Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более"

Транскрипт

1 Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где a некоторое постоянное число Поскольку ряд () подстановкой a приводится к виду (), то в дальнейшем мы будем, в основном, изучать степенные ряды вида () Часто для удобства -м членом степенного ряда называют член a несмотря на то, что он стоит на ( )-м месте Свободный член ряда считают нулевым членом ряда a Сходимость и свойства степенных рядов Степенной ряд () всегда сходится при Теорема (Абель) Если степенной ряд () сходится при некотором, то он сходится, причем абсолютно, при любом, удовлетворяющем условию Если ряд () расходится при некотором >, те вне интервала (-, ) - - <, те в интервале (-, ), то он расходится при любом сходимость расх расх Следствия из теоремы Абеля Если точка сходимости и, то интервал (-, ) состоит из точек абсолютной сходимости ряда () Для всякого степенного ряда существует такое число R ( R ), называемое радиусом сходимости, что при < R ряд сходится, а при > R ряд расходится Радиус сходимости может быть определен или по формуле a R lim () или по формуле R lim (), если эти пределы a a существуют После нахождения радиуса сходимости, а следовательно, - -

2 и интервала сходимости следует для полного определения области сходимости степенного ряда исследовать поведение этого ряда на границе нитервала сходимости в точках ± R Замечание При исследовании ряда в точках ± R не имеет смысла применять признаки Коши или Даламбера, ибо соответствующие пределы, что следует из фомул для радиуса сходимости, или не существуют, или равны единице Аналогично, применяя признак Коши сходимости положительного ряда, получаем, что R lim a Замечание Для степенных рядов вида a a ) ( a a ( a) a ( a) все сказанное выше остается в силе с той только разницей, что теперь центр интервала сходимости будет лежать не в точке, а с точке a, следовательно, интервалом a R, a R, или a < R сходимости будет интервал Перечислим основные свойства степенных рядов Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке [ r,r], где r < R, R его радиус сходимости Отсюда вытекает непрерывность степенного ряда на [ r, r] и возможность почленного интегрирования ряда на любом отрезке [, ], R < < R, а так же почленного дифференцирования ряда для всех ( R, R) Ряды, получаемые почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна, соответственно, производной и интегралу от суммы первоначального ряда S a Если, S a, то R < < R a S( ) d Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно производить над стеаенным рядом сколько угодно раз Таким - -

3 образом, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией Примеры Исследовать сходимость степенного ряда Здесь a, a и радиус сходимости ряда a R lim lim lim Таким образом, ряд сходится a для значний, удовлетворяющих неравенству < < ( < ) Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости, те при ± Если, то получаем гармонический ряд Он сходится При получается ряд Он сходится по признаку Лейбница Итак, область сходимости степенного ряда есть промежуток [, ) ( < ) Исследовать сходимость ряда ( ) ( ) ( ) Имеем: a, ( ) a и R lim lim ( ) Следовательно, ряд сходится, если < <, те < < Если, то получаем ряд Этот ряд сходится, так как ряд сходится при P > При получаем ряд Этот ряд сходится, притом абсолютно, так как сходится ряд из абсолютных величин его членов Итак, область, ( ) сходимости степенного ряда есть промежуток [ ] - -

4 P P R lim радиус сходимости; < интервал сходимости Если, то ряд сходится при P > и расходится при P P При ряд сходится при P > (причем абсолютно) и P расходится при P Исследовать сходимость ряда!( )!( )!( ) Так как a!, a ( )!, то R lim lim ( ) Ряд сходится только при, те в точке Для ряда!! ( )! a, a и R lim lim( )! ( )!! Следовательно, ряд сходится при любом значении Отсюда, между прочим, следует, что при любом предел общего члена равен нулю, те lim! 6 Исследовать сходимость ряда Имеем: a при k и a Воспользуемся формулой R k lim k k k k k a k ( ) при k k - -

5 k Тогда R lim k k k k lim k k k Исследуем ряд на концах интервала сходимости Полагая, получим числовой ряд k k k k k k k k k k t k Но lim lim e k k t t Таким образом, при ряд расходится При ряд также расходится Итак, область сходимости данного ряда < < Замечание При решении примера 6 мы воспользовались следующим способом: сли среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степений разности a (переменного ) любая, то радиус сходимости можно находить по формуле R, в которой используются только lim a значения a, отличные от нуля Впрочем, эта формула пригодна и в других случаях, лишь бы существовал этот предел 7 lim lim lim (см, пример R ); R При ± ряд абсолютно сходится, так как ( ± ) < ; область сходимости k k - -

6 8 e lim e lim e ; R R При ± ряд расходится, так как его члены неограниченно возрастают Область сходимости: < < Иногда рассматривают и обобщенные степенные ряды вида a [ ϕ ] В этом случае области сходимости принадлежат все точки, удовлетворяющие неравенству 9 l ϕ ( ) < R l(l ) l (l ) e lim lim e lim ; R Ряд сходится R при < Решим это неравенство <, ( ) < ( ) > > При ряд сходится условно, при?? Область сходимости или >, те (, ], e - 6 -

7 l e lim lim ; R Ряд сходится, когда R ( e <, или > l При e ряд расходится, так как его члены не стремятся к нулю Итак, > l область сходимости Найти суммуряда ( < ), ( < ) продифференцировав почленно ряд Из формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической a прогрессии ( S ) следует, что ( a ) q Теперь, продифференцировав это равенство, имеем: Найти сумму ряда ( < ) Интегрируя равенство в пределах от до, получаем: l( ), Этот ряд сходится в промежутке [ ) Гл Разложение функций в степенные ряды Нам теперь известно, что сумма степенного ряда в интервале сходимости этого ряда является непрерывной и бесконечно дифференцируемой функцией Рассмотрим обратную задачу: какие функции и в каких областях представимы в виде суммы степенного ряда Всякую функцию, у которой в окрестности точки a существует производных, можно разложить по формуле Тейлора: - 7 -

8 f ( a) f ( a) f ( a) f f ( a) ( a) ( a) ( a) R!! ( )! f [ a θ ( a) ] (), где R ( a), < θ < ( ) R называется! остаточным членом Если функция f () имеет в окрестности точки a производные всех порядков (те является бесконечно дифференцируемой) и, кроме того, в этой окрестности lim R (), то функция f () представляется рядом Тейлора: f ( a) f ( a) f ( a) f ( a) f ( a) ( a) ( a)!!! f ( a) ( a) (), те будет суммой этого ряда (иными! словами, ряд Тейлора сходится к этой функции f ()) Условие () является необходимым и достаточным условием выполнения разложения () При a получаем разложение функции f () в так называемый ряд Маклорена: f () f () f () f f () ()!!! f () f () f () Таким образом, ряд f () ()!!! называется рядом Маклорена функции f () В связи с трудностями проверки условия () часто пользуются следующим предложением: если в некоторой окресности точки a ( при любом выполняется неравенство (А) f ) < M, где M некоторая положительная постоянная, то lim R и функция f () разлагается в ряд Тейлора Справедливо также для всех из данной окрестности следующее утверждение: если функция в некотором интервале представляется сходящимся степенным рядом, то этот ряд будет для нее рядом Тейлора Иными словами, если мы каким-либо способом разложим функцию в степенной ряд, то этот ряд обязательно будет рядом - 8 -

9 Тейлора для нашей функции (единственность разложения функции в степенной ряд) Для многих функций, употребляемых в практических применениях, каждая точка сходимости ряда Маклорена является и точкой сходимости этого ряда к породившей его функции Поэтому при разложении многих функций в ряд Маклорена можно вместо проверки выполнения условия (), что во многих случаях весьма затруднительно, исследовать сходимость самого ряда Маклорена как обычного степенного ряда и доказать, что при любом он сходится именно к данной функции При разложении функции f () в ряд Тейлора, разложенный по степеням ( a), можно рекомендовать следующий порядок действий Найти производные f (), f (),, f, () Вычислить f (), f ( ),, f (), Составить формально ряд Тейлора Найти область сходимости полученного ряда Доказать, что в области сходимости остаточный член стремится к нулю, те выполняется условие () Примеры Разложить в ряд Маклорена функцию f e Имеем ) f ( ) f f f e, откуда, при получаем: ) f ( ) f () f () f () ) По формуле () находим ряд Маклорена для функции e : (6)!!!! ) Найдем интервал сходимости этого ряда: a!( ) R lim lim Следовательно, ряд абсолютно a! сходится на всей числовой прямой (, ) ) Докажем теперь, что функция e сумма ряда (6) - 9 -

10 КРСУ Ишмахаметов К Кафедра Высшей математики e В силу необходимого условия сходимости ряда для любого ξ справедливо равенство lim (7) Так как f ( ξ ) e, то! ξ f ( ξ ) e ( ) R, где ξ θ, < ξ <!! ξ ξ e e Учитывая, что e < e, имеем: R <!! Отсюда в силу (7) lim при любых и, следовательно, R функция e является суммой ряда (6) Таким образом, при любом имеет место разложение: (8)!!!! Разложение функции f si π ) π f cos si, f si si,, π f si () ) f, f, f, f ), f (), ) По формуле () составим ряд Маклорена: 7 (9)!! 7! ( )! ( )! ( )( )! ) R lim lim ( )! ( )!, те полученный ряд (9) сходится абсолютно на всей числовой прямой ) Исследуем остаточный член π siξ f ( ξ ) R, где ξ θ, < ξ < Теперь в!! силу (7) при любом получаем lim А это означает, что функция si разложение: R является суммой ряда (9), те имеет место - -

11 si!! 7 7! ( )! () Разложение функции f cos Аналогично предыдущему, можно получить разложение функции cos в ряд Маклорена Однако еще проще разложение cos получается почленным дифференцированием ряда для si : 7 ( ) (si )!! 7!, откуда ( )! 6 cos ()!! 6! ()! Замечание Вместо ряда Маклорена можно было бы рассмотреть более общий ряд Тейлора по степеням ( a), где a, те ряд вида f ( a) f ( a) f ( a) f ( a) ( a) ( a) ( a)!!! Все изложенное полностью переносится и на эти ряды Замечание При разложении функций e, si, cos можно было воспользоваться условием (А) Например, пусть f e и рассмотрим интервал ( N, N), где N любое фиксированное число N Для любого ( N, N) имеем: e < e M Из этого следует, что все производные функции поэтому lim R e ограничены одним и тем же числом M e и Аналогично, любая производная функций si и cos (те ± si и ± cos ) по абсолютному значению не превосходит единицы Следовательно, ряды Маклорена для функций si и cos сходятся к ним соответственно на всей числовой оси Замечание Может случиться (если не выполняется условие ()), что ряд Тейлора, составленный для функции f (), сходится, а сумма - -

12 его вовсе не равна f () Например, функция f e,, бесконечно дифференцируема на всей числовой оси (, ), причем все ее производные в точке равны нулю В самом деле, f e при f ( h) f () e h z lim lim lim h h h h z z e, где и f, так как z Далее, f, так h ( ) e h f h f () как lim lim h z lim, и тд Следовательно, h h h h z z e f () f () все коэффициенты Тейлора функции f () ( f (),,, ) при!! равны нулю Соответствующий ряд Тейлора состоит из членов, равных нулю, и, значит, сходится не к функции f (), а к функции, тождественно равной нулю Биноминальный ряд Разложим в ряд Маклорена функцию m f ( ), где m любое действительное число Имеем: m m f ( ) m( ), f m( m )( ),, m f m( m )( m )( ) Поэтому f, f m, f m( m ),, f () m( m )( m ), и ряд запишется в виде: m m( m ) m( m )( m ) ( ) m!! a Определим радиус сходимости R lim a m( m )( m ) m( m )( m ) Так как a, a,! ( )! - -

13 то R lim lim m m Таким образом, биноминальный ряд сходится при (,), те <, и расходится при < и > (при > ) Исследуем остаточный член в случае, когда < < m В этом случае для всех > m имеет место ( ) <, и m ( ) m поэтому f m( m )( m )( ) < m( m )( m ) m( m )( m ) Из условия (А) получаем: R <! Правая часть неравенства есть абсолютная величина -го члена степенного ряда, сходящегося при < Следовательно, lim R Соответствующее доказательство для интервала (,) более сложное и мы его не приводим Таким образом, биноминальный ряд представляет функцию m ( ) в интервале (, ) в следующем виде: m m( m ) m( m )( m ) ( ) m ()!! На концах интервала (, ), те при ±, ряд может сходиться или расходиться в зависимости от показателя степени m Так, при m > и ± ряд сходится абсолютно; при < m < и сходится условно; при m и, а также при m < и ряд расходится Разложение () пригодно: при m, если ; при < m <, если < ; при m, если < < Приведем часто встречающиеся биноминальные ряды, соответствующие значениям m,, : - -

14 ( ) ( < < ); ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( < ) 6 8 Функции l( ) и arctg Способ Вычислим значение функции, например f l( ), и ее производных при ; имеем:! f l( ), f ( ), f, f, f! ( ),; Отсюда следует, что f l, f, f, f!, f f ( ) ( ) ( )!, f!, ( ) ( )!,,, ) По формуле () находим разложение данной функции в ряд Маклорена (): l( ) () Этот ряд называется логарифмическим рядом Область сходимости найдем a по формуле () (, ()): R lim lim lim, те a < < Исследуем сходимость ряда в точках и При ряд расходится как гармонический При имеем знакочередующийся ряд:, который сходится по прихнаку Лейбница Итак, данный ряд сходистя в ( - -

15 промежутке < Можно показать, что этот ряд сходится именно к l, те l Способ Известно, что ( ) почленным интегрированием ряда для доби d l ; поэтому разложение в ряд найдем (, пример ): () Отсюда d l Запишем выражение для функции f arctg в виде интеграла: ( ) d ( < ) d d arctg Разложим подынтегральную функцию () Маклорена В меняем на : d 6 Интегрируя этот ряд в области сходимости < <, находим: arctg 6 ( ) 7 d, в ряд arctg () 7 Этот ряд сходится в промежутке ( ) Свойство единственности разложения функции в ряд Тейлора удобно использовать при разложении в степенной ряд элементарных функций, опираясь при этом на пять основнях разложений (см, пример, ):!!!!! ) e, (-, ) (8); - -

16 ) si ( )! ( )!! (, ) ; ) cos!! (, ) (); m( m )( m ) m ) ( ) m m! ) l! 6! ()! ( )( m )! (-,) (); 6 m!! 7!, m( m )! ( ) (-,] () Примеры 6 Разложить в степенной ряд e В формуле (8), заменив на, получаем: 6 e,!! 6! 7 7 Разложить l в ряд по степеням В формуле (), заменяя на, получаем: ( ) ( ) ( ) l ( ) ( < ) 8 Разложить в ряд по степеням Данную функцию представим в виде и рассмотрим правую часть как сумму бесконечно - 6 -

17 убывающей геометрической прогрессии с первым членом знаменателем q Отсюда получаем: Так как <, то < < 6 9 Разложить e по степеням В формуле (8) заменяем на : e e!!! a и, те ( ) ( ) e ( ) e e ( ) ( ) Разложить в ряд Маклорена функцию f cos Известно, что cos ( cos ) Заменив на в формуле (), получим: cos или!!! cos ( )!! ( )! Теперь ясно, что cos!! ( )! Окончательно: 8 cos!!! Разложение верно при любом Операцию разложения функций в степенные ряды позволяет значительно упростить применение следующих свойств степенных рядов! 8-7 -

18 ) Два степенные ряда можно почленно складывать, умножать и делить (по правилу умножения и деления многочленов) При этом областью сходимости полученного нового степенного ряда будет совокупность всех точек, в которых одновременно сходятся оба ряда ) Степенной ряд в области его сходимости можно почленно интегрировать, а внутри области сходимости можно почленно дифференцировать При этом его радиус сходимости не меняется (, примеры и,, примеры и ) Часто бывает удобно предварительно разложить в ряд производную функции, а затем путем почленного дифференцирования получить ряд для самой функции Примеры!!!! sh e e Сходится при всех [ ] ), на замена формула (), (, m! C,!!! m m C m число сочетаний из по Сходится при m < - 8 -

19 ) - на замена формула (8), (,! e!!!!!!!!!!!!!!!!!! Ряд сходится при любом 6!!!!!!!!!!!!! l e Заметим, что здесь можно подсчитать столько коэффициентов, сколько понадобится У первого ряда R, у второго R, те полученный результат справедлив при < <, где абсолютно сходятся оба ряда ; 7 6 6!!! 7!!!! cos si tg

20 Таким образом, разложение тангенса в степенной ряд начинается 7 7 с членов tg () Для вычисления дальнейших членов надо было продолжить разложение si и cos π Можно доказать, что это разложение справедливо при < Равенство ( ) можно получить также с помощью метода неопределенных коэффициентов Для этого заметим, что tg как нечетная функция должен разлагаться в ряд по нечетным степеням: 7 tg a a a a Но поскольку cos tg si, то 7 6 a a 7 7 ( a a ) 7!! 6!!!! 7! Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим: a a a a a a a,,, a a a7,!!!!!!!! 6! 7! - -

21 Отсюда последовательно найдем коэффициенты,,,, 7 a a a a 6 l В формуле () l заменим на : [ ] l () Имеем: l l l [ ] l l 7 < ; Мы перемножили два ряда, приводя подобные члены l l l l 8 9 y arctg y В формуле (, пример ) заменим на : arctg C y Чтобы найти постоянную, положим C C arctg : Теперь окончательно получаем: arctg Ряд сходится при - -

22 arctg y y В формуле заменим на :, следовательно, y ; arctg C y Положим, тогда Хотя ряд сходится при C arctg, это разложение справедливо только при <, так как данная функция терпит разрыв при arcsi y Имеем: arcsi В формуле ) ( 8 6 ) ( ) ( < (, пример ) заменим на :!!,,! < или, после упрощения:, < Проинтегрируем - -

23 d написанный ряд в пределах от до ( < ) Получим: d d d Таким образом, arcsi ( ), < Гл Некоторые применения степенных рядов Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях значений функций и интералов, при решении дифференциальных уравнений ) Вычисление приближенных значений функции Чтобы найти значение функции f () в точке, те f ( ) с заданной точностью, надо: а) представить функцию степенным рядом f a ; б) подставить значение аргумента функции в степенной ряд, при этом получится знакопеременный или знакопостоянный числовой ряд a ; в) если этот числовой ряд знакочередующийся, то надо вычислять значения членов ряда, пока ( )-й член не станет по абсолютной величине меньше заданной точности; тогда из теоремы Лейбница (см, ) сумма первых первых членов ряда S отличается от суммы ряда S, а значит, и от значения f ( ) рассматриваемой функции не более чем на абсолютную величину первого из отброшенных членов; то величина S есть значение f ) с точностью до a ( г) если числовой ряд содержит только члены одного знака, то погрешность вычисления оценивается значением остаточного члена R ( ) в разложении функции f ) по формуле Маклорена: ( - -

24 f ( ξ ) R, где < ξ < ( ξ θ, < θ < ); в другой раз,! если данный числовой ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов (остаточный член ряда, ), сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией Примеры Вычислить si с точностью до, Воспользуемся разложением 7 si Для этого переведем!! 7! ( )! π градусную меру в радианную: Затем в разложении положим 8 π : 8 si π π π π Подсчитаем значение каждого 8 8 8! 8! π члена Имеем: 7 8, ; π,8 Абсолютное значение 8! второго члена меньше,, те,8 <, По теореме Лейбница для подсчета значений si π с заданной точностью Е, 8 достаточно взять один член, те si π, при этом совершим 8 погрешность меньше первого отброшенного члена по абсолютной величине r <,8 Вычислить e с точностью до - Имеем: e При получаем:!!! e e!! ( )! Это есть тот случай, когда полученный числовой ряд знакопостоянный и теорема Лейбница не применияется Поэтому оценим погрешность - -

25 ξ e приближения с помощью остаточного члена, именно: R,! ξ e < ξ < При имеем: R, < ξ <! Для достижения нужной нам точности потребуем, чтобы выполнялось неравенство R < Имеем: R e ξ! < e maξ! e <! e <! Заметим, что, начиная с!, < R Действительно, R < Следовательно, для 8 вычисления e с требуемой точностью надо взять : e,68!!!! Все слагаемые надо брать с точностью до -, чтобы при суммировании не получить погрешность превышающей - Оценить погрешность приближенного равенства e, < <!!! Здесь погрешность определяется суммой членов, следующих после R или ( )! ( )! ( )! :! R! ( )( ) ( )( )( ) Каждый из сомножителей в знаменателе,,, заменим меньшей величиной, получим неравенство: R <! ( ) ( ) - -

26 Или, суммируя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в скобках a, q, имеем: < R, те R <!! Для вычисления корней -й степени используется биноминальный m m( m ) m( m )( m ) ряд ( ) m!! Вычислить 8 с точностью до, 8 8 / здесь, m / Так как величина третьего члена <,, то для подсчета 6 8 данного корня с точностью до, достаточно взять сумму первых двух членов, так как первый отброшенный член по абсолютной величине a меньше, 6 Таким образом, 8,9 6 6 ) Интегрирование функции Для приближенного вычисления определенного интеграла подынтегральную функцию (или часть ее) представляют степенным рядом и полученный ряд интегрируют При этом следует учесть, что промежуток интегрирования должен содержаться в интервале сходимости степенного ряда (чтобы полученный ряд сходился равномерно на орезке интегрирования,, основные свойства степенного ряда) Оценка погрешности производится так же, как и при вычислении значений функции - 6 -

27 Вычислить с точностью до, интеграл e d Раскладывая подынтегральную функцию в ряд (, пример 6) и интегрируя почленно, получим: 6 8 e d d ,8 6 6 (ошибка не превосходит первого отброшенного члена, те <,) 6 ) Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений С помощью степенных рядов приближенно решаются некоторые классы нелинейных дифференциальных уравнений Одним из методов интегрирования таких уравнений является представление искомого решения в виде степенного ряда (способ неопределенных коэффициентов) Этот метод заключается в следующем Будем искать F, y, y, в виде степенного ряда решение уравнения y a a a a, где a неизвестные коэффициенты (,, ) Для определения коэффициентов,, a, разложения a a искомого решения подставляют ряд y a в заданное уравнение и проделывают все встречающиеся при этом операции над степенными рядами, после чего сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях уравнения В результате эти равенства вместе с начальными условиями образуют систему, из которой последовательно определяются коэффициенты a, a, a,, a, Как правило, этот процесс останавливают на каком-то шаге и получают тем самым приближенное решение y 6 Найти рушение уравнения y y, удовлетворяющее начальным условиям: y и y - 7 -

28 Решение ищем в виде y a a a a () a a a a a a ( ) a Имеем: y y находим y a, y Подставляя в данное уравнение вместо y и y их разложения, получаем тождество: a a ( ) a a a a a На основании начальных условий из ( ) и ( ) Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, находим: a, a, a,, ( ) a a,, следовательно, a, a, a 6, a 7 6 7, a 8, a 9, a 6 7 9,, a a, a, 6 7 ( ) Подставляя полученные значения коэффициентов в ( ), получим: 7 y ( ) С помощью признака Даламбера можно убедиться в том, что этот ряд сходится на всей числовой оси, значит, представляет искомое решение при всех Другой метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, метод последовательного дифференцирования, состоит в отыскании решения в виде ряда Маклорена или Тейлора в зависимости от заданных начальных условий 7 y y y e, y, y Имеем решение в виде ряда Маклорена y () y () y y( ) y() y ()!! Последовательно дифференцируя данное уравнение и учитывая начальные условия, получим: y, - 8 -

29 КРСУ Ишмахаметов К Кафедра Высшей математики y, y y y e, y, y y y y e, y, () () y y y y y e, y (), Ответ запишется в виде: y 6-9 -


5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Лекция 3. Представление функций степенными рядами

Лекция 3. Представление функций степенными рядами С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Представление функций степенными рядами Введение Представление функций степенными рядами оказывается полезным при решении следующих задач: - интегрирование функций

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд Степенные ряды Определения, теоремы и формулы для решения задач Определение Функциональный ряд ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 называется степенным рядом, числа R,,, называются коэффициентами степенного ряда

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Тортаева Н.Е., Ахметсабырова Н.К. Государственный университет имени Шакарима города Семей Семей, Казахстан SOME APPLICATION OF EXPONENTIAL SERIES Toraeva N.E., Akhmesabyrova

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Лекция Представление функций рядами Тейлора

Лекция Представление функций рядами Тейлора С А Лавренченко wwwlawreceoru Лекция Представление функций рядами Тейлора Один полезный предел На прошлой лекции была разработана следующая стратегия: по достаточному условию представимости функции рядом

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ПЛАН ЛЕКЦИИ Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВОЙ РЯД Бесконечная сумма чисел вида: а а а... а... 3 называется числовым

Подробнее

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти радиус сходимости степенного ряда, используя признак Даламбера: ( 89 ( ) n n (n!) ) p (n + )! n= Ряд Тейлора f(x)

Подробнее

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры }

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } {функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } Пусть задана бесконечная последовательность функций, Функциональные

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее