. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

Save this PDF as:
Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download ". К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v"

Транскрипт

1 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент времени t К этому моменту точка прошла путь s f ( t ) Поставим задачу определить скорость v материальной точки в момент t Рассмотрим для этого какой-нибудь момент времени t + t Ему соответствует пройденный путь s f ( t + t) Тогда за промежуток времени t t t точка прошла путь s s s f t + t) f ( ) Смотри рис ( t S S S Рис Средняя скорость движения v ср за промежуток времени t определяется отношением v s ср t пройденного пути ко времени Будем считать начальный момент времени t фиксированным, а промежуток времени t - переменным Тогда средняя скорость v ср является переменной величиной, зависящей от t Скорость v в данный момент t называется пределом средней скорости v ср при t, т е s v lim, (7) t t или f ( t + t) f ( t ) v lim (8) t t Таким образом, для того, чтобы найти скорость v в данный момент t, необходимо вычислить f ( t lim t + t) t f ( t ) Рассмотрим еще одну задачу, при решении которой придется находить такого же рода предел Пусть дан тонкий прямолинейный неоднородный стержень длиной l Определим плотность стержня в любой его точке Предположим, что стержень расположен на оси O, причем один из его концов совпадает с началом координат Тогда каждой точке стержня соответствует определенная координата Обозначим через mмассу отрезка стержня между точками с координатами O и Ясно, что m является функцией : m f () Рассмотрим две точки стержня: фиксированную точку и переменную + Отрезок стержня, расположенный между этими точками, имеет длину и массу m f + ) f ( ) ( m Отношение называется средней плотностью стержня на отрезке от точки до точки + Плотностью δ стержня в точке называется предел средней плотности, когда длина отрезка стремится к нулю: m f ( + ) f ( ) δ lim lim (9) Рассмотренные задачи, несмотря на их различное физическое содержание, привели нас к нахождению предела одного и того же вида - пределу отношения приращения функции к приращению аргумента К нахождению предела подобного вида приводят многочисленные задачи из различных областей

2 естествознания Поэтому целесообразно изучить подробнее указанный предел и показать способы его нахождения 7 Определение производной и ее механический смысл Производной функции y f () в точке называется предел отношения приращения функции y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю Производная функции y f () в точке обозначается символом f ( ) Таким образом, f ( ) lim, () или f ( + ) f ( ) f ( ) lim () Для одной и той же функции f () производную логично вычислять в различных точках Пусть M - множество всех таких значений Правило, по которому каждому M соответствует производная в этой точке f (), представляет собой новую функцию, определенную на множестве M Эта функция называется производной от функции f () и обозначается f () Таким образом, производная функции f () в точке является значением функции f () в точке Наряду с обозначением f () для производной функции употребляются и другие обозначения, например:,, [ f ( ) ] Пример Найти производную функции y Решение Находим приращение функции y y ( + ) + ( ) По определению имеем + ( ) lim lim lim( + ) Таким образом, производная функции равна Эта производная определена на всей числовой оси, так как при ее нахождении значение было выбрано произвольно Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции Возвращаясь к задачам, рассмотренным в п, легко заметить, что каждый из пределов, которые там были получены, есть производная В первой задаче s v s lim t, t t те скорость v прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути s по времени t В этом заключается механический смысл производной Во второй задаче m δ lim m, те плотность δ в точке прямолинейного стержня есть производная то массы m по длине

3 8 Дифференцируемость функции Функция y f (), имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке Функция y f () называется дифференцируемой в интервале [, b], если она дифференцируема в каждой точке этого интервала Теорема Если функция y f () дифференцируема в точке, то она в этой точке непрерывна Доказательство Пусть аргумент получает в точке приращение, не равное нулю Ему соответствует некоторое приращение функции y Рассмотрим очевидное тождество y Переходя к пределу, получим lim lim lim lim f ( ), откуда и следует, согласно п, непрерывность функции y f () в точке Обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию y В точке функция y непрерывна, так как ) f ( ) ; ) lim f ( ) lim ; ) lim f ( ) f () Покажем, что функция Справа от нуля lim lim + Слева от нуля lim + lim f ( ) не имеет производной в точке ; поэтому lim + Поэтому lim Таким образом, отношение lim + lim при lim + это отношение предела не имеет, те производная справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что при f ( ) lim в точке не существует 9 Геометрический смысл производной В этом пункте мы выясним геометрический смысл производной, что окажется очень полезным при усвоении многих понятий математического анализа и при решении некоторых геометрических задач С этой целью введем определение касательной к кривой в данной точке Пусть на плоской кривой C задана точка M Рассмотрим другую точку M этой кривой и проведем секущую M M (Рис ) С M M L секуща касательна Рис

4 Если точка M начинает перемещаться по кривой C, а точка M остается неподвижной, то секущая меняет свое положение Допустим, что существует прямая L, проходящая через точку M, которая обладает следующим свойством: если точка M при перемещении ее по кривой C неограниченно приближается к точке M (с любой ее стороны), то угол между прямой L и секущей M M стремится к нулю Тогда эта прямая L называется касательной к кривой C в точке M Кратко говоря, касательная есть прямая, занимающая предельное положение секущей Замечание Аналогично определяется касательная и к пространственной кривой Рассмотрим теперь график непрерывной функции y f (), имеющей в точке M с абсциссой невертикальную касательную (Рис 4) y M y + M β α β y f( + Рис 4 Найдем ее угловой коэффициент k tgα, где α - угол касательной с осью O Для этого проведем через точку M и точку M графика с абсциссой + секущую Ее угловой коэффициент k сек tgβ, где β - угол секущей с осью O (Рис 4) При в силу непрерывности функции y также стремится к нулю, и поэтому точка M, перемещаясь по графику, неограниченно приближается к точке M При этом секущая неограниченно приближается к касательной, те lim β α и, следовательно, lim tgβ tgα Поэтому угловой коэффициент касательной k tgα lim tgβ lim f ( ) Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой равен значению производной этой функции в точке : k кас f ( ) () Замечание Мы показали, что если график непрерывной функции y f () имеет вертикальную касательную в точке с абсциссой, то в этой точке существует производная f ( ), равная угловому коэффициенту касательной k кас Можно показать, что и обратно, если в точке функция имеет производную, то ее график в точке с абсциссой имеет невертикальную касательную

5 Пример Найти угловой коэффициент касательной к параболе y в точке M (;4) Решение ; y ( ) 4 Остается лишь заметить, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке M (;4) равен значению производной этой функции в точке, те k 4 Производные некоторых основных элементарных функций Находим производные следующих основных элементарных функций: постоянной y C, степенной n функции y с натуральным показателем n, показательной функции y, логарифмической функции y log и тригонометрических функций y sin и y cos Производная постоянной y C Так как функция y C сохраняет постоянное значение на всей числовой оси, то в произвольно выбранной точке любому приращению аргумента соответствует приращение функции y, равное нулю Поэтому C lim lim ; C () n Производная степенной функции y с натуральным показателем n Пусть - произвольно выбранная точка, - приращение аргумента в этой точке и y - соответствующее приращение данной функции Тогда по формуле бинома Ньютона n n n n n( n ) n n n ( + ) + n + ( ) + + ( ), или n n( n ) n n n + ( ) + + ( ) Следовательно n n( n ) n n n + ( ) + + ( ) lim lim n n( n ) n n n lim ( ) n n Таким образом, n n ( ) n (4) Производная показательной функции y Давая приращение произвольно выбранному значению аргумента, получим следующее приращение показательной функции: + ( ) Следовательно, ( ) ( ) lim lim lim ln, так как lim ln Таким образом, ( ) ln (5) В частности, при e получим ( e ) e, (6)

6 так как ln e Производная логарифмической функции y log Возьмем любое значение из области определения логарифмической функции и дадим ему приращение Тогда приращение функции + log ( + ) log log log + Поэтому log + (log ) lim lim Принимая во внимание, что величина постоянна и что при также и, получим y log + log + lim lim lim log e Итак, (log ) log e, или (log ) (7) ln В частности, при e получим (ln ), (8) так как log e ln e e Производные функций y sin и y cos Пусть - приращение произвольно выбранного значения аргумента функции y sin Тогда приращение этой функции sin( + ) sin sin cos + Следовательно sin cos + sin (sin ) lim lim lim lim cos( + ) cos cos Таким образом, (sin ) cos (9) Аналогично выводится формула для производной функции y cos (cos ) sin () Основные правила дифференцирования Установим правила, по которым можно было бы находить производные суммы, произведения и частного функций, зная производные слагаемых, сомножителей, делимого и делителя Эти правила мы сформулируем в следующих теоремах

7 Теорема Если функции () и v v() дифференцируемы в данной точке, то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: ( + v) + v () Доказательство Рассмотрим функцию y f ( ) ( ) + v( ) Приращению аргумента соответствуют приращения ( + ) ( ) и v v( + ) v( ) функций и v y f ( + ) f ( ) [ ( + ) + v( + ) ] [ ( ) + v( ) ] [ ( + ) ( ) ] + [ v( + ) v( ) ] + v Следовательно + v v lim lim lim + lim Так как по предположению функции и v дифференцируемы, то v lim, lim v и, следовательно, y + v Итак, ( + v) + v Замечание Формула () легко обобщается на случай любого конечного числа слагаемых: ( + v + + t) + v + + t () Пример Найти производную функции y + sin + ln Решение Применяя сначала формулу (), а затем формулы (4),(9) и (8), получим ( + sin + ln ) ( ) + (sin ) + (ln ) + cos + Теорема Если функции () и v v() дифференцируемы в данной точке, то в той же точке дифференцируемо и их произведение При этом производная произведения находится по следующей формуле: ( v) v + v () Доказательство Пусть y f ( ) ( ) v( ) Если получит приращение, то функции, v и y получат соответственно некоторые приращения, v и y, причем y ( + )( v + v) v v + v + v Следовательно, v + v + v v lim lim lim v + lim + lim v Так как () и v v() при фиксированном постоянны, то их можно вынести за знак предела Поэтому v v lim v lim v v ; lim lim v Кроме того, lim v lim lim v, так как функция v по условию дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна, и поэтому lim v Таким образом, y ( v) v + v Следствие Постоянный множитель можно вынести за знак производной: ( c ) c (4) Действительно, если v c ( c - постоянная), то по формуле ()

8 ( c ) c + c + c c В частности, можно выносить за знак производной множитель, равный -, что равносильно вынесению минуса за знак производной: ( ) (5) На этом основании можно получить формулу для производной разности двух функций: ( v) v (6) Пример Найти производную функции y e cos Решение По формулам (), (6) и () получим ( e cos ) ( e ) cos + e (cos ) e cos + e ( sin ) e (cos sin ) Замечание Формулу () можно обобщить на случай любого конечного числа n слагаемых Если, например, n, то ( v w) v w + v w + v w (7) В самом деле, ( v w) ( v) w ( v) w + ( v) w v w + v w + v [ ] w Теорема Если в данной точке функции () и v v() дифференцируемы и v точке дифференцируемо и их частное v, причем, то в этой же v v (8) v v Доказательство Пусть - приращение аргумента, а и v - соответствующие приращения и v Тогда функция y получит приращение v + v v y v + v v v( v + v) Следовательно, v v v v v v lim lim lim, v( v + v) v( v + v) v или v v v v Мы считали, что lim v вследствие предположения о дифференцируемости, а, следовательно, и непрерывности функции v Найдем производную y tg sin Представив данную функцию в виде частного y, по формуле (8), получим: cos (sin ) cos sin (cos ) cos cos sin ( sin ) cos + sin cos cos cos cos Таким образом, ( tg) (9) cos При этом условии v cos выполняется для любого, принадлежащего области определения функции tg

9 Аналогично выводится формула для производной функции y сtg ( ctg) () sin Производная обратной функции Пусть функция f (y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале и имеет в точке y этого интервала производную f ( y), не равную нулю Покажем, что в соответствующей точке обратная функция y f ( ) имеет производную [ f ( ) ], причем [ f ( )] () f ( y) Так как по условию функция f (y) монотонна и дифференцируема (а, следовательно, и непрерывна), то по теореме о существовании обратной функции функция y f ( ) существует, монотонна и непрерывна Дадим аргументу приращение Тогда функция y f ( ) получит приращение y, которое в силу ее монотонности будет отличным от нуля Кроме того, вследствие непрерывности функции y f ( ) при приращение y также стремится к нулю Следовательно, [ f ( )] lim lim f ( y) lim y Формулу () можно записать в таком виде: () y Производные обратных тригонометрических функций Найдем производную функции y rcsin Рассмотрим обратную функцию sin y ; эта функция в π π интервале < y < монотонна и дифференцируема, а ее производная cos y в этом интервале в нуль не обращается Следовательно, по формуле () получим y Но cos y sin y Таким образом, cos y y, те (rcsin ) () Аналогично найдем производную функции y rctg Эта функция по определению должна удовлетворять π π условию < y < При этом обратная функция tgy монотонна и дифференцируема По формуле (9) находим y Следовательно, согласно формуле () имеем y cos Но cos y cos y Поэтому, или + tg y + + ( rctg) (4) + Формулы для производных функций y rccos и y rcctg имеют вид:

10 (rccos ), (5) ( rcctg) (6) + Рекомендуем (ну оччень рекомендуем) вывести эти формулы читателю (те вам:)) 4 Производная сложной функции Тогда y есть сложная функция : y f [ ϕ() ] Пусть y f () и ϕ() промежуточный аргумент Как найти производную сложной функции аргумента? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, а переменная -, зная производную и производную промежуточного Теорема Если функция ϕ() имеет производную в точке, а функция y f () имеет производную в точке, то сложная функция y f [ ϕ() ] в данной точке имеет производную, которая находится по следующей формуле: y (7) Часто пользуются менее точной, но более короткой формулировкой этой теоремы: производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента Доказательство Дадим приращение Тогда и y получат соответственно приращения и y Предположим, что при не принимает значений, равных нулю Тогда имеет место тождество (8) Переходя в равенстве (8) к пределу при, получим lim lim lim lim Так как функция ϕ() дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна, то при также и Поэтому lim lim Следовательно, lim lim lim Но lim, lim, lim Поэтому y, что и требовалось доказать Можно показать, что формула (7) оказывается верной и в случае, когда значения, равные нулю при принимает Пример Найти производную функции y sin Решение Данная функция сложная Введя обозначение находим (sin ) ( ) cos, или, поскольку,, получим y sin По формуле (7)

11 cos cos y Сложная функция может быть составлена не из двух звеньев, а из большего их числа В таких случаях необходимо ясно представить себе, какое из действий, приводящих к значению сложной функции, является последним При дифференцировании сложной функции та величина, над которой совершается последнее действие, принимается за промежуточный аргумент Пример Найти производную сложной функции y ln rctg Решение Для данной функции последним действием является взятие натурального логарифма Это действие совершается над функцией rctg Поэтому принимаем за промежуточный аргумент rctg Тогда y ln Найдем производную по формуле (7) y (ln) ( rctg ) y ( rctg ) ( rctg ) rctg Дифференцирование не закончено, так как не найдена производная функции rctg Эта функция тоже сложная, и последним действием для нее является нахождение арктангенса от Поэтому, применяя повторно формулу (7) и полагая в ней уже, получим ( rctg ) ( rctg) ( ) ( ) + Окончательно имеем: 4 4 rctg + ( + ) rctg При достаточном навыке буква для обозначения промежуточного аргумента не вводится Например: (sin ) cos ( ) cos cos 5 Производные гиперболических функций Найдем производные гиперболических функций e e Так как sh, то e e e + e ( sh) [( e ) ( e )] ch Здесь при дифференцировании e мы использовали формулу дифференцирования сложной функции ( e ) e ( ) e Итак, ( sh ) ch (9) Аналогично находится производная гиперболического косинуса ( ch ) sh (4) Производную гиперболического тангенса находим как производную частного: sh ch ( sh) sh ( ch) ch ch sh sh ch sh ( th) ch ch ch ch Но так как ch sh, то ( th) (4) ch Аналогично находится производная гиперболического котангенса ( cth) (4) sh

12 Найдем производную степенной функции 6 Производная степенной функции с любым показателем n y с любым действительным показателем n Считая n n n ln n ln положительным, воспользуемся тождеством e Тогда y e есть сложная функция, и ее производная находится по формуле (7): n ln n ln n ln n ( e ) e ( nln ) e n ln n Так как e, то n n n y n Результат получился такой же, как и при натуральном показателе n n ( ) n Можно показать, что если при < функция справедливой n y существует, то формула n n ( ) n также остается 7 Сводная таблица формул дифференцирования Сведем в таблицу выведенные ранее формулы дифференцирования C ; y in ; cos rctg ; + n n ; y n os ; sin rcctg ; + ; ln sh ; y ch g ; cos e ; y e ch ; y sh tg ; sin og ; rcsin ; th ; ln ch n ; rccos ; cth ; sh 8 Уравнение касательной и нормали к кривой Касательная к графику функции y f () в некоторой его точке M ; ), где y f ), есть прямая, ( y ( проходящая через эту точку, и имеющая угловой коэффициент k кас, равный f ( ) Поэтому уравнение этой касательной можно найти, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через данную точку y y f ( )( ) (4) Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной (Рис 5)

13 касательна М С нормал Рис 5 Рассмотрим график функции y f () ; пусть M ; ) - одна из его точек Тогда уравнение нормали к ( y графику функции в данной точке M ; ) имеет вид y y ( ) (44) f ( ) ( y так как угловой коэффициент нормали k н связан с угловым коэффициентом касательной k кас f ( ) условием перпендикулярности: kн k f ( ) кас Пример Найти уравнение касательной и нормали к графику функции y tg в точке с абсциссой Решение Найдем ординату точки касания: π y tg tg 4 Дифференцируем данную функцию ( tg) и находим угловой коэффициент касательной cos k кас и угловой коэффициент нормали cos π 4 касательной и нормали π π y, y 4 4 k н 9 Производные высших порядков π 4 По формулам (4) и (44) находим уравнения Предположим, что функция y f () дифференцируема в некотором интервале Тогда ее производная f () является функцией Пусть эта функция также имеет производную Эта производная называется второй производной, или производной второго порядка функции y f (), и обозначается символом y или f () f ( ) [ f ( )] (45) При этом f () называется первой производной, или производной первого порядка функции f () Производная второй производной функции y f () называется третьей производной, или производной третьего порядка данной функции и обозначается символом y или f ( ) : f ( ) [ f ( )] (46) Вообще, производной n-го порядка функции y f () называется производная производной (n-)-го порядка данной функции и обозначается символом f ( ) [ f ( n) ( n ) ( )] (47) (n) ( ) y или ( ) f n :

14 Производные порядка выше первого называются производными высшего порядка Пример Найти вторую производную y Решение Находим первую производную данной функции: y ( ) Находим вторую производную как производную первой производной: ( ) 6 k Пример Найти производную n-го порядка функции y e Решение Имеем: k k k k k k y ( e ) ke ; y ( ke ) k e ; ( k e ) k e По аналогии находим ( n) n k y k e Механический смысл второй производной Выясним механический смысл второй производной Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s f (t), где s - путь, проходимый точкой за время t Тогда скорость v этого движения есть некоторая функция времени: v v(t) В момент времени t скорость имеет значение v (t) Рассмотрим другой момент времени t + t Ему соответствует значение скорости v v( t + t) Приращению времени t соответствует приращение скорости v v v v( t + t) v( t) v Отношение wср называется средним ускорением за промежуток времени t t Ускорением w в момент времени t называется предел среднего ускорения при t : v w lim wср lim v (48) t t t t Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени Как мы видели, скорость есть производная пути s по времени t : v s Учитывая это, имеем w v t ( s ) s (49) Итак, ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени Пример Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по закону s выражается в секундах, а путь s - в сантиметрах t Решение По формуле (49) имеем: w v t Следовательно, искомое ускорение w t (см/с ) t 5 t 5 t, где время t


ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования.

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования. Производная функции Ее геометрический и физический смысл Техника дифференцирования Основные определения Пусть f ( ) определена на (, ) a, b некоторая фиксированная точка, приращение аргумента в точке,

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций 5 Производная

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

7. Производные основных элементарных функций. Таблица производных

7. Производные основных элементарных функций. Таблица производных 7 Производные основных элементарных функций Таблица производных Производная показательной функции y, 0, ( ) ln, R По определению производной (определение ) имеем ( ) lim 0 = ( ) e ( Δ ln ) lim lim 0 0

Подробнее

Глава 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Глава 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Глава 6 Дифференциальное исчисление функции одной переменной Задачи приводящие к понятию производной Задача о скорости неравномерного прямолинейного движения S - закон неравномерного прямолинейного движения

Подробнее

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x)

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Производная функции в точке

Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ f ( 3 производной точке f ( в Производная в точке Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

Производная и правила дифференцирования 1. Пусть функция y = f x

Производная и правила дифференцирования 1. Пусть функция y = f x Производная и правила дифференцирования Пусть функция y = f получила приращение y f 0 f 0 соответствующее приращению аргумента 0 Определение Если существует предел отношения приращения функции y к вызвавшему

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

Подробнее

Тема 2 «Производная функции.»

Тема 2 «Производная функции.» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема «Производная функции.»» Жозе ф Луи Лагра нж Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Глава Множества Последовательности Функции Элементы теории множеств Понятие множества является в математике неопределяемым Интуитивно, множество это совокупность объектов любой природы,

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n.

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n. Занятие 4 Вычисление производных-1 4.1 Определение производной Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

. Раз- 0 0 x 0 называется приращением функции в точке x 0. в точке x 0. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. log a. 4.

. Раз- 0 0 x 0 называется приращением функции в точке x 0. в точке x 0. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. log a. 4. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Раз- 0 0 0 называется приращением функции в точке 0 f ( 0 ) Если существует конечный предел lim f ( 0 ), то он называется производной функции f ( ) в точке 0 0 Отыскание производной

Подробнее

Стрелковская И.В., Паскаленко В.Н.

Стрелковская И.В., Паскаленко В.Н. Одесская национальная академия связи им АС Попова Кафедра высшей математики Стрелковская ИВ, Паскаленко ВН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебное пособие для иностранных студентов

Подробнее

9. Производная и дифференциал Основные формулы и определения для решения задач

9. Производная и дифференциал Основные формулы и определения для решения задач 9 Производная и дифференциал 91 Основные формулы и определения для решения задач Определение Пусть функция y f () определена на некоторой f ( Δ) f ( ) Δy окрестности точки Предел отношения при Δ Δ Δ, если

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие для

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Дифференциальное исчисление функций одной переменной Дифференциальное исчисление функций одной переменной Тема: Производная функции Лекция Правила нахождения производной Производная основных элементарных функций СОДЕРЖАНИЕ: Правила дифференцирования Производная

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Теорема (Кантора) Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. ГЛАВА 5 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Теорема (Кантора) Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. ГЛАВА 5 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 66 Теорема (Кантора Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем Кантор Георг (CANTOR Georg 1921845-611918 - немецкий математик ГЛАВА 5 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1 ПОНЯТИЕ

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Понятие производной функции

ЛЕКЦИЯ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Понятие производной функции ЛЕКЦИЯ 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1 Понятие производной функции Рассмотрим функцию у=f(), определенную на интервале (а;в) Возьмем любое значение х (а;в) и зададим аргументу

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Производная. Основные определения Определение. Производной функции y = f (x) в точке x 0 называется предел отношения приращения этой функции y в точке

Подробнее

Тема 6. Дифференцирование функций. производная логарифмической функции. На предыдущем занятии по четырехступенчатому правилу нами была найдена

Тема 6. Дифференцирование функций. производная логарифмической функции. На предыдущем занятии по четырехступенчатому правилу нами была найдена Тема 6 Дифференцирование функций log Производная логарифмической функции a На предыдущем занятии по четырехступенчатому правилу нами была найдена производная логарифмической функции ( loga ) (7) l a в

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ''Оренбургский государственный

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

«Пределы, непрерывность. Производные»

«Пределы, непрерывность. Производные» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Алгебра и начала анализа, ХI

Алгебра и начала анализа, ХI Алгебра и начала анализа, ХI АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА По Положению о государственной (итоговой) аттестации выпускников XI(XII) классов общеобразовательных учреждений Российской Федерации учащиеся сдают

Подробнее

Оглавление. А.А.Быков bykovaa.ru, abkov.ru

Оглавление. А.А.Быков bykovaa.ru, abkov.ru ksm-n05-производная и дифференциал А.А.Быков bykovaa.ru abkov.ru Оглавление 5. Лекция 5. Понятие производной... 4 5.. Производная... 4 5... Определение производной в точке 4 5... Производная степенной

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Лекция подготовлена доц. Мусиной М.В. Производные основных элементарных функций.

Лекция подготовлена доц. Мусиной М.В. Производные основных элементарных функций. Производные основных элементарных функций Производная функции может быть найдена по следующей схеме: аргументу х даем приращение для функции y найдем соответсвующее приращение y y составим отношение находим

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения.

С.А. Лавренченко. Производная функции, фундаментальное понятие дифференциального исчисления, определяется как предел разностного отношения. Лекция 6 1 СА Лавренченко Производные 1 Определения производной Производная функции фундаментальное понятие дифференциального исчисления определяется как предел разностного отношения Определение 11 (производной

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

Функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного 1 Основные понятия функций комплексного переменного Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества комплексных

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление ФГОУ СПО ЛТК МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Дифференциальное исчисление Ст Ленинградская 00г Предисловие Настоящее пособие написано в соответствии с программой по математике для студентов средни профессиональны

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой:

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: 2.2.7. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал функции y = зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: dy d Тогда абсолютная погрешность:

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

Обратные тригонометрические функции. 1

Обратные тригонометрические функции. 1 И В Яковлев Материалы по математике MthUsru Обратные тригонометрические функции Мы знаем, каким образом для заданного угла α определяются значения его тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

n = или k = k n называется единичным вектором

n = или k = k n называется единичным вектором Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть

Подробнее

ЧАСТЬ 2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ.

ЧАСТЬ 2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ. ЧАСТЬ. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКЕ. Тема 4. Производная и дифференциал. Непрерывность функции. Точки разрыва. В реальной жизни, в том числе и в политической, большинство

Подробнее

Лекция 1. Автор: Делов Максим Игоревич инженер кафедры теплофизики, преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ.

Лекция 1. Автор: Делов Максим Игоревич инженер кафедры теплофизики, преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Лекция 1. Автор: Делов Максим Игоревич инженер кафедры теплофизики, преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Определения и свойства Определение производной функции в заданной точке. Производной

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МНОЖЕСТВА. Операции над множествами.

МНОЖЕСТВА. Операции над множествами. МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы объекты данной совокупности можно отличить друг от

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел:

Алгебра 10 класс. Тема 1. Тригонометрические функции и преобразования. Основные понятия. Буквой Z обозначается множество целых чисел: Алгебра 0 класс Тема Тригонометрические функции и преобразования Основные понятия Буквой Z обозначается множество целы чисел: Z {0; ; ; ;} Арксинусом числа а, принадлежащего промежутку [- ; ], называется

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Российский университет транспорта МИИТ» Кафедра «Математика» АИ ГУСЕВ

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России БН Ельцина Р М Минькова Математический анализ Рекомендовано методическим советом

Подробнее

f ( ) =. Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной. Физический и геометрический смысл производной.

f ( ) =. Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной. Физический и геометрический смысл производной. Определение производной Задачи, приводящие к понятию производной Физический и геометрический смысл производной Цели: ) ввести понятие производной; ) рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной;

Подробнее

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2 Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f ( ) называется непрерывной в точке, если она

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов.

9. Определенный интеграл Вычисление определенных интегралов. 9. Определенный интеграл 9.1. Вычисление определенных интегралов. ТЕОРИЯ Определенный интеграл от заданной на отрезке функции можно задать несколькими способами. Важно, что набор средств, доступных для

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее