ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»"

Транскрипт

1 Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая геометрия» и «Кривые второго порядка» Составитель: Степанова С.Б. Улан-Удэ, 00г.

2 . Линейные операции над векторами УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ! Данное пособие поможет Вам на практических занятиях по высшей математике научиться решать задачи по темам "Векторная алгебра и аналитическая геометрия" и "Кривые второго порядка". К практическим занятиям Вы должны подготовиться, т.е. прочитать соответствующий теоретический материал. Каждой теме соответствует подробное решение типовой задачи, затем нужно решить задачи (для самостоятельного решения) согласно номеру варианта и ответить на вопросы, расположенные в конце темы. Каждую тему Вы должны защитить, т.е. дать подробное объяснение - решение каждой задачи и ответы на вопросы. Задача. В треугольнике АВС заданы векторы АВ с и ВС а, точка М- середина ВС, точка О- точка пересечения медиан. Найти векторы СА, МО. Решение: A O CA AC ( AB + BC ) ( c + a) MO MA, MA AM ( AB + BM ) AB + BC c + a MO MA c + a c a 6 НУЖНО ЗНАТЬ: B M C. Определение вектора. Определение коллинеарных векторов в геометрической и координатной формах.

3 . Правило нахождения координат вектора, если известны координаты начала и конца вектора. 4. Длина и направляющие косинусы вектора. 5. Связь между направляющими косинусами вектора. 6. Правило сложения векторов в геометрической и координатной формах. 7. Правило умножения вектора на число в геометрической и координатной формах. 8. Как определить направление вектора в пространстве? Задача. Отрезок АВ, где А(7,,), В(-5,0,4) разделен точкой AB С в отношении k. Найти координаты точки С. BC 4 Решение: Пусть точка С(х, у). 7 AB (,, 7), AC,,. С другой сторо ны, AC ( x 7, y, z + ), значит x 7, x 7, y, y, z +, z Ответ :,, Задача. Лежат ли точки А(,4,), В(,7,5), С(4,0,9) на одной прямой? Решение: Если точки А,В,С лежат на одной прямой, то векторы AB, AC, BC коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональны. Найдем координаты векторов : AB (,,4), AС (,6,8), BC (,,4). Сравнивая координаты векторов, видим, что точки А,В,С лежат на одной прямой. Задача 4. Найти координаты вектора, если он составляет с осями ОХ и OZ соответственно углы 0 α 60 и γ 0 0 и a. Решение: Пусть a ( x, y, z), тогда x a cos α, z a cos γ, z a cosβ Так как по условию a,α , γ 0, a x 4 () + y + z ( ), a x, y ± Ответ: a (, ±, ) то x z, + y + z, y a x z Задача 5. Даны точки А(,-,), В(,0,), С(,-4,0), Д(0,,). Найти длину и координаты вектора, соединяющего середины векторов AB и СД.

4 Решение: Пусть т.м- середина АВ, т.о - середина СД, следовательно, нужно найти координаты вектора МО. МО МВ + ВС + СО; МВ 0,, МВ ВС (0, 4, ), СО СД, 5 СО,, МО МВ + ВС + СО 0 + 0,0, МО A M ( ) АВ. АВ (0,, ), СД (,5, ),, Ответ : МО,0,, МО B 5 4 +, C O D Задачи для самостоятельного решения Вариант. В треугольнике АВС заданы векторы AB c, AC b. Точка О- точка пересечения медиан АМ, ВЕ, СК. Найти векторы OE и OK.. Отрезок АВ, где А(,-,-5), В(6,4,), разделен точкой С так, что длина AC составляет одну третью часть длины AB. Найти координаты точки С.. При каких значениях α и β векторы a i + j+ β k и b i 6j+ k коллинеарны? 4. Вектор b составляет с осями ОХ и ОУ углы соответственно α0 0 иβ5 0. Какой угол составляет вектор с осью ОZ? 5. Дан треугольник АВС: А(,,-), В(-5,,-), С(7,9,0). Найти длину и координаты вектора, соединяющего вершину А с серединой противоположной стороны. Вариант. В треугольнике АВС заданы векторы AB m, BC n. Точка О- точка пересечения медиан АМ, ВД, СК. Найти координаты векторов OД и OK.

5 . Отрезок АВ, где А(,-,5), В(7,6,), разделен точкой С так, что длина AC составляет одну третью часть длины СB. Найти координаты точки С.. При каких значениях α и β векторы a i + j+ β k и b i 6j+ k коллинеарны? 4. Вектор составляет с осями ОХ и ОУ углы соответственно α0 0 иβ45 0. Какой угол составляет вектор с осью ОZ? 5. Дан треугольник АВС: А(,,), В(-5,,-), С(7,9,0). Найти длину и координаты вектора, соединяющего вершину В с серединой противоположной стороны. Вариант. В треугольнике АВС заданы векторы AB m, АC p. Точка О- точка пересечения медиан АА, ВВ, СС. Найти координаты векторов OА и OС.. Отрезок ВС, где В(,-,-5), С(-,,5), разделен точкой Д так, что длина ВД составляет одну пятую часть длины ВC. Найти координаты точки Д.. При каких значениях α и β векторы a i + j+ β k и b αi 9j+ k коллинеарны? 4. Может ли вектор a составлять с координатными осями углы α90 0,β60 0, γ0 0? 5. Даны векторы a (,-,), b (0,-4,-), c (,,0). Найти b и координаты вектора m a 05, b + c. Вариант 4. В треугольнике АВС,где AB a, AC d. Точка О- точка пересечения медиан АМ, ВК, СД. Найти координаты векторов OК и OМ.. Даны точки А(,-,), В(-,5,). Найти координаты точки AB С, если AC. Определить при каких значениях m и n векторы a и b коллинеарны, если a i + mj+ k, b 4i + j kn. 4. Найти углы, образуемые вектором a (-,6,) с осями координат. 5. Даны векторы a (-,,), a (0,-4,-), a (,,0). Найти a и координаты вектора b a + 05, a a. Вариант 5. В треугольнике АВС сторону АВ точками M и N разделили на три равные части : AMMNNB. Найти вектор CM,если CA a, CB b.

6 . А(,-,), В(-,5,). Найти координаты точки С, если AС CВ.. Является ли четырехугольник АВСД, где А(,,), В(,-4,), С(,0,), Д(-,-7,) трапецией? 4. Вектор r составляет с осью ОУ угол β60 0, а с осью ОZ угол γ5 0 длина его равна 8. Найти координаты вектора r, если его абсцисса отрицательна. 5. Даны векторы a (4,0,-), a (0,,-), a (,,0). Найти координаты вектора b 05, a a + a. Вариант 6. В треугольнике АВС сторону ВС точками M и N разделили на три равные части : ВMMNNC. Найти вектор АM, если AB p, AC q.. М(,0,-), В(7,5,-6). Найти координаты точки С, если МС МВ.. Является ли четырехугольник АВСД, где А(,,), В(,-,), С(,0,), Д(,,-) параллелограммом? 4. Дан вектор a i j- k. Найти его единичный вектор и направляющие косинусы. 5. Даны векторы b (-4,,), b (0,,), b (,-,0). Найти координаты вектора a b + b 05, b. Вариант 7. В треугольнике АВС сторону АС точками D,E,F разделили на 4 равные части : ADDEEFFC. Найти вектор BD если BC a, AF b.. А(,-,), В(-,4,-). Найти координаты точки С, если АВ СВ 5.. Даны векторы a (,-,), b (,-,), с (α,0,-).при каком значении α вектор ( a -b ) будет коллинеарен вектору с? 4. Вектор a образует с осями координат равные углы. Найти его координаты, если a 5. Даны векторы a (5,, ), b ( 64,, 4), c ( 0,, ). Найти длину и координаты вектора c 05, b a + c. ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ. Какие операции над векторами называются линейными?. Как найти геометрическую сумму более двух векторов?. Когда векторы считаются равными?

7 4. Как определяются проекции вектора на координатные оси? 5. Какой вектор называется нулевым? 6. Дайте определение линейной комбинации системы векторов. 7. Какая система векторов называется линейно зависимой? 8. Какая система векторов называется базисной? 9. Какие векторы образуют декартов базис? 0. Могут ли вектора, лежащие на одной плоскости, образовывать базис?. Скалярное произведение двух векторов Задача. Векторы a и b образуют угол π ϕ и a, b. Найти ( a,b ), ( a, a ), ( a -b, a +b ). π Решение: ( a, b) a b cosϕ cos. ( a, a ) a 4. ( a b, a + b) a a + 4( a, b) 4 b + 6( a, b) ( b, a) 4 b ( ) Задача. Даны векторы a (,-,), b (,,). Вычислить: ) ( a,b ), )скалярное произведение векторов ( a - b ) и ( a +b ), ) проекцию вектора ( a -b ) на вектор a, 4) угол между векторами a и b. Решение:. ( a b) x x + y y + z z + 4 4,. a b ( 6, 4,4 6) ( 4, 7, ) a + b ( + 4, +, + 4) (5,0,6) (a b, a + b) ( b,a b). пр (a b), b b b , ( 4) + ( 7) + ( ) 9 пр (a b) b 4. ( a, b) 4 cos a, b a b 4 9 НУЖНО ЗНАТЬ:. Определение скалярного произведения двух векторов.. Свойства скалярного произведения.

8 . Выражение скалярного произведения в координатном виде. 4. Признак перпендикулярности двух векторов. 5. Физический смысл скалярного произведения. 6. Почему скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю? Задача. Найти длину вектора a m n, если m n m n π,,, Решение: a 4 m ( a, a) ( m n,m n) ( m n) ( m, n) + 9 n Задачи для самостоятельного решения. Найти длину вектора Вариант a b + c b c b c π, если,,,.. Будут ли перпендикулярны векторы a (,7,) и BC, если В(,5,6) и С(8,5,)? 6. Найти угол между векторами ( a -b ) и ( a +b ), если a (-,,), b (,,6). Вариант. Найти длину вектора π a m + n, если m, n, m, n.. При каком значении m векторы mi + j + 4k a и b 4i + m j 7k перпендикулярны?. Дан треугольник АВС, где А(,-,), В(,,), С(,0,). Найти косинус угла А. Вариант. Найти длину вектора a m n m n m n π, если,,. Даны вершины четырехугольника А(,-,), В(,4,0), С(-4,,), Д(-5,,). Докажите, что его диагонали перпендикулярны.. Найти проекцию вектора с a+ b на вектор b, если a i j+ k, b i+ k Вариант 4

9 . Найти длину вектора a b + c b c b c π, если,,,. Вычислить работу равнодействующих трех сил F(, 4,), F(,, 5), F(, 4,), приложенных к одной точке, при перемещении из точки М (5,,7) в точку М (4,-,-4). Примечание: Работа силы F при перемещении S вычисляется по формуле: А( F, S ).. Найти угол между векторами a и с a+ b, если a (,,-), b (,,) 0 Вариант 5. Найти длину вектора π a p q, если p, q, p, q. Определить косинус угла А в треугольнике АВС, если А(,,-), В(5,,-), С(,-,).. Найти проекцию вектора с a b на вектор b, если a (,0,), b (,, ) Вариант 6. Найти длину вектора c b + a a b a b π, если,,,. Даны векторы a (,,), a (,, ), a (,, ). Определите, какие из них перпендикулярны.. В треугольнике АВС даны вершины А(,-,), В(,,), С(,0,). Найти косинус угла между векторами BA и BC.. Найти длину вектора a c + d, если c, d Вариант 7 π, c, d. Даны векторы a mi j+ k и b i j+ mk. Определите при каком значении m эти векторы перпендикулярны.. Найти угол С в треугольнике АВС, если известны его вершины А(,-,), В(,,), С(,9,). Найти длину вектора Вариант 8 m b a a, если b, a, b π

10 . Дан четырехугольник АВСД, где А(,,), В(,,0), С(-,,), Д(,,4). Будут ли перпендикулярны его диагонали?. Найти угол между векторами a (-,,) и b (,,-6). ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:. Что называется скалярным произведением двух векторов?. Скалярное произведение равно 0. Что это значит?. Как определяется проекция вектора на вектор? 4. Почему скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю? 5. Почему (, i j ) 0? 6. Что такое скалярный квадрат?. Векторное произведение двух векторов Задача. Найти модуль векторного произведения векторов a и b, если a 0, b и скалярное произведение этих векторов равно. Решение: По формуле: [ ] ab, a b sin ab, Угол между векторами определим из условия: ( a, b), но ( a, b) a b cos a, b, ( a, b). откуда cos a, b a b sin( ab, ) ± cos ( ab, ) ± ± 5 5 Знак возьмем только "+", т.к. находим модуль векторного произведения. [ ab, ] Ответ: 6 [ ab, ] Задача. Даны векторы a (,,), b (,, 0 ) Найти [ a, b] Решение: i j k, i j + k i+ j k [ ab] [ ] ab, i+ j k ( ) + + ( ) Ответ: НУЖНО ЗНАТЬ:. Скалярное произведение двух векторов.. Определение векторного произведения двух векторов.. Свойства векторного произведения. 4. Выражение векторного произведения двух векторов в координатном виде.

11 5. Длина вектора. Задачи для самостоятельного решения Вариант. Даны векторы a (,, ), b (,, ). Найти модуль векторного произведения векторов( a b) и ( a+ b) a+ b, a b, если a, b, a, b π. Найти [ ]. Найти [ ] Вариант b + a a a b a b π,, если,,, 6. Найти площадь параллелограмма АВСД, если А(,-,), В(,-,), Д(0,,).. Найти [ ] Вариант a, a+ b, a, b, a, b π если. Найти координаты вектора с, который имеет длину, равную и перпендикулярен векторам a i+ j+ k и b i j k. Найти [ ] Вариант 4 a + b a b a b,, если,, a, b π 6. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(,-,), В(,,-), С(,,).. Найти [ ] Вариант 5 a b a + b a b a b π,, если,,. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(,,), В(,,), С(,0,-).. Найти [ ] Вариант 6 a+ b a b a b a b π,, если,,, 6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a (,,), 0 b ( 0,,). Найти [ ] Вариант 7 a, a b, a, b, если a, b 5π 6

12 . Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(,,0), В(,,), С(,,-). Вариант 8. Найти [ ] a b b a b a b π,, если,,,. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a (,, 4), b (,,) Вариант 9 a+ b a b a b a b π,, если,,,. Найти [ ]. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a (,,), b (,,) 0 Вариант 0 a b a+ b a b a b π,, если,,,. Найти [ ]. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(0,-,), В(,-,), С(,0,).. Почему векторное произведение не подчиняется переместительному свойству?. Докажите, что [ i j], k 4. Как определяется направление векторного произведения? 5. Каков геометрический смысл модуля векторного произведения? 6. Каков физический смысл векторного произведения? 4. Смешанное произведение трех векторов Задача. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А (,-,), А (5,5,4), А (,,-), А 4 (4,,). Решение: Найдем векторы AB, AC,AD совпадающие с ребрами пирамиды, сходящиеся к вершине А: AB (,6,), AC (,,-),AD (,,) Находим смешанное произведение векторов AB, AC,AD: 6 AB AC AD ( 4) ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:. Что называется векторным произведением?

13 Так как объем пирамиды равен /6 части объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC,AD, т.е. V ± AB AC AD 6 Ответ : (куб. ед.) НУЖНО ЗНАТЬ:. Определение векторного произведения трех векторов.. Свойства смешанного произведения.. Определение компланарных векторов. 4. Признак компланарности векторов. 5. Выражение смешанного произведения в координатном виде. 6. Геометрический смысл смешанного произведения. 7. Что означает знак смешанного произведения? 8. Правило разложения определителя по элементам какойлибо строки или столбца. Задачи для самостоятельного решения Вариант Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А (0,0,), В(,,5), С(6,,), Д(,7,). Вариант Показать, что точки А (5,7,-), А (,,-), А (9,4,-4), А 4 (,5,0) лежат в одной плоскости. Вариант Лежат ли точки А(,,-), В(0,,5), С(-,,), Д(,,) в одной плоскости? Вариант 4 Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a i j + k, b i + j + k, c i + j + 4k. Вариант 5 Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами А(,-,), В(5,5,4), С(,,-), Д(4,,). Вариант 6 Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(,,), В(4,,-), С(6,,7), Д(-5,-4,8). Вариант 7 Объем пирамиды равен 5, три его вершины находятся в точках А(,,-), В(,,0), С(,-,). Найти координаты его четвертой вершины Д, если известно, что она лежит на оси ОУ. Вариант 8 Даны точки А(,,-), В(,0,), С(,,), Д(Х,0,0). Найти Х, если AB AC AD 8 Вариант 9

14 Точки А(,,-), В(0,,5), С(,,), Д(0,У,0) лежат в одной плоскости. Найти У. Вариант 0 Объем треугольной пирамиды с вершинами А(,-,), В(,,), С(,,), Д(0,0,z)равен 4 Найти z. ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:. Что называется смешанным произведением трех векторов?. Смешанное произведение имеет знак "-", что это значит?. Почему a b a 0? 4. Почему смешанное произведение компланарных векторов равно 0? 5. Подчиняется ли смешанное произведение переместительному закону? 6. Какую геометрическую величину можно найти с помощью смешанного произведения? 5. Аналитическая геометрия Задача. В треугольнике АВС даны вершины А(,), В(5,-), С(,0). Найти: а) уравнение стороны АВ и ее угловой коэффициент, б) уравнение стороны, проходящей через точку С параллельно прямой АВ, с) уравнение высоты, опущенной из точки С на основание АВ, г) длину высоты. Решение: а) составляя уравнение стороны АВ, используем уравнение прямой, проходящей через две данные точки: x xa y ya x y xb xa yb y, A 5, откуда y + x 8 0 или y x+ 8, следовательно, k AB -, б) запишем уравнение прямой, проходящей через данную точку C(x c,y c): y-y c k(x-x c ). Так как искомая прямая параллельна прямой АВ, то их угловые коэффициенты равны, поэтому kk AB -. Итак, у-0-(х-) или у-х+, в) воспользуемся тем же уравнением, но, так как высота, опущенная из точки С, перпендикулярна АВ, то k k AB, поэтому y 0 x ( )или y x, г) длину высоты, опущенной из точки С, можно определить как расстояние от прямой АВ до точки С, для чего общее

15 уравнение прямой АВ у+х-80 приведем к нормальному виду, определив нормирующий множитель μ: μ ± A + B +. 5 Нормальное уравнение прямой АВ будет иметь вид: y+ x Следовательно, h c yc + xc Задача. Даны точки А(,0,), В(-,,), С(0,-,-). Найти: а) уравнение плоскости, проходящей через точки А,В,С; б) уравнение плоскости, проходящей через точку Д(-,0,-) параллельно плоскости АВС; в) расстояние от точки Д до плоскости АВС; г) уравнение прямой АД; д) угол между прямой АД и плоскостью АВС. Решение: а) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, имеет вид: x x y y z z x x y y z z x x y y z z или 0, x y 0 z ( x ) 0 y 0 ( z ) + 0 ( x )( 4) y4+ ( z ) 4 0, ( x )( ) y + ( z ) 0, x + y z 0 - уравнение плоскости АВС, где N (А,В,С) (,,-). б) используем уравнение плоскости, проходящей через данную точку Д: А(х-х Д )+В(у-у Д )+С(z-z Д )0. Так как искомая плоскость параллельна плоскости АВС, то нормальные векторы плоскостей должны быть коллинеарны, следовательно, A B C, поэтому ( x + ) + ( y 0) ( z + ) 0 или x + y z 0 в) приведем общее уравнение плоскости АВС к нормальному виду: μ тогда x+ y z 0 ± A + B + C -нормальное уравнение плоскости АВС. Расстояние от точки Д до плоскости АВС будет равно xd + yd zd d.

16 г) за направляющий вектор прямой АД возьмем вектор AD (,0, ), поэтому прямая АВ имеет уравнение: x+ y z x y z , ( ) д) sinϕ cos N ABC, S AD НУЖНО ЗНАТЬ:. Виды уравнений прямой на плоскости.. Условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.. Расстояние от точки до прямой. 4. Виды уравнений плоскости. 5. Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении плоскости. 6. Расстояние от точки до плоскости. 7. Канонические уравнения прямой в пространстве. 8. Угол между прямой и плоскостью. 9. Условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости. Задачи для самостоятельного решения Задача. Дан треугольник АВС с вершинами А,В,С. Найти : ) уравнение стороны АВ, ) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ, ) уравнение высоты, опущенной на основание АВ и ее длину, Задача. Даны точки А, А, А, А 4. Найти: ) уравнение плоскости А А А, ) уравнение плоскости, проходящей через точку А 4 параллельно плоскости А А А, ) расстояние от точки А 4 до плоскости А А А, 4) уравнение прямой, проходящей через точку А 4 и А, 5) угол между прямой А А 4 и плоскостью А А А. Вариант. А(,-), В(,), С(,).. А (,0,), А (-,,), А (0,,-), А 4 (,,) Вариант. А(,), В(,), С(,).. А (,,-), А (,-,), А (,-,), А 4 (,,) Вариант

17 . А(-,-), В(,), С(,).. А (,0,), А (-,,), А (0,,-), А 4 (,,) Вариант 4. А(,-), В(,), С(-,).. А (,-,), А (-,,-), А (-,-,), А 4 (-,0,-4) Вариант 5. А(0,5), В(,0), С(8,8).. А (,,), А (,4,0), А (-,5,6), А 4 (4,0,5) Вариант 6. А(8,0), В(-4,), С(-8,).. А (0,0,0), А (5,,0), А (,5,0), А 4 (,,4) Вариант 7. А(,5), В(,0), С(9,8).. А (4,-,-), А (,,), А (,-,-), А 4 (-,-,) Вариант 8. А(,6), В(-6,-4), С(-0,-).. А (7,,), А (-5,,-), А (,,5), А 4 (4,5,-) Вариант 9. А(-,5), В(,0), С(7,8).. А (-,,-), А (,-,), А (,,0), А 4 (,5,5) Вариант 0. А(6,5), В(-6,0), С(-0,).. А (,,), А (,4,), А (,,7), А 4 (,4,-) ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:. Запишите виду уравнений прямой на плоскости.. Каков геометрический смысл углового коэффициента прямой?. Как связаны угловые коэффициенты параллельных и перпендикулярных прямых? 4. Как записать уравнение плоскости, проходящей через данные точки? 5. Как записывается уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору? 6. Чем определяется положение прямой в пространстве? 7. Как определить угол между двумя плоскостями? 8. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. 9. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей. 0. Как найти линию пересечения двух плоскостей?. Как найти точку пересечения прямой и плоскости?. Как найти точку пересечения трех плоскостей? 6. Кривые второго порядка Окружность

18 Задача. Составить уравнение окружности, если она проходит через точку А(,6), а ее центр совпадает с точкой С(6,-8). Решение: Уравнение окружности с центром в точке (а,в) и радиусом R имеет вид: (x-a) +(y-b) R Решение: Приведем данное уравнение эллипса к каноническому виду x a y +, для этого почленно разделим на b По условию а, в6, поэтому радиус R определим из того, что данная окружность проходит через точку (6,-8): (-6) +(6+8) R, R. Итак, уравнение окружности имеет вид: (х-6) +(у+8) Эллипс Задача. Дано уравнение эллипса: 9х +5у 44.. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса. Сделать чертеж. -6 y /5 F 0 F 6 x 44: 9 x 5y x y +, +, откуда a 6, b, F (-C,0), F (C,0) - фокусы эллипса, где c a b ; 5 F, 0, F, 0. Эксцентриситет 5 5 c e a F F - x 4 4-4

19 Гипербола Задача. Дано уравнение гиперболы 6х -9у 44. Найти ее полуоси, фокусы и эксцентриситет. Решение: Приведем данное уравнение к каноническому виду x y, разделив почленно на 44: x y a b 9 6 а, в4. у, откуда Фокусы: F (-C,0), F (C,0), где c a + b 5 т.е. F (-5,0), c F (5,0). Эксцентриситет : e 5 a, уравнения х - асимптот: y ± b a x, y ±4 x. Парабола В Задача. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси ОХ и проходит через точку В(-,). Решение: Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ, с вершиной в начале координат имеет вид: у рх, поэтому нужно найти р - параметр параболы. Так как парабола проходит через точку В(-,), то подставляя ее координаты в уравнение, получим 9р(-), откуда р-9. Окончательно уравнение параболы имеет вид: у - 9х. НУЖНО ЗНАТЬ:.Определение окружности.. Каноническое уравнение окружности.. Определение эллипса. 4. Каноническое уравнение эллипса, его характеристики. 5. Определение гиперболы. 6. Каноническое уравнение гиперболы, ее характеристики. 7. Уравнения асимптот гиперболы. 8. Определение параболы, ее уравнение.

20 Задачи для самостоятельного решения Вариант. Составить уравнение окружности, если она проходит через точку А(,6), а ее центр совпадает с точкой С(-4,).. Построить окружность по ее уравнению y ± 5 x. Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равен /5. 4. Дан эллипс 9х +5у. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах, а две другие совпадают с концами его малой оси. Сделать чертеж. 5. Найти полуоси и фокусы гиперболы 5х -9у Составить уравнение гиперболы, если уравнения ее асимптот y ± 4 x и расстояние между фокусами равно Составить уравнение параболы, если известен ее фокус F (4,) и уравнение директрисы у+0. Вариант. Составить уравнение окружности, если ее центр совпадает с началом координат, а прямая х-4у+00 является ее касательной.. Построить окружность по ее уравнению y ± 4 x. Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек (-,0) и (,0) равна Найти площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса х +5у 0, а две другие совпадают с концами его малой оси. 5. Составить уравнение гиперболы с центром в т. (0,0), проходящей через точку М(,), если ее эксцентриситет равен. 6. Определить полуоси и уравнения асимптот гиперболы 9х -5у 9. Сделать чертеж. 7. Составить уравнение параболы, если ее фокус F(7,) и уравнение директрисы у-50. Вариант. Составить уравнение окружности, если ее центр находится в точке С(,-), а прямая 5х-у+90 является ее касательной.. Построить окружность по ее уравнению x ± 9 y.. Составить уравнение эллипса, если его большая ось равна 0, а эксцентриситет равен /5. 4. Дано уравнение эллипса 4х +9у 6. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и верхнюю вершину малой оси. Сделать чертеж.

21 y 5. Дано уравнение гиперболы 9у -4 х 6. Найти уравнение асимптот и сделать чертеж. 6. Определить площадь четырехугольника, две вершины которого находятся в фокусах гиперболы x, а две 6 9 другие - в вершинах малой оси. 7. Составить уравнение параболы, если известны ее фокус F(-,) и уравнение директрисы х-0. Вариант 4. Составить уравнение окружности с центром в точке (,)и проходящей через точку М(,0). Построить окружность по ее уравнению x ± y.. Составить уравнение эллипса, если его малая ось равна 6, а эксцентриситет равен /5. 4. Найти площадь четырехугольника, вершины которого находятся в вершинах полуосей эллипса 4 х +у Составить уравнение гиперболы, разность расстояний от каждой точки которой до точек (-6,0) и (6,0) равна 0. Сделать чертеж. 6. Составить уравнения асимптот и найти эксцентриситет гиперболы 4 х -у. 7. Составить уравнение параболы ветвями вниз и с вершиной в т.0(0,0), если ее фокус совпадает с точкой (0,-) и симметричной относительно оси ОУ. Вариант 5. Дано уравнение окружности (х-) +у 9. Лежат ли точки А (0,-), А (-,0), А (,0), А 4 (0,0) на этой окружности?. Построить окружность по ее уравнению x ± y.. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осями, проходит через точки А(,) и В(0,4). Написать его уравнение. 4. Дано уравнение эллипса 4 х +у. Найти его полуоси и эксцентриситет. Сделать чертеж. 5. Составить уравнение гиперболы, асимптоты которой имеют уравнения y ± x, а мнимая ось равна Найти площадь четырехугольника, две вершины которого находятся в фокусах гиперболы 9 х -6у 44, а две другие в вершинах мнимой оси. 7. Составить уравнение параболы, проходящей через точки А(-,4) и В(,4) и имеющей вершину в начале координат. Вариант 6

22 . Составить уравнение окружности, если ее центр совпадает с точкой А(,0), а прямая х+4у- является ее касательной.. Построить окружность по ее уравнению: y ± x 8. Составить уравнение эллипса, если сумма расстояний от каждой точки которого до точек (-4,0) и (4,0) равна Найти площадь четырехугольника, вершины которого находятся в вершинах эллипса х +9у. 5. Эксцентриситет гиперболы равен 5/4, а его действительная ось равна 8. Составить уравнение гиперболы. 6. Дано уравнение гиперболы х -9у -9.Составить уравнения его асимптот и сделать чертеж. 7. Дано уравнение параболы х -8у. Найти ее фокус и уравнение директрисы. Вариант 7. Составить уравнение окружности, если она проходит через точки О(0,0) и В(0,6) и имеет радиус R.. Построить окружность по ее уравнению: x ± y. Составить уравнение эллипса, если ее эксцентриситет равен /4, а малая ось равна 4,5. 4. Дано уравнение эллипса 9 х +4у. Найти его полуоси и сделать чертеж. 5. Составить уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса x + y. Сделать чертеж Найти уравнения асимптот и эксцентриситет гиперболы 9 х -6у 7. Дано уравнение параболы 4х -у. Найти ее фокус и уравнение директрисы. ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:. Дайте определение окружности.. Дайте определение малой и большой полуосей эллипса и его эксцентриситета.. Почему эксцентриситет эллипса меньше и как он характеризует форму эллипса? 4. Можно ли окружность считать эллипсом? Если да, то почему? 5. Почему оси гиперболы называются действительной и мнимой? Как по данному уравнению гиперболы определить, какая из осей будет мнимой? 6. Почему эксцентриситет гиперболы больше?

23 7. Что называется асимптотой гиперболы? 8. Почему окружность, эллипс, гипербола и парабола являются кривыми второго порядка? 9. Как определяется ось симметрии и направление ветвей параболы? 0. Запишите общее уравнение линии второго порядка.. Как алгебраическое действие нужно произвести, чтобы привести общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду?

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Практические задания к теме «Аналитическая геометрия»

Практические задания к теме «Аналитическая геометрия» Практические задания к теме «Аналитическая геометрия» Вариант 0 Задача Привести к каноническому виду уравнение кривой порядка, найти все ее параметры, построить кривую 4x +y -6x-6y+=0 Решение Приведем

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ В раздел включены задачи, которые рассматриваются в теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве» составление различных уравнений

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

1 Цели освоения дисциплины

1 Цели освоения дисциплины 1 Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Аналитическая геометрия» являются: развитие способностей студента к логическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» В И Белугин И Н Пирогова Э Е Поповский Часть Екатеринбург Федеральное

Подробнее

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Задача. Дан треугольник ABC с вершинами A(m ; n ), B(m; -n) и C(-m; n). Найти: a) величину угла A; b) координаты точек пересечения меридиан; c) координаты

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики Задания для практических занятий по темам «Векторная и линейная

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Псковский государственный университет И.Н. Медведева ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии ПсковГУ и редакционно-издательского

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Ответы Учебное издание Министерство образования и науки Российской Федерации Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга Островерхая Лидия Дмитриевна Задачник-практикум по высшей математике

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В. Уравнение Пусть даны точки A( x; y ), B( x2; y 2 2 Середина отрезка: x x ; y y 2 2. Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они делятся пополам). Длина отрезка:

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» О. В. Шереметьева КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Учебно-методическое пособие Петропавловск-Камчатский

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту: ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы учитесь

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

имеет два индекса: i номер строки и k номер столбца. Краткая запись матрицы: =. Матрица называется квадратной

имеет два индекса: i номер строки и k номер столбца. Краткая запись матрицы: =. Матрица называется квадратной Матрицей размера содержащая m строк и столбцов Глава Линейная алгебра Матрицы и определители П Основные понятия m называется прямоугольная таблица чисел Каждый элемент матрицы k имеет два индекса: номер

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО МАТЕМАТИКЕ

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Рубцовский индустриальный институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им ИИ Ползунова» ИИ КУЛЕШОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

Практические занятия по математике

Практические занятия по математике МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФИЛИАЛ

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5.

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5. Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

Подробнее

Казанский федеральный университет Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского Кафедра общей математики. Линейная алгебра

Казанский федеральный университет Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского Кафедра общей математики. Линейная алгебра Казанский федеральный университет Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского Кафедра общей математики Е.Р. Газизов, С.Е. Газизова, А.Р. Газизов Линейная алгебра Методические указания Казань 6

Подробнее

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа).

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа). I. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Целями освоения дисциплины «Геометрия» являются: 1) фундаментальная подготовка по аналитической геометрии и векторной алгебры; 2) овладение методами аналитической

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ С2.Б.3 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ С2.Б.3 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Информатика и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 .5 setgray.5 setgray1 1 Консультация 3 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСА ЗАДАЧА 1. Даны полярные координаты точек A 8, 2π/3 и B6, π/3. Вычислить полярные координаты середины отрезка AB. Рис. 1.

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» К. А. Решко, Л. И. Рыдевская ВЕКТОРЫ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Учебно-методические

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Рабочая программа дисциплины (с аннотацией)

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» В.П. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Аналитическая геометрия направление подготовки 0.03.01

Подробнее

I. Аннотация 1. Наименование дисциплины (или модуля) в соответствии с учебным планом 2. Цель и задачи дисциплины (или модуля)

I. Аннотация 1. Наименование дисциплины (или модуля) в соответствии с учебным планом 2. Цель и задачи дисциплины (или модуля) 1 I. Аннотация 1. Наименование дисциплины (или модуля) в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики. Цель и задачи дисциплины (или модуля)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Новокузнецкий

Подробнее

Календарно-тематическое планирование в 9 классе

Календарно-тематическое планирование в 9 классе Календарно-тематическое планирование в 9 классе Да та урока Тема урока Виды учебной деятельности Виды контроля Требования к уровню Подготовки обучающихся 1 Повторение материала 7-8 класса Индивидуаль ная

Подробнее

I. Аннотация. 1. Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики

I. Аннотация. 1. Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики 1 I Аннотация 1 Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики Цель и задачи дисциплины Целью освоения дисциплины является:

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой. Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии. Определение. Уравнение вида F(x,y)=0 (1) называется уравнением линии L

Подробнее

Вопросы к зачёту по математике. 9 класс 1 семестр

Вопросы к зачёту по математике. 9 класс 1 семестр Вопросы к зачёту по математике. 9 класс 1 семестр Геометрия ЧАСТЬ 1 (без доказательства) 1. Дайте определение вектора. Дайте определение нулевого вектора.. Дайте определение длины вектора. 3. Дайте определение

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ГЕОМЕТРИЯ. 11 класс

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ГЕОМЕТРИЯ. 11 класс РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО: УТВЕРЖДАЮ: на заседании МО: протокол 1 зам.директора по УВР Директор Г.Н.Фишер В.И.Кожаев И.В.Жгилева «28» августа 2015 «28» августа 2015 «29» августа 2015 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Задачи: Место предмета в учебном плане

Задачи: Место предмета в учебном плане 1 Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе: - Федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике, утвержденного

Подробнее