ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ"

Транскрипт

1 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

2 ОГЛАВЛЕНИЕ Функции нескольких переменных Основные понятия Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 4 Полное приращение и полный дифференциал 4 4 Геометрический смысл полного дифференциала Касательная плоскость и нормаль к поверхности 6 Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала 7 6Частные производные высших порядков 8 7 Формула Тейлора 9 8 Экстремум функции нескольких переменных 8 Локальный экстремум 8 Условный экстремум 8 Экстремумы на множествах 9 Дифференцирование неявных функций Производная по направлению Градиент Примеры решения расчетных заданий 8

3 Функции нескольких переменных Основные понятия При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных тк для нее можно дать геометрическую интерпретацию а все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных Определение Если каждой паре независимых друг от друга чисел х у из некоторого множества по какому либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной то переменная называется функцией двух переменных Определение Если паре чисел х у соответствует одно значение то функция называется однозначной а если более одного то многозначной Определение Областью определения функции называется совокупность пар х у при которых функция существует Определение Окрестностью точки М х у радиуса r называется совокупность всех точек х у которые удовлетворяют условию < r Определение Число А называется пределом функции при стремлении точки М х у к точке М х у если для каждого числа ε > найдется такое число r > что для любой точки Мх у для которой верно условие < r также верно и условие A < ε Записывают: lim A Определение Пусть точка М х у принадлежит области определения функции Тогда функция называется непрерывной в точке М х у если

4 lim причем точка М х у стремится к точке М х у произвольным образом Если в какой либо точке условие не выполняется то эта точка называется точкой разрыва функции Это может быть в следующих случаях: Функция не определена в точке М х у Не существует предел lim Этот предел существует но он не равен Свойство Если функция определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D то в этой области найдется по крайней мере одна точка N такая что для остальных точек верно неравенство а также точка N такая что для всех остальных точек верно неравенство тогда наибольшее значение функции а m наименьшее значение функции в области D Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего Свойство Если функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D а и m соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области то для любого μ [m ] существует точка N такая что μ Проще говоря непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между и m Следствием этого свойства может служить заключение что если числа и m разных знаков то в области D функция по крайней мере один раз обращается в нуль Свойство Функция непрерывная в замкнутой ограниченной области D ограничена в этой области если существует такое число К что для всех точек области верно неравенство < K Свойство 4 Если функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D то она равномерно непрерывна в этой области те для любого положительного числа ε существует такое число Δ > что для любых двух точек х и х у области находящихся на расстоянии меньшем Δ выполнено неравенство < ε

5 Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной непрерывных на отрезке Производные и дифференциалы функций нескольких переменных Определение Пусть в некоторой области задана функция Возьмем произвольную точку Мх у и зададим приращение Δх переменной х Величина Δ Δ называется частным приращением функции по х Δ Определение lim называется частной производной функции Δ Δ по х Обозначение: ; ; ; Аналогично определяется частная производная функции по у Δ lim Δ Δ Геометрическим смыслом частной производной допустим является тангенс угла наклона касательной проведенной в точке N к сечению поверхности плоскостью у у Полное приращение и полный дифференциал Определение Для функции выражение Δ Δ Δ называется полным приращением Если функция имеет непрерывные частные производные то Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ [ ] [ ] Применим теорему Лагранжа к выражениям стоящим в квадратных скобках Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ здесь Δ; Δ 4

6 Тогда получаем Δ Δ Δ Δ Так как частные производные непрерывны то можно записать равенства: Δ Δ Δ lim Δ Δ lim Определение Выражение Δ α Δ α Δ Δ Δ называется полным приращением функции в некоторой точке х у где α и α бесконечно малые функции при Δх и Δу соответственно Определение Полным дифференциалом функции называется линейная относительно Δх и Δу главная часть приращения функции Δ в точке х у d d d Для функции произвольного числа переменных: dt t d d t d Пример Найти полный дифференциал функции d d d d ; ln ; ln ; d d d d ln ln Пример Найти полный дифференциал функции d d d

7 4 Геометрический смысл полного дифференциала Касательная плоскость и нормаль к поверхности нормаль N ϕ N касательная плоскость Пусть N и N точки данной поверхности Проведем прямую NN Плоскость которая проходит через точку N называется касательной плоскостью к поверхности если угол между секущей NN и этой плоскостью стремится к нулю когда стремится к нулю расстояние NN Определение Нормалью к поверхности в точке N называется прямая проходящая через точку N перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности В какой либо точке поверхность имеет либо только одну касательную плоскость либо не имеет ее вовсе Если поверхность задана уравнением где функция дифференцируемая в точке М х у то касательная плоскость в точке N существует и описывается уравнением: Уравнение нормали к поверхности в этой точке: Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных в точке х у является приращение аппликаты координаты касательной плоскости к поверхности при переходе от точки х у к точке х Δх у Δу Как видно геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной Пример Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М 6

8 ; ; ; Уравнение касательной плоскости: ; ; Уравнение нормали: ; Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала Пусть функция дифференцируема в точке х у Найдем полное приращение этой функции: Δ Δ Δ Δ Δ Δ Если подставить в эту формулу выражение Δ d Δ Δ то получим приближенную формулу: Δ Δ Δ Δ Пример Вычислить приближенно значение 4 99 ln исходя из значения функции ln при Из заданного выражения определим Δ 4 4 Δ 99 - Δ Найдем значение функции ln Находим частные производные при : ln ln ln ln 7

9 Полный дифференциал функции равен: d ln d Заметим что точное значение этого выражения: Частные производные высших порядков Если функция определена в некоторой области D то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части Будем называть эти производные частными производными первого порядка Производные от этих функций называют частными производными второго порядка ; ; ; ; Продолжая дифференцировать полученные равенства получим частные производные более высоких порядков Определение Частные производные вида ; ; ; и тд называются смешанными производными Теорема Если функция и ее частные производные определены и непрерывны в точке Мх у и ее окрестности то верно соотношение: М То есть частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования Аналогично определяются дифференциалы высших порядков 8

10 d d [ ] d dd d d d d d d d d d d d d d d d n n Здесь n символическая степень производной на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего в скобках выражения Пример Найти частные производные до второго порядка включительно arctg функции 7 Формула Тейлора Теорема Пусть функция и все её частные производные до порядка n включительно непрерывны в некоторой окрестности точки Тогда справедлива формула Тейлора: Δ Δ Δ! d d d n d n n n θδ θδ!! где < θ < 9

11 Заметим что фигурирующие справа в различных степенях d и d равны именно тем приращениям Δ и Δ которые породили приращение функции слева n R d θδ θδ остаток в форме Лагранжа n! 8 Экстремум функции нескольких переменных 8 Локальный экстремум Определение Если для функции определенной в некоторой области в некоторой окрестности точки М х у верно неравенство > то точка М называется точкой локального максимума Определение Если для функции определенной в некоторой области в некоторой окрестности точки М х у верно неравенство < то точка М называется точкой локального минимума Теорема необходимые условия экстремума Если функция в точке х у имеет экстремум то в этой точке либо частные производные первого порядка равны нулю либо хотя бы одна из них не существует Эту точку х у будем называть критической точкой Теорема достаточные условия экстремума Пусть в окрестности критической точки х у функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно D Рассмотрим выражение: [ ] Если D > то в точке х у функция имеет экстремум если максимум если минимум < >

12 Если D < то в точке х у функция не имеет экстремума Если D то вывод о наличии экстремума сделать нельзя требуются дополнительные исследования 8 Условный экстремум Условный экстремум находится когда переменные х и у входящие в функцию не являются независимыми те существует некоторое соотношение ϕх у которое называется уравнением связи Тогда из переменных х и у только одна будет независимой тк другая может быть выражена через нее из уравнения связи Тогда d d d d В точках экстремума: Кроме того: d d d d ϕ ϕ d d Умножим равенство на число λ и сложим с равенством d ϕ ϕ d λ d d ϕ λ ϕ λ d d Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент λ так чтобы выполнялась система трех уравнений: ϕ λ ϕ λ ϕ Полученная система уравнений является необходим условием условного экстремума Однако это условие не является достаточным Поэтому при

13 нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум Выражение λϕ называется функцией Лагранжа Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа Пример Исследовать на условный экстремум функцию при уравнении связи a a > Решение Область G:{ : } Функция Лагранжа имеет вид Φ λ a Стационарные точки находим из системы: λ λ a Решив эту систему имеем a λ те условный экстремум a может быть только в точке a a G Найдем дифференциал второго порядка функции Лагранжа: d Φ d d Из уравнения связи х у а получаем d d Подставляя выражение d d и координаты точки имеем 4 d Φ d > a Следовательно в точке М a а функция имеет условный минимум Выше мы рассмотрели функцию двух переменных однако все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных 8 Экстремумы на множествах Пусть функция дифференцируема на открытом ограниченном множестве G и непрерывна на его замыкании G Требуется найти наибольшее

14 и наименьшее значения этой функции на множестве G Один из возможных способов решения указанного вопроса заключается в проведении следующих исследований Находятся все стационарные точки функции в G если множество этих точек конечно вычисляются значения в этих точках и среди этих значений выбираются наибольшее и наименьшее Полученные значения сравниваются с наибольшим и наименьшим значениями функции на границе множества G при условии возможности определения последних Находят искомые максимум и минимум функции на множестве G 9 Дифференцирование неявных функций Определение Если функция задана функциональным уравнением неразрешенным относительно то такое задание функции называется неявным заданием этой функции Например: ln Вычисление частных производных неявно заданной функции Остановимся на вычислении частных производных функции неявно заданной посредством уравнения Пусть выполнены условия теоремы о существовании неявной функции Тогда для полного приращения функции φх у справедливо представление Δ Δ Δ μδ υδ Это представление и условия дифференцируемости позволяют утверждать что частные производные функции φх у определяются формулами 4 Аналогичные формулы справедливы и для случая когда неявно заданная функция зависит не от двух а от любого конечного числа аргументов х m

15 В этом случае k k k m Теперь переходим к вычислению частных производных второго порядка неявно заданной функции Вычислим например Дифференцируя первую из формул 4 по у и принимая во внимание что каждая из частных производных и зависит от трех аргументов х у первый из которых сам является функцией х и у будем иметь D D D D D D Подставляя в полученную формулу выражение определяемое второй из формул 4 получаем Совершенно аналогично вычисляются частные производные и Тот же метод позволяет вычислять частные производные третьего и 4

16 последующих порядков при условии что функция дифференцируема в данной точке соответствующее число раз Пример Вычислить частную производную функции φ у заданной уравнением a Используя формулы 4 имеем D D Далее получаем D D Производная по направлению Градиент Рассмотрим функцию в точке М и точке М Δ Δ Δ Проведем через точки М и М вектор S Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х у обозначим соответственно α β γ Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора S Расстояние между точками М и М на векторе S обозначим ΔS Δ S Δ Δ Δ Высказанные выше предположения проиллюстрируем на рисунке: М Δ S М S r Далее предположим что функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х у и Тогда правомерно записать следующее выражение: Δ Δ Δ Δ ε Δ εδ εδ где величины ε ε ε бесконечно малые при ΔS Δ Δ Δ Из геометрических соображений очевидно: cosα; cosβ; cos γ; ΔS ΔS ΔS

17 Таким образом приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом: Δ ΔS s cosα cosβ cos γ ε cosα ε cosβ ε cos γ ; Δ lim ΔS ΔS cosα cosβ cos γ Заметим что величина s является скалярной Она лишь определяет направление вектора S Из этого уравнения следует следующее определение: Δ Определение Предел lim называется производной функции ΔS ΔS по направлению вектора S в точке с координатами Поясним значение изложенных выше равенств на примере Пример Вычислить производную функции в точке А по направлению вектора АВ В Решение Прежде всего необходимо определить координаты вектора АВ r r АВ ; ; i j Далее определяем модуль этого вектора: AB 8 Находим частные производные функции в общем виде: ; ; Значения этих величин в точке А: 6 ; 4; Для нахождения направляющих косинусов вектора АВ производим следующие преобразования: S i cosα j cosβ i j AB r r r AB За величину S принимается произвольный вектор направленный вдоль заданного вектора те определяющего направление дифференцирования Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора АВ: cosα ; cosβ 6

18 Окончательно получаем: 6 4 значение производной s заданной функции по направлению вектора АВ Определение Если в некоторой области D задана функция и некоторый вектор проекции которого на координатные оси равны значениям частных производных функции в соответствующей точке ; ; то этот вектор называется градиентом функции r r r grad i j k d При этом говорят что в области D задано поле градиентов Теорема связь градиента с производной по направлению Пусть задана r r r функция и поле градиентов grad i j k d Тогда производная s по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad на вектор S Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем что градиент вектор показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля в какой либо точке В физике существуют такие понятия как градиент температуры градиент давления и тп То есть направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции Пример Найти производную функции по направлению состав- ляющему угол в 6 с осью O в точке Решение Найдем частные производные функции: ; grad v ; 4 4 Далее определим градиент функции в точке : 7

19 Принимая во внимание равенство ; e r получаем 8 l Примеры решения расчетных заданий ЗАДАНИЕ Убедиться в равенстве смешанных частных производных второго порядка для функции arcsin Найдем частные производные первого порядка Найдем смешанные производные второго порядка что и требовалось доказать ЗАДАНИЕ 6 Найти и d d функции arctg где d d d d ; d d 8

20 d d ЗАДАНИЕ 7 Найти дифференциал второго порядка от функции cos sin d d dd d sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos cos sin cos cos 9 sin sin cos sin cos cos cos 9 sin 4 sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos d 9 sin cos cos cos d sin sin sin cos dd 4 cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin d ЗАДАНИЕ 8 Исследовать на экстремум > > Найдем стационарные точки из условия: 9

21 4 P ; P ; P ; P ; 4 P ; Найдем Δ AC B P ; где 4 A B C Δ 4 > A < В точке P ; максимум ; 4 ; ma P B C A P P P i i i A B 4 C Δ 6 < экстремума нет P ; A B 4 C Δ 6 < экстремума нет P ; 4 A B 4 C Δ 6 < экстремума нет P ; A B 4 C Δ 6 < экстремума нет Ответ: ; ma 4

22 ЗАДАНИЕ 9 Найти наибольшее и наименьшее значение функции в указанно области ограниченной линиями ; Построим область ; B O; A; Найдем точки пересечения прямых: ; B 4 ; А Найдем стационарные точки: Точка с координатами ; 4 области Стационарных точек в области нет Исследуем функцию на границе области как функцию одной переменной ОА:

23 ; ; Найдем значение функции в точке О; ; 7 AB : ; ; ; OB : ; ; 6 Ответ: ; 9 наиб наим 9 ЗАДАНИЕ Найти условный экстремум функции при заданном уравнении связи

24 Составим функцию Лагранжа λ λ L Найдем стационарные точки из условия L L L λ λ λ L λ λ λ ϕ λ λ 4λ 4 λ P ; при λ L L L Найдем d L d dd d L L L ; ; d L dd Чтобы определить знак этого выражения используем уравнение связи d d d d тогда d L 4d < в точке P ; условный максимум ; ma Ответ: условный максимум ; ЗАДАНИЕ Написать уравнение касательной плоскости и нормали в данной точке Дать геометрическую иллюстрацию ;; Уравнение касательной плоскости ' ' уравнение касательной плоскости Уравнение нормали ' ' ;;

25 уравнение нормали Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке 4;; 9 6 Уравнение касательной плоскости ' ' ' ; 9 ; 6 Уравнение касательной плоскости 4 4 Уравнение нормали ' ' ' 4 4

26

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. 5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для выполнения домашнего задания необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие вашему

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальное исчисление функций нескольких

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы студентов. Примерное время, необходимое для выполнения ДКР,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ СОСТАВИТЕЛИ:

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x)

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x) Практикум: «Формула Тейлора» Если функция f () имеет производные до (п +)-го порядка включительно в интервале ( 0, 0 ), 0, то для всех х из этого интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) ( ) f

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Логвенков С.А., Мышкис П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Логвенков С.А., Мышкис П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Логвенков СА, Мышкис ПА Самовол ВС СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии Москва Издательство МЦНМО

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. - дифференцируемые функции, то сложная функция y f ( g( тоже дифференцируема, причѐм:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. - дифференцируемые функции, то сложная функция y f ( g( тоже дифференцируема, причѐм: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Дифференцирование сложных и неявных функций Приложения понятия частных производных(производная по направлению, градиент функции) Дифференцирование

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Структурно логическая схема модуля Явное задание Способы задания Элементарная поверхность Квадратичные формы Векторная параметризация Параметризация Регулярная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f ГЛАВА 7 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1 Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных Опр711 Пусть М (, y ), : O(М, ) Рассмотрим функцию 1 = 1 ()=

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода 5 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к

Подробнее

1.Дивергенция векторного поля.

1.Дивергенция векторного поля. ЛЕКЦИЯ N Дивергенция векторного поля Циркуляция Ротор отенциальные соленоидальные гармонические поля Операторы Лапласа и Гамильтона Дивергенция векторного поля Соленоидальные поля Циркуляция 4Формула Стокса

Подробнее

Скалярное поле. Лабораторные и практические занятия. Методические указания

Скалярное поле. Лабораторные и практические занятия. Методические указания МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Скалярное поле Лабораторные

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Производная и дифференциал. Лекция 4-5

Производная и дифференциал. Лекция 4-5 Производная и дифференциал Лекция 4-5 Приращения функции и аргумента Пусть функция y f ( x) определена в некоторой окрестности U( x) точки x и x U( x) произвольная точка из этой окрестности. Разность x

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Лектор Рожкова С.В. 1 г. 18. Формула Тейлора для ФНП Если y = раз дифференцируема в окрестности

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных

Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление,

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины дифференциальное исчисление, Номер недели РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление, УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет линейная алгебра и аналитическая геометрия"

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Дифференциальное исчисление. Часть 2. "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ". Составитель В.П.Белкин

Дифференциальное исчисление. Часть 2. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Составитель В.П.Белкин Дифференциальное исчисление Часть "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ" Составитель ВПБелкин Приращение функции Пусть функция y f () определена в некоторой окрестности точки Изменим это значение аргумента на новое

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть V для студентов-заочников всех специальностей МИНСК 999 4 Составители Гладков Л.Л. Назарова И.В.

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ Абанин, ДА Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

Занятие 1. Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2

Занятие 1. Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2 Занятие 1 Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2 2x 3, (б) f(x) = 6 cos 2x + 8 sin 2x. Занятие 2 2. Мат индукция.

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

Глава II. Производная

Глава II. Производная Глава II Производная Производная функции в точке Геометрический и механический смысл производной Рассмотрим сначала два примера ) Пусть материальное тело совершает прямолинейное движение За время t тело

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 3 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 3 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО РОДА ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА (ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ) ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ РАБОТА СИЛ ИНЕРЦИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Лектор:

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 4

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 4 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 4 РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ... 8 1. ФУНКЦИЯ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ... 8 1.1.

Подробнее

n = или k = k n называется единичным вектором

n = или k = k n называется единичным вектором Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Тема 1. Множества точек пространства R. 1. Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства m

Тема 1. Множества точек пространства R. 1. Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства m МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики Тема Множества точек пространства R Определения Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R Сформулируйте определение

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее