ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

Save this PDF as:
Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ"

Транскрипт

1 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

2 ОГЛАВЛЕНИЕ Функции нескольких переменных Основные понятия Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 4 Полное приращение и полный дифференциал 4 4 Геометрический смысл полного дифференциала Касательная плоскость и нормаль к поверхности 6 Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала 7 6Частные производные высших порядков 8 7 Формула Тейлора 9 8 Экстремум функции нескольких переменных 8 Локальный экстремум 8 Условный экстремум 8 Экстремумы на множествах 9 Дифференцирование неявных функций Производная по направлению Градиент Примеры решения расчетных заданий 8

3 Функции нескольких переменных Основные понятия При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных тк для нее можно дать геометрическую интерпретацию а все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных Определение Если каждой паре независимых друг от друга чисел х у из некоторого множества по какому либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной то переменная называется функцией двух переменных Определение Если паре чисел х у соответствует одно значение то функция называется однозначной а если более одного то многозначной Определение Областью определения функции называется совокупность пар х у при которых функция существует Определение Окрестностью точки М х у радиуса r называется совокупность всех точек х у которые удовлетворяют условию < r Определение Число А называется пределом функции при стремлении точки М х у к точке М х у если для каждого числа ε > найдется такое число r > что для любой точки Мх у для которой верно условие < r также верно и условие A < ε Записывают: lim A Определение Пусть точка М х у принадлежит области определения функции Тогда функция называется непрерывной в точке М х у если

4 lim причем точка М х у стремится к точке М х у произвольным образом Если в какой либо точке условие не выполняется то эта точка называется точкой разрыва функции Это может быть в следующих случаях: Функция не определена в точке М х у Не существует предел lim Этот предел существует но он не равен Свойство Если функция определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D то в этой области найдется по крайней мере одна точка N такая что для остальных точек верно неравенство а также точка N такая что для всех остальных точек верно неравенство тогда наибольшее значение функции а m наименьшее значение функции в области D Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего Свойство Если функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D а и m соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области то для любого μ [m ] существует точка N такая что μ Проще говоря непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между и m Следствием этого свойства может служить заключение что если числа и m разных знаков то в области D функция по крайней мере один раз обращается в нуль Свойство Функция непрерывная в замкнутой ограниченной области D ограничена в этой области если существует такое число К что для всех точек области верно неравенство < K Свойство 4 Если функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D то она равномерно непрерывна в этой области те для любого положительного числа ε существует такое число Δ > что для любых двух точек х и х у области находящихся на расстоянии меньшем Δ выполнено неравенство < ε

5 Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной непрерывных на отрезке Производные и дифференциалы функций нескольких переменных Определение Пусть в некоторой области задана функция Возьмем произвольную точку Мх у и зададим приращение Δх переменной х Величина Δ Δ называется частным приращением функции по х Δ Определение lim называется частной производной функции Δ Δ по х Обозначение: ; ; ; Аналогично определяется частная производная функции по у Δ lim Δ Δ Геометрическим смыслом частной производной допустим является тангенс угла наклона касательной проведенной в точке N к сечению поверхности плоскостью у у Полное приращение и полный дифференциал Определение Для функции выражение Δ Δ Δ называется полным приращением Если функция имеет непрерывные частные производные то Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ [ ] [ ] Применим теорему Лагранжа к выражениям стоящим в квадратных скобках Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ здесь Δ; Δ 4

6 Тогда получаем Δ Δ Δ Δ Так как частные производные непрерывны то можно записать равенства: Δ Δ Δ lim Δ Δ lim Определение Выражение Δ α Δ α Δ Δ Δ называется полным приращением функции в некоторой точке х у где α и α бесконечно малые функции при Δх и Δу соответственно Определение Полным дифференциалом функции называется линейная относительно Δх и Δу главная часть приращения функции Δ в точке х у d d d Для функции произвольного числа переменных: dt t d d t d Пример Найти полный дифференциал функции d d d d ; ln ; ln ; d d d d ln ln Пример Найти полный дифференциал функции d d d

7 4 Геометрический смысл полного дифференциала Касательная плоскость и нормаль к поверхности нормаль N ϕ N касательная плоскость Пусть N и N точки данной поверхности Проведем прямую NN Плоскость которая проходит через точку N называется касательной плоскостью к поверхности если угол между секущей NN и этой плоскостью стремится к нулю когда стремится к нулю расстояние NN Определение Нормалью к поверхности в точке N называется прямая проходящая через точку N перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности В какой либо точке поверхность имеет либо только одну касательную плоскость либо не имеет ее вовсе Если поверхность задана уравнением где функция дифференцируемая в точке М х у то касательная плоскость в точке N существует и описывается уравнением: Уравнение нормали к поверхности в этой точке: Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных в точке х у является приращение аппликаты координаты касательной плоскости к поверхности при переходе от точки х у к точке х Δх у Δу Как видно геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной Пример Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М 6

8 ; ; ; Уравнение касательной плоскости: ; ; Уравнение нормали: ; Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала Пусть функция дифференцируема в точке х у Найдем полное приращение этой функции: Δ Δ Δ Δ Δ Δ Если подставить в эту формулу выражение Δ d Δ Δ то получим приближенную формулу: Δ Δ Δ Δ Пример Вычислить приближенно значение 4 99 ln исходя из значения функции ln при Из заданного выражения определим Δ 4 4 Δ 99 - Δ Найдем значение функции ln Находим частные производные при : ln ln ln ln 7

9 Полный дифференциал функции равен: d ln d Заметим что точное значение этого выражения: Частные производные высших порядков Если функция определена в некоторой области D то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части Будем называть эти производные частными производными первого порядка Производные от этих функций называют частными производными второго порядка ; ; ; ; Продолжая дифференцировать полученные равенства получим частные производные более высоких порядков Определение Частные производные вида ; ; ; и тд называются смешанными производными Теорема Если функция и ее частные производные определены и непрерывны в точке Мх у и ее окрестности то верно соотношение: М То есть частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования Аналогично определяются дифференциалы высших порядков 8

10 d d [ ] d dd d d d d d d d d d d d d d d d n n Здесь n символическая степень производной на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего в скобках выражения Пример Найти частные производные до второго порядка включительно arctg функции 7 Формула Тейлора Теорема Пусть функция и все её частные производные до порядка n включительно непрерывны в некоторой окрестности точки Тогда справедлива формула Тейлора: Δ Δ Δ! d d d n d n n n θδ θδ!! где < θ < 9

11 Заметим что фигурирующие справа в различных степенях d и d равны именно тем приращениям Δ и Δ которые породили приращение функции слева n R d θδ θδ остаток в форме Лагранжа n! 8 Экстремум функции нескольких переменных 8 Локальный экстремум Определение Если для функции определенной в некоторой области в некоторой окрестности точки М х у верно неравенство > то точка М называется точкой локального максимума Определение Если для функции определенной в некоторой области в некоторой окрестности точки М х у верно неравенство < то точка М называется точкой локального минимума Теорема необходимые условия экстремума Если функция в точке х у имеет экстремум то в этой точке либо частные производные первого порядка равны нулю либо хотя бы одна из них не существует Эту точку х у будем называть критической точкой Теорема достаточные условия экстремума Пусть в окрестности критической точки х у функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно D Рассмотрим выражение: [ ] Если D > то в точке х у функция имеет экстремум если максимум если минимум < >

12 Если D < то в точке х у функция не имеет экстремума Если D то вывод о наличии экстремума сделать нельзя требуются дополнительные исследования 8 Условный экстремум Условный экстремум находится когда переменные х и у входящие в функцию не являются независимыми те существует некоторое соотношение ϕх у которое называется уравнением связи Тогда из переменных х и у только одна будет независимой тк другая может быть выражена через нее из уравнения связи Тогда d d d d В точках экстремума: Кроме того: d d d d ϕ ϕ d d Умножим равенство на число λ и сложим с равенством d ϕ ϕ d λ d d ϕ λ ϕ λ d d Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент λ так чтобы выполнялась система трех уравнений: ϕ λ ϕ λ ϕ Полученная система уравнений является необходим условием условного экстремума Однако это условие не является достаточным Поэтому при

13 нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум Выражение λϕ называется функцией Лагранжа Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа Пример Исследовать на условный экстремум функцию при уравнении связи a a > Решение Область G:{ : } Функция Лагранжа имеет вид Φ λ a Стационарные точки находим из системы: λ λ a Решив эту систему имеем a λ те условный экстремум a может быть только в точке a a G Найдем дифференциал второго порядка функции Лагранжа: d Φ d d Из уравнения связи х у а получаем d d Подставляя выражение d d и координаты точки имеем 4 d Φ d > a Следовательно в точке М a а функция имеет условный минимум Выше мы рассмотрели функцию двух переменных однако все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных 8 Экстремумы на множествах Пусть функция дифференцируема на открытом ограниченном множестве G и непрерывна на его замыкании G Требуется найти наибольшее

14 и наименьшее значения этой функции на множестве G Один из возможных способов решения указанного вопроса заключается в проведении следующих исследований Находятся все стационарные точки функции в G если множество этих точек конечно вычисляются значения в этих точках и среди этих значений выбираются наибольшее и наименьшее Полученные значения сравниваются с наибольшим и наименьшим значениями функции на границе множества G при условии возможности определения последних Находят искомые максимум и минимум функции на множестве G 9 Дифференцирование неявных функций Определение Если функция задана функциональным уравнением неразрешенным относительно то такое задание функции называется неявным заданием этой функции Например: ln Вычисление частных производных неявно заданной функции Остановимся на вычислении частных производных функции неявно заданной посредством уравнения Пусть выполнены условия теоремы о существовании неявной функции Тогда для полного приращения функции φх у справедливо представление Δ Δ Δ μδ υδ Это представление и условия дифференцируемости позволяют утверждать что частные производные функции φх у определяются формулами 4 Аналогичные формулы справедливы и для случая когда неявно заданная функция зависит не от двух а от любого конечного числа аргументов х m

15 В этом случае k k k m Теперь переходим к вычислению частных производных второго порядка неявно заданной функции Вычислим например Дифференцируя первую из формул 4 по у и принимая во внимание что каждая из частных производных и зависит от трех аргументов х у первый из которых сам является функцией х и у будем иметь D D D D D D Подставляя в полученную формулу выражение определяемое второй из формул 4 получаем Совершенно аналогично вычисляются частные производные и Тот же метод позволяет вычислять частные производные третьего и 4

16 последующих порядков при условии что функция дифференцируема в данной точке соответствующее число раз Пример Вычислить частную производную функции φ у заданной уравнением a Используя формулы 4 имеем D D Далее получаем D D Производная по направлению Градиент Рассмотрим функцию в точке М и точке М Δ Δ Δ Проведем через точки М и М вектор S Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х у обозначим соответственно α β γ Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора S Расстояние между точками М и М на векторе S обозначим ΔS Δ S Δ Δ Δ Высказанные выше предположения проиллюстрируем на рисунке: М Δ S М S r Далее предположим что функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х у и Тогда правомерно записать следующее выражение: Δ Δ Δ Δ ε Δ εδ εδ где величины ε ε ε бесконечно малые при ΔS Δ Δ Δ Из геометрических соображений очевидно: cosα; cosβ; cos γ; ΔS ΔS ΔS

17 Таким образом приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом: Δ ΔS s cosα cosβ cos γ ε cosα ε cosβ ε cos γ ; Δ lim ΔS ΔS cosα cosβ cos γ Заметим что величина s является скалярной Она лишь определяет направление вектора S Из этого уравнения следует следующее определение: Δ Определение Предел lim называется производной функции ΔS ΔS по направлению вектора S в точке с координатами Поясним значение изложенных выше равенств на примере Пример Вычислить производную функции в точке А по направлению вектора АВ В Решение Прежде всего необходимо определить координаты вектора АВ r r АВ ; ; i j Далее определяем модуль этого вектора: AB 8 Находим частные производные функции в общем виде: ; ; Значения этих величин в точке А: 6 ; 4; Для нахождения направляющих косинусов вектора АВ производим следующие преобразования: S i cosα j cosβ i j AB r r r AB За величину S принимается произвольный вектор направленный вдоль заданного вектора те определяющего направление дифференцирования Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора АВ: cosα ; cosβ 6

18 Окончательно получаем: 6 4 значение производной s заданной функции по направлению вектора АВ Определение Если в некоторой области D задана функция и некоторый вектор проекции которого на координатные оси равны значениям частных производных функции в соответствующей точке ; ; то этот вектор называется градиентом функции r r r grad i j k d При этом говорят что в области D задано поле градиентов Теорема связь градиента с производной по направлению Пусть задана r r r функция и поле градиентов grad i j k d Тогда производная s по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad на вектор S Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем что градиент вектор показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля в какой либо точке В физике существуют такие понятия как градиент температуры градиент давления и тп То есть направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции Пример Найти производную функции по направлению состав- ляющему угол в 6 с осью O в точке Решение Найдем частные производные функции: ; grad v ; 4 4 Далее определим градиент функции в точке : 7

19 Принимая во внимание равенство ; e r получаем 8 l Примеры решения расчетных заданий ЗАДАНИЕ Убедиться в равенстве смешанных частных производных второго порядка для функции arcsin Найдем частные производные первого порядка Найдем смешанные производные второго порядка что и требовалось доказать ЗАДАНИЕ 6 Найти и d d функции arctg где d d d d ; d d 8

20 d d ЗАДАНИЕ 7 Найти дифференциал второго порядка от функции cos sin d d dd d sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos cos sin cos cos 9 sin sin cos sin cos cos cos 9 sin 4 sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos d 9 sin cos cos cos d sin sin sin cos dd 4 cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin d ЗАДАНИЕ 8 Исследовать на экстремум > > Найдем стационарные точки из условия: 9

21 4 P ; P ; P ; P ; 4 P ; Найдем Δ AC B P ; где 4 A B C Δ 4 > A < В точке P ; максимум ; 4 ; ma P B C A P P P i i i A B 4 C Δ 6 < экстремума нет P ; A B 4 C Δ 6 < экстремума нет P ; 4 A B 4 C Δ 6 < экстремума нет P ; A B 4 C Δ 6 < экстремума нет Ответ: ; ma 4

22 ЗАДАНИЕ 9 Найти наибольшее и наименьшее значение функции в указанно области ограниченной линиями ; Построим область ; B O; A; Найдем точки пересечения прямых: ; B 4 ; А Найдем стационарные точки: Точка с координатами ; 4 области Стационарных точек в области нет Исследуем функцию на границе области как функцию одной переменной ОА:

23 ; ; Найдем значение функции в точке О; ; 7 AB : ; ; ; OB : ; ; 6 Ответ: ; 9 наиб наим 9 ЗАДАНИЕ Найти условный экстремум функции при заданном уравнении связи

24 Составим функцию Лагранжа λ λ L Найдем стационарные точки из условия L L L λ λ λ L λ λ λ ϕ λ λ 4λ 4 λ P ; при λ L L L Найдем d L d dd d L L L ; ; d L dd Чтобы определить знак этого выражения используем уравнение связи d d d d тогда d L 4d < в точке P ; условный максимум ; ma Ответ: условный максимум ; ЗАДАНИЕ Написать уравнение касательной плоскости и нормали в данной точке Дать геометрическую иллюстрацию ;; Уравнение касательной плоскости ' ' уравнение касательной плоскости Уравнение нормали ' ' ;;

25 уравнение нормали Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке 4;; 9 6 Уравнение касательной плоскости ' ' ' ; 9 ; 6 Уравнение касательной плоскости 4 4 Уравнение нормали ' ' ' 4 4

26


Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Величина называется функцией переменных величин n если каждой точке М n принадлежащей некоторому множеству X поставлено

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных

МАТЕМАТИКА. Часть 4. Функции нескольких переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть Функции нескольких переменных Методические указания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных. ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Подробнее

Теория функций нескольких переменных (аргументов)

Теория функций нескольких переменных (аргументов) Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения 1 Теория функций нескольких переменных (аргументов) Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Определение функции

Подробнее

Тема: Условные экстремумы ФНП

Тема: Условные экстремумы ФНП Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Условные экстремумы ФНП Лектор Рожкова СВ 212 г 21 Условные экстремумы ФНП ОПРЕДЕЛЕНИЕ Условным экстремумом функции n переменных u = 1

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ. В четырех частях

Министерство образования Республики Беларусь ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ. В четырех частях Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4 I типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание Вычислите неопределенный интеграл I cos d 9 Представим данный интеграл I в виде суммы интегралов: d I cos d d d 9 Используя

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных. Нахождение максимального и минимального значения функции в замкнутой области Условный экстремум Комплексные

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций 5 Производная

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область ~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных,, если каждой паре значений,

Подробнее

И.Л. Фаустова, Е.Г. Пахомова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

И.Л. Фаустова, Е.Г. Пахомова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Национальный исследовательский

Подробнее

Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных. 1. Основные понятия. Функции нескольких переменных. Исследование функции нескольких переменных проведем на примерах функций двух и трех переменных, так как все данные определения и полученные результаты

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

Репозиторий БНТУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Белорусский национальный технический университет

Репозиторий БНТУ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Белорусский национальный технический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 1» Г. И. Лебедева Г. А. Романюк И. М. Мартыненко ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Методическое

Подробнее

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. 5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n ), т.е. можно представить его в форме Пеано ( ) ( )

бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n ), т.е. можно представить его в форме Пеано ( ) ( ) 55 является при бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n (, ), где ρ ( ) + ( ), те можно представить его в форме Пеано n R, ρ Пример Записать формулу Тейлора при n с

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1,

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1, Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

Подробнее

«Функции нескольких переменных»

«Функции нескольких переменных» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

Введение. 1 Область определения. Изображение функций двух переменных при помощи линий уровня

Введение. 1 Область определения. Изображение функций двух переменных при помощи линий уровня Введение Методические указания посвящены вопросам изучения и практического применения теории функции двух переменных Каждый параграф соответствует одному практическому занятию по данной теме Цель указаний

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П. Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Э Е Поповский П П Скачков ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Типовой расчет Екатеринбург 1 Федеральное

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный университет ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза УДК 5755 Никитина ОГ Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление:

Подробнее

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество 1. Построить область определения следующих функций. a) Так как функции определена при то область определения функции является множество - полуплоскость. b) Так как область определения функции является

Подробнее

19. Скалярное поле. Поведение скалярного поля характеризуют 1) производная по направлению; 2) градиент.

19. Скалярное поле. Поведение скалярного поля характеризуют 1) производная по направлению; 2) градиент. 19. Скалярное поле ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть G некоторая область в пространстве Oz [на плоскости O]. Говорят что на G задано скалярное поле если в каждой точке G определена функция 3-х переменных u = [функция

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Курганский государственный университет» Кафедра «Прикладная математика

Подробнее

Задача 1. Найти область определения функции z. Областью определения данной функции будет множество точек

Задача 1. Найти область определения функции z. Областью определения данной функции будет множество точек Задача Найти область определения функции Областью определения данной функции будет множество точек ; таких что 0 Выполнение этого неравенства возможно в двух слу- чаях: 0 или 0 0 0 Первой системе неравенств

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 3 ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для выполнения домашнего задания необходимо пользуясь табл заполнить первую строку табл затем выписать соответствующие вашему

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

= 0. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. ; является точкой локального ми-,0 0

= 0. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. ; является точкой локального ми-,0 0 6 ( ) Получаем, что HP =. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. В данном случае стационарная точка P ( ) ; является точкой локального ми- Δz > P O & P : z = z =. δ

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Глава 9. Частные производные

Глава 9. Частные производные Глава 9 Частные производные 9 Частные производные, градиент и дифференциал Пусть M, ) внутренняя точка области определения функции f, Частной производной функции f, по переменной называется предел f, )

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ С.Н. Зиненко Математический анализ Дифференцирование функций нескольких переменных (теория к задачам) 015 1 6. Частные производные и дифференциал функции Частная производная функции u f(,,, ) нескольких

Подробнее

Лекция Дифференцирование сложной функции

Лекция Дифференцирование сложной функции Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальное исчисление функций нескольких

Подробнее

Производная и правила дифференцирования 1. Пусть функция y = f x

Производная и правила дифференцирования 1. Пусть функция y = f x Производная и правила дифференцирования Пусть функция y = f получила приращение y f 0 f 0 соответствующее приращению аргумента 0 Определение Если существует предел отношения приращения функции y к вызвавшему

Подробнее

Глава 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Глава 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Глава 6 Дифференциальное исчисление функции одной переменной Задачи приводящие к понятию производной Задача о скорости неравномерного прямолинейного движения S - закон неравномерного прямолинейного движения

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Контрольная по высшей математике за 1 курс

Контрольная по высшей математике за 1 курс Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatbror Контрольная по высшей математике за курс Найдите производные от данных функций: а, б tg tg, в arctg, Решение a Тк,, то воспользуемся формулой из таблицы

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных. Московский Государственный Технический Университет имени НЭ Баумана Дубограй ИВ Скуднева ОВ Левина А И Функции нескольких переменных методические указания для подготовки к аттестации Москва Издательство

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические рекомендации

Подробнее

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных Лекции 9 Локальные экстремумы функции многих переменных Определение Пусть функция многих переменных f f ( задана на ( некотором множестве D и ( некоторая точка этого множества Точка называется точкой локального

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы студентов. Примерное время, необходимое для выполнения ДКР,

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной.

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C 0 2. 3. Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Геометрический смысл производной есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к

Подробнее

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования.

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования. Производная функции Ее геометрический и физический смысл Техника дифференцирования Основные определения Пусть f ( ) определена на (, ) a, b некоторая фиксированная точка, приращение аргумента в точке,

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков.

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков. ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные

Подробнее

Вопросы и задания для студентов 1-го курса специальности «Издательское дело» в зимнюю экзаменационную сессию.

Вопросы и задания для студентов 1-го курса специальности «Издательское дело» в зимнюю экзаменационную сессию. Вопросы и задания для студентов -го курса специальности «Издательское дело» в зимнюю экзаменационную сессию Теоретические вопросы Функции Способы задания функций Классификация функций Основные элементарные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии ОВ Исакова, ЛА Сайкова Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Рекомендовано

Подробнее

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой:

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: 2.2.7. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал функции y = зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: dy d Тогда абсолютная погрешность:

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Дифференциальное исчисление функций многих переменных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций СЮ Галкина ОЕ Галкин

Подробнее

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ''Оренбургский государственный

Подробнее