ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению."

Транскрипт

1 ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный оператор -го d dy порядка Ly= p ( ) qy ( ) где коэффициенты p( ) q ( ) ρ ( ) удовлетворяют d d условиям: p( ) непрерывно дифференцируемая а q ( ) и ρ ( ) непрерывные на [ ] функции причем ρ ( ) > p( ) > q ( ) ( [ ] ) Поставим вопрос: найти такие числа при которых существует нетривиальное решение следующей краевой задачи ( α + α β + β ): Ly + ρ( ) y = αy ( ) + αy ( ) = βy ( ) + βy ( ) = Эта задача называется краевой задачей на собственные значения и собственные функции для оператора Штурма-Лиувилля (сокращенно - задача Штурма-Лиувилля) числа при которых существуют нетривиальные решения - собственными значениями а соответствующие нетривиальные решения - собственными функциями Замечание Возможны и другие типы дополнительных условий (см пример 75 и задачу 73) Обозначим G ( ) функцию Грина краевой задачи Ly = f ( ) αy ( ) + αy ( ) = βy ( ) + βy ( ) = Функция G ( ) непрерывна по совокупности аргументов и симметрична те G ( ) = G ( ) она существует если однородная краевая задача Ly = αy ( ) + αy ( ) = βy ( ) + βy ( ) = имеет только тривиальное решение те = не является собственным значением оператора L При этих условиях задача Штурма-Лиувилля может быть сведена к эквивалентной задаче на характеристические числа и собственные функции y ( ) = G ( ) ρ( ) yd ( ) для интегрального оператора с непрерывным ядром G ( ) ρ ( ) Если ρ() / то ядро интегрального оператора не является симметрическим Однако ядро K( ) = ρ( ) G( ) ρ( ) уже является непрерывным и симметрическим 55

2 Ly + ρ( ) y = В курсе лекций для первой краевой задачи доказано y ( ) = y ( ) = существование функции Грина при условиях ρ ( ) > p( ) > q ( ) и получены следующие свойства собственных значений и собственных функций Теорема Задача Штурма-Лиувилля эквивалентна задаче на характеристические числа и собственные функции ϕ( ) = K( ) ϕ( ) d для интегрального оператора с непрерывным симметрическим замкнутым ядром K( ) = ρ( ) G( ) ρ( ) где ϕ( ) = y ( ) ρ( ) Теорема Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля вещественны и образуют бесконечную последовательность причем + при Теорема Каждое собственное значение задачи Штурма-Лиувилля имеет кратность единица Теорема Собственные функции yi( ) yk( ) задачи Штурма-Лиувилля отвечающие различным собственным значениям i k ортогональны на отрезке [ ] с весом ρ ( ) те yi( ) yk( ) ρ ( ) d= при i k и могут быть нормированы с весом ρ ( ) : y k ( ) ρ ( ) d= Теорема (Стеклова) Любая дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке [ ] и удовлетворяющая однородным краевым условиям на его концах функция f ( ) представима в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда Фурье по ортонормированной с весом ρ ( ) системе собственных функций задачи Штурма- Лиувилля: f ( ) = f y ( ) где коэффициенты Фурье равны f = f( ) y ( ) ρ( ) d = Теорема Собственные значения первой краевой задачи Штурма-Лиувилля положительны Имеет место следующая оценка снизу для наименьшего собственного значения: dy q( ) = qy + p d > mi d [ ] ρ( ) Заметим что перечисленные результаты остаются справедливыми и для второй краевой задачи (граничные условия имеют вид y ( ) = y ( ) = ) если q ( ) / для третьей краевой задачи (граничные условия имеют вид y ( ) h y( ) = y ( ) + h y( ) = ) если h h положительные постоянные а также для смешанных краевых задач когда левом конце задается условие одного вида а на правом другого Необходимо помнить что в случае второй краевой задачи при q ( ) существует нулевое собственное значение а остальные собственные значения положительны В некоторых случаях задача построения последовательности характеристических чисел и собственных функций интегрального оператора Фредгольма с непрерывным невырожденным ядром специального вида может быть сведена к задаче Штурма-Лиувилля (примеры 77 и 78) 56

3 Примеры решения задач Пример 7 Доказать что оператор d dy Ly = p( ) d d рассматриваемый на подпространстве дважды непрерывно дифференцируемых функций из h [ ] удовлетворяющих граничным условиям y ( ) = y( ) y ( ) = является симметрическим Решение Требуется доказать для любых двух функций y ( ) z ( ) из указанного подпространства имеет место равенство ( Ly z) = ( y Lz) где скалярное произведение в h [ ] введено обычным образом: ( yz ) = yzd ( ) ( ) Рассмотрим произвольные дважды непрерывно дифференцируемые на [ ] функции y ( ) z ( ) такие что y ( ) = y( ) y ( ) = и z ( ) = z( ) z ( ) = Тогда интегрируя по частям и учитывая граничные условия будем иметь: ( Ly z) = [( p( ) y ( )] z( ) d = [ py ] z p( ) y ( ) z ( ) d = p( ) y( ) z( ) p( ) y ( ) z ( ) d ( y Lz) = y( )[( p( ) z ( )] d = y[ pz ] y ( ) p( ) z ( ) d = p( ) y( ) z( ) p( ) y ( ) z ( ) d Сравнивая полученные выражения заключаем что для любых элементов рассматриваемого подпространства выполнено соотношение ( Ly z) = ( y Lz) что и требовалось доказать Замечание Из полученного результата вытекает что все собственные значения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля вещественны Пример 7 Доказать что все собственные значения третьей краевой задачи Штурма- Лиувилля Ly + ρ( ) y = y ( ) y( ) = y ( ) + 3 y( ) = d dy положительны если оператор Ly= p ( ) qy ( ) причем ρ ( ) > p( ) > d d q ( ) [ ] Решение Заметим что все собственные значения - вещественны Это следует из симметричности оператора при заданных граничных условиях которая может быть установлена аналогично примеру 7 Пусть - собственное значение задачи а y ( ) / - соответствующая собственная d dy функция те y ( ) является решением уравнения p ( ) qy ( ) + ρ( y ) = d d Умножим это уравнение на y ( ) и проинтегрируем по отрезку [ ] (первое слагаемое в левой части формулы интегрируется по частям): ( ) = ρ [( p( y ) ] qy ( ) yd ( ) pyy ( ) py ( ) ( d ) qy ( ) ( d ) ( y ) ( d ) 57

4 Учитывая граничные условия y ( ) = y( ) y ( ) = 3 y( ) и то что y ( ) / получим ρ( ) ( ) = ( )3 ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) y d p y p y p y d q y d > тк ρ ( ) > > если y( ) cot = если y( ) cot Если y ( ) cot то правая часть равенства положительна следовательно > если же считать y( ) cot то из граничных условий следует y ( ) что противоречит сделанному выше предположению Итак > что и требовалось Пример 73 Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма- Лиувилля y + y = y () = y ( l) = Решение В рассматриваемом случае имеем ρ ( ) = > p( ) = > q ( ) [ l] поэтому можно действуя как в примере 7 установить что все собственные значения действительны причем одно из них = а остальные - положительны В случае = = имеем y ( ) = C + C и учитывая граничные условия получаем y( ) = C Пусть > тогда общее решение уравнения имеет вид y ( ) = Ci + Cco Дополнительные условия дают y () = C = y () l = C i l = откуда получаем i l = Следовательно искомые собственные значения = = 3 а отвечающие им собственные функции y( ) = Cco l l Пример 74 Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма- Лиувилля y + y = y () y() = y() = Решение Так как ρ ( ) = > p( ) = > q ( ) [ l] то все собственные значения действительны и положительны Общее решение уравнения имеет вид y ( ) = Ci + Cco и из граничных условий вытекает y () y() = C C = y() = Ci + Cco = Нетривиальное решение этой системы те C + C существует если i co = co + i = > Поэтому определяется из трансцендентного уравнения tg = положительные решения которого и будут искомыми собственными значениями 58

5 Далее рассмотрев любое из уравнений системы для C C имеем C = C = Ctg откуда получим y( ) = C(i + co ) = C(i tg co ) Итак собственные значения ( = 3) рассматриваемой задачи Штурма- Лиувилля есть положительные решения уравнения tg = а соответствующие им собственные функции могут быть после несложных преобразований записаны в виде y ( ) = Ci ( ) Пример 75 Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма- Лиувилля y + y = y() = y( ) y () = y ( ) Решение Действуя как в примере 7 нетрудно показать что в рассматриваемом случае все собственные значения неотрицательны Пусть = тогда y ( ) = C + C и учитывая дополнительные условия имеем y ( ) = C Поэтому = - собственное значение задачи с собственной функцией y( ) = Если > то общее решение уравнения имеет вид y ( ) = Ci + Cco и из граничных условий вытекает y() y( ) = C C co C i = y () y ( ) = ( C C co + C i ) = Нетривиальное решение этой системы те + существует если C C i co = co = co i Поэтому = = 3 и при найденных значениях существуют по два линейно () () C C независимых решения = C и = C которые при каждом = = 3 определяют две линейно независимых собственные функции y () ( ) i = и y () ( ) = co Итак собственное значение = имеет кратность и ему соответствует собственная функция y( ) = собственные значения кратность и им отвечает по линейно независимые функции y () ( ) = co = = 3 имеют y () ( ) = i и Замечание Дополнительные условия поставленные в этом примере возникают при рассмотрении периодических задач те y ( ) = y ( + ) 59

6 Пример 76 Проверить возможность сведения к интегральному уравнению и свести задачу Штурма-Лиувилля y + ( + ) y = y() = y() = к интегральному уравнению Фредгольма с симметрическим ядром Решение В нашем случае Ly y p ( ) = > q ( ) ρ( ) = + > [] Докажем что = не является собственным значением рассматриваемой задачи Штурма-Лиувилля те однородное уравнение Ly y = с условиями y() = y() = имеет только тривиальное решение Действительно y ( ) = C + C откуда с учетом дополнительных условий получаем y ( ) Это означает что функция Грина оператора Ly y при условиях y() = y() = существует и следовательно задача Штурма- Лиувилля может быть сведена к интегральному уравнению ( ) Построив функцию Грина G ( ) = и рассматривая ( ) выражение ( + ) y как неоднородность приведем уравнение к виду ( ) = ( )( + ) ( ) y G yd Чтобы симметризовать ядро умножим последнее соотношение на рассмотрение функцию ϕ ( ) = y ( ) + Тогда получим + и введем в ϕ( ) = K( ) ϕ( ) d - интегральное уравнение Фредгольма с непрерывным симметрическим ядром K( ) G( ) = + + для функции ( ) ϕ Пример 77 Рассмотрим однородное уравнение Фредгольма симметрическим непрерывным (невырожденным) ядром ( ) K( ) = ( ) [ ] y ( ) = K ( ) yd ( ) с Найти характеристические числа и ортонормированные собственные функции этого ядра Решение Чтобы определить характеристические числа нужно найти те значения при которых уравнение y ( ) K ( ) yd ( ) = имеет нетривиальные решения соответствующие решения y ( ) / и есть искомые собственные функции Заметим что ядро K( ) в рассматриваемом случае имеет специфическую структуру напоминающую функцию Грина некоторой краевой задачи Поэтому следует ожидать что процедура построения характеристических чисел и собственных функций может быть сведена к решению задачи Штурма-Лиувилля Запишем уравнение в виде y( ) = ( ) y ( ) d + ( ) y ( ) d откуда следует что y() = y() = После двукратного дифференцирования обеих частей этого соотношения по х приходим к дифференциальному уравнению y + y= 6

7 Итак характеристические числа и собственные функции являются решениями задачи Штурма-Лиувилля для уравнения y + y= с граничными условиями y() = y() = Нетрудно показать что если то имеется только нулевое решение y ( ) При > получим y ( ) = ci + cco следовательно нетривиальные решения существуют тогда и только тогда если = = ( ) При этом ранг каждого характеристического числа равен единице так как им отвечают одномерные собственные подпространства вида y( ) = Ci Так как ядро оператора симметрическое то собственные функции отвечающие различным характеристическим числам ортогональны Нормируя их получим ортонормированную систему собственных функций ϕ ( ) = i Замечание Приведенный здесь алгоритм нахождения характеристических чисел и собственных функций учитывает специфику структуры ядра K( ) которое представляет собой функцию Грина некоторой краевой задачи Другие способы построения характеристических чисел и собственных функций были рассмотрены в примерах и задачах к темам 3 и 6 Пример 78 Фредгольма Найти характеристические числа и собственные функции оператора y ( ) = K ( ) yd ( ) с симметрическим непрерывным (невырожденным) ядром ( + ) K( ) = [ ] ( + ) Решение Действуя как в предыдущем примере сведем интегральное уравнение к краевой задаче Штурма-Лиувилля Запишем уравнение в виде Дифференцируя это соотношение найдем y( ) = ( + ) y ( ) d + ( + ) y ( ) d y ( ) = ( + ) y( ) d+ ( + ) y( ) + y( ) d ( + ) y( ) Заметим что y() = yd ( ) y() = ( + ) yd ( ) y () = yd ( ) y () = ( + ) yd ( ) Дифференцируя уравнение еще раз получим y ( ) = ( + ) y ( ) y ( ) = y ( ) Итак характеристические числа и собственные функции являются решениями следующей задачи Штурма-Лиувилля: y y = y() = y () y() = y () Так как ядро симметрическое то все характеристические числа - вещественные Однако в данном случае знак характеристических чисел заранее неизвестен поэтому для решения задачи необходимо рассмотреть обе возможности: > и < (случай = как следует из определения характеристического числа невозможен) Пусть > Тогда общее решение уравнения имеет вид y ( ) = Ce + Ce Граничные условия приводят к системе 6

8 C+ C = ( C C) Ce Ce ( Ce + = Ce ) которая имеет нетривиальные решения при условии ( ) h = Таким образом = - характеристическое число ранг его равен и ему отвечает собственное подпространство вида y( ) = Ce Пусть = ω < Тогда общее решение уравнения имеет вид y ( ) = Ccoω + Ciω Граничные условия приводят к системе C = ωc Cco ω + Ci ω = ω( Ciω+ Cco ω) условием нетривиальной совместности которой является ( + ω ) i ω = те ω = Итак характеристические числа = < Ранг каждого характеристического числа равен единице и им отвечают собственные функции вида y( ) = C( co + i ) Задачи для самостоятельного решения 7 Доказать что все собственные значения задачи Штурма-Лиувилля py ( ) qy ( ) + ρ( y ) = ( ) p( ) > q( ) ρ( ) > ( ) положительны при следующих граничных условиях: а) y ( ) = y ( ) = б) y ( ) = y ( ) = в) y ( ) y ( ) = y ( ) + y ( ) = г) y ( ) y ( ) = y ( ) + y ( ) = 7 Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля: а) y + y = y () = y( l) = б) y + y = y() = y ( l) = в) y + y = y() = y () + hy() = ( h> ) г) y + y = y () = y ( l) + hy( l) = ( h> ) д) y + y = y () hy() = y ( l) = ( h> ) е) y + y = y () hy() = y ( l) + hy( l) = ( h h > ) ж) y ( y + ) = y() = y() = 73 Проверить возможность сведения к интегральному уравнению и свести задачу Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Фредгольма с симметрическим ядром: а) y + ( + ) y = y () = y () = б) y + e y = y () = y () = в) y + e y = y () = y () = г) y + y = y () = y() + hy () = д) ( + ) y + y + y = y () = y () = 6

9 е) y + y + y= y () = y () = ж) ( y + ) y = y () < y () = з) ( y + ) ( ) y = ( ) y () < y () = 74 Найти характеристические числа и собственные функции однородного уравнения Фредгольма с непрерывным симметрическим невырожденным ядром в следующих случаях: а) y ( ) = K ( ) yd ( ) где K( ) = co i б) y ( ) = K ( ) yd ( ) где K( ) = co i i co в) y ( ) = K ( ) yd ( ) где K( ) = i co Указание Свести интегральное уравнение к задаче Штурма-Лиувилля Ответы к задачам 7 а) = ( + ) = ( ) = co ( + ) y C l l б) = ( + ) = ( ) = i ( + ) y C l l в) = 3 - положительные решения уравнения tg = h y( ) = Ci г) = 3 - положительные решения уравнения ctg l = h y( ) = Cco д) = 3 - положительные решения уравнения ctg l = h y ( ) = Cco ( l ) е) = 3 - корни уравнения ж) = 3 y( ) Ci l l = = l tg h h l = + hh y ( ) = C( h i + co ) 73 а) б) G ( ) = K( ) = + G( ) + ( ) G ( ) = K( ) = e G( ) e ( ) 63

10 в) г) д) е) ж) з) 74 а) б) в) G ( ) K( ) = e G( ) e ( h+ ) h G ( ) + ( h ) h + K( ) = G( ) rctg G ( ) rctg K( ) = G( ) G ( ) = K( ) = G( ) l G ( ) = l K( ) = G( ) ( ) G ( ) = K( ) = G( ) ( ) = ( + ) y = Ci ( + ) = = ( + ) y = Cco( + ) = = ( + ) y = Ci( + ) = 64


14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов, y определен элемент

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром.

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Лекция 4 6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Подытожим результаты полученные в предыдущем параграфе в следующей теореме.

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ (

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ ( Краевые задачи L ни разу все функции комплекснозначные Определение: - задачей называют задачу найти такое что верно задача имеет хоть одно решение а именно Предложение : - линейный оператор L и - линейные

Подробнее

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТЕМА 5 Линейное уравнение Вольтерра -го рода Основные определения и теоремы Уравнение y = λ K(, ) y( ) d+ f( ),, [,, или в операторной форме y = λ By+ f, называется уравнением Вольтерра -го рода Пусть

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

В. Т. Волков, А. Г. Ягола. Интегральные уравнения Вариационное исчисление

В. Т. Волков, А. Г. Ягола. Интегральные уравнения Вариационное исчисление Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет В Т Волков, А Г Ягола Интегральные уравнения Вариационное исчисление Методы решения задач Учебное пособие для студентов курса

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

ТЕМА 6. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода. Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма.

ТЕМА 6. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода. Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма. ТЕМА 6 Неоднородное уравнение Фредгольма -го рода Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами Теоремы Фредгольма Основные определения и теоремы Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма yx ( ) = λ Kxs

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с "малым" λ.

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с малым λ. ТЕМА 4 Принцип сжимающих отображений Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма -рода с "малым" λ Основные определения и теоремы Пусть D оператор вообще говоря нелинейный действующий D:

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

ТЕМА 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов x, y определен элемент

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ. Математика 3 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ, СВЯЗАННЫМ С КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ТЕЛ

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ. Математика 3 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ, СВЯЗАННЫМ С КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ТЕЛ УДК 57.99.7 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ, СВЯЗАННЫМ С КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ТЕЛ канд. пед. наук, доц. В.С. ВАКУЛЬЧИК, канд. физ.-мат. наук, доц. И.Б. СОРОГОВЕЦ, С.А.

Подробнее

41. Симметрические операторы

41. Симметрические операторы 41 Симметрические операторы Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают дополнительными свойствами по сравнению с линейными операторами в векторных пространствах без скалярного

Подробнее

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае 1 I рода слева I рода справа Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями I-го рода: { X x + Xx, X X 11 Общее решение уравнения X x + Xx имеет вид Xx c

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Сферические функции.

Сферические функции. Сферические функции. Р.В.Константинов, rkonst@gmail.com 1. Сферические координаты в пространстве R 3 : x r cos ϕ sin θ, y r sin ϕ sin θ, z r cos θ, r, ϕ [, 2π], θ [, π]. Единичная сфера в R 3 : S x, y,

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава 1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Лекция 1 1 Введение Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла Разумеется, мы не будем рассматривать интегральные

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

В. Т. Волков, А. Г. Ягола

В. Т. Волков, А. Г. Ягола В Т Волков, А Г Ягола ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (курс лекций) Предисловие Учебное пособие "Интегральные уравнения Вариационное исчисление (курс лекций)" написано на основе опыта чтения

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя.

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Линейные и нелинейные уравнения физики Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич

Подробнее

Раздел 1. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. Тема 1. Существование и единственность решения краевой задачи. Матричные функции Грина.

Раздел 1. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. Тема 1. Существование и единственность решения краевой задачи. Матричные функции Грина. 6 Раздел ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Тема Существование и единственность решения краевой задачи Матричные функции Грина Рассмотрим на отрезке по линейную краевую задачу для системы из обыкновенных дифференциальных

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 23 23.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве Про компактные операторы в банаховых пространствах нам уже довольно много известно (см. лекции 18

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова. С.Е. Биркган

Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова. С.Е. Биркган Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова С.Е. Биркган Интегральные уравнения и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега

Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Лекция 3. Интеграл Лебега. Пространства Лебега Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 29 сентября 2011 г. Измеримые функции Интеграл Лебега,

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

21. Проблема собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля

21. Проблема собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля Варианты задач 21. Проблема собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля 21.1. Постановка задачи. Общие сведения Рассматривается краевая задача Ly = (p(x)y ) + q(x)y = λy, (1) где при x (, b) p(x) непрерывно

Подробнее

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» по теме: «РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО РОДА

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций 345 4 Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пусть ( ( x - ортогональная система функций в L [ ; ] Выражение c ( x + c1 ( x + 1 c ( x + + ( c ( x = c ( x (41 = называется обобщенным рядом Фурье по

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

^A на плоскости, и { } 1

^A на плоскости, и { } 1 Линейные операторы в конечномерных пространствах Будем для простоты рассматривать линейные операторы в линейном пространстве, образованном множеством векторов на плоскости (пространство двух измерений

Подробнее

= 0 u. функции, μ - j-й по порядку положительный нуль функции Бесселя,

= 0 u. функции, μ - j-й по порядку положительный нуль функции Бесселя, функции Бесселя 8 7/8 8 7в Решить смешанную задачу u Δu < > u u ; u u g( s u u < где g - гладкие на [ ] функции - j-й по порядку положительный нуль функции Бесселя j K j K ; Δu u u yy y s Уроев стр 5 7

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка

Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.В. Абрамян,

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3)

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3) Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов Основные свойства классических ортогональных полиномов 9 Лекция 9.1 Классические ортогональные полиномы 9.1.1 Определение

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Методические указания по курсу «Интегральные уравнения»

Методические указания по курсу «Интегральные уравнения» Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Волгодонский инженерно-технический институт

Подробнее

5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Сущность метода Многие диффузионные задачи решаются методами интегральных преобразований те методом операционного исчисления Операционное

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения С А Бутерин обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения МАТЕМАТИКА УДК 517984 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее