СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВП Дюков ЮГ Костына ДА Крымских ГП Мартынов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Новосибирск

2 УДК 96 С 6 Рецензенты: Доктор физико-математических наук профессор Сибирской государственной геодезической академии ЕИ Оверков Кандидат физико-математических наук доцент Сибирской государственной геодезической академии ЕВ Бадатов Дюков ВП Костына ЮГ Крымских ДА Мартынов ГП Сборник задач по высшей математике Часть - Новосибирск: СГГА - с Сборник задач состоит из четырех разделов и подготовлен сотрудниками кафедры высшей математики СГГА Автором раздела «Элементы линейной и векторной алгебры» является Костына ЮГ Раздел «Аналитическая геометрия» составлен Дюковым ВП Мартынов ГП составил раздел «Введение в анализ» «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» подготовил Крымских ДА Разделы сборника соответствуют разделам учебного пособия «Высшая математика» тех же авторов Сборник задач соответствует разделам стандарта специальностей Института геодезии и информационных систем Института кадастра и информационных систем Института оптики и оптических технологий и Института дистанционного зондирования и природопользования УДК 96 Сибирская государственная геодезическая академия СГГА) Дюков ВП Костына ЮГ Крымских ДА Мартынов ГП

3 ОГЛАВЛЕНИЕ Элементы линейной алгебры Занятие Матрицы и действия над ними Занятие Определители и их свойства 6 Занятие Обратные матрицы 7 Занятие Системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ) и их исследование Решение СЛАУ методом Крамера 7 Занятие Решение систем линейных уравнений матричным методом и методом Гаусса 8 Элементы векторной алгебры 9 Занятие Понятие вектора Проекции вектора 9 Занятие Линейные операции над векторами Занятие Скалярное произведение векторов Занятие Векторное произведение векторов Занятие Смешанное произведение векторов Элементы аналитической геометрии Занятие Плоскость в трехмерном пространстве Занятие Прямая в трехмерном пространстве 6 Занятие Смешанные задачи на прямую и плоскость в пространстве 8 Занятие Прямая линия на плоскости 9 Занятие Кривые второго порядка: окружность эллипс Занятие 6 Кривые второго порядка: гипербола парабола Занятие 7 Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду Занятие 8 Полярная система координат 6 Введение в анализ 8 Занятие Функции и графики 8 Занятие Предел последовательности предел функции Раскрытие неопределенности 9 Занятие Замечательные пределы Занятие Непрерывность функции точки разрыва Занятие Обзор темы «Пределы» Дифференциальное исчисление функций одной переменной Занятие Дифференцирование функций Занятие Геометрическое значение производной 6 Занятие Производные высоких порядков 7 Занятие Дифференцирование функций заданных параметрически 8

4 Занятие Дифференциал функции 9 Занятие 6 Правило Лопиталя Занятие 7 Формула Тейлора Занятие 8 Интервалы монотонности функции экстремумы функции Занятие 9 Выпуклость и вогнутость графика функции точки перегиба Занятие Асимптоты графиков функций Занятие Общее исследование функций 6 Занятие Кривизна 8 6

5 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? 6 Когда возможна операция сложения матриц и как вычисляется результат? 7 Как найти произведение матрицы на число? 8 Когда возможна операция умножения матриц? Какова размерность результата умножения? По какому правилу вычисляется элемент матрицы результата при перемножении матриц? 9 Какие матрицы называются взаимно обратными? Даны матрицы 7 А В С 6 D Какую матрицу нужно прибавить к матрице А чтобы получить единичную матрицу Е? Найти АВ Найти -)А Найти А Найти АВ-С 6 Можно ли умножать матрицы и если можно указать размерность результата: а) R T б) R S в) R F 7 Найти произведения АВ и ВА и сравнить результаты 8 Найти АD и DА 9 Найти АЕ и ЕА Е единичная матрица) и сравнить результаты 7

6 8 ; 8 ; ; ; ; 6 а) можно б) нельзя в) можно ; 7 АВ 6 ВА не равны; AD DA не существует; 9 EA АE ЗАНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА У каких матриц может быть найден определитель? Как вычислить определитель второго порядка? Что такое минор? Что является алгебраическим дополнением элемента матрицы? Как вычисляется определитель го порядка? 6 Перечислите свойства определителей Вычислить определитель дважды: по элементам первой строки и элементам первого столбца Вычислить определители ) ; ) ; ) 7 ; ) ; ) ; 6) 7 6 9

7 ; ) 8; ) ; ) 8; ) 9; ) ; 6) 9 ЗАНЯТИЕ ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы Перечислите этапы вычисления обратной матрицы Для матриц соответствующих определителям задач из занятия найти обратные матрицы Не существует ) ЗАНЯТИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СЛАУ) И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ КРАМЕРА Привести общий вид СЛАУ В чем особенность однородных систем? Что такое решение системы? Из чего состоят основная и расширенная матрицы системы? Что такое ранг матрицы? 6 В чем состоит суть теоремы Кронекера Капелли? 7 Каково соотношение между числом неизвестных числом решений и рангом системы? 8 Что такое свободные неизвестные и когда их вводят? 9 Сформулировать теорему Крамера Исследовать имеют ли решения приведенные ниже системы В случае наличия решений указать их число Используя метод Крамера найти решения систем 6 8 9

8 ; ; система несовместна; t t t ; система несовместна; 6 ЗАНЯТИЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ И МЕТОДОМ ГАУССА Как вычисляются неизвестные матричным методом? В чем заключается идея метода Гаусса? Какие преобразования матриц называются элементарными? Какие системы являются эквивалентными? Как контролируются полученные результаты решения системы? Из занятия решить системы и 6 матричным методом и системы 6 методом Гаусса

9 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА Определение вектора Какие векторы являются коллинеарными а какие компланарными? Какие векторы считаются равными? Дайте определение оси Как найти проекцию вектора на ось? 6 Что такое линейная комбинация системы векторов? 7 Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов 8 Что такое базис ортогональный базис ортонормированный базис? 9 Что такое разложение вектора по заданному базису? Какой смысл имеют коэффициенты в разложении вектора по ортонормированному базису? Как вычислить модуль вектора заданного координатами в ортонормированном базисе? Как связаны между собой косинусы направляющих углов вектора? Даны две точки А-) и В6-) Найти координаты векторов АВ и ВА Вычислить их длины Определить координаты начала конца) вектора {-6} если его конец начало) совпадает с точкой 78) Вычислить длину и направляющие косинусы вектора {--6} Длина вектора равна 6 Найти координаты вектора если α β 6 γ Может ли вектор составлять с координатными осями углы: а) α β γ ; б) α 9 β γ 6 ; в) α β 6 γ ; г) α β γ 6? 6 Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы а) α β ; б) β 6 γ 6 в) α γ? 7 Вектор составляет с осями Ох и О углы α и γ Какой угол он составляет с осью Оу? 8 Определить координаты конца вектора если начало его расположено в начале координат длина его равна при этом α β γ 9 Вектор составляет с координатными Ох и Оу углы α 6 β Вычислить его координаты при условии что длина его равна

10 АВ{;-6;} ВА{-;6;-} /АВ//ВА/ 7 Координаты начала -) конца 79) Длина cosα / ; cos β / ;cos γ 6 / { } а) не может б) может в) может г) не может 6 а) не может б) может в) не может 7 6 или 8 ; ; ) или ; ; ) 9 ) или ) ЗАНЯТИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Что такое орт вектора? Чему равны координаты орта вектора? О чем говорит пропорциональность координат двух векторов? Каким законам подчиняются операции сложения и вычитания векторов? Как производятся линейные операции над векторами заданными разложениями в одном и том же базисе? 6 Что происходит при умножении вектора на число? По данным векторам aи b построить следующие векторы: a b a - b b - a - a -b Определить длины суммы и разности векторов а { 8} и b { } Векторы aи b образуют угол а b и а b причем а b Определить Определить при каких t и r векторы а i j t k и b i r j 6k коллинеарны Установить служат ли точки А-6) В7) С7) Д-) вершинами трапеции АВСД 6 Найдите орт вектора a {} 7 На плоскости даны векторы а { } и b { } в базисе i j) Найти разложение вектора с { 7 } принимая в качестве базисных если это возможно первые два вектора

11 8 Даны три вектора a { }; b { }; c { } в базисе i j k ) Если векторы a b c образуют базис в R то найти разложение вектора d { 6} по этому базису а b 6 а b ; а b 9 а b 7 ; t r ; служат ВС //АД; 6 а ; 7 c a b ; 8 d a b c ЗАНЯТИЕ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Дать определение скалярного произведения двух векторов Какие значения могут получиться в результате скалярного произведения? Перечислите свойства скалярного произведения Чему равно скалярное произведение вектора самого на себя? Как вычислить скалярное произведение если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе? Сформулируйте необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов 6 Как найти угол между векторами? Векторы aи b образуют угол ) a b ; ) 7) b ) a a ; ) b ; ) b ) π Зная что a b вычислить: a ; ) a b ) a b ); 6) b ) Даны векторы a { ; ; } b {6; ;} Вычислить ) a a b; ) ; a ; ) b ; ) a b ) a b ); ) a b ) ; 6) a b ) Даны единичные векторы a b c удовлетворяющие условию a b c Вычислить a b b c ca Даны векторы a b c удовлетворяющие условию a b c Зная что a b c определить a b b c ca

12 Известно что a b Определить при каком значении k векторы a kb a kb будут взаимно перпендикулярны 6 Даны вершины треугольника А-;-;) В-;-;) и С;-;) Определить его внутренний угол при вершине В и внешний угол при вершине А 7 Вычислить проекцию вектора a {;; } на ось вектора b { ; ;} 8 Найти проекцию вектора d { ; ;} на ось составляющую с координатными осями равные острые углы 9 Даны векторы a { } b { } и c { } Вычислить пр b c a Вектор коллинеарный вектору 6-8-7} образует острый угол с осью OZ Зная что длина вектора равна найти его координаты ) 6; ) 9; ) 6; ) ; ) 6; 6) 7; 7) 7 ) ; )6; ) 7; )-; ) 9; 6) / ± / 6 Внутренний при вершине В внешний при А {-} ЗАНЯТИЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Какая тройка векторов считается правой левой)? Что такое векторное произведение двух векторов? Каков геометрический смысл модуля результата векторного произведения? Как перемножить векторно векторы заданные своими координатами в декартовой системе координат? В чем состоит условие коллинеарности векторов? Какой вид условие коллинеарности имеет в ортонормированной системе координат? Определить какой является тройка векторов a b с правой или левой) если номер a b с а k i j б i k j в j i k г i j j k д е i j i j j i j i j k

13 Векторы а и b образуют угол ϕ π / 6 Зная что а 6 b вычислить [ а b ] Даны: а b и b а Вычислить [ b ] а Векторы а и b взаимно перпендикулярны Зная что a b& вычислить: а) [ a b ) a b )] ; б) [ a b ) a b )] Векторы a и bобразуют угол π / ϕ Зная что а [ b [ а) [ a b ] ; б) [ a b ) a b )] ; в) [ a b )a b )] вычислить: 6 Даны векторы a { }; b { } Найти координаты векторных 7 Даны точки А) В-) и С6) Вычислить площадь треугольника АВС 8 Даны вершины треугольника А-) В-6) и С-) Вычислить длину его высоты опущенной из вершины В на сторону АС b образует с произведений: а) [ a b ]; б) [ a b ) b ]; в) [ a b )a b )] 9 Вектор х перпендикулярный к векторам а { } и { } осью Оу тупой угол Зная что длина хравна 6 найти его координаты а) правая; б) левая; в) левая; г) правая; д) векторы компланарны; е) левая 6 а) б) 6 а) ; б) 7; в) 6 а) {7}; б) {}; в) {8} 7 8 9{-6-8} ЗАНЯТИЕ СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Что такое смешанное произведение векторов? Каков геометрический смысл модуля смешанного произведения? Как найти смешанное произведение векторов заданных координатами в ортонормированной системе координат? Условие компланарности трех векторов Почему при написании выражения смешанного произведения не указывается какие векторы умножаются векторно?

14 Векторы а b с образующие правую тройку векторов взаимно перпендикулярны Зная что а b с вычислить а b с Вектор с перпендикулярен к векторам а и b Угол между а и b равен Зная что а 6 b с вычислить а b с Доказать что а b с а b с В каком случае имеет место знак равенства? Даны векторы а { } b { } { } Установить компланарны ли векторы а b с если с Вычислить а b с Номер а в с а {-} {-} {9-} б {-} {} {--} в {-} {-} {-7} 6 Доказать что точки А-) В) С-) Д) лежат в одной плоскости 7 Вычислить объем тетраэдра вершины которого находятся в точках А-) В) С-) и Д) ± 7знак плюс если тройка векторов а b с правая и минус - если тройка левая) Знак равенства если векторы взаимно перпендикулярны 7 а) компланарны; б) не компланарны; в) компланарны 7 6

15 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости и уравнение плоскости проходящей через заданную точку Объяснить смысл величин входящих в это уравнение Как вычислить угол между плоскостями? Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей Построить плоскости: а) б) 7 в) г) 6 Построить плоскость 6 и найти углы нормали к плоскости с осями координат Даны точки М ; - ; ) и М ; ; ) Написать уравнение плоскости проходящей через точку М и перпендикулярной к вектору М М Написать уравнение геометрического места точек равноудаленных от точек А ; ; ) и В ; ; ) Написать уравнение плоскости проходящей через ось Ох и точку М ; - ; ) 6 Найти угол между плоскостями: а) 8 и 6 б) 6 и в) 8 и 6 7 г) и 7 Написать уравнение плоскости проходящей через точку М - ; - ; ) и перпендикулярной к плоскостям и 8 Написать уравнение плоскости проходящей через точки М - ; - ; ) и М ; ; ) и перпендикулярной к плоскости 9 Найти расстояние от точки М ; ; - ) до плоскости Найти расстояние точки М ; ; ) от плоскости проходящей через точки М ; ; ) М ; - ; ) и М ; ; ) Найти расстояние между параллельными плоскостями и 8 7

16 Написать уравнение плоскости проходящей через линию пересечения плоскостей 6 и и через точку М; ; ) Найти точку пересечения плоскостей 9 6 Написать уравнение плоскости проходящей через точки М ; - ; ) М ; ; ) и перпендикулярной к плоскости Построить ее 6 cos α cos β cosγ ; ; 7 7 о о ; ; 6 а) б) 78 в) о г) о 9 ; 7 ; 8 ; 9 ; 6 ; ; 8 9 ; ; - ; ); ЗАНЯТИЕ ПРЯМАЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Какие уравнения прямой Вам известны? Записать каждое из них Объяснить смысл постоянных параметров входящих в канонические уравнения прямой Как на прямой заданной уравнениями отыскать какую-либо точку? рассмотреть все виды уравнений прямой) Как перейти от одного вида уравнений прямой к другому? Как вычислить угол между двумя прямыми? Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Составить канонические уравнения прямой проходящей через точку М ; ; - ) параллельно: а) вектору а r { ; ; } б) прямой в) оси Ох Написать канонические и параметрические уравнения прямой Спроецировать прямую на плоскость 8

17 9 Через точку М ; - ; ) провести прямую перпендикулярную прямым и 6 В плоскости XOZ найти прямую перпендикулярную к прямой и проходящую через начало координат 6 Найти угол между прямой и прямой проходящей через начало координат и через точку М ; - ; - ) 7 Написать уравнения прямой проходящей через точку М - ; ; ) и параллельной прямой 8 Написать уравнение перпендикуляра опущенного из точки М ; - ; ) на ось ОУ 9 Через точку М ; - ; ) провести прямую: а) параллельную оси OZ; б) параллельную прямой 9 6 ; в) параллельную прямой 7 Проверить пересекаются ли прямые: а) 7 и 6 ; б) и 8 а) б) в) ; 7 t t t 7 ; 8 ; 67 9 ; ; 6 cos ϕ ; 7 ; 8 ; 9 а) б) 9 6 в) 7 ; а) да б) да

18 ЗАНЯТИЕ СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Как вычислить угол между прямой и плоскостью? Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости Как выяснить что прямая и плоскость имеют точку пересечения прямая принадлежит плоскости прямая параллельна плоскости и не принадлежит ей? Доказать что прямая t t t параллельна плоскости 6 Доказать что прямая лежит в плоскости 7 7 Найти точку пересечения прямой и плоскости: а) ; 6 б) ; в) 6 Составить уравнение плоскости проходящей через точку М ; - ; ) перпендикулярно к прямой При каких значениях А и D прямая t t t лежит в плоскости A D? 6 Найти проекцию точки М ; - ; ) на прямую t t 7 t 7 Найти проекцию точки М ; ; - ) на плоскость 8 Найти точку Q симметричную точке Р ; ; - ) относительно плоскости 9 Найти уравнение плоскости которая проходит через точку М ; ; - ) и через прямую Проверить что прямые 8 6 и пересекаются и написать уравнение плоскости проходящей через них

19 Найти расстояние между двумя прямыми: и 7 а) ; -; 6 ) б) прямая параллельна плоскости в) прямая лежит в плоскости; ; А D - ; 6 ; - ; ); 7 ; ; - 7); 8 - ; ; ); ; 8 8 ; ЗАНЯТИЕ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ Напишите известные Вам виды уравнений прямой на плоскости и объясните смысл величин входящих в эти уравнения Как вычислить угол между двумя прямыми? Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже зная её угловой коэффициент k и отрезок «b» отсекаемый ею на оси Оу: а) k b ; б) k b ; в) k b - ; г) k b Дана прямая Составить уравнение прямой проходящей через точку М ; ): а) параллельно данной прямой; б) перпендикулярно к данной прямой Даны уравнения двух сторон прямоугольника 7 и одна из его вершин А ; - ) Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника Даны уравнения двух сторон прямоугольника и уравнение одной из его диагоналей 7 Найти вершины прямоугольника Найти проекцию точки Р - 8; ) на прямую проходящую через точки А ; - ) и В - ; ) 6 Найти точку М симметричную точке М 8-9 ) относительно прямой проходящей через точки А ; - ) и В - ; - ) 7 Даны середины сторон треугольника М ; ) М ; ) и М ; - ) Составить уравнения его сторон

20 8 Даны вершины треугольника М ; ) М - ; - ) и М ; ) Составить уравнения его высот 9 Даны вершины треугольника А ; - ) В - ; ) и С ; ) Составить уравнение перпендикуляра опущенного из вершины А на медиану проведенную из вершины В Определить угол между двумя прямыми: а) 7 ; б) 7 ; в) ; г) Даны уравнения сторон треугольника ; Доказать что этот треугольник равнобедренный Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ уравнения высот AM и BN 7 Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника Составить уравнения сторон треугольника если даны одна из его вершин В - ; - ) и уравнения двух высот и 8 Определить при каких значениях «а» и «b» две прямые a 6 b : а) имеют одну общую точку; б) параллельны; в) совпадают Вычислить площадь треугольника отсекаемого прямой от координатного угла 6 Составить уравнение прямой которая проходит через точку Р ; ) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины считая каждый отрезок от начала координат а) 9 б) в) г) ; а) 7 б) ; ; ; ) ; ) - ; 7) ; 8); - ; ); 6 M ; - ); ; 8 ; 9 ; π π 6 a) б) в) г) arc tg ; BC: CA: 7 CN: ; 8 7 ; а) при а б) при а и b в) при а и b; 6;

21 6 ЗАНЯТИЕ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА: ОКРУЖНОСТЬ ЭЛЛИПС Дать определение окружности эллипса Напишите канонические уравнения окружности эллипса и объясните смысл величин входящих в эти уравнения Что характеризует эксцентриситет эллипса? Написать уравнения директрис эллипса объяснить смысл величин в этих уравнениях показать расположение директрис и эллипса на чертеже Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев: а) окружность проходит через точку А ; 6 ) и ее центр совпадает сточкой С -; ); б) точки А ; ) и В -; 6) являются концами одного из диаметров окружности; в) центр окружности совпадает с началом координат и прямая является касательной к окружности; г) центр окружности совпадает с точкой С ; - ) и прямая 9 является касательной к окружности Написать уравнение окружностей радиуса R касающихся прямой в точке М ; ) Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и радиус R каждой из них: а) ) ) б) ) 6 в) ) ) г) Определить при каких значениях углового коэффициента k прямая k а) пересекает окружность 6 ; б) касается этой окружности; в) проходит вне этой окружности Вычислить расстояние от центра окружности до прямой проходящей через точки пересечения двух окружностей: Составить уравнение эллипса фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат зная кроме того что:

22 а) расстояние между его фокусами с 6 и эксцентриситет ε ; б) его большая ось равна а эксцентриситет ε ; в) его малая ось равна а эксцентриситет ε ; г) расстояние между его директрисами равно и расстояние между фокусами равно 7 Дан эллипс 9 Найти: а) его полуоси; б) фокусы; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис 8 Через фокус эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси Определить расстояние от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов 9 Составить уравнение эллипса если известны его эксцентриситет ε фокус F - ; ) и уравнение соответствующей директрисы Точка А -; -) лежит на эллипсе фокус которого F - -) а соответствующая директриса дана уравнением Составить уравнение этого эллипса Точка М ; - ) является концом малой оси эллипса фокусы которого лежат на прямой 6 Составить уравнение этого эллипса зная его эксцентриситет ε Найти точки пересечения прямой 7 и эллипса а) ) ) б) ) ) 8 в) 6 г) ) ) ; ) ) ) ) ; а) C ; -) R б) C - ; ) R 8 в) уравнение определяет единственную точку - ; ) г) уравнение не определяет никакого геометрического образа на плоскости; а) k < б) k ± в) k > ; ; 6 а) 6 б) 6 в) 69 г) ; 7 а) и б) F - ; ) F ; ) в) ε г) х ± ; 8 и 8; 9 9 ; 8 ;

23 6 ; ; и ; ) ЗАНЯТИЕ 6 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА: ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Дать определения гиперболы параболы Напишите канонические уравнения гиперболы и параболы объясните смысл величин входящих в эти уравнения Напишите уравнения директрис асимптот гиперболы покажите на чертеже их расположение относительно гиперболы Чему равен эксцентриситет параболы? Покажите на чертеже расположение директрисы относительно параболы Составить уравнение гиперболы фокусы которой расположены на оси абсцисс симметричны относительно начала координат зная кроме этого что: а) расстояние между фокусами с 6 и эксцентриситет ε ; б) ось а 6 и эксцентриситет ε ; в) уравнение асимптот у ± х и расстояние между фокусами с ; г) расстояние между директрисами равно и расстояние между фокусами с 6 Дана точка М ; ) на гиперболе Составить уравнения 8 прямых на которых лежат фокальные радиусы точки М Убедившись что точка М 9 ; лежит на гиперболе 6 9 определить фокальные радиусы точки М Эксцентриситет гиперболы ε центр её лежит в начале координат один из фокусов F ; ) Вычислить расстояние от точки М гиперболы с абсциссой равной до директрисы соответствующей данному фокусу Определить точки гиперболы расстояние которых до правого 6 6 фокуса равно

24 6 Установить что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу и найти координаты её центра С полуоси эксцентриситет уравнения асимптот и директрис: а) ; б) Составить уравнение параболы вершина которой находится в начале координат зная что: а) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси Ох и её параметр р ; б) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох и её параметр р ; в) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу и её параметр р г) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси Оу и её параметр р 8 Найти фокус F и уравнение директрисы параболы у х 9 На параболе у 6х найти точки фокальный радиус которых равен Составить уравнение параболы если даны её фокус F 7; ) и директриса х Определить точки пересечения прямой х у и параболы у 9х В следующих случаях определить как расположена данная прямая относительно данной параболы пересекается ли касается или проходит вне её: а) х у у 8х ; б) 8 х у х у ; в) х у у х а) б) 6 6 в) 6 6 г) ; х у х ; r r ; ; 9 9 ; и ; - ; 6 а) С ; - ) а b ε уравнения 6

25 директрис: х 9 и х уравнения асимптот: х у 7 х у ; б) С - ; ) а 8 b 6 ε уравнения директрис: х и х уравнения асимптот: х у х у 9 ; 7 а) у 6х б) у х в) х у г) х 6 у ; 8 F 6; ) х 6 ; 9 9; ) 9; - ); х у у 7; - ; 6) прямая касается параболы; а) касается параболы б) пересекает параболу в двух точках в) проходит вне параболы ЗАНЯТИЕ 7 ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ Что такое параллельный перенос системы координат? Приведите формулы связи «старых» и «новых» координат Приведите формулы связи «старых» и «новых» координат при повороте системы координат без изменения её начала Объясните методику приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду используя последовательно поворот системы координат и параллельный перенос системы координат Какой результат достигается на каждом из этих этапов преобразования системы координат? Выяснить геометрический смысл уравнений: а) б) в) г) 6 8 д) е) 6 Поворотом осей координат преобразовать уравнения к каноническому виду и построить кривые: а) ху б) ху Преобразовать уравнения к каноническому виду и сделать чертеж: а) ху х у б) 6ху х у в) ху х у г) ху 6х у 8 7

26 а) две прямые у ± х б) точка ; ) в) мнимая окружность г) точка ; ) д) две прямые х е) две прямые у ± ; а) Х У б) Х У 6 ; а) х у 8 б) х у 8 в) у х г) две прямые х у ± ЗАНЯТИЕ 8 ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Что такое полярные координаты точек? Укажите их связь с декартовыми координатами этой точки Как от декартовых координат точки перейти к полярным координатам и наоборот? Как написать уравнение линии в полярных координатах если известно её уравнение в декартовых координатах и наоборот? π В полярной системе координат ϕ ; r) построить точки A ; ) A ; π π π π π A ; A π ; ) A ; A 6 ; - A 7 ; A 8 ; π A 9 ; - Построить линию r cosϕ построение провести с помощью таблицы π π π значений r для ϕ ; ± ; ± ; ± ; π ) Построить линии: а) r a ϕ спираль Архимеда) б) r a cosϕ ) кардиоида) π b Построить линии: а) r a б) ϕ в) r siϕ Написать в полярных координатах уравнение прямой отсекающей от полярной оси отрезок «а» и перпендикулярной к ней 6 Написать в полярных координатах уравнение окружности с центром в точке С ; а ) и радиусом равным «а» 8

27 7 Преобразовать к полярным координатам уравнения линий: а) х у а б) х у а в) у е) ) ) г) у х д) х у ах х у а х у 8 Преобразовать к декартовым координатам уравнения линий и построить эти линии: а) r cos ϕ a б) r a siϕ в) r si ϕ a 9 Написать канонические уравнения кривых второго порядка: 9 9 а) r б) r в) r cosϕ cosϕ cosϕ a r ; 6 r a cosϕ ; 7 а) cosϕ a r б) r a в) cos ϕ r siϕ г) tg ϕ д) r a cosϕ е) r a cosϕ ; 8 а) х а б) a в) a ; 9 а) 9 б) 6 9 в) 6 9

28 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ЗАНЯТИЕ ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Что называется функцией? Какие функции называются сложными? Перечислите основные элементарные функции? Как построить график функции f ) D? Сформулируйте план построения графика функции: A f k b) B ; ) Найти область определения следующих функций: а) у х х б) arcsi в) log cos ) 6 г) log 8) д) arcsi е) Представить сложные функции в виде суперпозиции основных элементарных функций: а) cos б) lsi )) в) ctg log г) arс cos д) si ) е) log ) ж) tg 8) Построить графики функций: а) б) в) si ) г) 8 7 д) cos е) <

29 π π ; U ; б) ; 6 в) ; г) ; ; U ; а) ] [ ) д) [ ] е) ) ) ; 8 ЗАНЯТИЕ ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Что называется пределом последовательности? Что называется пределом функции в точке на бесконечности? Перечислите основные и не основные неопределенности 8 Доказать что последовательность имеет предел А - Доказать что функция имеет предел А 9 при Найти пределы: а) lim б) lim х 9 в) lim г) lim х 8 д) lim е) lim 7 9 ж) lim з) lim и) lim )) к) lim ± 7 л) lim м) lim 9 н) lim п) lim р) lim с) lim 9 )) 9 ±

30 а) б) в) и) при х при х к) л) м) п) 6 р) с) г) д) е) - ж) з) при при н) 6 ЗАНЯТИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ Запишите первый замечательный предел Запишите различные варианты второго замечательного предела Какие неопределенности «раскрываются» с помощью первого замечательного предела с помощью второго замечательного предела? Найти пределы при помощи замечательных пределов: si ) lim ; si) tg ) lim ; cos) cos lim ; π lim ; π si tg lim ; 6 lim ; 7 lim ± ; 8 lim ; 9 lim ) l ) l ) )) ± arcsi lim ; lim ; lim ) ; cos) lim ; si ;

31 si) lim ; π tg π si) ; lim π 6 lim ; 7 8 lim ± lim ) ; 8 lim ; ; 9 lim l ) l ) ) ; lim ) ; ; ; ; 6 e ; 9 6; ; 6 e ; 7 e ; 6 e ; e ; 8 при ; e ; 7 при ± при 6 e ; ; ; 9 ; 9 ; e ; e ; ЗАНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ТОЧКИ РАЗРЫВА Какая функция называется непрерывной в точке? Сформулируйте критерий непрерывности функции в точке Что называется точкой разрыва функции? Дайте классификацию точек разрыва Дана функция )/ ) ; A При каких значениях А функция ) будет непрерывной в точке х? Постройте график функции Исследовать на непрерывность следующие функции и схематически построить их графики в окрестности точек разрыва: а) ; б) ;

32 < в) si ) π ; г) ; π π < д) ; е) tg < < π π Дана функция A > При каких значениях А функция ух) будет непрерывной в точке х? Постройте график функции А-; а) х-точка разрыва второго рода б) х-точка разрыва второго рода в) х-точка неустранимого разрыва первого рода г) х-точка разрыва второго рода д) х точка неустранимого разрыва первого рода е) х точка устранимого разрыва первого рода π -точка разрыва второго рода; А ЗАНЯТИЕ ОБЗОР ТЕМЫ «ПРЕДЕЛЫ» Найти пределы: ) lim 8 ) lim t t ) lim t 7) lim 9) lim 6 ) lim ) lim 6) lim m 8) lim m m 9 9 ) lim

33 8 7 ) lim si ) ) lim ) tg tg ϕ ) ) lim si ) ϕ 7) lim 9) lim t 9 ) lim cos ) lim si 6) ) ) ) ) lim si tg 8) lim ) lim t ) 7 ) ) ) ) 6 ) 7) 8 ) 9) 6 7 ) 8 ) ) ) ) ) 8 ) 6 ) 9 6 7) e 9 8) e 9) e ) e

34 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ЗАНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Чему равны производные основных элементарных функций? Как определяется производная сложной функции? Как определяется производная суммы произведения частного? Продифференцировать функцию: ) 7 ) tg 7 ) ) arcsi ) arctg ) 6) log 7 ) 7) l 8) si 7 9) arcctg ) arccos /) ) l ) ) ) ) ) ) l 7) 6) arctgcos 7) 7) cos 8) arcsi ) 9) l arcsi ctg ) l 9) f ) ) Найти f ) f ') f ) f ' ) f ) f ') f ) cos Найти f π /) f ' π /) f π / ) f ' π / ) f ) Найти f ) f ') f 9) f '9) 6 При каких значениях : ) ' ) ) ' ) 8 6 Используя логарифмирование продифференцировать функцию: ) ) si ) ) arctg ) ) tg cos) ) l ) 6) l 6

35 ) 6 7 ) ) ) cos 7 ) ) l ) 6) 7) ) l 7 9 8) si 7 7 cos 7 9) ) ) ) 9 6 ) ) ) ) ) ) si 7 si ) 6) 7) 7) l 7) 7 cos 7) cos ) 8) 9) ) arcsi ctg ) ; si l 9) 9) l 9) f ) f ') f ) 6 f ' ) f ) f ') ; f π /) / f ' π /) f π / ) f ' π / ) ; f ) f ') / 8 f 9) 6 / 7 f '9) / 9; ) ; ) ; 6 ) l ) ) si ) l si ctg ) ) ) ) arctg ) l arctg ) arctg tg lcos ) cos ) tg cos l ) ll ) 6) l l l ) 7

36 ЗАНЯТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Что называется касательной к кривой? Чему равен угловой коэффициент касательной? Написать уравнение касательной проведенной к кривой l ) в точке ;) Написать уравнение касательной проведенной к кривой si в точке π /; / ) В каких точках кривой 6касательная имеет угловой коэффициент равный 9 Найти угловой коэффициент касательных проведенных к кривой в точках ее пересечения с прямой 7 При каком значении независимой переменной касательные к кривым и параллельны? В какой точке кривой касательная параллельна прямой 7? 7 В какой точке кривой ) касательная перпендикулярна прямой 8? 8 Написать уравнение прямой проходящей через точку ;) перпендикулярно касательной к кривой 7 проведенной в точке ; ) 9 Написать уравнение прямой проходящей через точку ; ) параллельно касательной к кривой e проведенной в точке ; ) Найти точку пересечения прямой 7 и касательной к кривой ) проведенной в точке ; ) π ; ; ;) ; ; ± ; 6 ;) ; 7 6;) ; 8 ; 9 7 ; ; ) 8

37 ЗАНЯТИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ Что называется второй производной? Что называется производной ого порядка? Найти вторые производные от функции: ) 9 6 ) si 7) ) ) l ) arctg 6) lsi e f ) ) Найти f ) f ') f '') f ) f ') f '') f ) cos Найти f π /9) f ' π / 9) f '' π / 9) Доказать что ) π ) si ) ) π si ) cos ) cos ) ) )!! ) l ) ) ) ) ) K ) ) ) ) > ) / ) ) ) 6) u v) u v ) ) 7) f c c )) c ft t) где t c c; c c постоянные Найти общее выражение для производной ого порядка от функции: ) e ) si cos ) e ) l ) ) 8 ) si 7) ) ) e ) l 8 ) 6) ; 6 ) si f ) f ') f '') 8 f ) 9 f ') 68 f '') 6; f π / 9) / f ' π / 9) / f '' π / 9) 9 / ; ) ) e ) si π / ) cos π / ) ) ) )! ) ) e 9

38 ЗАНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ Какие уравнения параметрически задают функцию? ' Как определить производную функции заданной параметрически не находя явной зависимости от? Как определить вторую производную рически не находя явной зависимости от? '' функции заданной парамет- Построить графики функций заданных параметрически ) cost si t; ) 7cost sit; ) t si t cost Для функции заданной параметрически найти ) cost si t; ) cos t si t; ) t t ; ) l t t ; ) t si t) cost); 6) t cost t si t ' '' ' ctgt '' ' '' ) ) tgt si t cos t si t ' '' ' '' ) ) t t t 6t ' si t '' ) cost cost) ' si t t cos t '' t 6) cos t t si t cos t t si t)

39 ЗАНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ Что называется дифференциалом функции? Что означает инвариантность формы дифференциала? Что называется вторым дифференциалом? Найти дифференциал функции: ) ) si ) ) arctg ) l ) ) 7 6) 7) cos 8) si ) Найти второй дифференциал функции: ) ) l ) arcsi 7 Даны функции l u u Выразить d d через ) d; ) u du Даны функции arctg u u Выразить d d через ) d; ) u du ) d ) cos ) d ) d ) l ) d ) ) ) si ) 7 l 7d 6) d 7) d / ) ) l si si ; 8) ) ctg d ) ) d ) ) d ) 7) ) ) d )) / d d du d u du ) d d ) d d ; u u u d ) d ) d d / ) ;

40 du d u u ) du ) d d u u) u u) / u u) ЗАНЯТИЕ 6 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ Что называется неопределенностью при вычислении предела? К неопределенностям какого вида применяется правило Лопиталя? В чем состоит правило Лопиталя? Вычислить пределы ) lim l cos ) lim arctg ) lim e l ) ) lim ) lim 6) lim l ) cos si l si cos 7) lim 8) lim l cos ) 9) lim si / l ) lim e ) ) lim l ) lim ) lim si / ) lim e ) l ) ) lim 9 ) ) ) 9 ) ) 6) 7) 8) 9) ) 8 ) ) ) ) e )

41 ЗАНЯТИЕ 7 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Что называется формулой Тейлора и формулой Маклорена? Что называется остаточным членом формулы Тейлора? Какой вид имеет формула Маклорена для функции e si cos? Написать формулу Тейлора ого порядка для функций: ) при a ) при a ) при a 9 ) при a ) l ) при a Написать формулу Маклорена ого порядка для функции l ) Используя формулу Маклорена для функций e si cos написать формулы Маклорена для функции ) si ) cos ) Пользуясь приближенной формулой e e найти 6 ) e ) e ) ) и оценить погрешность e e Какого порядка следует брать формулу Маклорена для функций cos si чтобы вычислить 6 ) cos с точностью ) si с точностью ) cos с точностью ) si с точностью 6 Пользуясь приближенной формулой l ) найти: ) l ; ) l ; ) l и оценить погрешность

42 ) ;) )) ) ) ) ) 8 ) θ θ K ; ) 7 ) ) 9 ) 7 K ;) 7) ) ) ) θ θ ; ) 9)! ) ) 6 9) 6 9 K K ) ;) 9) 9 )! 9) ) ) θ θ K ; ) )! ) 7 ) ) K K ) ;) `) 9 )! ) ) θ θ K ; ) ) ) ) ) l K ;) )) ) ) θ θ ; ;) ) ) ) ) ) l θ θ K ; ) )! ) )! )! ) si K ;) si )! ) θ π θ ) )! ) )! )! ) cos K

43 ) cosθ ) π ) θ ;) )! θ ) ) ) e ) e K ) ) θ ;)!!! )! 8 79 ) e 67 R < ) e 66 R < < ) 6 R < < e ) 7786 R < < ; e ) cos 9689 ) si ) cos 9 ) si 77; ) l R < < ) l 98 R < < 7 7 ) l 6 R < ЗАНЯТИЕ 8 ИНТЕРВАЛЫ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ Какова зависимость направления роста функции от ее первой производной? Что называется максимумом минимумом и экстремумом функции? Что называется критической точкой графика функции? Какие условия являются необходимыми условиями экстремума функции? Какие условия являются достаточными условиями экстремума функции? 6 Что можно сказать о значениях непрерывной функции определенной на отрезке?

44 Найти интервалы монотонности функции ) ) ) ) ) l ) 6 ) ) si 6) Найти экстремумы функции ) 9 ) ) ) ) ) l ) 6) 8 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке ) на [ ;]; ) si на [ ; π ]; ) 8 ) на [ ; ]; ) на [ ;]; ) 8 на ; ; 6) на [ ;] 9 ) ;) ; ) возрастает ;) убывает ) ; ) ; / ) возрастает / ;) ; ) убывает ) ; ) возрастает ; ) убывает ) везде возрастает ) везде возрастает 6) ; ) возрастает ; ) убывает; ) ) 7максимум ) минимум ) ) минимум ) / ) минимум ) ) 6 максимум ) 6 минимум ) экстремумов нет 6) ) минимум; ) ) ) 7 ) π / ) π / ) ) ) ) ) ) ) ) / ) 8 / ) 6) ) ) / 9 ЗАНЯТИЕ 9 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Что означает выпуклость и вогнутость графика функции? Как значения второй производной влияют на выпуклость и вогнутость графика функции? Что называют точкой перегиба? При каких условиях график функции имеет точку перегиба? 6

45 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции ) ) ) l 8 ) ) ) 7 ) l 6) 7) 8) Выяснить вид графика функции если известно что на интервале a ; b) ) > ' > '' > ; ) < ' < '' > ; ) > ' < '' < ; ) < ' > '' < a имеет точки При каких значениях a график функции ) перегиба? При каких значениях b функции a b? a точка ; ) служит точкой перегиба графика ) ; 8) точка перегиба ;) выпуклость ; ) вогнутость ) ; 8) ; 6) точки перегиба ;) выпуклость ; ) ; ) вогнутость ) ± ; l ) точки перегиба ; ) ; ) выпуклость ; ) вогнутость ) точек перегиба нет график вогнутый 9 9 ) 6; ;) 6; точки перегиба 6;) 6; ) выпуклость ; 6) ;6) вогнутость 6) ± ;) точки перегиба ; ) ; ) выпуклость ; ) вогнутость / / 7) e ; e точка перегиба / / ;e )выпуклость e ; ) вогнутость 8) точек перегиба нет график вогнутый; a < ; a b 9 7

46 ЗАНЯТИЕ АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ Что называется асимптотой графика функции? Какие бывают асимптоты? Как определяются наклонные асимптоты? Сколько наклонных асимптот может быть у элементарной функции? Найти асимптоты графиков функции: ) ) ) 6 ) e ) l ) 6) le 7) 8) arctg При каких значениях a и b график функции асимптоту? Найти асимптоты линий заданных параметрически t t t e t e ) ; ) t t t t a имеет b ) ± ) ± ) ) ) 6) / e / e 7) 8) ±π / ; a 8 b ; ) ) / e ЗАНЯТИЕ ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ Что называется областью определения функции? Что можно сказать о непрерывности элементарных функций? Какие функции являются четными а какие нечетными? Какие функции являются периодическими? Что называется точкой разрыва графика функции? 6 Как определить экстремумы функции? 7 Как определить интервалы монотонности функции? 8

47 8 Как определить точки перегиба графика функции? 9 Как определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции? Как найти асимптоты графика функции? Провести полное исследование функции и начертить ее график 8 ) ) ) 9 9 ) ) 6) 7) ) e 8) si 9) 6 ) e ) функция определена и непрерывна на всей числовой оси ) максимум ) минимум ; 6) точка перегиба ; ) ; ) интервалы возрастания ;) интервал убывания ;) интервал выпуклости ; ) интервал вогнутости ) функция определена и непрерывна на всей числовой оси четная ) минимум ; ) интервал возрастания ;) интервал убывания график функции вогнутый ± асимптоты ) функция определена и непрерывна на всей числовой оси нечетная ) / максимум ) / минимум ; ) интервал возрастания ; ) ; ) интервалы убывания ± ; ± / ) ;) точки перегиба ; ) ; ) интервалы выпуклости ;) ; ) интервалы вогнутости асимптота ) функция определена и непрерывна на всей числовой оси кроме ± нечетная всюду убывает ;) точка перегиба ; ) ;) интервалы выпуклости ;) ; ) интервалы вогнутости ± асимптоты ) функция определена и непрерывна на всей числовой оси кроме ± нечетная ) 9 / максимум ) 9 / минимум ;) точка перегиба ; ) ; ) интервалы возрастания ; ) ; ) ;) интервалы убывания 9

48 ; ) ; ) интервалы выпуклости ;) ; ) интервалы вогнутости ± асимптоты 6) функция определена и непрерывна на всей числовой оси кроме 6) 7 / максимум ;) точка перегиба ; 6) ; ) интервалы возрастания 6; ) интервал убывания ; ) ;) интервалы выпуклости ; ) интервал вогнутости асимптоты 7) функция определена и непрерывна на всей числовой оси ) e максимум ; e ) точка перегиба ;) интервал возрастания ; ) интервал убывания ;) интервал выпуклости ; ) интервал вогнутости асимптота 8) функция определена и непрерывна на всей числовой оси четная абсциссы точек экстремума удовлетворяют уравнению tg абсциссы точек перегиба удовлетворяют уравнению tg 9) функция определена и непрерывна на всей числовой оси ) максимум ) минимум 6;) точка перегиба ;) интервал возрастания ;) ; ) интервалы убывания ;6) интервал выпуклости 6; ) интервал вогнутости асимптота ) функция определена и непрерывна на всей числовой оси ) e максимум ) минимум ± абсциссы точек перегиба ;) интервал возрастания ;) ; ) интервалы убывания ; ) интервал выпуклости ; ) ; ) интервалы вогнутости асимптота

49 ЗАНЯТИЕ КРИВИЗНА Что называется кривизной кривой? Как определить кривизну кривой заданной явно? Найти кривизну данной линии ) гиперболы / в точке ;) ; ) в точке ; ); ) эллипса / 9 / в вершинах; ) l ) в начале координат ) l ) в начале координат; 6) cos в точках максимума и минимума данной функции Найти кривизну данной линии в произвольной точке ; ) ) 6 ) 6 ) a b ) l si В какой точке парабола имеет наибольшую кривизну? В какой точке кривизна кривой равна нулю? ) / ) ) / 9 / ) / ) ) 6) ; 6 ) ) ) ) / 9 ) ) si ; 6; 6) ; ;) ) / ) a b a b ) /


1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

и плоскостью, проходящей через точки K(0; 0; 1), L(2; 4; 6), M(2; 2; 3). 4. Дана функция Вычислить ее производную 20-го порядка в точке x = 0.

и плоскостью, проходящей через точки K(0; 0; 1), L(2; 4; 6), M(2; 2; 3). 4. Дана функция Вычислить ее производную 20-го порядка в точке x = 0. Билет Матрицы, действия над ними Числовая последовательность, свойства бесконечно малых последовательностей Вычислить расстояние от точки M( ; ; ) до плоскости, проходящей через точки A( ; ; 0), B( ; ;

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (I семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3»

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра «Высшая математика 3» Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу «Математика. -й семестр» для

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию - учебного года для I курса экономического факультета дневного отделения (специальностей «экономика» и «экономическая теория») заочного

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики Задания для практических занятий по темам «Векторная и линейная

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Письменный экзамен проводится в течение двух часов. На экзамене каждому студенту

Подробнее

«Строительство» 1 семестр

«Строительство» 1 семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление 270800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-1». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 4 Практические занятия

Подробнее

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 Поток: ТВГТ -I ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1Определители -го и -го порядка Правила вычисления Общий алгоритм исследования графика функций с помощью производных Нахождение наибольшего и наименьшего значений

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ

Математика. Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» Математика

Подробнее

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4.

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4. Найти общий член последовательности,,,, ) Найти b) lim ( ) c) 9 7 7 ) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Найти ( )!! lim ( )! ) b) c) Найти 6 si lim si d) ) b) c) d) d) ( ) Найти lim [ (l( ) l )] ) b) c) e d) l 6 Найти

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 1. Матрицы. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами. Линейная комбинация матриц. Пример вычисления линейной комбинации. Умножение матриц. Пример умножения

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B Задание КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант Доказать, что матрицы B и B взаимно обратные Даны точки А(;

Подробнее

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского ТА Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Министерство образования и науки Российской Федерации ФБГОУ ВПО «Нижегородский государственный педагогический университет имени Козьмы Минина» ЕЮ Елизарова ТЕ Чикина МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебно-методическое

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Экзаменационный билет 3 МГУП Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 3 МГУП Кафедра высшей математики Экзаменационный билет 1 Факультет:101-152, 125-126 1. Умножение матриц. 2. Векторное произведение в координатной форме 3. Односторонние пределы. Экзаменационный билет 2 1. Определитель 3-го порядка. 2.

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физикоматематических. Е.Н.Кирюхова 20 г, протокол

УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физикоматематических. Е.Н.Кирюхова 20 г, протокол УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физикоматематических дисциплин Е.Н.Кирюхова 20 г, протокол Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика» Специальности «Информационные системы и технологии» заочной формы получения

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. Задачи для практических занятий и самостоятельной работы (1-й семестр)

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. Задачи для практических занятий и самостоятельной работы (1-й семестр) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 6 РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Задачи для практических занятий

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Государственный комитет РСФСР по делам науки и высшей школы СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ В.П. ВЕРБНАЯ Д.А. КРЫМСКИХ Е.С.

Государственный комитет РСФСР по делам науки и высшей школы СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ В.П. ВЕРБНАЯ Д.А. КРЫМСКИХ Е.С. Государственный комитет РСФСР по делам науки и высшей школы СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ В.П. ВЕРБНАЯ Д.А. КРЫМСКИХ Е.С. ПЛЮСНИНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методическое пособие для студентов

Подробнее

ГОУВПО ВГАСУ. Кафедра высшей математики

ГОУВПО ВГАСУ. Кафедра высшей математики ГОУВПО ВГАСУ Строительно-технологический факультет Кафедра высшей математики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для проведения практических занятий Воронеж Практическое занятие Матрицы и действия над ними Пример Даны

Подробнее

МАТЕМАТИКА Контрольные работы для студентов заочного обучения 1 семестр

МАТЕМАТИКА Контрольные работы для студентов заочного обучения 1 семестр М.М. Белоусова, К.С. Поторочина МАТЕМАТИКА Контрольные работы для студентов заочного обучения семестр Екатеринбург 07 ФГАОУ ВО «Уральский Федеральный Университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Подробнее

«Линейная алгебра» B Решить

«Линейная алгебра» B Решить Контрольные работы по дисциплине «Высшая математика» для студентов направления 876 () «Техносферная безопасность» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия на плоскости

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Математика для направления торговое дело

Математика для направления торговое дело Математика для направления 8..6 торговое дело Контрольные вопросы по курсу Математика семестр. п мерные векторы. п мерное векторное пространство.. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц..

Подробнее

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика».

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика». «Управление в технических системах» семестр Очная форма обучения Бакалавры I курс, семестр Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет компьютерных систем и сетей Кафедра высшей математики

Подробнее

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример Математика [Электронный ресурс] : электронный учебно-методический комплекс. Ч. 1 / Е.А. Левина, В.И. Зимин, И.В. Касымова [и др.] ; Сиб. гос. индустр. ун-т. - Новокузнецк : СибГИУ, 2010. - 1 электрон.опт.диск

Подробнее

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1. Матрицы, операции над матрицами. 2. Верхние и нижние грани числовых множеств. Поле действительных чисел. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 1. Определители. Свойства определителей, методы

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Содержание. Балльно - рейтинговая система

Содержание. Балльно - рейтинговая система 78 «Строительство» семестр Очная форма обучения Специалисты I курс, семестр Направление 78 «Строительство» Дисциплина - «Математика-» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая система Контрольная работа

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II.

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II. Билет 1 1 Определители -го и -го порядка, их свойства и способы вычисления Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решить систему уравнений методам Гаусса и матричного исчисления: Найти координаты

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие......................................... 3 Глава1 Элементы линейной алгебры............................ 5 1.1. Матрицы и определители........................... 5 1.2. Линейные пространства............................

Подробнее

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2]

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2] Дана матрица Контрольная работа A 0 T= Задание [, стр ] Определите ее размерность Выпишите характеристики этой матрицы: прямоугольная, квадратная, симметричная, единичная, нулевая, треугольная, диагональная,

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Элементы линейной и векторной алгебры.

Элементы линейной и векторной алгебры. Теоретические вопросы по курсу математики для студентов заочной формы обучения специальности «Промышленное и гражданское строительство» семестр Матрицы и определители Решение систем линейных уравнений:

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной

Подробнее

Оценочные материалы Оценочные материалы по текущему контролю. Дисциплина «АЛГЕБРА»

Оценочные материалы Оценочные материалы по текущему контролю. Дисциплина «АЛГЕБРА» Оценочные материалы Контроль качества освоения дополнительной общеобразовательной программы включает в себя: текущий контроль и промежуточную аттестацию Для оценивания результатов обучения используется

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее