Разложим в ряд Маклорена функцию m f ( ), где m любое действительное число Имеем: m m f ( ) m( ), f m( m )( ),, m f m( m )( m )( ) Поэтому f, f m, f m( m ),, f () m( m )( m ), и ряд запишется в виде: m m( m ) m( m )( m ) ( ) m!! a Определим радиус сходимости R lim a m( m )( m ) m( m )( m ) Так как a, a,! ( )! - -

13 то R lim lim m m Таким образом, биноминальный ряд сходится при (,), те <, и расходится при < и > (при > ) Исследуем остаточный член в случае, когда < < m В этом случае для всех > m имеет место ( ) <, и m ( ) m поэтому f m( m )( m )( ) < m( m )( m ) m( m )( m ) Из условия (А) получаем: R <! Правая часть неравенства есть абсолютная величина -го члена степенного ряда, сходящегося при < Следовательно, lim R Соответствующее доказательство для интервала (,) более сложное и мы его не приводим Таким образом, биноминальный ряд представляет функцию m ( ) в интервале (, ) в следующем виде: m m( m ) m( m )( m ) ( ) m ()!! На концах интервала (, ), те при ±, ряд может сходиться или расходиться в зависимости от показателя степени m Так, при m > и ± ряд сходится абсолютно; при < m < и сходится условно; при m и, а также при m < и ряд расходится Разложение () пригодно: при m, если ; при < m <, если < ; при m, если < < Приведем часто встречающиеся биноминальные ряды, соответствующие значениям m,, : - -

14 ( ) ( < < ); ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( < ) 6 8 Функции l( ) и arctg Способ Вычислим значение функции, например f l( ), и ее производных при ; имеем:! f l( ), f ( ), f, f, f! ( ),; Отсюда следует, что f l, f, f, f!, f f ( ) ( ) ( )!, f!, ( ) ( )!,,, ) По формуле () находим разложение данной функции в ряд Маклорена (): l( ) () Этот ряд называется логарифмическим рядом Область сходимости найдем a по формуле () (, ()): R lim lim lim, те a < < Исследуем сходимость ряда в точках и При ряд расходится как гармонический При имеем знакочередующийся ряд:, который сходится по прихнаку Лейбница Итак, данный ряд сходистя в ( - -

15 промежутке < Можно показать, что этот ряд сходится именно к l, те l Способ Известно, что ( ) почленным интегрированием ряда для доби d l ; поэтому разложение в ряд найдем (, пример ): () Отсюда d l Запишем выражение для функции f arctg в виде интеграла: ( ) d ( < ) d d arctg Разложим подынтегральную функцию () Маклорена В меняем на : d 6 Интегрируя этот ряд в области сходимости < <, находим: arctg 6 ( ) 7 d, в ряд arctg () 7 Этот ряд сходится в промежутке ( ) Свойство единственности разложения функции в ряд Тейлора удобно использовать при разложении в степенной ряд элементарных функций, опираясь при этом на пять основнях разложений (см, пример, ):!!!!! ) e, (-, ) (8); - -

16 ) si ( )! ( )!! (, ) ; ) cos!! (, ) (); m( m )( m ) m ) ( ) m m! ) l! 6! ()! ( )( m )! (-,) (); 6 m!! 7!, m( m )! ( ) (-,] () Примеры 6 Разложить в степенной ряд e В формуле (8), заменив на, получаем: 6 e,!! 6! 7 7 Разложить l в ряд по степеням В формуле (), заменяя на, получаем: ( ) ( ) ( ) l ( ) ( < ) 8 Разложить в ряд по степеням Данную функцию представим в виде и рассмотрим правую часть как сумму бесконечно - 6 -

17 убывающей геометрической прогрессии с первым членом знаменателем q Отсюда получаем: Так как <, то < < 6 9 Разложить e по степеням В формуле (8) заменяем на : e e!!! a и, те ( ) ( ) e ( ) e e ( ) ( ) Разложить в ряд Маклорена функцию f cos Известно, что cos ( cos ) Заменив на в формуле (), получим: cos или!!! cos ( )!! ( )! Теперь ясно, что cos!! ( )! Окончательно: 8 cos!!! Разложение верно при любом Операцию разложения функций в степенные ряды позволяет значительно упростить применение следующих свойств степенных рядов! 8-7 -

18 ) Два степенные ряда можно почленно складывать, умножать и делить (по правилу умножения и деления многочленов) При этом областью сходимости полученного нового степенного ряда будет совокупность всех точек, в которых одновременно сходятся оба ряда ) Степенной ряд в области его сходимости можно почленно интегрировать, а внутри области сходимости можно почленно дифференцировать При этом его радиус сходимости не меняется (, примеры и,, примеры и ) Часто бывает удобно предварительно разложить в ряд производную функции, а затем путем почленного дифференцирования получить ряд для самой функции Примеры!!!! sh e e Сходится при всех [ ] ), на замена формула (), (, m! C,!!! m m C m число сочетаний из по Сходится при m < - 8 -

19 ) - на замена формула (8), (,! e!!!!!!!!!!!!!!!!!! Ряд сходится при любом 6!!!!!!!!!!!!! l e Заметим, что здесь можно подсчитать столько коэффициентов, сколько понадобится У первого ряда R, у второго R, те полученный результат справедлив при < <, где абсолютно сходятся оба ряда ; 7 6 6!!! 7!!!! cos si tg

20 Таким образом, разложение тангенса в степенной ряд начинается 7 7 с членов tg () Для вычисления дальнейших членов надо было продолжить разложение si и cos π Можно доказать, что это разложение справедливо при < Равенство ( ) можно получить также с помощью метода неопределенных коэффициентов Для этого заметим, что tg как нечетная функция должен разлагаться в ряд по нечетным степеням: 7 tg a a a a Но поскольку cos tg si, то 7 6 a a 7 7 ( a a ) 7!! 6!!!! 7! Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим: a a a a a a a,,, a a a7,!!!!!!!! 6! 7! - -

21 Отсюда последовательно найдем коэффициенты,,,, 7 a a a a 6 l В формуле () l заменим на : [ ] l () Имеем: l l l [ ] l l 7 < ; Мы перемножили два ряда, приводя подобные члены l l l l 8 9 y arctg y В формуле (, пример ) заменим на : arctg C y Чтобы найти постоянную, положим C C arctg : Теперь окончательно получаем: arctg Ряд сходится при - -

22 arctg y y В формуле заменим на :, следовательно, y ; arctg C y Положим, тогда Хотя ряд сходится при C arctg, это разложение справедливо только при <, так как данная функция терпит разрыв при arcsi y Имеем: arcsi В формуле ) ( 8 6 ) ( ) ( < (, пример ) заменим на :!!,,! < или, после упрощения:, < Проинтегрируем - -

23 d написанный ряд в пределах от до ( < ) Получим: d d d Таким образом, arcsi ( ), < Гл Некоторые применения степенных рядов Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях значений функций и интералов, при решении дифференциальных уравнений ) Вычисление приближенных значений функции Чтобы найти значение функции f () в точке, те f ( ) с заданной точностью, надо: а) представить функцию степенным рядом f a ; б) подставить значение аргумента функции в степенной ряд, при этом получится знакопеременный или знакопостоянный числовой ряд a ; в) если этот числовой ряд знакочередующийся, то надо вычислять значения членов ряда, пока ( )-й член не станет по абсолютной величине меньше заданной точности; тогда из теоремы Лейбница (см, ) сумма первых первых членов ряда S отличается от суммы ряда S, а значит, и от значения f ( ) рассматриваемой функции не более чем на абсолютную величину первого из отброшенных членов; то величина S есть значение f ) с точностью до a ( г) если числовой ряд содержит только члены одного знака, то погрешность вычисления оценивается значением остаточного члена R ( ) в разложении функции f ) по формуле Маклорена: ( - -

24 f ( ξ ) R, где < ξ < ( ξ θ, < θ < ); в другой раз,! если данный числовой ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов (остаточный член ряда, ), сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией Примеры Вычислить si с точностью до, Воспользуемся разложением 7 si Для этого переведем!! 7! ( )! π градусную меру в радианную: Затем в разложении положим 8 π : 8 si π π π π Подсчитаем значение каждого 8 8 8! 8! π члена Имеем: 7 8, ; π,8 Абсолютное значение 8! второго члена меньше,, те,8 <, По теореме Лейбница для подсчета значений si π с заданной точностью Е, 8 достаточно взять один член, те si π, при этом совершим 8 погрешность меньше первого отброшенного члена по абсолютной величине r <,8 Вычислить e с точностью до - Имеем: e При получаем:!!! e e!! ( )! Это есть тот случай, когда полученный числовой ряд знакопостоянный и теорема Лейбница не применияется Поэтому оценим погрешность - -

25 ξ e приближения с помощью остаточного члена, именно: R,! ξ e < ξ < При имеем: R, < ξ <! Для достижения нужной нам точности потребуем, чтобы выполнялось неравенство R < Имеем: R e ξ! < e maξ! e <! e <! Заметим, что, начиная с!, < R Действительно, R < Следовательно, для 8 вычисления e с требуемой точностью надо взять : e,68!!!! Все слагаемые надо брать с точностью до -, чтобы при суммировании не получить погрешность превышающей - Оценить погрешность приближенного равенства e, < <!!! Здесь погрешность определяется суммой членов, следующих после R или ( )! ( )! ( )! :! R! ( )( ) ( )( )( ) Каждый из сомножителей в знаменателе,,, заменим меньшей величиной, получим неравенство: R <! ( ) ( ) - -

26 Или, суммируя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в скобках a, q, имеем: < R, те R <!! Для вычисления корней -й степени используется биноминальный m m( m ) m( m )( m ) ряд ( ) m!! Вычислить 8 с точностью до, 8 8 / здесь, m / Так как величина третьего члена <,, то для подсчета 6 8 данного корня с точностью до, достаточно взять сумму первых двух членов, так как первый отброшенный член по абсолютной величине a меньше, 6 Таким образом, 8,9 6 6 ) Интегрирование функции Для приближенного вычисления определенного интеграла подынтегральную функцию (или часть ее) представляют степенным рядом и полученный ряд интегрируют При этом следует учесть, что промежуток интегрирования должен содержаться в интервале сходимости степенного ряда (чтобы полученный ряд сходился равномерно на орезке интегрирования,, основные свойства степенного ряда) Оценка погрешности производится так же, как и при вычислении значений функции - 6 -

27 Вычислить с точностью до, интеграл e d Раскладывая подынтегральную функцию в ряд (, пример 6) и интегрируя почленно, получим: 6 8 e d d ,8 6 6 (ошибка не превосходит первого отброшенного члена, те <,) 6 ) Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений С помощью степенных рядов приближенно решаются некоторые классы нелинейных дифференциальных уравнений Одним из методов интегрирования таких уравнений является представление искомого решения в виде степенного ряда (способ неопределенных коэффициентов) Этот метод заключается в следующем Будем искать F, y, y, в виде степенного ряда решение уравнения y a a a a, где a неизвестные коэффициенты (,, ) Для определения коэффициентов,, a, разложения a a искомого решения подставляют ряд y a в заданное уравнение и проделывают все встречающиеся при этом операции над степенными рядами, после чего сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях уравнения В результате эти равенства вместе с начальными условиями образуют систему, из которой последовательно определяются коэффициенты a, a, a,, a, Как правило, этот процесс останавливают на каком-то шаге и получают тем самым приближенное решение y 6 Найти рушение уравнения y y, удовлетворяющее начальным условиям: y и y - 7 -

28 Решение ищем в виде y a a a a () a a a a a a ( ) a Имеем: y y находим y a, y Подставляя в данное уравнение вместо y и y их разложения, получаем тождество: a a ( ) a a a a a На основании начальных условий из ( ) и ( ) Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, находим: a, a, a,, ( ) a a,, следовательно, a, a, a 6, a 7 6 7, a 8, a 9, a 6 7 9,, a a, a, 6 7 ( ) Подставляя полученные значения коэффициентов в ( ), получим: 7 y ( ) С помощью признака Даламбера можно убедиться в том, что этот ряд сходится на всей числовой оси, значит, представляет искомое решение при всех Другой метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, метод последовательного дифференцирования, состоит в отыскании решения в виде ряда Маклорена или Тейлора в зависимости от заданных начальных условий 7 y y y e, y, y Имеем решение в виде ряда Маклорена y () y () y y( ) y() y ()!! Последовательно дифференцируя данное уравнение и учитывая начальные условия, получим: y, - 8 -

29 КРСУ Ишмахаметов К Кафедра Высшей математики y, y y y e, y, y y y y e, y, () () y y y y y e, y (), Ответ запишется в виде: y 6-9 -

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Лекция 3. Представление функций степенными рядами

Лекция 3. Представление функций степенными рядами С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Представление функций степенными рядами Введение Представление функций степенными рядами оказывается полезным при решении следующих задач: - интегрирование функций

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ПЛАН ЛЕКЦИИ Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВОЙ РЯД Бесконечная сумма чисел вида: а а а... а... 3 называется числовым

Подробнее

4. Функциональные ряды, область сходимости

4. Функциональные ряды, область сходимости 4. Функциональные ряды, область сходимости Областью сходимости функционального ряда () называется множество значений аргумента, для которых этот ряд сходится. Функция (2) называется частичной суммой ряда;

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти радиус сходимости степенного ряда, используя признак Даламбера: ( 89 ( ) n n (n!) ) p (n + )! n= Ряд Тейлора f(x)

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы РБ КАРАСЕВА Р Я Д Ы Омск Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» РБКарасева Р Я Д Ы Учебное пособие Омск СибАДИ УДК ББК К Рецензенты:

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

РЯДЫ. Учебное пособие

РЯДЫ. Учебное пособие РЯДЫ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Ряды Учебное пособие Рекомендовано методическим

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет им СА Есенина» ЛГ Насыхова, МТ Терехин ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э.

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика РЯДЫ Методические указания к курсовой работе Составитель:

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика»

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» «Ряды Часть II» Авторы

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо,

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ С П ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ, СР ТИХОМИРОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Формулировка задания 3 Варианты задания 3 Пример выполнения задания и комментарии

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции.

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции. ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение

Подробнее