ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет» ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Методические указания для студентов заочного факультета Составители МВ Зголич, ЛА Валуйская Томск 3

2 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии/ Сост МВ Зголич, ЛА Валуйская Томск Изд-во Том гос архит-строит ун-та, 3 с Рецензент РИ Лазарева Редактор ЕЮ Глотова Методические указания к контрольной работе по дисциплине ББ «Математика» при изучении темы «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» студентами первого курса заочной формы обучения всех специальностей и всех направлений и профилей Печатаются по решению методического семинара кафедры высшей математики, протокол от октября г Утверждены и введены в действие проректором по учебной работе ВВ Дзюбо Оригинал-макет подготовлен МВ Зголич Подписано в печать Формат 6 84 Бумага офсет Гарнитура Таймс Уч-изд л,69 Тираж экз Заказ Изд-во ТГАСУ, 6343, г Томск, пл Соляная, Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ 6343, г Томск, ул Партизанская, 5 с 9 до 9

3 ВВЕДЕНИЕ Методические указания разработаны для студентов заочного факультета ТГАСУ Рекомендуются для самостоятельной работы студентов в процессе выполнения контрольных работ при изучении темы "Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии" Математическое содержание раздела направлено на формирование у студента общекультурных (ОК) и профессиональных компетенций (ПК) ОК- ОК-9 ПК- Владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения Способность к целенаправленному применению базовых знаний в области математических, естественных, гуманитарных и экономических наук в профессиональной деятельности Способность использовать законы и методы математики, естественных, гуманитарных и экономических наук при решении профессиональных задач В результате освоения материала студент должен Знать Основные понятия, методы и задачи векторной алгебры и аналитической геометрии Уметь Использовать математические методы в технических приложениях Владеть Методами математического анализа КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Основные понятия ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА, ЕГО ДЛИНЫ Вектор это направленный отрезок (или, другими словами, упорядоченная пара точек) Для вектора принято обозначение АВ, где точка A начало, точка B конец вектора Длиной (модулем) вектора АВ называется расстояние между началом вектора и его концом Обозначается АВ 3 Вектор, у которого совпадают начало и конец, называют нулевым вектором и обозначают КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными Коллинеарность векторов принято обозначать AB CD Если хотят подчеркнуть сонаправленность коллинеарных векторов, пишут AB CD, если же коллинеарные векторы противоположно ориентированы, принята запись AB CD Нулевой вектор принято считать коллинеарным любому вектору Совокупность трех и более векторов, лежащих в одной плоскости или параллельных одной плоскости, называют компланарной 3 4

4 Например, на рис тройки векторов AD, AA, AB, DC и AA, BB являются компланарными, тройка AA, AB, AD не компланарна А векторы AA и BB коллинеарны, AB и C D коллинеарны, причем, AA BB, AB C D a b a b A 3 b a a b b A B C D Рис Рис 3 B φ 3 Сумму любого числа векторов находят по правилу многоугольника (рис 4) A Рис 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 3 Суммой векторов а и b называется вектор, который находится либо по правилу параллелограмма (рис ), либо по правилу треугольника (рис 3) В первом случае для нахождения суммы оба вектора откладываются от одной точки, на этих векторах строится параллелограмм Тогда сумма данных векторов есть вектор, начало которого совпадает с началами обоих векторов-слагаемых и направленный по диагонали параллелограмма (рис ) Чтобы найти сумму двух векторов а и b по правилу треугольника, нужно расположить векторы последовательно (от конца вектора а отложить вектор b ) Тогда их сумма это вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора (вектора а ), а конец совпадает с концом второго вектора (вектора b )(рис 3) D a b d с Рис 4 a a b c d b с d По правилу многоугольника путем параллельного переноса начало каждого последующего вектора помещают в конец предыдущего Вектор S a b c d получен путем соединения начала первого вектора и конца последнего вектора 5 6

5 33 Произведением вектора а на число α называется вектор b, удовлетворяющий условиям b a, если α > b a, если α < b α a 3 a При этом принята запись b α a На рис5 изображены векторы a, a, a a a Рис 5 a b λ Например, в пространстве векторы,, 3, 4, 6 Векторы с и a и 3 коллинеарны, так как λ, где 4 6 3, 5 d 6,7 на плоскости не коллинеарны, так как 3 5, а значит, они образуют базис 6 7 A x y и ко- 44 Если известны координаты начала z ординаты конца x y B z вектора AB, то его координаты находятся по формуле AB x x 45 Если вектор a x y y y z z на плоскости задан своими координатами, то его длина находится по формуле a x y В пространстве длина вектора a x y z вычисляется по формуле a x y z 4 БАЗИС РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ 4 Базисом на плоскости называют пару ненулевых неколлинеарных векторов 4 Разложить вектор c по базису a и b значит представить вектор c в виде c α a βb, где α, β некоторые числа, которые называются координатами вектора c в базисе a и b 43 Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны 5 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 5 Скалярным произведением векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними Для скалярного произведения принято обозначение ( а, b ) Таким образом, по определению ( a,b) а b cos Если хотя бы один из векторов а и b нулевой, скалярное произведение полагается равным нулю 7 8

6 5 Зная координаты векторов a x y z x y b формуле z, можно найти их скалярное произведение по a,b xx y y zz 53 С помощью скалярного произведения можно вычислить угол между векторами а и b по формуле (а,b ) cos а b Или в координатах cos x x y y z z x y z x y z 54 Из 53 следует условие перпендикулярности ненулевых векторов b (a,b) x x y y z z а 6 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 6 Векторным произведением двух неколлинеарных векторов а и b называется вектор c, удовлетворяющий трем условиям ) c a, с b ) вектор c ориентирован так, что тройка векторов а, b, c образует правую тройку векторов 3) с а b sin, где угол между векторами а и b Для векторного произведения принято обозначение с [ a, b ] и 6 Из определения получаем условие коллинеарности двух векторов два вектора а и b коллинеарны (угол между ними равен или 8, значит sin ) тогда и только тогда, когда их векторное произведение [ a, b ] равно нулю 63 В декартовых координатах векторное произведение векторов a x y z и b x y z представляется в виде определителя третьего порядка i j k a,b x y z, x y z где i, j, k орты декартова базиса (единичные взаимно перпендикулярные векторы, образующие правую тройку) 64 Геометрический смысл векторного произведения векторов а и b заключается в том, что модуль векторного произведения данных векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, те a b, a,b S пар-ма b a Рис 6 S 9

7 7 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 7 Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение (те число) векторного произведения двух первых векторов на третий вектор Для смешанного произведения принято обозначение ( а, b, c) Таким образом, по определению ( а, b, c) ([ a, b], c) 7 Смешанное произведение трех векторов, взятое по модулю, равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах V пар-да ( a,b, c) 73 Условие компланарности трех векторов смешанное произведение ( а, b, c) равно тогда и только тогда, когда векторы b a, b, c компланарны 74 Если известны координаты векторов a x y z x y, c x y z 3 3 z 3, то смешанное произведение вычисляется по формуле х у z ( а, b, c) x y z x y z 8 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ 8 Уравнение прямой можно записать, если ) на прямой известна точка M x, y и известен вектор n (A,B), перпендикулярный этой прямой (вектор n (A,B) называют нормальным вектором прямой) (рис 7а) 3 3 3, n ) на прямой известна точка x n M M а) б) Рис 7 а) M, y M и известен вектор S ( m, n), параллельный этой прямой (вектор S называется направляющим вектором прямой), (рис 7б) 8 Как получить уравнение прямой в том и другом случаях? n (A,B) S M а) Пусть задана точка x M, y и известен вектор Получим уравнение прямой, проходящей через точку M перпендикулярно вектору n Для этого возьмем на прямой M x, y (рис 8а) произвольную точку Рис 8 Поскольку векторы n и M M перпендикулярны, те, M M, то их скалярное произведе- n S M б) M

8 ние равно нулю, M M M M x x y y n А так как n (A,B),, то в координатах получаем А х х ) В (у у ) ( С А х В у Раскрыв скобки и обозначив, получаем общее уравнение прямой на плоскости Ах Ву С б) Пусть теперь задана точка M x, y и известен вектор S ( m, n) Получим уравнение прямой, проходящей через точку M параллельно вектору S ( m, n) Для этого возьмем на прямой произвольную точку M x, y (рис8б) По условию коллинеарности векторов (см свойство 43) M M x x y y и S ( m, n) получаем каноническое уравнение прямой на плоскости х х y y m n Если на прямой заданы две точки M x, y и M x, y тогда также известен направляющий вектор S ( x x, y y) (рис 9) прямой и каноническое уравнение примет вид х х y y х х у у Это уравнение прямой, проходящей через две точки M S Рис 9 M 9 ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 9 Уравнение плоскости можно получить в каждом из следующих двух случаев ) Если на плоскости в заданной системе координат известна точка M x, y, z и известен нормальный вектор n (A,B,C) этой плоскости (те вектор, перпендикулярный плоскости) ) Если на плоскости известна точка M x, y, z и известны два неколлинеарных между собой вектора, параллельных данной плоскости Как получить уравнение плоскости в том и другом случаях? ) Пусть дана точка M x, y, z и нормальный вектор n (A,B,C) Требуется получить уравнение плоскости, проходящей через точку M x, y, z перпендикулярно вектору n (A,B,C) (рис ) Пусть M x y, z M Рис, произвольная точка плоскости По условию перпендикулярности n M M (n,m M ) Переходя к координатам векторов, получим A x x By y Cz z Введем обозначение D A x B y C z, тогда уравнение плоскости примет вид n M 3 4

9 Ax B y C z D Это уравнение называют общим уравнением плоскости Заметим, что в этом уравнении коэффициенты A, B, C координаты нормального вектора плоскости ) Пусть задана точка x, y z M и два неколлинеарных, ( m, n, p уравнение плоскости, проходящей через точку вектора S ( m, n, p) и S ) Требуется получить M x, y z параллельно векторам S и S (рис ) Пусть M x y, z S S Рис,, произвольная точка плоскости По условию задачи векторы M M, S, S компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю ( М М, S, S ) Переходя к координатам векторов, получим х х у у z z m n p m n p M Раскрывая определитель, получим общее уравнение плоскости M ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ Что называется вектором и длиной (модулем) вектора? Какие векторы называются коллинеарными и компланарными? 3 Что называется суммой векторов? Каковы способы нахождения суммы двух и большего числа векторов? 4 Что называется произведением вектора на число? 5 Что называется базисом на плоскости? 6 Что значит «разложить вектор по базису»? Что называется координатами вектора в данном базисе? 7 В каком случае векторы являются коллинеарными? 8 Как выражаются координаты вектора через координаты начала и конца вектора? 9 Как вычисляется длина вектора? Что называется скалярным произведением двух векторов, как оно выражается через координаты векторов? Как вычисляется угол между двумя векторами? Каково условие перпендикулярности векторов? 3 Что называется векторным произведением двух векторов и как оно выражается через координаты векторов? 4 Сформулируйте условие коллинеарности двух векторов? 5 В чем заключается геометрический смысл векторного произведения? 6 Что называется смешанным произведением трех векторов, каков его геометрический смысл и как оно выражается через координаты векторов? 7 Сформулируйте условие компланарности трех векторов? 8 Что называется нормальным и направляющим векторами прямой на плоскости? 9 Как записать уравнение прямой на плоскости, если известен ее нормальный (направляющий) вектор? 5 6

10 Как записать уравнение прямой, проходящей через две точки? Как записывается уравнение плоскости, если известна точка, через которую она проходит, и нормальный вектор? Как записывается уравнение плоскости, если известна точка, через которую она проходит, и два неколлинеарных вектора, параллельных ей? РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Задача Даны векторы a,b 3 4, c 7 8 Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Решение Покажем, что векторы a и b образуют базис Действительно, так как они ненулевые и неколлинеарные, поскольку 3, то согласно пункту 4 векторы образуют базис 4 Разложим вектор c по векторам a и b То есть представим вектор c в виде c α a βb и найдем координаты вектора c (числа α и β ) Записав это равенство в координатах, те подставив в него координаты векторов a, b и c, получаем систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов α и β α 3β 7, α 4β 8 Решая полученную систему одним из известных методов, получаем α, β 3 7 Значит, вектор c раскладывается по векторам a и b следующим образом c a 3b Ответ c a 3b Задача Даны точки А (4, ), А (, 3), А 3 (, 5) Найти ) длину вектора A A ) угол между векторами A A и A Решение Чтобы найти длину (модуль) вектора A A Найдем координаты вектора AB согласно пункту 44 A A Теперь, следуя указанию 45, 8 вычислим длину вектора A A 5 6 A A 6 Угол между векторами A A и A (п53) найдем по формуле A 3 cos A, A A A A A A Для этого найдем сначала координаты вектора A A φ A A 3 Рис 3

11 45 63 A, а затем вычислим скалярное произведение A A A A , 3 Найдем также длину вектора AD (п 45) A Подставляя найденные величины в формулу для нахождения косинуса угла, получаем cos Задача 3 Даны вершины пирамиды А (4,, 6), В(, 3, ), С (, 5, 8) и D (5,, 4) Найти ) площадь грани ABC ) объем пирамиды D Чтобы найти площадь грани ABC, воспользуемся формулой S ABC [ AB, AC] Координаты вектора AB мы уже Найдем координаты вектора AC AC Вычислим векторное произведение векторов AB и AC по формуле из пункта 63 i j k AB, AC i 4 j k 6 3 Найдем теперь модуль векторного произведения (п45), AC AB Отсюда получаем S ABC 8 4 квед Из школьного курса известно, что объем пирамиды, по- строенной на векторах а,b, c, равен от объема параллеле- 6 Решение A B Рис 3 C пипеда, построенного на тех же векторах Таким образом, Vпир ( АВ, АС, AD) И мы получаем AB,AC, AD 6 3 объем равен Искомый 9

12 56 V пир кубед 6 3 Задача 4 Заданы вершины треугольника А (3, 4), В (5, ) и С (4, 6) Требуется составить уравнения ) стороны АВ ) высоты ВР, проведенной из вершины В A Рис 4 Решение Чтобы получить уравнение стороны АВ, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки х х y y х х у у Уравнение прямой АВ примет вид х 3 у 4 х 3 у Полученное каноническое уравнение простым преобразованием приведем к виду 3х у 3 Это общее уравнение прямой АВ B P C 3 Чтобы получить уравнение высоты BP, воспользуемся тем, что вектор АС является нормальным вектором прямой M x, y произвольная точка этой прямой BP Пусть ВМ АС ( АС, ВМ ) Найдем координаты векторов АС и Тогда получим 7( х 5 ) ( у ) Отсюда окончательно общее уравнение искомой прямой BP имеет вид 7х у 39 Задача 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M,,, и параллельной плоскости 4x y z 6 Решение Из общего уравнения плоскости 4x y z 6 находим координаты ее нормального вектора n 4 Так как по условию данная плоскость параллельна искомой плоскости, то ее нормальный вектор перпендикулярен искомой плоскости (рис 4) BM АС 7,, BM x 5 y M n M Рис 5 Таким образом, получаем первый случай из рассмотренных выше (п 9) Векторы M M, n перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю n, MM

13 Имея координаты этих векторов M x,y, z n 4, получаем 4( x ) ( ) y ( z ) M, Упростив это уравнение, получаем общее уравнение искомой плоскости 4x y z 3 ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Студент должен выполнять контрольное задание по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера (шифра) Вариант Даны векторы a 4,, b 3,5, c, 7 Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A A A 4,, A,7, A 3, Найти ) длину вектора A A ) угол между векторами A A и A 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A 4,,5, A,7,,,,7, A 4,5, Найти ) площадь грани A A ) объем пирамиды 4 Даны вершины треугольника A 8, B, C44 Найти б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точ- M,, и параллельной плоскости 3x y z ку Вариант Даны векторы a 3,, b,, c 7, 4 Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A A A 4,4, A 4,6,,8 Найти ) длину вектора A A ) угол между векторами A A и A 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A 4, 4,, A 4, 6,,, 8, 4, 9, 6, 9 Найти ) площадь грани A A ) объем пирамиды 4 Даны вершины треугольника A 5, B76, C5 4 Найти б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точ- M и параллельной плоскости x y z 3 ку,, Вариант 3 Даны векторы a 3,5, b, 7, c 7,3 Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A A A 4,6, A 6,9,, Найти ) длину вектора A A ) угол между векторами A A и A 3 4

14 4 3 A A A ) объем пирамиды 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A,6,5, A 6,9,4, A,,, 7,5,9 Найти ) площадь грани 3 Найти 4 Даны вершины треугольника A 48, B, C 6 б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точ- M,, и параллельной плоскости x y z 3 ку Вариант 4 a 3,, b,, c Даны векторы 8, Показать, что 3 векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A A A 3,5, A 8,7, 5, Найти ) длину вектора A A ) угол между векторами A A и A 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A 4,,5, A,7,, A,,7, A,5, Найти ) площадь грани A A ) объем пирамиды 4 Даны вершины треугольника A 6, B48, C 8 Найти б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 4 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точ- M 3,, и параллельной плоскости 3x y z ку 5 6 Вариант 5 a 3,, b,, c Даны векторы 5,5 Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A A A,6, A,8, 6,8 Найти ) длину вектора A A ) угол между векторами A A и A 3 Даны координаты вершин пирамиды A A,6,6, A,8,, A 6,8,9, 7,,3 A 3 Найти ) площадь грани A A ) объем пирамиды A 6, B 4, C 6 Найти б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 4 Даны вершины треугольника 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точ- M,, и параллельной плоскости x y z ку Вариант 6 a 3,, b,, c, 3 Показать, Даны векторы что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A A A,8, A 5,, 5,7 Найти ) длину вектора A A ) угол между векторами A A и A 3 Даны координаты вершин пирамиды A A Найти ) площадь A,8,, A 5,,6, A 5,7,4, 4,,9 3 A A A ) объем пирамиды грани 3

15 Найти 4 Даны вершины треугольника A 73, B, C 5 б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точ- M и параллельной плоскости x y z 3 ку,, Вариант 7 a 4,, b 3,5, c 5, 9 Показать, Даны векторы что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A A A 6,6, A 4,9, 4,6 Найти ) длину вектора A A ) угол между векторами A A и A 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A,6,5, A 4,9,5, A 4,6,, 6,9,3 Найти ) площадь 6 3 A A A ) объем пирамиды грани 3 Найти 4 Даны вершины треугольника A, B7 6, C б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точ- M,, и параллельной плоскости x y z ку Вариант 8 a,, b,, c Даны векторы,8 Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b 7 Даны координаты точек A A A 7,, A 5,7, 5,3 Найти ) длину вектора A A ) угол между векторами A A и A 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A,,, A 5,7,7, A 5,3,,,3,7 Найти ) площадь A A A ) объем пирамиды грани 3 Найти 4 Даны вершины треугольника A 53, B34, C7 3 б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точ- M,, и параллельной плоскости x y z 3 ку Вариант 9 a,, b,, c Даны векторы, Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A A A,6, A,5, A 5,6, 8, Найти ) длину вектора A A A A A ) угол между векторами A A и A 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A,6,4, A,5,5, A 5,6,8, 8,,7 Найти ) площадь грани 3 ) объем пирамиды 4 Даны вершины треугольника A, B6, C4 Найти

16 б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точ- M,, и параллельной плоскости 3x y z ку Вариант a 5,, b 3, 4, c Даны векторы 4, Показать, что векторы a и b образуют базис Разложить вектор c по векторам a и b Даны координаты точек A A A 7,7, A 6,5, 3,5 Найти ) длину вектора A A ) угол между векторами A A и A 3 Даны координаты вершин пирамиды A A A,7,3, A 6,5,8, A 3,5,8, 8,4, Найти ) площадь 7 3 A A A ) объем пирамиды грани 3 A Найти 4 Даны вершины треугольника, B6, C4 б) уравнение высоты, проведенной из вершины А 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точ- M,, и параллельной плоскости x y z 3 ку СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Беклемешев, ДВ Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /ДВ Беклемешев М Наука, С 4 3 Бугров, ЯС Высшая математика Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии/ ЯС Бугров, СМ Никольский М Наука, 98 С Данко ПЕ Высшая математика в упражнениях и задачах/ ПЕ Данко, АГ Попов, ТЯ Кожевникова М Высшая школа, Ч С Ефимов, НВ Краткий курс аналитической геометрии / НВ Ефимов М Наука, 975 Гл с 9, гл 4 39, гл 4 с 59 73, гл 5 с 87 8, гл 7 с 43 56, гл 8 с 57 7, гл9 с 7 78, гл с 79 95, гл с 4 7 СОДЕРЖАНИЕ Введение Основные понятия 3 Определение вектора, его длины 3 Коллинеарные и компланарные векторы 3 3 Линейные операции над векторами 4 4 Базис Разложение вектора по базису 6 5 Скалярное произведение векторов 7 6 Векторное произведение векторов 8 7 Смешанное произведение векторов Рекомендации по решению задач 5 Задачи для контрольных заданий Вопросы для самопроверки 7 Список рекомендуемой литературы 9 9 3

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ, ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ, ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Варианты заданий для студентов заочной формы обучения Составители Лазарева РИ Куницына ТС Зголич МВ Томск 07 СОДЕРЖАНИЕ I Правила оформления

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» К. А. Решко, Л. И. Рыдевская ВЕКТОРЫ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Учебно-методические

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы векторной алгебры Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее