определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1."

Транскрипт

1 Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. равны, если их знаки и численные значения, получающиеся при измерении одной и той же единицы измерения, одинаковы. Следовательно, в силу равноправия координатных систем, в любой системе координат скалярная физическая величина будет определяться одним и тем же числом, φ(m) = φ (M), где φ(m) и φ (M) значение заданной скалярной физической величины в одной и той же точке М пространства в координатных системах К и К' соответственно (рис.1). Векторами называются физические величины, обладающие определенным численным значением (модулем) a и направлением в пространстве и d c подчиняющимся определенным законам b сложения, а именно, правилу векторного треугольника, или, что эквивалентно, правилу Рис. 2. параллелограмма: c = a + b, a + d = b (рис.2). Два вектора a и b одинаковой размерности равны, если их модули одинаковы и направления совпадают. Модуль вектора является скаляром и обозначается a или a. Вектор, антипараллельный данному вектору a и имеющий такой же модуль, называется противоположным вектору a и обозначается a. Нулевым вектором 0 называется вектор, модуль которого равен 0. Такому вектору можно приписать произвольное направление в пространстве. Произведением вектора a на число λ 0 называется вектор b с модулем b = λ a, причем b a при λ > 0 и b a при λ < 0.

2 Из приведенных выше правил сложения векторов и умножения их на число следуют утверждения: 1. a + b = b + a (сложение векторов коммутативно) 2. a + b + c = a + b + c (сложение векторов ассоциативно) 3. a + 0 = a (существование нулевого вектора) 4. a + ( a ) = 0 (существование противоположного вектора) 5. (λ 1 λ 2 ) a = λ 1 λ 2 a (умножение ассоциативно) 6. (λ 1 + λ 2 ) a = λ 1 a + λ 2 a (умножение на число дистрибутивно) 7. λa + b = λ a + λ b (сложение векторов дистрибутивно) 8. 0 a = a 0 = 0 Векторы a 1, a 2,, a n называются линейно зависимыми, если существуют скаляры c 1, c 2,, c n не все равные нулю, такие, что c 1 a 1 + c 2 a c n a n = 0, то есть если существует линейная комбинация n векторов, обращающаяся в нуль. Коллинеарными называются два ненулевых вектора, лежащих на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два линейно зависимых вектора параллельны между собой, т.е. коллинеарны. Векторы, лежащие в одной плоскости, называются компланарными. Три линейно зависимых вектора лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Векторным базисом трехмерного пространства называется система любых трех линейно независимых векторов e 1, e 2, e 3. В силу свойств разложения можно любой вектор a единственным образом представить в виде линейной комбинации: a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3. Коэффициенты a 1, a 2, a 3 называются координатами или компонентами вектора a в базисе e 1, e 2, e 3. Если базисные вектора e 1, e 2, e 3 взаимно ортогональны, равны по модулю единице и не зависят от выбора начала системы отсчета, которую они образуют, то они называются ортами прямоугольной системы координат. В этой системе координат орт, направленный по оси Х принято обозначать через ı, по оси Y через ȷ, по оси Z через k, а проекции вектора a a x, a y и a z. Для сокращения записи также используют следующие обозначения: ı e 1, x x 1, a x a 1 ȷ e 2, y x 2, a y a 2

3 k e 3, z x 3, a z a 3 Тогда a = a x ı + a y ȷ + a z k = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 = a i e i. (1.1) Скалярным произведением векторов a и b называется скаляр, обозначаемый как a, b или a b и равный: a, b = a b cos a, b = ax b x + a y b y + a z b z = (1.2) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Свойства скалярного произведения: 1. (a, a ) = a 2 0, причем (a, a ) = 0 если a = 0 2. a, b = b, a (коммутативность) 3. a + b, c = (a, c ) + b, c (дистрибутивность) 4. λa, b = λa, b Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов a и b : a, b = 0. Векторным произведением a, b двух векторов называется c a b ϕ Рис. 3. такой вектор c = a, b, модуль которого вычисляется по формуле: c = a b sin a, b, а направление так, что если смотреть с конца вектора c на плоскость векторов a и b, то кратчайший поворот от вектора векторов a к вектору b происходит против часовой стрелки. 3 i=1 ı ȷ k e 1 e 2 e 3 a, b = a x a y a z = a 1 a 2 a 3 b x b y b z b 1 b 2 b 3 a, b = a b sin a, b (1.3) В декартовой системе координат, имеют место следующие тождества: [ı, ȷ ] = k, [e 1, e 2 ] = e 3 ȷ, k = ı, [e 2, e 3 ] = e 1 k, ı = ȷ, [e 3, e 1 ] = e 2

4 Система координат, заданная этими соотношениями называется правой системой координат. Если система координат задана соотношениями [ı, ȷ ] = k то она является левой. Свойства векторного произведения: 1. a, b = b, a (антикоммутативность) 2. a + b, c = (a, c ) + b, c (дистрибутивность) 3. если векторы a и b параллельны, то a, b = 0. Смешанным произведением называется скаляр, построенный по следующему правилу: a x a y a z a 1 a 2 a 3 a, b, c = b x b y b z = b 1 b 2 b 3 c x c y c z c 1 c 2 c 3 Из свойств определителя, следует, что 1. a, b, c = b, [c, a ] = c, a, b (1.4) 2. a, b, a = b, [a, a ] = 0 Двойное векторное произведение это вектор, образованный из тройки векторов одним из следующих способов: a, b, c или a, b, c. Поскольку каждый из этих способов дает различные векторы, двойное векторное произведение не обладает свойством ассоциативности. Непосредственной проверкой, разложив векторы, можно получить, что a, b, c = b (a, c ) + c a, b. Практическая часть. Пример 1. Доказать терему косинусов в треугольнике. Решение. C a Представим стороны треугольника ABC B в виде векторов CB = a, AC = b, AB = c. b c Тогда a + b = c. Возведем левую и A a правую части в квадрат, получим: a 2 + b 2 + 2a, b = c 2 Рис. 4. Расписывая скалярное произведение по формуле a, b = a b cos a, b, получим c 2 = a 2 + b 2 + 2a b cos a, b = a 2 + b 2 2a b cos(π φ) =

5 где φ = ACB. = a 2 + b 2 2a b cosφ, Отсюда cosφ = a2 + b 2 c 2. 2a b Пример 2. Доказать, что cos(α + β) = cosα cosβ sinα sinβ Указание: применить формулу a, b = a b cos a, b к двум векторам a и b, модули которых равны 1, лежащим в плоскости (XY) и составляющим углы α и β с осью X. Решение. Расположим два единичных вектора a и b в плоскости XY, Y обозначим углы между векторами a и b c b ȷ осью X через α и β, соответственно (рис.5). β Тогда скалярное произведение двух ı X векторов согласно (1.2) можно представить α как a, b = a b cos a, b = ax b x + a a y b y. Пользуясь определением Рис.5. К доказательству тригонометрических функций косинуса и формулы косинуса синуса углов α и β, а также тем, что суммы двух углов модули векторов a и b равны 1, получим: cos(α + β) = a x b x + a y b y == cosα Y cosβ + ( sinα) sinβ Отсюда следует, что cos(α + β) = cosα cosβ sinα sinβ a Пример 3. Доказать, что sin(α β) = ȷ sinα cosβ cosα sinβ α b β X Решение. ı Как и в предыдущем примере, Рис.6. К доказательству рассмотрим два единичных вектора a и b формулы синуса в плоскости XY и обозначим углы между разности двух углов векторами a и b и осью X через α и β соответственно (рис.6). Векторное произведение, согласно (1.3) можно расписать как: ı ȷ k b, a = b x b y 0 = k b x a y b y a x a x a y 0

6 В этом случае, из определения векторного произведения следует, что результирующий вектор направлен вдоль оси Z и b x a y byax>0. Тогда модуль векторного произведения: b, a = b x a y b y a x = b a sin a, b Отсюда с учетом того, что вектора a и b по модулю равны 1, а также пользуясь определениями синуса и косинуса углов, получим: sin a, b = sin(α β) = bx a y b y a x = = cosβ sinα sinβ cosα Таким образом, формула доказана. Пример 4. Найти угол между векторами a и b, если a = 2ı + ȷ, b = ı ȷ k Решение. Воспользуемся определением (1.2): a, b = a b cos a, b = ax b x + a y b y + a z b z a, b = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 Следовательно, a = a x 2 + a y 2 + a z 2 = = 5 b = b x 2 + b y 2 + b z 2 = = 3, a, b cos a, b = a b = = 1 15 Поскольку угол между векторами меняется от 0 до π, угол 1 a, b = arccos Пример 5. Найти площадь и высоту параллелограмма, построенного на векторах a = 2ı + ȷ, b = ı ȷ k Решение. Площадь параллелограмма (рис.7) C B S = a h = b a sin a, b = a, b b h Найдем векторное произведение: A ı ȷ k ı ȷ k a D a, b = a x a y a z = = Рис. 7. b x b y b z 1 1 1

7 = ı + 2ȷ 3k. Тогда площадь параллелограмма: S = a, b = = 14. Высота параллелограмма: h = S a = 14 5, (a = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 5) Пример 6. Разложить вектор s = a + b + c по трем некомпланарным векторам m = a + b 2c, n = a b, p = 2b + 3c. Решение. Поскольку при переходе из одной системы координат в другую сам вектор остается неизменным, то s = a + b + c = xm + yn + zp = = xa + b 2c + ya b + z2b + 3c Здесь x, y, z координаты вектора s в системе векторов m, n и p. Перегруппируем правую часть: s = a + b + c = (x + y)a + (x y + 2z)b + ( 2x + 3z)c. Сравнивая коэффициенты при векторах a, b и c, получим систему уравнений: x + y = 1 x y + 2z = 1 2x + 3z = 1 Решим систему методом Крамера. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных: = = 10 Определители = = 4, 2 = = 6, = = 6 2 Отсюда 0 1 x = 1 = 2 5, Таким образом, y = 2 = 3 5, z = 3 = 3 5. s = 2 5 m n p

8 Задание 1. Найти угол между векторами a и b, если 1. a = 2ı + ȷ, b = ȷ + 2k 2. a = 5ı ȷ k, b = 5ı + ȷ + k 3. a = ı ȷ k, b = ı + ȷ + k 4. a = 5ı + 2k, вектор b соединяет точки А(3,-3,0) и В(3,-2,1) 5. a = ı 4k, вектор b соединяет точки А(-5,0,3) и В(2,-1,4) Задание 2. Найти площадь и высоту параллелограмма, построенного на векторах: 1. a = 2ı + k, b = ȷ + 2k 2. a = ı 5ȷ, b = ı + 3k 3. a = ı ȷ k, b = 2ı + 2ȷ + 2k 4. a = 2ı + 3ȷ + k, b = 4ı + ȷ + 2k 5. a = ı + ȷ + 3k, b = 2ı ȷ k Задание 3. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах: 1. a = 3ı + 2ȷ, b = 2ı + 3ȷ, c = ı + 2ȷ + 3k 2. a = ı + ȷ, b = ı ȷ, c = ı + ȷ + k 3. a = 2ı + k, b = 4ȷ, c = 2ı 3ȷ k 4. a = ı + 4ȷ 3k, b = 3ı, c = ı ȷ 5. a = 5k ı, b = 3ȷ ı, c = 3ȷ 4k Задание 4. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках: 1. A(0,0,0), B(3,-4,1), C(2,3,5), D(6,0,-3) 2. A(1,-1,0), B(2,3,1), C(-1,1,1), D(4,3,-5) 3. A(2,0,3), B(1,1,1), C(4,6,6), D(-1,2,3) 4. A(-3,1,1), B(0,-4,-1), C(5,1,3), D(4,6,-2) 5. A(2,1,-4), B(-3,-5,6), C(0,-3,-1), D(-5,2,-8) 6. A(1,1,4), B(2,1,2), C(1,-1,2), D(6,-3,8) 7. A(-1,3,2), B(0,0,0), C(-1,3,0), D(0,-1,0) 8. A(-1,2,-1), B(-3,0,1), C(-4, 1,3), D(1,1,0) 9. A(1,3,1), B(2,1,-1), C(1,-1,2), D(0,0,0) 10. A(-1,0,3), B(-2,0,1), C(1,-1,2), D(-2,-3,5) Задание 5. Даны векторы a, b, c. Образуют ли эти векторы базис? 1. a = ı + ȷ, b = ı ȷ, c = ı + ȷ + k 2. a = 12ı 2ȷ, b = ı + ȷ, c = 2ȷ + 3k 3. a = 2ı + k, b = 6ı 3k, c = 15ı + ȷ 4k

9 4. a = 2ı 4ȷ 6k, b = 2ı 4ȷ k, c = 2ȷ 5. a = 5k + 2ı, b = 3ȷ 2ı, c = 3ȷ 2k Задание 6. Вычислить a, b и a, b для векторов: 1. a = 5ı + 6ȷ + 3k, b = ı + ȷ 7k 2. a = 5ı 4ȷ + 3k, b = ı + 3ȷ 3k 3. a = ı + ȷ + k, b = ı + 2ȷ + 3k 4. a = ı ȷ + k, b = 10ı 10ȷ + 10k 5. a = ı + 2ȷ + 3k, b = 3ı + 2ȷ + k Задание 7. Вычислить c, a, b для векторов: 1. a = 11ı 6ȷ + 2k, b = 10ı 7k, c = 3ı 2. a = ı ȷ + 2k, b = 10ı 7k, c = 3ı + 2ȷ 3. a = 10ı 5ȷ + k, b = ı + ȷ + k, c = 2ı 4. a = 2ı 5ȷ + k, b = 10ı, c = ı + ȷ 5. a = ı ȷ + k, b = 3ı + 2ȷ + k, c = ı ȷ Задание 8. Показать прямым вычислением, что a, b, c a, b, c : 1. a = 11ı 6ȷ + 2k, b = 10ı 7k, c = 3ı 2. a = ı ȷ + 2k, b = 10ı 7k, c = 3ı + 2ȷ 3. a = 10ı 5ȷ + k, b = ı + ȷ + k, c = 2ı + 3ȷ 4. a = 10ı 5ȷ + k, b = 10ı, c = ı + ȷ 5. a = ı + ȷ + k, b = 3ı + 2ȷ + k, c = ı + ȷ Задание 9. Показать прямым вычислением, что a, b, c = = b (a, c ) c a, b : 1. a = 11ı 6ȷ + 2k, b = 2ı 7k, c = 2ı + 3ȷ 2. a = ı + ȷ + k, b = 2ı 3k, c = 2ȷ 3. a = ı + ȷ + k, b = ı ȷ k, c = ı + ȷ 4. a = ı ȷ + 2k, b = ı + ȷ + k, c = 3ı 5. a = ı + ȷ + k, b = 2ı 2ȷ 3k, c = 3ı + 2ȷ Задание 10. Доказать, что cos(α β) = cosα cosβ + sinα sinβ

10 Указание: применить формулу a, b = a b cos a, b к двум векторам a и b, модули которых равны 1, лежащим в плоскости (XY) и составляющим углы α и β с осью X. Задание 11. Доказать, что sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ Задание 12. Вычислить скалярное произведение a, b, если 1. a = p q, b = 8p + 2q ; 2. a = 3p 2q, b = p + 4q ; 3. a = 12p + 2q, b = 6p 7q ; 4. a = 5p + 8q, b = 2p 10q, здесь p и q единичные взаимно перпендикулярные векторы. Задание 13. Разложить векторы 1. s = a + b + 4c 2. s = a b c 3. s = 2a b + 3c 4. s = a + 2b c 5. s = 3a 2b + c по трем некомпланарным векторам: 1. m = a + b 2c, n = a b, p = 2b + 3c 2. m = 2a + 3b, n = a + b, p = b + c 3. m = 2a b + c, n = a + c, p = 2b 3c 4. m = a 2c, n = a + b, p = 2b 3c 5. m = 3b c, n = a c, p = b + 2c

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Лекция 3: Скалярное произведение векторов

Лекция 3: Скалярное произведение векторов Лекция 3: Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции вводится

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

11. Скалярное произведение векторов

11. Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение скалярного произведения векторов Материал этого параграфа, как и предыдущего,

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I

КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» О. В. Шереметьева КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Учебно-методическое пособие Петропавловск-Камчатский

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Лекция 1.03 Кинематика твердого тела

Лекция 1.03 Кинематика твердого тела Лекция Кинематика твердого тела Кинематика твердого тела Поступательное движение Твердым телом или неизменяемой системой точек называется трехмерная неизменяемая среда элементами которой служат точки Неизменяемость

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» К. А. Решко, Л. И. Рыдевская ВЕКТОРЫ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Учебно-методические

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ

Подробнее

на множестве векторов Понятие линейного пространства

на множестве векторов Понятие линейного пространства Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Векторы. Линейные операции на множестве векторов Понятие линейного пространства Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту: ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы учитесь

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский Федеральный Университет» Институт математики и механики им НИ Лобачевского АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Учебное пособие I-II семестры Курс лекций для

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

13. Смешанное произведение векторов

13. Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Вращательное движение. Равномерное движение точки по окружности. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение.

ЛЕКЦИЯ 3. Вращательное движение. Равномерное движение точки по окружности. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение. 1 ЛЕКЦИЯ 3 Вращательное движение. Равномерное движение точки по окружности. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение. Равномерное движение точки по окружности При равноускоренном движении частица движется

Подробнее

Вопросы к зачёту по математике. 9 класс 1 семестр

Вопросы к зачёту по математике. 9 класс 1 семестр Вопросы к зачёту по математике. 9 класс 1 семестр Геометрия ЧАСТЬ 1 (без доказательства) 1. Дайте определение вектора. Дайте определение нулевого вектора.. Дайте определение длины вектора. 3. Дайте определение

Подробнее

7 класс ( учебный год). Часть 1. Теория и примеры решения задач. Материальная точка. Тело отсчета. Декартова система координат

7 класс ( учебный год). Часть 1. Теория и примеры решения задач. Материальная точка. Тело отсчета. Декартова система координат 7 класс (2016-17 учебный год). Занятие 1. Введение в кинематику. Равномерное прямолинейное движение Часть 1. Теория и примеры решения задач Материальная точка. Тело отсчета. Декартова система координат

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я системы координат

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я системы координат А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я системы координат ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов управления

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Некоторые решения задач из лекции 8.

Некоторые решения задач из лекции 8. МФТИ-НМУ, 2017г. Введение в теорию групп Некоторые решения задач из лекции 8. Задача 1. Разложите пятимерное перестановочное (мономиальное) представление группы S 5 в прямую сумму двух неприводимых. Указание:

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ВВЕДЕНИЕ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА 5 ВВЕДЕНИЕ Векторы появились в математике лишь в -х годах XIX столетия в работе немецкого математика физика и филолога ермана россмана «Учение о линейном протяжении» 8г россман 89-877 был преподавателем

Подробнее

Программа по математике

Программа по математике Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

Лекция 10 V V R, (αx,y) = α(x,y) (x,x) > 0.

Лекция 10 V V R, (αx,y) = α(x,y) (x,x) > 0. Лекция 10 1 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 11 Определение Пусть V (R) ЛП над полем вещественных чисел Скалярное произведение на V это произвольная функция V V R, ставящая в соответствие упорядоченной паре векторов

Подробнее

ПРЕДПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЭКЗАМЕН для инженерных классов (11 класс) 1. Некоторые логические задачи

ПРЕДПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЭКЗАМЕН для инженерных классов (11 класс) 1. Некоторые логические задачи Методические указания для проведения предпрофессионального экзамена для инженерных классов класс ПРЕДПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЭКЗАМЕН для инженерных классов класс МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК СЕРИЯ «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» А. Н. КАНАТНИКОВ, А. П. КРИЩЕНКО АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ I

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ I Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского АТ Козинова НН Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЧАСТЬ I Учебное пособие Рекомендовано методической

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Модуль 2 «Двумерные и трёхмерные геометрические преобразования» Лекция 13 «Геометрические преобразования в трёхмерном пространстве»

Модуль 2 «Двумерные и трёхмерные геометрические преобразования» Лекция 13 «Геометрические преобразования в трёхмерном пространстве» Модуль 2 «Двумерные и трёхмерные геометрические преобразования» Лекция 13 «Геометрические преобразования в трёхмерном пространстве» к.ф.-м.н., доц. каф. ФН-11, Захаров Андрей Алексеевич, ауд.:930а(улк)

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 .5 setgray.5 setgray1 1 Консультация 3 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСА ЗАДАЧА 1. Даны полярные координаты точек A 8, 2π/3 и B6, π/3. Вычислить полярные координаты середины отрезка AB. Рис. 1.

Подробнее

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Курс I Семестр Профессия.0.0. Автомеханик. Иррациональные уравнения. х х. х х. х х. х 7 7 х. х х 0. х х. х х. х 8 х. х х. 7 х х. х х

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

А.Ю. Аникин. Лекции по линейной алгебре (2 семестр, факультеты РК, МТ)

А.Ю. Аникин. Лекции по линейной алгебре (2 семестр, факультеты РК, МТ) А.Ю. Аникин Лекции по линейной алгебре (2 семестр, факультеты РК, МТ) 1. Линейные пространства. Определение 1. Множество L называется линейным (или векторным) пространством, а его элементы a, b,... L векторами,

Подробнее

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски)

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) п/п Содержание материала Четырехугольники Колво часов сроки приме чание

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

n = или k = k n называется единичным вектором

n = или k = k n называется единичным вектором Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

векторы ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович

векторы ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я векторы Г Е О М Е Т Р И Я ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов управления Санкт-Петербург

Подробнее

ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß Â ÏÐÈÌÅÐÀÕ È ÇÀÄÀ ÀÕ

ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß Â ÏÐÈÌÅÐÀÕ È ÇÀÄÀ ÀÕ Ñ. Â. Ðåçíè åíêî ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß Â ÏÐÈÌÅÐÀÕ È ÇÀÄÀ ÀÕ àñòü 1 УЧЕБНИК И ПРАКТИКУМ ДЛЯ СПО 2-е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного

Подробнее

Ликбез по тригонометрии

Ликбез по тригонометрии Ликбез по тригонометрии Б. А. Баев (под редакцией А. В. Пастора) Мотивация Представим, что у нас есть треугольник BC со сторонами B =, BC =, BC = 60. Из первого признака равенства треугольников (по двум

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Предварительные сведения из математики. Скалярное произведение векторов

Предварительные сведения из математики. Скалярное произведение векторов Предварительные сведения из математики Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, которое равно произведению их модулей на косинус угла между ними. a b = a

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 1. Е.А. Алашеева

МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 1. Е.А. Алашеева ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра высшей математики

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

векторы ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович

векторы ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я векторы Г Е О М Е Т Р И Я ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов управления Санкт-Петербург

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 1 Новосибирск, 2016 г. 1 / 18 Литература Маркеев А.П. Теоретическая механика: Учебник для

Подробнее