1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. Введем понятие определителя. Пусть дана таблица из чисел (матрица):

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. Введем понятие определителя. Пусть дана таблица из чисел (матрица):"

Транскрипт

1 ВВЕДЕНИЕ Методическое пособие предназначенное для оказания помощи студентам-заочникам при выполнении контрольных работ по дисциплине "Высшая математика" содержит шесть тем материала контрольных работ студентов первого курса В пособии приведены основные теоретические сведения и типовые задачи с решениями и рекомендациями В процессе подготовки к выполнению контрольной работы рекомендуется изучить теоретические сведения разобраться с решениями предложенных типовых задач решить несколько аналогичных задач ответы на которые известны и только после этого переходить к выполнению контрольной работы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Введем понятие определителя Пусть дана таблица из чисел (матрица): a a () a a Определитель это числовая характеристика квадратной матрицы Матрице () соответствует определитель второго порядка a a aa aa () a a Числа a a a a называются элементами определителя Говорят что элементы a a лежат на главной диагонали а элементы a и a на побочной Пусть дана квадратная матрица третьего порядка a a a a a a () a a a Матрице () соответствует определитель третьего порядка который определяется следующим равенством: a a a a a a a a a aaa aaa aaa () aaa aaa aaa

2 Числа a ij ( i ; j ) называются элементами определителя причем a a a это элементы главной диагонали a a a элементы побочной диагонали Указанное правило вычисления определителя называется правилом треугольников Действительно слагаемые входящие в формулу () со знаком "" лежат на главной диагонали определителя а также в углах треугольников со сторонами параллельными главной диагонали а слагаемые входящие в формулу () со знаком " " лежат на побочной диагонали и в углах треугольников со сторонами параллельными побочной диагонали: a a a a a a a a a a a a a a a a a a Рассмотрим применение определителей для решения систем линейных уравнений Пусть дана система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными : a a a b a a a b a a a b () где aij bi ( i ; j ) заданные числа Пусть определитель составленный из коэффициентов при неизвестных системы () отличен от нуля: a a a Δ a a a () a a a Тогда система () имеет единственное решение которое может быть найдено по формуле Крамера: Δ j j (j ) Δ (7) где Δ j определитель полученный из определителя системы путем замены j го столбца столбцом свободных членов

3 Задача Решить систему уравнений: Решение Вычислим определитель Δ данной системы по правилу треугольников: Δ Δ Δ (-)(-)(-)-(-)-(-) (-)-8 Вычисляем вспомогательные определители: (-)(-)(-)(-)-(-)-(-)-(-)(-)- (-)-(-)-- Δ (-)(-)(-)(-)-(-)-(-)(-)-(-)8 Δ Значит Δ Δ 8 Δ 8 Δ 8 Δ 8 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Основные сведения из векторной алгебры Вектором называют направленный отрезок Если точка А начало вектора а В его конец то такой вектор обозначают B Наряду с этим используется обозначение вектора малой латинской буквой со стрелкой те a Векторы называют равными если они имеют равные длины и одинаково направлены Число равное длине вектора называется его модулем и обозначается символом a Если a то вектор a называется единичным Векторы называются коллинеарными если они лежат на одной или параллельных прямых

4 Пусть вектор a наклонен к оси под углом ϕ Тогда проекция вектора a на ось обозначается символом пр a и вычисляется по формуле пр a a cosϕ () Проекции вектора a на оси прямоугольной декартовой системы координат будем далее обозначать буквами z и писать a { z} Если при этом i j k - базисные векторы данной системы координат то a i j zk () Проекции вектора на координатные оси называют также его координатами Если даны две точки M ( z) и M ( z ) являющиеся соответственно началом и концом вектора M M то M M { z z } () Длина вектора a находится по формуле a z () Если вектор a составляет с координатными осями углы α β и γ то cosα cosβ cosγ это направляющие косинусы вектора a определяемые по формулам z cos α cos β cos γ () a a a причем cos α cos β cos γ () Над векторами a { z } b { z } c { z } определены операции сложения умножения на число а также скалярное векторное и смешанное произведения При этом имеют место следующие формулы для выполнения указанных операций в координатной форме: a b z z α a α α α (7) { } { } для суммы векторов и произведения вектора на число; ( a b ) для скалярного произведения; i j k v z z a b z i j z z z [ ] k для векторного произведения; (8) (9)

5 a ( b c) для смешанного произведения z z z Из определения скалярного произведения ( a b ) a b cosϕ 7 () и формулы (8) можно найти косинус угла ϕ между векторами a и b : ( a b ) cos zz ϕ v () a b z z Поскольку вектор [ a b ] определенный формулой (9) обладает свойством a b a b sin () [ ] ϕ то площадь S треугольника построенного на векторах a b вычисляется по формуле S [ a b] () Наконец из определения смешанного произведения векторов a b v и c вытекает что объем треугольной пирамиды построенной на этих векторах определяется формулой V ( a b c) () Основные сведения из аналитической геометрии Уравнение плоскости проходящей через точку M ( z) перпен- n a b c имеет вид дикулярно вектору { } a( ) b( ) c( z z ) () или a b cz d () где d a b cz Уравнение плоскости в отрезках имеет вид z (7) * * * a b c Здесь a b и c координаты точек в которых плоскость пересекает оси O O Oz

6 8 Уравнение плоскости проходящей через три точки M ( z) M ( z ) и M ( z) имеет вид z z z z z z (8) Если две плоскости заданы уравнениями a b cz d и a b cz d то угол между ними определяется как угол между перпендикулярными к ним векторами n { a b c } и n { a b c} : ( n n ) aa bb cc cosϕ (9) n n a b c a b c Следовательно условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид cos ϕ или a a bb cc () а условие параллельности имеет вид a b c () a b c Угол между вектором l { m n p} и плоскостью a b cz d можно найти по формуле sin α () a b am bn cp c m n а расстояние d от точки M ( z ) до той же плоскости по формуле d a p () a b b c c Рассмотрим соответствующие формулы для прямой на плоскости Уравнение прямой проходящей через точку M ( ) перпендику- n a b имеет вид лярно вектору { } ( ) b( ) a () или a b c () где c a b Уравнение прямой в отрезках имеет вид a * b * ()

7 Здесь a и b координаты точек в которых прямая () пересекает оси Ох и О Если две прямые заданы уравнениями a b c и a b c то угол между ними определяется как угол между перпендикулярными к ним векторами n { a b } и n { a b }: ( n n ) aa bb cosϕ (7) n n a b a b Следовательно условие перпендикулярности двух прямых имеет вид cos ϕ или a a bb (8) а условие параллельности имеет вид a b a b (9) Расстояние от точки M ( ) до прямой () можно найти по формуле a b c d a b Рассмотрим другие виды уравнений прямой на плоскости Каноническое уравнение прямой те уравнение прямой проходящей через заданную точку M ( ) параллельно вектору q { m n} имеет вид m n () Уравнение прямой проходящей через две точки M ( ) и M ) имеет вид ( 9 () Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид k b () Уравнение прямой с угловым коэффициентом k проходящей через заданную точку M ( ) имеет вид k( ) () Параметрические уравнения прямой:

8 mt nt < t < () Если две прямые заданы уравнениями k b и k b то условие перпендикулярности этих прямых имеет вид k k () а условие параллельности имеет вид k k () Рассмотрим далее различные виды прямой в пространстве Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид z z m n p (7) где M ( z ) точка лежащая на прямой а q { m n p} направляющий вектор прямой Уравнение прямой в пространстве проходящей через две точки M ( z) и M ( z ) имеет вид z z z z (8) Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид mt nt < t < z z pt (9) Наконец рассмотрим уравнения кривых второго порядка Каноническое уравнение эллипса имеет вид b a () Поскольку частным случаем эллипса при a b R является окружность то уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат будет R () Если центр окружности радиуса R расположен в точке M ( ) то ее уравнение имеет вид ( ) ( ) R ()

9 Каноническое уравнение гиперболы имеет вид () b a Каноническое уравнение параболы имеет вид p () Полярная система координат Если на плоскости заданы фиксированная точка О называемая полюсом и исходящий из полюса луч с выбранной на нем единицей масштаба называемый полярной осью то говорят что на плоскости задана полярная система координат В этом случае положение любой точки М на плоскости определяется двумя числами и ϕ где расстояние от точки М до точки О ϕ угол образуемый вектором OM с положительным направлением полярной оси Угол ϕ отсчитываемый от полярной оси до вектора OM в направлении против часовой стрелки считается положительным а отсчитываемый в противоположном направлении отрицательным (см рис ) M( ϕ) ϕ Рис Обычно считают что ϕ < π < Если точка М совпадает с полюсом О и угол ϕ для нее не определен Пусть наряду с полярной системой координат на плоскости выбрана прямоугольная декартова система координат так что начало координат совпадает с полюсом О а ось О совпадает с полярной осью Тогда прямоугольные координаты и точки М связаны с ее полярными координатами и ϕ соотношениями (см рис) cosϕ sinϕ () Из () в частности вытекает что cos ϕ sin ϕ ()

10 ϕ Рис Рассмотрим далее применение вышеизложенных теоретических сведений к решению типовых задач Задача Даны координаты вершин пирамиды : (9 ) (9) (7 ) (88 ) Найти: ) длину ребра ; ) угол между ребрами и ; ) угол между ребром и гранью ; ) площадь грани ; ) объем пирамиды; ) уравнение прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнение высоты опущенной из вершины на грань Решение По формуле () найдем координаты векторов и : { 9 9} { 8} { 7 9} { } { 8 8 9} { } ) Длину ребра найдем по формуле (): ( 8) M 9 ) Угол ϕ между ребрами и найдем как угол между векторами по формуле (): cosϕ ( ) ( 8) ( ) ( 8) ( ) 9 o '' откуда ϕ accos ) Для нахождения угла α между ребром и гранью найдем вектор n перпендикулярный плоскости в качестве которого можно взять векторное произведение векторов и вычисляемое по формуле (9):

11 [ ] k j i k j i n k j i Синус искомого угла α равен косинусу угла β между векторами n тк сумма этих углов равна π Поэтому ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin n n β α 8 78 те 8 acsin o α ) Площадь грани вычислим по формуле () [ ] ( ) n S ) Объем V пирамиды найдем по формулам () и (): ( ) 8 V 8) ( ) ( ) ( 8 8 куб ед ) Уравнение прямой найдем по формуле (8): z те 8 9 z 7) Уравнение плоскости найдем по формуле (8): z те 8 9 z ( ) ( ) ( ) z

12 ( ) ( ) ( z 9) Отсюда z или 7 z искомое уравнение плоскости 8) Из полученного выше уравнения плоскости следует что вектор * n { 7 } перпендикулярен плоскости поэтому он является направляющим вектором высоты опущенной из вершины на эту плоскость Следовательно уравнение этой высоты можно найти по формуле (7): 8 z 8 7 Задача Вычислить координаты центра окружности описанной около треугольника с вершинами А(-;) В(;-) С(;) Решение Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении перпендикуляров проведенных к серединам сторон треугольника Поэтому для решения этой задачи поступим следующим образом: ) составим уравнения сторон B и C; ) найдем координаты середин сторон B и C; ) составим уравнения прямых перпендикулярных сторонам B и C и проведенных через их середины; ) найдем координаты центра окружности Уравнения сторон B и C найдем по формуле () Уравнение стороны B будет ( ) ( ) или те Уравнение стороны С ( ) ( ) или те Найдем координаты точек M и N являющихся соответственно серединами сторон B и C по формулам B M B M C N Итак C N M и N середины сторон B и C

13 Для составления уравнений прямых проходящих через точки M и N перпендикулярно сторонам треугольника используем формулу () найдя предварительно угловые коэффициенты этих прямых из условия () Тк k B (см найденное уравнение прямой B) то k k B М имеет вид k значит уравнение первой прямой проходящей через точку ( M ) k ( M ) те или Тк k C (см найденное уравнение прямой C) то значит уравнение второй прямой проходящей через точку k C N N те или 7 Решив систему из найденных двух уравнений найдем координаты точки О точки пересечения этих прямых являющейся центром искомой окружности: N имеет вид k ( ) Итак точка O центр искомой окружности Примечание При решении геометрических задач полезно делать рисунок В нашем случае рисунок имеет вид О А N M C B Рис

14 Задача Составить уравнение линии каждая точка которой равноудалена от точки () и от оси абсцисс Решение Пусть M ( ) произвольная точка искомой линии Тогда расстояние M запишем в соответствии с формулами () и () в виде M ( ) ( ) Расстояние от точки М до оси абсцисс те до точки N() такой что MN O составит ( ) ( ) MN Тк по условию задачи MMN то ( ) ( ) или возведя обе части последнего уравнения в квадрат и выполнив тождественные преобразования получим те ( ) Последнее уравнение есть уравнение параболы ветви которой направлены вверх а вершина находится в точке B ( ) Задача Построить линию заданную в полярной системе координат уравнением cosϕ Найти уравнение этой линии в прямоугольной системе координат у которой начало совпадает с полюсом а положительная полуось абсцисс с полярной осью По полученному уравнению определить тип линии ϕ с шагом по ϕ равным 8 π : ϕ Решение Составим таблицу значений ( ) π 8 π π π π π π Проведем из начала координат лучи под углами π к полярной оси и отложим на них соответствующие значения радиуса Соединив эти точки плавной линией получим изображение верхней части кривой Тк cos ϕ четная функция то нижнюю часть кривой получим симметричным отображением верхней ее части относительно полярной оси (см рис ) π 8 π 8 7π 8 π

15 7 ϕ π 8 ϕ π 8 ϕ π ϕ π 8 ϕ π 8 ϕ 7π 8 ϕ π 8 ϕ π ϕ Рис Найдем уравнение этой кривой в декартовых координатах Для этого подставив в исходное уравнение и cosϕ получим те ( ) ( ) или ( 8) 8 9 Последнее уравнение это уравнение эллипса центр которого сдвинут влево по оси O на

