ЗАДАЧА О РАЗЛАДКЕ ДЛЯ СКАЧКООБРАЗНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЗАДАЧА О РАЗЛАДКЕ ДЛЯ СКАЧКООБРАЗНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА"

Транскрипт

1 ЗАДАЧА О РАЗЛАДКЕ ДЛЯ СКАЧКООБРАЗНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Г.И. Салов Введение В монографиях 1, гл. IV] 2, гл. 5, 72], в статьях 3] 4] и др. рассматривались задачи скорейшего обнаружения момента θ появления изменений ( разладки ) в вероятностных характеристиках последовательности независимых случайных величин, а также винеровского и пуассоновского процессов. Позднее в работах 5] 6] были получены уравнения для апостериорной вероятности наличия разладки более общего чем пуассоновского наблюдаемого считающего (точечного) случайного процесса с зависимыми промежутками между скачками. Однако задача скорейшего обнаружения момента появления разладки в них не рассматривалась. С другой стороны, Колмогоровым, Прохоровым и Ширяевым уже в 1988 г. в работе 7] из математических проблем, связанных с задачами обнаружения изменений в вероятностных характеристиках наблюдаемых процессов, была отмечена и актуальность построения общей теории для случаев зависимых наблюдений. Чуть позже автором в работе 8] было получено рекуррентное уравнение для апостериорной вероятности наличия разладки в случае наблюдения последовательности случайных величин, которая до и после момента разладки является, в частности, марковской, и было показано, что оптимальный байесовский момент подачи сигнала тревоги о происшедшей разладке совпадает с моментом первого достижения апостериорной вероятностью некоторого уровня, вообще говоря, зависящего от текущего состояния наблюдаемой последовательности. В настоящей работе рассматривается задача о разладке для скачкообразного (кусочно постоянного) случайного процесса со значенями в достаточно общем фазовом пространстве. Получены рекуррентные уравнения для подсчета значений апостериорной вероятности наличия разладки, а также неулучшаемая оценка снизу для оптимального байесовского момента подачи сигнала тревоги о происшедшей разладке. Эти результаты предполагается использовать в последующей работе при изучении случая, когда наблюдаемый процесс до и после момента появления разладки является марковским. Будут доказаны, в частности, теоремы, которые были только сформулированы в наших докладах 9 10]. 1

2 1. Формулировки основных результатов 1. Пусть (Ω, F, P) полное вероятностное пространство, (Z, S Z ) некоторое измеримое (фазовое) пространство и Z = Z(t), t 0} наблюдаемый скачкообразный случайный процесс со значениями в этом фазовом пространстве такой, что Z(t) = Z n IT n t < T n+1 }, n=0 где T 0 = 0, T n, n 1} возрастающая последовательность случайных моментов времени, для которой lim T n = п. н., Z n Z(T n ), n 0} последовательность случайных элементов (см ]), принимающих значения из (Z, S Z ). Пусть S 0 = 0, S n = T n T n 1, n 1. Совместные (в общем случае условные) распределения пар (S n, Z n ) будут рассматриваться несколько ниже. Пространство (Z, S Z ) может быть самым общим, например, любым ( лузинским ) пространством Блекуэлла (см. 13, с. 55; 14 15]), в частности произвольным полным сепарабельным метрическим пространством Z с борелевской σ -алгеброй S Z B(Z), порожденной всеми открытыми подмножествами Z. Такая общность позволяет рассматривать ситуацию, где значениями процесса могут быть изображения. Далее будем считать, что каждая выборочная функция (траектория) процесса Z непрерывна справа относительно дискретной топологии на множестве Z. С процессом Z связано неубывающее семейство (или поток) σ -алгебр F = F t, t 0}, где F t пополнение (по мере P ) σ -алгебры σz(s); s t}, порожденной элементами Z(s) при s t. Через F обозначаем наименьшую σ - алгебру, содержащую каждую из σ -алгебр F t. Предположим, что в некоторый не известный заранее и не зависящий от течения процесса Z случайный момент θ, совпадающий с моментом одного из скачков процесса Z и имеющий конечное среднее значение Eθ <, появляются изменения в (условных) распределениях последовательности S n, Z n }. Будем называть θ моментом разладки. Задача о разладке в момент одного из скачков впервые рассматривалась, по видимому, в работе 5] для более простого случайного процесса, имеющего скачки размера +1 в моменты времени T n, n 1. Актуальный пример появлением разладки в момент одного из скачков более общего случайного процесса Z будет приведен позднее (для варианта A 2 разладки ). Предположим здесь, что пары (S n, Z n ) до момента появления разладки образуют (для простоты) однородную марковскую последовательность, после момента разладки реализуется другая также однородная марковская последовательность S m, Z m }. Пусть R + = 0, ), Y def = R + Z прямое произведение пространств R + def и Z, а S Y = B(R + ) S Z произведение их σ -алгебр, т. е. σ -алгебра в Y. Обозначим для краткости Y 0 = Z 0, Y i = (S i, Z i ), i = 1, 2,... Будем считать, что с вероятностью p 0 0 разладка может появиться уже в 2

3 самом начале наблюдений ( θ = T 0 = 0 ) и даны априорные вероятности P(θ = T i ) = p i, P(θ T i ) = q i, i = 0, 1,... (1.1) Принимая во внимание, что разладка, возникающая в момент θ = T i не может оказать влияния на вероятностные свойства величины S i = T i T i 1, рассмотрим два возможных варианта разладки процесса Z. Начнем с более простого. Вариант A 1. Предположим, что выполнено следующее условие: (A 1 ) Начальное значение Z 0 процесса Z либо произвольное фиксированное ( Z 0 = z 0, z 0 Z ), либо случайное, но с распределением, не зависящим от момента появления разладки, а для пар (S n, Z n ), n 1, даны регулярные условные распределения 11 12] PS n+1 s, Z n+1 B θ = T i ; Z 0 = z 0, S 1 = s 1, Z 1 = z 1,... F (s, B s n, z n ), i > n,..., S n = s n, Z n = z n } = Φ(s, B s n, z n ), i n, (1.2) где B S Z и F (s, B ) Φ(s, B ). Если теми же буквами F и Φ обозначить соответствующие переходные вероятности, то совместное распределение случайных элементов (Y 1,..., Y k ) при начальном условии Z(0) = z можно определить по формуле PY 1 dy 1,..., Y k dy k θ = T i } = F (dy 1 z)... F (dy i y i 1 )Φ(dy i+1 y i )... Φ(dy k y k 1 ). Задача состоит в том, чтобы обнаружить разладку как можно скорее после ее появления. В байесовской постановке этой задачи скорейшего обнаружения, которую мы и будем рассматривать, риск (или потери ) ρ(τ) при решении подать сигнал тревоги (о происшедшей разладке ) в момент τ допускает такое представление (см. формулу (2.32), приведенную ниже), из которого видно, что оптимальное решение, минимизирующее риск, однозначно определяется по значениям процесса апостериорной вероятности наличия разладки π(t) def = Pθ t Z(s), s t} def = Pθ t F t }. Пусть X = X(t) Iθ t}, t 0}. Тогда π(t) можно рассматривать и как оптимальную (в среднеквадратичном смысле) оценку X(t) величины X(t) ненаблюдаемого процесса X в момент t 0 по наблюдениям Z(s), 0 s t}. Поэтому наша первая задача получение уравнений для определения (подсчета) значений процесса Π = π(t), t 0}. В принципе, условное математическое ожидание Pθ t F t } для фиксированного t может быть определено с помощью (обобщенной) формулы Байеса. Однако выражения, полученные с применением этой формулы, оказываются слишком громоздкими, поскольку они содержат все прошлые наблюдения, да и большое число операций умножения и суммирования, что сильно затрудняет как практическое 3

4 использование, так и исследование структуры и свойств процесса π(t). Поэтому прикладной подход, который является также и математически более подходящим, состоит в том, чтобы вывести рекуррентные уравнения для подсчета значений процесса Π = π(t), t 0}, позволяющие, в частности, упростить вычисления и не запоминать все наблюдения. В работе 5], где, как отмечалось выше, изучалась ситуация с существенно более простым скачкообразным случайным процессом, при условии, что функции распределения промежутков между скачками процесса непрерывные, на основе современной теории мартингалов было получено лишь стохастическое дифференциальное уравнение для процесса Π. Возможность применения подхода 5] в случае общего скачкообразного процесса Z представляется нам весьма проблематичной. В настоящей работе обобщается и модифицируется подход, примененный в 6]. При зтом, как и в в 6], значения процесса Π удается найти явно. Пусть f(y y n ) и ϕ(y y n ) плотности (производные Радона Никодима) условных распределений F (B y n ) и Φ(B y n ), B S Y, относительно некоторой σ - конечной меры m на σ -алгебре S Y ; всегда можно взять плотности относительно меры m = m(b y n ), отвечающей условному распределению A(B y n ) = 1 2 F (B y n) + Φ(B y n )]. Будем считать, что плотности f(y y n ) и ϕ(y y n ) S 2 Y -измеримы (по совокупности переменных). Нам понадобятся еще (условные) распределения промежутков между последовательными скачками процесса Z F (s s n, z n ) = F (s, Z s n, z n ), Φ(s s n, z n ) = Φ(s, Z s n, z n ). (1.3) Следующее утверждение позволяет рекуррентным образом вычислять значения процесса апостериорной вероятности Π = π(t), t 0}. Теорема 1.1. В добавление к (1.1) предположим, что выполнено условие (A 1 ) и P(θ T n ) > 0, π n = π(t n ), n 0. Тогда π(0) = p 0 и с вероятностью единица (i) для каждого t T n, T n+1 ), n = 0, 1,..., π(t) = π n 1 Φ(t Tn S n, Z n ) ] + (1 π n ) 1 F (t T n S n, Z n ) ]} 1 (ii) π n+1 определяется рекуррентной формулой π n 1 Φ(t Tn S n, Z n ) ], (1.4) π n+1 = π n ϕ(s n+1, Z n+1 S n, Z n ) + (1 π n ) p } n+1 f(s n+1, Z n+1 S n, Z n ) q n+1 1. π n ϕ(s n+1, Z n+1 S n, Z n ) + (1 π n )f(s n+1, Z n+1 S n, Z n )} (1.5) 4

5 Полученную структуру процесса Π предполагается использовать в последующей работе при отыскании оптимального момента подачи сигнала тревоги о происшедшей разладке в марковском случае. Вариант A 2. Предположим теперь, что выполнено следующее условие: (A 2 ) Начальное значение Z 0 процесса Z либо произвольное фиксированное ( Z 0 = z 0, z 0 Z ), либо случайное с распределением ( B S Z ) F 0 (B), i > 0, PZ 0 B θ = T i } = (1.6) Φ 0 (B), i = 0, а для пар (S n, Z n ), n 1, даны (в общем случае) регулярные условные распределения 11 12] PS n+1 s, Z n+1 B θ = T i ; Z 0 = z, S 1 = s 1, Z 1 = z 1,... S n = s n, Z n = z n } F (s, B s n, z n ), i > n + 1, = Φ 0 (s, B s n, z n ), i = n + 1, Φ(s, B s n, z n ), i < n + 1, (1.7) где B S Z и F Φ 0 Φ. Если теми же буквами F, Φ 0 и Φ обозначить соответствующие переходные вероятности, то здесь совместное распределение случайных элементов (Y 1,..., Y k ) при начальном условии Z(0) = z может быть определено по формуле PY 1 dy 1,..., Y k dy k θ = T i } = F (dy 1 z)... F (dy i 1 y i 2 )Φ 0 (dy i y i 1 )Φ(dy i+1 y i )... Φ(dy k y k 1 ). Приведем теперь пример такого варианта разладки, являющийся обобщением примера из 6]. Рассмотрим ситуацию, возникающую при дистанционном управлении некоторой системой или дистанционном обнаружения объекта. Пример. Предположим, что непрерывно ведутся наблюдения за работой некоторой системы, функционирующей следующим образом. В начальный момент времени T 0 = 0 система делает начальное измерение ряда своих параметров и случайных параметров окружающей среды и часть результатов этого измерения (это может быть даже изображение) передает наблюдателю по каналу с помехами, имеющими случайный характер. В результате этого наблюдатель получает случайный элемент Z 0. Затем система в соответствии со всеми результатами начального измерения выполняет нужные операции, например меняет свою ориентацию и (или) перемещается на определенное расстояние, на что уходит некоторое случайное время, зависящее от результатов измерения в момент T 0. После этого в момент T 1 система делает следующее измерение, передает наблюдателю случайный элемент Z 1 и выполняет соответствующие операции и т. д. В некоторый случайный момент времени появляются изменения в вероятностных характеристиках измеряемых системой параметров. Момент T i первого (выполняемого системой) измерения после момента появления названных изменений 5

6 и есть момент появления разладки θ поступающего к наблюдателю скачкообразного случайного процесса Z вида (1.7) или более общего вида. Пусть, как и ранее, f(y y n ), ϕ 0 (y y n ) и ϕ(y y n ) плотности условных распределений соответственно F (B y n ), Φ 0 (B y n ) и Φ(B y n ), B S Y, относительно некоторой σ -конечной меры m на S Y ; всегда можно взять плотности относительно меры m = m(b y n ), отвечающей условному распределению A(B y n ) = 1 3 F (B yn ) + Φ 0 (B y n ) + Φ(B y n ) ]. Будем считать, что плотности f(y y n ), ϕ 0 (y y n ) и ϕ(y y n ) S 2 Y -измеримы (по совокупности переменных). Нам вновь понадобятся и (условные) распределения промежутков между последовательными скачками процесса Z F (s s n, z n ) = F (s, Z s n, z n ), Φ(s s n, z n ) = Φ(s, Z s n, z n ). (1.8) Следующая теорема решает проблему вычисления (подсчета) значений процесса Π = π(t), t 0} для варианта A 2 разладки. Теорема 1.2. В добавление к (1.1) предположим, что выполнено условие (A 2 ) и P(θ T n ) > 0, π n = π(t n ), n 0. Тогда с вероятностью единица: (i) если начальное значение Z 0 = Z(0) процесса Z случайное, то π 0 = p 0 ϕ 0 (Z 0 ) p 0 ϕ 0 (Z 0 ) + (1 p 0 )f 0 (Z 0 ) ; (ii) для каждого t T n, T n+1 ), n = 0, 1,..., π(t) = π n 1 Φ(t Tn S n, Z n ) ] + (1 π n ) 1 F (t T n S n, Z n ) ]} 1 (iii) π n+1 определяется рекуррентной формулой π n 1 Φ(t Tn S n, Z n ) ], (1.9) } π n+1 = π n ϕ(s n+1, Z n+1 S n, Z n ) + p n+1(1 π n ) ϕ 0 (S n+1, Z n+1 S n, Z n ) q n+1 π n ϕ(s n+1, Z n+1 S n, Z n ) + (1 π n) p n+1 ϕ 0 (S n+1, Z n+1 S n, Z n ) q n+1 ] } 1 + q n+2 f(s n+1, Z n+1 S n, Z n ). (1.10) 6

7 2. Перейдем теперь к байесовской постановке задачи скорейшего выбора на основании наблюдений за ходом процесса Z (марковского) момента τ подачи сигнала тревоги о происшедшей разладке. Будем использовать для условных вероятностей и математических ожиданий при условии (π(0), Z(0)) = (π, z) обозначения P π,z и E π,z. В качестве величины, характеризующей риск (или потери ) от использования момента (правила) остановки τ, мы будем рассматривать величину (ср., например, 1, 3 4 гл. 4]) ρ π,z (τ) = P π,z τ < θ} + ce π,z max 0, τ θ}, (1.11) где c > 0 некоторая константа. По аналогии с 1] для данных π 0, 1] и z Z момент остановки τ = τ π,z будем называть (π, z) -байесовским, если ρ π,z (τ π,z) = ρ π,z inf ρ π,z (τ), где inf берется по классу всех марковских моментов τ MF] (относительно потока σ -алгебр F ). Пусть π π,z (t) = P π,z θ t F t }. Обозначим через f(s s n, z n ) (условную) плотность относительно меры Лебега (если она существует) функции распределения F (s s n, z n ) и положим a X (0) = 0, a X (t) = p n+1 f(t T n S n, Z n ) IT n < t T n+1 } q n 0 n+1 1 F (t T n S n, Z n )]. (1.12) Теорема 1.3. В добавление к (1.1) предположим, что выполнено либо условие (A 1 ), либо условие (A 2 ) и существует непрерывная справа функция плотности f(s s n, z n ). Тогда с P π,z -вероятностью единица (π, z) -байесовский момент остановки τπ,z inf t 0 : π π,z (t) ax (t) }. (1.13) c + a X (t) Улучшить (увеличить) оценку, определяемую правой частью (1.13), при фиксированном значении c > 0 невозможно, это вытекает, в частности, из результатов в последующей работе автора. 7

8 Список литературы 1] Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, Изд-е 2-е: М.: Наука, ] Боровков А. А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука и Изд-во Ин-та математики СО РАН, ] Гальчук Л. И., Розовский Б. Л. Задача о разладке для пуассоновского процесса // Теория вероятностей и ее применения Т. 16, вып. 4. С ] Davis M. H. A. A note on the Poisson disorder problem // Banach Center Publications Vol 1, P ] Wan C. B, Davis M. H. A. The general point process disorder problem // IEEE Trans. Inform. Theory V. IT-23, N 4. P ] Салов Г. И. К задаче о разладке для точечного случайного процесса // Автоматика и телемеханика N 7. С ] Колмогоров А. Н., Прохоров Ю. В., Ширяев А. Н. Вероятностно-статистические методы обнаружения спонтанно возникающих эффектов // Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР Т. 132, N 5. С ] Салов Г. И. Уравнения для апостериорной вероятности наличия разладки последовательности зависимых случайных величин и оптимальное по Ширяеву обнаружение момента появления разладки // Теория вероятностей и ее применения Т. 34, вып. 4. С ] Salov G. I. The disorder problem for stochastic jump processes. // Proc. of the IASTED international Conference Automation, Control, and Information Technology. June 10 13, 2002, Novosibirsk, Russia. P ] Salov G. I. The disorder problem for pure jump Markov processes. // Proc. of the Second IASTED International Multi-Conference on SIGNAL AND IMAGE PROCESSING. June 20 24, 2005, Novosibirsk, Russia. P ] Боровков А. А. Теория вероятностей. Изд-е 2-е: М.: Наука, Изд-е 3-е: М.: Изд-во Эдиториал УРСС и Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, ] Ширяев А. Н. Вероятность. Изд-е 2-е: М.: Наука, ] Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир,

Программа и задачи курса Случайные процессы

Программа и задачи курса Случайные процессы Программа и задачи курса Случайные процессы лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов ПРОГРАММА 1. Понятие случайного процесса (случайной функции). Примеры: случайное блуждание, процессы восстановления, эмпирические

Подробнее

4. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояния.

4. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояния. Лекция Элементы теории систем массового обслуживания 11. Элементы теории систем массового обслуживания Вопросы темы: 1. Основные понятия. Классификация СМО. 2. Понятие марковского случайного процесса.

Подробнее

А.В. Колесников. Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Мартингалы. Неравенство Колмогорова. Стохастический интеграл с переменным верхним

Подробнее

Естественные науки. Н.С. Демин, С.В. Рожкова*

Естественные науки. Н.С. Демин, С.В. Рожкова* УДК 59.:6.39 КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ ПО ШЕННОНУ В СОВМЕСТНОЙ ЗАДАЧЕ ФИЛЬТРАЦИИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ Н.С. Демин С.В. Рожкова* Томский государственный

Подробнее

А.В. Колесников. Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Теория вероятностей 2. Случайные процессы. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Теорема Радона-Никодима. Условное математическое ожидание. Всюду далее (Ω,

Подробнее

Программа и задачи курса Случайные процессы

Программа и задачи курса Случайные процессы Программа и задачи курса Случайные процессы лектор профессор Д. А. Шабанов осень 2016 ПРОГРАММА 1. Понятие случайного процесса (случайной функции). Примеры: случайное блуждание, процессы восстановления,

Подробнее

Программа и задачи курса Случайные процессы

Программа и задачи курса Случайные процессы Программа и задачи курса Случайные процессы лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов осень 2012 ПРОГРАММА 1. Понятие случайного процесса (случайной функции). Примеры: случайное блуждание, процессы восстановления,

Подробнее

УСЛОВИЯ РЕКУРРЕНТНОСТИ ОБОБЩЕННОГО АСИНХРОННОГО ПОТОКА СОБЫТИЙ ПРИ НЕПРОДЛЕВАЮЩЕМСЯ МЕРТВОМ ВРЕМЕНИ

УСЛОВИЯ РЕКУРРЕНТНОСТИ ОБОБЩЕННОГО АСИНХРОННОГО ПОТОКА СОБЫТИЙ ПРИ НЕПРОДЛЕВАЮЩЕМСЯ МЕРТВОМ ВРЕМЕНИ УСЛОВИЯ РЕКУРРЕНТНОСТИ ОБОБЩЕННОГО АСИНХРОННОГО ПОТОКА СОБЫТИЙ ПРИ НЕПРОДЛЕВАЮЩЕМСЯ МЕРТВОМ ВРЕМЕНИ А. Горцев, М. Леонова, Л. Нежельская Национальный исследовательский Томский государственный университет

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ ЛЕКЦИЯ 1. Постановка задачи оценивания параметров сигналов. Байесовские оценки случайных параметров сигналов при различных функциях потерь. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ 3.1.

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Математическое ожидание Материал из Википедии свободной энциклопедии У этого термина существуют и другие значения см среднее значение Математи ческое ожида ние мера среднего значения случайной величины

Подробнее

О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В. С. Лугавов

О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В. С. Лугавов Сибирский математический журнал Июль август, 2003 Том 44, 4 УДК 51921+5192195 О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В С Лугавов

Подробнее

ЧАСТЬ 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

ЧАСТЬ 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЧАСТЬ 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Глава 22 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 22.1. Событие, классификация событий, вероятность

Подробнее

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ГЛАВА 6 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВЕЛИЧИН Описаны точечный и интервальный методы оценки детерминированных величин основанные на представлении оценок гиперслучайными

Подробнее

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения

2 Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистические оценки неизвестных параметров распределения Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения Виды статистических оценок 3 Нахождение оценок неизвестных параметров

Подробнее

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 3181 УДК 6-56.1 НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Н.В. Коплярова Сибирский Федеральный Университет Россия 6641 Красноярск пр. Свободный 79 E-mail: koplyarovanv@mail.ru Н.А. Сергеева Сибирский

Подробнее

6.1. Надежность элемента, плотность отказов, среднее время безотказной работы

6.1. Надежность элемента, плотность отказов, среднее время безотказной работы Теория надежности раздел прикладной математики, в котором разрабатываются методы обеспечения эффективной работы изделий. Под надежностью в широком смысле слова понимается способность технического устройства

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный

Подробнее

dx dt Стохастическое управление

dx dt Стохастическое управление dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 1, 1999 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Стохастическое управление А.

Подробнее

Факультет Компьютерных наук Департамент больших данных и информационного поиска Базовая кафедра Яндекс

Факультет Компьютерных наук Департамент больших данных и информационного поиска Базовая кафедра Яндекс Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Факультет Компьютерных наук Департамент больших

Подробнее

такова, что: 1)f(, t, y, z) прогрессивно измерима t и для всех (y, z) со значениями в R d 1

такова, что: 1)f(, t, y, z) прогрессивно измерима t и для всех (y, z) со значениями в R d 1 3 2.2.2 Метод сжимаающих отображений Аналогичные рассуждения при определенных условиях справедливы и в общем случае. Приведем условия, при которых существует единственное решение (y(), z()) Y M задачи

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР при поддержке РОССИЙСКОГО ФОНДА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ (ММРО-9) Доклады 9-й Всероссийской конференции Москва

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. С. Королюк, Н. И. Портенко, Г. Н. Сытая, Скороход Анатолий Владимирович (к шестидесятилетию со дня рождения), УМН, 1991, том 46, выпуск 4(280), 179 182

Подробнее

. Заметим, что удовлетворяет следующим условиям: , i. i 1. n - означает прямое объединение (сумму) множеств, т.е. i 1 i 1 при условии, что Ci Cj

. Заметим, что удовлетворяет следующим условиям: , i. i 1. n - означает прямое объединение (сумму) множеств, т.е. i 1 i 1 при условии, что Ci Cj Элементы теории меры (в конец главы 2) Здесь и далее в тексте речь идет об учебном пособии авторов АА Натан ОГ Горбачев СА Гуз по теории вероятностей выложенной вот здесь http://wwwmoumptru/atahtml По

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Меры на сигма-алгебрах.

Меры на сигма-алгебрах. Тема 2 Меры на сигма-алгебрах. Идея меры является далеко идущим обобщением первоначального представления о площади и объеме подмножеств R n. Естественные требования, предъявляемые к объему, таковы: объем

Подробнее

3. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ (УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА)

3. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ (УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА) 3. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ (УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА) Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем

Подробнее

2. Пространства Соболева

2. Пространства Соболева 2. Пространства Соболева В теории дифференциальных уравнений в основном имеют дело с измеримыми функциями. Пусть область в R d. Функция u : R называется измеримой, если она является поточечным пределом

Подробнее

Раздел 2 Элементы теории случайных процессов. Тема 5 Марковские процессы с непрерывным временем. Теорема Колмогорова

Раздел 2 Элементы теории случайных процессов. Тема 5 Марковские процессы с непрерывным временем. Теорема Колмогорова Дисциплина «Основы теории массового обслуживания» Раздел 2 Элементы теории случайных процессов Тема 5 Марковские процессы с непрерывным временем. Теорема Колмогорова Типы случайных процессов Пространство

Подробнее

Введение. Каштанов В.А.

Введение. Каштанов В.А. Структурная надежность. Теория и практика Каштанов В.А. УПРАВЛЕНИЕ СТРУКТУРОЙ В МОДЕЛЯХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И НАДЕЖНОСТИ С использованием управляемых полумарковских процессов исследуется оптимальная

Подробнее

Материалы к экзамену. Теоретический минимум

Материалы к экзамену. Теоретический минимум ФКН ВШЭ, 3 курс, 3 модуль Материалы к экзамену Вероятностные модели и статистика случайных процессов, весна 2017 Теоретический минимум 1. Сформулируйте определение случайного процесса как случайной функции.

Подробнее

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 5. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция

Подробнее

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда

Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Лекция 4. Лемма Неймана-Пирсона. Две гипотезы: нулевая простая, альтернативная сложная. Последовательный критерий Вальда Грауэр Л.В., Архипова О.А. CS center Санкт-Петербург, 2015 Грауэр Л.В., Архипова

Подробнее

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ. В. В. Карелин ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ НАБЛЮДЕНИЯ )

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ. В. В. Карелин ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ НАБЛЮДЕНИЯ ) Сер. 0. 200. Вып. 4 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ УДК 539.3 В. В. Карелин ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ НАБЛЮДЕНИЯ. Введение. Статья посвящена проблеме

Подробнее

Исследование частоты появления устойчивых равновесий в игре со случайными функциями выигрыша

Исследование частоты появления устойчивых равновесий в игре со случайными функциями выигрыша Исследование частоты появления устойчивых равновесий в игре со случайными функциями выигрыша Кучина А.В. Ивановский Государственный Энергетический Университет им. В.И.Ленина Иваново, Россия Research of

Подробнее

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012

лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012 Программа курса Математическая статистика лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов Весна 2012 1. Основная задача математической статистики. Примеры: выборка и линейная модель. 2. Различные виды сходимостей случайных

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

e-journal Reliability: Theory& Applications No 2 (Vol.2) Гурами Цициашвили

e-journal Reliability: Theory& Applications No 2 (Vol.2) Гурами Цициашвили e-journal Reliability: Theory& Applications No 2 (Vol.2 УЗКИЕ МЕСТА В СИСТЕМЕ С НЕНАДЕЖНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ Гурами Цициашвили e-mail: guram@iam.dvo.ru 690041 Владивосток ул. Радио 7 Институт прикладной математики

Подробнее

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры Математический сборник т 7(69) 95 А Н Тихонов О системах дифференциальных уравнений содержащих параметры Рассмотрим систему дифференциальных уравнений n и решение этой системы определяемое условиями Это

Подробнее

Методы Монте Карло по схеме марковской цепи (Markov Chain Monte Carlo, MCMC)

Методы Монте Карло по схеме марковской цепи (Markov Chain Monte Carlo, MCMC) Методы Монте Карло по схеме марковской цепи (Markov Chain Monte Carlo, MCMC) Идея MCMC Рассмотрим вероятностное распределение p(t ). Методы Монте Карло (методы статистических испытаний) предполагают генерацию

Подробнее

О предельных теоремах А. Д. Соловьева для регенерирующих процессов

О предельных теоремах А. Д. Соловьева для регенерирующих процессов УДК 59.24 О предельных теоремах А. Д. Соловьева для регенерирующих процессов В. В. Козлов Кафедра теории вероятностей, Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, Ленинские Горы, Москва,

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

4.1. Разложение Хана Абсолютная непрерывность

4.1. Разложение Хана Абсолютная непрерывность Теория Меры 4: Теорема Радона-Никодима и теорема Фубини 4.1. Разложение Хана Определение 4.1. Напомним, что зарядом называется счетно-аддитивная функция на σ-алгебре, принимающая значения в R. Задача 4.1

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие лава 1. Случайные события: основные понятия и формулы, связанные с ними Глава 2. Случайные величины

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие лава 1. Случайные события: основные понятия и формулы, связанные с ними Глава 2. Случайные величины ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 6 Глава 1. Случайные события: основные понятия и формулы, связанные с ними... 7 1. Элементы комбинаторики... 7 1.1. Основные правила комбинаторики... 7 Задачи... 11 1.2. Размещения.

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. А. Грушо, Н. А. Грушо, Е. Е. Тимонина, Статистические методы определения запретов вероятностных мер на дискретных пространствах, Информ. и еë примен.,

Подробнее

КОЖЕВНИКОВ А.С., РЫБАКОВ К.А.

КОЖЕВНИКОВ А.С., РЫБАКОВ К.А. КОЖЕВНИКОВ А.С., РЫБАКОВ К.А. аспирант каф. 85 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ЦЕНЫ АКЦИЙ С ЭРЛАНГОВСКИМИ СКАЧКАМИ Кожевников А.С., Рыбаков К.А., Предложены новые математические модели описания динамики

Подробнее

Модель алгоритмов классификации. информационный подход

Модель алгоритмов классификации. информационный подход : информационный подход МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия e-mail: sgur@cs.msu.ru XXII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование» 27 мая 3 июня 2014 г. / Краснодарский край,

Подробнее

АННОТАЦИЯ дисциплины (учебного курса) Б1.Б.13.1 Теория вероятностей и математическая статистика-1

АННОТАЦИЯ дисциплины (учебного курса) Б1.Б.13.1 Теория вероятностей и математическая статистика-1 АННОТАЦИЯ дисциплины (учебного курса) Б1.Б.13.1 Теория вероятностей и математическая статистика-1 Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» - общеобразовательная математическая дисциплина,

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

ОБОБЩЕННЫЕ H -ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ФИЛЬТРЫ

ОБОБЩЕННЫЕ H -ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ФИЛЬТРЫ 88 УДК 517.977 ОБОБЩЕННЫЕ H -ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ФИЛЬТРЫ Л.Н. Кривдина Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет Россия, 603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65 E-mail:

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

О ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЯХ МАРКОВСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА

О ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЯХ МАРКОВСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА 1225 УДК 519.626 О ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЯХ МАРКОВСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА А.С. Тихомиров Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Россия, 173003, Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская,

Подробнее

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция.

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция. Оглавление ГЛАВА 3 продолжение. Функции случайных величин. Характеристическая функция... Функция одного случайного аргумента.... Основные числовые характеристики функции случайного аргумента.... Плотность

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины 2. Место дисциплины в структуре ООП

1. Цели и задачи дисциплины 2. Место дисциплины в структуре ООП 1. Цели и задачи дисциплины Целью дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является обучение студентов основным методам теории вероятностей и математической статистики и использованию

Подробнее

М И Р Э А. Программа вступительного испытания по математике для поступающих в магистратуру

М И Р Э А. Программа вступительного испытания по математике для поступающих в магистратуру МИНОБРНАУКИ РОССИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

Подробнее

Комментарии к теме «Марковские цепи с дискретным пространством состояний»

Комментарии к теме «Марковские цепи с дискретным пространством состояний» Комментарии к теме «Марковские цепи с дискретным пространством состояний» Практические занятия по теории вероятностей кафедра статистического моделирования http://statmod.ru, матмех СПбГУ, 2014 г. 1 Определение

Подробнее

Babilua Petre, Nadaraya Elizbar, Shatashvili Albert, Sokhadze Grigol. I. Javakhishvili Tbilisi State University. Donetsk State University

Babilua Petre, Nadaraya Elizbar, Shatashvili Albert, Sokhadze Grigol. I. Javakhishvili Tbilisi State University. Donetsk State University Обращение интеграла Винера и одно статистическое применение Babla Pere Naaraa lzbar Shaashvl Alber Sohaze Grol I Javahshvl Tbls Sae Uvers Does Sae Uvers ABSTRAT В работе доказана теорема об обращении интеграла

Подробнее

«Система обслуживания с недостоверным пополнением очереди»

«Система обслуживания с недостоверным пополнением очереди» Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математической теории игр и статистических решений Брандуков Роман Рустемович Выпускная квалификационная работа бакалавра «Система обслуживания с

Подробнее

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной Лекция 6 План лекции.3.3 Дифференциальная функция распределения непрерывных случайных величин.4 Числовые характеристики случайных.4. Математическое ожидание и его свойства..4. Дисперсия случайных величин

Подробнее

DIRECTION FIELDS AND THEIR CORRESPONDING TRAJECTORIES. å. à. Çàòàä M. I. VISHIK. This paper is an introduction

DIRECTION FIELDS AND THEIR CORRESPONDING TRAJECTORIES. å. à. Çàòàä M. I. VISHIK. This paper is an introduction ÇË ËÍ å.à., 1996 DIRECTION FIELDS AND THEIR CORRESONDING TRAJECTORIES M. I. VISHIK This paper is an introduction to the theory of the first order ordinary differential equations on a plane. The following

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Эргодические процессы Условие стационарности и алгебраическая система уравнений Пример... 16

Эргодические процессы Условие стационарности и алгебраическая система уравнений Пример... 16 Оглавление Глава Случайные процессы Простая однородная цепь Маркова Уравнение Маркова Простая однородная цепь Маркова 4 Свойства матрицы перехода 5 Численный эксперимент: стабилизация распределения вероятностей

Подробнее

О ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКЕ ЧИСЛА РАВНОМЕРНО УПАКОВАННЫХ ДВОИЧНЫХ КОДОВ ) Н. Н. Токарева

О ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКЕ ЧИСЛА РАВНОМЕРНО УПАКОВАННЫХ ДВОИЧНЫХ КОДОВ ) Н. Н. Токарева ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Июль сентябрь 2007. Серия 1. Том 14, 3. 90 97 УДК 517.919 О ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКЕ ЧИСЛА РАВНОМЕРНО УПАКОВАННЫХ ДВОИЧНЫХ КОДОВ Н. Н. Токарева Рассматриваются равномерно

Подробнее

КЛАССИФИКАЦИЯ НА ОСНОВЕ КОМПОНЕНТНЫХ СТРУКТУР ДАННЫХ В ПРИЗНАКОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ильченко А. В.

КЛАССИФИКАЦИЯ НА ОСНОВЕ КОМПОНЕНТНЫХ СТРУКТУР ДАННЫХ В ПРИЗНАКОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ильченко А. В. УДК 517 КЛАССИФИКАЦИЯ НА ОСНОВЕ КОМПОНЕНТНЫХ СТРУКТУР ДАННЫХ В ПРИЗНАКОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ильченко А. В. Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, факультет математики и информатики пр-т

Подробнее

Графические модели и байесовский вывод на них

Графические модели и байесовский вывод на них Академический Университет, 2012 Outline Алгоритм передачи сообщений 1 Алгоритм передачи сообщений В чём же проблема В предыдущих лекциях мы рассмотрели задачу байесовского вывода, ввели понятие сопряжённого

Подробнее

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 1. Доказать лемму о баллотировке. Комментарий. Важно показать, что выбор вероятностного пространства (в виде функций, описывающих исходы) позволяет легко применить

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ С ОДНОШАГОВЫМИ И ВЛИЯНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИК КРИТЕРИЕВ СОГЛАСИЯ [1]

ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ С ОДНОШАГОВЫМИ И ВЛИЯНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИК КРИТЕРИЕВ СОГЛАСИЯ [1] Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2003. Т. 69. С.62-68. УДК 519.2 ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ С ОДНОШАГОВЫМИ И ВЛИЯНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИК

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.01 Математика

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.01 Математика РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.0 Математика Братск, 05 г. Рассмотрено на заседании МО общеобразовательных дисциплин Протокол 9 от 0.05.05 г. Председатель МО ОД Ермашонок Н.М. Рабочая программа дисциплины

Подробнее

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОГО МИНИМУМА В ЗАДАЧАХ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОГО МИНИМУМА В ЗАДАЧАХ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 709 УДК 517.97 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОГО МИНИМУМА В ЗАДАЧАХ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ А.В. Дмитрук ЦЭМИ РАН Россия, 117418, Москва, Нахимовский проспект, 47 E-mail: avdmi@cemi.ri.ru Н.П. Осмоловский

Подробнее

12 ТРУДЫ МФТИ Том 4, 1. Раздел I. Случайные графы

12 ТРУДЫ МФТИ Том 4, 1. Раздел I. Случайные графы 12 ТРУДЫ МФТИ. 2012. Том 4, 1 УДК 519.175.4 Раздел I Случайные графы А. Р. Ярмухаметов Кафедра дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ; Кафедра математической статистики механико-математического

Подробнее

Лекция 13. Основы теории оптимального управления 13.1 Общие положения

Лекция 13. Основы теории оптимального управления 13.1 Общие положения Лекция 3. Основы теории оптимального управления 3. Общие положения В общем случае система автоматического управления состоит из объекта управления (управляемой системы) ОУ регулятора Р и программатора

Подробнее

61 АНАЛИЗ МАРКОВСКИХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

61 АНАЛИЗ МАРКОВСКИХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 6 АНАЛИЗ МАРКОВСКИХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В этом параграфе мы рассмотрим применение процесса гибели и размножения к анализу систем массового обслуживания (СМО) которые являются адекватными математическими

Подробнее

1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОПОП ВО 3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОПОП ВО 3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Целями освоения дисциплины «Основы теории стохастических систем» являются: Формирование у студентов представления о природе вероятностных явлений и способах их описания; Развитие

Подробнее

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Основные категории алгебра

Подробнее

ПОЛНОТА ПРОСТРАНСТВА СЕПАРАБЕЛЬНЫХ МЕР В МЕТРИКЕ КАНТОРОВИЧА РУБИНШТЕЙНА А. С. Кравченко

ПОЛНОТА ПРОСТРАНСТВА СЕПАРАБЕЛЬНЫХ МЕР В МЕТРИКЕ КАНТОРОВИЧА РУБИНШТЕЙНА А. С. Кравченко Сибирский математический журнал Январь февраль, 2006. Том 47, 1 УДК 517.54 ПОЛНОТА ПРОСТРАНСТВА СЕПАРАБЕЛЬНЫХ МЕР В МЕТРИКЕ КАНТОРОВИЧА РУБИНШТЕЙНА А. С. Кравченко Аннотация: Рассматривается пространство

Подробнее

ПРОДОЛЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ВАРИАЦИЮ, И ОБОБЩЕННАЯ СУЩЕСТВЕННАЯ ВАРИАЦИЯ С. П. Пономарев

ПРОДОЛЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ВАРИАЦИЮ, И ОБОБЩЕННАЯ СУЩЕСТВЕННАЯ ВАРИАЦИЯ С. П. Пономарев Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2004. Том 45, 6 УДК 517.54 ПРОДОЛЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ВАРИАЦИЮ, И ОБОБЩЕННАЯ СУЩЕСТВЕННАЯ ВАРИАЦИЯ С. П. Пономарев Аннотация: Показано, что если отображение,

Подробнее

Полусинхронный дважды стохастический поток событий при продлевающемся мертвом времени

Полусинхронный дважды стохастический поток событий при продлевающемся мертвом времени Вычислительные технологии Том 13, 1, 28 Полусинхронный дважды стохастический поток событий при продлевающемся мертвом времени А.М. Горцев, Л.А. Нежельская Томский государственный университет, Россия e-mail:gam@fpmk.tsu.ru

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

А.В. Колесников. Эконометрические и стохастические модели в финансах. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Эконометрические и стохастические модели в финансах. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Эконометрические и стохастические модели в финансах Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Основная теорема финансовой математики Рассмотрим вероятностное пространство

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. В.А.Ильин, А.А.Кулешов Рассмотрим на этот раз в открытом с одной стороны

Подробнее

Применение метода инвариантных эллипсоидов для решения линейной задачи слежения

Применение метода инвариантных эллипсоидов для решения линейной задачи слежения ТРУДЫ МФТИ. 213. Том 5, 4 Информатика, математика 115 УДК 517.977.1 К. О. Железнов 1, М. В. Хлебников 2 1 Московский физико-технический институт (государственный университет) 2 Федеральное государственное

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика РПД ЕН.Ф.03.08-2005 Пензенский государственный университет Факультет вычислительной техники Кафедра "Дискретная математика" Теория вероятностей и математическая статистика Рабочая программа учебной дисциплины

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УДК О ДЕФЕКТЕ НЕКОТОРЫХ ОЦЕНОК, ОСНОВАННЫХ НА ВЫБОРКАХ СЛУЧАЙНОГО ОБЪЕМА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УДК О ДЕФЕКТЕ НЕКОТОРЫХ ОЦЕНОК, ОСНОВАННЫХ НА ВЫБОРКАХ СЛУЧАЙНОГО ОБЪЕМА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УДК 519.2 О ДЕФЕКТЕ НЕКОТОРЫХ ОЦЕНОК, ОСНОВАННЫХ НА ВЫБОРКАХ СЛУЧАЙНОГО ОБЪЕМА Бенинг В.Е. МГУ им. М.В. Ломоносова, Институт проблем информатики РАН, г.

Подробнее

ОБ АППРОКСИМАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ВРЕМЕНИ ПЕРВОГО ВЫХОДА СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ ИЗ ИНТЕРВАЛА В. И. Лотов

ОБ АППРОКСИМАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ВРЕМЕНИ ПЕРВОГО ВЫХОДА СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ ИЗ ИНТЕРВАЛА В. И. Лотов Сибирский математический журнал Январь февраль, 216. Том 57, 1 УДК 519.21 ОБ АППРОКСИМАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ВРЕМЕНИ ПЕРВОГО ВЫХОДА СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ ИЗ ИНТЕРВАЛА В. И. Лотов Аннотация. Найдены

Подробнее

Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В курсе "Теория вероятностей" корреляция между двумя случайными величинами определяется математическим ожиданием их произведения Если в качестве двух случайных

Подробнее

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега.

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега. Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА На прошлой лекции мы рассмотрели построение меры Лебега плоских множеств. Теперь наша задача обобщить эту процедуру на случай произвольных множеств. При этом существо схемы

Подробнее

СИНТЕЗ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ПО СИСТЕМЕ ЕЁ ФРАГМЕНТОВ. Басманов А.Е., Дикарев В.А.

СИНТЕЗ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ПО СИСТЕМЕ ЕЁ ФРАГМЕНТОВ. Басманов А.Е., Дикарев В.А. Деп. в УкрИНТЭИ 23.01.97. 76-Уі97 СИНТЕЗ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ ПО СИСТЕМЕ ЕЁ ФРАГМЕНТОВ Басманов А.Е., Дикарев В.А. В работе поставлена и решена задача о синтезе (восстановлении) стохастической матрицы

Подробнее

Московский институт электроники и математики Департамент прикладной математики. Рабочая программа дисциплины Избранные разделы математики

Московский институт электроники и математики Департамент прикладной математики. Рабочая программа дисциплины Избранные разделы математики Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Московский институт электроники

Подробнее

Теория случайных процессов. Тесты

Теория случайных процессов. Тесты МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

Янгель Б.К. Спецкурс Байесовские методы машинного обучения. МГУ ВМК, Яндекс. Байесовский подход и Акинатор. Янгель Б.К. Введение.

Янгель Б.К. Спецкурс Байесовские методы машинного обучения. МГУ ВМК, Яндекс. Байесовский подход и Акинатор. Янгель Б.К. Введение. МГУ ВМК, Яндекс Спецкурс Байесовские методы машинного обучения Что такое (кто такой)? Можно найти по адресу http://akinator.com; Расширенный вариант игры 20 ; Специализируется на персонажах; Как правило,

Подробнее

В.И. Лотов О СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ НА ПОЛУОСИ

В.И. Лотов О СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ НА ПОЛУОСИ УДК 519.21 В.И. Лотов О СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ НА ПОЛУОСИ Приводится обобщение известного закона арксинуса для распределения времени пребывания случайного блуждания

Подробнее

Очевидно, такое название оправдывается ролью множества X при «умножении» (т. е. пересечении)

Очевидно, такое название оправдывается ролью множества X при «умножении» (т. е. пересечении) ЛЕКЦИЯ 2А Системы множеств. Элементы общей теории меры 1. Системы множеств Как вы помните, в лекции 2 построение общей теории меры велось исходя из алгебры измеримых множеств, а прямоугольники, исходя

Подробнее

Behind LDA. Часть 1. Кольцов С.Н.

Behind LDA. Часть 1. Кольцов С.Н. Behind LDA Часть 1 Кольцов С.Н. Различия в подходах к теории вероятностей Случайная величина это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр I Элементы линейной алгебры 1. Понятие определителей 2-го и 3-го порядка, их вычисление и

Подробнее

Об односторонней сходимости процесса Роббинса-Монро при малых шагах

Об односторонней сходимости процесса Роббинса-Монро при малых шагах Об односторонней сходимости процесса Роббинса-Монро при малых шагах Т. П. Красулина Санкт-Петербургский государственный университет В работе изучается односторонняя сходимость модифицированного процесса

Подробнее

I. Аннотация. 1. Цели и задачи дисциплины

I. Аннотация. 1. Цели и задачи дисциплины Ф дер льн е Гос д с ве н е вт н мн е б з Льн У ежл ие ь с ег П фесси н Льн г б З ния лг г ДскийГ сул ственнь й Униве си е К фед а ф ндамен Льн й инф м ики и П и ЛЬ г П Л ния У Е ДЕ УЧЕ нь Е П т к л Ек

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее