ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ) П К Маценко Л И Поленищенко Д В Айдаркин ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к решению задач -е издание, исправленное и дополненное Ульяновск 00

2 ББК В66я7 М 6 Маценко, П К Дифференциальные уравнения : метод указания к решению задач / П К Маценко, Л И Поленищенко, Д В Айдаркин -е изд, испр и доп Ульяновск : УВАУ ГА(И), с Изложена методика решения основных типов дифференциальных уравнений и систем Каждая глава начинается с алгоритма решения уравнения; затем приводится решение типовых задач и предлагается перечень задач с ответами для самостоятельного решения Также приведены варианты проверочных заданий При отборе задач была использована литература, приведенная в конце пособия Многие задачи составлены непосредственно авторами Предназначено для аудиторной и самостоятельной работы курсантов первого курса всех специальностей Печатается по решению Редсовета училища ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными ГЛАВА Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения, приводящиеся к однородным 7 ГЛАВА Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения Бернулли ГЛАВА Уравнения в полных дифференциалах 5 ГЛАВА 5 Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка 8 ГЛАВА 6 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами ГЛАВА 7 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Метод Лагранжа ГЛАВА 8 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью 6 ГЛАВА 9 Линейные дифференциальные системы с постоянными коэффициентами 0 Варианты заданий для самостоятельной работы Ответы 56 Библиографический список 60 Ульяновск, УВАУ ГА, 998 Ульяновск, УВАУ ГА(И), 00, с исправления и дополнениями

3 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач ГЛАВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид где P(), Q() известные функции P()Q(), () Итак, характерной особенностью уравнения с разделяющимися переменными является то, что его правую часть можно представить в виде произведения (или частного) двух функций, одна из которых зависит только от, другая только от Для решения уравнения () необходимо производную представить в виде отношения дифференциалов d ' и разделить переменные в исход- d ном уравнении, те преобразовать уравнение () следующим образом: d d P()Q(), d Q() P()d Затем левую часть полученного уравнения следует проинтегрировать по, правую по В результате получим решение исходного уравнения в виде общего интеграла d Q( ) P( ) d () Замечание Следует помнить, что общее решение дифференциального уравнения первого порядка должно содержать ровно одну произвольную константу Поэтому в () обе константы интегрирования нужно объединить в одну, а новую константу представить в таком виде, чтобы можно было максимально упростить () после нахождения интегралов Замечание При делении обеих частей уравнения () на Q() можно потерять некоторые его решения Поэтому отдельно следует рассмотреть случай Q() 0 При этом, если Q( 0 ) 0 для некоторого значения 0, то 0 тоже является решением уравнения () Если решение 0 нельзя получить из общего решения, то 0 является особым решением, и его нужно записать в ответ наряду с общим НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

4 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Замечание Помимо () уравнение с разделяющимися переменными может иметь вид: P ()Q ()d P ()Q ()d 0, () где P (), Q (), P (), Q () известные функции Для решения () обе его части делят на P ()Q () и второе слагаемое переносят вправо В результате получается уравнение Q ( ) P ( ) d d, Q ( ) P ( ) левую часть которого интегрируют по, правую по Пример Решить уравнение ( ) 0 Решение Если из уравнения выразить, то легко заметить, что правая часть полученного уравнения представляет произведение двух функций: P() и Q() Значит, исходное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными Разделим переменные по изложенному выше алгоритму Получим Но так как ( d ) d 0, ( )d d, d d d, d d ln C d ln( ) C то решение исходного уравнения примет вид где lnc (C C ) новая константа ln ln( ) lnc, ;, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

5 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Отсюда C ( ) или C( ), где C ± C При преобразовании уравнения нам пришлось делить обе его части на, поэтому согласно замечанию нужно проверить, будет ли 0 решением исходного уравнения Проверкой убеждаемся, что 0 решение исходного уравнения Но это решение можно получить из общего C( ) при C 0, значит, его в ответ отдельно записывать не нужно Ответ: C( ) Пример Найти частное решение уравнения ( )d ( )d 0, удовлетворяющее начальному условию () Решение Исходное уравнение преобразуется так: ( )d ( )d 0 Это уравнение с разделяющимися переменными типа () Разделим переменные, для этого обе части уравнения делим на и второе слагаемое переносим вправо Затем интегрируем левую часть уравнения по, правую по Получаем d d, d d, d d, ln ln lnc, где lnc C C Преобразуем полученное решение ln(c ), C e ( ), C e ( ), где C ± C Найдем константу C в общем решении, для этого положим, Тогда C e 0, и частное решение имеет вид: e ( ) НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 5

6 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Заметим, что при преобразовании уравнения нам пришлось делить обе его части на Однако 0 или 0 не удовлетворяют начальному условию при, поэтому потери нужных решений не произошло Ответ: e ( ) Решить дифференциальные уравнения cos d d d d d d d 5 d ctg d d d ( ) ( ) 0 8 ( ) d ( ) d 0 9 sin cos d cos sin d ( e ) d e d ( e ) d e d 0 5 ln 0 6 ( ) e 0 7 e cos Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям 9 d d d d, () 0 ( e 8) d e d, (0) 0, (0) ( ln) 0, () ( ) d d 0, (0) НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 6

7 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач ГЛАВА ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть приведено к виду ' f () Однородное уравнение () решается с помощью подстановки Отсюда, ( ) и уравнение () примет вид f (), f () Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, метод решения которого изложен в главе f Замечание Уравнение вида a b ' f равносильно уравнению a b a b /, поэтому тоже является однородным a b / Замечание Если a b a b 0, то уравнение a b c ' f () a b c приводится к однородному с помощью замены: t α, β, причем константы α и β определяются из системы уравнений Если же a b a b 0, т е a a aα bβ c aα bβ c 0, 0 () b k, то сделав в уравнении () за- b мену a b, получим вместо () уравнение с разделяющимися переменными k c ' a b f c НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 7

8 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Пример Найти общее решение уравнения ' tg Решение Выразив из исходного уравнения, получим однородное уравнение Сделаем замену Уравнение примет вид: tg, tg ' tg ; это, отсюда, Решаем последнее уравнение, которое является уравнением с разделяющимися переменными d d tg, ctg()d d, d ctg ()d, ln sin ln lnc, C sin Сделав обратную подстановку, получим общее решение уравнения C sin При преобразовании уравнения нам пришлось обе его части делить на tg(), поэтому мы могли потерять решение tg() 0, т е πn, n 0, ±, ±,, т е πn Это решение получается из общего при C 0 Ответ: C sin Пример Решить уравнение d d 6 Решение Мы имеем уравнение () при a, b, c 6, a, b, c Так как a b a b 0, то в исходном уравнении сделаем замену t α, β НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 8

9 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Система уравнений () для определения α и β имеет вид: α β 6 0, α β 0, откуда α, β Итак, в исходном уравнении делается замена t, При этом исходное уравнение примет вид: d dt d dt t, t / t / t Полученное уравнение является однородным, поэтому в уравнении делаем замену /t u Отсюда tu, u t u, и уравнение преобразуется так: u u tu, u u tu u Разделим переменные в полученном уравнении, затем интегрируем обе части уравнения du t dt u, u u du u u dt du u t Левый интеграл находим методом неопределенных коэффициентов du du du 0,5 ln u 0,75 ln u 0,5 dt t u 0,5 0,75 u u u В итоге решение уравнения будет иметь вид 0,5ln u 0,75ln u 0,5ln C ln t, ln t ln u ln u lnc, t ( u )( u ) C, t ( u )( u ) C, где С ±С Сделаем обратную замену u /t, получим, lnc НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 9

10 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач t C, t t ( t)( t) C Наконец, подставим t,, получим ( )( ) C Заметим, что при решении уравнения () мы делили обе его части на (u ); значит, мы могли потерять решение (u )(u ) 0, что равносильно решению ( t)( t) 0 или ( )( ) 0 Однако это решение получается из общего при C 0 Ответ: ( )( ) C Найти общие решения дифференциальных уравнений sec sin sin ( ) d d d d d 7 ( ) d d 8 ( ) d d 9 ( ) d ( ) d d ( ) d 0 ( ) ( ) d ( ) d 0 Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих данным начальным условиям 9 ( ) d d 0, (0,5) 0 0, () 0 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 0

11 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач 6, (), (), () ГЛАВА ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида P() Q() () Решение уравнения () следует искать в виде u()v(), где u(), v() неизвестные пока функции Находят Уравнение () принимает вид: u v uv и подставляют в () u v uv P()uv Q() Группируют в левой части уравнения второе и третье слагаемое, получают u v u( v P( ) v) Q( ) () Функцию v v() выбирают так, чтобы скобка в () обращалась в ноль; для этого следует решить уравнение: v P()v 0, которое является уравнением с разделяющимися переменными Его решением будет функция P( ) d v( ) e () с нулевой константой интегрирования При подстановке функции () в уравнение () последнее принимает вид^ u v() Q(), u Q( ), v( ) Q( ) u d C v( ) Наконец, находят решение исходного уравнения Q( ) u()v() d C e v( ) P( ) d НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

12 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Уравнение Бернулли имеет вид где α вещественный параметр, причем α 0; P() Q() α, () Уравнение Бернулли решается аналогично линейному уравнению с помощью подстановки u()v() Пример Найти решение задачи Коши ( )e, (0) Решение Пусть u()v(), тогда преобразуется так: u v uv uv ( ) e, u v uv, и исходное уравнение u v u( v v) ( ) e (5) Приравняем к нулю скобку в (5), находим: v v 0, dv v, d dv d, v dv v d, ln v lnc, v ± Ce Положив ± C, получим частное решение v этого решения в (5) уравнение преобразуется так: u e ( ) u, u C e, e Значит, общее решение исходного уравнения: ( C) После подстановки e Чтобы найти частное решение, подставим 0, ; получим C Значит, искомое частное решение ( ) Ответ: ( ) e e НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

13 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Пример Найти общее решение уравнения cos cos Решение Это уравнение Бернулли с параметром α Решение уравнения ищем в виде u()v() Тогда u v uv, и исходное уравнение принимает вид: u v uv uvcos u v cos, u v u( v vcos ) u v cos (6) Приравниваем к нулю скобку в (6), получаем: dv d dv v dv v vcos, cos d, d cos, ln v sin lnc, v sin v ± Ce sin Полагая ±C, находим частное решение v e После подстановки sin e в уравнение (6) последнее преобразуется так: u e sin u e sin cos, u u e sin cos, du sin e cos d u, e u u sin C, sin ) ( C e Поэтому общее решение исходного уравнения будет иметь вид: Ответ: e sin C e sin u() v() e sin C e sin НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

14 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка e cos cos sin 5 ( ) 6 ln ln 7 8 ( ) 9 ln 0 ( ) cos cos ( )( ) e 5 ; (0) 5; ( 5) 50 5 ; (0) Решить уравнения Бернулли ln ( ) sin ; tg sin ; (0) ( 0) 5 0,5 e НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

15 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач 6 tg sin 0; (0) 7 cos 8 ( ) ( ) arctg 9 sin sin ; (0) 0 ctg cos ГЛАВА УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ Уравнение в полных дифференциалах имеет вид: P(,)d Q(,)d 0, () где P(,), Q(,) известные функции, удовлетворяющие условию Q P () Доказывается, что решение уравнения () представляется в виде общего интеграла u(,) C, в котором функция u(,) находится из системы уравнений u P(, ), () u Q(, ) Чтобы найти функцию u(,), интегрируют по первое уравнение системы () u(,) P (, ) d A( ), () где A() произвольная пока функция аргумента Чтобы найти A(), дифференцируют () по и результат дифференцирования приравнивают к Q(,) согласно второму уравнению системы () ( P(, ) d) A ( ) Q(, ) Из этого уравнения находят A() и подставляют A() в () Функция u(,) будет найдена с точностью до постоянного слагаемого С Обычно выбирают С 0 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 5

16 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач В некоторых случаях, когда уравнение () не является уравнением в полных дифференциалах, удается подобрать функцию µ(, ) такую, что после умножения на нее уравнения () это уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах Такая функция µ(, ) называется интегрирующим множителем При этом умножение на интегрирующий множитель может привести к появлению частных решений исходного уравнения т е, Пример Решить уравнение ( )d ( )d 0 Решение Так как ( ), ( ), ( ) ( ), то исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах Записываем систему () для нашего уравнения u, (6) u Интегрируем первое уравнение (6) по, получаем: u ( ) d A( ) (7) Дифференцируем (7) по и учитываем второе уравнение системы (6) Получаем: u A () Отсюда A (), A() (Здесь мы выбрали константу интегрирования С 0) Найденную функцию А() подставляем в (7) Получаем: u Значит, общий интеграл исходного уравнения имеет вид: C НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 6

17 Ответ: C Пример Найти общее решение уравнения ( ( ))d d 0 Решение Исходное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, так как ) ( )) ( ( Умножим обе части исходного уравнения на множитель µ, получим: 0 d d (8) Проверяем, будет ли (8) уравнением в полных дифференциалах Находим: ) (, ) ( Равенство производных означает, что (8) уравнение в полных дифференциалах Для отыскания функции u(,) составляем систему уравнений (6) Получаем:, u u (9) Из первого уравнения (9) находим: ) ( ) ln( A d u (0) Дифференцируя (0) по и учитывая второе уравнение (9), получаем: ) ( A u, ) ( A 0, А() С Полагаем С 0, получаем А() 0 Значит, согласно (0), ) ln( u Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 7

18 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Общее решение Ответ: C 0,5ln( ) 6 ln( ) C Решить дифференциальные уравнения ( )d ( )d 0 (sin sin e )d (cos cos)d 0 d d 0 d d d 5 sin( )d cos( )(d d) 0 6 tg d ctg d d d sin cos 7 ( )d ( e )d 0, при условии (0) 0 8 ( sin)d ( cos)d 0, при условии () 0 9 ln d d 5 sin5 d cos5 d, при условии (0) e 0 d d (d d)e 0, при условии (0) 0 Решить уравнения, имеющие интегрирующий множитель d d 0, µ ( )d d 0, µ d ( )d 0, µ ( )d d 0, µ e 5 d d ln d 0, µ ГЛАВА 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем виде записывается так: ( n ) ( n) F(,,,,, ) 0 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 8

19 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Известны три типа уравнений n-го порядка, допускающие понижение порядка Уравнение (n) f() характеризуется тем, что в его правой части содержится только переменная Это уравнение решается путем n-кратного интегрирования обеих частей Уравнение F(, отсутствуют члены, ( k), ( k ) ( k ),,,, ( n) ) 0 характеризуется тем, что в нем Путем подстановки ( n k) (k) это уравнение приводится к виду F(,,,, ) 0, те порядок уравнения понижается на k единиц Уравнение F(, ( n),, ) 0 характеризуется тем, что в нем отсутствует переменная Путем подстановок: p; dp p ; d d p dp p p ; (5) d d исходное уравнение приводится к уравнению (n )-го порядка относительно функции p p() Пример 5 Решить уравнение cos Решение Это уравнение первого типа, оно решается путем трехкратного интегрирования ( cos ) d sin C, ( sin C) d cos C C, ( cos C C ) d sin C C C ~ Ответ: sin C C C Пример 5 Найти общее решение уравнения 0 Решение В уравнении отсутствует, значит, это уравнение второго типа Делаем замену, тогда Исходное уравнение принимает вид: 0 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 9

20 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Полученное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными Решаем это уравнение: где d d d ; ; d ln ln ln C ; C ; C, C ± C Возвращаясь к переменной, получаем C ; отсюда C C, C C C 6 ~ Ответ: C C C Пример 5 Найти решение задачи Коши 0, (), () Решение В уравнении отсутствует независимая переменная, значит это уравнение третьего типа Согласно (5) делаем подстановку: p, dp p d dp Исходное уравнение примет вид p 0 Решаем полученное урав- d нение как уравнение с разделяющимися переменными dp p, d pdp d, p C Чтобы найти константу C, в полученное уравнение подставим началь- ные условия:, p при Будем иметь C, откуда C 0 Значит, исходное уравнение приводится к виду: p, ( ), ± С учетом начальных условий и при имеют один и тот же знак Следовательно,, d, d d, C d НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 0

21 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Чтобы найти C, подставляем,, получаем C, откуда С Значит,, ± С учетом начальных условий сле- дует оставить лишь знак, т е Ответ: Решить уравнения 5 e ( ) 0 5 ( ) 55 sin 56 ( ) ( ) ( ) e 50 5 ( ) tg 0 5 sin 55 ( ) 56 ( ) ( ) 57 () ( ) 58 tg 59 ( ) Найти решение задачи Коши 50, () 5, () 5, (0) 6, (0) 5 ( ), (), () () 5 ( ) ln, (0) (0) e НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

22 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Методику решения подобных уравнений разберем на примере уравнения второго порядка a a 0, (6) в котором α, α константы Для решения (6) составляется характеристическое уравнение λ a λ a 0 и находятся его корни λ,λ Возможны три случая Если корни, λ действительны и различны, то общее решение (6) имеет вид λ λ λ Ce Ce Если корни λ, λ действительны и кратны ( λ λ ), то общее решение имеет вид λ C e λ C e Если корни комплексны: λ, α ± iβ, то общее решение имеет вид: ( e α C cosβ C sin β ) Методика решения уравнения n-го порядка ( n) ( n ) a an a n 0, a,, a const, (6) повторяет методику решения уравнения (6) Также составляется характеристическое уравнение и находят его корни λ n λ,, n a λ an λ an 0, λ λn Если все корни характеристического уравнения действительны и различны, то общее решение (6) имеет вид λ λ λn C e Cne C e 5 Если некоторый корень λ k характеристического уравнения имеет кратность s, то ему в общем решении уравнения (6) должна соответствовать сумма НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

23 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач λ s e k ( C C C ) 6 Если среди корней характеристического уравнения имеется пара комплексно-сопряженных корней s λ α ± i β первой кратности, то им в общем решении уравнения (6) должна соответствовать сумма α e ( C cosβ C sin β ) 7 Если среди корней характеристического уравнения имеется пара комплексно-сопряженных корней λ α ± i β кратности s, то им в общем решении уравнения (6) должна соответствовать сумма α e ( C cosβ C sinβ ( C cosβ C sinβ) ) s Пример 6 Найти общее решение уравнения Решение Составляем характеристическое уравнение λ 6λ 8 0 Его корни λ, λ действительны и различны Поэтому, согласно п общее решение имеет вид Ответ: C e C e C e C e Пример 6 Найти общее решение уравнения 0 Решение Составляем характеристическое уравнение λ λ 0 Его корни λ λ кратны Поэтому, согласно п общее решение имеет вид ( e C C ) ( Ответ: e C C ) Пример 6 Найти общее решение уравнения 6 0 Решение Составляем характеристическое уравнение λ 6λ 0 Его корни λ i комплексны Поэтому, согласно п общее решение, ± ( имеет вид e C cos C sin ) ( Ответ: e C cos C sin ) Пример 6 Найти общее решение уравнения ( 7 ) ( 5 ) 0 Решение Составляем характеристическое уравнение λ7 λ5 λ 0, которое равносильно уравнению λ ( λ ) 0 Корни уравнения: s s НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

24 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач λ λ λ 0, λ,5 λ6, 7 ± i Поэтому, с учетом п 5, п 6 общее решение исходного уравнения получаем в виде C C C C cos C5 sin ( C6 cos C7 sin Ответ: C C C C cos C5 sin ( C6 cos C7 sin ) ) Найти общие решения уравнений ( ) ( ) ( ) 0 66 ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( 6) , если (0), (0) , если (0) 0, (0) 6 0 0, если (0), (0) 0 () 6 0, если (0), (0), (0), ( 0) 8 ГЛАВА 7 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОД ЛАГРАНЖА Методику решения этого класса уравнений рассмотрим на примере уравнения второго порядка a a f ( ), (7) где α, α константы, f() известная функция НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

25 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Общее решение уравнения (7) ищется в виде ( ) ( ), где 0 * () какое-либо частное решение уравнения (7), а 0 () общее решение соответствующего однородного уравнения a a 0 Методика отыскания общего решения 0 () изложена в главе 6 Для отыскания частного решения * () можно использовать так называемый метод Лагранжа вариации произвольных постоянных Суть метода состоит в следующем Сначала находится общее решение 0 () соответствующего однородного уравнения: ) C ( ) C ( ) Тогда частное решение * () ищется в виде 0 ( C( ) ( ) C ( ) ( ), (7) где C (), C () функции, являющиеся решением системы уравнений C ( ) ( ) C ( ) ( ) 0, C ( ) ( ) C ( ) ( ) f ( ) Пример 7 Найти общее решение уравнения cos (7) Решение Находим общее решение однородного уравнения 0 Характеристическое уравнение λ 0 имеет корни λ, ± i Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид: C cos C sin 0 Частное решение неоднородного уравнения согласно (7) ищем в виде C ( )cos C ( ) sin (7) Для отыскания C (), C () составляем систему (7) C ( )cos C ( )sin 0, C ( )( sin ) C ( )cos Эту систему решаем по формулам Крамера cos sin sin cos, cos 0 sin sin, cos cos cos НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 5

26 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач cos sin 0 cos sin C ( ), cos C ( ) sin Далее находим C ( ) d ln cos, C ( ) d При этом cos константы интегрирования полагаем равными нулю Теперь (см (7)) будем иметь ln cos cos sin, Значит, общее решение исходного уравнения имеет вид: Ответ: 0 C cos C sin ln cos cos sin 0 C cos C sin ln cos cos sin Найти общее решение уравнений 7 cos e sin 6 8 6e 76 sin e 78 e ctg e ГЛАВА 8 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯС ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ Методику решения подобных уравнений рассмотрим на примере уравнения второго порядка a a f ( ) (8) НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 6

27 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Это уравнение мы уже решали в главе 7 Однако метод Лагранжа, который использовался в главе 7 для отыскания частного решения * (), весьма трудоемок Сейчас мы рассмотрим методику отыскания * () для некоторых частных случаев более простым способом Решение уравнения, как обычно, начинают с поиска корней λ,λ характеристического уравнения λ a λ a 0 Затем вид частного решения * () определяют по виду правой части f() Возможны несколько случаев Если f() P m (), где P m () a 0 m a m a m a m многочлен степени m, то частное решение ищется в виде Qm (), где Q m () многочлен той же степени m, то есть S m m ( A0 A Am Am ), (8) где A 0, A,, Am неизвестные пока коэффициенты; s кратность нуля как корня характеристического уравнения Например, Q 0 () A, Q () A B, Q () A B C Чтобы найти А, В, С или A 0, A,, Am, подставляют (8) в уравнение (8) и приравнивают коэффициенты перед одинаковыми степенями ; в результате получают систему линейных алгебраических уравнений относительно A 0, A,, Am, которую затем решают Если f() e α (a 0 m a m am am), то частное решение ищется в виде: α S m m e ( A0 A Am Am ), где A 0, A,, Am неизвестные пока коэффициенты; s кратность α как корня характеристического уравнения Если f() Pm()cosβ Qm()sinβ, где Pm(), Qm() многочлены степени m, то частное решение ищется в виде: S m [( A0 Am )cosβ ( B0 Bm )sinβ], где A 0,, Am, B 0,, Bm неизвестные пока коэффициенты; s кратность i β как корня характеристического уравнения Если f () m e α [Pm()cosβ Qm()sinβ ], где Pm(), Qm() многочлены степени m, то частное решение ищется в виде: e α S m [( A0 Am )cosβ ( B0 Bm )sinβ], m S НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 7

28 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач где A 0,, Am, B 0,, Bm неизвестные пока коэффициенты; s кратность α iβ как корня характеристического уравнения При отыскании частного решения, зачастую, весьма полезным бывает следующее «правило наложения» Если *, и *, частные решения уравнения (8) для f f () и f f () соответственно, то функция * () *, *, является частным решением уравнения (8) с правой частью f f () f () Пример 8 Найти общее решение уравнения Решение Составляем характеристическое уравнение λ 0 λ и находим его корни λ 0, λ Значит, однородное уравнение имеет общее решение C Ce Так как в правой части исходного уравнения стоит многочлен первой степени и ноль является корнем характеристического уравнения кратности s, то согласно п частное решение ищем в виде * (A B) A B Находим A B, A и подставляем в исходное уравнение Получаем: A (A B), A (A B) Из последнего равенства следует A, A B ; значит, A 0,5; B Итак, частное решение * 0,5 Тогда общее решение имеет вид Ответ: C Ce 0,5 0 C C e 0,5 Пример 8 Найти общее решение уравнения ( ) e Решение Составляем характеристическое уравнение λ λ 0 и находим его корни λ λ Значит, однородное уравнение имеет решение C e C e Так как в правой части уравнения стоит произведение многочлена (первого порядка) и экспоненты e, причем α является корнем характеристического уравнения кратности, то согласно п частное решение уравнения ищем в виде: * (A B)e (A B )e Находим: НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 8

29 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач (A (B A) B)e, (A (B 6A) (B 6A) B)e и подставляем в исходное уравнение Получаем: (A (B 6A) (B 6A) B)e (A (B A) B)e (A B )e ( )e, A (B 6A) (B 6A) B - A - (B A) B A B, 6A B Из последнего равенства 6A, B, значит, B, A Итак, частное решение * ( )e Тогда общее решение имеет вид: Ответ: (C C )e C e C e ( )e Пример 8 Найти общее решение уравнения cos Решение Составляем характеристическое уравнение λ λ 0 и находим его корни λ, λ Значит, однородное уравнение имеет решение C e C e Так как в правой части уравнения стоит cos, и число i не является корнем характеристического уравнения, то согласно п частное решение уравнения ищем в виде * Acos Bsin Находим: Asin Bcos, Acos Bsin и подставляем в исходное уравнение Получаем: Acos Bsin ( Asin Bcos) (Acos Bsin) cos (A B)cos (A B)sin cos Приравнивая коэффициенты перед cos и sin, получаем систему уравнений A B, A B 0, НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 9

30 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач из которой A 0,; B 0, Итак, частное решение * 0,cos 0,sin Тогда общее решение имеет вид C e C e 0,cos 0,sin Ответ: C e C e 0,cos 0,sin Решить уравнения e e 86 ( ) e e 9 6e e 80 6e 8 0 8e e e 85 e 86 e 87 cos sin 88 sin 89 (6 )cos sin e cos 8 e sin 8 5e sin 8 5 5e ГЛАВА 9 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Методику решения линейных дифференциальных систем рассмотрим на примере системы из двух уравнений a a b f ( ), (9) b g( ) НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 0

31 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Сначала дифференцируют первое уравнение системы (9) по : a b f ( ) В полученное уравнение подставляют вместо правую часть второго уравнения системы (9) Получают: a b a b g( )) f ( ), ( a b a b b b g( ) f ( ) (9) Далее из первого уравнения исходной системы выражают a f ( ) (9) b b b и подставляют (9) в уравнение (9) В результате получают дифференциальное уравнение второго порядка относительно : (a b ) (b a a b ) f ( ) b f() b g() (9) Уравнение (9) решается методами, изложенными в главах 6,7,8 После решения уравнения (9) находят функцию () по формуле (9) Замечание Рассмотренная выше процедура применима лишь при b 0 Если b 0, но a 0, то решение системы (9) начинают с дифференцирования второго уравнения системы (9) и последующего выражения из второго уравнения системы Если же одновременно a b 0, то система (9) распадается на два независимых друг от друга уравнения, каждое из которых является линейным первого порядка, а значит, решается методом, изложенным в главе Пример 9 Решить дифференциальную систему,,5 Решение Дифференцируем по первое уравнение системы Отсюда с учетом второго уравнения системы получаем: (,5 ), 6 (95) Из первого уравнения исходной системы выразим (96) НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

32 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач и подставим в уравнение (95) Получаем уравнение: 6, 6 6 (97) Для решения (97) составляем характеристическое уравнение λ λ 6 0 и находим его корни λ, λ Тогда общее решение однородного уравнения, соответствующего (97), имеет вид: Частное решение уравнения (97) ищем в виде: 0 C e C e A B, A и подставляем в уравнение (97) Отсюда A (A B) 6(A B C) 6 A B C Находим 6A 6, A 6B, A B 6C, т е A, B, C 0 Значит, Итак, общее решение уравнения (97) имеет вид: 0 Ce Ce Подставив найденное в формулу (96), получим Ce Ce ( C e Ответ: C e ) ( Ce Ce C e Ce ; C e Ce ) Решить системы уравнений d, 9 d d 9 d 9 5, d, 9 d d d 9, 8 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

33 95, 96 ), ( 97, e e 98 sin, e 99, sin 90, 9 cos, sin 9,, u u Найти частные решения систем уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям 9,, если (0), (0) 9,,, если (0), (0) 95,, e если (0) 0, (0) ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Самостоятельная работа Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение, в задаче найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям Вариант ) (,, 0 ) ( d e d e Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

34 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач 5 e Вариант ( 5) d ( ) d 0,, 0 e d 0 d 5 d ( ) d Вариант ( e ) d π e sin d 0, 0, cos ( ) d (8 e ) d 0 ln 0 5 cos sin Вариант ln, e, cos ( tg ) 0 cos d d 5 Вариант 5 d d d,, 6 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

35 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач e ( ) d ( ) d 0 5 Вариант 6 d d d,, ( ln ln ) e 0 d d 5 Вариант 7 ( )( ) d d 0, 0, tg cos e d ( e ) d 0 5 Вариант 8 d d 0,, 0 0 d d НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 5

36 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач 5 Вариант 9 d d d d,, 0 ( 6 ) d ( ) d 0 5 sin cos Вариант 0 ( ) d d 0, 0, 9 d ( ) d 0 d d 5 d 0 d Вариант d d d,, 0 tg cos ( ) e d d 0 5 ( ) Вариант ( ) d ( ) d 0, 0, 0 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 6

37 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач d ( ) d 0 cos 5 Вариант 0, 0, e 0 5 d d 0 Вариант ( e 5) d e d 0, 0, e d ( cos e ) d 0 5 sin Вариант 5 0, 0, 0 d d d e ( ) d ( ) d 0 5 tg cos 0 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 7

38 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Вариант 6 d d d d,, 5 tg ln ( ) 5 (5 ) d (5 ) d 0 Вариант 7 ( ) d d 0,, 0 ( ) d d 0 ( cos ) d ( e ) d 0 ( ) ln 5 Вариант 8 d d d,, 0 ( ) d d 0 ( ) (cos( ) sin ) d cos( ) d ( 5) Вариант 9 d π tg d 0,, cos ( ) d d 0 ( ) d ( ) d 0 5 Вариант 0 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 8

39 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач d ( ) d d, 0, ( ) d d ( ) sin sin d cos cos d 0 5 ( ) Вариант cos d sin d sin d,, 0 ( ) ( ) 5 (0 8 ) d (5 8 ) d 0 Вариант ( e ) e, 0, 0 0 sin 0 d d 5 Вариант ( ) d ( ) d 0,, ( ) ( e ) d e d 0 ( ) ln 5 ( ) d d 0 Вариант НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 9

40 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач d d d,, 0 ctg sin d d d d d 0 d 5 Вариант 5 d d d,, cos e d ( e ) d 0 5 Вариант 6 d ( ) d 0, 0, e cos d ( sin ) d 0 d 0 d 5 e Вариант 7 d ( ) d 0, 0, 0 6 ( ) d d 0 ( sin cos( )) d cos( ) d Вариант 8 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 0

41 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач ( ) d ( ) d 0, 0, cos cos ( ) d ( ) d 0 (5 ) d ( ) d 0 5 ( ) Вариант 9 d e d e d e d,, 0 ( cos cos e ) d (sin sin ) d 0 d d 5 ( ) Вариант 0 d ln d 0,, ( ) d ( ) d 0 e 5 cos 5 0 d d Самостоятельная работа Решить дифференциальные уравнения, понизив порядок Вариант 5 ( ln ln ) ( ), () 0, () НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

42 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Вариант e ( ) π tg, (0,5), (0,5) Вариант 5 7 ln ( ) 0, (0), (0) Вариант 5 ( ), () 0, () Вариант 5 6 ( ) 0,, Вариант 6 ctg sin (), (0), (0) Вариант 7 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

43 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач 5 7 ( ) ( ), () 0, () Вариант 8 5 tg ( ) 0, ( ), ( ) Вариант ( ) 0 ( ) ( ), (0), (0) Вариант 0 6 ( ) 0, (), () 0 Вариант 8, (0), (0) Вариант НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

44 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач 0, (0), (0) Вариант 5 ( ) ( ) 0, (0), (0) Вариант 5 5 sin cos 0, (0), (0) 0 Вариант 5 5 0, (ln8), (ln8) Вариант π sin cos, (), () Вариант НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г

45 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач 0, (), () Вариант , (), () Вариант ( 5) ( ), (), () Вариант e, (0), (0) 0 Вариант 9 7 ( ) ( ) ( ), (), () 0 Вариант ctg 0 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 5

46 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач ( ) ( ), (), () 0 Вариант 7 8 7, (0), (0) Вариант 8 9 tg , (0) 0, (0) Вариант ( ) 0, ( ), ( ) Вариант 6 tg sin e, ( ), ( ) 0 Вариант ( sin ) cos ( ) 0, (), () Вариант 8 8 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 6

47 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач 0 π sin, ( ln ), ( ln ) Вариант ( ) ( ) ( ), (0), (0) Вариант 0 5 ( ) ctg ( ) 0, (0), (0) Самостоятельная работа Задание Найти общие решения уравнений вида a b c 0, если: a, b 8, c 6; 6 a, b, c 0; a, b, c 0; 7 a, b, c ; a, b 7, c 6; 8 a, b, c ; a, b 0, c 9; 9 a, b, c ; 5 a, b 6, c ; 0 a, b, c 5; 6 a, b 0, c 00; a, b, c ; 7 a, b 6, c 8; a, b 5, c 0; 8 a, b, c 0; a, b, c 6; 9 a, b, c 0 a, b 7, c 6; 0 a, b, c 0; 5 a, b 0, c 6; a, b 5, c 0; 6 a, b 0, c 6; a, b 6, c 9; 7 a, b, c ; a, b, c ; 8 a, b, c 9; a, b 9, c 8; 9 a, b, c ; НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 7

48 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач 5 a, b, c 9; 0 a, b 0, c 8 Задание Найти частные решения уравнений вида p q 0, удовлетворяющие указанным начальным условиям 0, 0 при 0, если: p 6, q ; при х 0, ' 0; p 8, q 6; при х 0 0, ' ; p 0, q 9; при х 0, ' 0; p, q 0; при х 0, ' ; 5 p 0, q 9; при х 0 7, ' 0; 6 p, q ; при х 0, ' 0; 7 p 0, q 6; при х 0, ' ; 8 p, q 5; при х 0, ' 0; 9 p, q ; при х 0 0, ' ; 0 p 0, q ; при х 0, ' ; p, q ; при х 0 0, ' ; p, q ; при х 0, ' ; p 0, q ; при х 0, ' ; p 0, q 9; при х 0 0, ' 7; 5 p, q ; при х 0, ' ; 6 p 0, q ; при х 0 0, ' ; 7 p, q 0; при х 0, ' ; 8 p, q 0; при х 0, ' 0; 9 p 0, q 8; при х 0 0, ' 9; 0 p 0, q 6; при х 0 8, ' 0; p 0, q 8; при х 0 0, ' 9; p, q ; при х 0, ' 0; p 0, q 6; при х 0 0, ' 6; p 0, q 5; при х 0 5, ' 0; 5 p 7, q ; при х 0, ' 0; 6 p, q 0; при х 0, ' 0; 7 p, q 0; при х 0, ' 0; 8 p 0, q 00; при х 0 0, ' 0; 9 p, q 9; при х 0, ' 0; НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 8

49 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач 0 p 9, q 8; при х 0 0, ' Самостоятельная работа Указать вид частных решений для данных неоднородных уравнений Вариант f(), если f() равна: а) ; б) 5 ; в) e 5 g(), если g() равна: а) 0sin; б) cos5 Вариант 00 f(), если f() равна: а) e ; б) ; в) e 0 e 0 00 g(), если g() равна: а) cos; б) 5sin0 Вариант f(), если f() равна: а) 5 ; б) e ; в) 7 g(), если g() равна: а) 7sin; б) cos sin Вариант 6 f(), если f() равна: а) 8; б) e ; в) 5 6 g(), если g() равна: а) cos sin; б) sin Вариант 5 e 9 f(), если f() равна: а) 5; б) e ; в) e 9 g(), если g() равна: а) sin; б) sin cos Вариант 6 5 f(), если f() равна: а) 5; б) e 5 ; в) 6 g(), если g() равна: а) 8cos sin; б) sin8 Вариант 7 e 5 e f(), если f() равна: а) ; б) e ; в) 5 5 g(), если g() равна: а) 5cos; б) sin5 Вариант 8 f(), если f() равна: а) 5; б) e ; в) 7 g(), если g() равна: а) 7sin; б) cos sin e НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 9

50 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Вариант 9 f(), если f() равна: а) e ; б) ; в) e 8 g(), если g() равна: а) 9cos; б) sin9 Вариант 0 5 f(), если f() равна: а) ; б) 5e ; в) 5 g(), если g() равна: а) sin5 cos5; б) cos sin Вариант 6 8 f(), если f() равна: а) e ; б) ( ) e ; в) 5e 9 g(), если g() равна: а) sin; б) cos sin Вариант f(), если f() равна: а) х; б) e ; в) e g(), если g() равна: а) cos; б) 5sin Вариант f(), если f() равна: а) e ; б) ; в) 0 9 g(), если g() равна: а) 7sin cos; б) cos7 Вариант f(), если f() равна: а) 7 ; б) e ; в) 7 g(), если g() равна: а) cos sin; б) 5sin Вариант 5 7 f(), если f() равна: а) 5 ; б) e ; в) e 00 g(), если g() равна: а) 0sin; б) cos0 sin0 Вариант 6 9 f(), если f() равна: а) ; б) e 7 ; в) 7 5 g(), если g() равна: а) cos; б) sin cos Вариант 7 0 f(), если f() равна: а) 5; б) ; в) e 6 g(), если g() равна: а) 6sin; б) cos6 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 50

51 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Вариант 8 f(), если f() равна: а) ; б) e ; в) 5e g(), если g() равна: а) cos; б) sin Вариант 9 f(), если f() равна: а) 5 ; б) e ; в) 6 g(), если g() равна: а) 8sin; б) cos8 sin8 Вариант f(), если f() равна: а) 7e ; б) e ; в) e 5 g(), если g() равна: а) cos sin; б) sin Вариант 6 9 f(), если f() равна: а) 5; б) e ; в) 8e g(), если g() равна: а) cos sin; б) cos Вариант f(), если f() равна: а) e ; б) 5e ; в) ( 8) e 6 g(), если g() равна: а) cos; б) sin cos Вариант 6 f(), если f() равна: а) 6 ; б) e 6 ; в) 6 g(), если g() равна: а) cos sin; б) 7sin6 Вариант f(), если f() равна: а) e ; б) ( ) e ; в) g(), если g() равна: а) 7cos; б) sin7 Вариант 5 f(), если f() равна: а) e ; б) e ; в) e g(), если g() равна: а) sin; б) cos sin Вариант 6 f(), если f() равна: а) e ; б) 6 5; в) e g(), если g() равна: а) sin; б) sin НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 5

52 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Вариант 7 7 f(), если f() равна: а) e ; б) e ; в) e g(), если g() равна: а) cos sin; б) sin Вариант 8 f(), если f() равна: а) ; б) e ; в) g(), если g() равна: а) sin; б) cos Вариант 9 sin 8 f(), если f() равна: а) ; б) e ; в) e 9 g(), если g() равна: а) Вариант 0 cos; б) sin 0 5 f(), если f() равна: а) ; б) e ; в) e 5 5 g(), если g() равна: а) sin5 cos5; б) 5cos 5 Самостоятельная работа 5 В задачах и найти общие решения уравнений, в задаче решить систему дифференциальных уравнений методом исключения Вариант sin, 6 Вариант 5 sin cos Вариант 6 9 e cos, Вариант 6 e cos sin НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 5

53 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач, 5 Вариант e cos5 5, 5 Вариант e sin, Вариант e sin 5, Вариант 0 e 6 sin cos 6, Вариант 5 e cos sin, 6 Вариант sin cos, Вариант cos, 8 Вариант cos 7, 5 Вариант 9 e 7 sin, Вариант e cos НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 5

54 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В 7, 6 Вариант cos sin 8, Вариант cos sin, Вариант sin cos, Вариант e sin cos, Вариант 0 7 cos5 sin 5 5, Вариант 6 6 0e sin cos, 6 Вариант 8 e 5 0cos5, 5 Вариант 0 8e 6 8 5sin, 5 Вариант 8 6 cos 5, Вариант 6 0e ; Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 5

55 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В, Вариант 5 5e sin cos 6, 9 Вариант cos sin, Вариант 9 0 e sin cos 5, sin ;, 0 6 Вариант 6 e cos, Вариант 8 6 cos, Вариант e 7sin 5, 5 Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Тренировочный вариант контрольной работы Найти частное решение дифференциального уравнения, если при Найти общее решение уравнения tg ctg Найти общее решение уравненя ( ) 0 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 55

56 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Найти общее решение уравнения 8 5 По заданным начальным условиям определить частное решение уравнения 6 0, если 8, 0 при 0 6 Решить уравнение 5 7 Решить уравнение sin d 8, 8 Решить систему дифференциальных уравнений d d 0 d ОТВЕТЫ Глава ; 0 C C( ) arctg C sin C 5 Csin 6 C 7 ln ln C 8 ( ) ( ) C 9 cos Ccos 0 arctg C arcsin C ln( e ) C C ( e ) C 5 C / е, 0 6 e e ) C ( 7 e ( ) C 8 sin cos C 9 ( ) ( ) 0 e 8 arcsin ( ln) arctg 6 5 Глава ln C sin ln C ln C cos C 6 ln C 7 arctg ln C 8 ( ) ln C ln C 9 ( ) C 0 C ( ln C) C НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 56

57 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач C arctg ln C 5 C 6 ( ) ln C 7 ln C 8 8 C 9 ln 0 arctg ln 0 ( Глава ) ; > 0 8 ( C)e C (sin C) C cos sin 5 C 6 C ln ( ) 7 9 ln C 0 ( arcsin) arctg C e ; < ( C 8 ( ) ( C) sin Ce 7 (ln C) ; 0 8 C Ce 0 ( )(cos ) ( e C) ; 0 6 e ( C) ; 0 e 5 ) 5 C ln e ( ) ; 0 ln C 0,5 ( Ce ) ; 0 ; 0 cos C sec 7 cos (tg ) 8 ( )(arctg C) 9 0 sin C sin Глава ( tg ln cos C) C sin cos e C C C 5 sin( ) C 6 tg ctg C 7 e 8 sin 9 ln cos5 e 0 e C C ln C e e C 5 C ln НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 57

58 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Глава 5 5 e C C 5 C C 5 ln C C 5 C cos( C) 55 (C sin ) cos C 56 ln C C ( C ) C 59 5 e 8 (ln C) C C C C 50 C 5 C C C 5 C ln C 5 C ln( C) 5 C ctg C cos 5 C ln C C 55 arcsin C arcsin C C 56 C ( C ) ln C ( ) 57 C C 58 C cos 8 6 C C C 59 C arctg C 50 ln 5 ( 0,75 0,5) 5 Глава 6 6 C e Ce 6 Ce C sin ± ln e C e 6 e С C ) 6 C cos5 ( C e C e 66 e C cos C sin ) 67 e С C ) ( 68 e C cos C sin ) 69 6 ( C C C ) e 6 C ( e C e 0,5 ( 60 e C cos C sin C C e C e 6 C e C e Ce Ce 6 C cos C sin C cos C sin 65 ( C C ) e 5 5 ( C C ) e 66 C e Ce C cos5 C sin 5 67 C e ( C C) e 68 C cos C sin ( C cos C sin ) 69 C C C C e ( C cos C5 sin ) 60 e C C C e cos sin e C sin ) 6 e e 6 e 5 6 e ( cos e ( 5 cos C6 sin ) 6 e e cos sin НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 58

59 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Глава 7 cos sin 7 C cos C sin cos sin 7 C cos C sin cos sin ln sin 7 Ce Ce e e 7 C e C e e 75 C cos C sin cos 76 C e C e sin sin 77 C C e ln( e ) e ln( e ) 78 C e C e ln 79 ln( ) Ce Ce e e e e arctg( e ) ln 70 C cos C sin sin ln tg Глава 8 8 C e C e 8 C e C e 8 C C e C ) e C e ( C e 87 C sin e 89 ) e C C C 7 Ce e 85 e Ce ( C e C ) e Ce e 88 C cos e ( C cos C sin ) 0, e 80 ( C C 5 Ce Ce C e C e ( C e ) e 86 e 8 8 C 6 Ce e C e 7 5 Ce e C e C Ce e 87 C e C e sin 88 C cos C sin cos 89 C cos C sin sin ( ) cos 80 ( C C ) e 8 e C e C ( sin cos ) 8 e C cos C sin ) e cos 8 C e C cos C sin e sin 8 ( C e 5 C e 5 5 e НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 59

60 Маценко П К, Поленищенко Л И, Айдаркин Д В Дифференциальные уравнения Метод указания к решению задач Глава 9 9 C cos C sin, C sin C cos 9 C e C, C e 9 C e 5, C e 9 C e C e, C e (C cos C sin), e [(C C )cos (C C )sin] 96 C e C e C e 97 Ce e C e, 98 C e e, C e cos sin 99 C e 95 e C e C C e, Ce e C e e cos sin, C e C e sin 90 Ce, C e Ce 9 C cos C sin cos, C sin C cos sin 9 C e C cos C sin, (C C )cos (C C )sin, u C e C sin C cos 9 9 e e, e e 95 e e, e e e, e БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Гусак, А А Пособие к решению задач по высшей математике / А А Гусак Минск : БГУ, 97 Давыдов, Н А Сборник задач по математическому анализу / Н А Давыдов, П Н Коровкин, В Н Никольский М : Просвещение 97 Данко, П Е Высшая математика в упражнениях и задачах : в ч / П Е Данко, А Т Попов, Е Я Кожевникова М : Высшая школа, 986 Демидович, Б П Краткий курс высшей математики : учеб пособие для вузов / Б П Демидович, В А Кудрявцев М : ООО «Издательство Астрель», 00 5 Запорожец, Г И Руководство к решению задач по математическому анализу / Г И Запорожец М : Высшая школа, Кузнецов, Л А Сборник заданий по высшей математике Типовые расчеты / Л А Кузнецов М : Высшая школа, 986 НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 0 г 60

61 Методические указания к решению задач МАЦЕНКО ПЕТР КОНСТАНТИНОВИЧ ПОЛЕНИЩЕНКО ЛИДИЯ ИВАНОВНА АЙДАРКИН ДМИТРИЙ ВИКТОРОВИЧ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -е издание, исправленное и дополненное Редактор Т Е Мещерякова Компьютерная верстка И А Ерёмина Разработчик электронного учебника НВ Цысс Подписано в печать 00 Формат 60 90/6 Бумага офсетная Печать трафаретная Усл печ л,75 Уч-изд л,9 Тираж Заказ РИО и типография УВАУ ГА(И) 07, г Ульяновск, ул Можайского, 8/8


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение ( n ) ( n) F (, y,,, y, y ) = 0, () где

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://elibrarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Методические рекомендации Министерство образования и науки Российской федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Филиал в г Аше Кафедра «Общенаучные и общетехнические дисциплины» 579(07)

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Т Н Черняева, И П Медведева Дифференциальные уравнения первого порядка Методическое пособие для самостоятельной

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 6 часов. Во втором семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ТГ ШЕВЧЕНКО Физико-математический факультет Кафедра математического анализа Контрольные работы по дифференциальным уравнениям (направление «Прикладная математика

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y +, ) Найти решение ДУ ( ) удовлетворяющее начальным условиям,. Данное уравнение не содержит в явном виде независимой переменной x ; интегрируем его методом понижения порядка. Суть метода заключается в

Подробнее

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия.

Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. Практическая работа 8 Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. 1 Дифференциальные

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

9 Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) 0, то уравнение неоднородное

9 Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) 0, то уравнение неоднородное Практическая работа 19 Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Цель работы: закрепить навыки решения дифференциальных уравнений первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. 1 Дифференциальные

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Линейные уравнения 1-го порядка

Линейные уравнения 1-го порядка [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsuaz/kitablar/846pdf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений

Подробнее

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Дифференциальные уравнения»

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Дифференциальные уравнения» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

20x dx 3y dy = 3x 2 y dy 5xy 2 dx. (20x + 5xy 2 ) dx = (3x 2 y + 3y) dy 5x(4 + y 2 ) dx = 3y(x 2 + 1) dy. P 1 (x)q 1 (y) dx = P 2 (x)q 2 (y) dy.

20x dx 3y dy = 3x 2 y dy 5xy 2 dx. (20x + 5xy 2 ) dx = (3x 2 y + 3y) dy 5x(4 + y 2 ) dx = 3y(x 2 + 1) dy. P 1 (x)q 1 (y) dx = P 2 (x)q 2 (y) dy. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Чувашский государственный

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее