2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

Транскрипт

1 . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными являются следующие системы координат. Прямоугольная система координат на плоскости включает две взаимно перпендикулярные прямые ОХ и ОУ (оси координат) с указанием положительных направлений отсчета и масштабов измерения. Координаты точки равны расстояниям до осей координат, отсчитываемым от точки пересечения осей (начало координат) в направлении оси (рис. 1). рис.1 рис. В трѐхмерном пространстве прямоугольные координаты точки равны расстояниям до координатных плоскостей (рис. ). В полярной системе координат указывается полярная ось и положение точки на плоскости определяется полярным радиусом r-расстоянием до полюса О и полярным углом (рис.3). За положительное направление отсчета полярного угла принято направление против часовой стрелки.

2 рис.3 Если ось ОХ направить вдоль полярной оси, то в такой системе точка будет иметь прямоугольные координаты: X = r cos, У = r sin, откуда находим выражение полярных координат через прямоугольные: r =, arctg. В пространстве полярные координаты дополняются координатой Z из прямоугольной системы. Такие координаты образуют цилиндрическую систему координат (рис.4). Связь между прямоугольными и полярными координатами выражается соотношениями: X = r cos, У = r sin, Z = Z. Z рис.4 Применяется также сферическая система координат,,, показанная на рис.4. Прямоугольные координаты точки выражаются через полярные по формулам: = cos sin, = sin sin, z = cos. Вектором (геометрическим) называют направленный отрезок прямой. Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и направление. Вектор-

3 ную величину обозначают через a или AB, соответственно длину вектора (модуль) обозначают a или AB. Произвольный вектор a единственным образом может быть представлен в виде линейной комбинации трѐх векторов e 1, e, e 3, не лежащих в одной плоскости (разложен по базису e 1, e, e 3 ): a = a 1 e 1 + a e + a 3 e 3, где числа a 1, a, a 3 называются координатами вектора a в базисе e 1, e, e 3. Записывают a = a 1, a, a3. Через координаты получают алгебраическое толкование вектора, как упорядоченную совокупность чисел. Наиболее употребительным является базис, составленный из взаимно перпендикулярных векторов единичной длины i, j, k (ортонормированный базис). В этом случае координаты вектора представляют собой его проекции на базисные векторы: a = a cos, a = a z, где,, углы, образованные вектором a с базисными a cos, a cos векторами. Вектор r А, проведенный из начала координат к точке A(,,z), называется радиус-вектор точки А. Через понятие радиус-вектора устанавливается связь точки и вектора, что лежит в основе применения векторов в геометрии. произведение. Для векторов определены операции сложения, умножения и векторное Суммой векторов a и b является вектор c, получаемый по правилам треугольника или параллелограмма. Координаты вектора c равны: c a b, c a b, cz az bz. Произведение вектора a на число представляет собой вектор координаты которого равны: c a, c a, c a. z z c a, Скалярное произведение векторов a и b есть число, получаемое по правилу: a b a b cosa, b Через координаты векторов скалярное произведение равно: 3

4 a b a b a b a b, откуда a a a a z z и a, b z ab a b azbz cos. a b Векторное произведение векторов a и b является вектором c a b, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах a, b. Вектор c направлен перпендикулярно плоскости параллелограмма так, что тройка векторов a, b, c образует правую систему. Через координаты сомножителей векторное произведение выражается следующим образом: i j k c a a az. b b bz Смешанное произведение векторов определяется по формуле: a a az a b c a b c a b c b b bz. c c cz Условие компланарности трех векторов: a b c Применение векторной алгебры к решению геометрических задач В пространстве треугольник задан координатами своих вершин А( 0, 0, z0 ), В( 1, 1, z1 ), С(,, z ). Рассматривая радиусы-векторы сторон треугольника, определяем координаты векторов AB,, z ), ( z0 AC( 0, 0, z z0). Пользуясь векторной алгеброй можно определить размеры треугольника по формулам: АВ= AB z z0, (.1) AB AC A arccos AB AC, (.) S ABC h 1 AB AC S AB AB AC AB - площадь треугольника, (.3) ABC c - высота треугольника, проведенная из С. (.4) 4

5 Координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении, определяют по формуле: ra rb r M. (.5) 1 Объѐм тетраэдра с вершинами в точках А, В, С, и D равен: 1 V= AB AC AD 6 (.6) AM MB Условие расположения точки М внутри тетраэдра АВСD имеет вид: z 1,,, z 0, (.7) где,, z координаты точки М в базисе из векторов AB, AC, AD. Пример: Даны вершины треугольника А(1,-1,-3), В(,1,-), С(-5,,-6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А. Решение: Обозначим АЕ биссектрису треугольника. Так как сумма векторов направлена по диагонали параллелограмма, а диагональ ромба является его биссектрисой, можем записать AB AE R AB AC AC (.8) С другой стороны точка Е делит отрезок ВС в отношении и поэтому 1 AE AB AC 1 1 (.9) Вектор единственным образом может быть разложен по базису и поэтому: R 1, AB 1 R AC замечаем R 1, откуда R= AB AC AB AC AB AC (.10) Из условия задачи имеем AB (-1, 1+1, -+3) = (1,, 1), AB подставляя в (.10), получим R= 4 AC (-6, 3, -3), AC 3 6 5

6 и из уравнения (.8) находим AE 3 4 AB AC,, 0, AE Примеры решения задач Пример 1: Даны векторы a (1,, 3) и b (3,, 1). Найти длину вектора a b и угол, образованный им с осью ОХ. Решение: По свойствам сложения векторов и умножения на число находим a b c( 1 3,, 3 1) = c (5; 6; 7). Длина вектора равна b a. Косинус вектора c с осью ОХ определим по формуле cos = C 5, C 110 откуда с учѐтом того, что направление оси ОХ совпадает с направлением вектора C ( 0) находим arccos 61, 5. C Пример : Определить координаты вершин треугольника, если известны середины его сторон К(; -4), М(6; 1) и N(-; 3). Решение: Находим KM (6-; 1+4) = (4; 5). По рис.5 NC AN KN(4;4), r N AN. Имеем r (--4; 3-5) = (-6; -), rc rn NC (-+4; 3+5) = (; 8). A Координаты точки В находим аналогичным образом из соотношений 6

7 AB AK(16; -4), rb ra AB (-6+16; --4) = (10; -6). Пример 3: Доказать, что четырѐхугольник с вершинами А(3; -1;), В(1; ; -1), С(-1; 1; -3), Д(3; -5; 3) является трапецией. Решение: Векторы AB (-; 3; -3) и CD (4; -6; 6) связаны соотношением CD AB. Они параллельны, следовательно, четырѐхугольник АВСД есть трапеция с параллельными сторонами АВ и СД. Пример 4: Векторы a, b и c удовлетворяют условию a b c=0. При условии, что a b c 1 вычислить ab bc c a. Решение: Найдем скалярное произведение вектора a b c на себя a b c a b c a a b b c c a b b c c a 111 a b bc c a 0, отсюда a b b c c a. Пример 5: Заданы вершины треугольника А(0;0;1),В(;1;3) и С(1;;3). Найти координаты точки D - основания высоты, проведенной из В. Решение: Точка D лежит на стороне АС и поэтому: r r r ; ;. D A C Находим AC 1 ; ; ;, BD ; ;. Из условия перпендикулярности векторов БД и АС имеем АС БД Отсюда находим 3 11 и после подстановки в выражение r D получим r D ; ; Пример 6: Найти вектор, если он перпендикулярен векторам a4; ; 3 b 013 ; ;, =6 и с осью ОУ составляет тупой угол. i j k Решение: Находим ab 4 33i1 j4 k и 7

8 Искомый вектор равен a a b b ; ;. Знак выбираем из условия тупого угла между направлением вектора и осью ОУ (отрицательная координата у ) и окончательно получим 6; 4; Тренировочные упражнения 1. Даны вершины параллелограмма А(3, -4, 7), В(-5, 3, -) и С(1,, -3). Найти его четвѐртую вершину Д, противоположную В. [Ответ: Д (9, -5, 6)]. Найти длину медианы треугольника с вершинами А(3, -1, 5), В(4,, -5) и С(-4, 0, 3), проведенную из вершины А. [Ответ: 7] 3. AD, BE и CF - медианы треугольника АВС. Доказать равенство AD + BE +CF = Доказать, что точки А(0, 1, -), В(-1,, 1) и С(1, 0, -5) лежат на одной прямой. 5. Доказать, что четырѐхугольник с вершинами А (-3, 5, 6), В (1, -5, 7), С (8, -3, -1) и Д (4,7,-) - квадрат. 6. Заданы векторы a (3,-1,) и b (1,, -1). Найти координаты вектора (a b) b. [Ответ: (-6, 10, 14)] 7. Доказать, что точки А(1,, -1), В(0, 1, 5), С(-1,, 1), Д(, 1, 3) лежат в одной плоскости. 8. Доказать, что при любых a, b, c векторы a b, b c и c a компланарны...1. Теоретические сведения. Прямая и плоскость Прямая на плоскости может быть задана точкой А (, ) и вектором 0 0 S(m, n), ей параллельным. Тогда для произвольной точки прямой В (х, у) будет AB // S, откуда следует равенство r r t S. Данное соотношение называют B A 8

9 параметрическим уравнением прямой. Записав условие параллельности векторов через координаты, получим координатную форму уравнения прямой 0 0. m n Если прямая задана двумя точками А( 0 0 9, ) и С(, ), то эта прямая 1 1 имеет направляющий вектор S AC и описывается уравнением Из векторного параметрического уравнения прямой следует ещѐ один способ еѐ аналитического описания системой уравнений с параметром t 0 mt, 0 nt В другом способе прямая на плоскости определяется точкой А(, ) и 0 0 нормальным вектором N (А, В). Из условия перпендикулярности векторов AB и N следует ( r B A r ) N 0. Записывая скалярное произведение через координаты сомножителей, получим уравнение прямой в координатной форме А( ) B( ) = Если в качестве нормального вектора взять вектор единичной длины n(, ), направленный от начала координат к прямой, то в этом случае уравнение называют нормальным. В нормальном уравнении p 0 параметр p равен расстоянию от начала координат до прямой. При подстановке в нормальное уравнение координат точки М(х,у) левая часть уравнения равна расстоянию от точки М до прямой. Знак (+) расстояния говорит о том, что точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой. Во всех способах задания прямой получается линейное уравнение Ах+Ву+D=0. Обратно, всякое уравнение вида Ах+Ву+D=0 определяет прямую на плоскости, у которой нормальный вектор имеет координаты N (А,В). Нормальное уравнение прямой получается из общего по формуле: 1 A B A B D 0, где знак (+) принимается при D<0 и знак (-) - при D>0.

10 Плоскость в пространстве может быть задана точкой А( 0, 0, z0 ) и нормальным вектором N (А, В, С). По аналогии с прямой на плоскости приходим к векторному уравнению плоскости rb ra N 0, которое через координаты имеет вид: А ( ) B( ) C( z z ) Уравнение плоскости является линейным и всякое линейное уравнение A+B+Cz+D=0 определяет плоскость с нормальным вектором N (А, В, С). Нормальное уравнение плоскости имеет вид: 1 ( A B Cz D) 0. A B C При подстановке в нормальное уравнение координат точки М(,, z) получается расстояние от точки М до плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точки A0( 0, 0, z0), A1( 1, 1, z1), A(,, z) записывается через смешанное произведение векторов A A, A A, A B; r r r r r r B 0 0. При вычислении смешанного произведения через координаты, уравнение примет вид: z1 z0 0 0 z z0 0 0 z z0 0. Прямая в пространстве по аналогии с прямой на плоскости может быть задана точкой А,, z и вектором параллельным прямой S(m, n, l). Отсюда получается векторное параметрическое уравнение прямой r r ts, B A параметрические уравнения прямой: 0 t m, 0 t n, z z0 t l, каноническое уравнение прямой: m z z n l Две плоскости пересекаются по прямой линии. Поэтому возникает способ аналитического описания прямой в пространстве через систему из уравнений плоскостей 10

11 A1 B1 C1 z D1 0, A B Cz D 0. Соотношение A B C z D A B C z D является уравнением пучка плоскостей, проходящих через заданную прямую. Расстояние d от точки М ( 1, 1, z1) до прямой, проходящей через точку А( 0, 0, z0 ) и имеющей направляющий вектор S( m, n, l), находится по формуле d r1 r0 S S, где r z r z,,,,, При решении задач на прямую и плоскость рекомендуется пользоваться векторной алгеброй.... Примеры решения задач Пример1. Записать уравнения прямых, проходящих через точку М(1,) параллельно и перпендикулярно прямой х-3у+3=0. Решение: Параллельные прямые имеют равные нормальные векторы. Поэтому уравнение параллельной прямой запишем по формуле уравнения прямой, проходящей через точку М(1,), с нормальным вектором N (,-3), (х-1) -3(у-) = 0. После преобразований это уравнение примет вид: х-3у + 4 = 0. Нормальный вектор заданной прямой N (,-3) является направляющим вектором прямой ей перпендикулярной. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через точку М(1,) параллельно вектору S(, 3), запишем уравнение прямой перпендикулярной заданной После преобразований окончательно получим 3+-7=0. Пример. Найти длину высоты треугольника с вершинами А(1,-1), В(,1),

12 С(3,), проведенную из вершины А. Решение. Длина высоты равна расстоянию от точки А до прямой, проведенной через точки В и С. Прямая ВС имеет уравнение: 1 3 1, которое после преобразований примет вид: --1=0. Приведем данное уравнение к нормальному виду: , и, подставив координаты точки А, найдем еѐ расстояние от прямой Это и будет искомая высота. h ( ) 1. Пример3. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые 1 z z 3 1 и Решение. Параллельность прямых следует из пропорциональности их направляющих векторов S S 1. Из элементарной геометрии известно, что через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость. Из уравнений прямых известны координаты точек плоскости А(1;-;3), В(;1;-) и вектор S 1 ( 1; ; 3), параллельный плоскости. Если С(,,z) - произвольная точка плоскости, то векторы AB, AC и S1 лежат в одной плоскости и поэтому их смешанное произведение равно нулю. Записав выражение смешанного произведения через координаты сомножителей, получим уравнение искомой плоскости: 1 z Раскрыв определитель, в итоге найдем уравнение плоскости в общем виде: z - 3=0. 1

13 Пример 4. Записать каноническое уравнение прямой, являющейся линией пересечения плоскостей х - у + 3z +=0 и х + у - z - 3=0. Решение. Для того, чтобы записать каноническое уравнение прямой в пространстве необходимо знать точку А прямой и еѐ направляющий вектор S. При Z=0 из уравнений заданных плоскостей получается система: у 0, у 3 0, имеющая решение х =1, у =. Итого, уравнениям обеих заданных плоскостей удовлетворяет точка А (1; ; 0). Это и будет точка плоскости. Направляющий вектор прямой параллелен плоскостям и поэтому он направлен перпендикулярно нормальным векторам плоскостей N 1 ( 1; ; 3) и N ( 11 ; ; ). Этому условию удовлетворяет векторное произведение N прямой: N 1, которое и будет направляющим вектором i j k S N1 N 3 i 7 j 4 k. 1 1 Теперь каноническое уравнение прямой записывается в виде: 1 у z Пример 5. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;;3) и прямую пересечения плоскостей х+3у-6z+8=0 и -у+3z-4=0. Решение. Искомая плоскость принадлежит пучку плоскостей и поэтому ее уравнение может быть записано в виде: 13 3у 6z 8 у 3z 4 0. Из условия того что, что точка А принадлежит плоскости, получим уравнение: , из которого найдем значение параметра 1. После подстановки 1 в уравнение пучка плоскостей приходим к уравнению искомой плоскости: 5у 9z 1 0.

14 Пример 6. Найти проекцию точки А(1; ; 3) на плоскость х+у+z-=0. Решение. Проекция точки на плоскость является точкой пересечения плоскости и ей перпендикулярной прямой, исходящей из точки А. Прямая, перпендикулярная заданной плоскости, имеет направляющий вектор S N( 11 ; ; ). По точке А(1; ; 3) и вектору S(1;;1) запишем параметрические уравнения прямой: 1 t у t. z 3 t При подстановке этих уравнений в уравнение плоскости получим уравнение: 1 t ( t ) 3 t 0, из которых определим параметр точки пересечения прямой и плоскости t=-1. Координаты точки пересечения по найденному значению t=- 1 определим из параметрических уравнений прямой: х=0, у=0, z=. Таким образом найдем точку В(0; 0; ) - проекция точки А на плоскость х+у+z-= Тренировочные упражнения 1. Определить относительное расположение точек А(1; 3), B(11; -7), C(6; 5) относительно прямой 4х+3у-3=0 (лежат они на прямой, по одну или по разные стороны от прямой?). Найти расстояние от точки до прямой. (Ответ: ; 0; 3.).. Заданы прямые х-3у-5=0 и 5у-3х+7=0. Найти точку пересечения и косинус угла между ними. (Ответ: (4; 1), 1 44 ). 3. Написать уравнение прямой, параллельной прямой 3х+4у-5=0 и отстоящей от неѐ на расстояние 3. (Ответ: 3х+4у-0=0, 3х+4у+10=0). 4. В треугольнике заданы координаты вершин M 1 10;,M (6;4) и точка пересечения высот Q(5;). Найти координаты третьей вершины. (Ответ: M 3 ( 6; 6) ). 14

15 5. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1) параллельно плоскости -х+у-z+1=0. (Ответ: х-у+z-=0). 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки 1; ; 0, 11 ; ;, 3; 01 ; M M M 1 3. (Ответ: х+у-3 = 0). 7. Задана прямая х 1 у z 1 и точка М(0; 1; ). Найти: 0 а) уравнение плоскости, проходящей через точку М и прямую; б) уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой; в) уравнение перпендикуляра, опущенного из М на прямую; г) расстояние от М до прямой; д) проекцию точки М на прямую. Ответ: а) х - у + z = 0; б) х + у -1=0; в) х у z 0 х у 1 0, г) 18 ; д) (3/5; -1/5; -1) Составить каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку M 0 ( 3; ; 4) параллельно плоскости 3х-у-3z-7=0 и пересекает прямую х у 4 z 1 3. (Ответ: х 3 у z ).3. Кривые на плоскости. Кривые второго порядка.3.1. Теоретические сведения Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том и только в том случае, когда еѐ координаты удовлетворяют уравнению. В полярной системе координат r кривая имеет уравнение F(r, )=0. При выводе уравнения следует геометрические свойства кривой выразить через координаты еѐ точек. Например, окружность обладает тем свойством, что все еѐ точки удалены на одно и то же расстояние от центра. Если r 0 - радиус-вектор центра окружно- 15

16 сти, r - радиус-вектор точки окружности, то по геометрическому свойству можем записать: r r0 R, где R - радиус окружности. Определяя длину вектора через его координаты, получим уравнение окружности радиуса R с центром С (, ) в прямоугольной системе координат: R. В полярной системе координат окружность радиуса R с центром в полюсе имеет уравнение r = R. Алгебраической кривой второго порядка называется кривая, уравнение которой имеет вид: Ах + Вху + Су + Dх +Еу + F = 0, где коэффициенты А, В и С одновременно не равны нулю. Если уравнение не определяет пустое множество, точку, прямую или пару прямых, то путѐм замены системы координат оно может быть преобразовано к видам (каноническим уравнениям): a 1 (эллипс), b a 1 (гипербола), b = рх (парабола). На рисунках 6, 7, 8 даны изображения указанных кривых. 16

17 рис. 6. Эллипс с уравнением a b 1, (а > b). рис. 7. Гипербола с уравнением a у =1. b рис. 8. Парабола с уравнением у р х, p 0. Точки F 1 (-c; 0) и F (c;0), показанные на рис.6, называют фокусами эллипса. Они обладают свойствами: AF 1 +AF = a, c a b. Число c a 1 a, ( b 0 1 ), называется эксцентриситетом эллипса и характеризует его форму (при 0 эллипс является окружностью). Прямые D 1 и D называют директрисами. Для произвольной точки эллипса А отношение расстоя- 17

18 ний АF 1 и АВ есть постоянная величина AF 1 /AB=. У гиперболы (см. рис. 7) фокусы F 1 (-с,0) и F (c,0) обладают свойствами: AF 1 -AF = a, c = a b. Эксцентриситет гиперболы равен 1 c a b a, ( 1). Директрисы гиперболы D 1 и D обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса (AF 1 /AB= ). Парабола (см. рис. 8) обладает свойством: расстояние от точки параболы до фокуса F( p ;0) равно расстоянию до директрисы D p. В полярной системе координат, у которой полюс совпадает с фокусом, а полярная ось направлена по оси кривой, эллипс, гипербола и парабола имеют уравнение r = p 1 cos, где p - фокальный параметр (половина фокальной хорды линии, перпендикулярной к еѐ оси). Кривая на плоскости может быть задана параметрическими уравнениями t, t, t a, b, где некоторые непрерывные на интервале [a, b] функции. 18 t и t- Например, параметрические уравнения Х = а cos t, У = b sin t, t0, ;оп- ределяют эллипс с полуосями а и b. В этом легко убедиться путѐм подстановки функций в уравнение эллипса a.3.. Примеры решения задач 1 b. Пример 1: Записать уравнение кривой, точки которой удалены от точки А (0;0) на удвоенное расстояние до точки В (3;0). Решение: Пусть М (х, у) - произвольная точка кривой. По условию задачи АМ = ВМ или АМ = 4 ВМ. Выражаем расстояния через координаты: АМ = х +у, ВМ = (х-3) +у. Имеем: х +у =4(х-3) +4у. После преобразования получим: х -8х+у +1=0. Запишем данное уравнение в виде: =0, откуда окончательно получим (х - 4) + у =. Полученное уравнение представляет собой урав-

19 нение окружности радиуса с центром в точке С (4;0). Пример : Составить уравнение гиперболы с эксцентриситетом =1.5, у которой расстояние между директрисами равно d = 8/3. Решение: Расстояние между директрисами равно d= a, откуда а= d Для определения полуоси b найдем сначала пара- 3 метр с по формуле: с = а = 15. =3. Так как с = а + b, то имеем b = с - а =9-4 = 5. Теперь уравнение гиперболы можем записать в виде Пример 3: Записать уравнение касательной к эллипсу 5 +у =1 в точке А(3; 4 5 ). Решение: Касательная прямая имеет уравнение у = ах + b. Так как точка А(3; 4 5 ) лежит на касательной, то имеет место равенство 4 = а3+b. Выражаем 5 отсюда b и подставляем в уравнение касательной. В итоге получим 5у=5а (х-3) +4. Для того, чтобы определить точки пересечения прямой и эллипса следует решить систему уравнений: 19 5у 5, 5 5a( 3) 4. Сделаем замену переменной х = t+3 и подставим в первое уравнение значение у. Это приводит к уравнению: (5а + 1)t + (40а + 6)t = 0 Касательная и эллипс имеют единственную точку пересечения. Поэтому для неизвестного t уравнение должно иметь единственное решение, которое возможно только при условии 40а + 6 = 0. Отсюда находим a 3 0 и после подстановки получаем искомое уравнение касательной 3х + 0у - 5 = 0. Пример 4: Стержень длинной 3 скользит своими концами А и В по координатным осям (см. рис. 9). Расстояние от точки М стержня до конца В равно 1. Вывести параметрические уравнения траектории движения точки М, приняв за параметр t угол OBA. Решение: Выразим координаты точки М (х, у) через параметр t и данные зада-

20 чи. рис. 9. Из треугольников АМD и СМВ находим х = МD = АМ cos t cos t, у=мсsin t sin t. Следовательно, траектория движения имеет параметрические уравнения: х = cos t, у =sin t. Если точка В движется от начала координат до точки В1 (3, 0), то параметр t изменяется в пределах t 0. Установим уравнение траектории движения в форме F(, ) = 0. Для этого исключим параметр t из уравнений следующим образом: cos t + sin t = 1. Траектория движения точки стержня имеет уравнение 4 1, которое определяет эллипс с полуосями а = и b = Тренировочные упражнения 1. Построить кривые, заданные уравнениями: а) +у-х=0, б) 0, в) 1.. Написать уравнение, расстояние от каждой точки, которой до оси ОХ вдвое больше расстояния до оси ОУ. ( Ответ: у = х.) 3. Показать, что уравнение х + у - 4х + 6у - 3 = 0 определяет окружность. Найти еѐ центр и радиус. (Ответ: С (; -3), R = 4.) 4. Построить эллипс 9х +5у =5. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис. (Ответ: а) а = 5, в = 3; б) F 1 (-4, 0), F (4, 0); в) = 0.8; г) х = 5 4.) 5. Построить гиперболу 16х - 9у = 144. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис. (Ответ: а) а = 3, в = 4; б) F1=(-5, 0), F(5, 0); в) = 5 3, г) х = 9 5.) 6. Построить параболы: а) у = 6х; б) х =5у; в) у = -4х; г) х = -у. Записать 0

21 уравнения директрис и координаты фокусов. 7. Записать уравнение касательной к параболе у = 8х, параллельной прямой х+ у - 3 = 0. (Ответ: х + у + = 0.) 8. Составить параметрические уравнения окружности х + у = R, принимая в качестве параметра полярный угол, если полярная ось направлена по оси ОХ, а полюс расположен в начале координат. ( Ответ: х = R (1+cost), = R sint, t ; ). 1

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5.

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5. Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» О. В. Шереметьева КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Учебно-методическое пособие Петропавловск-Камчатский

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ В раздел включены задачи, которые рассматриваются в теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве» составление различных уравнений

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Задача. Дан треугольник ABC с вершинами A(m ; n ), B(m; -n) и C(-m; n). Найти: a) величину угла A; b) координаты точек пересечения меридиан; c) координаты

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1 Цели освоения дисциплины

1 Цели освоения дисциплины 1 Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Аналитическая геометрия» являются: развитие способностей студента к логическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» В И Белугин И Н Пирогова Э Е Поповский Часть Екатеринбург Федеральное

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год. Лекция 1 1.

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год.  Лекция 1 1. Алексей Витальевич Овчинников АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год http://matematika.phs.msu.ru/ Лекция 1 1. ВВЕДЕНИЕ Об учебном плане. Лекции 36 ч. Семинары 18 ч. Самостоятельная

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ http://matematika.phs.msu.ru/ 2 Лекция 1 Системы координат Представление линий и поверхностей 1. ОБ УЧЕБНОМ ПЛАНЕ Лекции 36 ч. Семинары

Подробнее

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Псковский государственный университет И.Н. Медведева ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии ПсковГУ и редакционно-издательского

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ С2.Б.3 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ С2.Б.3 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Информатика и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Найти косинус угла между векторами BA и BC, если ( 3; 2;3) ; ; ; ;

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Найти косинус угла между векторами BA и BC, если ( 3; 2;3) ; ; ; ; КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Элементы векторной алгебры аналитической геометрии и линейной алгебры Найти косинус угла между векторами BA и BC если C Сделать чертеж B A Найти косинус угла между векторами AB и AC

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Рабочая программа дисциплины (с аннотацией)

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» В.П. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Аналитическая геометрия направление подготовки 0.03.01

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аффинные преобразования.

Аффинные преобразования. Аффинные преобразования. Методологический паспорт. Тема: Аффинные преобразования плоскости. Проблема: Изучение понятия аффинных преобразований плоскости, их свойств, особенностей и применения на практике.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики Задания для практических занятий по темам «Векторная и линейная

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Планиметрия (расширенная)

Планиметрия (расширенная) 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

Контрольно-измерительные материалы для студентов 1 курса

Контрольно-измерительные материалы для студентов 1 курса МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) МАТЕМАТИКА Контрольно-измерительные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа).

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа). I. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Целями освоения дисциплины «Геометрия» являются: 1) фундаментальная подготовка по аналитической геометрии и векторной алгебры; 2) овладение методами аналитической

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» Плоскость. Прямая в пространстве 1 Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

1. Поверхности второго порядка

1. Поверхности второго порядка 1 1. Поверхности второго порядка Здесь мы познакомимся с некоторыми вопросами теории поверхностей второго порядка, уравнения которых будут иметь вид A + B + Cz 2 + Dxy + Eyz + F yz + Gx + Hy + Kz + L =

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II.

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальность АТ,ОБД семестр II. Билет 1 1 Определители -го и -го порядка, их свойства и способы вычисления Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решить систему уравнений методам Гаусса и матричного исчисления: Найти координаты

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

1 Задачи механики. 2 Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и

1 Задачи механики. 2 Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и 1 Задачи механики. Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и полное ускорения. Структура механики Механика Механика Кинематика

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Рубцовский индустриальный институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им ИИ Ползунова» ИИ КУЛЕШОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой. Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии. Определение. Уравнение вида F(x,y)=0 (1) называется уравнением линии L

Подробнее

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году В экзаменационной работе проверяется следующий учебный материал: 1. Математика, 5 6 классы;

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1.1. Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой B к плоскости, плоскость через три точки

Подробнее

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение)

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение) Глава 5 Поверхностные интегралы -го типа (продолжение) 5 Задачи в классе Задача 5 (4349) Вычислить интеграл где часть поверхности конуса z d, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin α, z = ρ cos α ( ( ρ h,

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту: ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы учитесь

Подробнее

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями)

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями) ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 1/11 учебного года, 11 класс (с решениями) Задача 1 (1 балл) Найти наибольшее число, принадлежащее области определения функции Решение 1 способ Область определения функции задается

Подробнее

имеет два индекса: i номер строки и k номер столбца. Краткая запись матрицы: =. Матрица называется квадратной

имеет два индекса: i номер строки и k номер столбца. Краткая запись матрицы: =. Матрица называется квадратной Матрицей размера содержащая m строк и столбцов Глава Линейная алгебра Матрицы и определители П Основные понятия m называется прямоугольная таблица чисел Каждый элемент матрицы k имеет два индекса: номер

Подробнее