ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки 8 «Экономика», 8 «Менеджмент» Нижний Новгород

2 УДК.(7) ББК.я7 К9 К 9 Козинова А.Т., Ошарина Н.Н. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II: Учебное пособие. Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет,. 7 с. Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент С.А. Лапинова к.ф.-м.н., доцент Е.В. Губина Учебное пособие предназначено для методической поддержки лекционных и практических занятий по дисциплине «Линейная алгебра» для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 8 «Экономика», 8 «Менеджмент». В данном издании второй части учебного пособия представлены следующие разделы дисциплины «Линейная алгебра»: многочлены и комплексные числа, элементы аналитической геометрии, линейное программирование. По всем темам предлагаются примеры решения типовых задач, задания для самостоятельной работы, вопросы для самоконтроля и подготовки к аттестации. Ответственный за выпуск: председатель методической комиссии финансового факультета ННГУ, к.э.н., доцент Н.Н. Никулина Учебное пособие разработано на кафедре компьютерных информационных систем финансовых расчетов финансового факультета ННГУ, заведующий кафедрой профессор В.Н. Ясенев УДК.(7) ББК.я7 Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского,

3 «Математика это язык, на котором написана книга природы» Галилео Галилей (-) Введение Дисциплина «Линейная алгебра» создает одну из фундаментальных основ экономического образования. Она является базовой в математическом цикле ООП ФГОС ВПО по направлениям: 8 «Экономика» и 8 «Менеджмент» (квалификация (степень) «бакалавр»). Наряду с дисциплинами «Математический анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Линейная алгебра» включает важнейшие понятия и методы, которые наиболее часто востребованы во время образовательного процесса в других дисциплинах, в профессиональной деятельности, а также являются элементами общей культуры. Учебное пособие «Линейная алгебра» представлено в двух частях. В первую часть учебного пособия включены разделы: векторы и линейные пространства (глава ), матрицы и определители (глава ), системы линейных алгебраических уравнений (глава ). Данное издание, вторая часть пособия, состоит из разделов: многочлены и комплексные числа (глава ), аналитическая геометрия (глава ) и линейное программирование (глава ). Результаты освоения любой темы дисциплины зависят от хороших знаний по другим темам, представленным в учебном пособии, как ранее, так и позднее. Например, для отыскания собственных значений и собственных векторов матрицы (глава ), нужно уметь анализировать многочлены и находить корни алгебраических уравнений (глава ), а для анализа многочленов, их представления в виде суммы многочлена и конечной суммы элементарных дробей (глава ), нужно уметь решать системы линейных уравнений (глава ). По всем предлагаемым темам дисциплины «Линейная алгебра» в учебном пособии даны основные алгебраические понятия, представлены важнейшие теоретические положения, приведены примеры типовых задач и показаны методы их решения, сформулированы задания для самостоятельной работы и вопросы для подготовки к аттестации. Важнейшей целью математической дисциплины «Линейная алгебра» является формирование необходимых навыков применения понятийной алгебраической базы для решения теоретических и прикладных задач в разных областях. В предлагаемом учебном пособии приведены многочисленные примеры использования методов линейной алгебры, как в геометрии (главы, ), так и в экономике (главы,, ).

4 Глава. Многочлены и комплексные числа.. Комплексные числа Комплексным (мнимым) числом называется выражение z, где и - действительные числа, - мнимая единица. Числа и называются соответственно действительной частью и мнимой частью комплексного числа z и обозначаются Rez, Im z. Мнимая единица удовлетворяет соотношению. Два комплексных числа z и z равны z z, если равны их действительные и мнимые части,. Два комплексных числа z и z, имеющие одинаковые действительные и противоположные мнимые части, называются сопряженными. Арифметические операции над комплексными числами z и z. Сложение (вычитание) комплексных чисел z z. Умножение комплексных чисел zz. Деление комплексных чисел z z Примечание. Все арифметические операции над комплексными числами определяются по правилам соответственно сложения, умножения и деления многочленов. Пример. Даны комплексные числа z и z. Найдем z комплексные числа а) z z, б) z z, в) z z и г). z а) z z б) z z 7 в) zz 7 9 z г) 7,7, z 9

5 Тригонометрическая форма комплексного числа В декартовой системе координат комплексное число изображается M,. Оси O и O называются соответственно мнимой и действительной осями, координатная плоскость комплексной. Абсцисса и ордината каждой точки изображают соответственно действительную и мнимую части комплексного числа z. Полярные координаты точки M определяются M, r положением радиус-вектора OM - его длиной OM r и углом осью O и точкой называются модулем r z и аргументом Рис. Arg z комплексного числа z (рис. ). Справедливы соотношения: r z, cos, sn. r r Из значений аргумента комплексного числа Arg z выделяют главное значение аргумента rg z, удовлетворяющее условию rg z. Связь между декартовыми и полярными координатами точки M комплексной плоскости r cos и rsn определяет тригонометрическую форму z r cos sn комплексного числа Пример. Найдем тригонометрическую форму комплексных чисел: а) z, б) z 7, в) z, г) z. а) Комплексное число z имеет Rez и Im z. Отсюда r z, cos, sn, rg z. z cos sn б) r z 7 7, cos, sn, rg z z 7 7cos sn в) r z, cos, sn, rg z z cos sn

6 cos, z cos sn r, г) z sn ; rg z ; Арифметические операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Умножение комплексных чисел zz r cos sn r cos sn r r cos sn. Деление комплексных чисел z r cos sn r cos sn z r cos sn r. Возведение в степень комплексного числа (формула Муавра) n n n z rcos sn r cos n sn n, где n - целое число. Извлечение корня из комплексного числа n k k z n r n cos sn rcos sn, n n где k, n ; n - натуральное число. Пример. Выполним арифметические операции над комплексными числами z и z z в тригонометрической форме: а) z z, б), z 9 в) z, г) z. Используем полученные в предыдущем примере тригонометрические представления комплексных чисел z cos sn z cos sn а) z z cos sn cos sn z б) 7 7 cos sn cos sn z в) z cos sn cos sn

7 г) z z, где z cos sn k z cos sn k, где k,, z cos sn z cos sn z 7 7 cos sn Показательная форма комплексного числа Формула Эйлера e cos sn определяет показательную форму комплексного числа z r e. Пример. Запишем в показательной форме комплексные числа z и z. Используем полученные ранее тригонометрические представления чисел z cos sn и z cos sn. Используя значения модуля и аргумента комплексных чисел, находим z e и z e... Многочлены и алгебраические уравнения. Основные понятия Многочлен относительно,,..., n и целая рациональная функция k k k F,,..., n есть суммы конечного числа членов вида... n n, где каждое k j j, n неотрицательное целое число. Наибольшее значение суммы степеней k k... kn членов многочлена называется степенью многочлена. Многочлен относительно,,..., n называется однородным, если все его члены имеют одну и ту же степень. Многочлен относительно,,..., n называется симметрическим, если для любого множества значений,,..., n значение многочлена не изменяется при какой угодно перестановке,,..., 7 n.

8 Каждый симметрический многочлен относительно,,..., n может быть единственным образом записан как многочлен относительно элементарных симметрических функций u, u,..., un, определяемых следующим образом: n u, u... nn, u... nnn,..., un... n, где u k k, n есть сумма всех различных произведений, каждое из которых содержит k сомножителей с несовпадающими индексами. j Каждый симметрический многочлен относительно,,..., n может быть выражен как многочлен относительно конечного числа симметрических функций v, v,..., vn, определяемых следующим образом: n n n k v n, v, v,..., vk,... Многочлен степени n относительно (целая рациональная функция степени n с одной переменной) имеет вид: n n F... n n Алгебраическое уравнение степени n с неизвестной имеет вид: n n F... n n Решить уравнение с неизвестной значит найти все значения (нули функции F, корни уравнения), удовлетворяющие этому уравнению. Значение есть корень кратности (порядка) m (кратный корень, если m ) алгебраического уравнения порядка m), если m (нуль функции F F f, где f многочлен, причем f. Алгебраическое уравнение степени n имеет n корней, если корень кратности m считать m раз. Общие формулы, выражающие корни алгебраических уравнений, через их коэффициенты и содержащие конечное число сложений, вычитаний, умножений, делений и извлечений корня, существуют для уравнений первой, второй, третей и четвертой степени. b Решение линейных уравнений b. Пример. Решим линейное уравнение,, 8

9 9 Решение квадратных уравнений c b b c b,, Пример. Решим квадратное уравнение,, Решение кубичных уравнений методом Кардано c b Кубичное уравнение преобразуют в «неполное», которое решают, используя формулы корней. Затем определяют корни первоначального кубичного уравнения. Преобразование кубичных уравнений в «неполные» кубичные уравнения выполняется с помощью замены переменной., q p c b q b p c b b c b Примечание. Если свободный член «неполного» уравнения равен нулю, то корни уравнения легко определяются. p p p,, Решение «неполных» кубичных уравнений,,,, B A B A B A Q q B Q q A q p Q q p

10 Пример 7. Решим кубичное уравнение,,,,, 9, ,, 8 q p c b Пример 8. Решим кубичное уравнение,,,, 9,,,, ,, 9,,, B A B A B A B A Q Q q B Q q A q p Q q p c b Решение уравнений четвертой степени методом Ферари c b Рассматривается соответствующее кубичное уравнение: c b c b Если произвольный корень этого уравнения, тогда четыре корня первоначального уравнения четвертой степени находятся как корни двух квадратных уравнений c b

11 Примечание. Подкоренное выражение в правой части квадратных уравнений является полным квадратом. Пример 9. Решим уравнение четвертой степени,, 7 7,,,, c b.. Разложение многочленов на множители. Деление многочленов. Элементарные дроби Разложение многочленов на множители Если многочлен F может быть представлен в виде произведения многочленов f f f s,...,,, то эти многочлены называются множителями (делителями) многочлена F. Каждый многочлен степени n относительно может быть единственным способом представлен в виде произведения постоянной и n линейных множителей, где n, корни многочлена, а именно,... F n n n n n, где корню кратности m соответствует m множителей. Деление многочленов Частное от деления многочлена F степени n на многочлен G степени m (в случае, когда m n ) может быть представлено в виде, G Q c c c c b b b b G F m n m n m n m n m m m m n n n n где остаток Q есть многочлен степени, меньшей, чем m.

12 Примечания. c k и Q определяются однозначно.. Остаток Q отсутствует в том и только в том случае, когда G является делителем многочлена F.. Если многочлен V является общим делителем (множителем) многочленов F и G, то его корни являются общими корнями этих. Коэффициенты k, n m многочленов. F. Отношение, как и числовую дробь можно сократить на любой G общий множитель числителя и знаменателя.. Согласно теореме Безу F Fc. c Многочлены n n F... n n m m G b b... bm bm имеют хотя бы один общий корень (и, таким образом, общий делитель ненулевой степени) в том и только в том случае, если результант многочленов F G n m порядка R, равен нулю. Результант многочленов определитель R F, G b b n b b m b b n n b m m b n b m b n m m где на свободных местах стоят нули; коэффициенты,,..., n, n занимают m строк, а коэффициенты b, b,..., b m, bm занимают n строк. Пример. Установим наличие общих корней у многочленов F G Вычислим результант данных многочленов. Многочлены R F, G. имеют хотя бы один общий корень, так как b n, F и G

13 , G F R Пример. Установим отсутствие общих корней у многочленов G F Вычислим результант данных многочленов. У многочленов нет общих корней, так как, G F R , G F R Элементарные дроби Отношение G Q многочлена Q степени k и многочлена G степени m без общих корней может быть представлено в виде суммы m элементарных дробей, соответствующих корням (кратности m ) многочлена G m j j j G Q Примечание. Коэффициенты j элементарных дробей можно найти, умножая обе части данного равенства на многочлен G и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях полученного равенства.

14 Каждая рациональная функция G F, частное от деления многочлена F степени n на многочлен G степени m, может быть представлена в виде суммы многочлена и конечного числа элементарных дробей. Пример. G F Получим представление рациональной функции в виде суммы многочлена и конечного числа элементарных дробей G F Ранее, в одном из примеров, было показано, что у многочленов F и G нет общих корней, так как, G F R. Очевидно, что и у многочленов Q и G также не будет общих корней...., G Q G F G Q G G

15 .. Задания для самостоятельной работы Задача. Даны комплексные числа z и z. Найти комплексные числа а) z z, б) z z, в) z z и г) z / z. z 8, z. z 7, z 8. z, z 7. z, z n Задача. Найти комплексные числа а) z z, б) z / z, в) z и г) m z, используя тригонометрическую форму комплексных чисел z и z. z, z, n, m. z / /, z, n, m. z, z 9, n 9, m. z, z 8 8, n, m Задача. Найти комплексные числа.. z z cos sn. sn cos z. z Задача. Решить уравнения

16 Задача. Установить наличие (отсутствие) общих корней у многочленов. 7 G F. G F. 7 G F. G F. G F. G F 7. G F 8. G F 9. G F. G F Задача. Представить рациональную функцию в виде суммы многочлена и конечного числа элементарных дробей. 8 f. 8 f. f. f. 7 f. 8 f 7. f 8. f f. f

17 Глава. Элементы аналитической геометрии n,.. Уравнение прямой линии на плоскости. Полуплоскости Уравнение b c называется общим уравнением прямой. Вектор b называется нормальным вектором прямой. Уравнение прямой l на плоскости, проходящей через точку M, и перпендикулярной вектору n, b, имеет вид b. Уравнение прямой l на плоскости, проходящей через точку M, и параллельной вектору q m, n, имеет вид:. m n Уравнение называется каноническим уравнением прямой, вектор q m, n направляющим вектором прямой. Соответствующая система уравнений m n называется параметрическим уравнением прямой на плоскости, параметром. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M, и M,, записывается в виде. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k g имеет вид k b, здесь b - ордината точки пересечения прямой с осью O, - угол наклона прямой с положительным направлением оси O. Уравнение прямой, проходящей через точку M, в заданном направлении, имеет вид k. Если k - произвольное число, уравнение определяет пучок прямых линий, проходящих через точку M, кроме прямой параллельной оси O. Пример. Составим общее уравнение прямой, проходящей через точку M, и образующей с осью O угол. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом k g и проходящей через точку, M имеет вид х. Общее уравнение прямой имеет вид.. Отсюда 7

18 Уравнение прямой в отрезках имеет вид, где и b b соответственно отрезки, отсекаемые прямой на осях O и O. Пример. Составим общее уравнение прямой линии, проходящей через точку A,, если эта прямая отсекает от положительной полуоси O отрезок в полтора раза больше, чем от положительной полуоси O. Уравнение прямой в отрезках имеет вид, так как, b.,b b Точка A, принадлежит прямой. Отсюда, b. Тогда,b b общее уравнения прямой имеет вид. Точка пересечения двух непараллельных прямых l и l на плоскости определяется в результате решения системы линейных алгебраических уравнений, которые задают данные прямые. Например, b c b c Угол между двумя прямыми l и l определяется по формулам n n b b cos n n b b cos q q q q m m m n n m n n k k g kk Здесь n,b, n,b - нормальные векторы, q m,n, q m,n - направляющие векторы и k, k - угловые коэффициенты прямых линий на плоскости. Необходимые и достаточные условия параллельности двух прямых b m ; n ; k k. b m n 8

19 Необходимые и достаточные условия перпендикулярности двух прямых b b ; m n m n ; k k. Расстояние от точки M, до прямой линии b c на b c плоскости определяется по формуле s b, делящей отрезок, до прямой линии l :. (/ ) (/ ) Найдем координаты точки M :,, / / т.е. M,. Расстояние от точки M, до данной прямой линии l : равно s. Пример. Найдем расстояние от точки M, между точками A, и B, в отношении : Каждая прямая линия l разбивает плоскость на два множества, называемых полуплоскостями. Если прямая задана уравнением b c, то точки одной полуплоскости являются решением неравенства b c, а точки другой полуплоскости решением неравенства b c... Уравнение плоскости. Полупространства Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору n, b, c и проходящей через точку M,, z, имеет вид b cz z. Уравнение b cz называется общим уравнением плоскости. Вектор n, b, c называется нормальным вектором плоскости. Пример. Даны две точки A,, и B,, 9. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору AB. Нормальный вектор искомой плоскости,,,, n AB. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку A,, z, перпендикулярно вектору n имеет вид. Отсюда : z 9.

20 Пример. Составим уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку M,,. Уравнение плоскости, проходящей через ось Oz, имеет вид b. Так как точка M,, принадлежит плоскости, то b. Отсюда, b. Пусть b, тогда и искомое уравнения имеет вид. Угол между двумя плоскостями и определяется по формулам: n n b b cc cos, n n b c b c, где n, b c, n, b c, - нормальные векторы плоскостей. Необходимые и достаточные условия параллельности двух плоскостей b с b с Необходимые и достаточные условия перпендикулярности двух плоскостей b b с с M, до плоскости b cz в пространстве определяется по формуле b cz s b c Расстояние от точки, z Пример. Найдем расстояние между двумя параллельными плоскостями : z и : z. Найдем произвольную точку на плоскости. Пусть и, тогда z /. Искомое расстояние равно расстоянию от точки М,, / до / плоскости : s. 9 Каждая плоскость разбивает пространство на два множества, называемые полупространствами. Если плоскость задана уравнением b cz, то точки одного полупространства являются решением неравенства b cz, а точки другого полупространства решением неравенства b cz.

21 .. Уравнение прямой линии в пространстве Прямая линия l в пространстве задается двумя пересекающимися плоскостями : b cz и : b cz. Тогда общее уравнение прямой в пространстве имеет вид b cz b cz Уравнение прямой линии l, параллельной вектору q m, n, p проходящей через точку M, z,, имеет вид называется каноническим, а вектор q m, n, p z z m n p направляющим вектором. Соответствующая система уравнений m n z p z называется параметрическим уравнением прямой в пространстве, параметром. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M, z и, z M записывается в виде, z z z z, Пример 7. Дано общее уравнение прямой линии z z 9 Найдем каноническое уравнение и направляющий вектор этой прямой. способ. Решая систему уравнений, которая задает данную прямую z линию, получим и z. Отсюда. z Каноническое уравнение прямой имеет вид. Направляющий вектор прямой q,,. способ. Чтобы составить каноническое уравнение прямой, необходимо найти две любые точки, принадлежащие этой прямой. Например, точки пересечения этой прямой с плоскостями х и z. В этих случаях из общего уравнения прямой получаем две системы линейных алгебраических уравнений и и

22 z и. z 9 9 Их решения и определяют координаты двух точек M,, и, 7, Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид z z или. 7 q,,. Направляющий вектор прямой M. Угол между двумя прямыми линиями l и l c направляющими q m, n, p и q m, n, p определяется по формуле q q m m n n p p cos q m q n p m n p векторами Необходимые и достаточные условия параллельности двух прямых m n p m n p Необходимые и достаточные условия перпендикулярности двух прямых m m n n p p z Пример 8. Найдем угол между прямой линией l : и прямой l, проходящей через начало координат и точку M,,. Запишем уравнение прямой l, проходящей через две точки начало координат O,, и точку M,, : z. Направляющие векторы прямых линий l и l равны q,, и q,,. Следовательно ( ) cos 9 Таким образом, острый угол между двумя прямыми равен rccos.

23 z z Угол между прямой l : m n p : b cz определяется формулой q n m b n c p sn, q n m n p b c и плоскостью где q m, n, p - направляющий вектор прямой l, n, b, c вектор плоскости. - нормальный Условие параллельности прямой и плоскости n q или m bn cp Условие перпендикулярности прямой и плоскости b c n q или m n p Пример 9. Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую z l : и точку M,,. Найдем угол между полученной z плоскостью и прямой l :. Точка M,, лежит на искомой плоскости. Уравнение плоскости имеет вид ( ) b( ) c( z ). Найдем координаты нормального вектора плоскости n, b, c. Точка А,, лежит на прямой l, а значит и на плоскости. Подставляя точку A в уравнение плоскости, получим уравнение b c. Так как прямая линия l лежит в плоскости, то направляющий вектор q,, перпендикулярен вектору n. Следовательно, q n, т.е. b c. Решим алгебраическую систему линейных уравнений b c. b c Получим 8c и b c. Пусть c, тогда 8, b и n, b, c 8,,. Искомое уравнение плоскости имеет вид

24 8 z. Найдем синус угла между плоскостью : с нормальным вектором, b, c 8,, 8 z z l : m b n c p sn m n p b 7 Искомый угол равен rcsn. 87 n и прямой, с направляющим вектором q m n, p,, c Прямая и гиперплоскость в n - мерном точечном пространстве. Полупространства в n - мерном точечном пространстве Произвольный упорядоченный набор из n чисел называется n - мерной точкой, а сами числа координатами этой точки. Обозначение точки с координатами - M,,..., n. Совокупность всех n мерных точек называется n - мерным точечным пространством. Точка O,,..., называется началом координат. Множество точек пространства, у которых все координаты, кроме - той, равны нулю, называется координатной осью O. Совокупность всех точек пространства, у которых - тая координата равна нулю, называется координатной гиперплоскостью. В n - мерном точечном пространстве имеется n координатных гиперплоскостей,...,, n. Уравнение прямой линии l, проходящей через точку M,,..., n и параллельной вектору Q m, m,..., m n, имеет вид: n... n m m mn и называется каноническим уравнением прямой в n - мерном точечном пространстве. Вектор Q m, m,..., m n называется направляющим вектором прямой l. Соответствующая система уравнений m m... n mn n называется параметрическим уравнением прямой в n - мерном точечном пространстве.

25 Уравнение гиперплоскости, перпендикулярной вектору n и проходящей через точку M N,,...,..., n,...,, имеет вид n n n Уравнение... n n b называется общим уравнением гиперплоскости в n - мерном точечном пространстве. Вектор N,,..., n называется нормальным вектором гиперплоскости. Если b, то гиперплоскость проходит через начало координат O,,...,. Расстояние от точки M,,..., n до гиперплоскости :... n n b в n - мерном точечном пространстве определяется по формуле... nn b s... n Каждая гиперплоскость разбивает n - мерное точечное пространство на два множества, называемые полупространствами. Если гиперплоскость задана уравнением... n n b, то координаты точки одного полупространства являются решением неравенства... n n b, а координаты точки другого полупространства решением неравенства с противоположным знаком... n n b... Кривые второго порядка Уравнение второго порядка относительно двух переменных A B C D E F называется общим уравнением кривых второго порядка. При разных значениях постоянных коэффициентов A, B, C, D, E, F уравнение описывает четыре вида линий на плоскости: окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Окружность это множество точек линии на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности. Нормальное уравнение окружности имеет вид R, где, координаты центра окружности, R радиус окружности. После раскрытия скобок уравнения, получается общее уравнение окружности D E F, где D, E, F R

26 Пример. Найдем расстояние между центрами двух окружностей 8 и. Выделим полные квадраты в уравнениях окружностей и. Отсюда получаем 9 и. Следовательно, координаты центров окружностей равны O, и O,. Расстояние между центрами окружностей равно s. Эллипс это множество точек линии на плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами. Точки F c, и F c, называются фокусами эллипса, расстояние между ними равно b M F F c. Пусть M, произвольная точка эллипса. Расстояния от точки M F до фокусов эллипса F M и F M b называются фокальными радиусами точки и обозначаются r и r. Сумма фокальных радиусов величина постоянная r r. Рис. Каноническое уравнение эллипса имеет вид, b где b c, если b и фокусы находятся на оси O. Параметры а и b с называются полуосями эллипса. Отношение называется а эксцентриситетом эллипса. Фокальные радиусы определяются формулами r, r. Пример. Запишем каноническое уравнение симметричного относительно осей координат эллипса, если его малая полуось равна, а эксцентриситет -. с b Эксцентриситет эллипса равен. а r r F

27 Следовательно, 9. Каноническое уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, имеет вид 9 или. Гипербола это множество точек линии на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами. Точки F c, и F c, называются фокусами гиперболы, расстояние между ними равно F F c. Пусть M, произвольная точка гиперболы. Расстояния от точки M до фокусов гиперболы F и F называются фокальными радиусами и обозначаются r и r. Модуль разности расстояний фокальных радиусов величина постоянная r r. 7 Рис. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид, b где b c а. Параметры и b называются соответственно с действительной и мнимой полуосями гиперболы. Отношение а называется эксцентриситетом гиперболы. Фокальные радиусы определяются b формулами r х а, r х а. Прямые называются асимптотами гиперболы. Гиперболы и называются сопряженными. b b Пример. Запишем каноническое уравнение симметричной относительно оси координат O гиперболы с асимптотами. 7, проходящей через точку M,.. Найдем расстояния между ее вершинами и фокусами. Уравнение асимптот гиперболы ( / b). 7. Тогда b. 7 и уравнение гиперболы имеет вид F r M F. Точка M,. принадлежит r

28 гиперболе. Следовательно,. Получаем а, b. Тогда искомое уравнение гиперболы принимает вид. Расстояния между 8 вершинами и фокусами соответственно равны s и s c. c b 8. Следовательно, s 8 и s. Парабола - это множество точек линии на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус. Точка F p /, называется фокусом параболы. Величину p M называют параметром параболы. Пусть M, произвольная r точка параболы. Расстояние от точки M до фокуса F, называемое фокальным радиусом, обозначим r. Прямая линия p/ называется директрисой. Расстояние от директрисы до точки M равно, а от директрисы до фокуса F - p. Рис. Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси O и с вершиной в начале координат, имеет вид p. Фокальный радиус равен r p/. Парабола х p у симметрична относительно оси O, лежит в верхней полуплоскости, имеет фокус F, p / и директрису p /. Фокальный радиус равен r p /. Пример. Составим уравнения параболы и ее директрисы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси координат O, если она M,. проходит через точку Точка,. Отсюда р M принадлежит параболе х p у, р. Следовательно, каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и симметричной относительно оси O имеет вид х у, а уравнение директрисы. p F 8

29 .. Поверхности второго порядка Уравнение второго порядка относительно трех переменных A B Cz D Ez Fz G H Mz N называется общим уравнением поверхностей второго порядка. При разных значениях постоянных коэффициентов A, B, C, D, E, F, G, H, M, N уравнение описывает четыре вида поверхностей в пространстве: сферу, эллипсоид, гиперболоид и параболоид. Сфера - это множество точек в пространстве, равноудаленных от данной точки, называемой центром сферы. Сфера замкнутая центральная поверхность второго порядка. Нормальное уравнение сферы имеет вид z z R, z, где, координаты центра сферы, R радиус сферы. После раскрытия скобок, получается общее уравнение сферы где z G H Mz N, G N z R, H, M z, Пример. Составим уравнение сферы с центром в точке,, проходящей через точку M 8,,. Точка M 8,, принадлежит сфере z R Отсюда R. O и. 8 R, 9. Нормальное уравнение сферы имеет вид z 9. O и радиусом, равным. Найдем координаты центра и радиус сферы z 8 8z 8. Подставим координаты центра сферы и значение радиуса в нормальное Пример. Составим уравнение сферы с центром в точке,, уравнение z 9. Сократив общий множитель и сгруппировав члены, содержащие переменные, и z, дополним каждую группу до полного квадрата суммы или разности 9 9 у z z 7 8. Откуда получаем координаты центра сферы,, 7 z 9 9 9, O и радиус R 9. 9

30 Эллипсоид замкнутая центральная поверхность второго порядка. В декартовой системе координат Oz с началом в центре симметрии эллипсоида, оси координат которой совпадают с осями симметрии эллипсоида, уравнение эллипсоида имеет канонический вид где b z c,, b, c- полуоси эллипсоида. Объем эллипсоида равен V bc. Если b c, эллипсоид называется трехосным. Если b c, то имеем сжатый (сплющенный) эллипсоид вращения, получающийся при z вращении эллипса вокруг его малой полуоси. Если b c, имеем c вытянутый эллипсоид вращения, получаемый вращением того же эллипса вокруг большой полуоси. Если b c, то эллипсоид является сферой z. Сечением эллипсоида любой плоскостью является эллипс. Гиперболоид незамкнутая центральная поверхность второго порядка. Существует два вида гиперболоида однополостный и двуполостный. В декартовой системе координат Oz с началом в центре симметрии гиперболоида, оси координат которого совпадают с осями симметрии гиперболоида, уравнения гиперболоида принимают канонический вид z (однополосный гиперболоид), b c где, b- действительные полуоси, c - мнимая полуось; z (двуполостный гиперболоид), b c где, b- мнимые полуоси, c - действительная полуось. Гиперболоид неограниченно приближается к поверхности, называемой асимптотическим конусом z b c Сечениями гиперболоида плоскостями, параллельными оси z, являются гиперболы, а параллельно осям и - эллипсы. Параболоид незамкнутая поверхность второго порядка, не имеющая центра симметрии. Существуют два вида параболоида эллиптический параболоид и гиперболический параболоид. В декартовой системе координат Oz с началом в вершине параболоида, ось Oz которой совпадают с осью симметрии параболоида, уравнения параболоида принимают канонический вид

А. В. Овчинников. Линейная алгебра

А. В. Овчинников. Линейная алгебра Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» А В Овчинников

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права И.Н.

Подробнее

Линейные разностные уравнения и их приложения

Линейные разностные уравнения и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. 1.1 Общая задача линейного программирования

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. 1.1 Общая задача линейного программирования ВВЕДЕНИЕ Под названием транспортная задача объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Классическая транспортная задача задача о наиболее экономном плане перевозок однородного продукта

Подробнее

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения Д. В. АНОСОВ Отображения окружности, векторные поля и их применения МЦНМО Москва 2003 УДК 515.12 ББК 22.152 А69 Аносов Д. В. А69 Отображения окружности, векторные поля и их применения. М.: МЦНМО, 2003.

Подробнее

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.. Линейное пространство Определение. Говорят, что на множестве R определена операция сложения элементов, если каждой упорядоченной паре элементов х, у R ставится в соответствие

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл.

Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл. Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл. Е. В. Щепин октябрь декабрь 2 года Оглавление Интегральная формула Коши................... 2 2 Особые точки и вычеты....................... 2. Топология плоскости.....................

Подробнее

Лекции по комплексному анализу

Лекции по комплексному анализу Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Первое полугодие Москва 2004 УДК 517.5 ББК (В)22.16 Д66 Д66 Домрин А. В.,

Подробнее

Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов. Основной тест. Издание второе, переработанное и дополненное

Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов. Основной тест. Издание второе, переработанное и дополненное Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов Основной тест Издание второе, переработанное и дополненное Бишкек 2004 УДК 378 ББК 74.58 Г74 Авторы разделов: Математика: М. Зельман, Г.

Подробнее

Триангуляция Делоне и её применение

Триангуляция Делоне и её применение Томский государственный университет Факультет информатики А.В. Скворцов Триангуляция Делоне и её применение Издательство Томского университета 00 УДК 68.3 ББК.9 C 4 C 4 Скворцов А.В. Триангуляция Делоне

Подробнее

B15 (высокий уровень, время 10 мин)

B15 (высокий уровень, время 10 мин) B5 высокий уровень, время 0 мин) Тема: Преобразование логических выражений. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике,, ), неудобны,

Подробнее

Применение генетических алгоритмов к решению задач дискретной оптимизации

Применение генетических алгоритмов к решению задач дискретной оптимизации Федеральное агентство по образованию Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный проект «Образование» Инновационная образовательная программа ННГУ. Образовательно-научный

Подробнее

Представления групп и их применение в физике Функции Грина

Представления групп и их применение в физике Функции Грина Представления групп и их применение в физике Функции Грина Д.А.Шапиро кафедра теоретической физики НГУ Конспект лекций по математическим методам физики Часть II 21 января 2004 г. Оглавление 1 Симметрии

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными Цель работы Часто на практике необходимо исследовать, как изменение одной переменной величины X влияет на другую величину Y Например, как количество цемента X влияет на прочность бетона Y Такое влияние

Подробнее

ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Теперь, когда все виды простейших деформаций бруса рассмотрены, можно было бы обратиться к исследованию усилий и перемещений в системах

Подробнее

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II. Управление при случайных возмущениях. Оптимальные линейные системы. К.Ю.

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II. Управление при случайных возмущениях. Оптимальные линейные системы. К.Ю. ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II Управление при случайных возмущениях Оптимальные линейные системы КЮ Поляков Санкт-Петербург 9 КЮ Поляков, 9 «В ВУЗе нужно излагать материал на

Подробнее

Э. Г. Готман. Стереометрические задачи и методы их решения

Э. Г. Готман. Стереометрические задачи и методы их решения Э. Г. Готман Стереометрические задачи и методы их решения Москва Издательство МЦНМО, 006 УДК 514.11 ББК.151.0 Г7 Г7 Готман Э. Г. Стереометрические задачи и методы их решения. М.: МЦНМО, 006. 160 с.: ил.

Подробнее

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ В. А. Шарафутдинов Как отмечалось в начале первой главы, на топологическом пространстве возможно рассмотрение непрерывных функций и других понятий, связанных с непрерывностью. В Анализе, наряду с непрерывностью, изучаются производные, дифференциалы и другие понятия, связанные с дифференцируемостью. Гладкое многообразие естественный объект, на котором можно определить подобные понятия. 1. Определение гладкого многообразия Сначала введем вспомогательное понятие топологического многообразия (Предупреждение: не путать его с понятием гладкого многообразия). Топологическое пространство M называется топологическим многообразием размерности n, если (1) M локально гомеоморфно пространству R n, т.е. у каждой точки пространства M имеется окрестность, гомеоморфная некоторому открытому множеству в R n ; (2) M хаусдорфово; (3) M удовлетворяет второй аксиоме счетности, т.е. имеет счетную базу топологии. Дифференцируемая структура на топологическом многообразии вводится путем цепочки определений, вводимых в нескольких следующих абзацах. Пусть M топологическое многообразие размерности n. Картой на M называется пара (U, ϕ), где U открытое множество в M и ϕ : U V R n гомеоморфизм на некоторое открытое множество из R n. Пусть 0 r целое число. Две карты (U 1, ϕ 1 ) и (U 2, ϕ 2 ) на топологическом многообразии M называются C r -согласованными, если ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (U 1 U 2 ) ϕ 2 (U 1 U 2 ) (1.1) отображение класса C r, т.е. все частные производные порядка r этого отображения существуют и непрерывны. Отметим, что ϕ i (U 1 U 2 ) (i = 1, 2) открытые множества в R n (см. Рисунок 1), так что определено понятие частных производных для отображения между этими множествами. При r = требуется существование и непрерывность всех частных производных. Семейство карт A = {(U α, ϕ α )} α A на топологическом многообразии M называется C r -атласом, если M = α A U α и любые две карты этого семейства C r -согласованы. Два C r -атласа A и A на M называются эквивалентными, если A A тоже C r -атлас. Как легко видеть, это эквивалентно требованию: любая карта из A C r - согласована с любой картой из A. Теперь, наконец, мы можем привести основное Определение 1.1. Дифференцируемой структурой D класса C r на топологическом многообразии M называется класс эквивалентности C r -атласов. Топологическое многообразие вместе с зафиксированной на нем дифференцируемой структурой класса C r называется дифференцируемым многообразием класса C r (или короче C r - многообразием). Дифференцируемое многообразие обозначается (M, D) или просто M, если из контекста ясно, о какой дифференцируемой структуре идет речь. Date: октябрь 2012, Кольцово. 1

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Ю. В. СИДОРОВ, М. В. ФЕДОРЮК, М. И. ШАБУНИН ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ Допущено Государственным комитетом СССР по народному образованию в качестве учебника

Подробнее

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ И ИННОВАЦИОННЫЙ КОМПЛЕКС "НОВЫЕ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И НАНОТЕХ- НОЛОГИИ"

Подробнее

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы)

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы) Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет К. К. Васильев ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы) -е издание Рекомендовано Учебно-методическим

Подробнее

Министерство Российской Федерации по связи и информации. Санкт Петербургский Государственный Университет

Министерство Российской Федерации по связи и информации. Санкт Петербургский Государственный Университет Министерство Российской Федерации по связи и информации Санкт Петербургский Государственный Университет телекоммуникаций им.проф. М. А. Бонч Бруевича Факультет заочного обучения О.М. Дмитриева И.С. Перфилова

Подробнее

А.И. Руппель КРАТКИЙ КУРС МЕХАНИКИ. Учебное пособие для студентов немашиностроительных специальностей вузов

А.И. Руппель КРАТКИЙ КУРС МЕХАНИКИ. Учебное пособие для студентов немашиностроительных специальностей вузов Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) А.И. Руппель КРАТКИЙ КУРС МЕХАНИКИ Учебное пособие для студентов немашиностроительных специальностей вузов

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный университет им А М Горького Подготовлено кафедрами общей физики и физики магнитных явлений КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Подробнее