размером m x n, то обычно используется следующее обозначение : c порядка m является произведением двух b соответственно размеров m x n и m m

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "размером m x n, то обычно используется следующее обозначение : c порядка m является произведением двух b соответственно размеров m x n и m m"

Транскрипт

1 Ф О Р М У Л А Б И Н Е К О Ш И Напомним, что если имеется произвольная матрица А = размером x, то обычно используется следующее обозначение : А = () то есть А это минор порядка р данной матрицы, в который включены строки с номерами и столбцы с номерами Пусть квадратная матрица С = порядка является произведением двух прямоугольных матриц А = и В = соответственно размеров x и x, то есть число строк матрицы А равно числу столбцов матрицы В, и наоборот, число строк матрицы B равно числу столбцов матрицы В этом случае матрица С = = А В получится квадратной и будет иметь порядок, равный Поэтому можно гово-рить об определителе этой матрицы Итак, имеем () Формула Бине Коши выражает определитель матрицы С через миноры матриц А и В А именно, определитель матрицы С равен сумме произведений всевозможных миноров максимального порядка матрицы А на соответствующие миноры того же порядка матри- цы В : B C () Если >, то матрицы А и В не имеют миноров порядка, и фигурирующие в формуле миноры следует считать равными нулю Следовательно, в этом случае 0 C

2 Д о к а з а т е л ь с т в о На основании правила умножения двух матриц получаем, что С = А В = = Каждый столбец этой матрицы можно представить в виде суммы столбцов Например, первый столбец можно записать как сумму столбцов : Тогда можно воспользоваться свойством определителя, состоящего в том, что если какойлибо столбец представлен как сумма двух столбцов, то определитель соответствующим образом представляется в виде суммы двух определителей Очевидно, что это свойство будет иметь место при любом конечном числе столбцов, на которые разбивается столбец

3 Таким образом, разлагая первый столбец в сумму столбцов, получим, что на слагаемых распадётся определитель матрицы С : C Далее, аналогичное преобразование определителя осуществим, разлагая второй столбец на столбцов Получится двойная сумма C Продолжая этот процесс разложения определителей, в итоге получим - кратную сумму C Теперь заметим, что в первом столбце каждого определителя содержится общий множитель число Его можно, пользуясь соответствующим свойством определителя, вынести из-под знака определителя Аналогично из второго столбца выносится общий множитель, из

4 4 третьего столбца выносится общий множитель и т д Из последнего столбца выносится общий множитель Таким образом, каждое слагаемое из - кратной суммы может быть записано в следующем виде : Используя более компактную запись для - кратной суммы, получим C,,,, где индексы,,, независимо друг от друга принимают все значения от до Нетрудно подсчитать, что эта сумма содержит слагаемых, но не все из них отличны от нуля Заметим, что если два различных индекса и принимают одинаковое значение, т е, то соответствующее слагаемое в - кратной сумме будет равно нулю, так как в этом случае равен нулю определитель, у которого окажутся столбцы с номерами и одинаковыми Поэтому все слагаемые, соответствующие таким наборам значений,,,, в которых хотя бы у одной пары индексов значения совпадают, можно не принимать во внимание, поскольку все эти слагаемые равны нулю В частности, если >, то на все индексов,,, не найдётся различных значений, которых только, и поэтому все слагаемые в рассматриваемой сумме будут равны нулю Таким образом, при > определитель матрицы С будет равен нулю, и в этом случае формула Бине - Коши доказана Теперь сосредоточимся на случае, когда Как следует из предыдущего, можно считать, что C,,,, где индексы,,, образуют такие наборы натуральных чисел (от до ), в которых все числа различны Например, такой набор : (,,,, ), или (,,,, ) и т д Возьмём один из таких наборов (,,,, ), т е при, и присоединим к нему все наборы, которые являются перестановками из чисел,,,, Как нам известно из теории перестановок, таких наборов будет!

5 5 Рассмотрим эту группу из! слагаемых отдельно от всех остальных слагаемых Поскольку набор значений индексов,,, определяет номера тех столбцов матрицы А, которые входят в определитель, (4) то у всех слагаемых рассматриваемой группы эти столбцы будут одни и те же, только стоять они будут в разном порядке Следовательно, все эти определители равны с точ- ностью до знака определителю, в котором столбцы стоят в правильном порядке :, если < Обозначим этот "правильный", т е упорядоченный набор чисел,,,, через,,,, Для этого набора выполняются неравенства : Для рассматриваемой группы такой набор единственен и ему соответствует определитель который является минором матрицы А :, (5) Все остальные наборы группы порождают определители, которые не являются минорами матрицы А, поскольку столбцы стоят в неправильном порядке Но они могут быть преобразованы в определитель (5) путём перестановки столбцов При этом знак у них, вообще говоря, изменит- ся Поэтому они все равны этому минору, но каждый со своим знаком Этот знак определяется тем числом перестановок столбцов, которое необходимо сделать чтобы расположить столбцы в определителе (4) в " правильном" порядке, преобразовав его в определитель (5) Теперь заметим, что если имеется перестановка из чисел,,,,, например,,,,, то число инверсий в этой перестановке можно считать несколькими способами Рассмотрим такой способ Сначала находим в этой перестановке наименьшее из чисел,,,, Это будет число Посчитаем, сколько инверсий образует это число Очевидно, что это число инверсий будет равно тому числу других чисел, которые стоят в перестановке раньше, чем Действительно, все эти числа больше, чем, а стоят раньше Следовательно, все они образуют инверсии с числом Других инверсий число не образует И можно констатировать, что число инверсий, образуемое числом, равно числу смежных транспозиций, необходимых для перестановки числа на первое место Аналогично обнаруживается, что число инверсий, которые образует число, равно числу

6 6 смежных транспозиций, которые необходимо сделать, чтобы переместить число на второе место в перестановке Продолжая эти рассуждения, приходим к выводу, что для того, чтобы определитель (4) преобразовать в определитель (5) путём перестановок столбцов, понадобится число смежных перестановок, равное числу инверсий в перестановке,,,, обозначаемое обычно через S (,,, ) Поскольку при каждой перестановке двух столбцов определитель меняяет знак, то будет справедливым следующее равенство : = S ( ) =,,, = S ( ) =,,, Теперь замечаем, что число не зависит от индексов, по которым идёт суммирование, и поэтому может быть вынесено за знак суммы как общий множитель Поэтому вся рассматриваемая группа из! слагаемых может быть записана в следующем виде : S (,,, ),,, Здесь суммирование ведётся только по таким наборам,,,, которые представляют собой перестановку из зафиксированных чисел,,,, ( Напомним, что в упорядоченном виде эти числа,,,, образуют набор,,,, ) Теперь выражение,,, S (,,, ) ( 6 ) преобразуем, переставив множители таким образом, чтобы первые

7 7 индексы (,,, номера строк матрицы В ) шли в правильном порядке т е возрастали слева направо Правильный порядок этих индексов даст последовательность,,,, Вторые индексы при перестановке сомножителей перемешаются и образуют некоторую перестановку из чисел,,,, Обозначим эту перестановку через (,,, ) Таким образом, выражение ( 6 ) примет следующий вид : S (,,, ) ( 7 ),,, Теперь рассмотрим две подстановки : и Они равны между собой, поскольку вторая из них получается из первой путём перестановки столбцов ( соответствующей им матрицы) Поэтому их четности одинаковы Чётность первой подстановки определяется числом инверсий в перестановке (,,, ), т е числом S (,,, ) Чётность второй подстановки определяется числом инверсий в перестановке (,,,, ), т е числом S (,,,, ), поскольку в перестановке инверсий нет Отсюда следует, что S(,, ) S(,, ) Поэтому выражение ( 7 ) можно переписать в следующем виде : S (,,, ) ( 8 ) (,,, ) Когда наборы индексов (,,, ) принимают всевозможные значения из выбранных различных чисел,,,,, однозначно определяемые ими наборы индексов (,,,, ) принимают всевозможные значения из чисел,,,, т е пробегают все! перестановок из этих чисел Поэтому выражение ( 8 ) представляет собой определитель, который является минором порядка матрицы В : B В итоге выделенная группа из! слагаемых представляется в виде : B Теперь производя суммирование по всевозможным наборам, получаем формулу Бине-Коши, таким, что

8 8 Ч И С Л Е Н Н Ы Й П Р И М Е Р Пусть матрицы А и В имеют следующий вид : Тогда, если А = 7 С = А В = По формуле Бине-Коши получим : , В = , то C 70 C = ( 7) ( 4) 8 ( 47) ( 5) 9 ( 8) NB Следует обратить внимание на то, как образованы слагаемые в этой сумме Например, первое слагаемое представляет собой произведение минора матрицы А максимального, т е второго порядка, составленного из первого и второго столбцов, на минор матрицы В тоже максимального порядка, составленного из строк, соответствующих минору мат- рицы А, т е тоже из первой и второй строки По такому принципу построены все 6 =! слагаемых в формуле Бине-Коши Конечно, формула Бине-Коши нужна не для вычисления определителей Её значение проявляется в различных теоретических построениях и задачах Поэтому следует отметить наиболее выжные её следствия С Л Е Д С Т В И Я И З Ф О Р М У Л Ы Б И Н Е К О Ш И Наиболее важное из следствий формулы Бине -Коши касается выражения минора матрицы С = А В, где матрицы А и В, вообще говоря, не удовлетворяют требованиям приме- нимости формулы Бине-Коши, что означает, что матрица С не обязана быть квадратной

9 9 Итак, пусть матрица С является произведением матрицы А на матрицу В Если матрица А имеет размеры x, а матрица В размеры x, то матрица С будет иметь раз- меры x, где, вообще говоря, не равно Выберем произвольный минор порядка в матрице С : С = Этот минор является определителем квадратной матрицы порядка, которая может быть представлена как произведение двух матриц : Здесь уже можно применить формулу Бине-Коши, которая даёт : С = B Таким образом, любой минор порядка р матрицы С, являющейся произведением двух матриц А и В, выражается через миноры того же порядка р этих матриц по выше при- ведённой формуле Следующее следствие касается ранга матрицы С, являющейся произведением двух матриц А и В : ранг матрицы С не превосходит рангов матриц А и В, или ) r, r ( r B Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть r, а r B, и пусть ), ( s Тогда, используя выше приведённую формулу, можно утверждать, что все миноры матрицы С порядка s + равны нулю Действительно, любой минор матрицы С порядка s + будет выражаться выше доказанной формулой через миноры матриц А и В, причём в неё войдут либо миноры порядка + матрицы А, либо миноры порядка + матрицы В Все они равны нулю и, следовательно, будет равна нулю вся сумма т е минор матрицы С Отсюда следует, что ранг матрицы С не превосходит s, что и требовалось доказать Последнее следствие касается определителя произведения двух квадратных матриц : B B C, т е определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их опреде- лителей

10 0 Д о к а з а т е л ь с т в о Результат тривиально следует из формулы Бине-Коши Если порядок квадратных матриц А и В равен, то поскольку матрицы квадратные ( = ), то в выражении для определителя матрицы С = АВ, даваемом формулой Бине-Коши, будет только одно слагаемое : C B B, и следствие доказано

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

V i : вычитание из i-й строки удвоенной последней; U i : ещё одно прибавление i-й строки к последней. Теперь ясно, что A = T 1 = T 1

V i : вычитание из i-й строки удвоенной последней; U i : ещё одно прибавление i-й строки к последней. Теперь ясно, что A = T 1 = T 1 Решения задач шестой студенческой олимпиады по алгебре Задача 1 Докажите, что если все элементы действительной квадратной матрицы порядка больше двух отличны от нуля, то их можно умножить на положительные

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

Выпуклые множества и функции

Выпуклые множества и функции Выпуклые множества и функции R n множество наборов из n вещественных чисел. Далее это множество будем называть пространством, его элементы точками, точку с координатами (x 1,..., x n ) будем обозначать

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В.Л. Клюшин Высшая МАтемаТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Учебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

МАТРИЦЫ. Определение

МАТРИЦЫ. Определение Определение Матрицей размером m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Числа из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. Число сочетаний и бином Ньютона

1. Число сочетаний и бином Ньютона ВШЭ, 20-2, «Дискретная математика» Отделение лингвистики филологического факультета, 20-2 уч. год. Дискретная математика Комбинаторика-2. Бином Ньютона (4 октября 20) Ю. Г. Кудряшов, И. В. Щуров, И. А.

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями

Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями Сайт автора Его блог Рассылка I. Задачи Задачи ЕГЭ типа С6 с ответами и решениями I.1. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах. [Ответ] [Решение] I.2. При каких значениях х оба числа и целые?

Подробнее

Перестановки: все что вы хотели знать о них, но боялись спросить

Перестановки: все что вы хотели знать о них, но боялись спросить Егор Ясинский Алгебра-1 Осень-2016 Группа 104 Перестановки: все что вы хотели знать о них, но боялись спросить Это 1 сводка основных определений, примеров и фактов о перестановках. За доказательствами

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Гущин Д. Д. http://www.mthnet.spb.ru ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Основные факты. Показательными уравнениями (неравенствами) называются уравнения (неравенства), содержащие переменную в показателе

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О. В. Якунина ВНЕШНИЕ

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Габриель Крамер (1704 1752) швейцарский математик. Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 9 класс СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Решение. Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей:

Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Решение. Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей: Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей: G =. Найти его проверочную матрицу H. Определить основные метрические параметры

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

B10 (высокий уровень, время 10 мин)

B10 (высокий уровень, время 10 мин) B0 (высокий уровень, время 0 мин) Тема: Преобразование логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,, ),

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 .5 setgray.5 setgray1 1 Консультация 3 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСА ЗАДАЧА 1. Даны полярные координаты точек A 8, 2π/3 и B6, π/3. Вычислить полярные координаты середины отрезка AB. Рис. 1.

Подробнее

l =- с собственным вектором ( )

l =- с собственным вектором ( ) Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ КИ Лившиц ЛЮ Сухотина ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебно-методическое пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 7 ББК Л Рецензенты: д-р физ-мат наук профессор

Подробнее

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n.

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n. 5. КРАМЕРОВСКИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В этом параграфе будем рассматривать системы линейных уравнений, у которых количество неизвестных равно числу уравнений. В самом общем виде эта система может

Подробнее

q и пишут a b. Число b называют делителем

q и пишут a b. Число b называют делителем ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. Определение. Говорят, что целое число a нацело делится на целое число b, если a b q и пишут a b. Число b называют делителем существует такое целое число q, что числа a. виде Определение.

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Сказочник: Миша Вельтищев Физическое отделение ЛЭШ, 1 цикл, 2007 г Введение Далее мы будем пользоваться некоторыми стандартными обозначениями R множество вещественных (действительных

Подробнее

Одно замечательное тождество для sin nx

Одно замечательное тождество для sin nx Одно замечательное тождество для x Г.И. Фалин д.ф.м.н., профессор кафедра теории вероятностей механико-математический факультет МГУ им.м.в.ломоносова А.И. Фалин к.ф.м.н., доцент кафедра общей математики

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Основные свойства гипергеометрических функций

Основные свойства гипергеометрических функций Основные свойства гипергеометрических функций Рекуррентные соотношения и аналитические продолжения. Функция fα, β,, z Как было показано в предыдущем разделе, частным решением гипергеометрического уравнения

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений. Определение блочных матриц Для решения систем линейных алгебраических уравнений синтезированного алгоритма МНК-уравнивания

Подробнее

ВЫЧИСЛЕНИЕ СТЕПЕНИ НЕЛИНЕЙНОСТИ ФУНКЦИИ НА ЦИКЛИЧЕСКОЙ ГРУППЕ ПРИМАРНОГО ПОРЯДКА А. В. Черемушкин.

ВЫЧИСЛЕНИЕ СТЕПЕНИ НЕЛИНЕЙНОСТИ ФУНКЦИИ НА ЦИКЛИЧЕСКОЙ ГРУППЕ ПРИМАРНОГО ПОРЯДКА А. В. Черемушкин. ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2014 Теоретические основы прикладной дискретной математики 2(24) УДК 519.719.325 ВЫЧИСЛЕНИЕ СТЕПЕНИ НЕЛИНЕЙНОСТИ ФУНКЦИИ НА ЦИКЛИЧЕСКОЙ ГРУППЕ ПРИМАРНОГО ПОРЯДКА А. В.

Подробнее

18 (повышенный уровень, время 3 мин)

18 (повышенный уровень, время 3 мин) 18 (повышенный уровень, время 3 мин) К. Поляков, 2009-2016 Тема: Основные понятия математической логики. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной»

Подробнее

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов Тригонометрические формулы k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

Л Е К Ц И Я 4. и получаем ортонормированный базис из его собственных векторов χ x : причем для определенности считаем спектр чисто дискретным:

Л Е К Ц И Я 4. и получаем ортонормированный базис из его собственных векторов χ x : причем для определенности считаем спектр чисто дискретным: Л Е К Ц И Я 4 А ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ На прошлой лекции мы построили некую конкретную схему квантовой механики, взяв в качестве основного оператор координаты $ X. Делалось это так. Ставим задачу

Подробнее

Лекция: Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел.

Лекция: Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел. Лекция: Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции на сайте http://mk.cs.msu.su

Подробнее

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем Региональная олимпиада по математике для студентов технических специальностей вузов Декабрь 205 г., СибГАУ Задания для второго и старших курсов с решениями. Пусть E единичная матрица порядка n, а I квадратная

Подробнее

Формула крюков. Первые примеры

Формула крюков. Первые примеры Формула крюков Что для нас головоломка, духом тайны разум будит очевидно, для потомка просто школьным курсом будет. И. Губерман Первые примеры На рисунке показаны все существующие способов так заполнить

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

ВЕСТНИК МАТЕМАТИКА АНАЛОГ МЕТОДА ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ БЕЗ ВЫБОРА ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА

ВЕСТНИК МАТЕМАТИКА АНАЛОГ МЕТОДА ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ БЕЗ ВЫБОРА ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА 22 МАТЕМАТИКА Владимир Николаевич КУТРУНОВ заведующий кафедрой математического моделирования Анна Александровна РАЗИНКОВА старший преподаватель филиала ТюмГУ в г Сургуте УДК 596 АНАЛОГ МЕТОДА ГАУССА РЕШЕНИЯ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод решения задач линейного программирования Симплекс-метод решения задач линейного программирования Основным численным методом решения задач линейного программирования является так называемый симплекс-метод. Термин «симплекс-метод» связан с тем

Подробнее

B4 (высокий уровень, время 10 мин)

B4 (высокий уровень, время 10 мин) B4 (высокий уровень, время 1 мин) Тема: Преобразование логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,, ),

Подробнее

Нормальные подгруппы

Нормальные подгруппы Нормальные подгруппы Рассмотрим теперь следующий важный класс подгрупп ОПРЕДЕЛЕНИЕ Подгруппа H группы G называется нормальной, если для любого x G имет место равенство xh Hx Подчеркнем, что если H является

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее