Введение в матричные игры

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Введение в матричные игры"

Транскрипт

1 Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны. Мы будем рассматривать только игры двух лиц с противоположными интересами. Игра состоит из последовательности ходов. Ходы бывают личные и случайные. (В шахматах все ходы личные. Рулетка содержит случайный ход). Результаты ходов оцениваются функцией выигрыша для каждого игрока. Если сумма выигрышей равна, то игра называется игрой с нулевой суммой (преферанс). Будем рассматривать только такие игры. Стратегией называется набор правил, определяющих поведение игрока, т.е. выбор хода. Оптимальной стратегией называют такую стратегию, при которой достигается максимальный ожидаемый средний выигрыш при многократном повторении игры. -- Лекция 4. Матричные игры

2 Матричные игры это игры, где два игрока играют в игру с нулевой суммой, имея конечное число «чистых» стратегий: {,, } и {,, } и () задан платеж a второго игрока первому. Матрица (a ) задает выигрыш первого игрока и проигрыш второго, a! Игра в орлянку. Игроки выбирают ход {орел, решка}. Если ходы совпали, то выиграл первый, иначе второй. II игрок I игрок орел решка орел решка -2- Лекция 4. Матричные игры

3 Прорыв обороны. Первый игрок выбирает систему зенитного вооружения. Второй игрок выбирает самолет. Элементы a задают вероятность поражения самолета системой. Цель второго игрока прорвать оборону. Зенитки Самолеты,5,6,8,9,7,8,7,5,6 В первом примере все ходы одинаково плохи или хороши. Во втором примере ход (2, 2) в некотором смысле лучший для обеих сторон: если взять самолет 2, то зенитка 2 лучшая для первого игрока; если взять зенитку 2, то самолет 2 лучший для второго. В матрице есть седловая точка! Определение. Седловой точкой матрицы (a ) называют пару ( ) такую, что a a a,. -3- Лекция 4. Матричные игры

4 Принцип минимакса (осторожности). Предположим, что противник всеведущ и угадывает все ходы! Первый игрок предполагает, что второй все знает и для хода первого игрока выберет (): a () a,,,. Обозначим α a a,,...,. Тогда лучшей ( ) стратегией для первого игрока является выбор такой, что α axα ax a α. Величину α назовем нижней ценой игры в чистых стратегиях. Второй игрок из соображений осторожности считает, что первый выберет () так, что a () a,, т.е. β ax a и выбирает с минимальным β, т.е. β ax a β Величину β назовем верхней ценой игры в чистых стратегиях. Пример. α, β +, α β Пример 2. α ax {.5,.7,.5}. 7, β {.9,.7,.8} Лекция 4. Матричные игры

5 Лемма. Для любой функции f(x,y), x X, y Y, справедливо неравенство ax x X y Y f ( x, y) ax y Y x X в предположении, что эти величины существуют. Доказательство. Введем обозначения: f ( x, y( x)) f ( x, y), y Y f ( x, y) f ( x, y( x )) ax f ( x, y( x)). x X Тогда ax x X y Y f ( x, y) f ( x, y( x )) y Y f ( x, y) ax y Y x X f ( x, y). -5- Лекция 4. Матричные игры

6 Теорема. Необходимым и достаточным условием равенства верхней и нижней цен игры в чистых стратегиях является существование седловой точки в матрице (a ). Доказательство. Необходимость. Пусть α β. По определению α ax a a a β ax a ax a a т.е. α a β. Так как α β, то a a a,, т.е. является седловой точкой. Достаточность. Пусть седловая точка ( ) существует, т.е. a a a,,...,,,...,. Тогда ax a ax a a a ax a, но по лемме верно обратное, т.е. ax a ax a. Следовательно α β. -6- Лекция 4. Матричные игры

7 Смешанные стратегии и основная теорема матричных игр Определение. Под смешанной стратегией будем понимать вероятностное распределение на множестве чистых стратегий. Смешанная стратегия первого игрока: (,, ), P {(,..., ),,,..., }. Смешанная стратегия второго игрока (,, ), Q {(,..., ),,,..., }. При многократном повторении игры игрок выбирает чистые стратегии случайным образом с соответствующими вероятностями. Платежная функция для смешанных стратегий и : E(, ) задает математическое ожидание выигрыша первого игрока при,. a -7- Лекция 4. Матричные игры

8 Замечание. Добавлением большой положительной константы можно добиться того, что E(,) >,, без изменения стратегий. Из принципа осторожности: Первый игрок ищет максимум α ( ) E(, ) и получает нижнюю цену игры α ax α( ). P Q Второй игрок ищет минимум β ( ) ax E(, ) и получает верхнюю цену игры β β ( ). Q Теорема Фон Неймана P В матричной игре существует пара (, ) смешанных стратегий, таких что. E(, ) E(, ) E( ), P, Q. 2. α β E (, ). -8- Лекция 4. Матричные игры

9 Доказательство. Сначала покажем, как представить задачу о выборе наилучших стратегий в виде ЛП, а затем докажем теорему. Первый игрок: α() ax α ( ) E(, ) a Q,,...,. Пусть u /α(),,,, в предположении α() >. Тогда u,,,, и a u,,...,. Заметим, что и задача α() ax может быть записана следующим образом: u a u,,..., u,,...,., u α( ) -9- Лекция 4. Матричные игры

10 Аналогичным образом получаем задачу второго игрока: ax v -- Лекция 4. Матричные игры a v,,...,, v,,...,, где v /β(),,,. Полученные задачи являются взаимодвойственными. Пусть u, оптимальные решения этих задач. Положим следует, что v u u v ( au ), Просуммировав, получим, v v,...,,. Из второй теоремы двойственности u ( av ),,...,.

11 Лекция 4. Матричные игры -- u v u a v. Поделим на : ) )( ( u v. ), ( v u E Теперь докажем первое утверждение теоремы:. ), ( v v v v a a E Аналогично. ), ( u u u u a a E т.е.., ),, ( ), ( ), ( Q P E E E Докажем второе утверждение теоремы.

12 Из предыдущего неравенства имеем: ax E(, ) E(, ) E(, ), т.е. β ax a ax a α. Но по лемме α β α β E (, ). -2- Лекция 4. Матричные игры

13 Дилемма заключенных Два преступника пойманы за совершение преступления. У следствия не хватает доказательств их виновности и преступникам предлагают сделку: Если сознаешься и подтвердишь участие товарища в преступлении, то выйдешь на свободу, а товарищ получит 7 лет лишения свободы. Преступники сидят в разных камерах и не могут общаться, но они знают, что каждому сделано такое предложение. Если оба преступника сознаются, то каждый получит 5 лет. Если оба не сознаются, то каждый получит по году. -3- Лекция 4. Матричные игры

14 Биматричная игра 2-й сознался 2-й не сознался -й сознался 5 : 5 : 7 -й не сознался 7 : : Седловая точка оба сознаются существует и дает 5 лет каждому Оптимальное решение не сознаваться дает только год. Оно не является седловой точкой! Что будет, если дать преступникам посовещаться? -4- Лекция 4. Матричные игры

15 Бескоалиционные игры Бескоалиционной игрой для игроков называется система Γ { I, { X } I, { F } I }, где I {,, } множество игроков, X множество стратегий -го игрока, x X X игровые ситуации, F (x) выигрыш -го игрока в ситуации x. I Предполагаем, что все игроки стремятся максимизировать свои выигрыши. Произвольное подмножество множества I называют коалицией. В бескоалиционных играх коалициям не приписывается каких-либо стратегических возможностей или интересов, за исключением тех, что вытекают из возможностей и интересов отдельных игроков. Пример. I множество политических партий. X множество программ -ой партии. F (х) число голосов на выборах, поданных за -ю партию. -5- Лекция 4. Матричные игры

16 Бескоалиционная игра Γ называется игрой с постоянной суммой, если существует такое число c, что I F ( x) c для любого x X. Если c, то бескоалиционную игру называют игрой с нулевой суммой (антагонистические игры). Примеры. ) Игра «Червы», «Преферанс»; 2) дилемма заключенных; 3) размещения в условиях конкуренции. -6- Лекция 4. Матричные игры

17 Равновесие в бескоалиционных играх Обозначим через x ~ x ситуацию, отличающуюся от x тем, что вместо стратегии x игрока используется стратегия ~ x X : x ~ x ( x +,..., x, ~ x, x,..., x ) Ситуация x называется приемлемой для игрока, если изменяя свою стратегию, он не может увеличить свой выигрыш: F ( x x ) F ( x ) для любого x X Ситуация x, приемлемая для всех игроков, называется равновесием по Нэшу. -7- Лекция 4. Матричные игры

18 Размещение производства на сети Дано: G (V, E) взвешенный неориентированный граф, в каждой вершине находятся клиенты. w доход от обслуживания клиентов в вершине. d e длина ребра e. Игра: игроков выбирают по вершине (открывают в ней свое предприятие); для каждого клиента (вершины) отыскивается ближайшее предприятие на сети (может оказаться несколько таковых) и вычисляются доходы игроков. -8- Лекция 4. Матричные игры

19 Доход: V P P доход игрока, где, если - не ближайшее w, если - ближайшее число ближайших Найти: равновесие по Нэшу, т.е. такое решение для игроков, когда ни один из них не может увеличить свой доход, меняя решение в одиночку. -9- Лекция 4. Матричные игры

20 Пример: w, р Вопрос: Правда ли, что равновесное решение всегда существует? -2- Лекция 4. Матричные игры

21 Контрпример: w, 9, р Теорема. Для данного графа G (V, E) и множества из игроков задача распознавания «есть ли равновесное решение» является NP-полной. -2- Лекция 4. Матричные игры

22 Размещение производства и выбор цен Дано: I множество мест, где можно открывать производство J множество клиентов r бюджет клиента k c затраты игрока k на обслуживание клиента из предприятия k f затраты на открытие предприятия игроком k Игра: игроков выбирают по одному предприятию и назначают цены k } k,..., { для каждого клиента. Каждый клиент выбирает поставщика, и игроки вычисляют свои доходы Лекция 4. Матричные игры

23 Поставщик клиента : ( ) arg { c... c } второй минимальный элемент, т.е. arg ({ c... c } \{ c( ) }) 2 I J Прибыль игрока k: w ( c ) k T k Экономия клиентов: J f k k ν (,..., ) ( r ) Общественное благо: μ (,..., ) wk + ν (,..., k ) Лекция 4. Матричные игры

24 Связь с локальными оптимумами Представим задачу максимизации величины μ,..., ) как задачу целочисленного линейного программирования: ( x k y k, если игрок k открывает предприятие в противном случае, если клиент обслуживается игроком k из предприятия в противном случае -24- Лекция 4. Матричные игры

25 Задача максимизации суммарной прибыли игроков и экономии клиентов: при ограничениях: k k ( r c y ) J k I k I ax f x () x y k I y k k k k k, J, (2) x, I, J, k,...,, (3) I x k, k,...,, k k, y {,}, I, J, k,...,. (5) (4) -25- Лекция 4. Матричные игры

26 k k Окрестностью решения ( x )( y ) будем называть множество допустимых решений задачи, получаемых из данного выбором некоторого игрока и заменой его открытого предприятия на любое другое. Теорема. Между локальными максимумами задачи () (3) и равновесиями по Нэшу существует взаимно-однозначное соответствие. Следствие. Равновесие по Нэшу в игре с размещением производства и выбором цен всегда существует Лекция 4. Матричные игры


5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр Введение в матричные игры «Семейный спор» Муж и жена решают куда пойти в субботу вечером на футбол или в театр. Им небезразлично куда пойдет другой но всё-таки каждому больше хотелось бы пойти на что-то

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

Γ обозначение игры, N = { 1,

Γ обозначение игры, N = { 1, Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.. Понятие игры в нормальной форме... Игры в нормальной форме. Введем понятие игры в нормальной (стратегической) форме. Как

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр ы. е. ах Антагонистические ы. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова ы. Определение ы. е. ах Игра Γ =< I, {X i

Подробнее

Тема 11. Матричные игры

Тема 11. Матричные игры Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между

Подробнее

Лекция 2. Антагонистические игры.

Лекция 2. Антагонистические игры. Лекция 2. Антагонистические игры. 11.09.2014 1 2.1 Определение антагонистической игры 2.2 Понятие матричной игры 2.3 Выбор оптимальной стратегии в матричной игре 2.4 Ситуация равновесия в матричной игре

Подробнее

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13 Полезность ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность Полезность - мера удовлетворенности агента ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность

Подробнее

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31 Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2013 1 / 31 Пример Рассмотрим игру, похожую на покер В данный момент есть две возможности

Подробнее

Равновесие Нэша - определения

Равновесие Нэша - определения Равновесие Нэша Самый популярный принцип рационального поведения в теории некооперативных игр рекомендует в качестве рациональных исходов использовать ситуации равновесия Нэша. Они характеризуются тем,

Подробнее

Пусть матричная игра задана матрицей, в которой все элементы положительны. Цена игры положительна: да. нет. нет однозначного ответа.

Пусть матричная игра задана матрицей, в которой все элементы положительны. Цена игры положительна: да. нет. нет однозначного ответа. Теория игр 2012-2013 уч. год Матричная игра это частный случай антагонистической игры, при котором обязательно выполняется одно из требований: один из игроков имеет бесконечное число стратегий. оба игрока

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР. Е.В. Яроцкая, к.э.н., доцент кафедры экономики ТПУ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР. Е.В. Яроцкая, к.э.н., доцент кафедры экономики ТПУ 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР 2 Тема 1: Теоретические основы теории игр 1.1. Предмет и задачи теории игр 1.2. Классификация видов игр 3 Теория игр это раздел математики, изучающий математические модели

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание Контрольная работа Теория игр Оглавление Задание Задание 9 Задание 3 4 Задание 4 9 Задание 5 3 Задание Сельскохозяйственное предприятие планирует посеять на площади 000 га одну или две (в равной пропорции)

Подробнее

Билет Алгоритмы и оценки их качества. Трудоемкость, память, точность. Примеры полиномиальных и экспоненциальных алгоритмов.

Билет Алгоритмы и оценки их качества. Трудоемкость, память, точность. Примеры полиномиальных и экспоненциальных алгоритмов. Билет 1 1. Алгоритмы и оценки их качества. Трудоемкость, память, точность. Примеры полиномиальных и экспоненциальных алгоритмов. 2. Можно ли в сетевой модели сначала найти поздние времена наступления событий,

Подробнее

2.2. Смешанные стратегии

2.2. Смешанные стратегии 1 2.2. Смешанные стратегии Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший,

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее

Теория игр (заметки к докладу)

Теория игр (заметки к докладу) Теория игр заметки к докладу Александров А. В. гр. 539 Надточий А. М. гр. 539 СПбГУ ИТМО 009 с http://ran.fmo.ru/cat/ Основные понятия Игра: G Игроки:... n Ходы: M M... M Играющий на -м ходе: {0... n}

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Ýêîíîìèêà УДК 5985 ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 00 АИ Чегодаев* Ключевые слова: чистые

Подробнее

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г.

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 14 апреля 2016 г. Аннотация. В докладе матричные игры анализируются с точки зрения линейного программирования. Приведены два

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

Глава 3. Информационные аспекты и равновесие Позиционные игры.

Глава 3. Информационные аспекты и равновесие Позиционные игры. Глава 3. Информационные аспекты и равновесие. 3.. Позиционные игры. В главе 2 рассматривалась игра в нормальной форме. К такой форме в принципе может быть сведен динамический (т. е. протекающий в течение

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента»,

Подробнее

Просеминар по математической логике и теории алгоритмов

Просеминар по математической логике и теории алгоритмов Просеминар по математической логике и теории алгоритмов http://proseminar.math.ru Игры и стратегии - 2 Пусть задана игра в нормальной форме. Смешанной стратегией для игрока m называется распределение вероятностей

Подробнее

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Позиционные игры / 25

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Позиционные игры / 25 Домашнее задание 8. Имеется два игрока, которым нужно разделить 100 долларов. Игрок 1 предлагает сумму x [0, 100] игроку 2. Если игрок 2 соглашается, то он получает x, а игрок 1 получает 1 x. Если он не

Подробнее

Потоки в сетях. Теорема о максимальном потоке.

Потоки в сетях. Теорема о максимальном потоке. Зенкевич НА Материалы к установочной лекции Вопрос 35 Потоки в сетях Теорема о максимальном потоке Основные понятия Определение сети N = - конечное (заданное) множество узлов ( N = n ) и пусть u : N N

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ТЕОРИЯ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ Е. Р. Даниловцева, В. Г. Фарафонов, Г. Н. Дьякова ТЕОРИЯ ИГР. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Часть 1. Бескоалиционные игры в нормальной форме. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Часть 1. Бескоалиционные игры в нормальной форме. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К В Григорьева Методические указания Часть Бескоалиционные игры в нормальной форме Факультет ПМ-ПУ СПбГУ г ОГЛАВЛЕНИЕ ЗАНЯТИЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ ИГР КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР ИГРА В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ РАВНОВЕСИЕ

Подробнее

Задача размещения производства

Задача размещения производства Задача размещения производства Дано: I = {1,, m} множество районов (городов, областей), где можно открыть производство некоторой продукции; J = {1,, n} множество потребителей этой продукции (клиентов);

Подробнее

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку.

Пример из лекции. Торговец на сумму 250 у.е. может закупить зонтики по цене 0,5 у.е. за штуку и солнечные очки по цене 0,2 у.е. за штуку. торговец Пример из лекции Торговец на сумму у.е. может закупить зонтики по цене у.е. за штуку и солнечные очки по цене у.е. за штуку. Он продает зонтики по у.е. за штуку очки по у.е. за штуку. Если идет

Подробнее

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов

Подробнее

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» П. С. Гончарь Л. Э. Гончарь Д. С. Завалищин ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Илья Кацев 1 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН 2015 Конечное число стратегий Конечное число стратегий оптимальные стратегии

Подробнее

Инвестиционная политика

Инвестиционная политика УДК 336.051 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИНВЕСТОРА НА РОССИЙСКОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ИГР Н. А. КЛИТИНА, ассистент кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mal: kltnanna@yandex.

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫБОРА РЕШЕНИЙ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫБОРА РЕШЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра математического обеспечения ЭВМ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Подробнее

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Теория игр

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Теория игр Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Теория игр к.ф.-м.н., доц. Павел Сергеевич Волегов Основные понятия и определения

Подробнее

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 202 Т. 4 3 С. 475 482 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 59.833 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ

ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ Г.С. Курганская Иркутский государственный университет, Облачные технологии стали уже общепринятым инструментом работы в Интернет. В основном, это относится

Подробнее

Комбинаторные алгоритмы. Локальный поиск

Комбинаторные алгоритмы. Локальный поиск Комбинаторные алгоритмы Локальный поиск 1 Простейшая задача o размещениях Дано: Полный граф G (F D, E), стоимости вершин : F Q и ребер : E Q такие, что для любых трех вершин,, k F D выполнено,k,,k. Найти

Подробнее

Двойственность в линейном программировании

Двойственность в линейном программировании Двойственность в линейном программировании Двойственными называются пары следующих задач: z b b, k k,, r r, w, k k, b, r r, Принципы составления двойственных задач: Если исходная задача на максимум, то

Подробнее

БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ

БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет К В ГРИГОРЬЕВА БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ Часть Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

1. Некооперативные игры

1. Некооперативные игры Колесник Г.В. Теория игр. Учебное пособие. Тверь: ТвГУ, 29. 133 c. ISBN 978-5-769-513- 1. Некооперативные игры 1.1. Нормальная форма игры Теория игр это раздел прикладной математики, исследующий построение

Подробнее

Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта

Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта Лекция Методы принятия управленческих решений в условиях конфликта ЮТИ ТПУ Кафедра информационных систем Направление 09.04.03 Прикладная информатика 2016 1 Основные понятия Пусть соперником при ПР является

Подробнее

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 1 Аналитический метод Графический метод Аналитический метод решения игры 2х2 2 A 1) оптимальное решение в смешанных стратегиях: S A = p 1, p 2 и S

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР. A q = ue; p T B = ve T ; p i = 1; q j = 1

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР. A q = ue; p T B = ve T ; p i = 1; q j = 1 УДК 519.85 Н. С. В а с и л ь е в ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР Предложен эффективный игровой алгоритм поиска равновесия по Нэшу в биматричных играх, основанный на методах линейного программирования

Подробнее

Экзаменационная работа по теории игр 2013 года. Решения.

Экзаменационная работа по теории игр 2013 года. Решения. Экзаменационная работа по теории игр года Решения Задача Два игрока играют в следующую игру Игрок называет целое число от до Игрок добавляет к числу, которое назвал игрок, целое число от до и называет

Подробнее

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20 Домашнее задание 2 Оптимальные стратегии (x, y ) называются вполне смешанными, если x i > 0, y j > 0 для всех i, j Игра, у которой любые оптимальные стратегии игроков вполне смешанные, называется вполне

Подробнее

x i z ij Найти: подмножество S I, S p, открываемых филиалов, которое дает максимум суммарной прибыли. Переменные задачи:

x i z ij Найти: подмножество S I, S p, открываемых филиалов, которое дает максимум суммарной прибыли. Переменные задачи: Задача о размещении филиалов банка Дано: I = {1,, m} множество мест (районов, городов, округов), где можно открывать филиалы; J = {1,, n} множество потенциальных клиентов; f 0 расходы на открытие филиала.

Подробнее

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. Лекция 7 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один

Подробнее

12.1. Игра в форме характеристической функции

12.1. Игра в форме характеристической функции Тема 12. Кооперативное поведение Цель: познакомить читателя с понятием кооперативной игры, дать определение основных элементов игры в форме характеристической функции, дать представление об основных принципах

Подробнее

МАТРИЧНАЯ ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА СТРАТЕГИИ АУДИТА

МАТРИЧНАЯ ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА СТРАТЕГИИ АУДИТА ВА Родин, доктор физикоматематических наук, профессор ВС Струков МАТРИЧНАЯ ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА СТРАТЕГИИ АУДИТА Налоговые органы, получив налоговые декларации, прежде всего, должны решить задачу, какие

Подробнее

Методы теории игр в задачах принятия решений

Методы теории игр в задачах принятия решений «Оптимизация и математические методы принятия решений» ст. преп. каф. СС и ПД Владимиров Сергей Александрович Лекция 11 Методы теории игр в задачах принятия решений Введение Учебные вопросы: С О Д Е Р

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) М.Л. ОВЕРЧУК ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63)

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63) УДК 0 Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà 00 ¹ (6) ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ И ПРИНЦИПА ДОМИНИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 00 АИ Чегодаев Ключевые слова:

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

Теория принятия решений

Теория принятия решений Теория принятия решений Литература О.И. Ларичев «Теория и методы принятия решений» А.И. Орлов «Теория принятия решений» А.Т. Зуб «Принятие управленческих решений» А.Г. Мадера «Моделирование и принятие

Подробнее

Задачи о покрытии Дано: Найти: Обозначения: Переменные задачи: Лекция 14. Задачи о покрытии

Задачи о покрытии Дано: Найти: Обозначения: Переменные задачи: Лекция 14. Задачи о покрытии Задачи о покрытии Дано: Сеть дорог и конечное множество пунктов для размещения постов ГАИ. Каждый пункт может контролировать дорогу на заданном расстоянии от него. Известно множество опасных участков на

Подробнее

Задачи о покрытии Дано: Найти: Обозначения: Переменные задачи: Лекция 12. Дискретные задачи размещения. Часть 1

Задачи о покрытии Дано: Найти: Обозначения: Переменные задачи: Лекция 12. Дискретные задачи размещения. Часть 1 Задачи о покрытии Дано: Сеть дорог и конечное множество пунктов для размещения постов ГАИ. Каждый пункт может контролировать дорогу на заданном расстоянии от него. Известно множество опасных участков на

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки 02.03.01

Подробнее

Алгоритмы для NP-трудных задач Лекция 9: Приближенные алгоритмы

Алгоритмы для NP-трудных задач Лекция 9: Приближенные алгоритмы Алгоритмы для NP-трудных задач Лекция 9: Приближенные алгоритмы А. Куликов Computer Science клуб при ПОМИ http://logic.pdmi.ras.ru/ infclub/ А. Куликов (Computer Science клуб) 9. Приближенные алгоритмы

Подробнее

План лекции. с/к Эффективные алгоритмы Лекция 18: Задача полуопределённого программирования. План лекции. Положительно полуопределенные матрицы

План лекции. с/к Эффективные алгоритмы Лекция 18: Задача полуопределённого программирования. План лекции. Положительно полуопределенные матрицы План лекции с/к Эффективные алгоритмы Лекция 18: Задача полуопределённого А. Куликов 1 Задача полуопределённого Задача о максимальном разрезе Computer Science клуб при ПОМИ http://logic.pdmi.ras.ru/ infclub/

Подробнее

ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ

ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ В результате изучения данной главы студенты должны: знать определения и свойства Марковских процессов с непрерывным

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Линейное программирование. 3. Теория двойственности линейного программирования

ЛЕКЦИЯ 3. Линейное программирование. 3. Теория двойственности линейного программирования ЛЕКЦИЯ 3 Линейное программирование 1. Базисно допустимые решения 2. Критерий разрешимости 3. Теория двойственности линейного программирования -1- ЛП: понятие базисного допустимого решения (б.д.р.). Базис

Подробнее

Тема: Предел функции

Тема: Предел функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции предел функции и его свойства, бесконечно большие функции и их свойства Лектор Янущик ОВ 215 г 3 Предел функции 1 Определение предела

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной

Подробнее

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике

Часть II Модели оптимального управления в экономике. 7. Теория игр и игровое моделирование в экономике Часть II Модели оптимального управления в экономике К содержанию 7 Теория игр и игровое моделирование в экономике 7 Основные понятия теории игр Теория игр это раздел математики, в котором исследуются математические

Подробнее

РЕФЛЕКСИВНЫЙ АНАЛИЗ БИМАТРИЧНЫХ ИГР КАК РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА В МОДЕЛЯХ ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ

РЕФЛЕКСИВНЫЙ АНАЛИЗ БИМАТРИЧНЫХ ИГР КАК РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА В МОДЕЛЯХ ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ РЕФЛЕКСИВНЫЙ АНАЛИЗ БИМАТРИЧНЫХ ИГР КАК РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА В МОДЕЛЯХ ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ В. В. Карюкин, Ф. С. Чаусов ВУНЦ «Военноморская академия», профессор, доктор физикоматематических наук ВУНЦ «Военноморская

Подробнее

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры к.ф.-м.н., доц. Павел Сергеевич Волегов Матричные игры Рассмотрим

Подробнее

ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТЬЮ

ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТЬЮ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТЬЮ -й игрок y y -й игрок y y y y -й игрок r y y y r y y r y y y -й игрок y y r y y r y y y r y y y Принцип максимального гарантированного результата Принцип максимального

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 22.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Теория двойственности Линейная алгебра (лекция 15) 22.12.2012 2 / 28 Линейное программирование Каждой задаче линейного

Подробнее

лекции 2 4 Лекция. Матроиды

лекции 2 4 Лекция. Матроиды Матроиды пересечение матроидов лекции 2 4 1 Системой подмножеств S = ( E, I) называется пара конечное множество E вместе с семейством I подмножеств множества E, замкнутым относительно включения, т.е. если

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР 1.1 МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

ТЕОРИЯ ИГР 1.1 МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ ТЕОРИЯ ИГР 1.1 МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ В экономике и управлении часто встречаются ситуации, в которых сталкиваются две или более стороны, преследующие различные цели, причем результат, полученный каждой из сторон

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А.

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А. Федеральное агентство по образованию Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им. П. А. Соловьева ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ ТЕОРИЯ ИГР Программа учебной дисциплины и методические указания

Подробнее

1.1. Определение цепи Маркова. Свойства матриц перехода.

1.1. Определение цепи Маркова. Свойства матриц перехода. 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

с/к Эффективные алгоритмы Лекция 14: Линейное программирование

с/к Эффективные алгоритмы Лекция 14: Линейное программирование с/к Эффективные алгоритмы Лекция 14: Линейное программирование А. Куликов Computer Science клуб при ПОМИ http://logic.pdmi.ras.ru/ infclub/ А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 14. Линейное программирование 1

Подробнее

Динамические игры. Илья Кацев 1. 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН

Динамические игры. Илья Кацев 1. 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН Динамические игры Илья Кацев 1 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН 2015 Разбор д/з Приведите пример игры, где нет ситуаций сильного равновесия в смешанных стратегиях. Разбор д/з

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Определение 1. Событие это множество возможных исходов.

Определение 1. Событие это множество возможных исходов. Раскин М. А. «Условные вероятности..» L:\materials\raskin Мы рассматриваем ситуацию, дальнейшее развитие которой мы не можем предсказать точно. При этом некоторые исходы (сценарии развития) для текущей

Подробнее

Задачу нахождения потока максимальной мощности (или просто максимального потока) можно записать в следующем виде:

Задачу нахождения потока максимальной мощности (или просто максимального потока) можно записать в следующем виде: Глава 8. ПОТОКИ В СЕТЯХ В данной главе, если не оговорено дополнительно, под сетью будем понимать связный ориентированный граф G = (V, A) без петель и мультидуг, с одним источником s V и одним стоком t

Подробнее

Задачи для внутреннего экзамена по теории игр

Задачи для внутреннего экзамена по теории игр Задачи для внутреннего экзамена по теории игр Знаком «*» выделены задачи повышенной трудности. Модель 1. Кооперативный рынок. Рассмотрим следующую кооперативную игру, моделирующую рынок одного ресурса

Подробнее

1 ЧАСТЬ 1: ТЕОРИЯ ИГР

1 ЧАСТЬ 1: ТЕОРИЯ ИГР 1 ЧАСТЬ 1: ТЕОРИЯ ИГР 2 Рекомендуемая литература: 1. Петросян Л. А. Теория игр. 2-е изд. СПб. : БХВ- Петербург, 2012. 424 с. 2. Колесник Г. В. Теория игр. 3-е изд. М. : Либроком, 2012. 152 с. 3. Лабскер

Подробнее

Конечная игра, в которой игрок A имеет m стратегий, а игрок B имеет n стратегий, называется игрой m на n и обозначается.

Конечная игра, в которой игрок A имеет m стратегий, а игрок B имеет n стратегий, называется игрой m на n и обозначается. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В ЭКОНОМИКЕ Натёсова А.А., Фирсова Е.В. Коломенский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Московский политехнический

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

Основные и самые популярные методы решения матричных игр ограничены в возможностях и применимы только для игр с матрицей выигрышей размерности

Основные и самые популярные методы решения матричных игр ограничены в возможностях и применимы только для игр с матрицей выигрышей размерности РЕШЕНИЕ ИГРЫ m х n МЕТОДОМ ШЕПЛИ-СНОУ Мардашкина А.А. Финансовый университет при Правительстве РФ г. Москва Научный руководитель к.ф-м.н., проф. Лабскер Л. Г. На практике часто приходится сталкиваться

Подробнее

Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных. 1. Основные понятия. Функции нескольких переменных. Исследование функции нескольких переменных проведем на примерах функций двух и трех переменных, так как все данные определения и полученные результаты

Подробнее

Ширшова Е., Лыкова Н.П. ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет» ТЕОРИЯ ИГР КАК ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Ширшова Е., Лыкова Н.П. ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет» ТЕОРИЯ ИГР КАК ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД Ширшова Е., Лыкова Н.П. ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет» Филиал в г. Самаре ТЕОРИЯ ИГР КАК ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД Теория игр (theory of games), раздел математики, изучающий

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

Лекция 1. Понятие случайного процесса. Процесс Пуассона

Лекция 1. Понятие случайного процесса. Процесс Пуассона Лекция 1 Понятие случайного процесса. Процесс Пуассона В теории вероятностей основными объектами исcледований являются случайные величины и векторы. Напомним их определение. Пусть задано некоторое вероятностное

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурностроительный К. В. ГРИГОРЬЕВА

Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурностроительный К. В. ГРИГОРЬЕВА Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурностроительный университет К. В. ГРИГОРЬЕВА ЧАСТЬ. КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ И ИГРЫ В ПОЗИЦИОННОЙ ФОРМЕ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее