ЛЕКЦИЯ 2. Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛЕКЦИЯ 2. Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность."

Транскрипт

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ЛЕКЦИЯ 2 ТОПОЛОГИЯ ОСЕНЬ 2010 Г Краткое содержание. Топологическая категория, методы построения топологических пространств, связ- ность, линейная связность, компактность. Топологическим пространством называется множество X, в котором выделена система подмножеств, называемых открытыми, обладающая следующими свойствами: 1) Подмножества X и X X открыты. 2) Если {U } семейство открытых множеств (любой мощности), то их объединение U открыто. 3) Если U 1 и U 2 открытые множества, то их пересечение U 1 U 2 открыто. Из свойства 3 вытекает по индукции, что пересечение любого конечного семейства открытых множеств открыто; для бесконечных семейств это может быть неверно. Множество открытых подмножеств тополо- гического пространства иногда называют его топологией. Множество Y X называется замкнутым, если его дополнение X \ Y открыто. Пример 1. Дискретная топология: множество X произвольно, все подмножества U X считаются откры- тыми. Противоположная ей \топология комка теста": открытыми считаются только и все X. Пример 2. X = R; подмножество U R называется открытым, если для всякого u U найдется " > 0 такое, что (u ";u + ") U; очевидно, свойства 1{3 выполнены. Пример 3. Обобщение примера 2: X = R n ; подмножество U R называется открытым, если для всякого u U найдется " > 0 такое, что {x R x u < "} U, где для a = (a 1 ;:::;a n ) R по определению a = a 2 def = n i=1 a 2 i. Свойства 1{3, очевидно, выполнены. Также можно в определении открытого множества положить, например, a = a 1 def = n def i=1 a i, или a = a = max n i=1 a i. Поскольку для всех a R n выполнены неравенства a a 1 n a и a a 2 n a, эти определения дают одну и ту же структуру топологического пространства. Структура топологического пространства может возникать различными способами; вот наиболее частые случаи. 1. Метрические пространства Это обобщение примера 3: пусть X метрическое пространство, т.е. множество, для которого определена функция (называемая метрикой или расстоянием) % : X в X R 0 такая, что %(x;y) = %(y;x) (симметрия), %(x;y) = 0 x = y (невырожденность) и %(x;z) %(x;y) + %(y; z) (неравенство треугольника) для всех x; y; z X. Тогда в X можно ввести структуру топологического пространства: множество U называется открытым, если для всякого x U найдется " > 0 такое, что B " (x) def = {y X %(y;x) < "} U. Свойства 1 и 2 топологии очевидны, а свойство 3 следует из того, что если B "1 (x) U 1 и B "2 (x) U 2, то B " (x) U 1 U 2, где " = min(" 1 ;" 2 ). В примере 3 в пространстве R n определены три различные метрики, дающие одну и ту же структуру топологического пространства, а именно, %(a;b) = b a, где = 1, 2 или. Симметрия и невырожденность этих метрик очевидны; неравенство треугольника также очевидно для 1 или ; для 2 оно доказывалось в курсе анализа. 2. Декартовы произведения Декартово произведение X в Y двух топологических пространств можно наделить топологией: множество A X вy считается открытым, если для каждого его элемента (x;y) A существуют открытые множества U X, V Y такие, что x U, y V и U в V A. По индукции можно определить топологию на декартовом произведении любого конечного числа топологических пространств. Например, полученная таким образом топология на R n совпадает с топологией, определенной в R n с помощью метрики (докажите!). 3. Подмножества Пусть X топологическое пространство, Y X. Тогда на Y можно ввести структуру топологического пространства: множество V Y считается открытым, если V = Y U для некоторого от- крытого подмножества U X. Свойства 1{3 очевидны. Например, таким образом можно ввести топологию на окружности: S 1 = {(x;y) x 2 + y 2 = 1} R 2, или на произвольной сфере в R n, поскольку в R n топология уже определена. 1

2 4. Факторизации Пусть топологическое пространство X представлено как объединение непересекаю- щихся подмножеств: X = X. Тогда на множестве всех X можно ввести структуру топологического пространства. А именно, множество {X A}, где A произвольное множество индексов, считает- ся открытым, если объединение этих множеств A X X открыто (как подмножество X). Нетрудно проверить, что это действительно топология. В описанном случае канонически определено отображение p : X {X } (факторизация), сопоставляющее каждой точке x X множество X x по условию, X существует и единственно. Теорема 1. Отображение p непрерывно. Отображение f : {X } Y в произвольное топологическое пространство непрерывно тогда и только тогда, когда f p : X Y непрерывно. Доказательство очевидно. Пример 4. Пусть X = [0;1], X 0 = {0;1}, а остальные X состоят из одной точки. Факторпространство {X } в данном случае называется \отрезок со склеенными концами" и обозначается [0;1]=(0 1). Оно гомеоморфно окружности S 1 = {z C z = 1}: отображение f : X S 1 задано формулой f(t) = e 2it, 0 < t < 1, и f({0;1}) = 1. Оно непрерывно, поскольку g = f p : [0;1] S 1 действует по формуле g(t) = e 2it и, очевидно, непрерывно. Обратное отображение f 1 также непрерывно. Для этого достаточно показать (почему?), что открыт в S 1 образ f(p((a;b) [0;1])) при произвольных a и b. Но этот образ, если непуст, является дугой (без концов) в окружности, а это открытое множество, потому что является пересечением окружности S 1 C = R 2 и открытого круга в R 2. Пример 5. Разобьем окружность S 1 на подмножества из n точек вида {x;x;:::;x n1 }, где x S 1, = e 2i=n. Тогда факторпространство {X } гомеоморфно отрезку со склеенными концами, то есть окружности. Гомеоморфизм f : [0;1]=(0 1) {X } таков, что отображение g = f p : [0;1] {X } задается формулой g(t) = {e 2it=n ;e 2i(t+1)=n ;:::;e 2i(t+n1)=n }. Проверка того, что f существует и является гомеоморфизмом упражнение. Пример 6. Рассмотрим действие группы R действительных чисел по сложению на торе T 2 = S 1 в S 1 : числу t соответствует отображение A t, действующее по формуле A t (u;v) = (ue it ;ve it ); здесь u;v S 1 = {z C z = 1} и R. Здесь возможны два различных случая: 1. рационально, т.е. = k=l, где k;l Z В этом случае R содержит подгруппу G = {ln n Z}, каждый элемент которой действует тривиально. Таким образом, на T 2 определено действие фактора R=G. Как легко проверить, это действие точное (предполагается, что дробь k=l несократима), т.е. A t1 = A t2 тогда и только тогда, когда t 1 t 2 G. Рассмотрим орбиту точки x, т.е. множество O x = {A t (x) t R}. Формула t A t (x) определяет взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [0;l] со склеенными концами и точками O x. Это соответствие непрерывно и имеет непрерывное обратное следовательно, произвольная орбита O x гомеоморфна отрезку со склеенными концами, то есть окружности. Множество орбит в данном случае также гомеоморфно окружности. Действительно, в каждой орбите имеется ровно l точек (u;v) таких, что u = 1, причем если одна из этих точек (1;v 0 ), то в остальных значения v равны v 0 e 2ik=l ;v 0 e 4ik=l ;:::. Поскольку k и l взаимно просты, эти точки совпадают (в переставленном порядке) с точками (1;v 0 );(1;v 0 e 2i=l );:::;(1;v 0 e 2i(l1)=l ). Отображая орбиту в множество таких точек, получим гомеоморфизм с пространством примера 5, то есть с окружностью. 2. иррационально В этом случае каждая орбита гомеоморфна R и плотна в T 2, т.е. пересекает любое непустое открытое множество U T 2 (доказательство упражнение). Пусть V = {X A} непустое открытое подмножество пространства орбит. Пусть X = V ; поскольку X плотна в T 2, она пересекает открытое множество U = A X. Но это невозможно, поскольку X X = для всякого. Поэтому в пространстве орбит в данном случае есть только два открытых множества пустое множество и все пространство (топология \комка теста" из примера 1). Пример 7. Пусть имеется произвольный набор топологических пространств X, в каждом из которых от- мечена точка x. Букетом X называется несвязное объединение X (с очевидной топологией), в котором все точки x склеены в одну (называемую вершиной букета). Например, букет конечного числа k окружностей представляет собой граф с единственной вершиной и k ребрами-петлями. Отображение f : X Y одного топологического пространства в другое называется непрерывным, если для любого открытого подмножества U Y множество f 1 (U) = {x X f(x) U} X открыто. Категорией называется пара, состоящая из набора объектов и набора морфизмов. Каждый морфизм действует из одного объекта A в другой объект B (возможно B = A). Для любых двух морфизмов f : A B и g : B C определена их композиция g f : A C, причем операция композиции ассоциативна: h (g f) = (h g) f. Предполагается также, что для любого объекта A существует единичный морфизм 1A : A A такой, что f 1 A = f и 1 A g = g для любых морфизмов f и g.

3 Функтором из категории U в категорию V называется соответствие F между объектами и морфизмами категории U и категории V такое, что если f : A B, то F(f) : F(A) F(B), единичный морфизм переходит в единичный: F(1A) = 1F(A), а композиция переходит в композицию: F(f g) = F(f) F(g). Пример 8. Категория Set множеств: объекты множества, морфизмы любые отображения множеств, композиция композиция отображений. Категория групп: объекты группы, морфизмы гомоморфиз- мы групп. И т.п. Категория Top: объекты топологические пространства, морфизмы непрерывные отображения. Это действительно категория, поскольку композиция непрерывных отображений, очевидно, непрерывна. \Забывающий" функтор Top Set: каждому топологическому пространству сопоставляется оно же просто как множество, а каждому непрерывному отображению оно же просто как отображение. Морфизм f : A B между объектами категории U называется изоморфмзмом, если для него существует обратный, т.е. морфизм g : B A такой, что gf = 1A и f g = 1B. Каждому изоморфизму f : A B можно сопоставить функтор Exch f : U U, который переводит A в B, B в A, а остальные объекты оставляет на месте. Морфизмы h : A C, где C A;B, переходят в Exch f (h) = h g : B C, морфмзмы h : C A, где C A;B, в Exch f (h) = f h : C B; аналогично с морфизмами B C и C B. Морфизмы h : A A переходят в Exch f (h) = f h g : B B, аналогично h : B B. Морфизмы h : A B переходят в Exch f (h) = g h g : B A; аналогично для h : B A. Все остальные морфизмы остаются на месте. Нетрудно проверить, что это действительно функтор. Наличие такого функтора означает, что \с точки зрения категории U" объекты A и B неотличимы: всякое утверждение, верное для A, которое можно сформулировать в терминах объектов и морфизмов U, верно также и для B, и наоборот. Топологические пространства X и Y, эквивалентные в категории Top, называются гомеоморфными. Топологическое пространство X называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся непустых открытых подмножеств. В лекции 1 было доказано, что отрезок [0; 1] R связен. Теорема 2. Образ связного пространства при непрерывном отображении связен. Доказательство. Пусть X связно и f : X Y непрерывно. Пусть f(x) = A B, где A;B f(x) открыты, непусты и AB =. По определению топологии в подмножестве f(x) Y это означает, что A = U f(x) и B = V f(x), где U;V Y открыты и U V f(x) =. Но тогда X = f 1 (U)f 1 (V ), где f 1 (U) = f 1 (A) и f 1 (V ) = f 1 (B) открыты и непусты, и f 1 (U) f 1 (V ) =. Это противоречит связности X. Назовем точки a и b топологического пространства X эквивалентными, если существует соединяющая их кривая, т.е. такое непрерывное отображение f : [0;1] X, что f(0) = a, f(1) = b. Теорема 3. Введенное отношение на самом деле отношение эквивалентности. Доказательство. Любую точку a можно соединить с собой кривой (t) a. Если кривая соединяет a и b, то кривая 1 (t) def { = (1 t) соединяет b и a. Если кривая 1 соединяет a и b, а кривая 2 соединяет b и c, то кривая (t) = 1 (2t); 0 t 1=2; 2 (2t 1); 1=2 t 1 непрерывна (почему?) и соединяет b и c. Классы эквивалентности по введенному отношению называются компонентами линейной связности про- странства X. Если такая компонента одна, пространство называется линейно связным. Теорема 4. Линейно связное пространство является связным. Доказательство. Пусть это не так, X линейно связно, но X = U 1 U 2 объединение двух непересека- ющихся непустых открытых множеств. Возьмем a U 1, b U 2 и рассмотрим кривую f, соединяющую a и b. Тогда если V 1 = f 1 (U 1 ), V 2 = f 1 (U 2 ), то V 1 ;V 2 [0;1] открыты (поскольку f непрерывно), не пе- ресекаются (поскольку U 1 и U 2 не пересекаются) и V 1 V 2 = [0;1]. Это противоречит связности отрезка [0; 1] Из теоремы вытекает, в частности, связность R n при любом n, а также связность произвольного вы- пуклого подмножества X R n (в качестве кривой, соединяющей точки a и b, можно взять произвольную параметризацию отрезка [a;b] X, например, f(t) = (1 t)a + tb). Пример 9. Не любое топологическое пространство можно разбить на непересекающиеся открытые связные подмножества. Действительно, пусть X = Q (с топологией, унаследованной из R), и пусть A X под- множество, содержащее как минимум две точки, a и b. Пусть a < b; тогда существует число R \ Q такое, что a < < b. Множества U 1 = A (;) и U 2 = A (;+) открыты (как пересечения A с открытыми), непусты (a U 1, b U 2 ), не пересекаются, и A = U 1 U 2 следовательно, A не связно. Таким образом, связные подмножества Q только одноточечные (они являются компонентами линейной связности), но они не открыты.

4 Топологическое пространство X называется компактным (или компактом), если для любого набора от- крытых подмножеств U X такого, что U = X, найдется конечный набор индексов 1 ;:::; N такой, что U 1 U N = X. Пример 10. Параллелепипед = {(x 1 ;:::;x n ) a i x i b i i = 1;:::;n} R n компакт. Действительно, пусть U =. Разделим параллелепипед на 2 n частей, разрезав каждое из его ребер пополам полу- чатся параллелепипеды, заданные неравенствами вида a (1) i x i b (1) i =2 (где либо a (1) i = a i, b (1) i = (a i +b i )=2, либо a (1) i = (a i +b i )=2, b (1) i = b i для каждого i). Если каждый из полученных параллелепипедов можно покрыть конечным числом множеств U, то это верно и для исходного параллелепипеда и теорема доказана. В про- тивном случае выберем параллелепипед 1, который конечным числом U не покрывается; проделаем с ним ту же процедуру, получим 2 1, и т.д. Таким образом получится для каждого i последовательность вложенных отрезков [a i ;b i ] [a (1) i ;b (1) i ] [a (2) i ;b (2) i ] ::: с длинами, стремящимися к нулю. Для каждого i эти отрезки имеют общую точку y i ; пусть y = (y 1 ;:::;y n ). Пусть 0 индекс, для которого y U 0. Множество U 0 открыто, так что найдется " > 0 такое, что шар B " (y) радиуса " с центром y лежит в U 0. Поскольку y n при всех n и диаметр параллелепипеда n стремится к нулю при n, для достаточно большого n имеет место включение n B " (y) U 0, что противоречит тому, что n не покрывается конечным набором множеств U. Теорема 5. Образ компактного пространства при непрерывном отображении компакт. Доказательство. Пусть f : X Y непрерывное отображение, X компакт, и f(x) Y наделено топологией подмножества. Пусть f(x) = U, где U f(x) открыто, то есть U = f(x) W, где def W Y открыто. Тогда V = f 1 (U ) = f 1 (W ) X открытые множества, и V = X. В силу компактности X найдутся индексы 1 ;:::; N такие, что X = V 1 V N, откуда f(x) = U 1 U N, и компактность доказана. Теорема 6. Если X компактно, а Y X замкнуто, то Y компактно. Доказательство. Пусть Y = U, где U Y открыты. По определению топологии в подмножестве U = Y V, где V X открыто. Тогда X = V (X \ Y ); последнее множество также открыто по условию теоремы. Поскольку X компактно, то найдется набор индексов 1 ;:::; N такой, что X = V 1 V N (X \ Y ). Отсюда вытекает, что Y = U 1 U N, и компактность доказана. Теорема 7. Пусть X топологическое пространство, обладающее свойством Хаусдорфа: для любых двух точек a;b X, a b, найдутся открытые множества A a, B b такие, что A B =. Пусть Y X компактно. Тогда Y замкнуто. Доказательство. В силу свойства Хаусдорфа для любых двух точек a Y и b = Y найдутся непересекаю- щиеся открытые множества U a;b a и V a;b b. Тогда для всякого b = Y имеем Y a;b U a;b, откуда в силу компактности Y найдутся точки a 1 ;:::;a N такие, что Y U a1 ;b U an ;b. Множество V b = V a1 ;b V an ;b открыто, b V b и V b Y =. Следовательно, X \ Y = bx\y V b открытое множество. Замечание. Теорема 7 означает, что в \хороших" пространствах компактные подмножества частный случай замкнутых. В то же время теорема 5 показывает, что по отношению к отображениям замкнутые и компактные множества ведут себя противоположным (или, скорее, взаимно двойственным) образом: образ компакта при непрерывном отображении компакт, а прообраз не обязательно (рассмотрите отобра- жение из любого некомпактного пространства в точку). В то же время прообраз замкнутого подмножества при непрерывном отображении замкнут (это эквивалентно определению), а образ не обязательно (рассмо- трите произвольное пространство X, его незамкнутое подмножество Y и отображение вложения : Y X, которое каждой точке сопоставляет ее же). Теорема 8. Подмножество X R n компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Доказательство. Поскольку R n обладает свойством Хаусдорфа, компактное подмножество X R n замкну- то. Рассмотрим открытые множества U i = B i (0) (открытые шары радиуса i с центром в начале координат). Очевидно, X i U i = R n ; если X компактно, то найдется X U i1 U in = U max(i1;:::;i N) следова- тельно, X ограничено. Пусть теперь X ограничено и замкнуто. Тогда оно является замкнутым подмнождеством некоторого параллелепипеда R n ; из теоремы 6 и примера 10 следует, что X компактно.

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать.

, то из включения (*) получаем MUN MUN.. Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN. что и требовалось доказать. 9 Так как MUN = MUN, то из включения (*) получаем MUN MUN Из двух противоположных включений следует равенство MUN = MUN что и требовалось доказать Имеет место следующая Теорема (Куратовского) Пусть на

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ В. А. Шарафутдинов Как отмечалось в начале первой главы, на топологическом пространстве возможно рассмотрение непрерывных функций и других понятий, связанных с непрерывностью. В Анализе, наряду с непрерывностью, изучаются производные, дифференциалы и другие понятия, связанные с дифференцируемостью. Гладкое многообразие естественный объект, на котором можно определить подобные понятия. 1. Определение гладкого многообразия Сначала введем вспомогательное понятие топологического многообразия (Предупреждение: не путать его с понятием гладкого многообразия). Топологическое пространство M называется топологическим многообразием размерности n, если (1) M локально гомеоморфно пространству R n, т.е. у каждой точки пространства M имеется окрестность, гомеоморфная некоторому открытому множеству в R n ; (2) M хаусдорфово; (3) M удовлетворяет второй аксиоме счетности, т.е. имеет счетную базу топологии. Дифференцируемая структура на топологическом многообразии вводится путем цепочки определений, вводимых в нескольких следующих абзацах. Пусть M топологическое многообразие размерности n. Картой на M называется пара (U, ϕ), где U открытое множество в M и ϕ : U V R n гомеоморфизм на некоторое открытое множество из R n. Пусть 0 r целое число. Две карты (U 1, ϕ 1 ) и (U 2, ϕ 2 ) на топологическом многообразии M называются C r -согласованными, если ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (U 1 U 2 ) ϕ 2 (U 1 U 2 ) (1.1) отображение класса C r, т.е. все частные производные порядка r этого отображения существуют и непрерывны. Отметим, что ϕ i (U 1 U 2 ) (i = 1, 2) открытые множества в R n (см. Рисунок 1), так что определено понятие частных производных для отображения между этими множествами. При r = требуется существование и непрерывность всех частных производных. Семейство карт A = {(U α, ϕ α )} α A на топологическом многообразии M называется C r -атласом, если M = α A U α и любые две карты этого семейства C r -согласованы. Два C r -атласа A и A на M называются эквивалентными, если A A тоже C r -атлас. Как легко видеть, это эквивалентно требованию: любая карта из A C r - согласована с любой картой из A. Теперь, наконец, мы можем привести основное Определение 1.1. Дифференцируемой структурой D класса C r на топологическом многообразии M называется класс эквивалентности C r -атласов. Топологическое многообразие вместе с зафиксированной на нем дифференцируемой структурой класса C r называется дифференцируемым многообразием класса C r (или короче C r - многообразием). Дифференцируемое многообразие обозначается (M, D) или просто M, если из контекста ясно, о какой дифференцируемой структуре идет речь. Date: октябрь 2012, Кольцово. 1

Подробнее

Лекции по комплексному анализу

Лекции по комплексному анализу Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Первое полугодие Москва 2004 УДК 517.5 ББК (В)22.16 Д66 Д66 Домрин А. В.,

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

ЗАДАЧА А. Д. АЛЕКСАНДРОВА ДЛЯ CAT(0) ПРОСТРАНСТВ П. Д. Андреев

ЗАДАЧА А. Д. АЛЕКСАНДРОВА ДЛЯ CAT(0) ПРОСТРАНСТВ П. Д. Андреев Сибирский математический журнал Январь февраль, 2006. Том 47, 1 УДК 514.763.254 ЗАДАЧА А. Д. АЛЕКСАНДРОВА ДЛЯ CAT(0) ПРОСТРАНСТВ П. Д. Андреев Аннотация: Решается известная проблема А. Д. Александрова

Подробнее

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА

ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОРСА В. А. Шарафутдинов В этой главе, если не оговорено противное, многообразие означает многообразие без края. Марстон Морс первый обратил внимание на важные связи между топологией

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

Расслоения, характеристические классы и кобордизмы

Расслоения, характеристические классы и кобордизмы Расслоения, характеристические классы и кобордизмы (записки лекций) М. Э. Казарян Содержание 1 Понятие характеристического класса 1 2 Двойственность Пуанкаре, гомоморфизм Гизина и изоморфизм Тома 4 3 Характеристические

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

Теория меры, лекция 10: эргодические меры

Теория меры, лекция 10: эргодические меры Теория меры, лекция 10: эргодические меры Миша Вербицкий 9 мая 2015 НМУ 1 Эргодическое действие группы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть (M, µ) пространство с мерой, а G группа, действующая на M, сохраняя µ. Действие

Подробнее

Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл.

Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл. Лекции по анализу в НОЦ. Ряд и интеграл. Е. В. Щепин октябрь декабрь 2 года Оглавление Интегральная формула Коши................... 2 2 Особые точки и вычеты....................... 2. Топология плоскости.....................

Подробнее

Представления групп и их применение в физике Функции Грина

Представления групп и их применение в физике Функции Грина Представления групп и их применение в физике Функции Грина Д.А.Шапиро кафедра теоретической физики НГУ Конспект лекций по математическим методам физики Часть II 21 января 2004 г. Оглавление 1 Симметрии

Подробнее

14. Гармонические формы

14. Гармонические формы 14. Гармонические формы В этой лекции мы под дифференциальными формами будем (до поры до времени) понимать дифференциальные формы класса C. Мы разрешаем дифференциальным формам быть комплекснозначными.

Подробнее

12. Группы. Группа называется коммутативной или абелевой, если дополнительно имеет место

12. Группы. Группа называется коммутативной или абелевой, если дополнительно имеет место 12. Группы 12.1. Группы, подгруппы, циклы. Множество G называется группой, если на нём задана операция композиции G G G, (g, g ) g g со свойствами ассоциативность: f, g, h G (fg)h = f(gh) (12-1) наличие

Подробнее

11. Аксиомы отделимости

11. Аксиомы отделимости 48 11 Аксиомы отделимости Понятие топологического пространства было введено в самом общем виде Рассмотрим ограничения, накладываемые на топологические пространства Определение Говорят, что топологическое

Подробнее

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.. Линейное пространство Определение. Говорят, что на множестве R определена операция сложения элементов, если каждой упорядоченной паре элементов х, у R ставится в соответствие

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

КОГДА ЛЮБАЯ ГРУППА ИЗ N ЭЛЕМЕНТОВ ЦИКЛИЧЕСКАЯ? представляют Д. Баранов, А. Клячко, К. Кохась, А. Скопенков и М. Скопенков

КОГДА ЛЮБАЯ ГРУППА ИЗ N ЭЛЕМЕНТОВ ЦИКЛИЧЕСКАЯ? представляют Д. Баранов, А. Клячко, К. Кохась, А. Скопенков и М. Скопенков КОГДА ЛЮБАЯ ГРУППА ИЗ N ЭЛЕМЕНТОВ ЦИКЛИЧЕСКАЯ? представляют Д. Баранов, А. Клячко, К. Кохась, А. Скопенков и М. Скопенков Назовем группой непустое семейство G преобразований (т.е. перестановок) некоторого

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения Д. В. АНОСОВ Отображения окружности, векторные поля и их применения МЦНМО Москва 2003 УДК 515.12 ББК 22.152 А69 Аносов Д. В. А69 Отображения окружности, векторные поля и их применения. М.: МЦНМО, 2003.

Подробнее

Геометрический смысл инвариантов и глобальная структура фактор-пространства в обобщенной задаче Дидоны

Геометрический смысл инвариантов и глобальная структура фактор-пространства в обобщенной задаче Дидоны ISBN 5-94052-066-0 ПРОГРАММНЫЕ СИСТЕМЫ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ. ПЕРЕСЛАВЛЬ-ЗАЛЕССКИЙ, 2004 УДК 517.972 Ю. Л. Сачков, Е. Ф. Сачкова Геометрический смысл инвариантов и глобальная структура фактор-пространства

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

7 класс 7.1. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.2. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.3. Ответ: Решение.

7 класс 7.1. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.2. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.3. Ответ: Решение. 7 класс 7.1. Запишите несколько раз подряд число 013 так, чтобы получившееся число делилось на 9. Ответ объясните. Ответ: например, 013013013. Решение. Приведем несколько способов обоснования. Первый способ.

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Класс P. Глава 1. 1.1 Определение класса P. Функция f полиномиального роста, если для некоторых c и n 0 выполнено

Класс P. Глава 1. 1.1 Определение класса P. Функция f полиномиального роста, если для некоторых c и n 0 выполнено Глава 1 Класс P. 1.1 Определение класса P. Функция f полиномиального роста, если для некоторых c и n 0 выполнено f(n) < n c при n > n 0. Время работы машины Тьюринга M на словах алфавита Σ (подмножество

Подробнее

Министерство Российской Федерации по связи и информации. Санкт Петербургский Государственный Университет

Министерство Российской Федерации по связи и информации. Санкт Петербургский Государственный Университет Министерство Российской Федерации по связи и информации Санкт Петербургский Государственный Университет телекоммуникаций им.проф. М. А. Бонч Бруевича Факультет заочного обучения О.М. Дмитриева И.С. Перфилова

Подробнее

1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА СПЕКТР ОПЕРАТОРА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Пусть : ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве над полем. C. Определение. Точка C называется регулярной

Подробнее

И.З. Батыршин ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ

И.З. Батыршин ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ Институт проблем информатики Академии наук Республики Татарстан Казанский государственный технологический университет И.З. Батыршин ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ Казань Отечество 2001

Подробнее