УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРЕДЕЛЫ Методические указания к выполнению типового расчета для студентов всех специальностей Составители: Н Я Горячева С В Киреев В В Селиванов Ульяновск УлГТУ

2 УДК (6 ББК 6я П Рецензент канд физ-мат наук доцент УГПУ А Д Макарова Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета П Пределы : методические указания к выполнению типового расчета / сост: Н Я Горячева С В Киреев В В Селиванов -е изд Ульяновск : УлГТУ с Методические указания составлены в соответствии с программами курса высшей математики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений и предназначены для студентов дневного отделения всех специальностей Ульяновского государственного технического университета Изложена методика выполнения типового расчета по теме «Пределы» и даны образцы решения задач с предварительным теоретическим обоснованием Работа подготовлена на кафедре «Высшая математика» УДК (6 ББК 6я Горячева Н Я Селиванов В В составление 996 Горячева Н Я Киреев С В Селиванов В В составление Оформление УлГТУ

3 ОГЛАВЛЕНИЕ Общие указания Краткие сведения из теории и указания к решению задач типового расчета Примеры решения задач Пример решения задачи Примеры решения задачи Примеры решения задачи Примеры решения задачи Примеры решения задачи 6 Пример решения задачи 6 6 Пример решения задачи 8 Пример решения задачи 8 9 Пример решения задачи 9 8 Примеры решения задачи 9 Примеры решения задачи Примеры решения задачи Примеры решения задачи Пример решения задачи Примеры решения задачи 6 Примеры решения задачи 6 Пример решения задачи 8 Примеры решения задачи Примеры решения задачи 9 Примеры решения задачи 8 Библиографический список 9

4 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ Одной из форм обучения студентов является самостоятельное выполнение ими типовых расчетов по курсу высшей математики Предлагаемые методические указания являются руководством для выполнения типового расчета по теме «Пределы» из специального сборника заданий [] К выполнению расчета следует приступать лишь после изучения по учебнику или конспекту лекций теоретического материала соответствующего этой теме и решения достаточного количества типовых задач При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса математики Решение задач следует излагать подробно вычисления располагать в строгом порядке Решения должны доводиться до ответа требуемого условием задач Ниже в помощь студенту даны методические указания к задачам указанного типового расчета и образцы решения характерных задач Если при выполнении расчета студент все же обнаружит непонимание того или иного вопроса то следует обратиться к теории по учебнику [-] или к конспекту лекций КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ТИПОВОГО РАСЧЕТА Определение Числовой последовательностью называется множество значений функции y f ( когда аргумент пробегает множество натуральных чисел т е числовая последовательность есть функция натурального аргумента Определение Число a называется пределом числовой последовательности если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такой номер N ( что при всех номерах N( выполняется неравенство : a Обозначение: a Определение -окрестностью U ( точки интервал U ( ( называется Проколотой -окрестностью точки ( называется окрестность точки из которой удалена точка Определение Пусть функция y f ( определена в некоторой проколотой окрестности точки Число A называется пределом функции y f ( в точке ( f ( A если для любого сколь угодно малого положительного числа U o

5 найдется такое ( что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство f ( A Практическое вычисление пределов последовательностей и функций основывается на следующей теореме Теорема Если существуют пределы f ( и g( то: f ( g( f ( g( ; f ( g( f ( g( ; f ( / g( f ( / g( если g( Определение Функция y f ( называется непрерывной в точке если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое ( что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство f ( f ( Определение 6 Функция y f ( называется бесконечно малой при если f ( Если ( f ( то функция y f ( называется бесконечно большой при ( Определение Пусть ( и ( бесконечно малые функции при ( / ( то бесконечно малые ( и ( Если называются эквивалентными при и пишут ( ~ ( Если ( / ( то ( называют бесконечно малой более высокого порядка малости чем ( и пишут ( o( ( При этом ( есть бесконечно малая низшего порядка малости чем ( Определение 8 Пусть f ( и g ( - бесконечно большие функции при или Если ( / ( то бесконечно большие f ( и g ( называются эквивалентными при или и пишут f ( ~ g ( Если ( / ( то f ( называют бесконечно большой более высокого порядка роста чем g ( Определение 9 Пусть ( и ( функции определенные в некоторой проколотой окрестности точки Если функция ( представима в виде ( ( o( ( при то ( называется главной частью функции ( при

6 Например: Главная часть функции si( при равна ибо si( o( при Если P ( a a a a где a то функция a является главной частью многочлена P ( при ибо P ( a o( при Понятие главной части функции полезно при изучении бесконечно малых и бесконечно больших функций и с успехом используется при вычислении пределов Метод выделения главной части функции опирается на следующие предложения и теоремы Предложение Сумма бесконечно малых при функций эквивалентна бесконечно малой более низшего порядка (например ~ при Предложение Сумма бесконечно больших при или функций эквивалентна бесконечно большой более высокого порядка роста (например ~ при Теорема Пусть ( ( ( ( бесконечно малые функции при причем ( ~ ( ( ~ ( при Тогда если существует ( / ( то существует и ( / ( причем ( / ( = ( / ( т е предел отношения бесконечно малых равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых Аналогичная теорема верна и для бесконечно больших функций При вычислении пределов отношения двух бесконечно больших функций метод выделения главной части позволяет сформулировать следующее правило: Правило Если f ( и g ( бесконечно большие функции при и k f ( ~ A g ( ~ B при то A/ B при k k f ( / g( A / B при k при k где и k вещественные числа Теорема Пусть ( и ( бесконечно малые при Если ( ~ a ( ~ c причем a c то ( ( ~ ( a c В случае a c метод выделения главной части применить нельзя т к ( ( o( ( Аналогичная теорема имеет место и для эквивалентных бесконечно больших функций 6

7 При вычислении пределов функций полезно помнить следующую таблицу эквивалентных бесконечно малых функций: при si ~ l( ~ g ~ log a ( ~ / l a arcsi ~ a ~ l a arcg ~ cos ~ / ~ ( ~ Для нахождения пределов используются также следующие замечательные пределы: si( / первый замечательный предел / / второй замечательный предел ( ( ~ Теорема Произведение бесконечно малой при функции на функцию ограниченную в окрестности есть функция при бесконечно малая Часто при подстановке предельного значения аргумента в функцию стоящую под знаком предела можно получить неопределенные выражения следующих видов: / / Для их раскрытия полезны следующие рекомендации: Вид неопределенности a b m a b Предел m a b m a b R( P ( m q ( k Q l Tp где P k ( Q l ( T p ( многочлены степеней k l p m Способ нахождения предела способ Числитель и знаменатель дроби разделить почленно на где mam способ Воспользоваться теоремой а Если m то предел равен б Если m то предел равен в Если m то предел равен a /b способ Числитель и знаменатель дроби разделить почленно на где

8 Вид неопределенности 6 Предел соответственно R -дробно-рациональная функция от корней P( a Q ( где P ( и ( Q многочлены P( Q( или a T ( T ( где a P( Q( P ( Q ( T ( многочлены P( Q( или a T ( T ( a P( Q( где P ( Q ( T ( многочлены P( S( Q( T ( ( или a где ( S ( T ( многочлены ( P( Q( P Q ( где P ( и Q ( многочлены Способ нахождения предела k ma l m p q способ а Если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя то предел равен б Если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя то предел равен в Если старшие степени числителя и знаменателя равны то предел равен отношению коэффициентов (с учетом корней при старших степенях способ Разложить числитель и знаменатель на множители сократить общие множители способ Делить числитель и знаменатель на ( a столько раз сколько потребуется чтобы не стало неопределенности Числитель и знаменатель дроби умножить на P( Q( затем следовать алгоритму п Числитель и знаменатель дроби умножить на P( P( Q( Q( затем следовать алгоритму п Привести дроби к общему знаменателю затем см п или п Умножить и разделить выражение на P( Q( 8

9 Вид неопределенности 8 9 Предел ( P( Q( где P ( и Q ( многочлены ( f ( g( a g( где f ( f ( g( где f ( g( a ( f ( a g( a Способ нахождения предела Умножить и разделить выражение на P( P( Q( Q( Представить выражение в виде f ( ( f ( замечательному f ( f ( g( По второму пределу ( f ( найти f ( g( f ( Представить f ( g( в виде / g( g( (т е или (т е / f ( Применить правило Лопиталя: ( ( a ( a ( ( Представить g ( l f ( g f ( в виде Найти g( l f ( a используя правило Лопиталя Дадим также конкретные указания по решению задач типового расчета []: Задача Использовать определения и Задачи - Использовать указания для раскрытия неопределенностей / или Задача 6 Использовать второй замечательный предел Задача Использовать определение Задача 8 Использовать определение Задачи 9- Использовать указания для раскрытия неопределенности / v( Задачи 6-9 При вычислении пределов вида u( надо в начале рассмотреть отдельно пределы u( и v( и в зависимости от этого может сразу получиться ответ задачи или нужно будет раскрыть неопределенность вида с помощью второго замечательного предела 9

10 Задача Использовать ограниченность тригонометрических и обратных тригонометрических функций ( si( cos( arcg ( / и теорему [] ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С учетом сделанных выше указаний приведем примеры решения задач аналогичных задачам типового расчета [] Все примеры сгруппируем по задачам расчета Пример решения задачи Пример Доказать что a a (указать N ( если a a Решение Используем определение Необходимо доказать что какое бы мы ни взяли для него найдется номер N ( такой что для всех номеров N( имеет место неравенство: a a т е Возьмем любое Так как a ( ( то для нахождения N ( достаточно решить неравенство ( ( Отсюда 6 Следовательно за N ( можно взять целую часть числа т е N ( 9 9 Например при N ( Ответ: 6 N ( 9 Примеры решения задачи ( ( Пример Вычислить предел последовательности ( ( Решение Используем метод выделения главной части для бесконечно больших функций Так как при :

11 ( ~ ; ( ~ 6 ; ( ~ ; ( ~ получим: ( ( 6 ( ( 6 6 Ответ: Замечание Этот предел можно найти и другим способом: поделим числитель и знаменатель на в наивысшей для дроби степени а именно на внеся его в скобки В результате получим ( ( ( ( 6 ( ( Пример Вычислить предел последовательности ( Решение В этом случае уже нельзя в числителе применять теорему для бесконечно больших так как коэффициенты при равны В то же время очевидно что в числителе при вычитании слагаемые 6 взаимно уничтожаются и необходимо найти коэффициент при следующей старшей степени Для этого в числителе можно воспользоваться формулой бинома Ньютона m m m m( m m m a b a ma b a b b! или формулой разности квадратов что в данном случае проще Тогда получим ( ( ( ( В этой задаче также был использован метод выделения главной части при : ( ~ 6 ; 8 6 ~ 8 ; 6 Ответ: 6 ( ( ~ 8

12 Примеры решения задачи 6 Пример Вычислить предел последовательности 6 8 Решение Применим неоднократно метод выделения главной части для бесконечно больших функций Имеем: 6 6 ~ ~ / 6 6 / 6 ; / ; / ~ ~ (так как / / 6 ; ~ 6 8 / / ; ~ ~ (так как /> Окончательно получим Ответ: / / Пример Вычислить предел последовательности / / Решение Используя тот же метод что и в предыдущей задаче имеем Ответ: / / / Примеры решения задачи / Пример 6 Вычислить предел последовательности Решение При в числителе дроби будет неопределенность Преобразуем ее в неопределенность вида / Для этого переведем иррациональность из числителя в знаменатель дополняя числитель до формулы разности квадратов путем умножения на сумму Чтобы при этом исходная дробь не изменилась одновременно умножаем на эту сумму и знаменатель В результате получим /

13 ( ( ( ( ( ( ( ( Далее применим опять метод выделения главной части / / / ( ( ( Ответ: Пример Вычислить предел последовательности ( / Решение Неопределенность вида преобразуем в неопределенность / Для этого умножим числитель и знаменатель на скобку ( ( (неполный квадрат суммы чтобы получить разность кубов в числителе Тогда имеем ( ( ( ( ( ( ( В знаменателе опять использовали метод выделения главной части Ответ: Примеры решения задачи (! (! Пример 8 Вычислить предел последовательности (!( Решение В выражении общего члена последовательности содержатся факториалы (! По определению! те! произведение натуральных чисел С учетом этого выразим все факториалы стоящие под знаком предела через наименьший из факториалов (! : (! ( (! (! ( ( ( (! ( ( Имеем /

14 (! (! (!( ( ( (!( (! ( ( ( 8 ( 6 Ответ: Пример 9 Вычислить предел последовательности Решение Показательная функция при растет быстрее чем другие показательные функции стоящие под знаком предела Поэтому поделим числитель и знаменатель на получим так как ( / при Ответ: Пример Вычислить предел последовательности Решение Представим -й член данной суммы следующим образом: 6 Затем каждое слагаемое стоящее под знаком предела представим в виде суммы используя полученную формулу ; ; Тогда В результате в круглых скобках получились суммы членов геометрических прогрессий со знаменателями / и /6 Найдем эти суммы по формуле

15 q q b S ( Получим S 6 S Окончательно имеем 8 S S S S так как при 6 Ответ: 8 Пример Вычислить предел последовательности ( ( 8 Решение Задачу можно решить двумя способами Способ Сгруппируем слагаемые в числителе ( ( ( 8 ( Каждая скобка в числителе представляет собой сумму членов арифметической прогрессии с разностью d Найдем суммы S и S используя формулу a a S Получим S S Тогда ( ( 8 S S ( В знаменателе опять использовали метод выделения главной части

16 6 Способ Сгруппируем слагаемые в числителе иначе ( (8 ( ( Каждая скобка в числителе равна и таких скобок ровно штук Потому числитель равен Тогда окончательно имеем ( (8 ( ( Ответ: 6 Пример решения задачи 6 Пример Вычислить предел последовательности Решение Так как То получаем неопределенность вида следовательно нужно применить второй замечательный предел: Проведем следующие преобразования 6 6 ( / / p p / 6 6 где в конце применили свойство предела: v v u u и обозначение : ( p( Ответ:

17 Пример решения задачи Пример Доказать (найти ( что 6 Решение Используем определение Требуется доказать что по любому заданному можно подобрать так что для всех и удовлетворяющих неравенству будет справедливо неравенство f ( 6 Имеем f ( ( 9 ( Отсюда следует что Таким образом в качестве можно взять т е ( Например при ( Ответ: ( 8 Пример решения задачи 8 Пример Доказать что функция f ( непрерывна в точке (найти ( f ( Решение В указанной точке функция определена Найдем f ( f ( Используем определение Зададим Составим разность f ( f ( 6 и оценим ее по модулю При для значений удовлетворяющих неравенству будет также выполняться неравенство f ( f ( 6 ( ( ( 8 ( ( Отсюда следует ( ( ; ( ; Последнее неравенство должно выполняться для всех удовлетворяющих неравенству Поэтому в качестве ( можно взять т е

18 ( Окончательно имеем: для любого нашли ( что для всех удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство 6 Этим доказали что функция f ( непрерывна в точке 9 Пример решения задачи 9 6 Пример Вычислить предел функции Решение Воспользуемся указанием под буквой b Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель ( который и обращает числитель и знаменатель в точке в ноль Для этого поделим числитель и знаменатель дроби на разность ( «уголком» Тогда 6 ( 6 ( ( ( Ответ: 66

19 9 Примеры решения задачи Пример 6 Вычислить предел функции 9 Решение Воспользуемся указанием под буквой b ( ( 9 9 ( 6 ( Пример Вычислить предел функции Решение Чтобы избавиться от корней разных степеней сделаем замену переменной Пусть При Тогда ( ( ( ( так как Ответ:

20 Примеры решения задачи Пример 8 Вычислить предел функции ( (cos arcsi l( Решение Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых при функций имеем: ( ~ ( l l ; (cos ~ ; arcsi ~ ; l( ~ ~ Тогда применяя теорему и приложение т е метод выделения главной части для бесконечно малых функций получим Ответ: ( (cos l / arcsi l( cos cos Пример 9 Вычислить предел функции si( ( Решение Сделаем предварительные преобразования Используем свойство периодичности функции y si и формулы приведения Тогда при cos cos si si ~ ; si ( si( si( si ~ Окончательно получим cos cos si( ( Ответ: Пример Вычислить предел функции cos Решение Сделаем предварительные преобразования и используя при соответствующие эквивалентности / ( ( ~ ; cos ~ 8 окончательно получим

21 Ответ: / cos 8 Примеры решения задачи arcg( Пример Вычислить предел функции si si Решение Способ :Так как arcg ( arcg( ( ~ ( при ; si si si cos si cos ; si si( si( ( ~ ( при Тогда получим arcg( ( si si ( cos Способ : Сделаем замену переменной Тогда и Получим предел относительно новой переменной arcg( arcg( ( arcg( ( si si si ( si ( si si ( ( ( При вычислении были использованы эквивалентности при arcg( ~ ( ; si ( si( si ~ ; si ( si( si ~ Ответ: cos Пример Вычислить предел функции Решение Введем новую переменную Тогда и при получим cos(( cos( cos( ( (

22 cos ( l так как при Ответ: / ( l cos ~ / ; ~ Примеры решения задачи ( l Пример Вычислить предел функции si si g Решение g ~ при поэтому при si si si si ( ( ~ si si Сделаем следующие преобразования: si si si si g si si 6 6 Ответ: Пример Вычислить предел функции l cos cos Решение Введем новую переменную тогда и при Заменяем lcos lcos( l cos( lcos cos cos( cos( si l cos cos si 8 sil si l si l l Ответ:

23 Пример решения задачи Пример Вычислить предел функции arcsi g Решение Преобразуем и используем таблицу эквивалентных бесконечно малых функций arcsi g l l arcsi g l l l l l l / Ответ: Примеры решения задачи Пример 6 Вычислить предел функции si / 6 / 6 si si Решение Преобразуем и используем таблицу эквивалентных бесконечно малых функций si si si si ; / 6 / 6 si si si si cos ~ / 6 cos ; 6 6 si / 6 si / 6 ~ si ~ 6 6 Тогда si / 6 6 / 6 si si / 6 / 6 cos 6 Ответ: Пример Вычислить предел функции l g

24 Решение Преобразуем и используем таблицу эквивалентных бесконечно малых функций l g ~ l l ~ ; ~ l g так как предел справа не равен пределу слева то предел данной функции при не существует Ответ: не существует 6 Примеры решения задачи 6 Пример 8 Вычислить предел функции arcg / Решение arcg Получили неопределенность вида Поэтому воспользуемся вторым замечательным пределом в форме: / ( arcg l l p ( p ( ( ( ( l p где ( p( Ответ:

25 Пример 9 Вычислить предел функции Решение cos l l g cos g l Получили неопределенность вида поэтому используем второй замечательный предел в той же форме как и в примере 8 l g (cos cos cos cos cos (cos (cos (cos cos (cos p cos cos где ( p( Ответ: ( / p cos Замечание В конце решения примеров 8 и 9 использовали переход к пределу под знаком непрерывной функции Пример решения задачи Пример Вычислить предел функции Решение Находим Тогда Ответ: 9 si si / / si / 9

26 6 8 Примеры решения задачи 8 Пример Вычислить предел функции cg / si Решение si / cg / Получаем неопределенность используем второй замечательный предел и формулы приведения cg cg cg si p si si / / / si si g g si p / / cos p / / p / где ( p( Ответ: Пример Вычислить предел функции Решение получаем неопределенность и опять используем второй замечательный предел ( ( ( ( ( ( p ( ( p где ( p( Ответ:

27 9 Примеры решения задачи 9 Пример Вычислить предел функции l cos Решение cos l l l l l l Получаем l cos Ответ: Пример Вычислить предел функции 6 arcsi si g Решение Используя периодичность тригонометрических функций имеем si 6 si si g g g 6 arcsi / Окончательно имеем si 6 arcsi g Ответ:

28 Примеры решения задачи Пример Вычислить предел числовой последовательности cos 8 Решение Для всех cos т е величина ограниченная При Тогда получим Ответ: ~ / ~ 8 ~ cos / 8 Пример 6 Вычислить предел функции cos si arcsi Решение arcsi т е при arcsi ~ si не существует но функция si ограничена т е si Используем теорему : произведение бесконечно малой при функции на функцию ограниченную в окрестности точки есть функция бесконечно малая т е si arcsi Окончательно получим cos si arcsi cos si arcsi cos Ответ: 8

29 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Кузнецов Л А Сборник заданий по высшей математике Типовые расчеты : учеб пособие для вузов / Л А Кузнецов 9-е изд стер СПб : Лань 9 с Пискунов Н С Дифференциальное и интегральное исчисления Т : учеб пособие для втузов / Н С Пискунов Изд стер М : Интеграл- Пресс Бугров Я С Дифференциальное и интегральное исчисление : учебник для вузов / Я С Бугров Н С Никольский -е изд перераб и доп Ростов н/д : Феникс 99 9 с Кудрявцев Л Д Курс математического анализа: В т Т / Л Д Кудрявцев -е изд перераб и доп М : Дрофа с (Серия «Высшее образование» Бермант А Ф Краткий курс математического анализа : учеб пособие для вузов / А Ф Бермант - изд стер СПб : Лань 9 6 с (Классическая учебная литература по математике 9

30 Учебное электронное издание ПРЕДЕЛЫ Методические указания к выполнению типового расчета Составители: ГОРЯЧЕВА Наталья Яковлевна КИРЕЕВ Сергей Владимирович СЕЛИВАНОВ Владимир Владимирович Редактор Н А Евдокимова Услпл Объем данных Мб ЭИ 9 Ульяновский государственный технический университет г Ульяновск ул Сев Венец Тел: ( hp://wwwvculsuru

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство сельского хозяйства Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанская государственная академия ветеринарной

Подробнее

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа

Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа Методологические особенности формулы Тейлора в курсе математического анализа # январь Кандаурова И Е УДК: 57 Россия МГТУ им НЭ Баумана hadaur@gyrplaru Введение Классический курс математического анализа

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ 09.03.2013 Предел функции Математический анализ (лекция 4) 09.03.2013 2 / 49 Предел функции Определение Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности,

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова, В.М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 9 класс СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть Стакун Н.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть Пределы, функции, графики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Учебное пособие для факультета технологии и предпринимательства Москва Введение Настоящее

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

Предлагаемое пособие предназначено для студентов первого курса по направлению подготовки "Прикладная математика и информатика".

Предлагаемое пособие предназначено для студентов первого курса по направлению подготовки Прикладная математика и информатика. Родина ТВ, Трифанова ЕС, Бойцев АА Типовой расчет по математическому анализу для направления "Прикладная математика и информатика" 1 модуль Учебно-методическое пособие СПб: Университет ИТМО, 015 4 с Предлагаемое

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Теория пределов Составила: Миргородская Ирина Николаевна,

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Математический анализ» для профиля

5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Математический анализ» для профиля 5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Математический анализ» для профиля 080100.62 - «Статистика» Основная цель практических занятий способствовать усвоению

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÇÀÄÀ È Ñ ÐÅØÅÍÈßÌÈ

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÇÀÄÀ È Ñ ÐÅØÅÍÈßÌÈ Í. Â. Áîãîìîëîâ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÇÀÄÀ È Ñ ÐÅØÅÍÈßÌÈ àñòü 1 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО 2-е издание, исправленное и дополненное Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ â êà

Подробнее

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов Тригонометрические формулы k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ 5 9 классы МОСКВА «ВАКО» 201 УДК 32.851 ББК 4.262.22 С4 6+ Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования и науки РФ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции.

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции. Семинар 1 Введение в анализ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Функция, области определения, способ задания. 2. Понятие сложной и обратной функции. 3. Функции чётные и нечётные; периодические

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Дифференциальное исчисление функций одной переменной Дифференциальное исчисление функций одной переменной Тема: Производная функции Лекция Правила нахождения производной Производная основных элементарных функций СОДЕРЖАНИЕ: Правила дифференцирования Производная

Подробнее

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПЛУЖНИКОВА Елена Леонидовна РАЗУМЕЙКО Борис Григорьевич ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебно-методическое пособие для студентов всех специальностей Рецензент проф ЕА Калашников Редактор

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

А. Н. РУРУКИН ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ. к учебнику Ю.Н. Макарычева и др. (М.: Просвещение) НОВОЕ ИЗДАНИЕ. 8 класс

А. Н. РУРУКИН ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ. к учебнику Ю.Н. Макарычева и др. (М.: Просвещение) НОВОЕ ИЗДАНИЕ. 8 класс А. Н. РУРУКИН ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ к учебнику Ю.Н. Макарычева и др. (М.: Просвещение) НОВОЕ ИЗДАНИЕ 8 класс МОСКВА «ВАКО» 015 УДК 7:167.1:51 ББК 74.6.1 Р87 Р87 Рурукин А.Н. Поурочные разработки

Подробнее

Тригонометрические преобразования и вычисления

Тригонометрические преобразования и вычисления И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими преобразованиями и вычислениями, как правило, не сложны и потому нечасто

Подробнее

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении?

Ответ. Вопрос. Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Вопрос Какие числа называют натуральными? Ответ Натуральными называют числа, которые используют при счете Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Сформулируйте сочетательный

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. Я. Файн МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по курсу ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА для студентов первого курса

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, базовый уровень

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, базовый уровень Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 4 г. Балтийска Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, базовый уровень Балтийск

Подробнее

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, профильный уровень

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, профильный уровень Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 4 г. Балтийска Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, профильный уровень Балтийск

Подробнее

Календарно-тематический план по алгебре (7 класс)

Календарно-тематический план по алгебре (7 класс) п/п Тема урока (кол-во часов) Код элемента содержания (КЭС) Календарно-тематический план по алгебре (7 класс) Элемент содержания Раздел 1: Математический язык. Математическая модель (14 ч) 1 Числовые выражения

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства

Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Лабораторная работа 6 Предел и неравенства Необходимые понятия и теоремы: фундаментальная последовательность, критерий Коши, теорема о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности,

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ж Н КУЛЬБАКОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ по разделам «ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ» для студентов курса заочного факультета специальности - - «Математика научнопедагогическая

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Предмета АЛГЕБРА. 8 класс

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Предмета АЛГЕБРА. 8 класс Образовательной программе на 2016-2017 учебный год (7-11 классы), утвержденной приказом МБОУ «Средняя общеобразовательная школа 21» г. Калуги 145/01-08 от 26.08.2016 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Предмета АЛГЕБРА

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

Н. В. Деменева КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Н. В. Деменева КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени

Подробнее

Математика 6 класс. Тема 1. Делимость чисел.

Математика 6 класс. Тема 1. Делимость чисел. Математика 6 класс Тема. Делимость чисел. Основные понятия. Делитель натурального числа а натуральное число, на которое а делится без остатка. Например, ; 2; 5; 0 делители числа 0. Число 3 является делителем

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Практикум по курсу математического анализа

Практикум по курсу математического анализа ЯА Барлукова, СФ Долбеева Практикум по курсу математического анализа Часть II Улан- Удэ Министерство образования Российской Федерации Бурятский государственный университет ЯА Барлукова СФ Долбеева ПРАКТИКУМ

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

Программа по математике

Программа по математике Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

8 класс Алгебра. Тема "Рациональные дроби"

8 класс Алгебра. Тема Рациональные дроби 8 класс Алгебра Тема "Рациональные дроби" 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Понятие алгебраической дроби знакомо вам из курса алгебры 7-го класса, где мы довольно много внимания уделили сокращению алгебраических дробей.

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

Планируемые результаты освоения учебного курса

Планируемые результаты освоения учебного курса Данная рабочая программа составлена на основе: 1. Примерной общеобразовательной программы: Бурмистрова, Т.А. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра и начала анализа 10-11 классы /Составитель

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет НИ Ильинкова, ОАКононова, НКФилиппова Приложение теории вычетов к вычислению интегралов Минск УДК 575/55(75) Решение

Подробнее

Сборник задач и тестов по математике

Сборник задач и тестов по математике Муниципальное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Краснодарский муниципальный медицинский институт высшего сестринского образования» кафедра естественнонаучных

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Срок реализации программы, учебный год 2016/2017 учебный год

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Срок реализации программы, учебный год 2016/2017 учебный год Частное учреждение общеобразовательная организация школа «Мои Горизонты» «Рассмотрено» Руководитель МО /Дрожжина Н.В./ Протокол 1 от «29» августа 2016г. «Согласовано» Заместитель директора по УМР ЧУООШ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Правило Бернулли-Лопиталя. Формула Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N6. Правило Бернулли-Лопиталя. Формула Тейлора. ЛЕКЦИЯ N6 Правило Бернулли-Лопиталя Формула Тейлора Правило Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей Формула Тейлора Правило Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей Раскрытием неопределенностей

Подробнее

Алгебра 7 класс (7 Б, В, Г, Д, С классы) Пояснительная записка Программа разработана в соответствии с программой общеобразовательных школ, гимназий,

Алгебра 7 класс (7 Б, В, Г, Д, С классы) Пояснительная записка Программа разработана в соответствии с программой общеобразовательных школ, гимназий, Алгебра 7 класс (7 Б, В, Г, Д, С классы) Пояснительная записка Программа разработана в соответствии с программой общеобразовательных школ, гимназий, лицеев (см Министерство образования Российской Федерации.

Подробнее