16 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Понятие предела функции и основные теоремы о пределах Пусть функция f() определена в некоторой окрестности точки a кроме быть может самой этой точки Число А называется пределом функции f() в точке a если для любого ε > существует δ δ ( ε ) > такое что f ( ) < ε при < a < δ В этом случае пишут f ( ) a Введем понятие предела при Число А называется пределом функции f() при если для любого ε > существует δ δ ( ε ) > такое что f ( ) < ε при > δ В этом случае пишут f ( ) Аналогично можно определить и пределы f() при и при Введем понятие бесконечного предела функции при a Говорят что f ( ) если для любого ε> существует δ δ ( ε ) > такое что a f ( ) > ε при < a < δ Аналогично определяются и другие конечные и бесконечные пределы при a и Рассмотрим односторонние пределы Если > a и a то это записывается в виде a Числа f 8 ( a ) f ( ) и f ( a ) f ( ) a a называют соответственно пределом слева функции f() в точке a и пределом справа функции f() в точке a (если эти числа существуют) Для существования предела f() при a необходимо и достаточно чтобы имело место равенство f ( a ) f ( a ) При вычислении пределов используют следующие основные теоремы о пределах Если существуют f ( ) и g( ) то: a a ) ( f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) () a a a ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ) () a a a f ( ) ( ) f a (если g( ) a g( ) g( ) a a ) c f ( ) c f ( ) ) () () a a

17 9 Для элементарных функций во всех точках из области их определения f ( ) f ( ) () Иногда полезно использовать равенства ( ln f ( ) ) ln f ( ) () a a f и ( ) ( ) f e e a (7) a Наконец следует знать два замечательных предела: sin -й замечательный предел (8) e или ( α ) α e -й замечательный предел (9) α Рассмотрим основные приемы вычисления пределов ) При нахождении предела отношения двух многочленов при числитель и знаменатель дроби полезно разделить на n где n наивысшая степень этих многочленов Задача Вычислить Решение При решении задачи применили деление числителя и знаменателя дроби на и использовали соотношения () () Иногда аналогичный прием можно применить и для дробей содержащих иррациональности P( ) ) При нахождении предела отношения двух многочленов a Q ( ) P () и Q() при P ( a) Q( a) следует сократить дробь один или несколько раз на бином a Задача Вычислить 7

18 Решение Используя формулу разложения квадратного трехчлена на множители a b c a( )( ) где и корни квадратного трехчлена получим ( )( ) 7 ( )( ) ) При вычислении пределов от выражений содержащих иррациональность переводим иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот используя умножение числителя и знаменателя дроби на сопряженную величину Задача Вычислить Решение ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) В данном случае умножили числитель и знаменатель дроби на величину сопряженную числителю далее сократили числитель и знаменатель на х и применили формулы () () () ) При вычислении пределов от тригонометрических функций иногда приходится использовать -ый замечательный предел (8) а при раскрытии неопределенностей вида -й замечательный предел (9) cos Задача Вычислить Решение cos sin sin При решении задачи использовали тригонометрическую формулу α cosα sin а также () и (8) Задача Вычислить

19 Решение Так как то в данном случае имеем неопределенность вида для раскрытия которой используем -й замечательный предел (9) следующим образом: e e e При решении задачи использовали (9) следующим образом: также и формула (7) заменаα α Задача Вычислить ( ln( ) ln ) ( α ) α e Решение ( ln( ) ln ) ln ( ) использована ln ln ln e ln e При решении задачи использованы формулы (9) и () а также свойства логарифмов Непрерывность функции Функция f () называется непрерывной в точке если f ( ) f ( ) Поскольку для существования f ( ) необходимо и достаточно чтобы имело место равенство односторонних пределов f ( ) f ( ) то для непрерывности функции f () в точке в соответствии с определением необходимо и достаточно чтобы f ( ) f ( ) f ( ) () Обычно при исследовании функции на непрерывность проверяют выполнение соотношений ()

20 При вычислении пределов функций часто используется теорема: "Элементарные функции непрерывны в каждой точке области определения" Наконец функция f () называется непрерывной на отрезке [a b] если она непрерывна в каждой точке этого отрезка При этом под непрерывностью в точке a понимают непрерывность справа а под непрерывностью в точке b непрерывность слева Рассмотрим далее точки разрыва и их классификацию Точки в которых функция не является непрерывной называются точками разрыва функции Следовательно функция f () имеет разрыв в точке если в этой точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывности то есть либо f ()) не определена в точке либо не существует f ( ) либо f ( ) f ( ) Если точка разрыва функции f() и существуют конечные пределы f ( ) f ( ) и f ( ) f ( ) () то точка называется точкой разрыва -го рода Величина f ( ) f ( ) называется скачком функции f () в точке Точка разрыва функции f ( ) не являющаяся точкой разрыва -го рода называется точкой разрыва -го рода Следовательно в точках разрыва -го рода по крайней мере один из пределов f ( ) и f ( ) не является конечным Задача 7 Для функции f ( ) заданы два значения аргумента и Требуется: ) установить является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; ) в случае разрыва функции найти ее пределы в точках разрыва слева и справа; ) сделать схематический чертеж Решение ) Так как f () является элементарной функцией то она непрерывна во всех точках в которых определена Следовательно в точке функция непрерывна а в точке она не является непрерывной ( деление на ноль не определено) Значит точка разрыва функции ) Вычислим односторонние пределы в точке

21 Один из пределов оказался бесконечным поэтому точка разрыва -го рода ) Учитывая что строим эскиз графика функции: Рис Задача 8 Задана функция различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной: если f ( ) если < если > Найти точки разрыва если они существуют Сделать чертеж Решение Поскольку f () задана тремя непрерывными элементарными функциями то точками разрыва данной функции могут быть лишь точки и Проверим в этих точках выполнение условий () ) f ( ) ( ) f ( ) () f () Итак в точке f ( ) f ( ) f () точке функция f () непрерывна следовательно в

22 ) f ( ) f ( ) ( ) те f ( ) f ( ) Итак точка это точка разрыва функции ) Поскольку односторонние пределы в этой точке конечны то это точка разрыва -го рода Сделаем чертеж функции: Рис ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ Производная Правила вычисления производных и таблица производных Производной функции f () в точке называется предел отношения приращения функции Δ f к приращению аргумента Δ при Δ обозначаемый одним из символов: f () df ( ) d f ( Δ) f ( ) Итак f ( ) () Δ Δ С физической точки зрения производная определяет мгновенную скорость изменения любого физического параметра описываемого функцией f () в точке х С геометрической точки зрения производная f () равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции f () в точке M ( f ( )) Если производная f () существует для всех ( a; b) то функция f () называется дифференцируемой на интервале (a;b) Операция вычисления производной называется дифференцированием

23 Главная линейная часть приращения функции f () в точке называется дифференциалом функции Дифференциал функции f () обозначается символом df () и вычисляется по формуле df ( ) f ( )d () При вычислении производных используют правила вычисления производных таблицу производных правило вычисления производной сложной функции Основные правила нахождения производной Если v v( ) функции имеющие производные cconst то ( ) и ) c ; ) ( ± v) ± v ; ) ( v ) v v ; ) ( c ) c v v ; ) v v ( v ) Таблица производных: n ( ) n n 8 ( accos ) ( < ) ( ) 9 ( actg) ( sin ) cos ( acctg) ( cos ) sin ( a ) a ln a ( a > a ) ( tg) ( e ) e cos ( ctg) ( ln ) sin ( > ) 7 ( acsin ) ( < ) ( log ) a ln a ( > a > a ) Правило вычисления производной сложной функции состоит в следующем Если () и () где функции и имеют производные то d d d или () d d d Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций Задача Найти производные функций e а) actg ; б) ; в) ( sin ) ; sin

24 г) ln tg Решение Применяя правила вычисления производных и таблицу производных выполним первые два пункта а) ( ) ( ) actg actg ( actg) actg ( e ) sin e ( sin ) e sin e cos e ( sin cos ) б) sin sin sin Применив правило вычисления производной сложной функции выполним следующие пункты: в) полагая где ( ) sin полу- чим ( ) ( sin ) ( sin ) ( cos ) г) Так как является степенной функцией от натурального логарифма который в свою очередь является функцией от tg последовательно получим ( ) ( ) ln tg ln tg ( ln tg) tg cos ln tg ln tg cos sin sin Логарифмическое дифференцирование При вычислении производной показательно-степенной функции вида v( ) ( ) полезно прологарифмировать обе части этого равенства и затем v ln ln ln v ln (ln ) v ln ln ln v v v v v v ln v sin Задача Найти производную функции ( tg) их продифференцировать: ( ) Решение Логарифмируя и вычисляя производные от обеих частей ра- sin ln ln tg ln sin ln tg sin cos ln tg sin ( tg) cos ln tg tg cos cos венства получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Рекомендуется предварительно логарифмировать обе части равенства при вычислении производных от функции представляющих собой произве-

25 дение многих сомножителей В этом случае вычисление производной от произведения сводится к вычислению производной от суммы логарифмов Задача Вычислить производную функции Решение Логарифмируя и вычисляя производные от обеих частей равенства последовательно получим ( ln ) ( ln ln( ) ln( ) ln( ) ) 7 ( ) ( ) ( ) те ( ) ( ) ( ) Производные неявных функций Пусть функция () задана неявно соотношением вида F() не разрешенным относительно у В этом случае для нахождения у' х следует продифференцировать обе части последнего равенства по переменной х пользуясь где это необходимо теоремой о вычислении производной сложной функции Из получившегося в результате дифференцирования равенства и находят Задача Найти производную неявно заданной функции e Решение Дифференцируя обе части равенства по переменной х и считая что () получим e ( ) e ( e ) ( e ) те искомая производная e Производные высших порядков Пусть функция () дифференцируема на интервале (аb) Тогда ее производная () также является некоторой функцией переменной х Если она к тому же имеет производную в некоторой точке этого интервала то указанная производная называется производной второго порядка функции () и обозначается () Итак ( ) ( ) Аналогично производная от про-

26 изводной порядка n называется производной n-го порядка: ( n) ( ( n )) Задача а) Найти производную второго порядка от функции e б) Найти производную третьего порядка от функции cos Решение а) ( ) e ( e ) e e ( ) e ( ) e ) ( ) e ( ) e ( ) e sin б) cos ( sin ) sin ( sin ) cos Производные параметрически заданных функций Пусть уу(х) задана параметрически соотношениями () t () t α t β Тогда ее производные первого и второго порядка вычисляются если они существуют по формулам: ( ) t t t Задача Найти ( ) t t если t sin t cost sin t Решение Тк t sin t t cost то cost Тк sin t cost cost t cost то cost ( ) 8 ( cost) sin t sin t cost cos t ( cost) ( cost) cost ( cost) ( cost) ( cost) sin t () Частные производные функции нескольких переменных Пусть в некоторой окрестности точки (ху) задана функция z z( ) Фиксируя переменную у так что const получим функцию от одной пере-

27 менной х Обычная производная этой функции в точке х называется частной z( ) производной функции z ( ) в точке (ху) и обозначается или z ( ) ( ) Итак z dz () d const ( ) dz( ) Аналогично z () d const Поскольку частные производные z и z в свою очередь являются функциями двух переменных то и от них можно брать частные производные: z z z 9 z z z (7) z z z z z z (8) Частные производные (7) и (8) называются частными производными второго порядка Взяв от них частные производные получим частные производные третьего порядка и тд z z Задача 7 Дана функция z e Показать что Решение Вычислим пользуясь определением частные производные z e z e ( ) e ( e ) e ( ) ( ) e ( e ) e ( ) e z z z z Следовательно e e что и требовалось доказать e ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ При исследовании функций и построении их графиков полезно придерживаться следующей схемы: ) найти область определения функции; ) исследовать функцию на четность и нечетность периодичность;

28 ) найти точки разрыва вертикальные горизонтальные и наклонные асимптоты если они есть; ) найти интервалы монотонности функции и точки экстремума; ) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции точки перегиба; ) найти точки пересечения графика функции с координатными осями и построить график Задача Исследовать функцию и построить её график Решение ) Тк функция не определена при и то область опре- D ; U ; U ; деления функции ( ) ( ) ( ) ( ) ) Поскольку ( ) ( ) ( ) ( ) то функция четная ) Тк в точках и функция не определена то это точки разрыва функции Исследуем поведение функции в окрестности этих точек Для этого вычислим односторонние пределы: ( )( ) ( ) ( ) Вычисленный односторонний предел оказался бесконечным поэтому прямая х будет вертикальной асимптотой графика функции ( )( ) ( ) ( ) Вычислим односторонние пределы функции в точке ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Односторонние пределы и в точке х оказались бесконечными поэтому прямая х будет вертикальной асимптотой графика функции Для нахождения наклонной асимптоты графика функции k b ( ) вычислим два предела: k b k поскольку их и ( ( ) ) существование (как конечных пределов) является необходимым и достаточным условием существования наклонной асимптоты Вычисляем

29 k ( ) b Значит прямая те это наклонная асимптота графика функции и при х и при х Поскольку k то это частный случай наклонной асимптоты горизонтальная асимптота ) Интервалы монотонности и точки экстремума найдем по знаку производной ( ) ( ) ( ) Тк > при ( ) U ( ) то на этих интервалах функция возрастает а тк < при ( ) U ( ) то на этих интервалах функция убывает Поскольку ( ) то единственная критическая точка функции а тк меняет знак в точке с "" на " " то точка максимума функции причем ( ) Рис 7 ) Интервалы выпуклости и вогнутости найдем по знаку производной второго порядка

30 ( ) Составим таблицу изменений знака : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) х (- ; ) ( ;) (; ) не сущ не сущ у (вогн) не сущ (вып) не сущ (вогн) Итак на интервалах (- ; ) и (; ) график функции вогнутый а на интервале ( ;) выпуклый Точек перегиба нет ) Учитывая что ( ) строим график: Задача Исследовать функцию e и построить ее график Решение ) Область определения функции вся числовая прямая те D ( ) R ) Тк ( ) ( ) и ( ) ( ) то ( ) ни четная ни нечетная функция ) Данная функция является элементарной функцией определенной на всей числовой прямой значит точек разрыва и вертикальных асимптот нет Исследуем наличие наклонных асимптот при х и при х Тк ( ) e ( e ) e то прямая у горизонтальная асимптота графика функции при х (являющаяся частным случаем наклонной асимптоты при х ) ( ) e Тк k e e то при х - наклонной асимптоты нет ) Найдем : ( e ) e e ( ) e Тк > при < и < при > то функция при < возрастает а при > убывает Тк у() то х единственная критическая точка функции Поскольку в критической точке функция меняет знак с "" на " " то х точка максимума функции и () e e ) Найдем : ( ) e ) e ( ) e ( ) e Тк > при > и < при < то при > график функции вогнутый а при < выпуклый Поскольку ( ) то х единствен-

31 ная критическая точка второго рода Тк в этой точке меняет знак то точка М(е ) точка перегиба графика функции ) Учитывая что у() строим график функции: e - M Рис 8 НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ Известно что непрерывная на отрезке функция достигает на нем наибольшего и наименьшего значения Для их нахождения следует вычислить производную функции найти ее критические точки Вычислив далее значения функции в критических точках и на концах отрезка выбирают из них наибольшее и наименьшее значения Задача Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-;] Решение Найдем критические точки этой функции лежащие на [-;] Тк ( ) ( ) то х единственная критическая точка Вычислим значение функции в точке х и на концах отрезка [ ;]: у() у( ) у() Итак у наим у наиб 7 ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7 Элементы линейной алгебры векторной алгебры и аналитической геометрии Задачи - Доказать совместность системы и решить ее по формулам Крамера

32 Задачи Даны координаты вершин пирамиды Найти: ) длину ребра ; ) угол между ребрами и ; ) уравнение плоскости ; ) площадь грани ; ) объем пирамиды; ) уравнение прямой ; 7) уравнение высоты опущенной из вершины на плоскость ( 7) () (7) (7) ( 7) (7) (9) (79) ( ) () () ( ) ( ) () (8) (8) ( ) (7) () (98) ( 78) (9) ( 7) (9) 7 ( 9) () (7) (7) 8 ( 99) () (8) (8) 9 ( 7) (9) (9) (88) ( ) () ( ) ( ) Задачи - Составить уравнение линии расстояние каждой точки которой от точки F (a) и от прямой b относятся как c:d a b/ c d

33 a b/ c d a b/ c d a8 b/ c d a b/ c d a b/ c d 7 a b/ c d 8 a7 b/7 c7 d 9 а b c d а b c d Задачи - Построить линию заданную в полярной системе координат уравнением ( ϕ ) Найти уравнение этой линии в прямоугольной декартовой системе координат у которой начало совпадает с полюсом а положительная полуось абсцисс с полярной осью По полученному уравнению определить тип линии cosϕ cosϕ cosϕ sinϕ cosϕ cosϕ cosϕ cosϕ 9 cosϕ cosϕ 7 Предел и непрерывность функции Задачи - Найти предел функции не пользуясь правилом Лопиталя a) ; б) ; cos в) ; sin г) 7 a) ; б) ; 8

34 tg в) cos ; ( ) г) a) ; б) ; tg sin ) ; в г) a) ; б) ; cos cos ) в ; г) a) ; б) ; в) cos ; г) ( ) ( ln( ) ln ) 7 a) ; б) ; 9 sin в) ; г) ( ln( ) ln ) tg cos 7 7 a) ; б) ; 8 sin в) ; г) ( ) tg 8 a) ; б) ; 9 ) sin ; в г) ( ) ( ) a) ; б) ;

35 в) ; sin tg г) 7 a) ; б) ; tg в) ; г) sin Задачи - Задана функция f () и два значения аргумента и Требуется: ) установить является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; ) в случае разрыва функции найти ее пределы в точках разрыва слева и справа; ) сделать схематический чертеж ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 7 ( ) ( ) 8 f f ( ) f 9 ( ) 7 8 ( ) f f f ( ) f 9 Задачи -7 Функция () задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной Найти точки разрыва если они существуют Сделать чертёж если если < если > если если < если > если если < если > если если < < если

36 8 если < если если > 7 9 если если < 8 если > если < если 7 если > 7 Производная и ее вычисление если < если < если если < если если > если < если если > d Задачи 7 8 Найти производные данных функций d 7 а) ln ( acsin ); б) ( e cos) ; г) в) ( sin ) ; tg 7 а) e ; б) tg ; в) ; г) e 7 а) ln ln sin ; б) actg ; в) ( tg ) ; г) cos( ) б) e ( ) 7 а) ln actg ; sin г) в) ( ) ; cos 7 а) ( tg ) ; ( ) ) в) ; ( ) б) sin ; г) acctg ;

37 9 sin 7 а) ; б) acsin ; в) e sin ; г) sin cos 77 а) tg tg ; б) acsin ; в) ( actg) ; г) tg e 78 а) ln cos ; б) ; e в) ; г) ln 79 а) sin ln e ; б) ln ; ( )( ) ( ) ( ) ; в) г) 8 а) ln ctg ; б) acsin ; sin cos ; г) e в) ( ) d d Задачи 8 9 Найти и параметрически заданных функций d d e 8 cost t 8 t t t 8 t cost 8 t sin t t sin t cost t t 8 t t 8 t t

38 87 sin cos t t 88 sin cos t t t 89 8 t t t t 9 sin cos t t Задачи 9 Проверить удовлетворяет ли заданному уравнению функция ( ) 9 если ( ) ln 9 a если ( ) sin a 9 если 9 если e 9 если e 9 если ( ) ln 97 если ( ) ln e e 98 если actg 99 если ( ) ln a если ( ) sin a

39 и построить её график 7 Исследование функций и построение графиков Задачи Исследовать функцию f ( ) e e Задачи Найти наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [ab] ( ) [ ] f ( ) [ ] f ( ) 8 8 f ( ) [ ] [ ] f ( ) f ( ) [ ] 8 f [ ] ( ) f [ ] 7 ( ) 8 f ( ) [ ] [ ] 9 f ( ) f [ ] ( ) 7

40 ЛИТЕРАТУРА Гусак АА Гусак ГМ Справочник по высшей математике Мн 99 8 с Ефимов НВ Краткий курс аналитической геометрии М: Наука 99-7 с Пискунов НС Дифференциальное и интегральное исчисление М: Наука 978 Т с; т 7 с Данко ПЕ Попов АГ Кожевникова ТА Высшая математика в упражнениях и задачах М: Высшая школа 98 Ч с ч 8 с ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Элементы линейной алгебры Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии Основные введения из векторной алгебры Основные сведения из аналитической геометрии 7 Полярная система координат Предел функции Непрерывность функции 8 Понятие предела функции и основные теоремы о пределах 8 Непрерывность функции Производная и дифференциал Производная Правила вычисления производных и таблица производных Логарифмическое дифференцирование Производные неявных функций 7 Производные высших порядков 7 Производные параметрически заданных функций 8 Частные производные функции нескольких переменных 8 Исследование функций и построение графиков 9 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 7Задачи для контрольных работ 7 Элементы линейной алгебры векторной алгебры и аналитической геометрии 7 Предел и непрерывность функции 7 Производная и ее вычисление 8 7 Исследование функций и построение графиков Литература Оглавление

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3»

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу «Математика. -й семестр» для

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию - учебного года для I курса экономического факультета дневного отделения (специальностей «экономика» и «экономическая теория») заочного

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

«Строительство» 1 семестр

«Строительство» 1 семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление 270800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-1». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 4 Практические занятия

Подробнее

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя). Контрольная работа 2 (КР-2) Тема 3. Пределы и производные функций Примеры решения задач, аналогичных задачам 1-10 Необходимо найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя).

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

В. Я. АРТЮХОВ, Л. В. АВИЛОВА, Ю. Г. ГАЛИЧ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 1

В. Я. АРТЮХОВ, Л. В. АВИЛОВА, Ю. Г. ГАЛИЧ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 1 В Я АРТЮХОВ, Л В АВИЛОВА, Ю Г ГАЛИЧ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ОМСК 00 Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Омский государственный университет путей

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики Задания для практических занятий по темам «Векторная и линейная

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 Поток: ТВГТ -I ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1Определители -го и -го порядка Правила вычисления Общий алгоритм исследования графика функций с помощью производных Нахождение наибольшего и наименьшего значений

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Письменный экзамен проводится в течение двух часов. На экзамене каждому студенту

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Подробнее

и плоскостью, проходящей через точки K(0; 0; 1), L(2; 4; 6), M(2; 2; 3). 4. Дана функция Вычислить ее производную 20-го порядка в точке x = 0.

и плоскостью, проходящей через точки K(0; 0; 1), L(2; 4; 6), M(2; 2; 3). 4. Дана функция Вычислить ее производную 20-го порядка в точке x = 0. Билет Матрицы, действия над ними Числовая последовательность, свойства бесконечно малых последовательностей Вычислить расстояние от точки M( ; ; ) до плоскости, проходящей через точки A( ; ; 0), B( ; ;

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II.

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II. Билет 1 1 Определители -го и -го порядка, их свойства и способы вычисления Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решить систему уравнений методам Гаусса и матричного исчисления: Найти координаты

Подробнее

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2]

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2] Дана матрица Контрольная работа A 0 T= Задание [, стр ] Определите ее размерность Выпишите характеристики этой матрицы: прямоугольная, квадратная, симметричная, единичная, нулевая, треугольная, диагональная,

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x x> Освободимся от знака модуля: при x 0 неравенство x x>

Область определения данной функции определяется неравенством x x> Освободимся от знака модуля: при x 0 неравенство x x> Вариант Найти область определения функции : y / Область определения данной функции определяется неравенством > Освободимся от знака модуля: при неравенство > никогда не выполняется; при < неравенство >

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4.

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4. Найти общий член последовательности,,,, ) Найти b) lim ( ) c) 9 7 7 ) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Найти ( )!! lim ( )! ) b) c) Найти 6 si lim si d) ) b) c) d) d) ( ) Найти lim [ (l( ) l )] ) b) c) e d) l 6 Найти

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Оценочные материалы Оценочные материалы по текущему контролю. Дисциплина «АЛГЕБРА»

Оценочные материалы Оценочные материалы по текущему контролю. Дисциплина «АЛГЕБРА» Оценочные материалы Контроль качества освоения дополнительной общеобразовательной программы включает в себя: текущий контроль и промежуточную аттестацию Для оценивания результатов обучения используется

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ уровня подготовки требованиям данной программы. Это не освобождает поступающего от необходимости знать перечисленные ниже понятия и факты. I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика, алгебра

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену в 11 класс (часть 1)

Вопросы к переводному экзамену в 11 класс (часть 1) Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Специализированный учебно-научный центр Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы лицей 1580 (при МГТУ им.

Подробнее