. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download ". К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v"

Транскрипт

1 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент времени t К этому моменту точка прошла путь s f ( t ) Поставим задачу определить скорость v материальной точки в момент t Рассмотрим для этого какой-нибудь момент времени t + t Ему соответствует пройденный путь s f ( t + t) Тогда за промежуток времени t t t точка прошла путь s s s f t + t) f ( ) Смотри рис ( t S S S Рис Средняя скорость движения v ср за промежуток времени t определяется отношением v s ср t пройденного пути ко времени Будем считать начальный момент времени t фиксированным, а промежуток времени t - переменным Тогда средняя скорость v ср является переменной величиной, зависящей от t Скорость v в данный момент t называется пределом средней скорости v ср при t, т е s v lim, (7) t t или f ( t + t) f ( t ) v lim (8) t t Таким образом, для того, чтобы найти скорость v в данный момент t, необходимо вычислить f ( t lim t + t) t f ( t ) Рассмотрим еще одну задачу, при решении которой придется находить такого же рода предел Пусть дан тонкий прямолинейный неоднородный стержень длиной l Определим плотность стержня в любой его точке Предположим, что стержень расположен на оси O, причем один из его концов совпадает с началом координат Тогда каждой точке стержня соответствует определенная координата Обозначим через mмассу отрезка стержня между точками с координатами O и Ясно, что m является функцией : m f () Рассмотрим две точки стержня: фиксированную точку и переменную + Отрезок стержня, расположенный между этими точками, имеет длину и массу m f + ) f ( ) ( m Отношение называется средней плотностью стержня на отрезке от точки до точки + Плотностью δ стержня в точке называется предел средней плотности, когда длина отрезка стремится к нулю: m f ( + ) f ( ) δ lim lim (9) Рассмотренные задачи, несмотря на их различное физическое содержание, привели нас к нахождению предела одного и того же вида - пределу отношения приращения функции к приращению аргумента К нахождению предела подобного вида приводят многочисленные задачи из различных областей

2 естествознания Поэтому целесообразно изучить подробнее указанный предел и показать способы его нахождения 7 Определение производной и ее механический смысл Производной функции y f () в точке называется предел отношения приращения функции y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю Производная функции y f () в точке обозначается символом f ( ) Таким образом, f ( ) lim, () или f ( + ) f ( ) f ( ) lim () Для одной и той же функции f () производную логично вычислять в различных точках Пусть M - множество всех таких значений Правило, по которому каждому M соответствует производная в этой точке f (), представляет собой новую функцию, определенную на множестве M Эта функция называется производной от функции f () и обозначается f () Таким образом, производная функции f () в точке является значением функции f () в точке Наряду с обозначением f () для производной функции употребляются и другие обозначения, например:,, [ f ( ) ] Пример Найти производную функции y Решение Находим приращение функции y y ( + ) + ( ) По определению имеем + ( ) lim lim lim( + ) Таким образом, производная функции равна Эта производная определена на всей числовой оси, так как при ее нахождении значение было выбрано произвольно Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции Возвращаясь к задачам, рассмотренным в п, легко заметить, что каждый из пределов, которые там были получены, есть производная В первой задаче s v s lim t, t t те скорость v прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути s по времени t В этом заключается механический смысл производной Во второй задаче m δ lim m, те плотность δ в точке прямолинейного стержня есть производная то массы m по длине

3 8 Дифференцируемость функции Функция y f (), имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке Функция y f () называется дифференцируемой в интервале [, b], если она дифференцируема в каждой точке этого интервала Теорема Если функция y f () дифференцируема в точке, то она в этой точке непрерывна Доказательство Пусть аргумент получает в точке приращение, не равное нулю Ему соответствует некоторое приращение функции y Рассмотрим очевидное тождество y Переходя к пределу, получим lim lim lim lim f ( ), откуда и следует, согласно п, непрерывность функции y f () в точке Обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию y В точке функция y непрерывна, так как ) f ( ) ; ) lim f ( ) lim ; ) lim f ( ) f () Покажем, что функция Справа от нуля lim lim + Слева от нуля lim + lim f ( ) не имеет производной в точке ; поэтому lim + Поэтому lim Таким образом, отношение lim + lim при lim + это отношение предела не имеет, те производная справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что при f ( ) lim в точке не существует 9 Геометрический смысл производной В этом пункте мы выясним геометрический смысл производной, что окажется очень полезным при усвоении многих понятий математического анализа и при решении некоторых геометрических задач С этой целью введем определение касательной к кривой в данной точке Пусть на плоской кривой C задана точка M Рассмотрим другую точку M этой кривой и проведем секущую M M (Рис ) С M M L секуща касательна Рис

4 Если точка M начинает перемещаться по кривой C, а точка M остается неподвижной, то секущая меняет свое положение Допустим, что существует прямая L, проходящая через точку M, которая обладает следующим свойством: если точка M при перемещении ее по кривой C неограниченно приближается к точке M (с любой ее стороны), то угол между прямой L и секущей M M стремится к нулю Тогда эта прямая L называется касательной к кривой C в точке M Кратко говоря, касательная есть прямая, занимающая предельное положение секущей Замечание Аналогично определяется касательная и к пространственной кривой Рассмотрим теперь график непрерывной функции y f (), имеющей в точке M с абсциссой невертикальную касательную (Рис 4) y M y + M β α β y f( + Рис 4 Найдем ее угловой коэффициент k tgα, где α - угол касательной с осью O Для этого проведем через точку M и точку M графика с абсциссой + секущую Ее угловой коэффициент k сек tgβ, где β - угол секущей с осью O (Рис 4) При в силу непрерывности функции y также стремится к нулю, и поэтому точка M, перемещаясь по графику, неограниченно приближается к точке M При этом секущая неограниченно приближается к касательной, те lim β α и, следовательно, lim tgβ tgα Поэтому угловой коэффициент касательной k tgα lim tgβ lim f ( ) Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой равен значению производной этой функции в точке : k кас f ( ) () Замечание Мы показали, что если график непрерывной функции y f () имеет вертикальную касательную в точке с абсциссой, то в этой точке существует производная f ( ), равная угловому коэффициенту касательной k кас Можно показать, что и обратно, если в точке функция имеет производную, то ее график в точке с абсциссой имеет невертикальную касательную

5 Пример Найти угловой коэффициент касательной к параболе y в точке M (;4) Решение ; y ( ) 4 Остается лишь заметить, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке M (;4) равен значению производной этой функции в точке, те k 4 Производные некоторых основных элементарных функций Находим производные следующих основных элементарных функций: постоянной y C, степенной n функции y с натуральным показателем n, показательной функции y, логарифмической функции y log и тригонометрических функций y sin и y cos Производная постоянной y C Так как функция y C сохраняет постоянное значение на всей числовой оси, то в произвольно выбранной точке любому приращению аргумента соответствует приращение функции y, равное нулю Поэтому C lim lim ; C () n Производная степенной функции y с натуральным показателем n Пусть - произвольно выбранная точка, - приращение аргумента в этой точке и y - соответствующее приращение данной функции Тогда по формуле бинома Ньютона n n n n n( n ) n n n ( + ) + n + ( ) + + ( ), или n n( n ) n n n + ( ) + + ( ) Следовательно n n( n ) n n n + ( ) + + ( ) lim lim n n( n ) n n n lim ( ) n n Таким образом, n n ( ) n (4) Производная показательной функции y Давая приращение произвольно выбранному значению аргумента, получим следующее приращение показательной функции: + ( ) Следовательно, ( ) ( ) lim lim lim ln, так как lim ln Таким образом, ( ) ln (5) В частности, при e получим ( e ) e, (6)

