ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Транскрипт

1 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

2 Линейная и векторная алгебра Элементы линейной алгебры Матрицы Действия над матрицами Линейные операции над матрицами Операция умножения матриц Определители Свойства определителей Обратная матрица Базисный минор Ранг матрицы Системы линейных алгебраических уравнений Векторная алгебра Основные понятия Линейная зависимость векторов Система координат Операции над векторами Линейные операции над векторами в координатах Нелинейные операции над векторами Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Примеры решений расчетных заданий 8 Примеры решений расчетных заданий по теме Элементы линейной алгебры 8 Примеры решений расчетных заданий по теме Элементы векторной алгебры

3 Линейная и векторная алгебра Элементы линейной алгебры Матрицы Действия над матрицами Определение Матрицей { ij } где i m j размерности m называется прямоугольная таблица чисел содержащая m строк и столбцов: m m m Числа ij входящие в матрицу называются ее элементами Первый индекс i указывает номер строки в которой располагается элемент ij j номер столбца (i m j ) Матрица у которой все элементы равны нулю называется нулевой и обозначается буквой Квадратная матрица (m) называется диагональной если все элементы кроме (i ) равны нулю Диагональная матрица у которой ii ii (i ) называется единичной матрицей го порядка обозначается Е Элементы (i ) квадратной матрицы называются элементами главной диагонали Квадратная матрица размером ii T называется матрицей го порядка Переход от матрицы А к матрице T m m строками которой являются столбцы а столбцами строки матрицы А T называется операцией транспонирования а называется транспонированной по отношению к матрице А( ij Т ji ) Матрицы называются равными если они одинаковой размерности и соответствующие элементы этих матриц равны то есть m А В если ij ij (i m j )

4 Линейные операции над матрицами К линейным операциям над матрицами относятся операции сложения и умножение матрицы на число ) Суммой матриц m { ij } и m { ij } называется матрица m { ij } у которой ij ij (i ij j m ) ) Произведением матрицы А на число λ называется матрица { } λ λ ij элементы которой получены умножением элементов матрицы А на число λ Свойства линейных операций над матрицами: АВ А А(ВС) (АВ)С λ ( ) λ λ ( λ λ ) λ λ λ ( λ ) λ λ А T T T 8 ( ) Операция умножения матриц называется мат- m r ij где ij i j i j i j (i m j r ) Операция умножения может быть произведена только для матриц удовлетворяющих условию: число столбцов первой матрицы ровно числу строк второй матрицы Свойства операции умножения: А (ВС) (АВ) С А (ВС) АВАС ЕА А Произведением матриц m { ij } на матрицу r { ij } рица { с } А Е А λ ()(λ А) T T T ( ) Определители Свойства определителей Квадратной матрице А можно поставить в соответствие по определенному правилу число обозначаемое detа или или Определителем второго порядка матрицы А называется число равное а обозначаемое символом

5 det Определителем третьего порядка матрицы А называется число det Свойства определителей: Определитель не изменится если строки и столбцы поменять местами (транспонировать) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак Если в определителе две строки (столбца) равны то определитель равен нулю Если в определителе все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю то определитель равен нулю При умножении какой-нибудь строки (столбца) определителя на произвольное число определитель умножается на это число Если элементы какой-нибудь строки (столбца) пропорциональны элементам другой строки (столбца) то определитель равен нулю Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) представлены в виде двух слагаемых то определитель равен сумме двух определителей у первого из которых в соответствующей строке (столбце) первые слагаемые у второго вторые слагаемые остальные строки (столбцы) без изменения 8 Определитель не изменится если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на произвольное число Следующие свойства связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения Минором элемента определителя ij называется определитель M полученный вычеркиванием i строки и j столбца на пересечении которых ij находится элемент Алгебраическим дополнением элемента ij определителя называется число ( ) ij i j M ij Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю

6 Обратная матрица Квадратная матрица А называется невырожденной если det Матрица называется обратной матрице А если А Е где Е единичная матрица того же порядка что и матрица А Можно доказать что всякая невырожденная матрица имеет обратную Алгоритм нахождения обратной матрицы Найти det А Составить матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы А Транспонируем полученную матрицу получаем присоединенную матрицу А * Находим обратную матрицу А det Базисный минор Ранг матрицы * Минор M матрицы s m называется базисным если все миноры порядка (s) не существуют или равны нулю Рангом матрицы А называется порядок ее базисного минора и обозначается r r() s Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях к которым относятся: Перестановка местами двух строк (столбцов) Умножение всех элементов матрицы на отличное от нуля число Прибавление к элементам какой-нибудь строки (столбца) элементов другой строки (столбца) умноженных на одно и то же число Ранг матрицы не меняется также при транспонировании матрицы Линейной комбинацией столбцов матрицы А А называется выражение λ А λ А λ А где λ λ набор чисел Столбцы А А называются линейно зависимыми если существует набор чисел ( λ λ ) не равных нулю одновременно что выполняется равенство λ А А λ Теорема о базисном миноре Любой столбец (строка) матрицы является линейной комбинацией ее базисных столбцов (строк)

7 Системы линейных алгебраических уравнений ) Решение систем линейных уравнений матричным способом (*) Пусть А Х В Тогда система уравнений имеет вид АX Если det то есть существует обратная матрица А - то решение матричного уравнения имеет вид: X EX X где Х решение (*) ) Решение систем линейных уравнений методом Крамера: Если det то система (*) имеет единственное решение вида: j ) ( j j где det а j определитель полученный из заменой j того столбца на столбец свободных членов ) Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Рассмотрим систему: m m m m (**) С помощью элементарных преобразований уравнений система сводиться к виду: m m m m На практике удобнее работать не с системой уравнений а ее расширенной матрицей производя элементарные преобразования строк

8 Теорема Кронекера - Капелли Для совместноти системы (**) линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы А из коэффициентов при неизвестных был равен рангу расширенной матрицы ( ) дополненной столбцом свободных членов Алгоритм решения системы из m уравнений с неизвестными: Находим ранги матриц А и ( ) если r r ( ) то система несовместна то есть не имеет решения Если r r ( ) то выписываем равносильную системе (**) систему включающую в себя только те уравнения коэффициенты при неизвестных в которых образуют базисный минор Если система совместна и r то ее можно решить по формулам Крамера или матричным способом Если r < то ( r) членов не входящих в базисный минор переносим в правую часть Эти неизвестные называются свободными они могут принимать любые значения Неизвестные оставшиеся в левой части называются базисными (их r штук) следовательно при r < система имеет бесчисленно много решений Решаем полученную систему r уравнений с r базисными переменными по формулам Крамера или с помощью обратной матрицы Правило решения однородной системы уравнений Пусть задана система: А m m m m m m Такая система называется однородной Она всегда совместна (те имеет решение) очевидно что есть решение системы которое называют тривиальным решением Определить ранг матрицы А Если ранг матрицы А равен числу неизвестных то система имеет единственное решение Если ранг А меньше числа неизвестных то система имеет бесконечно много решений Пусть r r < Тогда необходимо найти фундаментальную систему решений то есть найти r линейно независимых решений Для этого находим базисный минор матрицы А Неизвестные коэффициенты при которых образуют базисный минор объявляем базисными а остальные неизвестные свободными Записываем укороченную систему разредив систему относительно базисных неизвестных при этом оставляем только 8

9 те уравнения которые содержат коэффициенты образующие базисный минор Например если базисные неизвестные а свободные то получим систему: m m m m m m Далее полагая свободные переменные поочередно равными строкам матрицы: и каждый раз решая полученные системы уравнений найдем r строк которые являются решениями укороченной а значит и исходной системы: е е е -r Общее решение однородной системы записываем как линейную комбинацию решений фундаментальной системы: r r e e e с где с с с -r произвольные постоянные Пример Определим ранг матрицы: А С помощью элементарных преобразований приведем ее к виду: Ранг последней матрицы а значит и исходной равен это меньше числа неизвестных Находим базисный минор матрицы Таким является например Неизвестные и объявляем базисными а и свободными

10 Записываем укороченную систему разрешенную относительно базисных неизвестных Свободные переменные и полагаем равными строкам матрицы Если то получим систему: Решив ее получим таким образом первая строка решений фундаментальной системы будет e ( ) Если получим систему: решив ее найдем таким образом вторая строка решений фундаментальной системы e Общее решение однородной системы имеет вид: с с Правило решения неоднородной системы линейных уравнений Сначала нужно найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы Пусть это будут строки е е е где r число неизвестных r ранг основной матрицы системы Общее решение однородной системы с e с e с e где с с с произвольные постоянные Далее найдя какое-нибудь частное решение неоднородной системы и сложив его с общим решением однородной системы получим общее решение исходной неоднородной системы Пример:

11 Найдя ранги матриц А и получим r r следовательно система совместна Находим общее решение однородной системы (см предыдущий пример) с с В укороченной системе полагая получим систему решив которую найдем то- гда частное решение будет: а общее решение исходной системы: с с Векторная алгебра Основные понятия Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек) К векторам относится также и нулевой вектор начало и конец которого совпадают Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора те длина отрезка Векторы называются коллинеарными если они расположены на одной или на параллельных прямых Нулевой вектор коллинеарен любому вектору Векторы называются компланарными если существует плоскость которой они параллельны Коллинеарные векторы всегда компланарны но не все компланарные векторы коллинеарны

12 Векторы называются равными если они коллинеарны одинаково направлены и имеют равные модули Всякие векторы можно привести к общему началу те построить векторы соответственно равные данным и имеющие общее начало Из определения равенства векторов следует что любой вектор имеет бесконечно много векторов равных ему Линейные операции над векторами: сложение и умножение на число Суммой двух векторов и называется вектор начало которого совпадает с началом первого вектора а конец с концом второго отложенного от конца первого (правило треугольника) (рис) Рис Для сложения двух векторов также можно воспользоваться «правилом параллелограмма»: суммой двух векторов и называется третий вектор имеющий общее начало с векторами и совпадающий с диагональю параллелограмма построенного на этих векторах (рис) а Рис Произведением вектора на число α называется вектор α α при этом векторы и коллинеарны если α > если α < Разностью двух векторов Вектор сонаправлен с вектором ( ) Вектор противоположно направлен вектору ( ) и называется вектор ( ) Свойства операций: ) коммутативность ) ( ) ( ) )

13 ) ( ) ) ( αβ) α( β) ) ( α β) α β ассоциативность дистрибутивность ) α ( ) α α 8) Базисом в пространстве называются любые некомпланарных вектора взятые в определенном порядке Базисом на плоскости называются любые неколинеарных вектора взятые в определенном порядке Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор Если e e e базис в пространстве то любой вектор есть линейная комбинация базисных векторов αe βe γe при этом числа α β γ называют координатами вектора в этом базисе В связи с этим можно записать следующие свойства: равные векторы имеют одинаковые координаты при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число λ λ( αe βe γe ) ( λα) e ( λβ) e ( λγ) e при сложении векторов складываются их соответствующие координаты: αe αe αe βe βe βe α β e α β e α β ( ) ( ) ( ) e Линейная зависимость векторов Векторы называются линейно зависимыми если существует набор чисел α i не равных нулю одновременно ( α α α ) что справедливо равенство α α α α Если же равенство справедливо только при α i то векторы называются линейно независимыми Для систем векторов справедливы следующие свойства: ) Если среди векторов i есть нулевой вектор то эти векторы линейно зависимы ) Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов то полученная система тоже будет линейно зависима ) Система векторов линейно зависима тогда и только тогда когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов

14 ) Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы и наоборот любые два линейно зависимых вектора коллинеарны ) Любые три компланарных вектора линейно зависимы и наоборот любые три линейно зависимых вектора компланарны ) Любые четыре вектора линейно зависимы Система координат Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат Положение произвольной точки в какойлибо системе координат должно однозначно определяться Система координат представляет собой совокупность точки (начала координат) и некоторого базиса Как на плоскости так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической физической или технической задачи Рассмотрим наиболее часто применяемые на практике системы координат Декартова система координат Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М Вектор OM назовем радиус-вектором точки М Если в пространстве задать некоторый базис то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел координаты ее радиус-вектора Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса Точка называется началом координат Прямые проходящие через начало координат называются осями координат: я ось ось абсцисс -я ось ось ординат -я ось ось аппликат Чтобы найти координаты вектора если известны координаты начальной и конечной точек нужно из координат его конца вычесть координаты начала те если ( ) ( ) то { } Базис называется ортонормированным если его векторы попарно ортогональны и их длины равны единице Декартова система координат базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора Если заданы две точки в пространстве ( ) ( ) то ( ) ( ) ( ) Если точка M ( ) делит отрезок АВ в соотношении µ то координаты этой точки определяются как: λ считая от А

15 µ λ λ µ µ λ λ µ µ λ λ µ В частном случае координаты середины отрезка имеют вид: ( ) ( ) ( ) Операции над векторами Линейные операции над векторами в координатах Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат { } { } тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид: { } { } α α α α Нелинейные операции над векторами Скалярное произведение векторов Скалярным произведением векторов и называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними ( ) osϕ Свойства скалярного произведения: ) ( ) ) ( ) если или или ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ost m m m m Если рассматривать векторы { } { } в декартовой системе координат то ( ) Используя полученные равенства получаем формулу для вычисления угла между векторами: ( ) os ϕ и формулу для нахождения проекции вектора на вектор: ( ) пр

16 Механический смысл работа силы F по перемещению тела из точки А в F точку В может быть найдена по формуле: ( ) Векторное произведение векторов Векторным произведением векторов и называется вектор с удовлетворяющий следующим условиям: ) ) и образуют правую тройку векторов ( направлен так что с его конца кратчайший поворот от вектора к вектору виден против часовой стрелки) ) si ϕ где ϕ угол между векторами и si ϕ ϕ π или Обозначается [ ] с ϕ в декартовой прямо- Свойства векторного произведения векторов: ) [ ] [ ] ) [ ] если или или ) [( m) ] [ ( m )] m[ ] ) [ ( ) ] [ ] [ ] угольной системе координат с базисом i j то i j [ ] ) Если заданы векторы { } { } ) Геометрический смысл: длина векторного произведения [ ] численно равна площади параллелограмма построенного на этих векторах а площадь треугольника половине длины S [ ] S [ ]

17 Смешанное произведение векторов Смешанным произведением векторов и называется число равное скалярному произведению вектора на вектор равный векторному произведению и ( ) [ ] ( ) Геометрический смысл: смешанное произведение ( ) по модулю равно объему параллелепипеда построенного на векторах и (рис ) Рис Свойства смешанного произведения: ) Смешанное произведение векторов равно нулю если: а) хотя бы один из векторов равен нулю б) два из векторов коллинеарны в) векторы компланарны ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) µ λ µ λ ) Объем треугольной пирамиды образованной векторами и равен: ( ) треугольной призмы ( ) четырехугольной пирамиды ( ) ) Если { } { } { } то ( ) [ ]

18 8 ) Если ( ) > то векторы образуют правую тройку а если ( ) < то левую Примеры решений расчетных заданий Примеры решений расчетных заданий по теме «Элементы линейной алгебры» Задание Используя правило Крамера решить линейную систему: Решение ) ( ) ( строка строка ) ( ) )( ( ) ( Ответ: X Задания Пусть: D Вычислить матричное выражение: ) ( T

19 Решение ) ( T ) ( T Задание Решить матричные уравнения X и X где Решение ) X * X X 8 * X T Проверка: X ) X X X X Проверка: X

20 8 Задание Решить матричное уравнение X где Решение * X X X 8 8 * * * * X T T Проверка: X Задание Решить однородную линейную систему: Решение: Найдем ранг матрицы коэффициентов ~ ~ ~ ~ > > ) ( r система совместна и неопределенна Выберем базисный минор и базисные переменные:

21 M Базисные переменные свободная Составим укороченную систему: <> <> Общее решение однородной системы: X o o При С частное решения системы чo X Проверка частного решения системы: Ответ: X o o Задание Найти общее решение системы Решение ~ ~ ~ ~

22 r ( ) r( ) система совместна > r система неопределенна Базисный минор и базисные переменные: M Базисные переменные: свободные и Укороченная система: > Общее решение неоднородной системы: X о н При частное решение системы: X ч н Проверка частного решения системы: 8 Ответ: X о н Примеры решений расчетных заданий по теме «Элементы векторной алгебры» Задание 8 В четырехугольной призме D D известны координаты ее вершин: ( ) () () () точкиq Q Q Q Q Q центры соответственно граней D D DD D D

23 Разложить по базису { i j } заданный вектор Q Q найти его длину и угол который он образует с вектором D Q D Q С Решение ) Разложение по базису { i j } вектора Q Q Q Q { } { } ) Длина вектора Q Q Q Q ( 8) ) Q Q ^ { } { } { } { } { } { } { } QQ ^ { : } { 8} ^ os( QQ ^ ) os( ^ ) 8 ( ) 8

24 os( Q Q ^ ) ros π ros Задание Даны векторы p { } q{ } Найти проекцию вектора на вектора если p q p q Решение ( ) Пр p q { } { p q } ( ) 8 8 Пр Задание Параллелограмм построен на заданных векторах m m Найти площадь параллелограмма если m и угол между векторами m π равен Решение [ ] [( m) ( m)] S пар [ ] [ m ] [ m] [ m m] [ m] [ m] [ m] π si Задание Треугольник задан своими вершинами: ( ) () () Найти его площадь Решение

25 S [ ] { } { } i j [ ] i j [ ] S Задание Тетраэдр задан вершинами в точках D Найти объем тетраэдра и его высоту опущенную из вершины на грань D если ( ) () ( ) D( ) Решение V V ( D ) S h тет парда D h V D парда h S D { } D { } { } V ( D ) пар да ( 8) S D [ D ] i j [ D ] 8i 8 j [ D ] 8 8 h 8 8 V тет V парда Задание Преобразовать данный базис

26 f и f в ортонормированный базис Дать геометрическую иллюстрацию Решение Введем следующую систему векторов: λ λ f f Найдем ) ( f λ 8 λ e e e e e e e e ee ee 8 8