6 так как ln e Производная логарифмической функции y log Возьмем любое значение из области определения логарифмической функции и дадим ему приращение Тогда приращение функции + log ( + ) log log log + Поэтому log + (log ) lim lim Принимая во внимание, что величина постоянна и что при также и, получим y log + log + lim lim lim log e Итак, (log ) log e, или (log ) (7) ln В частности, при e получим (ln ), (8) так как log e ln e e Производные функций y sin и y cos Пусть - приращение произвольно выбранного значения аргумента функции y sin Тогда приращение этой функции sin( + ) sin sin cos + Следовательно sin cos + sin (sin ) lim lim lim lim cos( + ) cos cos Таким образом, (sin ) cos (9) Аналогично выводится формула для производной функции y cos (cos ) sin () Основные правила дифференцирования Установим правила, по которым можно было бы находить производные суммы, произведения и частного функций, зная производные слагаемых, сомножителей, делимого и делителя Эти правила мы сформулируем в следующих теоремах

7 Теорема Если функции () и v v() дифференцируемы в данной точке, то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: ( + v) + v () Доказательство Рассмотрим функцию y f ( ) ( ) + v( ) Приращению аргумента соответствуют приращения ( + ) ( ) и v v( + ) v( ) функций и v y f ( + ) f ( ) [ ( + ) + v( + ) ] [ ( ) + v( ) ] [ ( + ) ( ) ] + [ v( + ) v( ) ] + v Следовательно + v v lim lim lim + lim Так как по предположению функции и v дифференцируемы, то v lim, lim v и, следовательно, y + v Итак, ( + v) + v Замечание Формула () легко обобщается на случай любого конечного числа слагаемых: ( + v + + t) + v + + t () Пример Найти производную функции y + sin + ln Решение Применяя сначала формулу (), а затем формулы (4),(9) и (8), получим ( + sin + ln ) ( ) + (sin ) + (ln ) + cos + Теорема Если функции () и v v() дифференцируемы в данной точке, то в той же точке дифференцируемо и их произведение При этом производная произведения находится по следующей формуле: ( v) v + v () Доказательство Пусть y f ( ) ( ) v( ) Если получит приращение, то функции, v и y получат соответственно некоторые приращения, v и y, причем y ( + )( v + v) v v + v + v Следовательно, v + v + v v lim lim lim v + lim + lim v Так как () и v v() при фиксированном постоянны, то их можно вынести за знак предела Поэтому v v lim v lim v v ; lim lim v Кроме того, lim v lim lim v, так как функция v по условию дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна, и поэтому lim v Таким образом, y ( v) v + v Следствие Постоянный множитель можно вынести за знак производной: ( c ) c (4) Действительно, если v c ( c - постоянная), то по формуле ()

8 ( c ) c + c + c c В частности, можно выносить за знак производной множитель, равный -, что равносильно вынесению минуса за знак производной: ( ) (5) На этом основании можно получить формулу для производной разности двух функций: ( v) v (6) Пример Найти производную функции y e cos Решение По формулам (), (6) и () получим ( e cos ) ( e ) cos + e (cos ) e cos + e ( sin ) e (cos sin ) Замечание Формулу () можно обобщить на случай любого конечного числа n слагаемых Если, например, n, то ( v w) v w + v w + v w (7) В самом деле, ( v w) ( v) w ( v) w + ( v) w v w + v w + v [ ] w Теорема Если в данной точке функции () и v v() дифференцируемы и v точке дифференцируемо и их частное v, причем, то в этой же v v (8) v v Доказательство Пусть - приращение аргумента, а и v - соответствующие приращения и v Тогда функция y получит приращение v + v v y v + v v v( v + v) Следовательно, v v v v v v lim lim lim, v( v + v) v( v + v) v или v v v v Мы считали, что lim v вследствие предположения о дифференцируемости, а, следовательно, и непрерывности функции v Найдем производную y tg sin Представив данную функцию в виде частного y, по формуле (8), получим: cos (sin ) cos sin (cos ) cos cos sin ( sin ) cos + sin cos cos cos cos Таким образом, ( tg) (9) cos При этом условии v cos выполняется для любого, принадлежащего области определения функции tg

9 Аналогично выводится формула для производной функции y сtg ( ctg) () sin Производная обратной функции Пусть функция f (y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале и имеет в точке y этого интервала производную f ( y), не равную нулю Покажем, что в соответствующей точке обратная функция y f ( ) имеет производную [ f ( ) ], причем [ f ( )] () f ( y) Так как по условию функция f (y) монотонна и дифференцируема (а, следовательно, и непрерывна), то по теореме о существовании обратной функции функция y f ( ) существует, монотонна и непрерывна Дадим аргументу приращение Тогда функция y f ( ) получит приращение y, которое в силу ее монотонности будет отличным от нуля Кроме того, вследствие непрерывности функции y f ( ) при приращение y также стремится к нулю Следовательно, [ f ( )] lim lim f ( y) lim y Формулу () можно записать в таком виде: () y Производные обратных тригонометрических функций Найдем производную функции y rcsin Рассмотрим обратную функцию sin y ; эта функция в π π интервале < y < монотонна и дифференцируема, а ее производная cos y в этом интервале в нуль не обращается Следовательно, по формуле () получим y Но cos y sin y Таким образом, cos y y, те (rcsin ) () Аналогично найдем производную функции y rctg Эта функция по определению должна удовлетворять π π условию < y < При этом обратная функция tgy монотонна и дифференцируема По формуле (9) находим y Следовательно, согласно формуле () имеем y cos Но cos y cos y Поэтому, или + tg y + + ( rctg) (4) + Формулы для производных функций y rccos и y rcctg имеют вид:

10 (rccos ), (5) ( rcctg) (6) + Рекомендуем (ну оччень рекомендуем) вывести эти формулы читателю (те вам:)) 4 Производная сложной функции Тогда y есть сложная функция : y f [ ϕ() ] Пусть y f () и ϕ() промежуточный аргумент Как найти производную сложной функции аргумента? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, а переменная -, зная производную и производную промежуточного Теорема Если функция ϕ() имеет производную в точке, а функция y f () имеет производную в точке, то сложная функция y f [ ϕ() ] в данной точке имеет производную, которая находится по следующей формуле: y (7) Часто пользуются менее точной, но более короткой формулировкой этой теоремы: производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента Доказательство Дадим приращение Тогда и y получат соответственно приращения и y Предположим, что при не принимает значений, равных нулю Тогда имеет место тождество (8) Переходя в равенстве (8) к пределу при, получим lim lim lim lim Так как функция ϕ() дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна, то при также и Поэтому lim lim Следовательно, lim lim lim Но lim, lim, lim Поэтому y, что и требовалось доказать Можно показать, что формула (7) оказывается верной и в случае, когда значения, равные нулю при принимает Пример Найти производную функции y sin Решение Данная функция сложная Введя обозначение находим (sin ) ( ) cos, или, поскольку,, получим y sin По формуле (7)

11 cos cos y Сложная функция может быть составлена не из двух звеньев, а из большего их числа В таких случаях необходимо ясно представить себе, какое из действий, приводящих к значению сложной функции, является последним При дифференцировании сложной функции та величина, над которой совершается последнее действие, принимается за промежуточный аргумент Пример Найти производную сложной функции y ln rctg Решение Для данной функции последним действием является взятие натурального логарифма Это действие совершается над функцией rctg Поэтому принимаем за промежуточный аргумент rctg Тогда y ln Найдем производную по формуле (7) y (ln) ( rctg ) y ( rctg ) ( rctg ) rctg Дифференцирование не закончено, так как не найдена производная функции rctg Эта функция тоже сложная, и последним действием для нее является нахождение арктангенса от Поэтому, применяя повторно формулу (7) и полагая в ней уже, получим ( rctg ) ( rctg) ( ) ( ) + Окончательно имеем: 4 4 rctg + ( + ) rctg При достаточном навыке буква для обозначения промежуточного аргумента не вводится Например: (sin ) cos ( ) cos cos 5 Производные гиперболических функций Найдем производные гиперболических функций e e Так как sh, то e e e + e ( sh) [( e ) ( e )] ch Здесь при дифференцировании e мы использовали формулу дифференцирования сложной функции ( e ) e ( ) e Итак, ( sh ) ch (9) Аналогично находится производная гиперболического косинуса ( ch ) sh (4) Производную гиперболического тангенса находим как производную частного: sh ch ( sh) sh ( ch) ch ch sh sh ch sh ( th) ch ch ch ch Но так как ch sh, то ( th) (4) ch Аналогично находится производная гиперболического котангенса ( cth) (4) sh

12 Найдем производную степенной функции 6 Производная степенной функции с любым показателем n y с любым действительным показателем n Считая n n n ln n ln положительным, воспользуемся тождеством e Тогда y e есть сложная функция, и ее производная находится по формуле (7): n ln n ln n ln n ( e ) e ( nln ) e n ln n Так как e, то n n n y n Результат получился такой же, как и при натуральном показателе n n ( ) n Можно показать, что если при < функция справедливой n y существует, то формула n n ( ) n также остается 7 Сводная таблица формул дифференцирования Сведем в таблицу выведенные ранее формулы дифференцирования C ; y in ; cos rctg ; + n n ; y n os ; sin rcctg ; + ; ln sh ; y ch g ; cos e ; y e ch ; y sh tg ; sin og ; rcsin ; th ; ln ch n ; rccos ; cth ; sh 8 Уравнение касательной и нормали к кривой Касательная к графику функции y f () в некоторой его точке M ; ), где y f ), есть прямая, ( y ( проходящая через эту точку, и имеющая угловой коэффициент k кас, равный f ( ) Поэтому уравнение этой касательной можно найти, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через данную точку y y f ( )( ) (4) Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной (Рис 5)

13 касательна М С нормал Рис 5 Рассмотрим график функции y f () ; пусть M ; ) - одна из его точек Тогда уравнение нормали к ( y графику функции в данной точке M ; ) имеет вид y y ( ) (44) f ( ) ( y так как угловой коэффициент нормали k н связан с угловым коэффициентом касательной k кас f ( ) условием перпендикулярности: kн k f ( ) кас Пример Найти уравнение касательной и нормали к графику функции y tg в точке с абсциссой Решение Найдем ординату точки касания: π y tg tg 4 Дифференцируем данную функцию ( tg) и находим угловой коэффициент касательной cos k кас и угловой коэффициент нормали cos π 4 касательной и нормали π π y, y 4 4 k н 9 Производные высших порядков π 4 По формулам (4) и (44) находим уравнения Предположим, что функция y f () дифференцируема в некотором интервале Тогда ее производная f () является функцией Пусть эта функция также имеет производную Эта производная называется второй производной, или производной второго порядка функции y f (), и обозначается символом y или f () f ( ) [ f ( )] (45) При этом f () называется первой производной, или производной первого порядка функции f () Производная второй производной функции y f () называется третьей производной, или производной третьего порядка данной функции и обозначается символом y или f ( ) : f ( ) [ f ( )] (46) Вообще, производной n-го порядка функции y f () называется производная производной (n-)-го порядка данной функции и обозначается символом f ( ) [ f ( n) ( n ) ( )] (47) (n) ( ) y или ( ) f n :

14 Производные порядка выше первого называются производными высшего порядка Пример Найти вторую производную y Решение Находим первую производную данной функции: y ( ) Находим вторую производную как производную первой производной: ( ) 6 k Пример Найти производную n-го порядка функции y e Решение Имеем: k k k k k k y ( e ) ke ; y ( ke ) k e ; ( k e ) k e По аналогии находим ( n) n k y k e Механический смысл второй производной Выясним механический смысл второй производной Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s f (t), где s - путь, проходимый точкой за время t Тогда скорость v этого движения есть некоторая функция времени: v v(t) В момент времени t скорость имеет значение v (t) Рассмотрим другой момент времени t + t Ему соответствует значение скорости v v( t + t) Приращению времени t соответствует приращение скорости v v v v( t + t) v( t) v Отношение wср называется средним ускорением за промежуток времени t t Ускорением w в момент времени t называется предел среднего ускорения при t : v w lim wср lim v (48) t t t t Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени Как мы видели, скорость есть производная пути s по времени t : v s Учитывая это, имеем w v t ( s ) s (49) Итак, ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени Пример Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по закону s выражается в секундах, а путь s - в сантиметрах t Решение По формуле (49) имеем: w v t Следовательно, искомое ускорение w t (см/с ) t 5 t 5 t, где время t

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Стрелковская И.В., Паскаленко В.Н.

Стрелковская И.В., Паскаленко В.Н. Одесская национальная академия связи им АС Попова Кафедра высшей математики Стрелковская ИВ, Паскаленко ВН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебное пособие для иностранных студентов

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Дифференциальное исчисление функций одной переменной Дифференциальное исчисление функций одной переменной Тема: Производная функции Лекция Правила нахождения производной Производная основных элементарных функций СОДЕРЖАНИЕ: Правила дифференцирования Производная

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

n = или k = k n называется единичным вектором

n = или k = k n называется единичным вектором Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Оглавление. А.А.Быков bykovaa.ru, abkov.ru

Оглавление. А.А.Быков bykovaa.ru, abkov.ru ksm-n05-производная и дифференциал А.А.Быков bykovaa.ru abkov.ru Оглавление 5. Лекция 5. Понятие производной... 4 5.. Производная... 4 5... Определение производной в точке 4 5... Производная степенной

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

Лекция подготовлена доц. Мусиной М.В. Производные основных элементарных функций.

Лекция подготовлена доц. Мусиной М.В. Производные основных элементарных функций. Производные основных элементарных функций Производная функции может быть найдена по следующей схеме: аргументу х даем приращение для функции y найдем соответсвующее приращение y y составим отношение находим

Подробнее

Функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного 1 Основные понятия функций комплексного переменного Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества комплексных

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов.

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов. 9. Определенный интеграл 9.1. Вычисление определенных интегралов. ТЕОРИЯ Определенный интеграл от заданной на отрезке функции можно задать несколькими способами. Важно, что набор средств, доступных для

Подробнее

cos t = Re(e it ); sin t = Im(e it ): cos x = 1 x2 2! + x 4 4! x 6 7 sin x = x x3 3! + x 5! x n E n) = cos x; n E n) = sin x: cos x = lim

cos t = Re(e it ); sin t = Im(e it ): cos x = 1 x2 2! + x 4 4! x 6 7 sin x = x x3 3! + x 5! x n E n) = cos x; n E n) = sin x: cos x = lim 4. Тригонометрия Теперь все готово для того, чтобы дать строгие определения тригонометрических функций. На первый взгляд они, видимо, покажутся довольно странными; тем не менее мы покажем, что определенные

Подробнее

Глава II. Производная

Глава II. Производная Глава II Производная Производная функции в точке Геометрический и механический смысл производной Рассмотрим сначала два примера ) Пусть материальное тело совершает прямолинейное движение За время t тело

Подробнее

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2 Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f ( ) называется непрерывной в точке, если она

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Практическая работа: Решение задач по теме "Геометрический смысл производной. Механический смысл первой и второй производной"

Практическая работа: Решение задач по теме Геометрический смысл производной. Механический смысл первой и второй производной Молодечненский государственный политехнический колледж Практическая работа: Решение задач по теме "Геометрический смысл производной Механический смысл первой и второй производной" Разработчик: И А Кочеткова

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Производная и дифференциал. Лекция 4-5

Производная и дифференциал. Лекция 4-5 Производная и дифференциал Лекция 4-5 Приращения функции и аргумента Пусть функция y f ( x) определена в некоторой окрестности U( x) точки x и x U( x) произвольная точка из этой окрестности. Разность x

Подробнее

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной»

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. 5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Дифференциальное исчисление. Часть 2. "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ". Составитель В.П.Белкин

Дифференциальное исчисление. Часть 2. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Составитель В.П.Белкин Дифференциальное исчисление Часть "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ" Составитель ВПБелкин Приращение функции Пусть функция y f () определена в некоторой окрестности точки Изменим это значение аргумента на новое

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования.

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Тема 0 Неопределенный интеграл Основные свойства Таблица неопределенных интегралов Метод непосредственного интегрирования Неопределенный интеграл На занятии по заданной функции y f по известным формулам

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ Приращением функции = f() называется разность f f, где - приращение аргумента Из рис видно, что g () Рис Производной функции = f() в точке называется конечный

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Найти предел функции: Решение:

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Найти предел функции: Решение: ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Понятие предела функции Пусть функция определена в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, самой точки. Тогда пределом функции в точке является, если из того, что, оставаясь

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Лекция 2. ТЕМА Производные функции. Задачи с производными функции (часть 1)

Лекция 2. ТЕМА Производные функции. Задачи с производными функции (часть 1) Лекция 2 ТЕМА Производные функции. Задачи с производными функции (часть 1) Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Москва, 2017 Разбор домашнего задания

Подробнее

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ ВЛ Клюшин, ЮС Коршунов ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ КРАТКИЙ КУРС

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебно-методическое пособие для студентов всех специальностей Рецензент проф ЕА Калашников Редактор

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ НТ Левашова, НЕ Шапкина НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Пособие для студентов II курса

Подробнее

Основные определения, формулы и теоремы

Основные определения, формулы и теоремы Основные определения, формулы и теоремы Ряды 1. Супремум и инфинум. Наименьшее число, ограничивающее сверху некоторое множество чисел называется точной верхней гранью или супремумом этого множества. Двойственным

Подробнее

«Математический анализ»

«Математический анализ» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени НЭ БАУМАНА Билеты для сдачи экзамена по курсу «Математический анализ» МГТУ имени НЭ Баумана МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ

ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ Рассмотрим ещё одну важную динамическую величину кинетическую

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий)

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Корянов АГ, Надежкина НВ Задания В Исследование функций Математика ЕГЭ 0 (система задач из открытого банка заданий) Задания В Исследование функций Материалы подготовили: Корянов А Г (г Брянск); e-mail:

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Министерство образования и науки Российской федерации. Капитонова Т.А. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел тригонометрия. Учебно-методическое пособие

Министерство образования и науки Российской федерации. Капитонова Т.А. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА. Раздел тригонометрия. Учебно-методическое пособие Министерство образования и науки Российской федерации Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского Механико-математический факультет Кафедра математики и методики еѐ преподавания Капитонова

Подробнее

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции»

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции» КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ «ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ» Методическое

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных. Источники и классификация погрешностей результата

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Кафедра высшей математики ВГТУ-ВГАСУ, Доц. Седаев А.А г. П Р О И З В О Д Н А Я?.. с нуля?.. Д Л Я Ч А Й Н И К О В?... Э Т О н е П Р О С Т О

Кафедра высшей математики ВГТУ-ВГАСУ, Доц. Седаев А.А г. П Р О И З В О Д Н А Я?.. с нуля?.. Д Л Я Ч А Й Н И К О В?... Э Т О н е П Р О С Т О Кафедра высшей математики ВГТУ-ВГАСУ, Доц. Седаев А.А. 06 г П Р О И З В О Д Н А Я?.. с нуля?.. Д Л Я Ч А Й Н И К О В?... Э Т О н е П Р О С Т О Дорогой читатель. Если встретившись с необходимостью найти

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее